Chapter 11. Longdated FX
Clark (2011), Foreign Exchange Option Pricing
0. 이 장을 읽기 전에 반드시 알아야 할 배경지식
Clark(2011) Chapter 11은 FX 파생상품 이론에서 가장 수준 높은 장이다. 단순히 모형 하나를 소개하는 것이 아니라, "만기가 길어질수록 왜 모든 것이 바뀌는가"라는 근본 질문에 답하면서 측도 이론, 확률적 금리, 통화스왑, 컨벡시티 보정, 3요인 모형, 캘리브레이션, 스큐 확장을 하나의 논리적 흐름으로 엮는다. 이 내용을 온전히 소화하기 위해서는 아래의 배경 개념들이 단단히 잡혀 있어야 한다. 각 개념을 단순히 정의하는 데 그치지 않고, "왜 Longdated FX 맥락에서 이 개념이 특별히 중요한지"까지 서술한다.
0.1 장기 FX의 경계선과 직관적 동기
단기 FX 옵션(만기 1주~3개월)을 다루는 실무자에게 금리는 거의 상수처럼 보인다. 어제와 오늘의 USD 3개월 LIBOR 차이는 수 bp에 불과하고, 그 차이가 단기 옵션 가격에 미치는 영향은 무시할 수 있는 수준이다. 이 근사가 통하는 이유는 "금리의 절대 불확실성이 작아서"가 아니라, "짧은 만기에서 금리 민감도(Rho) 자체가 작기 때문"이다. Rho는 만기 \(T\)에 선형으로 비례하므로 만기 1개월에서 Rho의 크기는 만기 1년의 1/12에 불과하다.
반면 만기가 10년, 20년, 30년에 이르는 장기 옵션에서는 Rho가 Vega를 압도하기 시작한다. 이것이 Longdated FX 이론 전체의 출발점이다. 실무에서는 만기 1년 이상을 "장기"로 분류하지만, 본 장의 논의가 본격적으로 적용되기 시작하는 경계는 대략 2~3년이다. 5년 이상에서는 크로스커런시 베이시스, 담보 조건, 스왑션 캘리브레이션이 필수가 되며, 10년 이상에서는 콴토 보정의 누적 효과가 매우 중요해진다.
0.2 누메레르(Numeraire)와 마팅게일 측도 정리
누메레르란 모든 자산의 가격을 "이 자산의 단위로 표현할 때 쓰이는 기준 자산"이다. 어떤 양수 자산 \(N_t\)를 누메레르로 선택하면, 이에 대응하는 고유한 확률 측도 \(Q^N\)이 존재하여 모든 거래 가능 자산 \(V_t\)에 대해 \(V_t/N_t\)가 \(Q^N\)하에서 마팅게일이 된다. 이것이 제2 기본정리(Second Fundamental Theorem of Asset Pricing)의 핵심이다.
일상의 비유: 우리가 물건 가격을 "원화"로 표시하듯, 금융에서도 모든 자산 가격을 어떤 기준 자산으로 나누어 표시할 수 있다. "원화"를 누메레르로 쓰면 원화 위험중립 측도, "달러"를 쓰면 달러 위험중립 측도가 생긴다. 어떤 누메레르를 선택하느냐에 따라 드리프트가 달라지고 기대값 계산이 달라지지만, 최종 무차익 가격은 동일해야 한다.
Longdated FX에서 누메레르 선택이 결정적인 이유: 금리가 확률적일 때 각 측도 간 변환(라돈-니코딤 미분)이 더 이상 상수가 아니라 확률변수가 된다. 이 변환을 올바르게 처리하지 않으면 가격과 헤지 모두 틀린다.
확률과정 \(\{M_t\}_{t\geq 0}\)가 마팅게일이라는 것은, "현재 정보가 주어졌을 때 미래 기대값이 현재값과 같다"는 의미다:
$$\mathbb{E}[M_t \,|\, \mathcal{F}_s] = M_s \quad (s \leq t)$$직관: 예측 가능한 추세가 없는 공정한 게임. 카지노에서 매 판의 기대 손익이 0인 게임이 마팅게일의 대표 예다. 금융에서 무차익 조건은 "할인된 자산 가격이 위험중립 측도하에서 마팅게일이어야 한다"는 것과 동치다.
포워드 LIBOR \(L^d_{T_i,T_{i+1}}(t)\)는 \(T_{i+1}\)-포워드 측도 \(Q^{d;T_{i+1}}\)하에서 마팅게일이다. 이 성질이 LIBOR in Arrears 컨벡시티 보정 유도에서 결정적으로 사용된다. 포워드 LIBOR가 마팅게일인 측도와 기대값을 취해야 하는 측도가 다르면, 그 차이가 바로 "컨벡시티 보정"이라는 추가 항을 만든다.
이토 보조정리는 SDE를 따르는 과정의 함수에 대한 연쇄법칙이다. 일반 미적분에서 \(df = f'(x)dx\)이지만, 확률 미적분에서는 브라운 운동의 이차변분 \((dW_t)^2 = dt\)가 0이 아니기 때문에 추가항이 등장한다.
\(S_t\)가 \(dS_t = \mu S_t\,dt + \sigma S_t\,dW_t\)를 따르면, \(f(S_t,t)\)의 변화:
$$df = \left(\frac{\partial f}{\partial t} + \mu S\frac{\partial f}{\partial S} + \frac{1}{2}\sigma^2 S^2\frac{\partial^2 f}{\partial S^2}\right)dt + \sigma S\frac{\partial f}{\partial S}dW_t$$추가항 \(\frac{1}{2}\sigma^2 S^2\frac{\partial^2 f}{\partial S^2}\)이 "이토 수정항"이며, BSM 공식의 \(d_1\)과 \(d_2\) 사이의 차이(\(\sigma\sqrt{T}\))를 만들고, LIBOR in Arrears 컨벡시티 보정도 이 원리에서 유래한다. \(f = \ln S\)를 적용하면: \(dx = (\mu - \frac{1}{2}\sigma^2)dt + \sigma dW_t\).
Hull-White(1990) 모형은 단기금리 \(r_t\)가 평균회귀 성질을 갖는다고 가정한다:
$$dr_t = (\theta_t - \kappa r_t)\,dt + \sigma_t\,dW_t$$\(\theta_t\)는 시간에 따른 드리프트, \(\kappa\)는 평균회귀 속도, \(\sigma_t\)는 금리 변동성이다. \(\theta_t\)를 자유롭게 설정하면 현재의 이자율 곡선(term structure)을 완벽하게 재현할 수 있다. 이 모형에서 제로쿠폰채 가격은 해석적으로 표현된다: \(P(t,T) = A(t,T)\exp(-B(t,T)r_t)\), 여기서 \(B(t,T) = \frac{1}{\kappa}(1-e^{-\kappa(T-t)})\). Chapter 11에서 사용하는 국내 및 해외 금리 모형은 모두 Hull-White 유형으로, 채권 변동성을 해석적으로 계산할 수 있어 유효 분산 공식의 기반이 된다.
라돈-니코딤 미분 \(\frac{dQ'}{dQ}\)는 두 확률 측도 \(Q\)와 \(Q'\) 사이의 변환을 수학적으로 표현한다. 이 "밀도비"를 이용하면 한 측도에서의 기대값을 다른 측도의 기대값으로 변환할 수 있다:
$$\mathbb{E}^{Q'}[X] = \mathbb{E}^Q\!\left[\frac{dQ'}{dQ}\cdot X\right]$$기르사노프 정리는 "한 측도에서의 브라운 운동이 다른 측도에서는 드리프트 보정이 추가된 브라운 운동이 된다"는 것을 말한다: \(dW_t^{Q'} = dW_t^Q + \lambda_t\,dt\). 여기서 \(\lambda_t\)가 측도 변환의 "시장 위험 가격"이다. 이 두 도구는 Longdated FX에서 (1) 국내 위험중립 측도 \(Q^d\)에서 \(T\)-포워드 측도 \(Q^{d;T}\)로의 변환(컨벡시티 보정)과, (2) 해외 위험중립 측도 \(Q^f\)에서 국내 측도 \(Q^d\)로의 변환(콴토 보정)에 필수적으로 사용된다.
표준 이자율 평형(Covered Interest Rate Parity)은 두 통화의 무위험 금리차가 포워드 FX를 완전히 설명한다고 말한다. 그러나 현실에서 이 이론은 체계적으로 위반되며, 그 차이를 크로스커런시 베이시스라 부른다. 베이시스의 원인은 복합적이다: (1) LIBOR가 진정한 무위험 금리가 아님(은행 신용위험 포함), (2) 통화별 담보 관행 차이(USD 담보 선호), (3) 규제 자본 요건의 통화간 비대칭. 금융위기 시 달러 유동성 부족으로 EURUSD/USDJPY 베이시스가 수십 bp 수준으로 벌어졌다. Longdated FX에서 베이시스는 포워드 FX 수준을 직접 바꾸고, 이것이 모든 옵션의 ATM 스트라이크와 moneyness를 변경하는 근본 요인이다.
1. 왜 장기 FX는 근본적으로 다른가: Vega vs Rho의 대결
1.1 블랙-숄즈 FX 옵션 가격공식 (Clark 식 2.67)
논의의 출발점은 결정론적 금리를 가정한 블랙-숄즈 FX 옵션 공식이다. 이 공식은 Chapter 2의 표준 결과이며, 금리가 결정론적일 때만 엄밀하게 성립한다는 점을 염두에 두어야 한다.
\(\omega=+1\)(콜), \(\omega=-1\)(풋). \(P_d(0,T)\)는 국내 ZCB 가격, \(P_f(0,T)\)는 해외 ZCB 가격. 연속복리 상수 금리 가정 시 \(P_d=e^{-r_d T}\), \(P_f=e^{-r_f T}\). FX 공식의 특징: 국내 할인인자(\(P_d\))와 해외 할인인자(\(P_f\))가 서로 다른 항에 들어간다. 콜의 경우 스팟 항에는 해외 할인, 행사가격 항에는 국내 할인이 곱해진다.
1.2 ATMF 조건과 Vega·Rho 스케일링의 수학적 유도
ATM 포워드(ATMF) 조건은 행사가격이 포워드와 같은 경우: \(K P_d(0,T) = S_0 P_f(0,T)\). 이 조건 하에서 \(d_1 = \frac{1}{2}\sigma\sqrt{T}\), \(d_2 = -\frac{1}{2}\sigma\sqrt{T}\)가 된다.
Step 1: ATMF 콜 가격 전개
\(N(x) - N(-x) = 2N(x)-1\). 소 \(x\) 근사: \(N(x) \approx \frac{1}{2} + \frac{x}{\sqrt{2\pi}}\)이므로 \(2N(x)-1 \approx \frac{2x}{\sqrt{2\pi}}\).
$$V_0^{ATMF} = S_0 P_f(0,T)\bigl[N\bigl(\tfrac{1}{2}\sigma\sqrt{T}\bigr) - N\bigl(-\tfrac{1}{2}\sigma\sqrt{T}\bigr)\bigr] \approx S_0 P_f(0,T)\cdot\frac{\sigma\sqrt{T}}{\sqrt{2\pi}}$$Step 2: Vega
$$\text{Vega} = \frac{\partial V_0}{\partial\sigma} = S_0 P_f(0,T)\cdot\phi(d_1)\cdot\sqrt{T} \;\xrightarrow{\text{ATMF}}\; S_0 P_f(0,T)\cdot\frac{\sqrt{T}}{\sqrt{2\pi}} \;\propto\; \sqrt{T}$$ATMF에서 \(\phi(d_1)=\phi(0)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\approx 0.3989\)가 상수이므로, Vega는 오직 \(\sqrt{T}\)에 비례한다.
Step 3: 국내 Rho
상수 금리 \(r_d\)에서 \(\frac{\partial P_d}{\partial r_d} = -T\cdot P_d\). BSM 공식의 핵심 항에 이것이 전파되면:
$$\text{Rho}_d = \frac{\partial V_0}{\partial r_d} \approx -K\,P_d(0,T)\cdot T\cdot N(\omega d_2) \;\propto\; -T$$Step 4: 결론 — Rho/Vega 비율
$$\frac{|\text{Rho}|}{|\text{Vega}|} \sim \frac{T}{\sqrt{T}} = \sqrt{T}$$만기가 길수록 금리 민감도가 변동성 민감도보다 \(\sqrt{T}\)배 빠르게 증가한다. 만기 10년에서 이 비율은 \(\sqrt{10}\approx 3.16\)이다.
| 만기 \(T\) | Vega 스케일 \(\sqrt{T}\) | Rho 스케일 \(T\) | Rho/Vega | 실무적 의미 |
|---|---|---|---|---|
| 1년 | 1.00 | 1.00 | 1.00 | 두 민감도 대등 |
| 3년 | 1.73 | 3.00 | 1.73 | Rho가 73% 더 큼 |
| 5년 | 2.24 | 5.00 | 2.24 | Rho가 Vega의 2.24배 |
| 10년 | 3.16 | 10.00 | 3.16 | Rho가 지배적 |
| 30년 | 5.48 | 30.00 | 5.48 | FX vol만의 헤지는 구조적 불완전 |
10년 옵션에서 금리 50bp 이동 ≈ FX vol 158bp(\(50\times\sqrt{10}\)) 이동과 같은 PV 영향. 금리 50bp 이동은 일상적이지만, vol 1.58%p 급변은 드문 사건이다. 따라서 장기 FX 옵션에서 금리 리스크를 관리하지 않는 것은 가장 큰 리스크를 방치하는 것과 같다.
1.3 핵심 명제: 장기 FX는 FX-금리 하이브리드 파생상품이다
이 절의 핵심 명제는 Clark(2011) Chapter 11의 첫 문단에서 나온다: "만기가 충분히 길어지면 금리 민감도(Rho)가 변동성 민감도(Vega)를 압도한다. 따라서 장기 FX 옵션은 '환율 옵션'이 아니라 환율-금리 결합 파생상품(hybrid derivative)의 성격을 갖는다." 스마일만 잘 맞추면 된다는 접근법은 단기에서는 통하지만 장기에서는 구조적으로 불완전하다.
비유: 단기 FX 옵션 관리는 자동차 운전과 같다. 도로 표면(변동성, 스마일)에 주의를 기울이면 충분하다. 장기 FX 옵션 관리는 비행기 조종과 같다. 대기권 기류(금리 환경), 연료 소비(시간가치), 목적지 날씨(장기 금리 전망)까지 모두 고려해야 한다. 비행기 조종사가 도로 습관을 그대로 적용하면 재앙이 된다.
2. 누메레르 문제: 스팟은 왜 진정한 거래 가능 자산이 아닌가
2.1 거래 가능 자산의 수학적 정의
무차익 이론에서 "거래 가능 자산"이란 자기조달(self-financing) 포트폴리오에 편입 가능한 자산을 말한다. 수학적으로, 자산 \(A_t\)가 누메레르 \(N_t\)에 대해 거래 가능하려면 \(A_t/N_t\)가 대응 마팅게일 측도하에서 마팅게일이어야 한다.
FX 스팟 환율 \(S_t\)(USDJPY: 1달러의 엔화 가치)는 그 자체로 거래 가능한 자산인가? 엄밀히 말하면 아니다. 달러를 엔화로 환전하면 엔화를 어딘가에 투자해야 한다. 일본 머니마켓에 넣으면 JPY 단기금리를 얻는다. 달러를 팔고 엔화를 받아 JPY 머니마켓에 넣는 전략의 수익은 환율 변화뿐만 아니라 JPY 금리에도 의존한다.
이 \(\tilde{S}_t\)는 "해외 머니마켓 계정(1단위의 해외통화를 해외에서 연속 재투자)의 국내통화 가치"다. 이것이 진정으로 거래 가능한 자산이다. 결정론적 금리하에서 \(B^f_t = e^{r_f t}\)가 상수처럼 취급되어, \(\tilde{S}_t\)와 \(S_t\) 사이가 상수배 관계가 되므로 \(S_t\) 자체를 거래 가능처럼 다루어도 무방하다. 그러나 확률적 금리에서 \(B^f_t\)는 확률변수이므로, \(\tilde{S}_t = S_t \cdot B^f_t\)에서 \(S_t\)를 분리하면 누락되는 확률 정보가 생긴다.
2.2 지구 평면 가정의 비유
"스팟 환율을 거래 가능한 자산처럼 가정하는 것은, 런던-도쿄 비행 경로를 계산할 때 지구가 평평하다고 가정하는 것과 같다. 단거리에서는 큰 문제가 없지만, 장거리에서는 근본적으로 틀린 결과를 낳는다." — Clark(2011), Chapter 11 도입부
서울-부산(단거리 FX)은 평면 지도로도 충분하다. 서울-뉴욕(장기 FX)은 구면 기하학(확률적 금리 이론)을 써야 한다. 실제로 서울-뉴욕 직항 항로는 북극 방향을 크게 우회하는데, 이것은 구면에서의 최단 경로(대권항로)가 평면 지도에서는 곡선으로 보이기 때문이다. Longdated FX 가격도, 올바른 측도 이론을 적용하면 단순 BSM과 비교하여 수정이 필요하다.
더 구체적으로: 확률적 금리에서 \(S_t\)의 드리프트 자체가 확률변수 \(r^d_t - r^f_t\)가 되어 단순한 SDE로 표현하기 어렵다. 또한 해외 통화 페이오프를 평가할 때 해외 측도 \(Q^f\)에서 국내 측도 \(Q^d\)로의 라돈-니코딤 미분이 확률적 금리를 포함하는 복잡한 확률변수가 된다. 이를 무시하면 콴토 효과를 놓친다.
3. FX 포워드의 무차익 유도와 누메레르·측도 체계
3.1 포워드 FX 무차익 유도 (결정론적 금리)
전략 A (국내 투자): 오늘 1원을 국내 ZCB \(P_d(0,T)\)에 투자 → 만기 \(T\)에 \(1/P_d(0,T)\)원.
전략 B (해외 투자 + 포워드 헤지):
(1) 오늘 1원을 스팟 \(S_0\)에 해외통화 \(1/S_0\)로 환전
(2) 해외 ZCB \(P_f(0,T)\)에 투자 → 만기에 \(\frac{1}{S_0 P_f(0,T)}\) 해외통화
(3) 포워드 \(F(0,T)\)로 사전 환전 약정 → 만기에 \(\frac{F(0,T)}{S_0 P_f(0,T)}\)원
무차익 조건: 두 전략 동치
$$\frac{1}{P_d(0,T)} = \frac{F(0,T)}{S_0\,P_f(0,T)} \implies \boxed{F(0,T) = S_0\cdot\frac{P_f(0,T)}{P_d(0,T)}}$$연속복리 상수 금리: \(F(0,T) = S_0\,e^{(r_d-r_f)T}\). USD 금리가 JPY보다 높으면 \(r_d > r_f\)가 아니다 — USDJPY에서 국내가 JPY이면 \(r_d = r_{JPY}\), \(r_f = r_{USD}\). USD 금리가 높으면 \(P_f < P_d\)이므로 \(F < S_0\): USDJPY 포워드 디스카운트(달러 선도 약세).
3.2 대표 누메레르와 측도 체계
| 누메레르 \(N_t\) | 측도 | 핵심 마팅게일 | 주요 용도 |
|---|---|---|---|
| 국내 머니마켓 \(B^d_t = e^{\int_0^t r^d_s ds}\) | 국내 위험중립 \(Q^d\) | \(S_t/B^d_t\) (할인 스팟) | 단기 BSM, 기준 측도, 3요인 SDE 표준 |
| 국내 T-채권 \(P_d(t,T)\) | T-포워드 \(Q^{d;T}\) | 포워드 LIBOR \(L^d_{T_i,T_{i+1}}(t)\) | 장기 금리옵션, In Arrears 컨벡시티 보정 |
| 해외 계정 국내표시 \(S_t B^f_t\) | 해외 위험중립 \(Q^f\) | \(1/S_t\) (역환율) | 콴토 보정 유도, 해외 페이오프 분석 |
| 스왑 아뉴이티 \(A_t\) | 스왑 측도 \(Q^{sw}\) | 스왑 레이트 \(S_{sw}(t)\) | 스왑션, PRDC 스왑 레그 |
3.3 포워드 LIBOR의 무차익 정의 (Clark 식 11.6~11.7)
구간 \([T_i, T_{i+1}]\)의 포워드 LIBOR는 다음 두 전략의 동치에서 정의된다: (전략 1) 1원을 \(T_i\) ZCB에 투자해 만기에 받고, LIBOR로 재투자. (전략 2) 직접 \(T_{i+1}\) ZCB에 투자. 이 동치 조건:
$$\frac{1+\alpha_i L^d_{T_i,T_{i+1}}(t)}{P_d(t,T_i)} = \frac{1}{P_d(t,T_{i+1})}$$ $$\boxed{L^d_{T_i,T_{i+1}}(t) = \frac{1}{\alpha_i}\cdot\frac{P_d(t,T_i)-P_d(t,T_{i+1})}{P_d(t,T_{i+1})}}$$이 포워드 LIBOR를 \(T_{i+1}\)-포워드 측도의 누메레르 \(P_d(t,T_{i+1})\)로 나누면, \(\alpha_i L^d_{T_i,T_{i+1}}(t)\cdot P_d(t,T_{i+1})/P_d(t,T_{i+1}) = \alpha_i L^d_{T_i,T_{i+1}}(t)\)이다. 이 양이 \(t=T_i\)에서 \(\alpha_i L(T_i)\)로 확정되므로, \(Q^{d;T_{i+1}}\)하에서 마팅게일이다. 따라서 \(\mathbb{E}^{Q^{d;T_{i+1}}}[L(T_i)] = L(0)\)이 성립한다.
4. 통화스왑과 크로스커런시 베이시스: 2-커브 접근
4.1 통화스왑의 구조와 Longdated FX와의 연결
통화스왑(cross-currency swap)은 두 통화로 표시된 현금흐름을 교환하는 계약이다. 기본 구조: (1) 거래 시작 시 원금 교환, (2) 만기까지 정기 이자 교환, (3) 만기 시 원금 재교환. 통화스왑이 Longdated FX의 가장 기본적인 도구인 이유는, FX 포워드가 사실상 통화스왑 시장에서 결정되기 때문이다. 장기 FX 옵션의 기준점인 포워드 FX가 베이시스에 의해 결정되므로, 베이시스를 이해하는 것이 장기 옵션 가격의 출발점이 된다.
4.2 베이시스 발생의 구조적 원인 — 심층 분석
이론적으로 달러-엔 통화스왑에서 달러 레그는 달러 LIBOR, 엔화 레그는 엔화 LIBOR를 교환하면 공정하다. 그런데 시장은 달러를 빌리는 쪽에 추가 스프레드를 요구한다. 이것이 크로스커런시 베이시스다. 글로벌 금융위기 시 달러 유동성이 극도로 부족해지자, 달러가 필요한 비미국 은행들은 추가 프리미엄 없이 달러를 조달할 수 없었다. 이 수급 불균형이 EURUSD와 USDJPY 크로스커런시 베이시스를 -수십bp 수준으로 밀어 넣었다.
| 통화쌍 | 5Y 베이시스 | 경제적 해석 |
|---|---|---|
| ISK/USD | -35 bp | 아이슬란드 은행위기 선행 신호. 1년 전부터 이미 시장이 위기를 가격에 반영. |
| GBP/USD | -2.25 bp | 영국 은행권 신용 우려 반영. |
| EUR/USD | -1.25 bp | 유로존 은행의 달러 조달 비용 상승. |
| AUD/USD | +7.25 bp | AUD 은행어음이 실물 담보 기반으로 LIBOR보다 신용위험 낮음. |
| NZD/USD | +5.25 bp | AUD와 유사한 구조적 이유. |
주목 사항: ISK/USD 베이시스가 Lehman 파산 1년 전에 이미 -35bp였다. 크로스커런시 베이시스는 시스템 리스크의 선행 지표로 기능한다.
4.3 2-커브 접근의 원칙과 FX 옵션에 대한 영향
2-커브 접근의 핵심은 "할인 커브(discounting curve)"와 "포워딩 커브(forwarding curve)"를 분리하는 것이다. 할인 커브는 OIS 레이트 기반으로 현금흐름의 PV 계산에 사용하고, 포워딩 커브는 3M LIBOR 등 레퍼런스 금리 기반으로 변동금리 예측에 사용한다.
베이시스 \(b\)(연율)를 반영한 해외 ZCB 조정: \(P_f^{\text{adj}}(0,T) = e^{-(r_f - b)T}\)
$$F^{\text{adj}}(0,T) = S_0\cdot\frac{P_f^{\text{adj}}(0,T)}{P_d(0,T)}$$달러-엔에서 \(b < 0\)(달러 빌리기 비쌈): \(P_f^{\text{adj}} > P_f^{\text{no-basis}}\) → \(F^{\text{adj}} > F^{\text{no-basis}}\). 즉 베이시스 고려 시 달러 포워드가 더 높아진다(달러 강세 방향 보정). 이 차이가 모든 OTM 옵션의 delta와 moneyness를 바꾼다. 베이시스는 "스왑만의 문제"가 아니라 모든 장기 FX 옵션의 기준점을 이동시키는 근본 요인이다.
5. LIBOR in Arrears: 컨벡시티 보정의 완전 유도 (Clark 식 11.11)
5.1 두 구조의 결정적 차이: 측도 불일치의 기원
표준 쿠폰과 In Arrears 쿠폰의 차이는 지급 시점뿐이다. 표준: \([T_i, T_{i+1}]\) LIBOR를 \(T_i\)에 고정, \(T_{i+1}\)에 지급. In Arrears: 동일하게 \(T_i\)에 고정, \(T_i\)에 즉시 지급. 이 "한 구간의 차이"가 수학적으로 중요한 이유는, 포워드 LIBOR가 마팅게일이 되는 측도가 \(T_{i+1}\)-포워드 측도이기 때문이다. 표준 지급은 \(T_{i+1}\)-포워드 측도에서 기대값을 취하므로 마팅게일 성질을 직접 쓸 수 있다. In Arrears는 \(T_i\)-포워드 측도에서 기대값을 취해야 하는데, 이 측도에서 LIBOR는 마팅게일이 아니다. 이 측도 불일치가 컨벡시티 보정의 원천이다.
In Arrears에서 LIBOR가 높게 실현되는 시나리오를 생각하자. LIBOR가 높다는 것은 일반적으로 경기 과열이나 신용 긴축을 의미하며, 이 상황에서 채권 가격은 낮다(할인율이 높다). 표준 지급에서는 높은 LIBOR를 받지만 \(T_{i+1}\)까지 할인을 많이 해야 한다. In Arrears에서는 높은 LIBOR를 \(T_i\)에, 즉 "할인이 덜 된 시점에" 일찍 받는다. 이 비선형 상호작용(높은 LIBOR + 적은 할인의 조합)이 단순 기대값보다 높은 가치를 만든다. 수학적으로 이것은 젠센 부등식: LIBOR와 할인인자의 음의 상관이 기대값을 높이는 방향으로 작용한다.
5.2 표준 쿠폰 PV: 마팅게일 성질의 직접 활용
Step 1: \(V^{LIB} = \mathbb{E}^{Q^d}[D^d_{T_{i+1}} \cdot \alpha_i L(T_i)]\)
Step 2: \(T_{i+1}\)-포워드 측도로 변환
$$V^{LIB} = P_d(0,T_{i+1})\cdot\mathbb{E}^{Q^{d;T_{i+1}}}[\alpha_i L(T_i)]$$Step 3: 마팅게일 성질 적용
$$\mathbb{E}^{Q^{d;T_{i+1}}}[L(T_i)] = L(0) \implies \boxed{V^{LIB} = \alpha_i\cdot P_d(0,T_{i+1})\cdot L(0)}$$수치 적분 불필요. 오늘의 포워드 LIBOR와 할인인자만으로 정확한 PV 결정.
5.3 LIBOR in Arrears PV: 완전 유도
Step 1: 시작점 — 잘못된 측도에서 출발
$$V^{LIA} = P_d(0,T_i)\cdot\mathbb{E}^{Q^{d;T_i}}[\alpha_i L(T_i)]$$기대값이 \(T_i\)-포워드 측도에서 필요하지만, LIBOR는 \(T_{i+1}\)-포워드 측도에서 마팅게일이다. 측도 변환이 필요하다.
Step 2: 라돈-니코딤 미분 구성
$$\frac{dQ^{d;T_i}}{dQ^{d;T_{i+1}}}\bigg|_{\mathcal{F}_{T_i}} = \frac{P_d(T_i,T_i)/P_d(0,T_i)}{P_d(T_i,T_{i+1})/P_d(0,T_{i+1})} = \frac{P_d(0,T_{i+1})}{P_d(0,T_i)}\cdot(1+\alpha_i L(T_i))$$\(P_d(T_i,T_i)=1\)과 포워드 LIBOR 정의(\(P_d(T_i,T_{i+1})=\frac{1}{1+\alpha_i L(T_i)}\))를 사용했다.
Step 3: 측도 변환 적용
$$\mathbb{E}^{Q^{d;T_i}}[L(T_i)] = \mathbb{E}^{Q^{d;T_{i+1}}}\!\left[\frac{P_d(0,T_{i+1})}{P_d(0,T_i)}(1+\alpha_i L(T_i))\cdot L(T_i)\right]$$ $$= \frac{P_d(0,T_{i+1})}{P_d(0,T_i)}\,\mathbb{E}^{Q^{d;T_{i+1}}}\!\left[L(T_i)+\alpha_i L(T_i)^2\right]$$Step 4: PV에 대입하고 정리
$$V^{LIA} = P_d(0,T_{i+1})\cdot\alpha_i\!\left[L(0) + \alpha_i\,\mathbb{E}^{Q^{d;T_{i+1}}}[L(T_i)^2]\right]$$Step 5: 로그노멀 가정하에서 \(\mathbb{E}[L^2]\)
\(L(t) = L(0)\exp(\sigma W_t - \frac{1}{2}\sigma^2 t)\)이면, \(L(T_i)^2 = L(0)^2 e^{2\sigma W_{T_i} - \sigma^2 T_i}\). \(\mathbb{E}[e^{2\sigma W_{T_i}}] = e^{2\sigma^2 T_i}\)이므로:
$$\mathbb{E}^{Q^{d;T_{i+1}}}[L(T_i)^2] = L(0)^2\,e^{\sigma^2 T_i}$$Step 6: 최종 결과 (Clark 식 11.11)
$$\boxed{V^{LIA} = \alpha_i\,P_d(0,T_i)\cdot\tilde{L}, \qquad \tilde{L} = L(0)\cdot\frac{1+\alpha_i L(0)e^{\sigma^2 T_i}}{1+\alpha_i L(0)}}$$컨벡시티 보정: \(\tilde{L} > L(0)\) 항상 성립. 보정 크기(소 \(\sigma^2 T_i\) 근사): \(\approx \frac{\alpha_i L(0)^2\sigma^2 T_i}{1+\alpha_i L(0)}\). 분산(\(\sigma^2\)), 만기(\(T_i\)), LIBOR 수준(\(L(0)\)) 모두 클수록 보정이 증가한다.
| 만기 \(T_i\) | \(e^{\sigma^2 T_i}\) (\(\sigma=50\%\)) | 보정 근사(bp) \(L=4\%,\alpha=0.25\) | 실무 중요성 |
|---|---|---|---|
| 1년 | 1.28 | ~1.1 bp | 대부분 무시 가능 |
| 3년 | 2.12 | ~4.4 bp | 가격 정확도에 영향 |
| 5년 | 3.49 | ~9.7 bp | 무시 어려움 |
| 10년 | 12.18 | ~43 bp | 반드시 반영 |
| 20년 | 148.4 | >400 bp | 모형 재검토 필요 |
6. 대표 장기 구조화 상품: PRDC와 FX-TARN
6.1 PRDC의 탄생 배경: 일본 저금리 환경
Power Reverse Dual Currency Note(PRDC)는 2000년대 초반 일본에서 폭발적으로 성장한 구조화 채권이다. 당시 일본은 "잃어버린 10년"으로 제로 금리(ZIRP)를 유지했다. JPY 예금이자는 거의 0이었지만 USD 예금은 3~5%를 제공했다. 일본 소매 투자자들은 더 높은 수익을 원했고, PRDC는 "USD 금리 수준의 쿠폰을 엔화로 지급하되, 환율 움직임에 연동"하는 구조로 이 욕구를 충족했다.
이자율 평형 이론에 따르면, USD 금리가 JPY보다 4~5% 높은 상황에서 USDJPY 30년 포워드는 스팟(예: 120)보다 훨씬 낮은 수준(예: 50~60)에 형성되었다. PRDC 투자자는 이 포워드 편향에 역베팅하는 것이다: "실제로는 엔화가 포워드가 시사하는 것만큼 강해지지 않을 것이다."
6.2 PRDC 쿠폰의 수학적 분해 (Clark 식 11.12~11.14)
파라미터: \(N^d\)=엔화 원금, \(S_{T_i}\)=만기의 USDJPY, \(S_0\)=기준 환율, \(C^f\)=달러 쿠폰율, \(C^d\)=최저 엔화 이자율, \(\alpha_i\)=이자 기간.
Step 1: 재배열
$$V_{T_i} = \alpha_i N^d\cdot\frac{C^f}{S_0}\cdot\max\!\left[S_{T_i} - \frac{S_0 C^d}{C^f},\;0\right] = \frac{\alpha_i N^d C^f}{S_0}\cdot(S_{T_i}-K)^+$$ $$\boxed{K = S_0\cdot\frac{C^d}{C^f}, \qquad \text{명목(USD)} = \frac{\alpha_i N^d C^f}{S_0}}$$핵심 통찰
30년 PRDC는 수학적으로 60개의 유럽형 FX 콜옵션 스트립(반기마다 1개)이다. 겉으로는 "고수익 채권"이지만 실체는 OTM 옵션들의 포트폴리오다. 각 옵션을 정확히 가격결정하는 것이 PRDC 평가의 핵심이다.
이 구조는 콜 스프레드(bull call spread) + 최소 쿠폰(플로어)의 결합이다.
2000년대 중반 일본 시장에서 PRDC/TARN이 연간 수십조 엔 규모로 발행되었다. 발행 은행은 OTM USDJPY 풋을 매도한 포지션에 있게 되므로 헤지를 위해 시장에서 OTM USDJPY 풋을 매수해야 했다. 이 일방적 매수 수요가 USDJPY OTM 풋 프리미엄을 높여 가파른 음의 스큐(OTM 풋 프리미엄 과대)를 형성했다. 구조화 상품의 헤지 수요가 기초 파생상품 시장의 가격 구조 자체를 왜곡한 대표적 사례다. AUDJPY에서도 유사한 패턴이 관찰되었다.
6.3 FX-TARN: 누적 목표 종료의 복잡성 (Clark 식 11.15)
TARN(Target Accrual Redemption Note)은 쿠폰 누적이 목표치 \(Q\)에 도달하면 자동 종료되는 구조다. 종료 시점이 확률변수라는 것이 경로 의존성을 만들고, 모든 가격결정과 헤지를 복잡하게 한다.
구조화 쿠폰(캡 포함): \(C_i = \min[C^d(S_{T_i}-K)^+,\; C^{\max}]\)
지급(투자자 수취): \(P_i = \alpha_i N^d C_i\)
수취(투자자 지급): \(R_i = \alpha^d_{T_i} N^d(L^d_{T_i,T_{i+1}}+x)\)
종료 조건: \(\tau = \min\{T_i : \sum_{j=1}^i C_j \geq Q\}\), 이후 원금 반환.
방식 A(전액 지급): 마지막 구간에서 목표를 초과해도 그 구간 쿠폰 전액 지급. Clark(2011)은 이것이 더 일반적이라고 명시하지만, 보조 상태변수 "cap at Q" 처리가 맞지 않아 별도 로직이 필요하다. 방식 B(목표 맞춤): 마지막 쿠폰을 정확히 목표를 채우는 만큼만 지급. 잘못된 처리는 수십~수백bp의 가격 오차를 만들 수 있다. 약관을 반드시 확인해야 한다.
7. 3요인 모형: 완전한 SDE 체계와 콴토 보정
7.1 3요인 SDE 체계 (Clark 식 11.16~11.19)
단순 BSM(1요인: FX만 확률적)과 2요인(FX + 국내금리) 모형의 한계를 넘어, 두 통화의 금리를 모두 확률적으로 모형화하는 것이 3요인 모형이다: 환율 + 국내금리 + 해외금리.
브라운 운동 간 상관 (Clark 식 11.19):
$$\langle dW^{(1;d)},\,dW^{(2;d)}\rangle = \rho_{fx,d}\,dt, \quad \langle dW^{(1;d)},\,dW^{(3;d)}\rangle = \rho_{fx,f}\,dt, \quad \langle dW^{(2;d)},\,dW^{(3;d)}\rangle = \rho_{d,f}\,dt$$7.2 콴토 보정의 완전 유도 (Girsanov 정리 적용)
해외 금리 SDE에 등장하는 추가 항 \(-\rho_{fx,f}\sigma^f_t\sigma^{fx}\)이 콴토 보정이다. 이것은 "해외 금리를 국내 측도에서 모형화할 때 반드시 추가해야 하는 드리프트 수정"으로, 기르사노프 정리의 직접적인 결과다.
Step 1: 해외 측도 \(Q^f\)에서의 해외 금리 SDE
$$dr^f_t = (\theta^f_t - \kappa^f r^f_t)\,dt + \sigma^f_t\,dW^{(3;f)}_t \quad (\text{표준 Hull-White})$$Step 2: \(Q^f \to Q^d\) 기르사노프 변환
\(Q^f\)의 누메레르 \(\tilde{S}_t = S_t B^f_t\), \(Q^d\)의 누메레르 \(B^d_t\). 라돈-니코딤 미분의 SDE를 이토 보조정리로 계산하면 기르사노프 핵이 \(-\sigma^{fx}\)임을 알 수 있다. 따라서:
$$dW^{(1;f)}_t = dW^{(1;d)}_t + \sigma^{fx}(S_t,t)\,dt$$Step 3: 해외 브라운 운동의 변환
\(dW^{(3;f)}_t\)는 \(dW^{(1;f)}_t\)와 상관 \(\rho_{fx,f}\)를 가지므로:
$$dW^{(3;f)}_t = dW^{(3;d)}_t + \rho_{fx,f}\,\sigma^{fx}(S_t,t)\,dt$$Step 4: 대입하여 국내 측도에서의 해외 금리 SDE 도출
$$dr^f_t = \bigl(\theta^f_t - \kappa^f r^f_t - \underbrace{\rho_{fx,f}\,\sigma^f_t\,\sigma^{fx}(S_t,t)}_{\text{콴토 보정}}\bigr)\,dt + \sigma^f_t\,dW^{(3;d)}_t$$USDJPY에서 \(\rho_{fx,f} > 0\): 달러 강세(USDJPY 상승)와 USD 금리 상승이 함께 발생하는 경향. 국내(JPY) 투자자 관점에서 USD 금리 노출의 가치가 "이중으로" 증가한다(금리도 높고 달러도 강세). 무차익 조건은 모든 자산의 기대수익이 \(r^d_t\)이어야 함을 요구하므로, 이 초과 기대수익을 제거하기 위해 드리프트를 \(-\rho_{fx,f}\sigma^f_t\sigma^{fx}\)만큼 낮춘다. 이것이 콴토 보정 항의 음의 부호 이유다.
7.3 편의 좌표계와 3요인 PDE (Clark 식 11.22~11.23)
수치 안정성을 위해 오프셋 변수 \(y_t = r^d_t - \varphi^d_t\), \(z_t = r^f_t - \varphi^f_t\)를 도입한다. 이 변수들은 0으로 평균회귀하며, 로그스팟 \(x_t = \ln S_t\)와 함께 새로운 상태변수 체계 \((x,y,z)\)를 형성한다.
3요인 PDE (Clark 식 11.23): 상태변수 \((x,y,z)\)의 3차원 PDE. 5개의 2차 편미분 항(자기 분산 3개 + 교차 3개)과 할인항 \(-(y+\varphi^d_t)V\). ADI 분리 기법(Craig-Sneyd)으로 수치 풀이. 격자 점수 \(O(N^3)\), ADI 덕분에 각 단계는 삼대각 시스템만 풀면 됨.
8. 유효 변동성: 3요인 세계에서의 FX 바닐라 가격결정
8.1 채권 변동성의 동학 (Clark 식 11.29)
Hull-White 모형에서 ZCB \(P_d(t,T) = A_d(t,T)\exp(-B_d(t,T)r^d_t)\)이고, \(B_d(t,T) = \frac{1}{\kappa^d}(1-e^{-\kappa^d(T-t)})\). 이토 보조정리 적용:
핵심 성질: (1) 부호 — 금리 상승 → 채권 가격 하락 → 음의 변동성. (2) Pull-to-Par — \(t\to T\)이면 \(\tilde\sigma^{d;T}_t \to 0\). 만기 도달 시 채권 가격이 1로 확정되므로 변동성 소멸. (3) 포화(Saturation) — 만기가 매우 먼 경우 \(\tilde\sigma^{d;T}_t \approx \sigma^d_t/\kappa^d\)로 상한.
해외 ZCB SDE (국내 측도에서, 콴토 보정 포함):
$$\frac{dP_f(t,T)}{P_f(t,T)} = \bigl(r^f_t+\rho_{fx,f}\tilde\sigma^{f;T}_t\sigma^{fx}\bigr)\,dt - \tilde\sigma^{f;T}_t\,dW^{(3;d)}_t$$8.2 3요인 유효 분산과 FX 바닐라 가격 (Clark 식 11.30~11.32)
\(T\)-포워드 측도에서 포워드 FX \(F(t,T) = S_t P_f(t,T)/P_d(t,T)\)의 SDE에 이토 보조정리를 적용하면 포워드 FX의 변동성이 세 가지 브라운 운동 모두에서 기여를 받는다: \(d\ln F\)의 확산부 = \(\sigma^{fx}\,dW^{(1;d)}_t + \tilde\sigma^{d;T}_t\,dW^{(2;d)}_t - \tilde\sigma^{f;T}_t\,dW^{(3;d)}_t\).
부호 체계 주의: 국내 채권 변동성이 \(-\tilde\sigma^{d;T}_t\)이고 해외 채권 변동성이 \(-\tilde\sigma^{f;T}_t\)이므로, 이차변분에서 교차항의 부호가 달리 나타난다. 상관 \(\rho_{fx,d}\) 항에 음의 부호, \(\rho_{fx,f}\) 항에 양의 부호, \(\rho_{d,f}\) 항에 음의 부호.
공식의 형태는 BSM과 동일하지만, 변동성 자리에 단순 \(\sigma^{fx}\) 대신 3요인 유효 분산의 적분이 사용된다. 이것이 "1요인 BSM에 확률적 금리를 추가"하는 핵심 결과다.
| 항 | 부호 | USDJPY에서 해석 | 장기 중요성 |
|---|---|---|---|
| \([\sigma^{fx}]^2\) | 항상 양(+) | 순수 FX 스팟 변동성 | 기본 기여 |
| \([\tilde\sigma^{d;T}]^2\) | 항상 양(+) | JPY 금리 불확실성 | 장기에서 매우 큼 |
| \([\tilde\sigma^{f;T}]^2\) | 항상 양(+) | USD 금리 불확실성 | 장기에서 매우 큼 |
| \(-2\rho_{fx,d}\sigma^{fx}\tilde\sigma^{d;T}\) | \(\rho_{fx,d}\) 부호 | \(\rho_{fx,d}<0\)이면 양의 기여 | 상관 부호 결정적 |
| \(+2\rho_{fx,f}\sigma^{fx}\tilde\sigma^{f;T}\) | \(\rho_{fx,f}\) 부호 | \(\rho_{fx,f}>0\)이면 양의 기여 | 콴토 보정과 직결 |
| \(-2\rho_{d,f}\tilde\sigma^{d;T}\tilde\sigma^{f;T}\) | \(\rho_{d,f}\) 부호 | \(\rho_{d,f}>0\)이면 음의 기여 | 장기에서 두 금리 항 커져 중요 |
9. 캘리브레이션: 3단계 순차 절차
9.1 캘리브레이션의 전체 논리 흐름
3요인 모형의 파라미터는 직접 관찰 불가능하다. 시장에서 관찰 가능한 것은 ZCB 가격(이자율 곡선), 스왑션 가격(금리 옵션), FX 바닐라 내재변동성이다. 이 세 가지 시장 관찰치로부터 모형 파라미터를 역산하는 순차 절차가 Clark의 3단계 캘리브레이션이다. 각 단계가 서로 다른 파라미터를 결정하며, 선행 단계의 결과가 후속 단계의 입력이 된다.
9.2 1단계: ZCB 곡선 정합 — 드리프트 결정 (Clark 식 11.24~11.25)
조건: 모형 ZCB = 시장 ZCB: \(P_d^{\text{model}}(0,T) = P_d^{\text{market}}(0,T)\) for all \(T\).
가우시안 과정에서 ZCB의 해석적 표현:
$$P_d^{\text{model}}(0,T) = \exp\!\left(-\int_0^T\varphi^d_t\,dt + \frac{1}{2}\int_0^T[\tilde\sigma^{d;T}_t]^2\,dt\right)$$시장 ZCB와 등치 후 적분 방정식:
$$\int_0^T\varphi^d_t\,dt = -\ln P_d^{\text{market}}(0,T) + \frac{1}{2}\int_0^T\!\left[\frac{\sigma^d_u}{\kappa^d}(1-e^{-\kappa^d(T-u)})\right]^2\!du$$T로 미분하여 \(\varphi^d_t\) 결정 (Clark 식 11.25):
$$\varphi^d_t = f^d_{\text{mkt}}(0,t) + \text{(변동성 보정항)}$$여기서 \(f^d_{\text{mkt}}(0,t) = -\partial_t\ln P_d^{\text{mkt}}(0,t)\)는 시장 인스턴터니어스 포워드 레이트. 해외 드리프트 \(\varphi^f_t\)도 동일하게 결정.
9.3 2단계: 스왑션 캘리브레이션 — 금리 변동성 결정 (Clark Section 11.7.2)
ZCB 가격만으로는 금리 변동성을 알 수 없다. 금리 변동성은 볼록 구조를 갖는 상품, 즉 금리 옵션(스왑션)에서 드러난다. Hull-White 모형에서 스왑 레이트의 유효 변동성을 드리프트 동결 근사(drift freeze approximation)로 계산하고, 이를 블랙 스왑션 공식에 입력하여 모형 가격을 구한 후 시장 가격과 비교하여 \(\sigma^d_t\)를 순차 결정한다.
구체적으로 분자의 채권가격 조합: \(-P(0,T_0)(1-e^{-\kappa^d(T_0-t)}) + P(0,T_N)(1-e^{-\kappa^d(T_N-t)}) + S_{sw}(0)\sum_i\alpha^d_i P(0,T_i)(1-e^{-\kappa^d(T_i-t)})\). 이 유효 변동성을 코터미널 스왑션들에 대해 순차 부트스트랩하면 구간별 \(\sigma^d_t\)가 결정된다.
9.4 3단계: FX 변동성 부트스트랩 (Clark Section 11.8)
모형-시장 관계: \([\sigma_{imp}(T)]^2\cdot T = \int_0^T[\sigma_{3f}(s)]^2\,ds\)
순차 부트스트랩: 구간 \([T_{j-1},T_j]\)에서 \(\sigma^{fx}\) 상수 가정
$$[\sigma_{imp}(T_j)]^2 T_j - [\sigma_{imp}(T_{j-1})]^2 T_{j-1} = \int_{T_{j-1}}^{T_j}[\sigma_{3f}(s)]^2\,ds$$오른쪽을 전개하면 \(\sigma^{fx}\)에 관한 이차방정식. 이미 결정된 \(\tilde\sigma^{d;T_j}, \tilde\sigma^{f;T_j}\)와 상관 \(\rho\)를 대입하여 \(\sigma^{fx}\)를 결정.
3요인 유효 분산의 교차항들이 상관에 선형으로 의존하므로, 상관이 조금 변해도 캘리브레이션된 \(\sigma^{fx}(t)\)가 크게 달라진다. 예: \(\rho_{fx,d}\)가 -15%p 변하면 유효 분산에 수십 bp 오차. 이것이 상관 스트레스 테스트(\(\pm 10\%p\))가 장기 FX 데스크의 필수 모델리스크 관리 항목인 이유다. 상관 추정 불확실성의 PV·헤지 영향을 정기적으로 리포트해야 한다.
10. 스큐 확장: CEV 로컬볼과 확장 Dupire
10.1 왜 스큐 확장이 필요한가
3단계 캘리브레이션은 ATM 내재변동성 곡선은 정합하지만 OTM 스큐 구조는 재현하지 못한다. PRDC/TARN의 헤지 수요가 만든 USDJPY 음의 스큐를 모형이 재현하지 못하면, OTM 옵션의 상대 가격이 잘못 계산된다. 두 가지 접근이 있다.
10.2 CEV 로컬볼 (Clark 식 11.33, Piterbarg 2005)
\(\beta(t) \in (0,1]\): \(\beta=1\) → 로그노멀(BSM). \(\beta < 1\) → 음의 스큐(스팟 하락 시 변동성 상승). Piterbarg(2005)가 제안: 시장 스큐를 만기별 \(\beta(t)\)로 부트스트랩하여 스큐의 만기 구조를 반영. 3요인 PDE와 자연스럽게 결합: 변동성 계수 하나만 바꾸면 됨. CEV가 로컬볼 중 가장 단순하며 실무에서 많이 사용된다.
10.3 확장 Dupire 공식 (Clark 식 11.34~11.37)
결정론적 금리에서 Dupire 공식은 콜 가격의 \(K,T\) 미분으로 로컬볼을 직접 추출한다. 확률적 금리에서 할인인자가 페이오프와 함께 기대값 안에 있어 단순 분리가 불가능하다. Clark(2011)은 다음 확장 공식을 도출한다:
여기서 \(C(K,T)=\mathbb{E}^{Q^d}[D^d_T(S_T-K)^+]\). 결정론적 금리 극한: 추가 기대값 항들이 결정론적 수렴 → 표준 Dupire(Clark 식 5.28)로 환원. 수치 구현: 분자의 기대값 항들을 포커-플랑크 방정식 전진 적분으로 계산. 수치 불안정성으로 CEV보다 구현 난이도가 높다.
11. 수치 기법과 실무 체크리스트
11.1 PDE vs Monte Carlo — 선택 기준
3요인 PDE는 상태변수 \((x,y,z)\)에서 정의되는 3차원 편미분방정식이다. 격자 점수 \(O(N^3)\), ADI 분리 기법(Craig-Sneyd)으로 실용적 계산. 장점: 유럽형과 단순 배리어에서 높은 정확도, 그릭 계산 효율. 단점: 경로 의존 구조 처리 어려움, 4요인 이상에서 차원의 저주. Monte Carlo(MC)는 TARN처럼 경로 의존적 구조에 자연스럽다. 버뮤단 조기 행사가 있으면 LSMC(Least Squares Monte Carlo)로 continuation value를 회귀 근사한다. 장기에서는 분산이 커지므로 antithetic variates, control variates 등 분산 감소 기법이 중요하다.
| 상품 특성 | 권장 기법 | 이유 |
|---|---|---|
| 유럽형 바닐라 | 유효 분산 공식(해석적) | 준해석적, 빠른 그릭 |
| 표준 PRDC | 3요인 PDE | 정확도 높고 그릭 효율적 |
| Callable PRDC | PDE 또는 LSMC | 버뮤단 행사 처리 필요 |
| FX-TARN | Monte Carlo | 누적 목표라는 경로 의존 상태변수 |
| Chooser PRDC(5요인+) | MC 필수 | PDE 실용적 불가 |
11.2 실무 핵심 체크리스트
| 항목 | 핵심 확인 내용 | 초심자 실수 패턴 |
|---|---|---|
| 할인/포워딩 커브 구분 | OIS 할인 커브와 LIBOR 포워딩 커브 분리 | 단일 커브로 전부 처리 |
| 크로스커런시 베이시스 | 베이시스가 포워드·옵션 moneyness 직접 변경 | "스왑만의 문제"로 오해 |
| 금리볼 \(\sigma^d,\sigma^f\) | 유효 분산 공식에 직접 진입, 스왑션 캘리브 | 금리볼 0으로 고정 |
| 3개 상관 + 스트레스 | \(\rho_{fx,d},\rho_{fx,f},\rho_{d,f}\) 설정 후 ±10%p 테스트 | 상관을 사소한 파라미터로 취급 |
| 콴토 보정 | 해외 금리 드리프트에 \(-\rho_{fx,f}\sigma^f\sigma^{fx}\) 포함 | 콴토 보정항 누락 |
| TARN 마지막 쿠폰 | 전액 vs 목표 맞춤: 약관 확인 필수 | 표준 "cap at Q"로 단순화 |
| Day-count 관행 | 통화별 \(\alpha^d_i \neq \alpha^f_i\) 구분 | 동일 관행 일괄 적용 |
| 모델리스크 정량화 | 파라미터 불확실성의 PV·헤지 영향 리포트 | 캘리브 결과를 확정값으로 신뢰 |
12. 연습문제 상세 해설
문제 1: 포워드 FX와 베이시스 영향
국내(JPY) 5Y ZCB: \(P_d(0,5)=0.975\). 해외(USD) 5Y ZCB: \(P_f(0,5)=0.880\). 스팟 \(S_0=150\) USDJPY. (a) 5Y 포워드 FX를 구하라. (b) 크로스커런시 베이시스 -10bp/year이면 포워드가 어떻게 달라지는가? (c) 이 차이가 ATM 옵션에 미치는 영향을 설명하라.
(a) 기본 포워드:
$$F(0,5) = 150\times\frac{0.880}{0.975} = 150\times 0.9026 \approx 135.4\text{ USDJPY}$$포워드 < 스팟: USD 금리 > JPY 금리이므로 USD에 포워드 디스카운트. 달러 ZCB가 더 낮은 것(\(P_f < P_d\))이 이 상황을 반영한다.
(b) 베이시스 -10bp/year 적용:
$$P_f^{\text{adj}}(0,5) \approx 0.880\times e^{0.0010\times 5} = 0.880\times 1.00501 \approx 0.8844$$ $$F^{\text{adj}}(0,5) \approx 150\times\frac{0.8844}{0.975} \approx 136.1$$베이시스 -10bp로 포워드가 135.4 → 136.1으로 약 0.7 상승. USD를 빌리는 비용이 높다는 것이 포워드에 반영된다.
(c) ATM 옵션 영향:
ATM 스트라이크가 135.4에서 136.1로 이동한다. 베이시스를 무시한 모형은 136.1 스트라이크 옵션을 "약간 OTM"으로 잘못 인식한다. 이로 인한 delta, vega, PV 오차가 발생한다. 만기 5년에서 이 오차는 수십bp 수준의 가격 차이를 만들 수 있으며, PRDC처럼 포워드 수준에 민감한 상품에서는 더 크게 나타난다.
문제 2: LIBOR in Arrears 컨벡시티 보정 수치 계산
\(T_i=3\text{년}\), \(T_{i+1}=3.25\text{년}\), \(\alpha_i=0.25\). 포워드 LIBOR \(L(0)=4\%\). LIBOR 변동성 \(\sigma=50\%\). 표준 쿠폰과 In Arrears 쿠폰의 기대값(할인 제외)을 비교하라.
Step 1: 표준 쿠폰 기대값 — 마팅게일 성질
$$\mathbb{E}^{Q^{d;T_{i+1}}}[L(T_i)] = L(0) = 4.000\%$$Step 2: 2차 모멘트 계산
$$e^{\sigma^2 T_i} = e^{0.25\times 3} = e^{0.75} \approx 2.1170$$ $$\mathbb{E}^{Q^{d;T_{i+1}}}[L(T_i)^2] = (0.04)^2\times 2.1170 = 0.003387$$Step 3: In Arrears 수정 LIBOR
$$\tilde{L} = 0.04\times\frac{1+0.25\times0.04\times 2.1170}{1+0.25\times0.04} = 0.04\times\frac{1.02117}{1.01000} \approx 4.0442\%$$컨벡시티 보정 크기 및 해석
$$\tilde{L} - L(0) \approx 4.44\text{ bp}$$In Arrears 쿠폰의 기대값이 표준 대비 약 4.44bp 높다. 이 보정이 발생하는 이유: LIBOR가 높게 실현될 때 더 일찍(적은 할인으로) 받기 때문이다. 만기가 길어지거나 변동성이 클수록 보정이 지수적으로 증가한다. \(T_i=10\text{년}, \sigma=50\%\)이면 \(e^{2.5}\approx 12.18\)으로 보정이 약 43bp로 급증한다.
문제 3: 3요인 유효 변동성 계산과 상관 스트레스
10Y USDJPY 옵션. \(\sigma^{fx}=10\%\), \(\tilde\sigma^{d;10}=8\%\), \(\tilde\sigma^{f;10}=9\%\), \(\rho_{fx,d}=-0.15\), \(\rho_{fx,f}=+0.10\), \(\rho_{d,f}=+0.35\). (a) \(\sigma_{3f}\)를 구하라. (b) \(\rho_{fx,d}\)를 -0.30으로 바꾸면 어떻게 달라지는가? (c) 위험관리 함의를 설명하라.
(a) 기준 케이스
| 항 | 값 |
|---|---|
| \([\sigma^{fx}]^2 = 0.10^2\) | +0.01000 |
| \([\tilde\sigma^{d;10}]^2 = 0.08^2\) | +0.00640 |
| \([\tilde\sigma^{f;10}]^2 = 0.09^2\) | +0.00810 |
| \(-2(-0.15)(0.10)(0.08)\) | +0.00240 |
| \(+2(0.10)(0.10)(0.09)\) | +0.00180 |
| \(-2(0.35)(0.08)(0.09)\) | -0.00504 |
(b) \(\rho_{fx,d}\) 스트레스: -0.15 → -0.30
변화하는 항: \(-2(-0.30)(0.10)(0.08) = +0.0048\) (기존 +0.0024에서 두 배)
$$[\sigma_{3f}^{\text{stress}}]^2 = 0.02366 - 0.0024 + 0.0048 = 0.02606 \implies \sigma_{3f}^{\text{stress}} \approx 16.14\%$$상관 하나가 -15%p 변하는 것만으로 유효 변동성이 약 0.76%p 증가한다.
(c) 위험관리 함의
상관 파라미터는 직접 시장에서 관찰되지 않고 역사적 데이터나 전문가 판단으로 추정된다. 이 추정의 ±15%p 오차가 유효 변동성에 ±0.76%p 오차를 만든다. 10년 ATMF 옵션에서 Vega ≈ \(S_0\times0.4\times\sqrt{10}\times 1\% \approx S_0 \times 1.26\%\)이므로, 0.76%p 변동성 오차 → PV 오차 ≈ \(0.76\times S_0\times 1.26\% \approx 0.96\%\cdot S_0\). 100억 엔 원금이면 수천만 엔 수준의 모델리스크가 된다. 이것이 상관 스트레스 테스트가 필수인 정량적 이유다.
문제 4: PRDC 쿠폰 분해와 시장 포지셔닝
30년 PRDC. \(S_0=150\)(USDJPY), \(C^f=10\%\), \(C^d=1\%\), \(N^d=100\text{억 엔}\), 반기(\(\alpha_i=0.5\)). (a) 등가 콜옵션 행사가격 \(K\)와 명목(USD)을 구하라. (b) 10년 포워드가 90 USDJPY라면 이 옵션의 포워드 기준 위치를 판단하고 투자자 베팅을 설명하라.
(a) 콜옵션 분해
$$K = 150\times\frac{1\%}{10\%} = 15.0\text{ USDJPY}$$ $$\text{명목(USD)} = \frac{0.5\times100억\text{엔}\times10\%}{150} = \frac{5억\text{엔}}{150} \approx 333만\text{ USD/쿠폰일}$$각 반기 쿠폰일마다, 행사가격 15 USDJPY이고 명목 333만 달러인 유럽형 콜옵션의 페이오프와 동일하다. 30년에서 총 60개의 이 콜옵션으로 구성된다.
(b) 포워드 기준 위치와 투자자 베팅
행사가격 K=15.0 vs 10년 포워드 F=90. K \ll F이므로 이 콜옵션은 포워드 기준 깊은 ITM이다. 이 옵션 자체는 거의 확실하게 양수 페이오프를 줄 것처럼 보인다. 그렇다면 PRDC 투자자는 어떤 위험을 지는가?
핵심은 포워드 수준이다. 10년 포워드 90은 현재 스팟(150) 대비 40% 하락(엔화 강세)을 시사한다. 이 포워드 수준에서 콜옵션(K=15)은 깊은 ITM이지만, 만약 실제 USDJPY가 15 이하로 폭락하면 쿠폰이 0이 된다. PRDC 투자자는 암묵적으로 "USDJPY가 15 이하로 절대 하락하지 않을 것"이라는 베팅을 하는 것이다. 이 베팅은 이자율 평형이 시사하는 방향(엔화 강세)보다 훨씬 낙관적인 전제다.
더 본질적으로: PRDC의 경제적 수익은 USD 금리(해외)와 JPY 금리(국내)의 차이에서 온다. 투자자는 이 금리 차이를 "옵션 프리미엄"으로 받는 것이지만, 그 대신 극단적 엔화 강세 리스크를 부담한다.
13. 흔한 함정과 오해
만기 10년에서 Rho가 Vega의 3.16배이므로, FX vol만 헤지하면 전체 리스크의 75% 이상을 방치하는 것과 같다. 2022년 연준의 급격한 금리 인상 시 장기 FX 옵션의 금리 민감도가 폭발적으로 확대되어 이 오해가 얼마나 위험한지 다시 한번 입증되었다.
베이시스는 FX 포워드 가격을 직접 바꾼다. 포워드가 바뀌면 FX 옵션의 ATM 스트라이크가 바뀌고, ATM 스트라이크가 바뀌면 모든 옵션의 delta, vega, PV가 바뀐다. "나는 FX 옵션 트레이더라 스왑 베이시스는 신경 쓰지 않는다"는 태도는 구조적 오류다.
연간 3bp처럼 작게 보이는 콴토 보정이 10~30년 누적 시 수십bp의 PV 오차가 된다. 또한 콴토 보정 누락은 FX와 금리 사이의 공분산(유효 분산 교차항)도 잘못 계산되게 한다. \(|\rho_{fx,f}|\)이 큰 통화쌍에서는 특히 주의해야 한다.
만기 1~2년에서는 수 bp 수준으로 사소하다. 그러나 만기 10년, 변동성 50%에서 보정은 40~50bp에 달한다. 장기 구조화 상품에서 이 보정을 무시하면 체계적인 가격 오류를 범한다. 보정 크기는 분산(\(\sigma^2\)), 만기(\(T_i\)), LIBOR 수준(\(L(0)\))에 지수적으로 의존한다.
PRDC는 수학적으로 FX 콜옵션 스트립이다. 투자자는 OTM 옵션들의 프리미엄을 수령하고 리스크를 지는 구조다. 이것을 "고수익 채권"으로만 이해하면, 변동성 리스크·FX 리스크·금리 리스크·조기상환 리스크를 제대로 인식하지 못한다. 2008년 금융위기 시 PRDC에서 발생한 대규모 손실은 이 옵션 리스크가 실현된 결과다.
LIBOR in Arrears 컨벡시티 보정이나 콴토 보정 등, 올바른 측도를 선택하지 않으면 기대값 계산 자체가 틀린다. "어떤 측도에서 기대값을 취하는가"와 "그 측도에서 어떤 변수가 마팅게일인가"를 항상 명시적으로 추적해야 한다. 특히 두 통화가 개입될 때 \(Q^d, Q^f, Q^{d;T}\)가 뒤섞이는 상황에서 측도 혼용은 치명적 오류를 낳는다.
캘리브레이션은 오늘의 시장 스냅샷에서 파라미터를 역산하는 것이다. 특히 3개 상관 파라미터는 시장에서 직접 관찰되지 않는다. 이 파라미터들의 불확실성을 스트레스 테스트로 정량화하지 않으면 모델리스크를 과소평가한다. 상관 ±10%p 스트레스 테스트는 최소한의 모델리스크 관리 기준이다.
14. 핵심 수식 요약 및 암기 체크리스트
| 개념 | 핵심 수식 |
|---|---|
| Vega vs Rho 스케일 | Vega \(\sim\sqrt{T}\), Rho \(\sim T\) → 장기에서 Rho 지배 |
| 포워드 FX (무차익) | \(F(0,T)=S_0\cdot P_f(0,T)/P_d(0,T)\) |
| 포워드 LIBOR | \(L^d_{T_i,T_{i+1}}(t)=\frac{1}{\alpha_i}\cdot\frac{P_d(t,T_i)-P_d(t,T_{i+1})}{P_d(t,T_{i+1})}\) |
| 표준 쿠폰 PV | \(V^{LIB}=\alpha_i P_d(0,T_{i+1})\cdot L(0)\) |
| LIBOR in Arrears 보정 | \(\tilde{L}=L(0)\cdot\frac{1+\alpha L(0)e^{\sigma^2 T_i}}{1+\alpha L(0)}\) |
| 콴토 보정 (해외 금리 드리프트) | \(-\rho_{fx,f}\sigma^f_t\sigma^{fx}(S_t,t)\,dt\) 추가 (국내 측도) |
| 3요인 유효 분산 | \([\sigma_{3f}]^2=[\sigma^{fx}]^2+[\tilde\sigma^d]^2+[\tilde\sigma^f]^2-2\rho_{fx,d}\sigma^{fx}\tilde\sigma^d+2\rho_{fx,f}\sigma^{fx}\tilde\sigma^f-2\rho_{d,f}\tilde\sigma^d\tilde\sigma^f\) |
| 3요인 FX 바닐라 가격 | \(V_0=\omega[S_0P_f N(\omega d_1)-KP_d N(\omega d_2)]\), \(d_{1,2}\)는 \(\sigma_{3f}\) 사용 |
| PRDC 쿠폰 = 콜옵션 | \(K=S_0 C^d/C^f\), 명목 \(=\alpha N^d C^f/S_0\) |
| 캘리브레이션 순서 | ① ZCB → 드리프트 \(\varphi\), ② 스왑션 → 금리볼 \(\sigma^{d,f}\), ③ FX 바닐라 → \(\sigma^{fx}\) |
- 장기 FX는 FX-금리 하이브리드 파생상품. Vega \(\sim\sqrt{T}\), Rho \(\sim T\): 만기 10년에서 Rho가 Vega의 약 3.16배.
- 스팟 \(S_t\) 자체는 거래 가능 자산이 아님. 진짜 거래 가능 자산은 \(\tilde{S}_t = S_t\cdot B^f_t\). 확률적 금리에서 둘은 다르다.
- 포워드 LIBOR는 \(T_{i+1}\)-포워드 측도에서 마팅게일 → 표준 쿠폰 PV = \(\alpha_i P_d(0,T_{i+1})\cdot L(0)\). 수치 적분 불필요.
- In Arrears 컨벡시티 보정 원인: 기대값 취해야 할 측도(\(T_i\)-포워드)와 마팅게일 측도(\(T_{i+1}\)-포워드)의 불일치.
- 콴토 보정: 해외 금리 SDE에 \(-\rho_{fx,f}\sigma^f\sigma^{fx}\,dt\) 필수 추가. 누락 시 10~30년 누적 수십bp 오차.
- 크로스커런시 베이시스는 포워드 FX 기준점을 이동 → 모든 옵션의 ATM 스트라이크, delta, PV 변경. 스왑만의 문제가 아님.
- PRDC = 유럽형 FX 콜옵션 스트립. 행사가격 \(K=S_0 C^d/C^f\). 30년 반기 지급이면 60개 콜옵션 포트폴리오.
- FX-TARN: 종료 시점이 확률변수 + 경로 의존 상태변수 → MC 필수. 마지막 쿠폰 처리(전액 vs 목표 맞춤) 약관 반드시 확인.
- 3요인 유효 분산: FX vol + 두 금리 vol + 교차항(3개 상관). 장기 implied vol ≠ 순수 FX vol. 금리볼과 상관이 추가로 기여.
- 상관 스트레스(\(\pm10\%p\)): 한 상관이 15%p 변하면 유효 변동성이 수십 bp 변화. 모델리스크 관리의 필수 항목.
- 수치 기법: 유럽형·단순 배리어 → 3요인 PDE(ADI). TARN·경로의존 → MC. Callable → PDE 또는 LSMC.
- 라돈-니코딤 미분: \(\mathbb{E}^{Q'}[X] = \mathbb{E}^Q[\frac{dQ'}{dQ}\cdot X]\). 측도를 바꿀 때 곱해주는 가중치.
'Financial Engineering > Foreign exchange option pricing' 카테고리의 다른 글
| Chapter 10. Multicurrency Options (0) | 2026.02.19 |
|---|---|
| Chapter 9. Second Generation Exotics (0) | 2026.02.19 |
| Chapter 8. First Generation Exotics (0) | 2026.02.19 |
| Chapter 7. Numerical Methods for Pricing and Calibration (0) | 2026.02.19 |
| Chapter6. Stochastic Volatility (0) | 2026.02.19 |