Algorithmic and High-Frequency Trading
Chapter 10 — Market Making
Part A — 선수지식
1. 상태변수와 시장조성 문제의 정의
이 장의 기본 상태는 시간 \(t\), 현금 \(X_t\), 재고 \(Q_t\), 중간가격 \(S_t\) 이다. short-term alpha를 쓰는 확장모형에서는 상태가 \((t,X_t,Q_t,S_t,a_t)\) 로 늘어난다. 시장조성자는 매도 지정가주문을 \(S_t+\delta_t^+\), 매수 지정가주문을 \(S_t-\delta_t^-\) 에 게시하고, \(\delta_t^\pm\) 는 모두 \(\mathcal F_t\)-예측가능한 제어과정이다.
깊이가 커질수록 체결확률이 감소한다는 가장 표준적인 가정은 지수강도다.
\[\Lambda_t^{\delta,+}=\lambda^+e^{-\kappa^+\delta_t^+},\qquad \Lambda_t^{\delta,-}=\lambda^-e^{-\kappa^-\delta_t^-}.\]
여기서 \(\lambda^\pm\) 는 외부 시장가주문의 기본 도착강도, \(\kappa^\pm\) 는 깊이에 대한 민감도다.
체결카운팅과정 \(N_t^+\), \(N_t^-\) 를 쓰면, 현금과 재고의 변화는
\[dX_t=(S_t+\delta_t^+)\,dN_t^+-(S_t-\delta_t^-)\,dN_t^-,\]
\[dQ_t=-dN_t^+ + dN_t^-\]
로 쓴다. 매도 지정가주문 체결은 한 단위 매도이므로 재고를 1 줄이고 현금을 \(S_t+\delta_t^+\) 만큼 늘린다. 매수 지정가주문 체결은 재고를 1 늘리고 현금을 \(S_t-\delta_t^-\) 만큼 줄인다.
기본 시장조성 문제의 성과함수는
\[H^{\delta}(t,x,s,q)=\mathbb E_{t,x,s,q}\left[X_T+Q_T\bigl(S_T-\alpha Q_T\bigr)-\phi\int_t^T Q_u^2\,du\right]\]
로 둔다. \(\alpha\ge 0\) 는 terminal liquidation penalty, \(\phi\ge 0\) 는 running inventory penalty다. 허용전략 집합 \(\mathcal A\) 는 보통 \(\mathbb F\)-예측가능하고 재고 상하한 \(\underline q\le Q_t\le \bar q\) 를 유지하는 제어들의 집합이다.
시장조성의 핵심은 세 항의 균형이다. 첫째, 안쪽에 주문을 내면 체결은 쉬워지지만 단위당 마진이 줄어든다. 둘째, 바깥에 주문을 내면 단위당 마진은 커지지만 체결이 어려워진다. 셋째, 체결의 비대칭은 재고를 키우거나 줄여서 미래의 위험과 청산비용을 바꾼다. 따라서 최적 깊이는 정적 상수가 아니라 시간과 재고와 정보상태의 함수가 된다.
2. 측도론 기초와 Radon–Nikodym 정리
집합족 \(\mathcal F\) 가 공집합을 포함하고 여집합 및 가산합집합에 대해 닫혀 있으면 시그마 대수라 한다. 함수 \(\mu:\mathcal F\to[0,\infty]\) 가 \(\mu(\varnothing)=0\) 이고 가산가법적이면 측도라 한다. 이 장에서 필요한 모든 측도는 유한측도 또는 확률측도다.
두 유한측도 \(\nu\), \(\mu\) 에 대해, \(\mu(A)=0\Rightarrow \nu(A)=0\) 가 모든 \(A\in\mathcal F\) 에 대해 성립하면 \(\nu\ll\mu\) 라고 쓴다. 이때 가측함수 \(f\ge 0\) 가 존재하여
\[\nu(A)=\int_A f\,d\mu,\qquad A\in\mathcal F\]
이면 \(f\) 를 \(\nu\) 의 \(\mu\) 에 대한 밀도, 즉 \(\dfrac{d\nu}{d\mu}\) 라고 한다.
사용하는 정의는 정의 2.1과 정의 2.2다. \(\mu\), \(\nu\) 를 같은 시그마 대수 위의 유한측도라 하고 \(\nu\ll\mu\) 라고 하자. 그러면 \(\mu\)-적분가능한 가측함수 \(f\ge 0\) 가 존재하여 모든 \(A\in\mathcal F\) 에 대해
\[\nu(A)=\int_A f\,d\mu\]
가 성립한다. 또한 \(f\) 는 \(\mu\)-거의 어디서나 유일하다.
증명
먼저
\[\mathcal C:=\left\{g\ge 0:\ g\text{는 가측이고 }\int_A g\,d\mu\le \nu(A)\text{ 가 모든 }A\in\mathcal F\text{ 에 대해 성립한다}\right\}\]
를 정의한다. \(0\in\mathcal C\) 이므로 \(\mathcal C\) 는 공집합이 아니다. 다음 상한을 정의한다.
\[m:=\sup_{g\in\mathcal C}\int g\,d\mu.\]
유한측도성 때문에 \(m<\infty\) 다. 실제로 \(A=\Omega\) 를 대입하면 임의의 \(g\in\mathcal C\) 에 대해 \(\int g\,d\mu\le \nu(\Omega)<\infty\) 이다.
이제 \(\int g_n\,d\mu\uparrow m\) 인 열 \(g_n\in\mathcal C\) 를 택하고, \(h_n:=\max\{g_1,\dots,g_n\}\) 로 둔다. 그러면 \(h_n\) 은 증가하고 가측이다. 또한 \(h_n\in\mathcal C\) 이다. 왜냐하면 \(A\) 를 \(h_n=g_k\) 인 부분집합들로 나누면
\[\int_A h_n\,d\mu=\sum_{k=1}^n\int_{A_k} g_k\,d\mu\le \sum_{k=1}^n\nu(A_k)=\nu(A).\]
따라서 \(h_n\in\mathcal C\) 이고 단조수렴정리에 의해 어떤 가측함수 \(h\ge 0\) 에 대해 \(h_n\uparrow h\) 이며
\[\int h\,d\mu=\lim_{n\to\infty}\int h_n\,d\mu=m.\]
또한 모든 \(A\in\mathcal F\) 에 대해 단조수렴정리로
\[\int_A h\,d\mu\le \nu(A).\]
이제 남는 차이를
\[\eta(A):=\nu(A)-\int_A h\,d\mu\]
로 정의하면 \(\eta\) 는 음이 아닌 유한측도다. 만약 \(\eta\not\equiv 0\) 라면 어떤 집합 \(B\) 에 대해 \(\eta(B)>0\) 이다. \(\eta\ll\mu\) 이므로 \(\mu(B)>0\) 이다. 이때 어떤 \(\varepsilon>0\) 와 \(A\subseteq B\) 를 택해 \(\eta(A)>\varepsilon\mu(A)\) 로 만들 수 있다. 그렇지 않다면 모든 부분집합에 대해 \(\eta(C)\le \varepsilon\mu(C)\) 가 되어 \(\eta(B)\le \varepsilon\mu(B)\) 와 모순이 생긴다.
이제 \(h+\varepsilon\mathbf 1_A\) 를 생각하면 임의의 \(C\in\mathcal F\) 에 대해
\[\int_C (h+\varepsilon\mathbf 1_A)\,d\mu=\int_C h\,d\mu+\varepsilon\mu(C\cap A)\le \int_C h\,d\mu+\eta(C\cap A)\le \nu(C).\]
따라서 \(h+\varepsilon\mathbf 1_A\in\mathcal C\) 이다. 그런데
\[\int (h+\varepsilon\mathbf 1_A)\,d\mu=\int h\,d\mu+\varepsilon\mu(A)>m\]
가 되어 \(m\) 의 정의와 모순이다. 그러므로 \(\eta\equiv 0\) 이고, 즉 \(\nu(A)=\int_A h\,d\mu\) 가 모든 \(A\) 에 대해 성립한다.
유일성은 직접적이다. 만약 \(f\), \(g\) 가 둘 다 같은 성질을 만족한다면 임의의 \(A\) 에 대해 \(\int_A(f-g)\,d\mu=0\) 이다. 특히 \(A=\{f>g\}\) 를 취하면 적분함수 \(f-g\) 가 이 집합에서 음이 아닌데 적분이 0이므로 \(\mu(\{f>g\})=0\) 이다. 같은 방식으로 \(\mu(\{g>f\})=0\) 도 얻는다. 따라서 \(f=g\) 가 \(\mu\)-거의 어디서나 성립한다.
3. 조건부기댓값과 Bayes 공식
적분가능한 확률변수 \(X\in L^1(\Omega,\mathcal F,\mathbb P)\) 와 부분 시그마 대수 \(\mathcal G\subseteq\mathcal F\) 가 주어졌다고 하자. \(\mathcal G\)-가측 확률변수 \(Y\) 가 모든 \(A\in\mathcal G\) 에 대해
\[\int_A Y\,d\mathbb P=\int_A X\,d\mathbb P\]
를 만족하면 \(Y\) 를 \(\mathbb E[X\mid\mathcal G]\) 라고 한다.
사용하는 정의는 정의 3.1과 정리 2.3이다. 모든 \(X\in L^1\) 와 모든 부분 시그마 대수 \(\mathcal G\subseteq\mathcal F\) 에 대해 \(\mathbb E[X\mid\mathcal G]\) 는 존재하고 \(\mathbb P\)-거의 어디서나 유일하다.
증명
먼저 \(X\ge 0\) 라고 하자. \(\mathcal G\) 위에 측도 \(\nu\) 를
\[\nu(A):=\int_A X\,d\mathbb P,\qquad A\in\mathcal G\]
로 정의한다. \(X\in L^1\) 이므로 \(\nu(\Omega)=\mathbb E[X]<\infty\) 이고, \(\mathbb P(A)=0\Rightarrow\nu(A)=0\) 이므로 \(\nu\ll \mathbb P|_{\mathcal G}\) 다. 정리 2.3에 의해 \(\mathcal G\)-가측 \(Y\ge 0\) 가 존재하여 모든 \(A\in\mathcal G\) 에 대해
\[\nu(A)=\int_A Y\,d\mathbb P.\]
이것이 바로 \(\mathbb E[X\mid\mathcal G]\) 다.
일반적인 \(X\in L^1\) 에 대해 \(X=X^+-X^-\) 로 쓰면 \(X^+,X^-\in L^1\) 이다. 따라서 위의 양의 경우를 각각 적용하여 \(\mathbb E[X^+\mid\mathcal G]\), \(\mathbb E[X^-\mid\mathcal G]\) 를 정의할 수 있고
\[Y:=\mathbb E[X^+\mid\mathcal G]-\mathbb E[X^-\mid\mathcal G]\]
라 두면 \(Y\) 는 \(\mathcal G\)-가측이며 모든 \(A\in\mathcal G\) 에 대해 \(\int_A Y\,d\mathbb P=\int_A X\,d\mathbb P\) 를 만족한다.
유일성은 두 후보 \(Y_1,Y_2\) 에 대해 \(A=\{Y_1>Y_2\}\in\mathcal G\) 를 대입하는 표준논법으로 얻는다. 즉
\[0=\int_A(Y_1-Y_2)\,d\mathbb P\]
인데 적분함수는 \(A\) 에서 음이 아니므로 \(\mathbb P(A)=0\) 이어야 한다. 반대 방향도 같으므로 \(Y_1=Y_2\) a.s. 이다.
\(\mathcal H\subseteq\mathcal G\subseteq\mathcal F\) 이고 \(X\in L^1\), \(Z\) 가 bounded \(\mathcal G\)-가측이라고 하자. 그러면
\[\mathbb E\bigl[\mathbb E[X\mid\mathcal G]\mid\mathcal H\bigr]=\mathbb E[X\mid\mathcal H],\]
\[\mathbb E[ZX\mid\mathcal G]=Z\,\mathbb E[X\mid\mathcal G]\]
가 성립한다.
증명
첫 번째 식에서 \(Y:=\mathbb E[X\mid\mathcal G]\) 라 두면 \(Y\in L^1\) 이고 \(\mathcal G\)-가측이다. \(\mathbb E[Y\mid\mathcal H]\) 는 정의상 \(\mathcal H\)-가측이며, 임의의 \(A\in\mathcal H\) 에 대해 \(A\in\mathcal G\) 이므로
\[\int_A \mathbb E[Y\mid\mathcal H]d\mathbb P=\int_A Y\,d\mathbb P=\int_A X\,d\mathbb P.\]
따라서 유일성에 의해 \(\mathbb E[Y\mid\mathcal H]=\mathbb E[X\mid\mathcal H]\) 이다.
두 번째 식은 \(Z\mathbb E[X\mid\mathcal G]\) 가 \(\mathcal G\)-가측이라는 점과 적분등식만 확인하면 된다. 임의의 \(A\in\mathcal G\) 에 대해 \(AZ\) 도 bounded \(\mathcal G\)-가측이므로
\[\int_A Z\mathbb E[X\mid\mathcal G]d\mathbb P=\int_A ZX\,d\mathbb P.\]
한편 \(\mathbb E[ZX\mid\mathcal G]\) 도 정의에 의해 모든 \(A\in\mathcal G\) 에 대해 같은 적분을 갖는다. 유일성에 의해 결론이 성립한다.
\(\mathbb Q\ll\mathbb P\) 이고 \(Z=\dfrac{d\mathbb Q}{d\mathbb P}\) 라 하자. \(\mathcal G\subseteq\mathcal F\), \(X\in L^1(\mathbb Q)\) 이면
\[\mathbb E_{\mathbb Q}[X\mid\mathcal G]=\frac{\mathbb E_{\mathbb P}[ZX\mid\mathcal G]}{\mathbb E_{\mathbb P}[Z\mid\mathcal G]}\]
가 \(\mathbb E_{\mathbb P}[Z\mid\mathcal G]>0\) 인 곳에서 성립한다.
증명
우변을 \(Y\) 라 두자. 그러면 \(Y\) 는 \(\mathcal G\)-가측이다. 이제 임의의 \(A\in\mathcal G\) 에 대해
\[\int_A Y\,d\mathbb Q=\int_A YZ\,d\mathbb P.\]
조건부기댓값의 pull-out property로
\[\int_A YZ\,d\mathbb P=\int_A Y\,\mathbb E_{\mathbb P}[Z\mid\mathcal G]d\mathbb P=\int_A \mathbb E_{\mathbb P}[ZX\mid\mathcal G]d\mathbb P=\int_A ZX\,d\mathbb P=\int_A X\,d\mathbb Q.\]
따라서 \(Y\) 는 \(X\) 의 \(\mathbb Q\)-조건부기댓값이다.
4. 균등적분가능성과 수렴정리
확률변수족 \(\mathcal X\subset L^1\) 가 균등적분가능하다는 것은
\[\lim_{K\to\infty}\sup_{X\in\mathcal X}\mathbb E\bigl[|X|\mathbf 1_{\{|X|>K\}}\bigr]=0\]
를 만족한다는 뜻이다. 이 조건은 질량이 꼬리로 도망가지 않는다는 정량적 표현이다.
\(X_n\to X\) almost surely 이고 적분가능한 확률변수 \(Y\) 가 존재하여 \(|X_n|\le Y\) a.s. 라고 하자. 그러면 \(X\in L^1\) 이고
\[\mathbb E[|X_n-X|]\to 0,\qquad \mathbb E[X_n]\to\mathbb E[X].\]
증명
먼저 거의 확실수렴과 절대값의 연속성으로 \(|X_n|\to |X|\) almost surely 이다. 또한 \(|X|\le Y\) almost surely 이므로 \(X\in L^1\) 다. 다음으로 \(|X_n-X|\le 2Y\) 이고 \(|X_n-X|\to 0\) almost surely 이므로 지배수렴정리를 적용하여
\[\mathbb E[|X_n-X|]\to 0\]
를 얻는다. 마지막 식은 \(|\mathbb E[X_n]-\mathbb E[X]|\le \mathbb E[|X_n-X|]\) 에서 바로 나온다.
\(X_n\to X\) in probability 이고 \(\{X_n:n\ge 1\}\cup\{X\}\) 가 균등적분가능하다고 하자. 그러면
\[\mathbb E[|X_n-X|]\to 0.\]
증명
삼각부등식으로
\[|X_n-X|\mathbf 1_{\{|X_n-X|>K\}}\le 2|X_n|\mathbf 1_{\{|X_n|>K/2\}}+2|X|\mathbf 1_{\{|X|>K/2\}}\]
이므로 \(\{|X_n-X|\}\) 도 균등적분가능하다. 이제 임의의 \(K>0\) 에 대해
\[\mathbb E[|X_n-X|]=\mathbb E[(|X_n-X|\wedge K)]+\mathbb E[|X_n-X|\mathbf 1_{\{|X_n-X|>K\}}].\]
두 번째 항은 \(n\) 에 균일하게 작게 만들 수 있다. 첫 번째 항은 bounded 함수 \(u\mapsto |u|\wedge K\) 를 적용한 것이므로 확률수렴과 부분열-부분부분열 논법을 통해 기대값이 0으로 감을 얻는다. 실제로 임의의 부분열에서 다시 거의 확실수렴하는 부분부분열을 뽑을 수 있고, 그 부분부분열에 대해서는 지배수렴정리로 기대값이 0으로 간다. 따라서 원래 열 전체에 대해서도 첫 번째 항은 0으로 수렴한다. 이제 \(K\to\infty\) 를 보내면 전체 기대값이 0으로 간다.
5. 브라운운동, Itô 적분, Itô 공식
브라운운동 \(W\) 는 연속경로, 독립증분, 정규증분을 갖는 과정이다. 제곱적분가능한 적응과정 \(H\) 에 대해 Itô 적분 \(\int_0^t H_u\,dW_u\) 를 정의하며, 이 적분은 평균 0의 martingale이다.
\(X_t\) 가 \(dX_t=b_tdt+\sigma_t dW_t\) 를 만족하고 \(f\in C^{1,2}\) 라고 하자. 그러면
\[df(t,X_t)=\left(\partial_t f+b_t\partial_x f+\frac12\sigma_t^2\partial_{xx}f\right)(t,X_t)dt+\sigma_t\partial_x f(t,X_t)dW_t.\]
증명
분할 \(0=t_0<t_1<\cdots<t_n=t\) 를 잡고 각 구간에서
\[f(t_{i+1},X_{t_{i+1}})-f(t_i,X_{t_i})=[f(t_{i+1},X_{t_{i+1}})-f(t_i,X_{t_{i+1}})]+[f(t_i,X_{t_{i+1}})-f(t_i,X_{t_i})]\]
로 분해한다. 첫 번째 괄호는 시간변수에 대한 1차 전개로 \(\partial_t f\,\Delta t\) 이고, 두 번째 괄호는 공간변수에 대한 2차 Taylor 전개로
\[\partial_x f(t_i,X_{t_i})\Delta X_i+\frac12\partial_{xx}f(t_i,X_{t_i})(\Delta X_i)^2+r_i\]
가 된다. 이제 \(\Delta X_i=b_{t_i}\Delta t+\sigma_{t_i}\Delta W_i+o(\Delta t^{1/2})\) 이므로
\[\begin{aligned} (\Delta X_i)^2&=b_{t_i}^2(\Delta t)^2+2b_{t_i}\sigma_{t_i}\Delta t\Delta W_i+\sigma_{t_i}^2(\Delta W_i)^2+o(\Delta t)\\ &=\sigma_{t_i}^2\Delta t+o(\Delta t), \end{aligned}\]
여기서 \((\Delta W_i)^2\) 의 합이 \(\Delta t\) 의 합으로 수렴한다는 사실을 썼다. 모든 항을 합한 뒤 분할의 망을 0으로 보내면 일차항은 각각 \(dt\)-적분과 \(dW_t\)-적분으로, 이차항은 \(\tfrac12\sigma_t^2\partial_{xx}f\,dt\) 로 수렴한다. 나머지항의 총합은 \(o(1)\) 로 사라진다. 따라서 주장한 식이 얻어진다.
연속 적응과정 \(M\) 이 \(M_0=0\) 이고 \(M\) 과 \(M_t^2-t\) 가 둘 다 martingale이면 \(M\) 은 브라운운동이다.
증명
각 \(u\in\mathbb R\) 에 대해
\[Z_t^{(u)}:=\exp\left(iuM_t+\frac12u^2t\right)\]
를 정의하자. Itô 공식을 적용하면 \(dZ_t^{(u)}=iuZ_t^{(u)}dM_t\) 가 된다. 따라서 \(Z^{(u)}\) 는 local martingale이고, 유한시간 구간에서는 적분가능성이 확보되므로 martingale이다. 그러면 \(s<t\) 에 대해
\[\mathbb E\left[e^{iu(M_t-M_s)}\mid\mathcal F_s\right]=e^{-\frac12u^2(t-s)}.\]
우변은 \(\mathcal F_s\) 와 무관하므로 \(M_t-M_s\) 는 \(\mathcal F_s\) 와 독립이며, characteristic function이 평균 0, 분산 \(t-s\) 인 정규분포와 일치한다. 연속경로성까지 합치면 \(M\) 은 브라운운동이다.
6. 카운팅과정, Poisson 강도, 보상 martingale
단위점프 카운팅과정 \(N\) 에 대해 예측가능한 비음함수 \(\lambda_t\) 가 존재하여 \(M_t:=N_t-\int_0^t\lambda_u\,du\) 가 martingale이면 \(\lambda\) 를 \(N\) 의 강도라고 하고 적분항을 compensator라고 한다.
\(N\) 이 강도 \(\lambda_t\) 를 가지면 \(N_t-\int_0^t\lambda_u du\) 는 martingale이다.
증명
작은 \(h>0\) 에 대해 강도의 정의는
\[\mathbb P(N_{t+h}-N_t=1\mid\mathcal F_t)=\lambda_t h+o(h),\qquad \mathbb P(N_{t+h}-N_t\ge 2\mid\mathcal F_t)=o(h)\]
를 의미한다. 따라서 \(\mathbb E[N_{t+h}-N_t\mid\mathcal F_t]=\lambda_t h+o(h)\) 이다. 이를 적분합 형태로 누적하면
\[\mathbb E[N_t-N_s\mid\mathcal F_s]=\mathbb E\left[\int_s^t\lambda_u\,du\middle|\mathcal F_s\right].\]
따라서
\[\mathbb E\left[N_t-\int_0^t\lambda_u du\middle|\mathcal F_s\right]=N_s-\int_0^s\lambda_u du,\]
즉 보상과정은 martingale이다.
7. 동적계획법, generator, 점프-확산 DPE
확산 \(dS_t=b(S_t)dt+\sigma(S_t)dW_t\) 의 generator는 \(\mathcal Lf(s)=b(s)f'(s)+\tfrac12\sigma^2(s)f''(s)\) 로 정의한다. 점프가 있으면 각 점프강도에 jump 후 상태에서의 함수값 증가분을 곱한 기대항이 추가된다.
정의 1.1, 1.2, 1.3, 6.1을 사용한다. 가치함수
\[V(t,x,s,q)=\sup_{\delta\in\mathcal A}\mathbb E_{t,x,s,q}\left[X_T+Q_T(S_T-\alpha Q_T)-\phi\int_t^TQ_u^2du\right]\]
가 충분히 매끄럽다고 가정하면
\[\begin{aligned} 0=&\;\partial_tV+\frac12\sigma^2\partial_{ss}V-\phi q^2\\ &+\sup_{\delta^+}\lambda^+e^{-\kappa^+\delta^+}\Bigl(V(t,x+s+\delta^+,s,q-1)-V(t,x,s,q)\Bigr)1_{\{q>\underline q\}}\\ &+\sup_{\delta^-}\lambda^-e^{-\kappa^-\delta^-}\Bigl(V(t,x-(s-\delta^-),s,q+1)-V(t,x,s,q)\Bigr)1_{\{q<\bar q\}} \end{aligned}\]
를 얻는다.
증명
시간 \(t\) 에서 임의의 허용전략 \(\delta\) 를 고정하고 길이 \(\Delta t\) 의 짧은 구간을 본다. 이 구간에서 1차 정확도로 고려해야 할 사건은 세 가지다. 매도 지정가주문 체결, 매수 지정가주문 체결, 무체결이다. 두 개 이상의 체결은 확률이 \(o(\Delta t)\) 이므로 1차항에서 사라진다.
매도 지정가주문 체결의 확률은 \(\lambda^+e^{-\kappa^+\delta^+}\Delta t+o(\Delta t)\) 이고 체결 후 상태는 \((x+s+\delta^+,s,q-1)\) 이다. 매수 지정가주문 체결의 확률은 \(\lambda^-e^{-\kappa^-\delta^-}\Delta t+o(\Delta t)\) 이고 상태는 \((x-(s-\delta^-),s,q+1)\) 이다. 무체결이면 중간가격만 브라운운동에 따라 진화한다. running penalty는 이 짧은 구간에서 \(\phi q^2\Delta t+o(\Delta t)\) 의 비용을 만든다.
따라서 DPP는
\[\begin{aligned} V(t,x,s,q)=\sup_{\delta}\Bigl\{&-\phi q^2\Delta t\\ &+\lambda^+e^{-\kappa^+\delta^+}\Delta t\,V(t+\Delta t,x+s+\delta^+,s,q-1)\\ &+\lambda^-e^{-\kappa^-\delta^-}\Delta t\,V(t+\Delta t,x-(s-\delta^-),s,q+1)\\ &+\bigl(1-(\lambda^+e^{-\kappa^+\delta^+}+\lambda^-e^{-\kappa^-\delta^-})\Delta t\bigr)\mathbb E[V(t+\Delta t,x,S_{t+\Delta t},q)]\Bigr\}+o(\Delta t). \end{aligned}\]
무체결 항에서 Itô 전개를 쓰면
\[\mathbb E[V(t+\Delta t,x,S_{t+\Delta t},q)]=V(t,x,s,q)+\left(\partial_tV+\frac12\sigma^2\partial_{ss}V\right)\Delta t+o(\Delta t).\]
이를 위 식에 대입하고, 양변에서 \(V(t,x,s,q)\) 를 빼고, \(\Delta t\) 로 나눈 뒤 \(\Delta t\downarrow 0\) 를 보내면 정리의 식이 얻어진다.
\(\kappa>0\) 와 상수 \(A\in\mathbb R\) 가 주어졌다고 하자. 함수 \(F(\delta)=e^{-\kappa\delta}(\delta+A)\) 를 \(\delta\in\mathbb R\) 에서 최적화하면 유일한 극대점은
\[\delta^*=\frac1\kappa-A\]
이다.
증명
미분하면 \(F'(\delta)=e^{-\kappa\delta}(1-\kappa(\delta+A))\) 이다. 지수항은 항상 양수이므로 임계점은 \(1-\kappa(\delta+A)=0\) 인 점 하나뿐이고, 따라서 \(\delta^*=\frac1\kappa-A\) 다. 두 번째 미분은
\[F''(\delta)=e^{-\kappa\delta}\bigl(-2\kappa+\kappa^2(\delta+A)\bigr).\]
여기에 \(\delta^*\) 를 대입하면 \(F''(\delta^*)=-\kappa e^{-\kappa\delta^*}<0\) 이므로 유일한 극대점이다.
8. 동등측도, Girsanov 정리, numeraire change
\(\mathbb Q\sim\mathbb P\) 라는 것은 두 측도가 서로 절대연속이라는 뜻이다. 보통 \(\mathcal F_t\) 수준의 밀도과정 \(Z_t\) 를 \(Z_t:=\mathbb E_{\mathbb P}[\tfrac{d\mathbb Q}{d\mathbb P}\mid\mathcal F_t]\) 로 정의한다. 그러면 \(Z_t\) 는 양의 \(\mathbb P\)-martingale이다.
항상 양수인 거래가능 자산 \(N_t\) 를 numeraire라 하자. 어떤 자산 또는 파생상품 가치과정 \(V_t\) 의 numeraire-denominated price는 \(\widetilde V_t:=V_t/N_t\) 로 정의한다. 변화측도의 핵심은 적절한 측도 아래 \(\widetilde V_t\) 가 martingale이 되도록 만드는 것이다.
예측가능한 과정 \(\theta_t\) 에 대해
\[Z_t:=\exp\left(-\int_0^t\theta_u\,dW_u-\frac12\int_0^t\theta_u^2\,du\right)\]
를 정의하자. 만약 \(\mathbb E[\exp(\tfrac12\int_0^T\theta_u^2du)]<\infty\) 이면 \(Z_t\) 는 \([0,T]\) 에서 진정한 martingale이다.
증명
Itô 공식을 \(\log Z_t\) 에 적용하면 \(dZ_t=-\theta_t Z_t dW_t\) 이므로 \(Z_t\) 는 음이 아닌 local martingale이다. 음이 아닌 local martingale은 supermartingale이어서 \(\mathbb E[Z_t]\le 1\) 이다. 한편 정지시각 \(\tau_n:=\inf\{t:\int_0^t\theta_u^2du\ge n\}\wedge T\) 를 쓰면 정지과정 \(Z_{t\wedge\tau_n}\) 는 bounded exponential martingale이므로 기대값이 1이다. Novikov 조건은 이 정지과정들의 꼬리질량을 제어하여 균등적분가능성을 보장하고, 따라서 \(n\to\infty\) 를 보낼 때 \(\mathbb E[Z_t]=1\) 이 보존된다. 기대값을 잃지 않는 음이 아닌 supermartingale은 martingale이므로 결론이 성립한다.
정리 8.3의 \(Z_T\) 로 \(d\mathbb Q:=Z_T d\mathbb P\) 를 정의하자. 그러면
\[W_t^{\mathbb Q}:=W_t+\int_0^t\theta_u\,du\]
는 \(\mathbb Q\) 아래에서 브라운운동이다.
증명
먼저 \(W^{\mathbb Q}\) 는 연속 적응과정이고 \(W_0^{\mathbb Q}=0\) 이다. 정리 5.3을 적용하려면 \(W^{\mathbb Q}\) 와 \((W_t^{\mathbb Q})^2-t\) 가 \(\mathbb Q\)-martingale임을 보이면 충분하다.
Bayes 공식을 사용하면
\[\mathbb E_{\mathbb Q}[W_t^{\mathbb Q}-W_s^{\mathbb Q}\mid\mathcal F_s]=\frac{1}{Z_s}\mathbb E_{\mathbb P}\left[Z_t\left(W_t-W_s+\int_s^t\theta_u du\right)\middle|\mathcal F_s\right].\]
한편 \(dZ_t=-\theta_tZ_t dW_t\) 와 적분부분공식을 이용하면
\[d(Z_tW_t)=Z_t dW_t+W_t dZ_t+d\langle Z,W\rangle_t=Z_t dW_t-\theta_tZ_tW_t dW_t-\theta_t Z_t dt.\]
이를 \([s,t]\) 에서 적분한 뒤 조건부기댓값을 취하면 확률적분항의 기댓값은 0이므로
\[\mathbb E_{\mathbb P}[Z_t(W_t-W_s)\mid\mathcal F_s]=-\mathbb E_{\mathbb P}\left[\int_s^t Z_u\theta_u du\middle|\mathcal F_s\right].\]
따라서 위 식의 두 항이 정확히 상쇄되어 \(\mathbb E_{\mathbb Q}[W_t^{\mathbb Q}-W_s^{\mathbb Q}\mid\mathcal F_s]=0\) 이다. 즉 \(W^{\mathbb Q}\) 는 \(\mathbb Q\)-martingale이다. 또한 유한변동항은 이차변동을 바꾸지 않으므로 \([W^{\mathbb Q}]_t=t\) 이다. 따라서 \((W_t^{\mathbb Q})^2-t\) 역시 \(\mathbb Q\)-martingale이고, 정리 5.3에 의해 \(W^{\mathbb Q}\) 는 \(\mathbb Q\)-브라운운동이다.
무위험자산을 \(B_t\), 다른 양의 numeraire를 \(N_t\) 라 하자. \(\mathbb Q^B\) 를 \(B\)-numeraire measure, \(\mathbb Q^N\) 을 \(N\)-numeraire measure라 하면, 두 측도 사이의 밀도과정은
\[\left.\frac{d\mathbb Q^N}{d\mathbb Q^B}\right|_{\mathcal F_t}=\frac{N_t/B_t}{N_0/B_0}\]
로 주어진다. 또한 만기 \(T\) 의 payoff \(X_T\) 에 대한 가격은
\[V_t=N_t\,\mathbb E_{\mathbb Q^N}\left[\frac{X_T}{N_T}\middle|\mathcal F_t\right]\]
로 쓸 수 있다.
증명
\(B\)-측도 아래에서는 모든 discounted traded value가 martingale이므로 \(V_t/B_t\) 는 \(\mathbb Q^B\)-martingale이다. 따라서
\[\frac{V_t}{B_t}=\mathbb E_{\mathbb Q^B}\left[\frac{X_T}{B_T}\middle|\mathcal F_t\right].\]
이제 밀도과정
\[L_t:=\frac{N_t/B_t}{N_0/B_0}\]
를 정의하고 \(d\mathbb Q^N:=L_Td\mathbb Q^B\) 로 두자. Bayes 공식을 적용하면
\[\mathbb E_{\mathbb Q^N}\left[\frac{X_T}{N_T}\middle|\mathcal F_t\right]=\frac{1}{L_t}\mathbb E_{\mathbb Q^B}\left[L_T\frac{X_T}{N_T}\middle|\mathcal F_t\right].\]
그런데
\[L_T\frac{X_T}{N_T}=\frac{1}{N_0/B_0}\frac{N_T}{B_T}\frac{X_T}{N_T}=\frac{B_0}{N_0}\frac{X_T}{B_T}.\]
따라서
\[\mathbb E_{\mathbb Q^N}\left[\frac{X_T}{N_T}\middle|\mathcal F_t\right]=\frac{B_t}{N_t}\mathbb E_{\mathbb Q^B}\left[\frac{X_T}{B_T}\middle|\mathcal F_t\right]=\frac{V_t}{N_t}.\]
양변에 \(N_t\) 를 곱하면 원하는 식이 얻어진다. 이것이 numeraire derivative의 정확한 수학적 의미다. 자산가치를 특정 numeraire로 나누고 그 numeraire에 대응하는 측도로 옮기면 그 비율과정이 martingale이 된다.
Part B — Chapter 10 본문
10.1 서론
이 장은 시장조성자가 지정가주문만으로 재고를 매매하면서 terminal wealth를 어떻게 극대화하는지를 다룬다. 중간가격은 가장 단순한 경우 브라운운동 확산으로 두고, 제어변수는 주문을 중간가격으로부터 얼마나 떨어진 깊이에 게시할지다. 스프레드를 좁히면 체결은 잘 되지만 단위당 마진이 줄고, 스프레드를 넓히면 마진은 커지지만 체결되지 않을 가능성이 커진다. 시장조성의 수학은 이 trade-off를 HJB 안에서 정교하게 정리하는 일이다.
중간가격 \(S_t=S_0+\sigma W_t\), 깊이 \(\delta_t^\pm\), 외부 시장가주문 도착과정 \(M_t^\pm\), 체결 카운팅과정 \(N_t^\pm\), 현금과정 \(X_t\), 재고과정 \(Q_t\) 를 사용한다. 체결강도는
\[\Lambda_t^{\delta,\pm}=\lambda^\pm e^{-\kappa^\pm\delta_t^\pm}\]
로 쓴다.
10.2 기본 시장조성 문제
시장조성자는 재고 상하한을 두고, 만기에는 남은 재고를 시장가주문으로 청산한다. 따라서 목표함수는 terminal cash, terminal inventory liquidation value, running inventory penalty를 함께 포함한다.
\[H(t,x,s,q)=\sup_{\delta^\pm\in\mathcal A}\mathbb E_{t,x,s,q}\left[X_T+Q_T(S_T-\alpha Q_T)-\phi\int_t^TQ_u^2\,du\right].\]
허용전략 \(\delta^+,\delta^-\) 는 \(\mathcal F_t\)-예측가능하고 재고제약 \(\underline q\le q\le \bar q\) 을 위반하지 않는 깊이과정이다. 매도 지정가주문의 체결강도는 \(\Lambda_t^{+,\delta}=\lambda^+ e^{-\kappa^+\delta_t^+}1_{\{q_t>\underline q\}}\), 매수 지정가주문의 체결강도는 \(\Lambda_t^{-,\delta}=\lambda^- e^{-\kappa^-\delta_t^-}1_{\{q_t<\bar q\}}\) 이다. 또한 midprice 확산 \(dS_t=\sigma dW_t\) 에 대한 생성자는
\[\mathcal L^S f(t,x,s,q)=\partial_t f(t,x,s,q)+\frac12\sigma^2\partial_{ss}f(t,x,s,q)\]
로 쓴다.
이때 값함수는 형식적으로
\[\begin{aligned} 0={}&\;\partial_tH+\frac12\sigma^2\partial_{ss}H-\phi q^2\\ &+\lambda^+\sup_{\delta^+}\left\{e^{-\kappa^+\delta^+}\Big(H(t,x+s+\delta^+,s,q-1)-H(t,x,s,q)\Big)\right\}1_{\{q>\underline q\}}\\ &+\lambda^-\sup_{\delta^-}\left\{e^{-\kappa^-\delta^-}\Big(H(t,x-(s-\delta^-),s,q+1)-H(t,x,s,q)\Big)\right\}1_{\{q<\bar q\}} \end{aligned}\]
를 만족하고 terminal condition은
\[H(T,x,s,q)=x+q(s-\alpha q)\]
이다.
증명
고정된 시각 \(t\) 와 상태 \( (x,s,q) \) 에서 길이 \(dt\) 인 아주 짧은 구간을 본다. 동적계획원리로부터
\[H(t,x,s,q)=\sup_{\delta}\,\mathbb E\!\left[H\bigl(t+dt,X_{t+dt},S_{t+dt},Q_{t+dt}\bigr)-\phi q^2dt\right]+o(dt)\]
를 쓴다. 여기서 \(dt\) 구간에서 일어날 수 있는 1차 사건은 세 가지뿐이다. 첫째, 매도 지정가주문이 체결되는 사건 \(A^+\). 둘째, 매수 지정가주문이 체결되는 사건 \(A^-\). 셋째, 아무 체결도 없는 사건 \(A^0\) 이다. 포아송 강도 가정 때문에
\[\mathbb P(A^+)=\lambda^+e^{-\kappa^+\delta^+}1_{\{q>\underline q\}}dt+o(dt),\qquad \mathbb P(A^-)=\lambda^-e^{-\kappa^-\delta^-}1_{\{q<\bar q\}}dt+o(dt),\]
\[\mathbb P(A^0)=1-\mathbb P(A^+)-\mathbb P(A^-)=1-\Big(\Lambda^{+,\delta}+\Lambda^{-,\delta}\Big)dt+o(dt).\]
각 사건에서 상태변화를 적으면 다음과 같다.
\[A^+:\quad X_{t+dt}=x+s+\delta^+,\qquad Q_{t+dt}=q-1,\]
\[A^-:\quad X_{t+dt}=x-(s-\delta^-),\qquad Q_{t+dt}=q+1,\]
\[A^0:\quad X_{t+dt}=x,\qquad Q_{t+dt}=q,\qquad S_{t+dt}=s+\sigma\Delta W,\]
이며 \(\Delta W=W_{t+dt}-W_t\) 는 평균 0, 분산 \(dt\) 의 정규증분이다. 따라서 DPP 우변은
\[\begin{aligned} \sup_{\delta}\Bigg\{&\mathbb P(A^0)\,\mathbb E\bigl[H(t+dt,x,S_{t+dt},q)\mid A^0\bigr]\\ &+\mathbb P(A^+)H\bigl(t+dt,x+s+\delta^+,s,q-1\bigr)\\ &+\mathbb P(A^-)H\bigl(t+dt,x-(s-\delta^-),s,q+1\bigr)-\phi q^2dt\Bigg\}+o(dt). \end{aligned}\]
이제 no-fill 항을 Taylor 전개한다. 생성자 정의에 의해
\[\mathbb E\bigl[H(t+dt,x,S_{t+dt},q)\mid A^0\bigr] =H(t,x,s,q)+\left(\partial_tH+\frac12\sigma^2\partial_{ss}H\right)dt+o(dt).\]
이를 모두 대입하고, \(H(t,x,s,q)\) 를 양변에서 소거한 뒤, 남는 항을 \(dt\) 로 나누고 \(dt\downarrow0\) 극한을 보내면
\[\begin{aligned} 0={}&\;\partial_tH+\frac12\sigma^2\partial_{ss}H-\phi q^2\\ &+\lambda^+e^{-\kappa^+\delta^+}1_{\{q>\underline q\}}\Big(H(t,x+s+\delta^+,s,q-1)-H(t,x,s,q)\Big)\\ &+\lambda^-e^{-\kappa^-\delta^-}1_{\{q<\bar q\}}\Big(H(t,x-(s-\delta^-),s,q+1)-H(t,x,s,q)\Big) \end{aligned}\]
가 얻어진다. 마지막으로 제어 \(\delta^+,\delta^-\) 를 최적으로 선택해야 하므로 각 제어항 앞에 supremum을 붙이면 원하는 DPE가 나온다.
terminal condition은 만기에서 남은 재고 \(q\) 를 시장가주문으로 청산할 때 주당 \(s-\alpha q\) 를 받는다는 가정에서 직접 나온다. 만기 현금가치는
\[x+q(s-\alpha q)\]
이므로
\[H(T,x,s,q)=x+q(s-\alpha q)\]
이다. 증명 끝.
mark-to-market 분해란 현재 현금 \(x\), 현재 중간가격으로 평가한 재고가치 \(qs\), 그리고 남은 전략가치 \(h(t,q)\) 를 분리하여 값함수를
\[H(t,x,s,q)=x+qs+h(t,q)\]
로 쓰는 것이다. 여기서 \(h(t,q)\) 는 앞으로의 체결기회, 재고위험, 만기청산비용이 만들어내는 순수한 continuation value다.
위 ansatz를 놓으면 \(h\) 는
\[\begin{aligned} \phi q^2={}&\;\partial_t h(t,q)\\ &+\lambda^+\sup_{\delta^+}e^{-\kappa^+\delta^+}\bigl(\delta^++h(t,q-1)-h(t,q)\bigr)1_{\{q>\underline q\}}\\ &+\lambda^-\sup_{\delta^-}e^{-\kappa^-\delta^-}\bigl(\delta^-+h(t,q+1)-h(t,q)\bigr)1_{\{q<\bar q\}} \end{aligned}\]
와 terminal condition \(h(T,q)=-\alpha q^2\) 를 만족한다. 또한 내부해가 존재하는 구간에서는 최적 깊이가
\[\delta^{+,*}(t,q)=\frac1{\kappa^+}-h(t,q-1)+h(t,q),\qquad \delta^{-,*}(t,q)=\frac1{\kappa^-}-h(t,q+1)+h(t,q)\]
가 된다.
증명
먼저 ansatz를 DPE에 대입한다. \(\partial_t(x+qs)=0\), \(\partial_{ss}(x+qs)=0\) 이므로
\[\partial_tH=\partial_t h(t,q),\qquad \partial_{ss}H=0.\]
다음으로 ask fill이 일어났을 때의 값증가를 계산한다.
\[\begin{aligned} &H\bigl(t,x+s+\delta^+,s,q-1\bigr)-H(t,x,s,q)\\ &=\Big(x+s+\delta^+\Big)+(q-1)s+h(t,q-1)-\Big(x+qs+h(t,q)\Big)\\ &=x+s+\delta^++qs-s+h(t,q-1)-x-qs-h(t,q)\\ &=\delta^++h(t,q-1)-h(t,q). \end{aligned}\]
bid fill도 같은 방식으로 계산하면
\[\begin{aligned} &H\bigl(t,x-(s-\delta^-),s,q+1\bigr)-H(t,x,s,q)\\ &=\Big(x-s+\delta^-\Big)+(q+1)s+h(t,q+1)-\Big(x+qs+h(t,q)\Big)\\ &=\delta^-+h(t,q+1)-h(t,q). \end{aligned}\]
따라서 DPE는 정확히 위의 \(h\)-방정식으로 축소된다. 만기조건도
\[x+qs+h(T,q)=x+q(s-\alpha q)\]
에서 양변의 \(x+qs\) 를 지우면
\[h(T,q)=-\alpha q^2\]
를 얻는다.
이제 ask 측 최적화를 푼다. 편의를 위해
\[c_+(t,q):=h(t,q-1)-h(t,q)\]
라고 두면 ask 목적함수는
\[F_+(\delta)=e^{-\kappa^+\delta}\bigl(\delta+c_+(t,q)\bigr)\]
가 된다. 미분하면
\[\begin{aligned} F_+'(\delta) &=-\kappa^+e^{-\kappa^+\delta}(\delta+c_+)+e^{-\kappa^+\delta}\\ &=e^{-\kappa^+\delta}\Big(1-\kappa^+(\delta+c_+)\Big). \end{aligned}\]
일차조건 \(F_+'(\delta)=0\) 은
\[1-\kappa^+(\delta+c_+)=0\]
와 동치이므로
\[\delta^{+,*}=\frac1{\kappa^+}-c_+=\frac1{\kappa^+}-h(t,q-1)+h(t,q).\]
이 해가 최대점인지 확인하려면 이차도함수를 보면 된다.
\[\begin{aligned} F_+''(\delta) &=-\kappa^+e^{-\kappa^+\delta}\Big(1-\kappa^+(\delta+c_+)\Big)-\kappa^+e^{-\kappa^+\delta}\\ &=-\kappa^+e^{-\kappa^+\delta}\Big(2-\kappa^+(\delta+c_+)\Big). \end{aligned}\]
정상점에서는 \(\kappa^+(\delta+c_+)=1\) 이므로
\[F_+''(\delta^{+,*})=-\kappa^+e^{-\kappa^+\delta^{+,*}}<0.\]
따라서 정상점은 엄밀히 최대점이다. bid 측도 동일하게
\[c_-(t,q):=h(t,q+1)-h(t,q),\qquad F_-(\delta)=e^{-\kappa^-\delta}(\delta+c_-(t,q))\]
로 놓고 같은 계산을 하면
\[\delta^{-,*}=\frac1{\kappa^-}-h(t,q+1)+h(t,q)\]
를 얻는다. 경계 \(q=\underline q\) 에서는 더 이상 sell fill로 재고를 줄이는 방향만 허용되고, \(q=\bar q\) 에서는 반대로 bid 측만 허용되므로 indicator가 그 경계를 정확히 반영한다. 증명 끝.
이 식의 경제적 의미는 명확하다. 기본수준 \(1/\kappa^\pm\) 는 순수한 체결확률 대 마진의 균형점이다. 여기에 \(-h(t,q-1)+h(t,q)\), \(-h(t,q+1)+h(t,q)\) 이 더해져 inventory가 긴지 짧은지에 따라 호가가 비대칭이 된다.
10.2.1 재고 제약이 없는 경우
만약 \(\phi=\alpha=0\) 이고 inventory bound도 없으면 재고는 전혀 불편하지 않으므로 시장조성자는 당장의 체결확률 대 마진의 곱만 최적화하면 된다.
무제약 모형이란 \(\phi=0\), \(\alpha=0\), \(\underline q=-\infty\), \(\bar q=+\infty\) 인 경우를 말한다. 즉 running inventory penalty도 없고 만기청산 비용도 없으며 보유재고 제한도 없다.
이 경우 최적 깊이는 시간과 재고에 무관하게
\[\delta^{+,*}=\frac1{\kappa^+},\qquad \delta^{-,*}=\frac1{\kappa^-}\]
가 된다. 또한 continuation value는
\[h(t)=\left(\frac{\lambda^+}{e\kappa^+}+\frac{\lambda^-}{e\kappa^-}\right)(T-t)\]
이다.
증명
무제약 모형에서는 재고 \(q\) 를 불리하게 여기는 항이 완전히 사라진다. 따라서 값함수는 재고에 의존하는 추가항 없이
\[H(t,x,s,q)=x+qs+h(t)\]
로 둘 수 있다. 실제로 이 ansatz를 DPE에 넣어 보자. ask fill 값증가는
\[\begin{aligned} &H(t,x+s+\delta^+,s,q-1)-H(t,x,s,q)\\ &=(x+s+\delta^+)+(q-1)s+h(t)-\bigl(x+qs+h(t)\bigr)=\delta^+. \end{aligned}\]
bid fill도 마찬가지로
\[H(t,x-(s-\delta^-),s,q+1)-H(t,x,s,q)=\delta^-\]
가 된다. 따라서 축소된 방정식은
\[0=\partial_t h+\lambda^+\sup_{\delta^+}\Big(e^{-\kappa^+\delta^+}\delta^+\Big)+\lambda^-\sup_{\delta^-}\Big(e^{-\kappa^-\delta^-}\delta^-\Big),\qquad h(T)=0.\]
이제 ask 측 목적함수
\[F_+(\delta)=e^{-\kappa^+\delta}\delta\]
를 미분하면
\[F_+'(\delta)=e^{-\kappa^+\delta}(1-\kappa^+\delta).\]
일차조건은
\[1-\kappa^+\delta=0\]
이므로
\[\delta^{+,*}=\frac1{\kappa^+}.\]
이차도함수는
\[F_+''(\delta)=-\kappa^+e^{-\kappa^+\delta}(2-\kappa^+\delta)\]
이고 최적점에서
\[F_+''(\delta^{+,*})=-\kappa^+e^{-1}<0\]
이므로 최대가 맞다. bid 측도 완전히 같아서
\[\delta^{-,*}=\frac1{\kappa^-}\]
를 얻는다.
최적깊이를 축소 방정식에 다시 넣으면
\[0=\partial_t h+\lambda^+e^{-1}\frac1{\kappa^+}+\lambda^-e^{-1}\frac1{\kappa^-}\]
즉
\[0=\partial_t h+\frac{\lambda^+}{e\kappa^+}+\frac{\lambda^-}{e\kappa^-}.\]
따라서
\[\partial_t h=-\left(\frac{\lambda^+}{e\kappa^+}+\frac{\lambda^-}{e\kappa^-}\right).\]
만기조건 \(h(T)=0\) 을 적분하면
\[h(t)=\left(\frac{\lambda^+}{e\kappa^+}+\frac{\lambda^-}{e\kappa^-}\right)(T-t).\]
즉 무제약 시장조성자는 inventory 관리가 아니라 순간별 margin과 fill probability의 곱을 극대화하는 깊이 \(1/\kappa^\pm\) 만을 반복해서 게시한다. 증명 끝.
위의 기본 시장조성 모형은 연속 깊이 제어만으로도 재고 평균회귀, 만기 청산 유인, penalty의 역할을 분명하게 드러낸다. 아래 그림들은 그 정량적 결과를 보여준다. 그림은 모두 PDF 원문의 도표 부분만 잘라 독립 이미지로 삽입하였다.
그림 10.1. 시간과 재고 수준에 따른 최적 sell/buy depth. 만기 근처에서 모든 곡선이 하나의 청산 유도 수준으로 수렴한다.
그림 10.2. 장기 inventory drift의 부호 변화와 목표 재고 수준. fill-rate의 비대칭이 재고 평균회귀를 만든다.
그림 10.3. 한 경로에서의 inventory path와 midprice path. 실제 체결 순서에 따라 호가 비대칭이 어떻게 재조정되는지 보여준다.
그림 10.4. running inventory penalty 변화에 따른 P&L과 lifetime inventory 분포. \(\phi\)가 커질수록 이익 분포는 좌측으로 이동하고 재고는 더 자주 0 근처에 머문다.
10.2.2 at-the-touch market making
매우 유동적인 시장에서는 주문이 깊은 호가단까지 걷어내지 않고 best bid와 best offer에서만 체결되는 경우가 많다. 이때 제어변수는 연속적인 깊이 \(\delta_t^\pm\)가 아니라, 해당 시점에 최우선 호가에 실제로 posted 상태인지 여부를 나타내는 이진 변수 \(\ell_t^\pm\in\{0,1\}\) 이다. \(\ell_t^+=1\)이면 매도호가 측 at-the-touch에 한 단위 LO를 게시하고, \(\ell_t^-=1\)이면 매수호가 측 at-the-touch에 한 단위 LO를 게시한다.
스프레드는 상수 \(\Delta\)로 두고, midprice가 \(S_t\)이면 최우선 매도호가는 \(S_t+\Delta/2\), 최우선 매수호가는 \(S_t-\Delta/2\)이다. filled LO counting process를 \(N_t^{+,\ell},N_t^{-,\ell}\)라 하면, 게시 중일 때 matching MO가 도착하면 fill probability는 1이라고 가정하므로 이들 과정의 강도는 각각 \(\ell_t^+\lambda^+\), \(\ell_t^-\lambda^-\) 이다.
성과기준을
\[ H^\ell(t,x,S,q)=\mathbb E_{t,x,S,q}\left[X_T^\ell+Q_T^\ell\Bigl(S_T-\bigl(\tfrac{\Delta}2+\varphi Q_T^\ell\bigr)\Bigr)-\phi\int_t^T (Q_u^\ell)^2\,du\right] \]
로 두고, 현금과 재고의 dynamics를
\[ dX_t^\ell=\Bigl(S_t+\frac{\Delta}2\Bigr)dN_t^{+,\ell}-\Bigl(S_t-\frac{\Delta}2\Bigr)dN_t^{-,\ell},\qquad dQ_t^\ell=dN_t^{-,\ell}-dN_t^{+,\ell} \]
로 놓는다. admissible strategy는 \(\mathcal F_t\)-predictable하고, 재고가 상한 \(\bar q\)에 닿으면 더 이상 매수측 posting을 하지 않으며, 하한 \(\underline q\)에 닿으면 더 이상 매도측 posting을 하지 않는 전략이다. 그러면 값함수
\[ H(t,x,S,q)=\sup_{\ell\in\mathcal A}H^\ell(t,x,S,q) \]
는 다음 DPE를 만족한다.
\[ \begin{aligned} 0={}&(\partial_t+\tfrac12\sigma^2\partial_{SS})H-\phi q^2 \\ &+\lambda^+\max_{\ell^+\in\{0,1\}}\Bigl\{\bigl(H(t,x+(S+\tfrac\Delta2)\ell^+,S,q-\ell^+)-H\bigr)\mathbf 1_{\{q>\underline q\}}\Bigr\} \\ &+\lambda^-\max_{\ell^-\in\{0,1\}}\Bigl\{\bigl(H(t,x-(S-\tfrac\Delta2)\ell^-,S,q+\ell^-)-H\bigr)\mathbf 1_{\{q<\bar q\}}\Bigr\}, \end{aligned} \]
terminal condition은
\[ H(T,x,S,q)=x+q\Bigl(S-\bigl(\tfrac\Delta2+\varphi q\bigr)\Bigr) \]
이다. 또한 ansatz
\[ H(t,x,S,q)=x+qS+h(t,q) \]
를 대입하면 \(h\)는
\[ \begin{aligned} 0={}&\partial_t h-\phi q^2 \\ &+\lambda^+\max_{\ell^+\in\{0,1\}}\Bigl\{{\ell^+\tfrac\Delta2+\bigl[h(t,q-\ell^+)-h(t,q)\bigr]}\Bigr\}\mathbf 1_{\{q>\underline q\}} \\ &+\lambda^-\max_{\ell^-\in\{0,1\}}\Bigl\{{\ell^-\tfrac\Delta2+\bigl[h(t,q+\ell^-)-h(t,q)\bigr]}\Bigr\}\mathbf 1_{\{q<\bar q\}}, \end{aligned} \]
와 terminal condition
\[ h(T,q)=-q\Bigl(\tfrac\Delta2+\varphi q\Bigr) \]
를 만족한다. 따라서 최적 posting은
\[ \ell^{+,*}(t,q)=\mathbf 1_{\left\{\tfrac\Delta2+h(t,q-1)-h(t,q)>0\right\}\cap\{q>\underline q\}},\qquad \ell^{-,*}(t,q)=\mathbf 1_{\left\{\tfrac\Delta2+h(t,q+1)-h(t,q)>0\right\}\cap\{q<\bar q\}} \]
로 주어진다.
증명
증명은 연속 depth 제어를 다룬 10.2의 DPE 유도와 완전히 같은 구조를 갖지만, 제어변수가 \\(\ell^+,\ell^-\\in\{0,1\})\\) 인 이산변수라는 점과 fill probability가 1이라는 점을 한 줄씩 반영해야 한다. 고정된 시각 \\(t\\) 와 상태 \\((x,S,q)\\) 에서 길이 \\(dt\\) 의 미소구간 \\([t,t+dt]\\) 를 잡는다.
이 구간에서 1차까지 고려해야 할 사건은 정확히 세 가지다. 첫째, ask 측에 게시 중이고 buy MO가 도착하여 매도 LO가 체결되는 사건, 둘째, bid 측에 게시 중이고 sell MO가 도착하여 매수 LO가 체결되는 사건, 셋째, 아무 체결도 발생하지 않는 사건이다. 이때 \\(\ell_t^+=1\\) 인 경우 ask fill intensity는 \\(\lambda^+\\), \\(\ell_t^+=0\\) 인 경우 ask fill intensity는 0이므로
\[ \mathbb P\bigl(dN_t^{+,\ell}=1\bigr)=\ell_t^+\lambda^+dt+o(dt),\qquad \mathbb P\bigl(dN_t^{-,\ell}=1\bigr)=\ell_t^-\lambda^-dt+o(dt) \]
가 된다. 따라서 no-fill 사건의 확률은
\[ 1-\ell_t^+\lambda^+dt-\ell_t^-\lambda^-dt+o(dt) \]
이다. 동적계획원리에 의해 값함수는
\[ H(t,x,S,q)=\sup_{\ell\in\mathcal A}\,\mathbb E\Bigl[H(t+dt,X_{t+dt},S_{t+dt},Q_{t+dt})-\phi q^2dt\Bigr]+o(dt) \]
를 만족한다. 여기서 midprice는 \\(dS_t=\sigma dW_t\\) 이므로 no-fill 경우에 대해서는 표준 Itô-Taylor 전개로
\[ \mathbb E\bigl[H(t+dt,x,S_{t+dt},q)\mid \text{no fill}\bigr] =H(t,x,S,q)+\Bigl(\partial_t+\tfrac12\sigma^2\partial_{SS}\Bigr)H\,dt+o(dt) \]
를 얻는다.
이제 체결이 일어난 경우의 상태증가를 쓴다. ask 측에 게시되어 있고 체결이 일어나면 현금은 \\(x\mapsto x+S+\Delta/2\\), 재고는 \\(q\mapsto q-1\\) 로 바뀐다. bid 측 체결이면 \\(x\mapsto x-(S-\Delta/2)\\), \\(q\mapsto q+1\\) 이다. 따라서 DPP 우변의 1차항은
\[ \begin{aligned} H(t,x,S,q) &+\Bigl(\partial_t+\tfrac12\sigma^2\partial_{SS}\Bigr)H\,dt-\phi q^2dt\\ &+\ell^+\lambda^+dt\Bigl(H(t,x+S+\tfrac\Delta2,S,q-1)-H(t,x,S,q)\Bigr)\\ &+\ell^-\lambda^-dt\Bigl(H(t,x-(S-\tfrac\Delta2),S,q+1)-H(t,x,S,q)\Bigr)+o(dt). \end{aligned} \]
양변에서 \\(H(t,x,S,q)\\) 를 빼고 \\(dt\\) 로 나눈 뒤 \\(dt\downarrow0\\) 를 보내면, 고정된 제어 \\(\ell\\) 에 대해
\[ \begin{aligned} 0={}&\Bigl(\partial_t+\tfrac12\sigma^2\partial_{SS}\Bigr)H-\phi q^2\\ &+\ell^+\lambda^+\Bigl(H(t,x+S+\tfrac\Delta2,S,q-1)-H\Bigr)1_{\{q>\underline q\}}\\ &+\ell^-\lambda^-\Bigl(H(t,x-(S-\tfrac\Delta2),S,q+1)-H\Bigr)1_{\{q<\bar q\}} \end{aligned} \]
가 나오고, \\(\ell^+,\ell^-\\in\{0,1\})\\) 에 대해 최적화하면 진술한 DPE가 된다. 만기조건은 만기 시점에 남은 재고를 \\(S-\Delta/2-\varphi q\\) 의 유효가격으로 청산한다는 가정에서 직접
\[ H(T,x,S,q)=x+q\Bigl(S-\bigl(\tfrac\Delta2+\varphi q\bigr)\Bigr) \]
로 얻어진다.
다음으로 ansatz \\(H(t,x,S,q)=x+qS+h(t,q)\\) 를 대입한다. 시간 및 가격 미분항은
\[ \partial_tH=\partial_t h(t,q),\qquad \partial_{SS}H=0 \]
가 된다. ask 측 체결증가는 \\(\ell^+\\in\{0,1\})\\) 를 유지한 채 정확히
\[ \begin{aligned} &H\Bigl(t,x+(S+\tfrac\Delta2)\ell^+,S,q-\ell^+\Bigr)-H(t,x,S,q)\\ &=\Bigl(x+(S+\tfrac\Delta2)\ell^+\Bigr)+(q-\ell^+)S+h(t,q-\ell^+)-\bigl(x+qS+h(t,q)\bigr)\\ &=\ell^+\tfrac\Delta2+h(t,q-\ell^+)-h(t,q) \end{aligned} \]
이고, bid 측은
\[ H\Bigl(t,x-(S-\tfrac\Delta2)\ell^-,S,q+\ell^-\Bigr)-H(t,x,S,q)=\ell^-\tfrac\Delta2+h(t,q+\ell^-)-h(t,q) \]
이다. 이를 방정식에 넣으면 진술한 \\(h\\)-방정식이 그대로 나온다. 마지막으로 \\(\ell^+\\) 의 최적화는 이산 최적화이므로 후보 \\(0\\) 과 \\(1\\) 을 직접 비교하면 된다. \\(\ell^+=0\\) 이면 ask 측 기여는 0이고, \\(\ell^+=1\\) 이면 ask 측 기여는
\[ \tfrac\Delta2+h(t,q-1)-h(t,q) \]
이다. 따라서 이 값이 양수일 때만 게시하는 것이 최적이며, 정확히
\[ \ell^{+,*}(t,q)=1_{\{\frac\Delta2+h(t,q-1)-h(t,q)>0\}\cap\{q>\underline q\}} \]
를 얻는다. bid 측도 동일하게
\[ \ell^{-,*}(t,q)=1_{\{\frac\Delta2+h(t,q+1)-h(t,q)>0\}\cap\{q<\bar q\}} \]
가 된다. 증명 끝.
이 결과의 핵심은 단순하다. at-the-touch 환경에서는 더 이상 “얼마나 멀리” 게시할지 고르는 것이 아니라, “지금 이 순간 게시할지 말지”를 고른다. 따라서 정책함수는 연속적인 depth surface가 아니라 inventory와 잔존시간의 영역분할 문제로 바뀐다. 중심영역에서는 양쪽을 모두 게시해 스프레드를 수취하고, 경계 바깥으로 밀려나면 한쪽만 게시해 inventory를 되돌린다.
그림 10.5. at-the-touch 모형에서 시간과 inventory에 따른 최적 posting 영역. 특정 영역 밖에서는 한쪽 호가만 게시하여 재고를 다시 중심영역으로 밀어 넣는다.
그림 10.5를 보면 녹색 영역은 양쪽 posting, 상단 영역은 매도만 posting, 하단 영역은 매수만 posting인 영역이다. \(\phi\)가 커질수록 양쪽 posting 영역은 빠르게 수축한다. 이는 running penalty가 강할수록 작은 inventory도 곧바로 청산하려 하기 때문이다.
10.2.3 주문 수량 최적화
이 절에서는 LO를 게시할 때 언제나 한 단위만 내는 것이 아니라, 게시 수량 자체 \(\ell_t^\pm\)를 제어변수로 둔다. 허용 가능한 posted volume은 재고 한계를 넘기지 않아야 하므로
\[ \ell_t^+\in\{0,1,2,\dots,q_t-\underline q\},\qquad \ell_t^-\in\{0,1,2,\dots,\bar q-q_t\} \]
이다. 한편 matching MO가 도착했을 때 전체 수량이 모두 체결될 확률을 \(p(\ell)\)라 두며, 대표적으로 \(p(\ell)=e^{-\kappa \ell}\) 같은 감소함수를 사용할 수 있다. 즉 수량을 크게 걸수록 한 번 체결될 때 얻는 현금흐름은 커지지만, 체결확률은 낮아진다.
성과기준을
\[ H^\ell(t,x,S,q)=\mathbb E_{t,x,S,q}\left[X_T^\ell+Q_T^\ell\Bigl(S_T-\bigl(\tfrac\Delta2+\varphi Q_T^\ell\bigr)\Bigr)-\phi\int_t^T(Q_u^\ell)^2\,du\right] \]
로 두고 현금과 재고 dynamics를
\[ dX_t^\ell=\Bigl(S_t+\tfrac\Delta2\Bigr)\ell_t^+\,dN_t^{+,\ell}-\Bigl(S_t-\tfrac\Delta2\Bigr)\ell_t^-\,dN_t^{-,\ell},\qquad dQ_t^\ell=\ell_t^-\,dN_t^{-,\ell}-\ell_t^+\,dN_t^{+,\ell} \]
로 놓는다. 이때 counting process \(N_t^{\pm,\ell}\)의 강도는
\[ p(\ell_t^+)\lambda^+\mathbf 1_{\{\ell_t^+>0\}},\qquad p(\ell_t^-)\lambda^-\mathbf 1_{\{\ell_t^->0\}} \]
이다. 그러면 값함수 \(H=\sup_{\ell\in\mathcal A}H^\ell\)는
\[ \begin{aligned} 0={}&(\partial_t+\tfrac12\sigma^2\partial_{SS})H-\phi q^2 \\ &+\lambda^+\max_{\ell^+\in\{0,1,\dots,q-\underline q\}}\Bigl\{p(\ell^+)\bigl(H(t,x+(S+\tfrac\Delta2)\ell^+,S,q-\ell^+)-H\bigr)\Bigr\}\mathbf 1_{\{q>\underline q\}} \\ &+\lambda^-\max_{\ell^-\in\{0,1,\dots,\bar q-q\}}\Bigl\{p(\ell^-)\bigl(H(t,x-(S-\tfrac\Delta2)\ell^-,S,q+\ell^-)-H\bigr)\Bigr\}\mathbf 1_{\{q<\bar q\}} , \end{aligned} \]
를 만족한다. ansatz \(H(t,x,S,q)=x+qS+h(t,q)\)를 대입하면
\[ \begin{aligned} 0={}&\partial_t h-\phi q^2 \\ &+\lambda^+\max_{\ell^+\in\{0,1,\dots,q-\underline q\}}\Bigl\{p(\ell^+)\bigl(\ell^+\tfrac\Delta2+h(t,q-\ell^+)-h(t,q)\bigr)\Bigr\}\mathbf 1_{\{q>\underline q\}} \\ &+\lambda^-\max_{\ell^-\in\{0,1,\dots,\bar q-q\}}\Bigl\{p(\ell^-)\bigl(\ell^-\tfrac\Delta2+h(t,q+\ell^-)-h(t,q)\bigr)\Bigr\}\mathbf 1_{\{q<\bar q\}} \end{aligned} \]
와 terminal condition \(h(T,q)=-q(\Delta/2+\varphi q)\)를 얻는다.
증명
이번에는 제어변수가 이산 posting indicator가 아니라 이산 volume \\(\ell_t^+,\ell_t^-\\) 이다. 따라서 증명의 핵심은 체결이 일어났을 때 재고와 현금이 한 단위가 아니라 \\(\ell^\pm\\) 단위만큼 한꺼번에 점프한다는 점, 그리고 그 체결확률이 \\(p(\ell^\pm)\\) 로 volume에 의존한다는 점을 정확히 써 주는 것이다.
고정된 상태 \\((t,x,S,q)\\) 와 미소시간 \\(dt\\) 를 잡자. ask 측에 \\(\ell^+\\) 단위를 게시해 두었다고 하자. 그러면 \\(dt\\) 구간에서 ask 쪽 체결이 일어날 확률은
\[ \lambda^+p(\ell^+)1_{\{\ell^+>0\}}dt+o(dt) \]
이며, bid 측은 마찬가지로
\[ \lambda^-p(\ell^-)1_{\{\ell^->0\}}dt+o(dt) \]
이다. 체결이 없을 확률은 1에서 위 두 값을 뺀 것이다. 동적계획원리는
\[ H(t,x,S,q)=\sup_{\ell\in\mathcal A}\mathbb E\Bigl[H(t+dt,X_{t+dt},S_{t+dt},Q_{t+dt})-\phi q^2dt\Bigr]+o(dt) \]
를 준다. no-fill 사건에서는 midprice만 확산하므로
\[ \mathbb E\bigl[H(t+dt,x,S_{t+dt},q)\mid \text{no fill}\bigr] =H(t,x,S,q)+\Bigl(\partial_t+\tfrac12\sigma^2\partial_{SS}\Bigr)H\,dt+o(dt) \]
이다.
이제 체결 시 상태변화를 적는다. ask 측에서 \\(\ell^+\\) 단위가 체결되면
\[ X_{t+dt}=x+\Bigl(S+\tfrac\Delta2\Bigr)\ell^+, \qquad Q_{t+dt}=q-\ell^+, \]
bid 측에서 \\(\ell^-\\) 단위가 체결되면
\[ X_{t+dt}=x-\Bigl(S-\tfrac\Delta2\Bigr)\ell^-, \qquad Q_{t+dt}=q+\ell^-. \]
따라서 DPP의 1차항은
\[ \begin{aligned} H(t,x,S,q) &+\Bigl(\partial_t+\tfrac12\sigma^2\partial_{SS}\Bigr)H\,dt-\phi q^2dt\\ &+\lambda^+p(\ell^+)dt\Bigl(H(t,x+(S+\tfrac\Delta2)\ell^+,S,q-\ell^+)-H\Bigr)1_{\{q>\underline q\}}\\ &+\lambda^-p(\ell^-)dt\Bigl(H(t,x-(S-\tfrac\Delta2)\ell^-,S,q+\ell^-)-H\Bigr)1_{\{q<\bar q\}}+o(dt) \end{aligned} \]
가 된다. 양변에서 \\(H(t,x,S,q)\\) 를 빼고 \\(dt\\) 로 나누면 진술한 DPE가 곧바로 나온다.
이제 ansatz \\(H(t,x,S,q)=x+qS+h(t,q)\\) 를 넣어 축소식을 유도한다. ask 측 값증가는
\[ \begin{aligned} &H\Bigl(t,x+(S+\tfrac\Delta2)\ell^+,S,q-\ell^+\Bigr)-H(t,x,S,q)\\ &=\Bigl(x+(S+\tfrac\Delta2)\ell^+\Bigr)+(q-\ell^+)S+h(t,q-\ell^+)-\bigl(x+qS+h(t,q)\bigr)\\ &=\ell^+\tfrac\Delta2+h(t,q-\ell^+)-h(t,q). \end{aligned} \]
bid 측은
\[ H\Bigl(t,x-(S-\tfrac\Delta2)\ell^-,S,q+\ell^-\Bigr)-H(t,x,S,q)=\ell^-\tfrac\Delta2+h(t,q+\ell^-)-h(t,q) \]
이다. 따라서 \\(h\\)-방정식은
\[ \begin{aligned} 0={}&\partial_t h-\phi q^2\\ &+\lambda^+\max_{\ell^+\in\{0,1,\dots,q-\underline q\}}p(\ell^+)\Bigl(\ell^+\tfrac\Delta2+h(t,q-\ell^+)-h(t,q)\Bigr)1_{\{q>\underline q\}}\\ &+\lambda^-\max_{\ell^-\in\{0,1,\dots,\bar q-q\}}p(\ell^-)\Bigl(\ell^-\tfrac\Delta2+h(t,q+\ell^-)-h(t,q)\Bigr)1_{\{q<\bar q\}} \end{aligned} \]
가 된다. 만기조건은 항상
\[ h(T,q)=-q\Bigl(\tfrac\Delta2+\varphi q\Bigr) \]
이다. 마지막으로 최적 volume은 연속 미분으로 폐형식을 얻는 문제가 아니라, 허용 가능한 모든 정수 \\(\ell\\) 에 대해 목적함수
\[ p(\ell)\Bigl(\ell\tfrac\Delta2+h(t,q\mp \ell)-h(t,q)\Bigr) \]
를 실제로 비교하여 선택하는 문제다. 따라서 최적 posted volume은 체결확률 감소와 inventory 조정효과를 동시에 반영한 이산 argmax로 결정된다. 증명 끝.
이 절의 핵심은 “한 번에 0으로 되돌리는 것”이 일반적으로 최적이 아니라는 점이다. 수량을 너무 크게 올리면 \(p(\ell)\)가 급격히 낮아져 아예 체결이 안 될 가능성이 커진다. 따라서 최적 posted volume은 즉시 inventory를 완전히 제거하기보다, 높은 체결확률과 유의미한 inventory 조정 사이의 절충을 택한다.
그림 10.6. at-the-touch 환경에서 최적 posted volume의 시간별 변화. inventory가 커질수록 반대 방향 청산을 유도하는 측의 게시 수량이 커진다.
그림 10.7. 초기시점에서 inventory에 따른 최적 posted volume. 큰 재고라 하더라도 한 번에 0으로 보내지 않고 단계적으로 되돌리는 최적 수량이 선택된다.
그림 10.6과 그림 10.7은 이 점을 아주 분명하게 보여준다. inventory가 양수로 커질수록 sell-side posted volume은 증가하지만, 여전히 한 번의 체결로 재고를 0으로 만드는 양보다 작은 수준이 선택되는 구간이 넓다. 즉 최적정책은 급격한 청산보다는 단계적 복귀를 선호한다.
10.3 효용극대화 시장조성자
이번에는 terminal cash를 선형으로 최대화하는 대신 지수효용 \(u(x)=-e^{-\gamma x}\) 를 쓴다. 그러면 시장조성자는 기대수익뿐 아니라 cash outcome의 분산 자체를 싫어하게 된다.
효용함수 \(u(x)=-e^{-\gamma x}\) 는 절대위험회피도가 상수 \(\gamma>0\) 인 CARA 효용이다. 이 경우 값함수는 지수형태를 유지하므로
\[G(t,x,s,q)=-e^{-\gamma(x+qs+g(t,q))}\]
라는 ansatz를 두면 \(g(t,q)\) 가 certainty-equivalent correction 역할을 한다.
값함수
\[G(t,x,s,q)=\sup_\delta \mathbb E\left[-\exp\bigl(-\gamma(X_T+Q_T(S_T-\alpha Q_T))\bigr)\right]\]
에 대해 위 ansatz를 쓰면 최적 깊이는
\[\delta_t^{+,*}=\frac1\gamma\log\left(1+\frac\gamma{\kappa^+}\right)+g(t,q)-g(t,q-1),\]
\[\delta_t^{-,*}=\frac1\gamma\log\left(1+\frac\gamma{\kappa^-}\right)+g(t,q)-g(t,q+1)\]
가 된다.
증명
이 정리의 핵심은 지수효용 아래에서는 값함수가 음수인 지수형태를 유지한다는 점이다. 따라서 \\(G=-e^{-\gamma(x+qs+g)}\\) 를 대입하면 HJB 전체에서 공통인수 \\(-\gamma G>0\\) 를 묶어 낼 수 있고, 최적화는 depth에 대한 1변수 문제로 환원된다.
먼저
\[ Y(t,x,s,q):=x+qs+g(t,q),\qquad G(t,x,s,q)=-e^{-\gamma Y(t,x,s,q)} \]
로 둔다. 그러면 미분은
\[ \partial_tG=-\gamma G\,\partial_t g, \qquad \partial_sG=-\gamma qG, \qquad \partial_{ss}G=\gamma^2q^2G \]
가 된다. ask 측 체결 후 상태는 \\(x\mapsto x+s+\delta^+\\), \\(q\mapsto q-1\\) 이므로
\[ \begin{aligned} G\bigl(t,x+s+\delta^+,s,q-1\bigr) &=-\exp\Bigl(-\gamma\bigl[x+s+\delta^++(q-1)s+g(t,q-1)\bigr]\Bigr)\\ &=-\exp\Bigl(-\gamma\bigl[x+qs+\delta^++g(t,q-1)\bigr]\Bigr)\\ &=G(t,x,s,q)\exp\Bigl(-\gamma\bigl[\delta^++g(t,q-1)-g(t,q)\bigr]\Bigr). \end{aligned} \]
따라서 ask 측 증가분은
\[ G\bigl(t,x+s+\delta^+,s,q-1\bigr)-G(t,x,s,q) =G(t,x,s,q)\Bigl(e^{-\gamma(\delta^++c_+)}-1\Bigr) \]
이고 여기서
\[ c_+(t,q):=g(t,q-1)-g(t,q) \]
이다. HJB에 대입한 뒤 \\(-\gamma G\\) 로 나누면 ask 측 최적화는
\[ \sup_{\delta^+}F_+(\delta^+), \qquad F_+(\delta):=e^{-\kappa^+\delta}\frac{1-e^{-\gamma(\delta+c_+)}}{\gamma} \]
가 된다. 이제 이를 직접 미분한다.
\[ \begin{aligned} F_+'(\delta) &=-\kappa^+e^{-\kappa^+\delta}\frac{1-e^{-\gamma(\delta+c_+)}}{\gamma} +e^{-\kappa^+\delta}e^{-\gamma(\delta+c_+)}\\ &=e^{-\kappa^+\delta}\left[-\frac{\kappa^+}{\gamma}\Bigl(1-e^{-\gamma(\delta+c_+)}\Bigr)+e^{-\gamma(\delta+c_+)}\right]. \end{aligned} \]
일차조건 \\(F_+'(\delta)=0\\) 은
\[ -\kappa^+\Bigl(1-e^{-\gamma(\delta+c_+)}\Bigr)+\gamma e^{-\gamma(\delta+c_+)}=0 \]
와 같고, 이를 한 줄씩 정리하면
\[ -\kappa^++(\kappa^++\gamma)e^{-\gamma(\delta+c_+)}=0, \]
\[ e^{-\gamma(\delta+c_+)}=\frac{\kappa^+}{\kappa^++\gamma}, \]
\[ -\gamma(\delta+c_+)=-\log\left(1+\frac\gamma{\kappa^+}\right). \]
따라서
\[ \delta^{+,*}(t,q)=\frac1\gamma\log\left(1+\frac\gamma{\kappa^+}\right)-c_+ =\frac1\gamma\log\left(1+\frac\gamma{\kappa^+}\right)+g(t,q)-g(t,q-1) \]
를 얻는다. 최대점 여부를 확인하자. 다시 한 번 미분하면
\[ \begin{aligned} F_+''(\delta) &=-\kappa^+e^{-\kappa^+\delta}\left[-\frac{\kappa^+}{\gamma}\Bigl(1-e^{-\gamma(\delta+c_+)}\Bigr)+e^{-\gamma(\delta+c_+)}\right]\\ &\quad +e^{-\kappa^+\delta}\Bigl[-\kappa^+e^{-\gamma(\delta+c_+)}-\gamma e^{-\gamma(\delta+c_+)}\Bigr]. \end{aligned} \]
정상점에서는 \\((\kappa^++\gamma)e^{-\gamma(\delta+c_+)}=\kappa^+\\) 이므로 위 식은 음수가 된다. 즉 정상점은 엄밀한 최대점이다. bid 측도 완전히 같은 계산으로
\[ \delta^{-,*}(t,q)=\frac1\gamma\log\left(1+\frac\gamma{\kappa^-}\right)+g(t,q)-g(t,q+1) \]
를 얻는다. 또한 \\(\gamma\to0\\) 극한에서 \\(\frac1\gamma\log(1+\gamma/\kappa^\pm)\to1/\kappa^\pm\\) 이므로, 위험회피가 사라지면 기본 선형목표 모형의 깊이 공식을 회복한다. 증명 끝.
10.4.1 시장가주문의 midprice impact와 점프형 역선택
이 절에서는 역선택을 “체결 직후 가격이 불리한 방향으로 움직이는 현상”으로 모델링한다. 구체적으로 midprice를
\[ dS_t=\sigma\,dW_t+\varepsilon^+\,dM_t^+-\varepsilon^-\,dM_t^- \]
로 둔다. 여기서 \(M_t^+\), \(M_t^-\)는 각각 buy market order, sell market order의 도착 counting process이고 강도는 \(\lambda^+\), \(\lambda^-\)이다. \(\varepsilon^+\), \(\varepsilon^-\)는 도착 시 발생하는 영구적 가격점프 크기이며 평균을
\[ \bar\varepsilon^+=\mathbb E[\varepsilon^+],\qquad \bar\varepsilon^- = \mathbb E[\varepsilon^-] \]
로 쓴다. buy MO가 들어오면 ask 쪽 유동성이 소비되면서 가격이 위로 뛸 수 있고, sell MO가 들어오면 bid 쪽 유동성이 소비되면서 가격이 아래로 뛸 수 있다. 따라서 시장조성자는 단순히 \(\delta^\pm\) 스프레드만 보는 것이 아니라, 체결 직후의 평균 가격점프까지 포함한 순이익을 최적화해야 한다.
terminal payoff를
\[ H(T,x,S,q)=x+q\bigl(S-aq\bigr) \]
로 두고, running inventory penalty를 \(\phi q^2\)라 하자. 그러면 값함수에 대한 HJB에 ansatz
\[ H(t,x,S,q)=x+qS+h(t,q) \]
를 대입하면 \(h\)는 다음의 축약 방정식을 만족한다.
\[ \begin{aligned} \phi q^2={}&\partial_t h(t,q) +\lambda^+\sup_{\delta^+}\Bigl\{e^{-\kappa^+\delta^+}\bigl(\delta^+-\bar\varepsilon^+ + h(t,q-1)-h(t,q)\bigr)\Bigr\}\mathbf 1_{\{q>\underline q\}}\\ &+\lambda^-\sup_{\delta^-}\Bigl\{e^{-\kappa^-\delta^-}\bigl(\delta^- -\bar\varepsilon^- + h(t,q+1)-h(t,q)\bigr)\Bigr\}\mathbf 1_{\{q<\bar q\}}\\ &+\bigl(\lambda^+\bar\varepsilon^+ - \lambda^-\bar\varepsilon^-\bigr)q, \end{aligned} \]
terminal condition은 \(h(T,q)=-aq^2\) 이다. 또한 interior inventory 구간에서 최적 깊이는
\[ \delta_t^{+,*}(q)=\frac1{\kappa^+}+\bar\varepsilon^+ - h(t,q-1)+h(t,q), \qquad \delta_t^{-,*}(q)=\frac1{\kappa^-}+\bar\varepsilon^- - h(t,q+1)+h(t,q) \]
가 된다. 더 나아가 \(\kappa^+=\kappa^-=:\kappa\) 이면
\[ h(t,q)=-\frac1\kappa\log w(t,q) \]
변환에 의해 선형 matrix ODE로 바꿀 수 있으며, 그때 양쪽 execution 계수는
\[ \tilde\lambda^+=\lambda^+ e^{1-\kappa \bar\varepsilon^+},\qquad \tilde\lambda^- = \lambda^- e^{1-\kappa \bar\varepsilon^-} \]
처럼 역선택 비용이 반영된 형태로 바뀐다.
증명
먼저 ask 측에서 buy MO가 도착하는 경우를 정확히 계산한다. 한 시점 \(t\)에서 시장조성자가 ask 쪽에 깊이 \(\delta^+\)로 LO를 걸어 두었다고 하자. 그 buy MO가 내 ask를 체결시키면, 현금은 \(S+\delta^+\) 만큼 증가하고 재고는 1 감소하며, 동시에 midprice는 \(\varepsilon^+\) 만큼 위로 뛴다. 따라서 체결 직후 상태는
\[ \bigl(x+S+\delta^+,\; S+\varepsilon^+,\; q-1\bigr) \]
이다. 이제 ansatz를 대입하여 값증가를 한 줄씩 계산하면
\[ \begin{aligned} &H\bigl(t,x+S+\delta^+,S+\varepsilon^+,q-1\bigr)-H(t,x,S,q)\\ &=\Bigl(x+S+\delta^+\Bigr)+(q-1)\bigl(S+\varepsilon^+\bigr)+h(t,q-1)-\Bigl(x+qS+h(t,q)\Bigr)\\ &=x+S+\delta^++(q-1)S+(q-1)\varepsilon^+ + h(t,q-1)-x-qS-h(t,q)\\ &=\delta^+ + (q-1)\varepsilon^+ + h(t,q-1)-h(t,q). \end{aligned} \]
반대로 buy MO는 도착했지만 내 ask가 체결되지 않을 수도 있다. 이 경우 현금과 재고는 변하지 않고 midprice만 \(\varepsilon^+\) 만큼 오른다. 따라서 상태는 \((x,S+\varepsilon^+,q)\) 이고 값증가는
\[ \begin{aligned} H(t,x,S+\varepsilon^+,q)-H(t,x,S,q) &=x+q(S+\varepsilon^+)+h(t,q)-\bigl(x+qS+h(t,q)\bigr)\\ &=q\varepsilon^+. \end{aligned} \]
이제 ask 쪽 도착이 발생했을 때 “내가 체결되었을 때의 값”과 “도착은 있었지만 내 주문은 체결되지 않았을 때의 값”의 차이를 빼 보면, 내 ask가 체결됨으로써 추가로 얻는 순증가분은
\[ \Bigl(\delta^+ + (q-1)\varepsilon^+ + h(t,q-1)-h(t,q)\Bigr)-q\varepsilon^+ =\delta^+ - \varepsilon^+ + h(t,q-1)-h(t,q) \]
가 된다. 이 식이 중요하다. 원래 기본 모형에서는 \(\delta^+ + h(t,q-1)-h(t,q)\) 만 남았는데, 여기서는 체결 직후 가격이 평균적으로 위로 튀기 때문에 \(-\varepsilon^+\) 가 추가되어 ask 체결의 경제적 가치가 그만큼 깎인다.
이제 conditional fill probability가 \(e^{-\kappa^+\delta^+}\) 이므로 ask 측 jump term 전체는
\[ \lambda^+\Bigl[q\bar\varepsilon^+ + e^{-\kappa^+\delta^+}\bigl(\delta^+-\bar\varepsilon^+ + h(t,q-1)-h(t,q)\bigr)\Bigr] \]
로 정리된다. 첫 항 \(\lambda^+ q\bar\varepsilon^+\) 는 buy MO가 오기만 하면, 내가 체결되든 말든 현재 보유재고 \(q\) 의 mark-to-market 가치가 평균적으로 \(\bar\varepsilon^+\) 만큼 증가한다는 뜻이다. 둘째 항이 바로 posting depth를 조절할 때 최적화 대상이 되는 부분이다.
bid 측도 같은 방식으로 계산한다. sell MO가 와서 내 bid가 체결되면 직후 상태는
\[ \bigl(x-(S-\delta^-),\; S-\varepsilon^-,\; q+1\bigr) \]
이므로 값증가는
\[ \begin{aligned} &H\bigl(t,x-(S-\delta^-),S-\varepsilon^-,q+1\bigr)-H(t,x,S,q)\\ &=\Bigl(x-S+\delta^-\Bigr)+(q+1)\bigl(S-\varepsilon^-\bigr)+h(t,q+1)-\Bigl(x+qS+h(t,q)\Bigr)\\ &=\delta^- -(q+1)\varepsilon^- + h(t,q+1)-h(t,q). \end{aligned} \]
체결되지 않은 경우에는 상태가 \((x,S-\varepsilon^-,q)\) 로 가고 값증가는
\[ H(t,x,S-\varepsilon^-,q)-H(t,x,S,q)=-q\varepsilon^-. \]
따라서 bid 체결의 추가 순증가분은
\[ \delta^- - \varepsilon^- + h(t,q+1)-h(t,q) \]
이고, sell MO 도착의 bid 측 전체 기여는
\[ \lambda^-\Bigl[-q\bar\varepsilon^- + e^{-\kappa^-\delta^-}\bigl(\delta^- - \bar\varepsilon^- + h(t,q+1)-h(t,q)\bigr)\Bigr] \]
가 된다.
확산 부분은 기본 모형과 동일하다. ansatz가 \(x+qS+h(t,q)\) 형태이므로 \(\partial_{SS}H=0\) 이고, 따라서 diffusion generator에서 살아남는 것은 \(\partial_t h\) 뿐이다. 여기에 running penalty \(-\phi q^2\) 를 더하면 HJB는
\[ \begin{aligned} 0={}&\partial_t h-\phi q^2 + \lambda^+ q\bar\varepsilon^+ - \lambda^- q\bar\varepsilon^-\\ &+\lambda^+\sup_{\delta^+} e^{-\kappa^+\delta^+}\bigl(\delta^+ - \bar\varepsilon^+ + h(t,q-1)-h(t,q)\bigr)\mathbf 1_{\{q>\underline q\}}\\ &+\lambda^-\sup_{\delta^-} e^{-\kappa^-\delta^-}\bigl(\delta^- - \bar\varepsilon^- + h(t,q+1)-h(t,q)\bigr)\mathbf 1_{\{q<\bar q\}}. \end{aligned} \]
이를 \(\phi q^2\) 에 대해 정리하면 정리의 축약 방정식이 바로 얻어진다.
이제 최적 깊이를 구한다. ask 측에서
\[ F_+(\delta)=e^{-\kappa^+\delta}\bigl(\delta - \bar\varepsilon^+ + h(t,q-1)-h(t,q)\bigr) \]
라 두면 도함수는
\[ F_+'(\delta)=e^{-\kappa^+\delta}\Bigl[1-\kappa^+\bigl(\delta - \bar\varepsilon^+ + h(t,q-1)-h(t,q)\bigr)\Bigr]. \]
일차조건 \(F_+'(\delta)=0\) 는
\[ 1-\kappa^+\bigl(\delta - \bar\varepsilon^+ + h(t,q-1)-h(t,q)\bigr)=0 \]
와 같고, 따라서
\[ \delta_t^{+,*}(q)=\frac1{\kappa^+}+\bar\varepsilon^+ - h(t,q-1)+h(t,q) \]
를 얻는다. 또한 이차도함수는
\[ F_+''(\delta)=e^{-\kappa^+\delta}\Bigl[-2\kappa^+ + (\kappa^+)^2\bigl(\delta - \bar\varepsilon^+ + h(t,q-1)-h(t,q)\bigr)\Bigr] \]
이고, 정상점에서는 \(\delta - \bar\varepsilon^+ + h(t,q-1)-h(t,q)=1/\kappa^+\) 이므로
\[ F_+''(\delta^{+,*})=e^{-\kappa^+\delta^{+,*}}(-\kappa^+) < 0. \]
따라서 ask 측 정상점은 엄밀한 최대점이다. bid 측도 완전히 같은 계산으로
\[ \delta_t^{-,*}(q)=\frac1{\kappa^-}+\bar\varepsilon^- - h(t,q+1)+h(t,q) \]
를 얻고, 이 역시 엄밀한 최대점이다.
마지막으로 \(\kappa^+=\kappa^-=:\kappa\) 인 경우 선형화 변환을 보인다. \(h=-(1/\kappa)\log w\) 를 위 축약 방정식에 대입하면 off-diagonal coefficient가 각각
\[ \tilde\lambda^+=\lambda^+ e^{1-\kappa\bar\varepsilon^+}, \qquad \tilde\lambda^- = \lambda^- e^{1-\kappa\bar\varepsilon^-} \]
로 바뀌는 선형 matrix ODE를 얻는다. 즉 역선택이 강할수록 execution coupling 자체가 약해지며, 이것이 최적 posting을 더 바깥으로 밀어내는 수학적 이유다. 증명 끝.
이 절의 핵심은 역선택이 단순히 “한 번 손해 보는 사건”이 아니라, HJB 안에서 즉시보상항과 장기 inventory drift를 동시에 바꾼다는 점이다. \(\lambda^+\bar\varepsilon^+ - \lambda^-\bar\varepsilon^-\) 가 양수이면 평균적으로 가격상승 압력이 존재하므로, 장기 inventory target이 0보다 오른쪽으로 이동할 수 있다.
점프형 역선택 모형에서는 buy/sell MO가 midprice를 즉시 움직이며, 그 평균 점프크기 \(\bar\varepsilon^\pm\) 가 최적 depth를 기본 모형보다 더 바깥으로 민다. 동시에 buy/sell 도착강도 비대칭은 inventory mean reversion의 중심을 0이 아닌 값으로 이동시킨다.
그림 10.8. 점프형 역선택 모형에서 시간과 inventory에 따른 최적 호가 깊이. 평균 가격점프 \(\varepsilon\)가 존재하면 기본 모형보다 호가가 더 바깥으로 이동한다.
그림 10.9. asymptotic inventory target이 양(+)으로 이동하는 예시. buy MO 강도가 더 크면 전략은 평균적으로 양의 재고를 보유하는 쪽을 선호한다.
10.4.2 short-term alpha와 역선택
이 절에서는 역선택을 단순한 평균 점프비용 \(\varepsilon^\pm\)로만 요약하지 않고, order flow가 단기 drift 그 자체를 움직인다고 본다. midprice는
\[ dS_t=(\nu+\alpha_t)dt+\sigma\,dW_t \]
를 따르며, short-term alpha는 평균회귀와 MO 도착 점프를 함께 갖는 예측가능 과정
\[ d\alpha_t=-\zeta\alpha_t\,dt+\eta\,dW_t^\alpha+\varepsilon^+\,dM_t^+-\varepsilon^-\,dM_t^- \]
로 가정한다. 여기서 \(W_t^\alpha\)는 독립 Brownian motion이고, \(M_t^\pm\)는 각각 buy/sell MO counting process다. buy MO가 도착하면 \(\alpha\)가 위로 점프하고 sell MO가 도착하면 아래로 점프한다. 따라서 MM이 \(\alpha_t\)를 관측할 수 있다면, 단순히 스프레드 수취뿐 아니라 “가까운 미래에 가격이 어느 방향으로 더 미끄러질 가능성이 큰가”까지 고려해 posting을 바꾸게 된다.
at-the-touch posting indicator를 다시 \(\ell_t^\pm\in\{0,1\}\)로 두고, 현금과 재고는
\[ dX_t^\ell=\Bigl(S_t+\frac\Delta2\Bigr)dN_t^{+,\ell}-\Bigl(S_t-\frac\Delta2\Bigr)dN_t^{-,\ell},\qquad dQ_t^\ell=dN_t^{-,\ell}-dN_t^{+,\ell} \]
를 따른다. 값함수를
\[ H(t,x,S,\alpha,q)=\sup_{\ell\in\mathcal A}H^\ell(t,x,S,\alpha,q) \]
로 두면, HJB는
\[ \begin{aligned} 0={}&\bigl(\partial_t+\alpha\partial_S+\tfrac12\sigma^2\partial_{SS}-\zeta\alpha\partial_\alpha+\tfrac12\eta^2\partial_{\alpha\alpha}\bigr)H-\phi q^2 \\ &+\lambda^+\max_{\ell^+\in\{0,1\}}\Bigl\{\mathbf 1_{\{q>\underline q\}}\,\mathbb E\bigl[H(t,x+(S+\tfrac\Delta2)\ell^+,S,\alpha+\varepsilon^+,q-\ell^+)-H\bigr] \\ &\hspace{3cm} +(1-\ell^+\mathbf 1_{\{q>\underline q\}})\,\mathbb E\bigl[H(t,x,S,\alpha+\varepsilon^+,q)-H\bigr]\Bigr\} \\ &+\lambda^-\max_{\ell^-\in\{0,1\}}\Bigl\{\mathbf 1_{\{q<\bar q\}}\,\mathbb E\bigl[H(t,x-(S-\tfrac\Delta2)\ell^-,S,\alpha-\varepsilon^-,q+\ell^-)-H\bigr] \\ &\hspace{3cm} +(1-\ell^-\mathbf 1_{\{q<\bar q\}})\,\mathbb E\bigl[H(t,x,S,\alpha-\varepsilon^-,q)-H\bigr]\Bigr\}, \end{aligned} \]
terminal condition은
\[ H(T,x,S,\alpha,q)=x+q\Bigl(S-\bigl(\tfrac\Delta2+\varphi q\bigr)\Bigr) \]
이다. ansatz
\[ H(t,x,S,\alpha,q)=x+qS+h(t,\alpha,q) \]
를 대입하면 \(h\)는
\[ \begin{aligned} 0={}&\bigl(\partial_t-\zeta\alpha\partial_\alpha+\tfrac12\eta^2\partial_{\alpha\alpha}\bigr)h+\alpha q-\phi q^2 \\ &+\lambda^+\max_{\ell^+\in\{0,1\}}\Bigl\{\mathbf 1_{\{q>\underline q\}}\mathbb E\bigl[\ell^+\tfrac\Delta2+h(t,\alpha+\varepsilon^+,q-\ell^+)-h(t,\alpha+\varepsilon^+,q)\bigr]\Bigr\} \\ &+\lambda^-\max_{\ell^-\in\{0,1\}}\Bigl\{\mathbf 1_{\{q<\bar q\}}\mathbb E\bigl[\ell^-\tfrac\Delta2+h(t,\alpha-\varepsilon^-,q+\ell^-)-h(t,\alpha-\varepsilon^-,q)\bigr]\Bigr\} \\ &+\lambda^+\mathbb E\bigl[h(t,\alpha+\varepsilon^+,q)-h(t,\alpha,q)\bigr] +\lambda^-\mathbb E\bigl[h(t,\alpha-\varepsilon^-,q)-h(t,\alpha,q)\bigr] \end{aligned} \]
와 terminal condition \(h(T,\alpha,q)=-q(\Delta/2+\varphi q)\)를 만족한다. 따라서 최적 posting은
\[ \ell^{+,*}(t,\alpha,q)=\mathbf 1_{\left\{\tfrac\Delta2+\mathbb E[h(t,\alpha+\varepsilon^+,q-1)-h(t,\alpha+\varepsilon^+,q)]>0\right\}\cap\{q>\underline q\}}, \]
\[ \ell^{-,*}(t,\alpha,q)=\mathbf 1_{\left\{\tfrac\Delta2+\mathbb E[h(t,\alpha-\varepsilon^-,q+1)-h(t,\alpha-\varepsilon^-,q)]>0\right\}\cap\{q<\bar q\}} \]
가 된다.
증명
이 정리에서는 order flow가 \\(\alpha_t\\) 를 점프시킨다는 점 때문에, 체결이 있는 경우뿐 아니라 체결이 없는 경우에도 상태변수 \\(\alpha\\) 가 바뀐다는 사실을 빠짐없이 써야 한다. 바로 그 차이가 최적 posting 규칙에 기대연산자 \\(\mathbb E[\cdot]\\) 와 \\(\alpha\pm\varepsilon^\pm\\) 평가를 남긴다.
고정된 상태 \\((t,x,S,\alpha,q)\\) 에서 길이 \\(dt\\) 의 구간을 보자. no-event, buy MO 도착, sell MO 도착만 1차까지 남기면 충분하다. no-event 경우에는 \\(S\\) 와 \\(\alpha\\) 의 확산-평균회귀 부분만 작용하므로 생성자는
\[ \Bigl(\partial_t+\alpha\partial_S+\tfrac12\sigma^2\partial_{SS}-\zeta\alpha\partial_\alpha+\tfrac12\eta^2\partial_{\alpha\alpha}\Bigr)H \]
가 된다.
이제 buy MO가 도착한 경우를 보자. \\(\ell^+=1\\) 로 ask에 게시 중이면 체결과 함께 \\(\alpha\mapsto\alpha+\varepsilon^+\\), \\(x\mapsto x+S+\Delta/2\\), \\(q\mapsto q-1\\) 이 된다. 따라서 그때의 값은
\[ H\bigl(t,x+S+\tfrac\Delta2,S,\alpha+\varepsilon^+,q-1\bigr) \]
이다. 반대로 \\(\ell^+=0\\) 이면 체결은 없지만 buy MO 도착 자체는 \\(\alpha\) 를 \\(\alpha+\varepsilon^+\\) 로 점프시킨다. 따라서 값은
\[ H\bigl(t,x,S,\alpha+\varepsilon^+,q\bigr) \]
이다. sell MO 도착도 완전히 동일하게 \\(\alpha-\varepsilon^-\\) 와 bid 체결을 반영한다. 이 사건들을 DPP에 넣으면 진술한 HJB가 얻어진다.
다음으로 ansatz
\[ H(t,x,S,\alpha,q)=x+qS+h(t,\alpha,q) \]
를 대입한다. 그러면
\[ \partial_tH=\partial_t h, \qquad \partial_SH=q, \qquad \partial_{SS}H=0, \qquad \partial_\alpha H=\partial_\alpha h, \qquad \partial_{\alpha\alpha}H=\partial_{\alpha\alpha}h. \]
따라서 확산-평균회귀 부분은
\[ \Bigl(\partial_t-\zeta\alpha\partial_\alpha+\tfrac12\eta^2\partial_{\alpha\alpha}\Bigr)h+\alpha q \]
로 축소된다. 여기서 \\(\alpha q\\) 항이 생기는 이유는 \\(\alpha\partial_S(x+qS)=\alpha q\\) 이기 때문이다. 바로 이 항이 현재 short-term alpha가 현재 inventory와 결합하여 투기적 유인을 만든다.
이제 ask 측 체결의 추가이득을 계산한다. 먼저 같은 \\(\alpha+\varepsilon^+\\) 상태를 기준으로 빼 주면
\[ \begin{aligned} &H\bigl(t,x+(S+\tfrac\Delta2),S,\alpha+\varepsilon^+,q-1\bigr)-H\bigl(t,x,S,\alpha+\varepsilon^+,q\bigr)\\ &=\Bigl(x+S+\tfrac\Delta2\Bigr)+(q-1)S+h(t,\alpha+\varepsilon^+,q-1)-\bigl(x+qS+h(t,\alpha+\varepsilon^+,q)\bigr)\\ &=\tfrac\Delta2+h(t,\alpha+\varepsilon^+,q-1)-h(t,\alpha+\varepsilon^+,q). \end{aligned} \]
bid 측은
\[ H\bigl(t,x-(S-\tfrac\Delta2),S,\alpha-\varepsilon^-,q+1\bigr)-H\bigl(t,x,S,\alpha-\varepsilon^-,q\bigr) =\tfrac\Delta2+h(t,\alpha-\varepsilon^-,q+1)-h(t,\alpha-\varepsilon^-,q) \]
이다. 따라서 \\(h\\)-방정식은 진술한 형태로 정확히 얻어진다.
마지막으로 최적 posting 규칙을 구한다. \\(\ell^+\\in\{0,1\})\\) 이므로 ask 측 maximand는 두 값 중 큰 값을 택하는 문제다. \\(\ell^+=0\\) 이면 기여가 0이고, \\(\ell^+=1\\) 이면 기여는
\[ \tfrac\Delta2+\mathbb E\bigl[h(t,\alpha+\varepsilon^+,q-1)-h(t,\alpha+\varepsilon^+,q)\bigr] \]
이다. 따라서 이것이 양수일 때만 ask에 게시하는 것이 최적이며
\[ \ell^{+,*}(t,\alpha,q)=1_{\left\{\frac\Delta2+\mathbb E[h(t,\alpha+\varepsilon^+,q-1)-h(t,\alpha+\varepsilon^+,q)]>0\right\}\cap\{q>\underline q\}} \]
를 얻는다. bid 측도 동일하게
\[ \ell^{-,*}(t,\alpha,q)=1_{\left\{\frac\Delta2+\mathbb E[h(t,\alpha-\varepsilon^-,q+1)-h(t,\alpha-\varepsilon^-,q)]>0\right\}\cap\{q<\bar q\}} \]
가 된다. 즉 이 모형에서는 현재 \\(\alpha\\) 값과 MO 도착이 유발할 미래 \\(\alpha\\) 점프를 동시에 보고 게시 여부를 정한다. 증명 끝.
이 모형에서 가장 중요한 항은 \(\alpha q\)이다. 이는 현재 단기 드리프트 \(\alpha\)가 양수이면 양의 inventory를 들고 있는 것이 유리하고, 음수이면 음의 inventory를 들고 있는 것이 유리하다는 뜻이다. 따라서 MM은 단순히 재고를 0으로 보내려 하지 않는다. \(\alpha\)가 충분히 크면 의도적으로 양의 inventory를 허용하면서 bid 쪽 posting을 유지하고, \(\alpha\)가 충분히 작으면 그 반대로 움직인다.
그림 10.10. short-term alpha와 inventory에 따른 비대칭 posting surface. \(\alpha\)가 커질수록 매수 편향, 작아질수록 매도 편향이 강해진다.
그림 10.11. short-term alpha 경로와 함께 변하는 sample-path posting. MO 도착이 \(\alpha\)를 점프시키고, 그 직후 posting regime이 즉시 바뀐다.
그림 10.10에서는 \((t,\alpha,q)\) 상태공간에서 posting surface가 어떻게 기울어지는지 보인다. 그림 10.11에서는 하나의 sample path 위에서 regime 전환이 실제로 어떻게 일어나는지 확인할 수 있다. buy MO 도착 직후 \(\alpha\)가 위로 점프하면 이전에는 양쪽을 게시하던 전략이 즉시 buy-only regime으로 이동할 수 있고, sell MO 도착 직후에는 반대 현상이 생긴다. 즉 역선택은 사후적 손실이 아니라, 정책함수 자체를 실시간으로 비틀어 놓는 상태변수다.
시장조성의 핵심은 세 항의 균형이다. 첫째, 안쪽에 주문을 내면 체결은 쉬워지지만 단위당 마진이 줄어든다. 둘째, 바깥에 주문을 내면 단위당 마진은 커지지만 체결이 어려워진다. 셋째, 체결의 비대칭은 재고를 키우거나 줄여서 미래의 위험과 청산비용을 바꾼다. 따라서 최적 깊이는 정적 상수가 아니라 시간과 재고와 정보상태의 함수가 된다.
'Financial Engineering > ALGORITHMIC AND HIGH-FREQUENCY TRADING' 카테고리의 다른 글
| Chapter 12. Order Imbalance (0) | 2026.03.22 |
|---|---|
| Chapter 11. Pairs Trading and Statistical Arbitrage Strategies (0) | 2026.03.22 |
| 9 (1) | 2026.03.22 |
| 8 (0) | 2026.03.22 |
| Chapter 7. Optimal Execution with Continuous Trading II (0) | 2026.03.22 |