4장. 확률 과정 및 확률 미분 방정식의 기초(확률과정, 마팅게일, 브라운 운동, 푸아송 과정)

 
 

확률과정 및 대표 예시

1. 확률과정의 정의

확률과정 $\{X_t{\}}_{t\ge 0}$는 확률공간 $(\mathrm{\Omega },\mathcal{F},\mathbb{P})$에서 각 시간 $t$에 대해 확률변수 $X_t:\mathrm{\Omega }\to \mathbb{R}$로 정의됨. $t$ 고정 시 $X_t$는 확률변수, $\omega$ 고정 시 $t\mapsto X_t(\omega )$는 표본경로이다.

• 이산시간: $t=0,1,2,\dots$
• 연속시간: $t\in [0,\mathrm{\infty })$

2. 마코브 과정

마코브 과정은 과거 이력 대신 현재 상태만으로 미래를 예측할 수 있는 확률 과정이다. 수식으로는 다음과 같다:

$$\mathbb{P}(X_t\in A\mid {\mathcal{F}}_s)=\mathbb{P}(X_t\in A\mid X_s),s<t.$$

즉, 현재 상태 $X_s$만 알면 시점 $t$의 분포를 결정할 수 있고, 과거 $\{X_u:u<s\}$는 더 이상 영향을 주지 않는다.
증명 흐름(조건부 확률・조건부 기대값 성질 이용)

• 조건부 확률 표현: $$Pr(X_t\in A\mid {\mathcal{F}}_s)=\mathbb{E}[1_{\{X_t\in A\}}\mid {\mathcal{F}}_s],$$ 여기서 $1_{\{X_t\in A\}}$는 $X_t\in A$일 때 1, 아니면 0인 지시 함수이다.
• 마코브 속성: 마코브 과정이므로, “과거 전체 정보(${\mathcal{F}}_s$)” 대신 “현재 상태 $X_s$”만으로도 $\mathbb{E}[1_{\{X_t\in A\}}\mid {\mathcal{F}}_s]$를 구할 수 있다. 즉, $$\mathbb{E}[1_{\{X_t\in A\}}\mid {\mathcal{F}}_s]=\mathbb{E}[1_{\{X_t\in A\}}\mid X_s].$$ 이는 과거 이력 전체를 제공하는 ${\mathcal{F}}_s$가 결국 “$X_s$만으로 요약될 수 있다”는 의미이다.
• 결론: 따라서 $$Pr(X_t\in A\mid {\mathcal{F}}_s)=Pr(X_t\in A\mid X_s).$$

3. 조건부 기댓값과 마팅게일

• ${\mathcal{F}}_t$: 시점 $t$까지의 정보(필터레이션)
• 조건부 기댓값 $\mathbb{E}[X_t\mid {\mathcal{F}}_s]$가 유일하게 존재함

3.1 조건부 기댓값(Conditional Expectation)의 정의

확률변수 $X$와 필터레이션 $\{{\mathcal{F}}_t\}$가 있을 때, ${\mathcal{F}}_s$-적분가능한(\,$\mathbb{E}[|X|]<\mathrm{\infty }$\,) 확률변수 $Y$가 다음 두 조건을 만족하면 $Y$를 ${\mathcal{F}}_s$에 대한 조건부 기댓값이라 정의한다:

1. $Y$는 ${\mathcal{F}}_s$-측정 가능($\sigma$-대수 ${\mathcal{F}}_s$에 포함되는 사건들에 대해 값이 결정될 수 있어야 함).
2. 모든 $A\in {\mathcal{F}}_s$에 대해
3. $${\displaystyle {\int }_{A}Y(\omega )d\mathbb{P}(\omega )={\int }_{A}X(\omega )d\mathbb{P}(\omega ).}$$ 즉, $A$ 안에서의 기대값(적분)이 동일해야 한다.

이때 이러한 $Y$는 거의 확실히(거의 모든 $\omega$에서) 유일하게 존재하며, 표기법으로 $$Y(\omega )=\mathbb{E}[X|{\mathcal{F}}_s](\omega )$$ 또는 간단히 ${\mathbb{E}}_s[X]$로 쓴다.

3.2 조건부 기댓값의 직관적 이해

- 필터레이션 ${\mathcal{F}}_s$는 시점 $s$까지 알려진 모든 정보를 의미한다.
- $\mathbb{E}[X\mid {\mathcal{F}}_s]$는 “시점 $s$까지 알고 있는 정보만 사용하여 $X$의 기대값을 계산한 것”으로 볼 수 있다.
- 예를 들어, 도박판에서 여러 번 시행한 결과가 기록된 장부가 ${\mathcal{F}}_s$라면, $\mathbb{E}[X_t\mid {\mathcal{F}}_s]$는 현재까지의 기록을 기반으로 “다음 시행($t$)의 기대값”을 구하는 것과 같다.

3.3 마팅게일(Martingale)의 정의 및 조건

확률과정 $\{X_t{\}}_{t\ge 0}$가 주어졌을 때, 모든 $s\le t$에 대해 $$\mathbb{E}[X_t|{\mathcal{F}}_s]=X_s$$ 를 만족하면 $\{X_t\}$를 마팅게일이라 부른다.
- “미래의 기대값이 현재와 같다”는 뜻으로, 어떠한 공평한 게임(fair game)에서는 지금까지 얻은 돈($X_s$)이 앞으로 기대되는 돈($\mathbb{E}[X_t|{\mathcal{F}}_s]$)과 일치해야 한다는 의미이다.

3.4 마팅게일 조건의 증명(정의와의 동치성 확인)

마팅게일 조건이 $\mathbb{E}[X_t\mid {\mathcal{F}}_s]=X_s$로 주어졌을 때, 이것이 “모든 $A\in {\mathcal{F}}_s$에 대해 ${\int }_A{X}_{s}d\mathbb{P}={\int }_A{X}_{t}d\mathbb{P}$”와 동치임을 확인해 보자.

1. 우선, 조건부 기댓값의 정의에 따르면 $${\int }_A\mathbb{E}[X_t\mid {\mathcal{F}}_s](\omega )d\mathbb{P}(\omega )={\int }_A{X}_t(\omega )d\mathbb{P}(\omega )(\mathrm{\forall }A\in {\mathcal{F}}_s).$$
2. 마팅게일 가정 $\mathbb{E}[X_t\mid {\mathcal{F}}_s]=X_s$를 대입하면, $${\int }_A{X}_s(\omega )d\mathbb{P}(\omega )={\int }_A\mathbb{E}[X_t\mid {\mathcal{F}}_s](\omega )d\mathbb{P}(\omega )={\int }_A{X}_t(\omega )d\mathbb{P}(\omega ).$$
3. 따라서 $${\int }_A{X}_{s}d\mathbb{P}={\int }_A{X}_{t}d\mathbb{P},\mathrm{\forall }A\in {\mathcal{F}}_s$$ 가 성립함을 확인할 수 있고, 이는 조건부 기댓값 정의와 일치한다.

반대로, 만약 ${\int }_A{X}_{s}d\mathbb{P}={\int }_A{X}_{t}d\mathbb{P}$ 가 모든 $A\in {\mathcal{F}}_s$에 대해 성립한다면, “$\mathbb{E}[X_t\mid {\mathcal{F}}_s]$로 정의되는 유일한 ${\mathcal{F}}_s$-측정 가능 확률변수”가 바로 $X_s$임을 의미하므로, $$\mathbb{E}[X_t\mid {\mathcal{F}}_s]=X_s$$ 와 동치가 된다.

3.5 반복 기댓값의 법칙(Tower Property)

$$\mathbb{E}[\mathbb{E}[X|{\mathcal{F}}_t]|{\mathcal{F}}_s]=\mathbb{E}[X|{\mathcal{F}}_s],s\le t.$$

이 성질은 “조건부 기댓값을 두 단계로 계산해도, 최종적으로 $s$ 시점에 대한 조건부 기댓값과 같다”는 의미이다.

3.6 반복 기댓값 법칙 증명

증명을 위해서는 조건부 기댓값의 정의와 적분 분할(이중 적분) 성질을 사용한다. 임의의 $A\in {\mathcal{F}}_s$에 대해, 먼저 $$Y=\mathbb{E}[X\mid {\mathcal{F}}_t]$$ 라 하자. $Y$는 ${\mathcal{F}}_t$-측정 가능이고, 모든 $B\in {\mathcal{F}}_t$에 대해 $${\int }_{B}Y(\omega )d\mathbb{P}(\omega )={\int }_{B}X(\omega )d\mathbb{P}(\omega ).$$ 이제 $A\in {\mathcal{F}}_s\subset {\mathcal{F}}_t$이므로, $A$ 역시 ${\mathcal{F}}_t$-측정 가능하다. 따라서 $${\int }_{A}Y(\omega )d\mathbb{P}(\omega )={\int }_{A}X(\omega )d\mathbb{P}(\omega ).$$ 한편, $Y$를 ${\mathcal{F}}_s$-조건부 기댓값으로 다시 생각하면 $${\int }_A\mathbb{E}[Y\mid {\mathcal{F}}_s](\omega )d\mathbb{P}(\omega )={\int }_{A}Y(\omega )d\mathbb{P}(\omega ).$$ 이를 위 식과 결합하면, $${\int }_A\mathbb{E}[\mathbb{E}[X\mid {\mathcal{F}}_t]|{\mathcal{F}}_s](\omega )d\mathbb{P}(\omega )={\int }_{A}X(\omega )d\mathbb{P}(\omega ).$$ 그런데 우변은 “$A$에 관해 ${\mathcal{F}}_s$의 조건부 기댓값”이 정의하는 적분과 동일하므로, $${\int }_A\mathbb{E}[\mathbb{E}[X\mid {\mathcal{F}}_t]|{\mathcal{F}}_s](\omega )d\mathbb{P}(\omega )={\int }_A\mathbb{E}[X\mid {\mathcal{F}}_s](\omega )d\mathbb{P}(\omega ),\mathrm{\forall }A\in {\mathcal{F}}_s.$$ 이로써 $$\mathbb{E}[\mathbb{E}[X\mid {\mathcal{F}}_t]|{\mathcal{F}}_s]=\mathbb{E}[X\mid {\mathcal{F}}_s](\text{거의 확실히}),$$ 즉 반복 기댓값의 법칙이 성립함을 보였다.

3.7 공평한 게임 해석

- 마팅게일 $\{X_t\}$에서는 “시점 $s$까지 알고 있는 정보로 볼 때, 시점 $t$의 기대값이 지금과 같다”는 뜻이므로, $$\mathbb{E}[X_t-X_s\mid {\mathcal{F}}_s]=0$$ 가 성립한다. - 도박 게임으로 비유하면, “현재까지의 배팅 결과가 $X_s$라면, 앞으로까지 포함한 총 결과의 기대값은 여전히 $X_s$”라는 의미로, 어떤 편향이나 기대 이익이 없는 공평한(fair) 게임이라는 해석이 가능하다.

4. 이항과정 (Binomial Process)

이항과정은 독립이고 동일한 베르누이 확률변수들을 합산하여 만든 확률 과정이다. 각 시도마다 성공 확률이 일정한 베르누이 시행을 반복하며, 특정 시점까지의 성공 횟수를 기록한다.

정의

각 시점 $j$에서의 확률변수 $X_j$가 다음 분포를 따른다고 하자:

${\displaystyle \mathbb{P}(X_j=1)=p,\mathbb{P}(X_j=0)=1-p.}$

여기서 $0\le p\le 1$은 성공 확률이다. 모든 $X_j$는 서로 독립이고 동일한 분포(Bernoulli($p$))를 가진다.

이항 셈 과정 (Counting Process)

시간 $t$에서의 이항과정 $Y_t$를 다음과 같이 정의한다:

${\displaystyle Y_t=\sum _{j=1}^t{X}_j.}$

그러면 $Y_t$는 $t$번의 베르누이 시행 중 성공 횟수를 나타내고, 따라서 이항분포를 따른다:

${\displaystyle Y_t\sim \mathrm{Binomial}(t,p).}$

증명 (독립 이산 시행 합의 분포)

1. $Y_t$는 $t$번의 독립 베르누이 시행에서 성공한 횟수를 세는 변수이다. 즉, $Y_t=\sum _{j=1}^t{X}_j$이고, 각 $X_j\in \{0,1\}$이며 $\mathbb{P}(X_j=1)=p$이다.
2. “성공을 $k$번 하고 실패를 $t-k$번 하는 경우”를 생각하면, 성공 횟수가 정확히 $k$인 경우가 나오는 경우의 수는 $(\genfrac{}{}{0ex}{}{t}{k})$가지이다.
3. 각 경우가 일어날 확률은 성공 $k$회와 실패 $t-k$회의 곱으로, $$p^k(1-p{)}^{t-k}$$ 가 된다. 따라서 $$\mathbb{P}(Y_t=k)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{t}{k})p^k(1-p{)}^{t-k},k=0,1,\dots ,t.$$
4. 이는 바로 이항분포($\mathrm{Binomial}(t,p)$)의 정의와 일치한다.

5. 랜덤워크 (Random Walk)

랜덤워크는 이항과정의 결과를 $\{+1,-1\}$로 변환하여 만든 이동 과정이다. 시간마다 +1 또는 -1 방향으로 한 걸음씩 움직이는 모형이다.

정의

먼저 이항 시행 $X_j\in \{0,1\}$을 사용하여, $$Z_j=2X_j-1\in \{+1,-1\}.$$ 즉, $X_j=1$일 때 $Z_j=+1$, $X_j=0$일 때 $Z_j=-1$이다. 이때 $\mathbb{P}(Z_j=+1)=p$, $\mathbb{P}(Z_j=-1)=1-p$이다.
그리고 시간 $t$에서의 랜덤워크 $W_t$를 다음과 같이 정의한다:

${\displaystyle W_t=\sum _{j=1}^t{Z}_j.}$

이 합은 $t$획 “+1” 또는 “−1” 중 몇 번 선택되었는지를 누적하는 이동 거리이다. 예를 들어 $p=0.5$일 때 대칭 랜덤워크가 되어, 평균이 0인 걸음이 반복된다.

기댓값과 분산 계산

각 $Z_j$는 $\{+1,-1\}$으로 값이 정해지며 확률은 다음과 같다:

${\displaystyle \mathbb{P}(Z_j=+1)=p,\mathbb{P}(Z_j=-1)=1-p.}$

따라서 $$\mathbb{E}[Z_j]=(+1)p+(-1)(1-p)=2p-1,$$ $$\mathrm{Var}(Z_j)=\mathbb{E}[Z_j^2]-(\mathbb{E}[Z_j]{)}^2=(1^2\cdot p+(-1{)}^2\cdot (1-p))-(2p-1{)}^2=1-(2p-1{)}^2=4p(1-p).$$
증명 (기댓값, 분산의 선형성 및 독립성 이용)

1. 기댓값: $$\mathbb{E}[W_t]=\mathbb{E}[\sum _{j=1}^t{Z}_j]=\sum _{j=1}^t\mathbb{E}[Z_j]=t\cdot (2p-1).$$ (독립성과 기댓값의 선형성 사용)
2. 분산: $$\mathrm{Var}(W_t)=\mathrm{Var}[\sum _{j=1}^t{Z}_j]=\sum _{j=1}^t\mathrm{Var}(Z_j)=t\cdot [4p(1-p)].$$ (독립성으로 서로 다른 $Z_i,Z_j$의 공분산이 0이 되므로, 분산이 합으로 분리된다)

대칭 랜덤워크 (Symmetric Random Walk)와 브라운 운동 근사

특별히 $p=\frac{1}{2}$일 때, $Z_j\in \{+1,-1\}$이 동등 확률로 선택된다. 이 경우 $\mathbb{E}[Z_j]=0$, $\mathrm{Var}(Z_j)=1$이 되어 “대칭 랜덤워크”가 된다.
이 대칭 랜덤워크를 연속 시간 척도로 볼 수 있도록 적절히 규모화하면, 시간이 커질 때 브라운 운동(Brownian motion)으로 수렴한다는 결과가 있다. 구체적으로, 다음 과정을 정의한다:

${\displaystyle B_t^{(n)}=\frac{1}{\sqrt{n}}\sum _{j=1}^{\lfloor nt\rfloor }{Z}_j,Z_j=\pm 1,\mathbb{P}(Z_j=+1)=\mathbb{P}(Z_j=-1)=\frac{1}{2}.}$

이때 $\lfloor nt\rfloor$는 $nt$ 이하의 정수 부분을 의미한다. 합 $\sum _{j=1}^{\lfloor nt\rfloor }{Z}_j$는 기댓값 0, 분산 $\lfloor nt\rfloor$인 독립합이다. 따라서 $$\frac{1}{\sqrt{n}}\sum _{j=1}^{\lfloor nt\rfloor }{Z}_j=\sqrt{\frac{\lfloor nt\rfloor }{n}}\cdot \frac{1}{\sqrt{\lfloor nt\rfloor }}\sum _{j=1}^{\lfloor nt\rfloor }{Z}_j.$$ 여기서 $\frac{1}{\sqrt{\lfloor nt\rfloor }}\sum _{j=1}^{\lfloor nt\rfloor }{Z}_j$는 중심극한정리(Central Limit Theorem)에 따라 분포가 $\mathcal{N}(0,1)$으로 수렴하며, $\sqrt{\frac{\lfloor nt\rfloor }{n}}$는 $n\to \mathrm{\infty }$일 때 $\sqrt{t}$로 수렴한다. 따라서 결합하면 $$B_t^{(n)}\stackrel{d}{⟶}\mathcal{N}(0,t),n\to \mathrm{\infty }.$$ 이 분포 수렴 결과를 Skorokhod 공간에서의 연속 경로 수렴 정리(Donsker의 정리)로 확장하면, $B_t^{(n)}$가 브라운 운동 $B_t$로 수렴한다고 볼 수 있다:

${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{B}_t^{(n)}\stackrel{d}{=}{B}_t\sim \mathcal{N}(0,t).}$

증명 스케치 (단순화된 Donsker 정리)

1. 각 $Z_j$는 $\mathbb{E}[Z_j]=0$, $\mathrm{Var}(Z_j)=1$을 가지며 서로 독립이다.
2. $\sum _{j=1}^{\lfloor nt\rfloor }{Z}_j$는 기댓값 0, 분산 $\lfloor nt\rfloor$인 합이다. 따라서 $\frac{1}{\sqrt{\lfloor nt\rfloor }}\sum _{j=1}^{\lfloor nt\rfloor }{Z}_j$는 CLT에 의해 $\mathcal{N}(0,1)$으로 분포 수렴한다.
3. 계수 $\sqrt{\frac{\lfloor nt\rfloor }{n}}\to \sqrt{t}$이므로, $\frac{1}{\sqrt{n}}\sum _{j=1}^{\lfloor nt\rfloor }{Z}_j$는 분산이 $t$인 정규분포로 수렴한다.
4. 최종적으로, 이산 시간 점들을 선형 보간(linear interpolation)하여 연속 경로를 만든 뒤, Skorokhod 공간에서의 연속 경로 수렴 정리를 적용하면 $\{B_t^{(n)}{\}}_{t\ge 0}$가 브라운 운동 $\{B_t{\}}_{t\ge 0}$로 수렴함을 보일 수 있다.

5. 독립정상증분 과정 (Independent and Stationary Increments Process)

확률과정 $\{X_t{\}}_{t\ge 0}$가 다음 두 가지 조건을 만족하면 독립정상증분 과정이라고 부른다. 직관적으로, “시간이 얼마나 흘렀는지”만 중요하고, “언제부터 시작했는지”나 “이전에 무슨 일이 있었는지”는 상관없으며, 서로 다른 시간 구간에서 일어나는 변화는 서로 독립적임을 뜻한다.

1. 정상증분 (Stationary increments):
2. 임의의 $0\le s<t$에 대해, $$X_t-X_s\stackrel{d}{=}{X}_{t-s}-X_0.$$ 즉, 시점 $s$와 $t$를 어떻게 고르든, 차분 $X_t-X_s$의 분포는 두 시점 간 간격 $t-s$에만 의존하고 “시작 시점 $s$”에는 전혀 의존하지 않는다. 예를 들어, $s=5$, $t=8$이거나 $s=2$, $t=5$여도 간격이 $3$이므로 $X_8-X_5$와 $X_5-X_2$의 분포는 동일하다.
3. 독립증분 (Independent increments):
4. 임의의 $0\le t_1<t_2<\cdots <t_n$에 대하여, $$X_{t_2}-X_{t_1},X_{t_3}-X_{t_2},\dots ,X_{t_n}-X_{t_{n-1}}$$ 이 서로 독립인 확률변수가 된다. 즉, 서로 겹치지 않는 시간 구간들에서 일어난 변화는 서로 영향을 주지 않는다.

위 두 조건을 모두 만족하는 확률과정 $\{X_t\}$를 독립정상증분 과정이라 한다. 예를 들어 랜덤워크(Random Walk), 푸아송 과정(Poisson Process), 그리고 위너 과정(Wiener Process, 곧 브라운 운동)은 모두 독립정상증분 과정의 대표적인 예이다.

이산시간 독립정상증분 과정

이산시간(즉, $t=0,1,2,\dots$)에서의 독립정상증분 확률과정은 서로 독립이고 동일분포를 따르는 확률변수들의 합으로 쉽게 구성할 수 있다. 예를 들어, $$X_t=\sum _{j=1}^t{Z}_j,Z_j\stackrel{\text{i.i.d.}}{\sim }\text{some distribution},$$ 라고 정의하면, 각 증분 $X_j-X_{j-1}=Z_j$ 가 독립이고 동일한 분포를 가지므로, “독립증분”과 “정상증분” 두 조건을 모두 만족하게 된다.

브라운 운동 (Brownian Motion)

연속시간 예시로 가장 대표적인 독립정상증분 과정이 바로 브라운 운동이다. 물리적으로는 아주 작은 입자가 액체나 기체 속에서 무작위로 움직이는 현상을 수학적으로 모델링한 것이다. $\{B_t{\}}_{t\ge 0}$로 표기하며, 다음 네 가지 핵심 성질을 갖는다:

• 독립정상증분:
• 임의의 $0\le s<t$에 대해 $$B_t-B_s\sim \mathcal{N}(0,t-s),$$ 즉 평균이 0이고 분산이 $t-s$인 정규분포를 따른다. 서로 겹치지 않는 시간 구간의 증분들은 서로 독립이다.
• 가우시안 과정:
• 임의의 유한한 시간들 $t_1<\cdots <t_k$를 골랐을 때, $(B_{t_1},B_{t_2},\dots ,B_{t_k})$는 다변량 정규분포를 이룬다. 즉, 여러 시점에서의 값이 동시에 정규분포적 성질을 지닌다.
• 자기유사성 (Self-similarity):
• 임의의 상수 $a>0$에 대해, $$\{B_{at}{\}}_{t\ge 0}\stackrel{d}{=}\{\sqrt{a}{B}_t{\}}_{t\ge 0}.$$ 이는 “시간을 $a$배 늘리면, 움직임 크기는 $\sqrt{a}$배 커진다”는 뜻이다. 즉, 전체 과정을 확대·축소해도 확률 분포 형태가 같다는 의미다.
• 마팅게일 (Martingale) 성질:
• $$\mathbb{E}[B_t\mid {\mathcal{F}}_s]=B_s,\text{for }0\le s\le t.$$ 즉, 과거 정보가 주어졌을 때 $B_t$의 기댓값은 그 시점의 값 $B_s$와 같아진다. 이를 통해 브라운 운동은 “기대값 관점에서 편향(bias)이 없는 무작위 경로”라는 사실을 말해준다.

정리하자면, 브라운 운동은 “평균이 0, 분산이 시간차에 비례하는 정규 분포 증분”과 “서로 독립인 증분”을 만족하는 연속 확률과정이며, 동시에 다변량 정규분포 구조와 자기유사성, 마팅게일 성질을 모두 갖춘다.

추가 설명

1) 정상증분이란 “언제 시작했는지(시작 시점)는 중요하지 않고, 얼마나 시간이 흘렀는지만 중요하다”는 뜻이다. 예를 들어, $B_5-B_2$와 $B_8-B_5$는 모두 시간 간격이 3이므로 같은 분포를 가진다.
2) 독립증분이란 “겹치지 않는 시간 구간들에서 일어난 변화는 서로 전혀 영향을 주지 않는다”는 뜻이다. 예를 들어, $(B_3-B_1)$와 $(B_5-B_3)$는 서로 독립인 확률변수이다.
3) 이산시간 예시로는 “서로 독립이고 동일분포(Bernoulli, 이항 등)를 따르는 확률변수들의 합”이 있으며, 연속시간 예시로는 브라운 운동이나 푸아송 과정이 있다.

6. 브라운 운동 (Brownian Motion)

브라운 운동은 수학적으로 “무작위 연속 이동”을 모델링한 확률과정이다. 한 점에서 시작하여 작은 무작위 걸음을 계속하다 보면, 시간에 따라 연속적으로 흔들리듯 움직이는데, 이를 이상적인 수학적 모델로 나타낸 것이 브라운 운동이다.
표준 브라운 운동 $\{B_t{\}}_{t\ge 0}$가 되려면 다음 네 가지 조건을 모두 만족해야 한다. 이해를 돕기 위해 각 조건 뒤에 직관적인 설명을 함께 붙였다.

• $B_0=0$
• 초기값이 0으로 정해진다. 즉, “시작점”을 원점(0)으로 놓고 출발한다는 의미이다.
• 연속 경로 (Continuous path)
• 시간 $t$가 조금씩 변할 때, $B_t$도 끊김 없이 부드럽게 움직인다(수학적으로는 연속 함수). 현실의 입자처럼 갑자기 튀어오르는 점프(jump)가 없고, 아주 작은 구간 안에서는 거의 일정하게 움직인다.
• 증분 분포 (Increment distribution)
• 임의의 $0\le s<t$에 대해 $$B_t-B_s\sim \mathcal{N}(0,t-s).$$ 즉, 시간 간격이 $t-s$만큼 흘렀을 때 이동한 거리(증분)는 평균이 0이고 분산이 $t-s$인 정규분포를 따른다. 다시 말해, 간격이 길어질수록 분산이 커져서 더 멀리 퍼질 가능성이 커진다.
• 독립증분 (Independent increments)
• 서로 겹치지 않는 시간 구간들에서의 이동은 서로 영향을 주지 않고 독립이다. 예를 들어, 시점 $s_1<t_1<s_2<t_2$에서 $B_{t_1}-B_{s_1}$과 $B_{t_2}-B_{s_2}$는 서로 독립 확률변수이다.

브라운 운동의 주요 성질

위 네 가지 기본 조건에서 파생되는 중요한 성질들을 아래와 같이 정리할 수 있다. 각각을 이해하기 쉽게 설명한다.

• 마팅게일 (Martingale) 성질:
• $$\mathbb{E}[B_t\mid {\mathcal{F}}_s]=B_s,0\le s\le t.$$ “현재 시점 $s$에서 앞으로 기대되는 평균 위치는 바로 지금 위치 $B_s$이다”라는 뜻이다. 즉, 그 이후로 움직일 때도 편향(bias)이 없기 때문에 먼저 알 수 있는 정보가 있다 해도, 나중 시점의 평균값은 늘 현재값 그대로이다.
• 마코브 (Markov) 성질:
• 과거 ${\mathcal{F}}_s$ 대신 지금 상태 $B_s$만 알면, 이후의 분포를 모두 예측할 수 있다. 다시 말해, $Pr(B_t\in A\mid {\mathcal{F}}_s)=Pr(B_t\in A\mid B_s)$ 가 성립한다. 과거에 어떻게 왔는지는 중요하지 않고, 지금 어디에 있느냐만 중요하다.
• 가우시안 과정 (Gaussian process):
• 임의의 유한한 시간 모음 $\{t_1,\dots ,t_k\}$을 골랐을 때, $(B_{t_1},B_{t_2},\dots ,B_{t_k})$는 다변량 정규분포(multivariate normal distribution)를 이룬다. 즉, 한 번에 여러 시점을 관찰해도 각각의 결합 분포가 정규분포적인 구조를 가진다.
• 자기유사성 (Self-similarity):
• 임의의 상수 $a>0$에 대하여 $$\{B_{at}{\}}_{t\ge 0}\stackrel{d}{=}\{\sqrt{a}{B}_t{\}}_{t\ge 0}.$$ 시간 척도를 $a$배 확장하면, 위치 변화 폭은 $\sqrt{a}$배로 커진다. 즉, “보는 눈금”을 늘렸다 줄였다 해도 모양이 같다(분포 관점에서).

공분산(Covariance) 계산

브라운 운동의 공분산을 구해보면 다음과 같다:

${\displaystyle \mathrm{Cov}(B_s,B_t)=min(s,t).}$

증명 (공분산 계산)
먼저 $s\le t$라고 가정하자. 브라운 운동은 평균이 0이므로 $\mathbb{E}[B_s]=\mathbb{E}[B_t]=0$이다. 그러면 $$\mathrm{Cov}(B_s,B_t)=\mathbb{E}[B_s{B}_t]-\mathbb{E}[B_s]\mathbb{E}[B_t]=\mathbb{E}[B_s{B}_t].$$ 이제 $B_t=(B_t-B_s)+B_s$로 분리하면, $$\mathbb{E}[B_s{B}_t]=\mathbb{E}[B_s((B_t-B_s)+B_s)]=\mathbb{E}[B_s(B_t-B_s)]+\mathbb{E}[B_s^2].$$ 브라운 운동의 독립증분 성질에 의해 $B_s$와 $B_t-B_s$는 독립이므로, $\mathbb{E}[B_s(B_t-B_s)]=\mathbb{E}[B_s]\mathbb{E}[B_t-B_s]=0$. 또한 $\mathbb{E}[B_s^2]=\mathrm{Var}(B_s)=s$ 이므로, $$\mathrm{Cov}(B_s,B_t)=0+s=s=min(s,t).$$

마팅게일 성질 증명

브라운 운동이 마팅게일이 되는 이유는, 앞으로의 증분 평균이 항상 0이기 때문이다. 구체적으로, $$\mathbb{E}[B_t\mid {\mathcal{F}}_s]=\mathbb{E}[(B_t-B_s)+B_s|{\mathcal{F}}_s]=\mathbb{E}[B_t-B_s\mid {\mathcal{F}}_s]+B_s.$$ 여기서 $(B_t-B_s)$는 과거 정보 ${\mathcal{F}}_s$와 독립이므로, $\mathbb{E}[B_t-B_s\mid {\mathcal{F}}_s]=\mathbb{E}[B_t-B_s]=0$. 따라서 $\mathbb{E}[B_t\mid {\mathcal{F}}_s]=0+B_s=B_s$가 되어 마팅게일 성질을 만족한다.

자기유사성 증명

브라운 운동의 정의에서, 임의의 $u<v$에 대해 $$B_v-B_u\sim \mathcal{N}(0,v-u).$$ 이제 시간 스케일을 $a$배 늘린 과정 $\{B_{at}\}$를 보자. 임의의 $t$에서의 증분은 $$B_{at}-B_0=B_{at}\sim \mathcal{N}(0,at).$$ 반면, $\sqrt{a}{B}_t$는 ${\displaystyle B_t\sim \mathcal{N}(0,t)}$에서 스케일링하여 $$\sqrt{a}{B}_t\sim \mathcal{N}(0,at).$$ 두 과정 모두 연속 경로, 독립정상증분, 가우시안 성질을 그대로 유지하므로, 모든 유한 시점 집합에 대한 분포가 동일하다. 즉, $$\{B_{at}{\}}_{t\ge 0}\stackrel{d}{=}\{\sqrt{a}{B}_t{\}}_{t\ge 0}.$$ 이것이 자기유사성(self-similarity)의 수학적 표현이다.

7. 푸아송 과정 (Poisson Process)

푸아송 과정은 “시간이 흐르면서 랜덤하게 발생하는 사건의 누적 횟수”를 모델링하는 확률 과정이다. 예를 들어 콜센터에 전화가 걸려오는 횟수, 웹사이트에 사용자가 접속하는 횟수 등을 시간에 따라 세는 과정으로 생각할 수 있다. 수학적으로 $\{N_t{\}}_{t\ge 0}$가 다음 세 가지 조건을 모두 만족하면 푸아송 과정이라 정의한다.

• 초기값 $N_0=0$
• 시간 0에서 사건이 아직 한 번도 발생하지 않았다는 의미이다.
• 독립증분 (Independent increments)
• 서로 겹치지 않는 시간 구간에서 사건이 발생한 횟수는 서로 독립이다. 예를 들어 구간 $[0,2]$에서 발생한 횟수와 $[2,5]$에서 발생한 횟수는 서로 영향을 주지 않는다.
• 증분 분포 (Increment distribution)
• 임의의 $s\ge 0$와 $t>0$에 대해, $$N_{s+t}-N_s\sim \mathrm{Poisson}(\lambda t),$$ 즉, 길이가 $t$인 시간 구간에서 발생하는 사건의 개수는 평균이 $\lambda t$인 포아송 분포를 따른다. 여기서 $\lambda >0$는 “단위 시간당 발생하는 사건의 평균 개수(rate)”를 의미한다.

1) 직관적 설명

- 시간 구간 $[s,s+t]$이 주어졌을 때, 이 구간 안에서 발생하는 사건 개수는 오직 그 구간 길이 $t$와 매개변수 $\lambda$에만 의존하고, “시작 시점 $s$”나 그 이전에 무슨 일이 있었는지는 전혀 상관없다. - 사건 발생이 매우 작은 단위(예: 무시할 수 있을 만큼 짧은 시간) 안에서는 “사건이 한 번에 두 번 이상 발생할 확률”이 거의 0이라고 가정한다. - 연속된 짧은 구간들을 더하면, 전체 구간에서 포아송 분포를 얻는다. - 따라서 푸아송 과정은 “정상증분(stationary increments)”과 “독립증분(independent increments)”을 만족한다.

2) 포아송 분포 복습

어떤 확률변수 $X$가 포아송 분포 $\mathrm{Poisson}(\mu )$를 따르면 다음과 같은 확률 질량 함수(PMF)를 가진다:

${\displaystyle \mathbb{P}(X=k)=\frac{{\mu }^k}{k!}{e}^{-\mu },k=0,1,2,\dots }$

- 평균 $\mathbb{E}[X]=\mu$ - 분산 $\mathrm{Var}(X)=\mu$ - 여기서 $\mu =\lambda t$로 두면, “길이가 $t$인 구간에서 평균 $\lambda t$개의 사건이 발생”한다는 의미가 된다.

3) 푸아송 과정의 기댓값과 분산

${\displaystyle \mathbb{E}[N_t]=\lambda t,\mathrm{Var}(N_t)=\lambda t.}$

증명
푸아송 과정 정의에 따라, 고정된 $t$에서 $N_t\sim \mathrm{Poisson}(\lambda t)$이므로 포아송 분포의 성질로부터 곧바로 $\mathbb{E}[N_t]=\lambda t$, $\mathrm{Var}(N_t)=\lambda t$가 성립한다. (“증분 분포” 조건이 시점 $0$에서 시작하여 시점 $t$까지 적용된 결과가 바로 이 식이다.)

4) 표본경로 (Sample path)

푸아송 과정 $\{N_t\}$의 시간에 따른 값은 다음과 같은 계단(staircase) 모양을 가진다:
- 처음에는 $N_0=0$에서 출발하여, 어떤 시점에 첫 번째 사건이 발생하면 $N_t$가 1로 점프한다. - 그 이후 두 번째 사건이 발생할 때까지 $N_t$는 1을 유지한다. 사건이 발생하면 다시 2로 점프. - 요약하면, 사건이 일어날 때마다 값이 1씩 증가하고, 사건이 없는 구간에서는 일정하게 머무르는 단위 계단 함수 모양을 이룬다.

5) 독립증분 성질과 계단 모양

증명(독립증분 성질과 정수 계단 형태)
- 푸아송 과정의 핵심은 “서로 겹치지 않는 시간 구간들의 사건 수는 서로 독립”이라는 독립증분 조건이다. 예를 들어 $[0,1]$ 구간에서 3건, $[1,2]$ 구간에서 2건 발생하면, 두 구간의 발생 횟수는 서로 영향을 주지 않는다고 가정한다. - “증분 분포” 조건에 의해, $[s,t]$ 구간에서 사건 수 $N_t-N_s$는 과거 정보와 무관하게 $\mathrm{Poisson}(\lambda (t-s))$를 따른다. - 따라서 시간에 따라 사건이 발생하는 순간마다 $N_t$가 정수 단위로 1씩 뛰어오르게 되고, 사건이 없으면 그 사이에 값은 변하지 않는다. - 이 결과가 “계단(staircase) 모양”이다.

6) 추가 해설: 지수 분포(Interarrival times)와 푸아송 과정의 연결

푸아송 과정은 “사건이 발생하는 시간 간격”이 지수분포(exponential distribution)를 따른다는 중요한 특징이 있다. 구체적으로, $\{T_k\}$를 연속해서 일어나는 사건의 발생 시각(첫 번째 사건 발생 시각, 두 번째 사건 발생 시각, $\dots$)이라고 하면, $$S_k=T_k-T_{k-1},(T_0=0)$$ 를 “$k$번째 사건까지 걸린 시간”이라 할 때, 각 구간 $S_k$는 서로 독립이고 $$S_k\sim \mathrm{Exponential}(\lambda )$$ 즉, 매개변수 $\lambda$인 지수분포를 따른다. - 지수분포 $\mathrm{Exponential}(\lambda )$의 밀도 함수: ${\displaystyle f_S(s)=\lambda e^{-\lambda s},s\ge 0.}$ - 이 특성 때문에 “오랜 시간을 기다리다가 사건이 일어날 확률”이 기억(기억less) 없다(memoryless). - 사건 발생 간격이 지수 분포를 따를 때, 자연스럽게 푸아송 분포로 누적 사건 수가 결정된다. - 결과적으로 “지수분포 + 독립성”이 푸아송 과정을 만든다고 볼 수 있다.

8. 브라운 다리 과정 (Brownian Bridge)

브라운 다리(Brownian Bridge)는 표준 브라운 운동 $\{B_t\}$을 이용해 “시작점과 끝점이 0으로 고정된” 연속확률과정을 만든 것이다. 즉, 시간 $t=0$에서 0으로 출발하여 $t=1$에 다시 0으로 돌아오는 브라운 운동 경로를 조건부로 만든 과정이다.
정의는 다음과 같다:

$$X_t=B_t-t{B}_1,0\le t\le 1.$$

• $X_0=B_0-0\cdot B_1=0$ (출발점이 0으로 고정됨)
• $X_1=B_1-1\cdot B_1=0$ (끝점도 0으로 고정됨)
• 중간 시점 $t$에서의 값 $X_t$는 “원래의 브라운 운동 $B_t$”에서 “1시점에서의 위치 $B_1$를 $t$비율만큼 빼 준 것”이다.

직관적 이해

브라운 운동은 아무 제약 없이 자유롭게 움직이지만, 브라운 다리는 시간 1에 반드시 0으로 돌아와야 한다는 추가 조건이 있다. 그래서 “만약 브라운 운동이 시점 1에서 $B_1$만큼 위치해 있다면, 그만큼 중간에 미리 보정해서(t 비율로) 경로를 당겨주는” 식으로 과정을 만든다. 그 결과 시간 0과 1에서 0으로 고정된 연속확률경로가 얻어진다.

기댓값과 공분산 (Mean and Covariance)

- 기댓값: $$\mathbb{E}[X_t]=\mathbb{E}[B_t-t{B}_1]=\mathbb{E}[B_t]-t\mathbb{E}[B_1]=0-t\cdot 0=0.$$ 브라운 운동은 $\mathbb{E}[B_t]=0$이므로, 브라운 다리도 항상 평균 0을 유지한다.
- 공분산: ${\displaystyle \mathrm{Cov}(X_s,X_t)=min(s,t)-st.}$ 증명은 아래처럼 단계별로 살펴본다.
증명 (공분산 계산)
1) 먼저 $s\le t$라고 가정하고, 브라운 다리 정의에 따라 $$X_s=B_s-s{B}_1,X_t=B_t-t{B}_1.$$ 평균이 0이므로 $\mathrm{Cov}(X_s,X_t)=\mathbb{E}[X_s{X}_t]$. 2) 곱을 전개하면 $$X_s{X}_t=(B_s-s{B}_1)(B_t-t{B}_1)=B_s{B}_t-t{B}_s{B}_1-s{B}_1{B}_t+st{B}_1^2.$$ 3) 각 항의 기댓값을 개별적으로 계산한다:

• $\mathbb{E}[B_s{B}_t]=min(s,t)=s$, (브라운 운동의 공분산 성질)
• $\mathbb{E}[B_s{B}_1]=min(s,1)=s$ (왜냐하면 $s\le 1$이므로)
• $\mathbb{E}[B_t{B}_1]=min(t,1)=t$ (여기서 $t\le 1$)
• $\mathbb{E}[B_1^2]=\mathrm{Var}(B_1)=1$.

4) 따라서 $$\mathbb{E}[X_s{X}_t]=\underset{=s}{\underbrace{\mathbb{E}[B_s{B}_t]}}-t\underset{=s}{\underbrace{\mathbb{E}[B_s{B}_1]}}-s\underset{=t}{\underbrace{\mathbb{E}[B_t{B}_1]}}+st\underset{=1}{\underbrace{\mathbb{E}[B_1^2]}}=s-ts-st+st.$$ 5) 식을 정리하면 $$s-st-st+st=s-st=min(s,t)-st.$$ 즉, $\mathrm{Cov}(X_s,X_t)=min(s,t)-st$이 된다.

브라운 다리의 주요 성질

• 마코브 성질 (Markov property):
• 브라운 다리도 “과거 전체” 대신 “현재 위치 $X_t$”만 알면, 이후 미래 분포를 결정할 수 있다. 즉, $Pr(X_u\in A\mid {\mathcal{F}}_t)=Pr(X_u\in A\mid X_t)$ for $0\le t<u\le 1$가 성립한다.
• 시작과 끝이 0으로 고정:
• 브라운 다리는 “만기 값(fixed endpoint)이 0”이므로, 금융 자산의 “만기 시 보장된 가격”이 있을 때 그 중간 움직임을 모델링하는 데 쓰인다. 예를 들어, 채권의 쿠폰 지급 후 만기 상환 금액이 고정된 모델에서 유용하다.
• 연속 경로:
• 브라운 운동이 연속 경로를 가지므로, 브라운 다리 역시 시간 구간 $[0,1]$ 전체에서 끊김 없는 곡선을 이룬다.
• 분포 특성:
• 각 시점 $t$에서 $X_t$는 평균 0, 분산 $t(1-t)$를 가진다. (공분산 식에서 $s=t$일 때 $\mathrm{Var}(X_t)=t-t^2=t(1-t)$)

추가 설명: 왜 “다리(bridge)”인가?

영어로 “bridge”는 “다리”라는 뜻인데, 브라운 다리 과정은 “브라운 운동을 무조건 시간 1에 0으로 묶어 놓은 것”처럼 시작점(0)과 끝점(1)이 고정되어 있다는 의미에서 “다리처럼 양쪽이 고정”되었다 하여 붙은 이름이다. 만약 끝점을 0이 아닌 다른 값 $a$로 고정하려면 $$X_t=B_t-t{B}_1+ta$$ 와 같이 정의하면, $X_0=0$, $X_1=a$가 되어 “끝점이 $a$인 브라운 다리”가 된다.

9. 추세 브라운 운동 (Brownian Motion with Drift)

추세 브라운 운동은 표준 브라운 운동에 “일정 속도로 움직이는 경향(드리프트)”과 “진동 폭(확산계수)”을 추가한 과정이다. 수식으로는 다음과 같이 정의한다:

${\displaystyle X_t=\mu t+\sigma B_t,t\ge 0.}$

• $\mu$: 선형 추세(Drift), 시간당 평균 이동 속도
• $\sigma$: 확산계수(Volatility), 무작위 진동 크기를 결정

1) 직관적 설명

- “표준 브라운 운동 $B_t$”는 평균 0, 분산 $t$를 갖는 순수 무작위 진동이다.
- 여기에 $\mu t$를 더하면, “평균적으로 시간당 $\mu$만큼 일정한 방향으로 움직이는 경향”을 추가한 것이다. - 동시에 $\sigma B_t$를 곱하면, 무작위 진동 폭이 $\sigma$배로 확대된다. - 따라서 $X_t$는 “평균적으로 $\mu t$만큼 이동”하면서도 “무작위로 $\sigma \sqrt{t}$ 정도 흔들리는” 경로를 그린다.

2) 기댓값과 분산

${\displaystyle \mathbb{E}[X_t]=\mu t,\mathrm{Var}(X_t)={\sigma }^{2}t.}$

증명 (선형 변환 성질 이용)
1) 기댓값: $$\mathbb{E}[X_t]=\mathbb{E}[\mu t+\sigma B_t]=\mu t+\sigma \mathbb{E}[B_t]=\mu t+\sigma \cdot 0=\mu t.$$ (브라운 운동은 $\mathbb{E}[B_t]=0$이므로, $\mu t$만 남는다.)

2) 분산: $$\mathrm{Var}(X_t)=\mathrm{Var}[\mu t+\sigma B_t]={\sigma }^2\mathrm{Var}(B_t)={\sigma }^2\cdot t.$$ (상수 $\mu t$는 분산에 기여하지 않고, $\mathrm{Var}(\sigma B_t)={\sigma }^2\mathrm{Var}(B_t)$이며 $\mathrm{Var}(B_t)=t$이다.)

3) 공분산

${\displaystyle \mathrm{Cov}(X_s,X_t)={\sigma }^{2}min(s,t).}$

증명 (브라운 운동 공분산에 선형 인자 곱)
1) 정의에 따라 $$X_s=\mu s+\sigma B_s,X_t=\mu t+\sigma B_t.$$ 2) 공분산 공식: $$\mathrm{Cov}(X_s,X_t)=\mathrm{Cov}(\mu s+\sigma B_s,\mu t+\sigma B_t).$$ 3) 선형성 및 상수 취급: - $\mathrm{Cov}(\mu s,\ast )=0$ (상수와 결합된 항) - $\mathrm{Cov}(\sigma B_s,\sigma B_t)={\sigma }^2\mathrm{Cov}(B_s,B_t).$ 따라서 $$\mathrm{Cov}(X_s,X_t)={\sigma }^2\mathrm{Cov}(B_s,B_t).$$ 4) 브라운 운동의 공분산 $\mathrm{Cov}(B_s,B_t)=min(s,t)$를 사용하면, $$\mathrm{Cov}(X_s,X_t)={\sigma }^{2}min(s,t).$$

4) 주요 성질

• 정규분포 유지:
• $X_t=\mu t+\sigma B_t$이므로, $$X_t\sim \mathcal{N}(\mu t,{\sigma }^{2}t).$$ 즉, 평균이 $\mu t$, 분산이 ${\sigma }^{2}t$인 정규분포를 따른다.
• 마팅게일 아님:
• 표준 브라운 운동 $B_t$는 마팅게일이지만, 드리프트 $\mu t$가 추가되면 $$\mathbb{E}[X_t\mid {\mathcal{F}}_s]=\mathbb{E}[\mu t+\sigma B_t\mid {\mathcal{F}}_s]=\mu t+\sigma \mathbb{E}[B_t\mid {\mathcal{F}}_s]=\mu t+\sigma B_s\ne X_s.$$ 따라서 $\mu \ne 0$일 경우에는 “미래에 대한 조건부 기댓값이 항상 현재값과 같지 않으므로” 마팅게일 성질을 잃는다.
• 마코브 성질:
• 여전히 $\{X_t\}$는 브라운 운동에서 변환된 선형 결합이므로, “과거 전체 대신 현재 상태 $X_s$만으로 미래 분포를 결정할 수 있다”고 볼 수 있다. 즉, $Pr(X_t\in A\mid {\mathcal{F}}_s)=Pr(X_t\in A\mid X_s)$가 성립한다.
• 독립증분:
• $X_t-X_s=\mu (t-s)+\sigma (B_t-B_s)$이며, $B_t-B_s$는 과거 정보와 독립이므로, 서로 겹치지 않는 구간의 증분들은 서로 독립이다.

10. 기하 브라운 운동 (Geometric Brownian Motion)

기하 브라운 운동은 주가나 자산 가격처럼 항상 양수인 값이 무작위로 움직이는 것을 모델링하기 위해 사용된다. 표준 브라운 운동 $B_t$에 일정한 상승 추세(드리프트)와 무작위 변동(확산계수)을 결합하여, 랜덤하게 지수 형태로 성장하거나 하락하는 과정을 만드는 것이다.
수식으로는 다음과 같이 정의한다:

$$S_t=S_0\exp ((\mu -\frac{1}{2}{\sigma }^2)t+\sigma B_t),t\ge 0.$$

• $S_0$: 초기값 (시간 $0$에서의 자산 가격), $S_0>0$.
• $\mu$: 기댓값(드리프트 Rate), “시간당 얼마나 평균적으로 증가”하는지를 나타내는 상수.
• $\sigma$: 변동성(Volatility), 무작위 진동의 크기를 조절하는 상수, $\sigma >0$.
• $\exp (\cdot )$를 통해 항상 양수 값이 유지되므로, 자산 가격이 음수로 내려갈 수 없다.

1) 모델 유도 및 해석

기하 브라운 운동은 보통 미분 방정식 형태로도 나타낸다:

${\displaystyle d{S}_t=\mu S_{t}dt+\sigma S_{t}d{B}_t,S_0>0.}$

- 첫 번째 항 $\mu S_{t}dt$는 “드리프트”로 불린다. $\mu >0$이면 시간이 지날수록 평균적으로 $\mu dt$만큼 비례하여 증가한다는 의미이다. - 두 번째 항 $\sigma S_{t}d{B}_t$는 “확산(Volatility)” 항으로, $\sigma S_t$만큼 크기가 스케일링된 표준 브라운 운동 $d{B}_t$가 더해져 무작위 변동을 준다. - 이 식을 적분하면, 지수 형태의 해석적 표현 ${\displaystyle S_t=S_0\exp ((\mu -\frac{1}{2}{\sigma }^2)t+\sigma B_t)}$를 얻는다. - $\frac{1}{2}{\sigma }^2$를 빼주는 이유는 이 과정이 지수 함수 꼴로 전개될 때 생기는 “이토 보정(Ito correction)” 때문이다.

2) 로그 변환과 정규성

기하 브라운 운동의 가장 큰 장점은 “로그를 취하면 정규분포가 된다”는 점이다. 즉, 로그 변환한 확률 변수 $\log S_t$는 선형 결합으로 표현되므로 정규분포를 따르게 된다.
- 먼저 정의식의 지수를 로그로 풀어 쓰면,

${\displaystyle \log S_t=\log S_0+(\mu -\frac{1}{2}{\sigma }^2)t+\sigma B_t.}$

- $\log S_0$는 상수이고, $(\mu -\frac{1}{2}{\sigma }^2)t$도 상수 트렌드(시간에 선형 증가)이며, $\sigma B_t$는 정규분포 $\mathcal{N}(0,{\sigma }^{2}t)$를 갖는다. - 따라서 전체적으로 $\log S_t$는 평균 ${\displaystyle \log S_0+(\mu -\frac{1}{2}{\sigma }^2)t}$이고, 분산 ${\displaystyle {\sigma }^{2}t}$인 정규분포를 따른다.
$$\log S_t\sim \mathcal{N}(\log S_0+(\mu -\frac{1}{2}{\sigma }^2)t,{\sigma }^{2}t).$$
- 이로써 $S_t=\exp (\log S_t)$는 **로그정규분포(Log-normal)**를 따르게 된다. - 로그정규분포의 기본 성질로부터 $S_t$의 기댓값과 분산을 쉽게 구할 수 있다.

3) 기댓값과 분산 계산

로그정규분포의 성질에 따르면, 만약 $\log S_t\sim \mathcal{N}(m,v^2)$라면 $$\mathbb{E}[S_t]=e^{m+\frac{1}{2}{v}^2},\mathrm{Var}(S_t)=(e^{v^2}-1)e^{2m+v^2}.$$ 이 공식을 기하 브라운 운동에 적용해 보면:

1. ${\displaystyle m=\log S_0+(\mu -\frac{1}{2}{\sigma }^2)t,}$ ${\displaystyle v^2={\sigma }^{2}t.}$
2. 기댓값: $$\mathbb{E}[S_t]=\exp (m+\frac{1}{2}{v}^2)=\exp (\log S_0+(\mu -\frac{1}{2}{\sigma }^2)t+\frac{1}{2}{\sigma }^{2}t)=S_0{e}^{\mu t}.$$
3. 분산: $$\mathrm{Var}(S_t)=(e^{v^2}-1)e^{2m+v^2}=(e^{{\sigma }^{2}t}-1)\exp (2\log S_0+2(\mu -\frac{1}{2}{\sigma }^2)t+{\sigma }^{2}t).$$ 여기서 지수 내부를 정리하면 $$2\log S_0+2(\mu -\frac{1}{2}{\sigma }^2)t+{\sigma }^{2}t=2\log S_0+2\mu t-{\sigma }^{2}t+{\sigma }^{2}t=2\log S_0+2\mu t.$$ 따라서 $$\mathrm{Var}(S_t)=(e^{{\sigma }^{2}t}-1)e^{2\log S_0+2\mu t}=S_0^2{e}^{2\mu t}(e^{{\sigma }^{2}t}-1).$$

결론적으로,

${\displaystyle \mathbb{E}[S_t]=S_0{e}^{\mu t},\mathrm{Var}(S_t)=S_0^2{e}^{2\mu t}(e^{{\sigma }^{2}t}-1).}$

4) 추가 설명: 왜 로그정규분포인가?

- 브라운 운동 $B_t$는 정규분포를 따르기 때문에, $\sigma B_t$도 정규분포를 유지한다. - 여기에 상수 $\log S_0+(\mu -\frac{1}{2}{\sigma }^2)t$를 더해도 여전히 정규분포이고, 따라서 $\log S_t$는 정규분포를 갖는다. - “정규분포를 지수화하면 로그정규분포”가 되므로, $S_t$는 항상 양수이고, 분포 형태는 비대칭적 오른쪽 꼬리를 가진다. - 금융 분야에서 주가가 음수가 될 수 없으므로, 기하 브라운 운동은 주가 모델에 적합한 분포 형태를 제공한다.

5) 금융 응용: Black–Scholes 모형의 기초

- 블랙–숄즈(Black–Scholes) 옵션 가격 모형에서 기하 브라운 운동을 가정하여, “주가 $S_t$는 기하 브라운 운동을 따른다”고 설정한다. - 이때 $\mu$를 위험중립 확률 측도(risk-neutral measure) 하에서는 무위험 이자율 $r$로 대체하고, $\sigma$는 시장이 예상하는 연간 변동성(volatility)을 나타낸다. - 기하 브라운 운동을 따른다는 가정으로부터, 옵션 가격을 유도하기 위해 필요한 로그보정항 $-\frac{1}{2}{\sigma }^{2}t$ 등이 자연스럽게 등장한다. - 결과적으로, 현재 시점 $0$의 주가 $S_0$로부터 확률적 미래 가격 분포를 구하여, 옵션의 공정가격을 해석적으로 계산할 수 있다.