Hull–White 1요인 이자율 모형
Hull–White 모형은 Vasicek 모형의 평균회귀(mean reversion) 구조를 계승하면서, 시간의존 드리프트 함수를 도입하여 시장에서 관측되는 초기 일드곡선(yield curve)을 정확히 적합(exact fit)할 수 있도록 확장한 이자율 모형이다. 이 글에서는 확률미분방정식(SDE)의 기초가 되는 브라운 운동과 이토 미적분학(Itô calculus)부터 출발하여, Vasicek 모형의 한계와 Hull–White 모형의 동기, SDE의 정의와 적분인자(integrating factor)를 이용한 해, 할인채 가격의 닫힌형(closed-form) 유도, 선도이자율 및 일드곡선 분석, 그리고 초기곡선 캘리브레이션과 수치적 응용에 이르기까지 전 과정을 점진적으로 전개한다. 모든 핵심 결과에 대해서는 증명을 포함하였으며, 각 단계에서 왜 그러한 수학적 도구가 필요한지를 직관적으로 설명하는 데 중점을 두었다.
Part 1. 확률미분방정식(SDE) 기초
Hull–White 모형은 확률미분방정식(Stochastic Differential Equation, SDE)으로 기술된다. SDE를 이해하려면 먼저 그 "엔진"에 해당하는 브라운 운동이 무엇인지, 그리고 브라운 운동을 다룰 때 일반적인 미적분학과 무엇이 달라지는지를 명확히 파악해야 한다. 이 파트에서는 브라운 운동의 정의와 성질을 설명한 뒤, 확률미적분에서 핵심적인 역할을 하는 이차변동과 이토 곱셈 규칙을 유도하고, 최종적으로 SDE의 일반적 형태를 소개한다.
1.1 브라운 운동(Brownian Motion)
1.1.1 역사적 배경
브라운 운동(Brownian motion)은 금융공학에서 가장 근본적인 확률과정(stochastic process)이다. 이 이름은 1827년 스코틀랜드의 식물학자 로버트 브라운(Robert Brown)에서 유래하였다. 브라운은 현미경을 통해 물 위에 떠 있는 꽃가루 입자들이 끊임없이, 그리고 예측 불가능하게 움직이는 현상을 관찰하였다. 당시에는 이 현상의 원인을 설명할 수 없었으나, 1905년 알베르트 아인슈타인이 물 분자들의 무작위 충돌이 이 현상을 일으킨다는 이론적 설명을 제시하면서 수학적 기초가 확립되었고, 이후 노르베르트 위너(Norbert Wiener)에 의해 엄밀한 수학적 구성이 완성되었다.
금융공학에서 브라운 운동은 연속시간 확률과정의 표준적인 "잡음(noise)" 역할을 한다. 주가, 이자율, 환율 등 금융변수들의 예측 불가능한 무작위적 변동을 모델링할 때, 그 변동의 원천으로 브라운 운동을 사용하는 것이다. 만약 브라운 운동이라는 도구가 없었다면, 금융 모형은 모두 결정론적(deterministic)이 되어 현실의 불확실성을 전혀 반영하지 못하게 된다. 따라서 브라운 운동을 이해하는 것은 확률적 이자율 모형의 첫 번째 단계이다.
1.1.2 수학적 정의
브라운 운동은 확률공간 \((\Omega, \mathcal{F}, P)\)와 정보의 흐름을 나타내는 필트레이션(filtration) \(\{\mathcal{F}_t\}\) 위에서 정의된다. 구체적으로, 다음의 네 가지 성질을 동시에 만족하는 확률과정 \(\{W(t)\}_{t \ge 0}\)을 표준 브라운 운동이라 부른다.
브라운 운동의 네 가지 성질
성질 1 — 시작점 조건: \(W(0) = 0\)이다. 브라운 운동은 항상 원점에서 출발한다. 이것은 일종의 정규화(normalization) 조건으로, "시간 0에서 아직 아무런 무작위적 변동도 일어나지 않았다"는 것을 의미한다. 만약 다른 출발점 \(x_0\)에서 시작하는 과정이 필요하다면, 단순히 \(x_0 + W(t)\)로 이동시키면 된다.
성질 2 — 독립 증분(Independent Increments): 서로 겹치지 않는(non-overlapping) 시간 구간에서의 증분(increment)들은 통계적으로 서로 독립이다. 구체적으로, \(0 \le t_1 < t_2 \le t_3 < t_4\)일 때 \(W(t_2) - W(t_1)\)와 \(W(t_4) - W(t_3)\)는 통계적으로 독립이다. 이 성질의 의미는 심오하다. 과거의 움직임을 아무리 자세히 분석하더라도 미래의 움직임에 대한 어떠한 정보도 얻을 수 없다는 것이며, 이는 금융에서 효율적 시장 가설(Efficient Market Hypothesis)의 수학적 표현이기도 하다.
성질 3 — 정규분포 증분(Gaussian Increments): 시점 \(s\)에서 시점 \(t\)까지의 증분은 평균이 0이고 분산이 \((t-s)\)인 정규분포를 따른다. 즉, \(W(t) - W(s) \sim N(0, t-s)\)이다. 평균이 0이라는 것은 브라운 운동 자체에 어떤 방향으로의 편향(drift)도 없다는 뜻이다. 분산이 \((t-s)\)에 비례하므로 표준편차는 \(\sqrt{t-s}\)에 비례하며, 이는 불확실성이 시간의 제곱근에 비례하여 증가함을 의미한다. 이 "제곱근 스케일링"은 금융에서 매우 중요한 개념으로, 예를 들어 연간 변동성 20%를 일간 변동성으로 환산할 때 \(20\%/\sqrt{252} \approx 1.26\%\)가 되는 근거이기도 하다.
성질 4 — 연속 경로(Continuous Paths): 확률 1로(almost surely) 경로 \(t \mapsto W(t)\)가 연속이다. 즉, 점프(jump)나 불연속점이 존재하지 않는다. 그러나 흥미롭게도 이 경로는 어디에서도 미분 가능하지 않다(nowhere differentiable). 경로는 끊어지지 않지만 너무나 "거칠어서" 어떤 점에서도 접선을 그을 수 없다는 것이다. 바로 이 성질 때문에 일반적인 미적분학(뉴턴-라이프니츠 체계)을 브라운 운동에 그대로 적용할 수 없으며, 이토 미적분(Itô calculus)이라는 완전히 새로운 체계가 필요하게 된다.
1.1.3 미분 형태 \(dW\)의 직관적 이해
확률미분방정식에서는 브라운 운동의 "미분"을 형식적으로 \(dW(t) := W(t + dt) - W(t)\)로 정의한다. 성질 3(정규분포 증분)에 의해 \(dW(t) \sim N(0, dt)\)이므로, \(dW(t)\)의 표준편차는 \(\sqrt{dt}\)이다.
이 점이 확률미적분과 일반 미적분의 근본적인 차이를 만든다. 일반적인 미적분학에서 변수 \(x\)의 변화량 \(dx\)는 \(dt\)와 같은 크기(order)를 가진다. 그런데 확률미적분에서 \(dW\)의 "크기(스케일)"는 \(\sqrt{dt}\)이며, \(dt\)가 매우 작을 때 \(\sqrt{dt}\)는 \(dt\)보다 훨씬 크다. 구체적인 예를 들면, \(dt = 0.0001\)일 때 \(\sqrt{dt} = 0.01\)로, \(dW\)는 \(dt\)의 100배나 "큰" 크기를 가진다. 이 스케일 차이가 이토 미적분의 핵심이며, 테일러 전개에서 2차항을 무시할 수 없게 만드는 근본적인 이유이다. 이 점은 Part 2에서 이토 공식을 유도할 때 결정적인 역할을 하게 된다.
1.2 이차변동과 이토 곱셈 규칙
1.2.1 이차변동(Quadratic Variation)
이차변동은 "브라운 운동의 경로가 얼마나 거칠게 움직이는가"를 정량적으로 측정하는 도구이다. 직관적으로, 매끄러운 함수의 경로는 잘게 쪼갤수록 각 조각의 변화량이 매우 작아져서, 변화량의 제곱합은 0으로 수렴한다. 그러나 브라운 운동의 경로는 너무 거칠기 때문에, 아무리 잘게 쪼개더라도 변화량의 제곱합이 0으로 수렴하지 않고 양수의 값으로 수렴한다.
구체적으로, 시간 구간 \([0, T]\)를 \(n\)개의 동일한 작은 구간으로 나누어 \(0 = t_0 < t_1 < \cdots < t_n = T\), \(\Delta t = T/n\)이라 하자. 각 구간에서의 증분을 제곱하여 모두 더한 값, 즉 이차변동은 다음과 같이 수렴한다.
일반적인 매끄러운 함수 \(f(t)\)에 대해서는 같은 합이 \(\sum(f(t_i) - f(t_{i-1}))^2 \to 0\)으로 수렴하는데, 브라운 운동에서는 0이 아닌 양수 \(T\)로 수렴한다는 것이 핵심이다. 이것이 바로 브라운 운동 경로의 "거칠음"을 수학적으로 표현한 것이며, 이토 미적분이 존재하는 근본적인 이유이기도 하다.
이차변동이 \(T\)로 수렴하는 증명
증명의 전략은 다음과 같다. 먼저 이차변동의 기대값이 정확히 \(T\)임을 보이고, 그 다음 분산이 \(n \to \infty\)에서 0으로 수렴함을 보인다. 기대값이 \(T\)이면서 분산이 0이라면, 체비셰프 부등식에 의해 이차변동은 확률적으로 \(T\)에 수렴한다.
기대값 계산. 각 증분 \(\Delta W_i = W(t_i) - W(t_{i-1})\)는 정규분포 \(N(0, \Delta t)\)를 따른다. 정규분포의 성질에 의해 \(E[(\Delta W_i)^2] = \text{Var}(\Delta W_i) = \Delta t\)이다. \(n\)개의 구간에 대해 합하면, 기대값의 선형성에 의해 다음을 얻는다.
$$E\!\left[\sum_{i=1}^{n}(\Delta W_i)^2\right] = \sum_{i=1}^{n} E[(\Delta W_i)^2] = n \cdot \Delta t = n \cdot \frac{T}{n} = T$$분산 계산. 정규분포의 4차 모멘트 공식을 사용한다. \(Z \sim N(0, \sigma^2)\)이면 \(E[Z^4] = 3\sigma^4\)이다. 이 공식을 적용하면 \(E[(\Delta W_i)^4] = 3(\Delta t)^2\)이고, 따라서 각 항의 분산은 다음과 같이 계산된다.
$$\text{Var}[(\Delta W_i)^2] = E[(\Delta W_i)^4] - \bigl(E[(\Delta W_i)^2]\bigr)^2 = 3(\Delta t)^2 - (\Delta t)^2 = 2(\Delta t)^2$$독립 증분 성질에 의해 각 \((\Delta W_i)^2\)는 서로 독립이므로, 합의 분산은 개별 분산의 합이 된다.
$$\text{Var}\!\left[\sum_{i=1}^{n}(\Delta W_i)^2\right] = n \cdot 2(\Delta t)^2 = 2n \cdot \frac{T^2}{n^2} = \frac{2T^2}{n} \;\to\; 0 \quad (n \to \infty)$$기대값은 정확히 \(T\)이고 분산은 0으로 수렴하므로, 체비셰프 부등식 \(P(|X - EX| > \epsilon) \le \text{Var}(X)/\epsilon^2\)에 의해 이차변동은 확률적으로 \(T\)에 수렴한다. \(\blacksquare\)
이 결과를 미분 형태로 쓰면 다음과 같은 중요한 계산 규칙을 얻는다.
핵심: \((dW)^2\)은 비록 형식적으로는 확률변수이지만, 위의 증명에서 보았듯이 기대값이 \(dt\)이고 분산이 0에 가까우므로, 실질적으로 결정론적 상수 \(dt\)처럼 취급할 수 있다. 이것이 확률미적분에서 가장 중요한 단 하나의 규칙이며, 이토 공식의 "보정항"이 등장하는 근본적 원인이다.
1.2.2 이토 곱셈 규칙
위의 이차변동 결과와 크기 분석을 종합하면, 확률미적분에서 사용하는 곱셈 규칙을 체계적으로 정리할 수 있다. 먼저 \((dt)^2\)은 \(dt\)보다 훨씬 작은 고차항이므로 0으로 취급한다. 다음으로 \(dt \cdot dW\)는 크기가 \(dt \cdot \sqrt{dt} = (dt)^{3/2}\)이므로 역시 무시할 수 있다. 마지막으로 \((dW)^2\)은 이차변동에 의해 상수 \(dt\)로 수렴하므로, 0이 아닌 유일한 2차 항이다.
| 곱 | 결과 | 이유 |
|---|---|---|
| \((dt)^2\) | \(0\) | \(dt\)보다 훨씬 작은 고차항 |
| \(dt \cdot dW\) | \(0\) | \((dt)^{3/2}\) 크기이므로 무시 가능 |
| \((dW)^2\) | \(dt\) | 이차변동에 의해 상수 \(dt\)로 수렴 |
핵심 통찰: 일반 미적분에서는 \((dx)^2\)을 항상 무시할 수 있지만, 확률미적분에서는 \((dW)^2 = dt\)를 무시할 수 없다. 이 단 하나의 차이가 이토 미적분 전체를 지배한다. 다시 말해, 이토 미적분의 존재 이유는 결국 \((dW)^2 = dt \neq 0\)이라는 사실로 귀결되며, 이 단순한 규칙으로부터 이토 공식, 이토 적분의 성질, 나아가 금융에서의 볼록성 보정 등 모든 결과가 파생된다.
1.3 확률미분방정식의 일반적 형태
확률미분방정식(SDE)은 결정론적 변화와 확률론적 변화를 동시에 기술하는 방정식으로, 다음과 같은 일반적 형태를 가진다.
이 방정식의 우변은 두 개의 항으로 구성되어 있으며, 각각은 매우 다른 성격의 변화를 기술한다. 첫째 항 \(\mu(t, X(t))\,dt\)는 드리프트 항(drift term)이라 부른다. 이 항은 확률과정의 결정론적 추세, 즉 예측 가능한 체계적 변화를 나타낸다. 예를 들어 이자율이 장기적으로 5%를 향해 되돌아가는 경향이 있다면, 이 드리프트 항이 그 경향을 기술한다. \(dt\)에 비례하므로 이 항은 "예측 가능한" 부분이며, 시간이 흐름에 따라 선형적으로 누적된다.
둘째 항 \(\sigma(t, X(t))\,dW(t)\)는 확산 항(diffusion term)이라 부른다. 이 항은 확률적 변동의 크기와 성격을 결정한다. 계수 \(\sigma\)는 변동성(volatility)에 해당하며, 이 값이 클수록 확률과정의 무작위적 변동 폭이 커진다. \(dW(t)\)가 무작위성의 원천이다. \(dW\)의 크기가 \(\sqrt{dt}\)이므로, 확산 항은 매우 짧은 시간 간격에서 드리프트 항보다 지배적이 된다. 이것이 고빈도 데이터에서 추세보다 잡음이 더 크게 보이는 이유의 수학적 설명이다.
이 SDE는 적분형으로도 동치하게 표현할 수 있다. 즉, \(X(t) = X(0) + \int_0^t \mu(s, X(s))\,ds + \int_0^t \sigma(s, X(s))\,dW(s)\)이다. 여기서 첫 번째 적분은 일반적인 리만 적분(Riemann integral)이고, 두 번째 적분은 이토 적분(Itô integral)이라는 특별한 확률적분이다. 이토 적분의 정확한 정의와 성질은 Part 3에서 다룬다.
Part 2. 이토 공식(Itô's Lemma)
2.1 왜 이토 공식이 필요한가?
일반적인 미적분학에서 \(y = f(x)\)이고 \(x\)가 \(t\)의 매끄러운 함수일 때, 체인룰(chain rule)은 \(dy = f'(x)\,dx\)로 매우 간단하다. 이 공식은 함수의 변화량을 변수의 변화량으로 표현해 주므로, 물리학과 공학에서 수없이 많은 문제를 해결하는 핵심 도구이다.
그런데 \(x\)가 브라운 운동을 포함하는 확률과정일 때, 이 체인룰은 더 이상 정확하지 않다. 그 이유는 본질적으로 매우 단순하면서도 심오하다.
체인룰이 실패하는 근본적 이유: 일반 미적분에서는 \(dx\)가 \(dt\)와 같은 크기를 가지므로, 테일러 전개의 2차항 \((dx)^2\)은 \((dt)^2\)에 비례하여 \(dt\)보다 훨씬 작아진다. 따라서 2차항을 무시하고 1차항만 남겨도 정확한 결과를 얻는다. 그러나 확률미적분에서는 \(dX\)가 \(dW\)를 포함하면 그 크기가 \(\sqrt{dt}\)가 되므로, \((dX)^2\)의 크기가 \(dt\)에 비례한다. \(dt\)는 무시할 수 없는 크기이므로, 테일러 전개의 2차항을 반드시 포함시켜야 한다. 이것이 체인룰이 실패하는 이유이며, 동시에 이토 공식이 존재하는 이유이다.
2.2 이토 공식의 유도
확률과정 \(X(t)\)가 SDE \(dX = \mu\,dt + \sigma\,dW\)를 만족하고, \(f(t,x)\)가 \(t\)에 대해 1번, \(x\)에 대해 2번 연속 미분 가능한 클래스 \(C^{1,2}\) 함수라고 하자. 우리의 목표는 합성함수 \(Y(t) = f(t, X(t))\)의 SDE를 구하는 것이다.
Step 1: 테일러 전개
\(f(t, X(t))\)의 테일러 전개를 2차항까지 수행하면 다음과 같다.
$$df = f_t\,dt + f_x\,dX + \tfrac{1}{2}f_{tt}(dt)^2 + \tfrac{1}{2}f_{xx}(dX)^2 + f_{tx}\,dt\,dX + \cdots$$Step 2: 각 항의 크기 분석
\(dW \sim \sqrt{dt}\)이므로 \(dX = \mu\,dt + \sigma\,dW\)의 크기는 \(\sqrt{dt}\)이다. 이로부터 테일러 전개의 각 항이 \(dt\)의 크기까지 기여하는지를 판별할 수 있다. \(f_t\,dt\)는 크기가 \(dt\)이므로 기여하고, \(f_x\,dX\)는 \(\sqrt{dt}\) 크기이므로 역시 기여한다. 한편 \(\frac{1}{2}f_{tt}(dt)^2\)은 \((dt)^2\) 크기이므로 무시할 수 있고, \(f_{tx}\,dt\,dX\)는 \((dt)^{3/2}\) 크기이므로 역시 무시할 수 있다. 결정적으로, \(\frac{1}{2}f_{xx}(dX)^2\)은 \((dX)^2 \sim dt\) 크기이므로 무시할 수 없으며 반드시 포함해야 한다. 이것이 일반 체인룰과의 유일한 차이이다.
Step 3: \((dX)^2\)의 명시적 계산
\(dX = \mu\,dt + \sigma\,dW\)를 제곱하면 \((dX)^2 = \mu^2(dt)^2 + 2\mu\sigma\,dt\,dW + \sigma^2(dW)^2\)이다. 여기에 이토 곱셈 규칙을 적용하면, 첫째 항 \(\mu^2(dt)^2\)은 고차항이므로 사라지고, 둘째 항 \(2\mu\sigma\,dt\,dW\)는 \((dt)^{3/2}\) 크기이므로 사라지며, 셋째 항 \(\sigma^2(dW)^2\)만 이차변동에 의해 \(\sigma^2\,dt\)로 남는다.
이 결과는 직관적으로도 의미가 있다. \((dX)^2\)에서 드리프트 \(\mu\)는 완전히 사라지고 오직 확산 계수 \(\sigma\)만 남는다는 것은, 매우 짧은 시간 간격에서는 "평균적 추세"보다 "무작위 변동"이 지배적이라는 물리적 사실의 수학적 표현이다.
2.3 이토 공식의 최종형
Step 1–3의 분석을 종합하면, 기여하는 항만 남겨서 다음의 이토 공식(Itô's Lemma)을 얻는다.
고전적 체인룰 \(df = f_t\,dt + f_x\,dX\)와 비교하면, 이토 공식에는 \(\frac{1}{2}\sigma^2 f_{xx}\,dt\)라는 추가항이 등장한다. 이것을 이토 보정항(Itô correction term)이라 부른다. 이 보정항은 변동성 \(\sigma\)와 함수의 2차 도함수 \(f_{xx}\)(즉 볼록성)의 곱으로 구성되어 있다.
이토 보정항의 직관적 의미: 이 항은 함수 \(f\)의 볼록성(convexity) 효과를 반영한다. \(f_{xx} > 0\)인 볼록함수에 대해서는 보정항이 양수로, 확률적 변동이 함수값의 기대값을 끌어올리는 효과를 낳는다. 반대로 \(f_{xx} < 0\)인 오목함수에서는 보정항이 음수로, 확률적 변동이 함수값의 기대값을 끌어내린다. 이것이 금융에서 유명한 "볼록성 편향(convexity bias)"의 수학적 근거이며, Hull–White 모형에서 할인채 가격의 볼록성 보정이 등장하는 이유이기도 하다.
2.4 이토 곱 법칙(Product Rule)
Hull–White 모형의 해를 유도할 때, 적분인자 \(e^{H(u)}\)와 이자율 \(R(u)\)의 곱에 대한 미분이 필요하다. 이를 위해 이토 곱 법칙(Itô product rule)을 소개한다. 두 확률과정 \(X(t)\)와 \(Y(t)\)가 각각 SDE를 만족할 때, 곱 \(Z(t) = X(t)Y(t)\)의 미분은 다음과 같다.
일반 미적분의 곱 법칙 \(d(XY) = X\,dY + Y\,dX\)와 비교하면, 추가항 \(dX\,dY\)가 등장한다. 이 추가항은 이토 곱셈 규칙에 의해 계산된다. 만약 \(X\)가 결정론적(확률적 성분이 없는) 함수라면 \(dX\)에 \(dW\) 항이 없으므로 \(dX\,dY\)에서 \((dW)^2\) 항이 나타나지 않아, 추가항은 0이 된다. 이 사실은 Part 8에서 적분인자 변환을 수행할 때 핵심적으로 사용된다.
Part 3. 이토 적분과 이토 등거리성(Itô Isometry)
3.1 이토 적분의 정의
이토 적분(Itô integral)은 확률과정을 브라운 운동에 대해 "적분"하는 것으로, \(\int_a^b f(u)\,dW(u)\)와 같이 표기한다. 이 적분의 결과는 일반 적분처럼 하나의 "숫자"가 아니라 확률변수라는 점에서 근본적으로 다르다. 리만 적분 \(\int_a^b g(x)\,dx\)는 주어진 함수와 구간에 대해 정해진 하나의 값을 가지지만, 이토 적분은 브라운 운동의 경로가 어떻게 실현되느냐에 따라 서로 다른 값을 가질 수 있다. 같은 확률 실험을 여러 번 반복하면, 매번 다른 브라운 운동 경로가 생성되고, 따라서 이토 적분의 값도 매번 달라진다.
이토 적분은 리만합(Riemann sum)의 극한으로 정의된다. 구간 \([a,b]\)를 \(a = t_0 < t_1 < \cdots < t_n = b\)로 분할하면 다음과 같다.
여기서 결정적으로 중요한 것은 좌측값(left-endpoint) \(f(t_{i-1})\)을 사용한다는 점이다. 리만 적분에서는 구간의 어느 점을 선택하든(좌측, 우측, 중간점) 극한이 동일하지만, 확률적분에서는 선택에 따라 결과가 달라진다. 좌측값을 사용하는 것이 이토 적분이고, 중간점을 사용하는 것이 스트라토노비치(Stratonovich) 적분이다.
이토 적분에서 좌측값을 사용하는 데에는 깊은 금융적 의미가 있다. 투자자가 시점 \(t_{i-1}\)에서 보유량 \(f(t_{i-1})\)을 결정한 후, 시점 \(t_i\)까지 주가가 \(W(t_i) - W(t_{i-1})\)만큼 변동하는 것을 상상하면 된다. 투자 결정은 반드시 미래의 가격 변동을 관찰하기 전에 내려야 한다는 인과관계의 원칙이 좌측값 사용에 자연스럽게 반영되어 있는 것이다. 이 "미래를 보지 않는(non-anticipative)" 성질은 금융 모형의 물리적 합리성을 보장하는 핵심 조건이다.
3.2 이토 적분의 핵심 성질
성질 1: 기대값이 0 (마팅게일 성질)
이 성질은 이토 적분의 가장 기본적이면서도 중요한 성질이다. 리만합의 각 항 \(f(t_{i-1}) \cdot \Delta W_i\)를 생각하면, \(f(t_{i-1})\)은 시점 \(t_{i-1}\)에서 이미 결정된 값(또는 \(\mathcal{F}_{t_{i-1}}\)-가측인 확률변수)이고, \(\Delta W_i = W(t_i) - W(t_{i-1})\)는 미래의 증분으로 기대값이 0이다. 더구나 좌측값 선택에 의해 \(f(t_{i-1})\)과 \(\Delta W_i\)는 독립이므로, \(E[f(t_{i-1}) \cdot \Delta W_i] = f(t_{i-1}) \cdot E[\Delta W_i] = 0\)이다. 모든 항의 기대값이 0이므로 합의 기대값도 0이고, 극한에서도 이 성질이 보존된다. 금융적으로 이것은 이토 적분으로 구성된 투자전략이 "공정한 게임(fair game)"이라는 것, 즉 기대 손익이 0인 마팅게일이라는 것을 의미한다.
성질 2: 이토 등거리성(Itô Isometry)
좌변은 이토 적분의 "크기의 제곱"에 대한 기대값, 즉 \(L^2\) 노름의 제곱이다. 우변은 피적분함수를 제곱하여 시간에 대해 일반적으로 적분한 것이다. 이 등식이 의미하는 바는 매우 강력하다. 확률적 적분의 "크기"를 계산하기 위해 복잡한 확률론적 분석을 할 필요 없이, 피적분함수의 제곱을 결정론적으로 적분하기만 하면 된다는 것이다. 이토 등거리성은 Hull–White 모형에서 \(I(t,T) = \int_t^T R(u)\,du\)의 분산을 계산할 때 핵심적으로 사용된다.
3.3 이토 등거리성 증명
증명
Step 1. 구간 \([a,b]\)를 \(n\)개로 균등 분할한다. \(\Delta t = (b-a)/n\)으로 두고, 이토 적분을 리만합으로 근사하면 \(\int_a^b f(u)\,dW(u) \approx \sum_{i=1}^{n} f(t_{i-1})\,\Delta W_i\)이다. 여기서 \(\Delta W_i := W(t_i) - W(t_{i-1})\)이다.
Step 2. 이 합을 제곱하면, \((A_1 + A_2 + \cdots + A_n)^2\)을 전개하는 것과 같으므로, 대각항(\(A_i^2\))과 교차항(\(A_i A_j,\; i \neq j\))이 나타난다. 구체적으로 다음과 같이 분리된다.
$$\left(\sum_i f(t_{i-1})\,\Delta W_i\right)^{\!2} = \sum_i f(t_{i-1})^2\,(\Delta W_i)^2 + 2\!\sum_{i < j} f(t_{i-1})\,f(t_{j-1})\,\Delta W_i\,\Delta W_j$$Step 3. 이제 양변의 기대값을 취한다. 대각항의 기대값은 다음과 같다. \(f(t_{i-1})\)이 결정론적 함수(또는 \(\mathcal{F}_{t_{i-1}}\)-가측)이고 \(\Delta W_i \sim N(0, \Delta t)\)이므로 \(E[f(t_{i-1})^2 \cdot (\Delta W_i)^2] = f(t_{i-1})^2 \cdot \Delta t\)이다.
교차항(\(i < j\))의 기대값이 핵심이다. \(\Delta W_i\)와 \(\Delta W_j\)는 서로 다른 시간 구간의 증분이므로, 브라운 운동의 독립 증분 성질에 의해 서로 독립이다. 또한 각각의 기대값이 \(E[\Delta W_i] = 0\)이므로 \(E[\Delta W_i \cdot \Delta W_j] = E[\Delta W_i] \cdot E[\Delta W_j] = 0\)이다. 따라서 모든 교차항의 기대값이 소멸한다. 이것이 증명의 핵심 단계이다.
Step 4. 교차항이 사라지므로 대각항만 남아서, \(E\bigl[\bigl(\sum_i f(t_{i-1})\,\Delta W_i\bigr)^2\bigr] = \sum_i f(t_{i-1})^2\,\Delta t\)를 얻는다. 우변은 함수 \(f(u)^2\)의 리만합이다. \(n \to \infty\)에서 이 리만합은 적분으로 수렴하므로, 최종적으로 다음을 얻는다.
$$E\!\left[\left(\int_a^b f(u)\,dW(u)\right)^{\!2}\right] = \int_a^b f(u)^2\,du \qquad \blacksquare$$3.4 결정론적 \(f\)일 때의 정규분포 성질
만약 \(f(u)\)가 결정론적(비확률적) 함수라면, 이토 적분은 한층 더 강력한 성질을 가진다.
이 결과의 직관적 이해는 다음과 같다. 리만합 \(\sum f(t_{i-1})\,\Delta W_i\)에서 각 \(\Delta W_i\)는 정규분포 \(N(0, \Delta t)\)를 따르고 서로 독립이며, \(f(t_{i-1})\)은 결정론적 상수이다. 따라서 이 합은 독립인 정규확률변수들의 선형결합이다. 확률론의 기본 정리에 의해 "독립인 정규분포의 선형결합은 다시 정규분포"이므로, 이 합은 정규분포를 따른다. 기대값은 성질 1에 의해 0이고, 분산은 이토 등거리성에 의해 \(\int_a^b f(u)^2\,du\)이다. 극한에서도 이 정규분포 성질이 보존된다.
Hull–White와의 연결: 이 결과는 Hull–White 모형에서 단기이자율 \(R(u)\)가 정규분포를 따르는 핵심 이유이다. Part 8에서 보게 되겠지만, Hull–White의 해는 결정론적 커널 함수 \(e^{H(s)}\beta(s)\)에 대한 이토 적분을 포함하고 있다. 바로 이 성질 덕분에 \(R(u)\)의 조건부분포가 정규분포가 되고, \(\int_t^T R(u)\,du\)도 정규분포를 따르며, 나아가 할인채 가격이 닫힌형으로 표현 가능해지는 것이다.
Part 4. 정규분포 지수의 기대값
4.1 핵심 보조정리
이 보조정리는 Hull–White 모형에서 할인채 가격을 닫힌형으로 표현하는 데 결정적인 역할을 한다. 할인채의 가격은 \(B(t,T) = E_t^Q[\exp(-\int_t^T R(u)\,du)]\)인데, 만약 적분 \(\int_t^T R(u)\,du\)가 정규분포를 따른다면(Part 10에서 이를 증명한다), 할인채 가격 계산은 정확히 다음 보조정리의 형태가 된다.
4.2 증명 (완전제곱 방법)
\(X \sim N(\mu, \sigma^2)\)의 확률밀도함수는 \(f_X(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\exp\!\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)\)이다.
Step 1. 기대값의 정의에 따라, \(E[e^X] = \int_{-\infty}^{\infty} e^x \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\exp\!\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)dx\)이다.
Step 2. 피적분함수의 지수 부분을 하나로 합친다. \(e^x\)와 밀도함수의 지수 부분을 결합하면 \(x - \frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\)이 된다. 이것을 공통분모로 정리하면 \(\frac{2\sigma^2 x - (x-\mu)^2}{2\sigma^2}\)이다.
Step 3. 분자를 전개한다. \(2\sigma^2 x - (x^2 - 2\mu x + \mu^2) = -x^2 + 2(\mu + \sigma^2)x - \mu^2\)이다.
Step 4. 핵심 기법인 완전제곱식 만들기를 적용한다. \(x^2 - 2(\mu+\sigma^2)x\)에서 "\(\mu+\sigma^2\)"를 중심으로 완전제곱을 만들면, \(x^2 - 2(\mu+\sigma^2)x + \mu^2 = [x - (\mu+\sigma^2)]^2 - (\mu+\sigma^2)^2 + \mu^2\)이다. 따라서 원래 지수 부분은 다음과 같이 분리된다.
$$x - \frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2} = -\frac{[x-(\mu+\sigma^2)]^2}{2\sigma^2} + \frac{(\mu+\sigma^2)^2 - \mu^2}{2\sigma^2}$$Step 5. 나머지 상수항을 계산하면 \(\frac{(\mu+\sigma^2)^2 - \mu^2}{2\sigma^2} = \frac{2\mu\sigma^2 + \sigma^4}{2\sigma^2} = \mu + \frac{\sigma^2}{2}\)이다.
Step 6. 적분을 완성한다. 상수항을 밖으로 빼면, 남은 적분은 평균이 \(\mu+\sigma^2\)이고 분산이 \(\sigma^2\)인 정규분포의 밀도함수를 전 구간에서 적분하는 것이므로 값이 정확히 1이다.
$$E[e^X] = \exp\!\left(\mu + \frac{\sigma^2}{2}\right) \cdot \underbrace{\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\exp\!\left(-\frac{[x-(\mu+\sigma^2)]^2}{2\sigma^2}\right)dx}_{= 1} = \exp\!\left(\mu + \tfrac{1}{2}\sigma^2\right) \quad \blacksquare$$직관적 해석: 이 결과에서 가장 중요한 점은 \(E[e^X] \neq e^{E[X]} = e^\mu\)라는 것이다. 차이는 \(\frac{1}{2}\sigma^2\)만큼의 "볼록성 프리미엄"이다. 지수함수 \(e^x\)는 볼록(convex)하므로, 옌센 부등식(Jensen's inequality)에 의해 \(E[e^X] > e^{E[X]}\)이다. 분산이 클수록(즉 불확실성이 클수록) 이 프리미엄은 더 커지며, 이것이 금융에서 "변동성이 크면 볼록성의 이점이 커진다"는 직관의 수학적 근거이다.
Part 5. 위험중립측도와 채권 가격결정
5.1 현실측도 vs 위험중립측도
금융에서 자산 가격을 결정하려면 미래 현금흐름의 기대값을 구해야 하는데, 이때 "어떤 확률측도 하에서의 기대값인가"가 결정적으로 중요하다. 현실측도(Physical Measure) \(P\)는 우리가 실제 세계에서 관측하는 확률분포이다. 이 측도 하에서 투자자들은 위험을 싫어하므로, 위험이 큰 자산에 대해 추가적인 보상(위험프리미엄)을 요구한다. 따라서 \(P\) 하에서의 기대수익률에는 위험프리미엄이 포함되어 있다.
위험중립측도(Risk-Neutral Measure) \(Q\)는 가격결정을 위해 인위적으로 구성한 수학적 도구이다. 이 "가상의 세계"에서는 모든 투자자가 위험에 무관심(risk-neutral)하며, 따라서 모든 자산의 기대수익률이 무위험이자율과 동일하다. 현실에서 투자자들이 실제로 위험중립적이라는 뜻이 아니라, 무차익(No-Arbitrage) 원리를 만족하는 가격체계가 존재하면, 그에 대응하는 확률측도 \(Q\)가 존재한다는 것이다. 이 측도 하에서의 기대값으로 자산 가격을 계산하면, 위험프리미엄을 명시적으로 다룰 필요 없이 올바른 무차익 가격을 얻을 수 있다.
5.2 기라노프 정리(Girsanov Theorem)
\(P\) 하에서 브라운 운동 \(\{W^{P}(t)\}\)가 있을 때, 예측가능한 과정 \(\lambda(t)\)에 대하여 다음과 같이 정의하면 $$dW^{Q}(t) = dW^{P}(t) + \lambda(t)\,dt \quad\Longleftrightarrow\quad W^{Q}(t)=W^{P}(t)+\int_{0}^{t}\lambda(s)\,ds$$ \(\{W^{Q}(t)\}\)가 \(Q\) 하에서 브라운 운동이 되도록 하는 측도 \(Q\)를 구성할 수 있다. 여기서 \(\lambda(t)\)는 위험의 시장가격(Market Price of Risk)이다. 직관적으로 설명하면, 현실세계에서 위험자산의 드리프트에 포함되어 있던 위험프리미엄을 "흡수"하여 브라운 운동의 드리프트를 조정함으로써, 위험중립세계에서의 새로운 브라운 운동을 만드는 것이다. 기라노프 정리의 수학적 의미는 "측도 전환은 브라운 운동의 드리프트 조정으로 실현된다"는 것이며, 이것이 현실측도와 위험중립측도를 연결하는 다리 역할을 한다.
5.3 할인채의 위험중립 가격결정
단기이자율(short rate) \(R(u)\)가 주어질 때, 만기 \(T\)에 1원을 지급하는 할인채(zero-coupon bond)의 시점 \(t\)에서의 가격은 위험중립 가격결정 공식에 의해 다음과 같이 표현된다.
여기서 \(E_t^Q\)는 시점 \(t\)까지의 정보 \(\mathcal{F}_t\)가 주어진 조건부 기대값을 위험중립측도 \(Q\) 하에서 계산한 것이다. 적분 \(\int_t^T R(u)\,du\)는 시점 \(t\)에서 만기 \(T\)까지의 누적 할인율을 나타내며, 이것의 지수함수를 취한 것이 할인인자(discount factor)이다. Hull–White 모형의 최종 목표는 이 기대값을 닫힌형(closed-form)으로 계산하는 것이다.
Part 6. 기존 모형 흐름: Merton → Vasicek → Ho–Lee → Hull–White
Hull–White 모형이 왜 등장했는지를 이해하려면, 그 이전에 어떤 모형들이 존재했고 각각 어떤 한계를 가지고 있었는지를 살펴보아야 한다.
가장 먼저 등장한 연속시간 이자율 모형은 Merton 모형(1973)이다. 이 모형의 SDE는 \(dR = \alpha\,du + \beta\,dW\)로, 드리프트와 확산이 모두 상수인 가장 단순한 형태이다. 그러나 이 모형에는 평균회귀(mean reversion)가 없으며, 시장에서 관측되는 초기 일드곡선을 적합하는 것이 불가능하다. 이자율이 임의로 높아지거나 낮아질 수 있어 장기적 행태가 비현실적이다.
Vasicek 모형(1977)은 평균회귀를 도입한 중요한 진보였다. SDE가 \(dR = b(\theta - R)\,dt + \beta\,dW\)인 이 모형에서, 이자율이 장기 평균 \(\theta\)보다 높으면 드리프트가 음수가 되어 이자율을 끌어내리고, 반대의 경우에는 끌어올린다. 이는 중앙은행의 통화정책이 이자율을 특정 수준으로 유도하려는 현실을 반영한 것이다. 그러나 Vasicek 모형 역시 파라미터가 모두 상수이므로, 시장에서 관측되는 초기 일드곡선을 정확히 적합하는 것이 불가능하다.
Ho–Lee 모형(1986)은 시간의존 드리프트 \(\alpha(u)\)를 도입하여 초기 일드곡선 적합을 가능하게 만든 최초의 모형이다. SDE는 \(dR = \alpha(u)\,du + \beta\,dW^Q\)이다. 그러나 평균회귀가 없으므로, 이자율이 한 방향으로 계속 움직일 수 있고, 장기 선도이자율이 \(-\infty\)로 발산하는 비현실적인 현상이 나타난다. 또한 현물이자율의 충격이 모든 만기에 동일하게 전파되는 "병행이동" 특성이 있어, 현실의 기간구조 움직임을 제한적으로만 포착할 수 있다.
Hull–White 모형(1990)은 Vasicek의 평균회귀와 Ho–Lee의 시간의존 드리프트를 결합한 것이다. SDE는 \(dR = (a(u) - b(u)\,R)\,du + \beta(u)\,dW^Q\)이다. 평균회귀 덕분에 장기 선도이자율의 발산이 방지되고 이자율 충격이 시간에 따라 감쇠하며, 동시에 시간의존 드리프트 함수 \(a(u)\)를 통해 초기 일드곡선에 정확히 적합할 수 있다. 이 모형은 각 선행 모형의 장점을 계승하면서 한계를 극복한 것으로, 실무에서 가장 널리 사용되는 1요인 이자율 모형 중 하나이다.
| 모형 | SDE | 평균회귀 | 초기곡선 적합 | 장기 선도금리 |
|---|---|---|---|---|
| Merton (1973) | \(dR = \alpha\,du + \beta\,dW\) | 없음 | 불가 | 발산 |
| Vasicek (1977) | \(dR = b(\theta - R)\,dt + \beta\,dW\) | 있음 | 불가 | 유한 수렴 |
| Ho–Lee (1986) | \(dR = \alpha(u)\,du + \beta\,dW^Q\) | 없음 | 가능 | 발산 |
| Hull–White (1990) | \(dR = (a(u) - b(u)\,R)\,du + \beta(u)\,dW^Q\) | 있음 | 가능 | 유한 수렴 |
Hull–White의 위치: Hull–White 모형은 평균회귀(Vasicek으로부터)와 초기곡선 적합(Ho–Lee로부터)이라는 두 가지 핵심 요소를 동시에 갖춘 유일한 모형이다. 수학적으로 Ho–Lee는 Hull–White에서 \(b(u) = 0\)으로 놓은 특수한 경우이고, Vasicek은 \(a(u) = b\theta\)(상수)로 놓은 특수한 경우이다. 따라서 Hull–White는 이 모형들의 자연스러운 일반화(generalization)에 해당한다.
Part 7. Hull–White 모형의 정의
7.1 확률미분방정식 (일반형)
가장 일반적인 1요인 Hull–White 단기이자율 모형은 다음의 확률미분방정식을 만족한다.
여기서 \(a(u) > 0\)은 시간의존 드리프트 함수, \(b(u) > 0\)은 평균회귀 강도 함수, \(\beta(u) > 0\)은 변동성 함수, \(\{W^Q(t)\}\)는 위험중립확률측도 \(Q\) 하에서의 브라운 운동이다.
이 SDE의 구조를 자세히 살펴보면 여러 가지 중요한 특징이 드러난다. 첫째, 드리프트 항 \(a(u) - b(u)\,R(u)\)가 \(R(u)\)의 1차 아핀 함수라는 점이다. 이 선형 구조는 SDE를 적분인자 방법으로 풀 수 있게 해주며, 해가 정규분포를 따르고 채권가격이 아핀 형태를 가지게 만드는 근본적 원인이다.
둘째, 평균회귀 구조가 내재되어 있다. 드리프트를 \(b(u)\bigl(\frac{a(u)}{b(u)} - R(u)\bigr)\)로 다시 쓰면, 이자율이 시간의존 "목표 수준" \(a(u)/b(u)\)를 향해 속도 \(b(u)\)로 회귀하려는 구조임을 명확히 볼 수 있다. 이자율이 목표보다 높으면 드리프트가 음수가 되어 이자율을 끌어내리고, 반대의 경우에는 끌어올린다.
셋째, \(a(u)\)가 시간의존 함수라는 점이 초기 일드곡선 적합의 "엔진" 역할을 한다. 이 함수를 적절히 선택하면 시장의 일드곡선을 정확히 재현할 수 있으며, 이것이 Vasicek(파라미터가 모두 상수)과의 결정적 차이이다.
넷째, 확산 계수 \(\beta(u)\)가 \(R(u)\)에 의존하지 않는다는 점이 중요하다. 이 때문에 이자율의 변동성은 이자율 수준과 무관하게 결정되며, 이것이 정규분포 해를 가지게 만드는 구조적 조건이다.
음의 이자율 가능성: Hull–White 모형의 해는 정규분포를 따르므로(Part 8에서 확인), \(R(t)\)가 음수가 될 확률이 항상 양수이다. 이것은 Hull–White 모형의 대표적 단점으로 지적되어 왔다. 다만 2008년 글로벌 금융위기 이후 유럽과 일본에서 실제로 음의 금리가 관측되면서, 이 "단점"에 대한 재평가가 이루어지고 있다. 음의 금리가 불가능한 모형(예: CIR)이 오히려 현실을 반영하지 못할 수 있다는 것이다.
7.2 실무에서 가장 많이 사용하는 "표준" 형태
실무에서는 일반형보다 다음의 표준 형태가 훨씬 많이 사용된다.
여기서 \(a > 0\)과 \(\sigma > 0\)은 상수이고, \(\theta(t)\)는 시간에 따라 변하는 결정론적 함수이다. 일반형과 비교하면 \(b(u) = a\)(상수), \(\beta(u) = \sigma\)(상수), \(a(u) = \theta(u)\)(시간의존)이다. 평균회귀 속도 \(a\)와 변동성 \(\sigma\)를 상수로 고정함으로써, 캘리브레이션에 필요한 자유 파라미터의 수를 줄이면서도 초기 일드곡선 적합에 충분한 유연성(\(\theta(t)\))을 유지하는 것이다. 이하 이론적 전개에서는 일반형을 사용하되, 수치 예제와 캘리브레이션에서는 이 표준 형태를 사용한다.
7.3 Vasicek과의 비교: 평균회귀의 역할
Hull–White 모형의 핵심 특징인 평균회귀가 어떻게 작동하는지를 Vasicek 모형과의 비교를 통해 자세히 살펴보자.
| 현재 이자율 상태 | 드리프트의 부호 | 이자율에 작용하는 힘 |
|---|---|---|
| \(R(t) < a(t)/b(t)\) (목표보다 낮음) | 양수 (상승 방향) | 이자율을 상승시키는 힘 |
| \(R(t) = a(t)/b(t)\) (목표와 같음) | 0 (중립) | 평형 상태, 추세적 힘 없음 |
| \(R(t) > a(t)/b(t)\) (목표보다 높음) | 음수 (하락 방향) | 이자율을 하락시키는 힘 |
이 평균회귀 구조는 경제적으로 매우 합리적이다. 이자율이 비정상적으로 높아지면 경제 활동이 위축되어 결국 이자율이 하락하는 경향이 있고, 반대로 이자율이 비정상적으로 낮아지면 경제가 과열되어 결국 이자율이 상승하는 경향이 있기 때문이다. 중앙은행의 통화정책 역시 이자율을 특정 목표 수준으로 유도하려는 노력으로 이해할 수 있다.
평균회귀가 Hull–White를 Ho–Lee와 구별짓는 가장 중요한 차이이다. Ho–Lee에서는 이자율 충격이 모든 만기에 동일하게 전파되지만, Hull–White에서는 평균회귀가 충격을 시간에 따라 감쇠시키므로, 장기 선도이자율에 대한 영향이 단기보다 작아진다. 이것이 현실의 기간구조 움직임을 보다 자연스럽게 포착하게 해 준다.
Part 8. Hull–White SDE의 해: 적분인자 방법
이 파트에서는 Hull–White SDE의 명시적 해(explicit solution)를 유도한다. Ho–Lee와 달리 드리프트가 \(R(u)\)에 의존하므로, 단순한 직접 적분으로는 해를 구할 수 없다. 대신 적분인자(integrating factor)라는 기법을 사용하여 \(R(u)\)에 의존하는 항을 제거한 뒤 적분한다. 이 기법은 1차 선형 상미분방정식(ODE)을 풀 때 사용하는 것과 본질적으로 동일하다.
8.1 적분인자 \(e^{H(u)}\)의 도입
다음 함수를 정의한다.
\(H(u)\)는 평균회귀 강도 \(b(s)\)의 누적이다. \(b(s) > 0\)이므로 \(H(u)\)는 단조증가함수이다. 미분하면 \(dH(u) = b(u)\,du\)이다. 적분인자로 사용할 함수는 \(e^{H(u)}\)이며, 이것은 \(b(s)\)에 의해 완전히 결정되는 결정론적 함수이다.
왜 하필 \(e^{H(u)}\)를 적분인자로 사용하는가? 1차 선형 ODE \(y' + p(x)y = q(x)\)를 풀 때, 적분인자 \(e^{\int p(x)\,dx}\)를 양변에 곱하면 좌변이 \(\frac{d}{dx}[e^{\int p\,dx} \cdot y]\)로 깔끔하게 정리되어 직접 적분이 가능해진다. Hull–White SDE에서 \(R(u)\) 앞의 계수가 \(-b(u)\)이므로, 적분인자는 \(e^{\int_0^u b(s)\,ds} = e^{H(u)}\)가 되는 것이다.
8.2 변환: \(Y(u) = e^{H(u)} R(u)\)
새로운 과정 \(Y(u) = e^{H(u)} R(u)\)를 정의한다. 이 변환의 목적은 SDE에서 \(R(u)\)에 비례하는 항(\(-b(u)R(u)\))을 제거하여, 보다 다루기 쉬운 형태로 만드는 것이다.
\(d(e^{H(u)} R(u))\)의 유도
\(Y(u) = e^{H(u)} \cdot R(u)\)에 이토 곱 법칙(Part 2.4)을 적용한다.
$$d\bigl(e^{H(u)} R(u)\bigr) = e^{H(u)}\,dR(u) + R(u)\,d\bigl(e^{H(u)}\bigr) + d\bigl(e^{H(u)}\bigr)\,dR(u)$$\(d(e^{H(u)})\)의 계산: \(e^{H(u)}\)는 결정론적 함수이므로, 일반 미적분의 규칙을 그대로 사용할 수 있다. \(d(e^{H(u)}) = e^{H(u)} \cdot dH(u) = b(u)\,e^{H(u)}\,du\)이다.
세 번째 항 \(d(e^H)\,dR\)의 계산: \(d(e^H) = b(u)\,e^{H}\,du\)이므로, \(d(e^H)\,dR\)에서 \(du \cdot du = 0\)이고 \(du \cdot dW = 0\)이다(이토 곱셈 규칙). 따라서 세 번째 항은 정확히 0이다. 이것은 적분인자가 결정론적 함수이기 때문에 발생하는 매우 중요한 단순화이다.
따라서 다음이 성립한다.
$$d\bigl(e^{H(u)} R(u)\bigr) = e^{H(u)}\,dR(u) + b(u)\,e^{H(u)}\,R(u)\,du$$8.3 Hull–White SDE 대입과 핵심 소거
이제 Hull–White SDE \(dR = (a - bR)\,du + \beta\,dW^Q\)를 대입한다.
소거 과정의 상세 전개
$$e^{H}\,dR + b\,e^{H}\,R\,du$$ $$= e^{H}\bigl[(a - bR)\,du + \beta\,dW^Q\bigr] + b\,e^{H}\,R\,du$$ $$= e^{H}\,a\,du \underbrace{- e^{H}\,b\,R\,du + e^{H}\,b\,R\,du}_{= 0} + e^{H}\,\beta\,dW^Q$$주목할 점은 \(-e^H bR\,du\)와 \(+e^H bR\,du\)가 정확히 상쇄된다는 것이다! 이것이 적분인자 \(e^{H(u)}\)를 도입한 핵심 이유이며, 전체 유도에서 가장 중요한 단계이다. \(R(u)\)에 비례하는 항이 제거됨으로써, SDE가 극적으로 단순화된다.
이 방정식의 우변에는 \(R(u)\)가 전혀 나타나지 않는다. 즉, 적분인자 변환에 의해 원래의 "1차 선형 SDE"가 "\(R\)에 무관한 SDE"로 변환된 것이다. 이제 양변을 적분하기만 하면 해를 구할 수 있다.
8.4 적분으로 해 도출
위의 미분 형태를 시점 \(t\)에서 시점 \(u\)까지 적분한다.
$$e^{H(u)} R(u) - e^{H(t)} R(t) = \int_t^u e^{H(s)}\,a(s)\,ds + \int_t^u e^{H(s)}\,\beta(s)\,dW^Q(s)$$양변을 \(e^{H(u)}\)로 나누어 \(R(u)\)를 분리하면, Hull–White SDE의 명시적 해를 얻는다.
8.5 해의 구조 분석
이 해는 세 부분으로 명확히 분리되며, 각각은 물리적으로 뚜렷한 의미를 가진다.
① 초기조건의 감쇠: \(e^{-(H(u) - H(t))}\,R(t)\)
시점 \(t\)에서의 이자율 \(R(t)\)가 시간이 지남에 따라 지수적으로 감쇠하는 부분이다. \(H(u) - H(t) = \int_t^u b(s)\,ds > 0\)이므로 이 항은 시간이 지남에 따라 작아진다. 이것이 평균회귀의 직접적 효과이다. 현재 이자율이 아무리 높거나 낮더라도, 시간이 충분히 지나면 그 영향이 지수적으로 소멸한다. Ho–Lee 모형에서는 이 감쇠 인자가 1(즉, 감쇠가 없음)이라는 것이 근본적 차이이다.
② 결정론적 드리프트: \(e^{-H(u)}\int_t^u e^{H(s)}\,a(s)\,ds\)
드리프트 함수 \(a(s)\)에 의해 결정되는 예측 가능한(결정론적) 부분이다. 이 항이 일드곡선의 형태를 결정하는 역할을 하며, \(a(u)\)를 조정하면 시장 데이터에 적합할 수 있다. 커널 \(e^{H(s) - H(u)}\)에 의해 과거 드리프트의 기여가 감쇠되어 반영된다.
③ 확률적 적분: \(e^{-H(u)}\int_t^u e^{H(s)}\,\beta(s)\,dW^Q(s)\)
시점 \(t\) 이후에 발생하는 새로운 무작위 충격들의 가중합이다. 커널 \(e^{H(s) - H(u)}\)에 의해 과거의 충격일수록 더 많이 감쇠되어 반영된다. 이 커널은 결정론적 함수이므로, Part 3.4에 의해 이 이토 적분은 정규분포를 따른다.
정규분포의 핵심 이유: 처음 두 항은 시점 \(t\)에서 이미 알려진 값(\(\mathcal{F}_t\)-가측)이고, 세 번째 항만 확률적이다. 세 번째 항은 결정론적 커널 \(e^{H(s)}\beta(s)\)에 대한 이토 적분이므로 정규분포를 따른다. 따라서 \(R(u)\,|\,\mathcal{F}_t\)는 조건부로 정규분포를 따르며, 이것이 할인채 가격의 닫힌형 유도를 가능하게 만드는 핵심 사실이다.
8.6 Ho–Lee와의 비교
Ho–Lee의 해 \(R(u) = R(t) + \int_t^u \alpha(s)\,ds + \beta(W^Q(u) - W^Q(t))\)와 비교하면, Hull–White의 해에는 모든 곳에 감쇠 인자 \(e^{-(H(u)-H(t))}\)가 곱해져 있음을 볼 수 있다. Ho–Lee에서 \(b(u) = 0\)이면 \(H(u) = 0\)이므로 감쇠 인자가 1이 되어, Hull–White의 해가 정확히 Ho–Lee의 해로 환원된다. 이로부터 Ho–Lee가 Hull–White의 특수한 경우임을 수학적으로 확인할 수 있다.
Part 9. \(R(u)\)의 조건부분포: 평균, 분산, 공분산
9.1 조건부 기대값
Part 8에서 구한 해에서 조건부 기대값을 구한다. 이토 적분의 기대값이 0인 성질(Part 3.2 성질 1)을 사용하면, 세 번째 항(확률적 적분)의 조건부 기대값이 0이므로 다음을 얻는다.
이 식의 의미를 풀어보면, 미래 이자율의 기대값은 현재 이자율에서 출발하여 평균회귀에 의해 감쇠하면서 드리프트 \(a(s)\)에 의해 조정되는 경로를 따라간다는 것이다. Ho–Lee에서는 \(E_t^Q[R(u)] = R(t) + \int_t^u \alpha(s)\,ds\)이므로, 현재 이자율의 영향이 시간이 지나도 줄어들지 않는다. Hull–White에서는 \(e^{-(H(u)-H(t))}\) 인자가 현재 이자율의 영향을 점진적으로 줄이며, 장기적으로는 드리프트 항이 지배적이 된다.
9.2 조건부 분산
분산은 확률적 항에서만 기여한다. \(R(u) - E_t^Q[R(u)]\)는 세 번째 항(확률적 적분)과 정확히 같으므로, 이토 등거리성(Part 3.2 성질 2)을 적용하여 다음을 얻는다.
분산은 변동성 \(\beta(s)\)의 크기에 의해 결정되며, 평균회귀 강도 \(b(s)\)가 클수록(즉, \(H(s)\)의 증가가 빠를수록) 분산이 작아지는 경향이 있다. 이는 평균회귀가 강하면 이자율이 평균 주변에 더 밀집되기 때문이다. Ho–Lee에서는 \(H = 0\)이므로 분산이 \(\int_t^u \beta^2\,ds = \beta^2(u-t)\)로 시간에 선형적으로 증가하지만, Hull–White에서는 평균회귀에 의해 분산 증가가 억제되어 장기적으로 포화(saturation)된다.
표준 형태(\(b, \beta\) 상수)에서의 분산
\(b(s) = a\)(상수), \(\beta(s) = \sigma\)(상수)이면 \(H(s) = as\)이므로 다음과 같이 닫힌형을 얻는다.
$$\text{Var}_t^Q[R(u)] = \frac{\sigma^2}{2a}\bigl(1 - e^{-2a(u-t)}\bigr)$$\(u - t \to \infty\)이면 \(e^{-2a(u-t)} \to 0\)이므로 분산이 \(\frac{\sigma^2}{2a}\)로 수렴한다. 이것이 이자율의 정상분포(stationary distribution) 분산이며, 평균회귀가 이자율의 장기 분산을 유한하게 묶어두는 효과를 보여준다. 반면 Ho–Lee에서는 \(a = 0\)이므로 분산이 \(\sigma^2(u-t) \to \infty\)로 발산한다.
9.3 공분산 (두 시점 \(u\), \(v\))
서로 다른 두 미래 시점 \(u\)와 \(v\)에서의 이자율 사이의 공분산도 구할 수 있다. \(u \wedge v := \min(u, v)\)로 표기한다.
적분 상한이 \(u \wedge v\)(둘 중 작은 시점)인 이유는, 두 이자율이 공유하는 무작위 충격이 \(t\)에서 \(\min(u,v)\)까지의 브라운 운동 증분뿐이기 때문이다. \(\min(u,v)\) 이후의 브라운 운동 증분은 이른 시점의 이자율에는 포함되지 않으므로 공분산에 기여하지 않는다. 이 공분산 구조는 Part 10에서 \(I(t,T) = \int_t^T R(u)\,du\)의 분산을 계산할 때 사용된다.
1요인 모형의 구조적 한계: 공분산 구조를 보면, 모든 만기의 이자율이 동일한 하나의 브라운 운동 \(W^Q\)에 의해 구동된다. 따라서 만기별 이자율(또는 채권가격의 로그)이 구조적으로 강한 동행성(co-movement)을 가진다. 현실에서 관측되는 일드곡선의 twist(비틀림)나 butterfly(나비형) 움직임을 완전히 포착하지 못하는 것이 1요인 모형의 근본적 한계이다.
Part 10. \(\int_t^T R(u)\,du\)의 정규성과 평균/분산
채권 가격 공식 \(B(t,T) = E_t^Q[\exp(-\int_t^T R(u)\,du)]\)에서 핵심은 누적이자율 적분의 분포를 아는 것이다. 이 적분을 \(I(t,T) := \int_t^T R(u)\,du\)로 정의한다.
10.1 보조함수 정의
후속 계산을 간결하게 만들기 위해 다음 보조함수를 도입한다.
이 함수는 \(t\)에서 \(T\)까지 적분인자의 역수를 적분한 것으로, 완전히 결정론적이다. 표준 형태(\(b = a\) 상수)에서는 \(e(t) = \int_t^T e^{-a(u-0)}\,du\)가 되어 해석적으로 계산 가능하다.
10.2 \(I(t,T)\)의 전개
Part 8에서 구한 \(R(u)\)의 해를 대입하여 \(\int_t^T \cdot\,du\)로 적분한다. 해의 세 항을 각각 적분하면 세 부분으로 나누어진다.
첫째 항 (I): 초기조건 기여분
\(R(t)\)와 \(e^{H(t)}\)는 시점 \(t\)에서 알려진 상수이므로 적분 밖으로 빼면 다음과 같다.
$$\text{(I)} = e^{H(t)}\,R(t)\int_t^T e^{-H(u)}\,du = e^{H(t)}\,R(t)\,e(t)$$둘째 항 (II): 드리프트 기여분 — Fubini 정리 적용
이 항은 이중적분 \(\int_t^T \left(e^{-H(u)}\int_t^u e^{H(s)}\,a(s)\,ds\right)du\)인데, 이를 직접 계산하기 어려우므로 Fubini 정리에 의해 적분 순서를 교환한다. 원래 적분 영역은 \(t \le s \le u \le T\)인데, 이를 \(s\)를 먼저 고정하고 \(u\)를 \(s\)에서 \(T\)까지 적분하는 것으로 바꾸면 다음을 얻는다.
$$\text{(II)} = \int_t^T e^{H(s)}\,a(s)\left(\int_s^T e^{-H(u)}\,du\right)ds$$셋째 항 (III): 확률적 기여분 — 확률적 Fubini 정리 적용
이 항은 안쪽 적분이 이토 적분이므로, 적분 순서를 교환하려면 확률적 Fubini 정리가 필요하다. 피적분함수가 결정론적이므로 조건을 만족하며, 결과는 다음과 같다.
$$\text{(III)} = \int_t^T e^{H(s)}\,\beta(s)\left(\int_s^T e^{-H(u)}\,du\right)dW^Q(s)$$10.3 종합 결과
마지막 항은 결정론적 커널에 대한 이토 적분이다. Part 3.4에 의해 이것은 정규분포를 따른다. 처음 두 항은 시점 \(t\)에서 알려진 상수이므로, \(I(t,T)\,|\,\mathcal{F}_t\)는 정규분포를 따른다. 이것이 할인채 가격의 닫힌형 유도를 가능하게 만드는 핵심 사실이다.
10.4 조건부 평균
이토 적분의 기대값이 0이라는 성질에 의해, 확률적 항은 기대값 계산에서 사라진다.
\(m(t,T)\)는 \(R(t)\)의 1차함수(아핀 함수)이다. 이 사실이 채권가격의 아핀 구조를 결정한다.
10.5 조건부 분산
분산은 확률적 항에서만 기여하며, 이토 등거리성(Part 3.2 성질 2)을 적용하여 계산한다.
분산 계산의 상세 유도
이토 등거리성에 의해, 확률적 항의 제곱의 기대값은 다음과 같다.
$$E_t^Q\!\left[\left(\int_t^T e^{H(s)}\,\beta(s)\!\left(\int_s^T e^{-H(u)}\,du\right)dW^Q(s)\right)^{\!2}\right] = \int_t^T \left[e^{H(s)}\,\beta(s)\!\left(\int_s^T e^{-H(u)}\,du\right)\right]^{\!2} ds$$피적분함수를 정리하면 위의 분산 공식을 얻는다. 이 분산은 변동성 \(\beta(s)\)와 평균회귀 강도 \(b(s)\)(이는 \(H(s)\)를 통해 반영됨)의 상호작용에 의해 결정된다.
표준 형태에서의 분산: \(b = a\), \(\beta = \sigma\)가 상수이면, \(\int_s^T e^{-H(u)}\,du = \frac{1}{a}(e^{-as} - e^{-aT})\)이고 \(e^{H(s)} = e^{as}\)이므로, 커널이 \(\frac{\sigma}{a}(1 - e^{-a(T-s)})\)가 되어 분산은 다음과 같이 계산된다.
$$v(t,T) = \frac{\sigma^2}{a^2}\int_t^T \bigl(1 - e^{-a(T-s)}\bigr)^2\,ds$$이 적분을 전개하여 풀면, 표준 형태에서의 닫힌형 분산을 얻는다.
Part 11. 할인채 가격의 닫힌형 및 아핀 구조
이 파트에서는 Hull–White 모형의 가장 핵심적인 결과, 즉 할인채 가격의 닫힌형(closed-form) 표현을 유도한다.
11.1 채권가격 공식
이제 모든 조각이 갖추어졌다. Part 10에서 \(I(t,T)\,|\,\mathcal{F}_t \sim N(m(t,T),\; v(t,T))\)임을 보였다. 할인채 가격은 \(B(t,T) = E_t^Q[e^{-I(t,T)}]\)이다. \(-I(t,T)\,|\,\mathcal{F}_t \sim N(-m, v)\)이므로, Part 4의 보조정리 \(E[e^X] = \exp(\mu + \frac{1}{2}\sigma^2)\)를 적용하면 다음을 얻는다.
여기서 \(\frac{1}{2}v(t,T)\)는 볼록성 보정(convexity correction)에 해당한다. 이자율의 불확실성(분산)이 클수록 채권가격이 높아지는 효과를 반영한다.
11.2 아핀(Affine) 표현
\(m(t,T)\)의 구조를 다시 살펴보면, \(R(t)\)에 대해 1차함수(아핀 함수)임을 알 수 있다. 따라서 \(-m + \frac{1}{2}v\)도 \(R(t)\)의 1차함수이며, 채권 가격은 다음과 같은 지수-아핀(exponential-affine) 형태로 쓸 수 있다.
11.3 \(C(t,T)\)의 명시적 표현
\(R(t)\)의 계수는 \(m(t,T)\)에서 \(R(t)\) 앞에 붙은 \(e^{H(t)} \cdot e(t) = e^{H(t)}\int_t^T e^{-H(u)}\,du\)이다. 이를 정리하면 다음과 같다.
\(C(t,T)\)는 평균회귀에 의한 감쇠를 적분한 것이다. 평균회귀가 강할수록(\(b\)가 클수록) 지수감쇠가 빨라서 \(C(t,T)\)는 작아진다. 경계조건은 \(C(T,T) = 0\)이다(적분 구간의 길이가 0).
표준 형태(\(b = a\) 상수)에서의 \(C(t,T)\)
\(b(u) = a\)(상수)이면 \(\int_t^s b(u)\,du = a(s-t)\)이므로 다음과 같이 닫힌형을 얻는다.
$$C(t,T) = \int_t^T e^{-a(s-t)}\,ds = \frac{1 - e^{-a(T-t)}}{a} = \frac{1 - e^{-a\tau}}{a}$$여기서 \(\tau = T - t\)는 잔존만기이다. 이 형태는 Vasicek 모형의 \(C\) 함수와 동일하다. Ho–Lee에서는 \(a = 0\)이므로 로피탈 규칙에 의해 \(C \to \tau\)가 되어, \(R(t)\)에 잔존만기가 직접 곱해지는 단순한 형태로 환원된다.
\(C(t,T)\)의 행태를 분석하면: 단기(\(\tau \to 0\))에서는 \(C \approx \tau\)로 Ho–Lee와 유사하고, 장기(\(\tau \to \infty\))에서는 \(C \to 1/a\)로 포화된다. 이 포화 효과가 장기 채권가격에 대한 현물이자율의 영향을 제한하며, 이것이 평균회귀의 직접적 결과이다.
11.4 \(A(t,T)\)의 명시적 표현
\(A(t,T)\)는 \(m(t,T)\)에서 상수항 부분과 분산 보정항 \(\frac{1}{2}v\)를 합한 것이다.
경계조건은 \(A(T,T) = 0\)이다. 첫 번째 항 \(a(s)C(s,T)\)는 드리프트의 기여이고, 두 번째 항 \(-\frac{1}{2}\beta^2 C^2\)는 변동성에 의한 볼록성 보정(convexity correction)이다. Ho–Lee에서 \(C(s,T) = T - s\)이므로, 볼록성 보정이 \(-\frac{\beta^2}{2}\int_t^T(T-s)^2\,ds = -\frac{\beta^2\tau^3}{6}\)이 되어 만기의 세제곱에 비례하여 빠르게 커진다. 반면 Hull–White에서는 \(C(s,T)\)가 포화되므로 볼록성 보정의 증가도 억제된다.
아핀 구조의 의미: 이 결과에서 \(\ln B(t,T) = -A(t,T) - C(t,T)\,R(t)\)이므로, 채권가격의 로그가 현물이자율 \(R(t)\)의 1차함수(아핀함수)이다. 이러한 아핀 구조는 매우 강력한 성질로, 캡(cap), 플로어(floor), 스왑션(swaption) 등 금리파생상품의 가격을 효율적으로 계산할 수 있게 해준다. 만약 이 아핀 구조가 깨진다면, 파생상품 가격을 구하기 위해 매번 수치적분이나 몬테카를로 시뮬레이션을 해야 하므로 계산 비용이 크게 증가한다.
Part 12. 선도이자율과 일드곡선
12.1 선도이자율(Forward Rate)
순간 선도이자율(instantaneous forward rate)은 채권가격으로부터 역으로 추출되는 이자율로, \(F(t,T) := -\frac{\partial \ln B(t,T)}{\partial T}\)로 정의된다. Part 11의 아핀 표현 \(\ln B = -A - CR\)에서 \(T\)에 대해 미분하면 다음과 같다.
\(\partial_T C(t,T)\)의 계산
\(C(t,T) = \int_t^T \exp(-\int_t^s b(u)\,du)\,ds\)에서 상한 \(T\)에 대해 미분한다. 라이프니츠 적분 규칙에 의해 다음을 얻는다.
표준 형태(\(b = a\) 상수)에서 이것은 \(e^{-a\tau}\)가 된다. 이 값은 0과 1 사이이며, \(\tau\)가 커질수록 0에 가까워진다. 이는 선도이자율에 대한 현물이자율 \(R(t)\)의 민감도가 만기가 길어질수록 감소한다는 것을 의미한다. Ho–Lee에서는 \(\partial_T C = 1\)(상수)이므로 민감도가 만기와 무관하게 동일하다는 점과 대조된다.
\(\partial_T A(t,T)\)의 계산
\(A(t,T) = \int_t^T (a(s)\,C(s,T) - \frac{1}{2}\beta^2(s)\,C^2(s,T))\,ds\)에서 \(T\)에 대해 미분한다. 상한에서의 기여는 \(C(T,T) = 0\)이므로 소멸하고, 피적분함수 내부에서 \(C(s,T)\)가 \(T\)에 의존하므로 라이프니츠 규칙과 체인 규칙을 적용한다.
$$\frac{\partial A}{\partial T} = \int_t^T \!\left(a(s) - \beta^2(s)\,C(s,T)\right)\frac{\partial C(s,T)}{\partial T}\,ds$$여기서 \(\frac{\partial C(s,T)}{\partial T} = \exp(-\int_s^T b(u)\,du)\)이다.
선도이자율의 최종 공식
선도이자율은 \(R(t)\)의 아핀 함수이므로 정규분포를 따른다. Ho–Lee에서 현물이자율의 충격이 모든 만기의 선도이자율에 "동일한 크기"로 전파되는 것과 달리, Hull–White에서는 \(e^{-\int_t^T b\,du}\) 인자에 의해 충격이 만기가 길어질수록 지수적으로 감쇠한다. 이것이 평균회귀의 핵심적 효과이며, 현실의 기간구조 움직임을 보다 자연스럽게 포착하게 해 준다.
12.2 일드(만기수익률)
연속복리 일드(continuously compounded yield)는 \(\mathcal{R}(t,T) = -\frac{1}{\tau}\ln B(t,T)\)로 정의된다. Part 11의 아핀 표현을 대입하면 다음과 같다.
일드가 현물이자율 \(R(t)\)의 1차함수(아핀함수)이므로, Hull–White 모형은 아핀일드모형(affine-yield model)에 속한다. \(R(t)\)가 정규분포를 따르므로 일드 역시 정규분포를 따른다.
Part 13. 할인채의 SDE와 무차익 점검
이 파트에서는 채권가격 \(B(t,T) = \exp(-A(t,T) - C(t,T)\,R(t))\)가 만족하는 SDE를 유도하고, 그 드리프트가 무차익 조건과 일치함을 확인한다.
13.1 이토 공식 적용
유도 과정
\(B(t,T) = \exp(-A(t,T) - C(t,T)\,R(t))\)에 이토 공식을 적용한다. \(g(t,R) = \exp(-A(t,T) - C(t,T)\,R)\)로 놓으면, 편미분은 다음과 같다.
$$g_t = g \cdot \bigl[-\partial_t A - (\partial_t C)\,R\bigr], \qquad g_R = -C\,g, \qquad g_{RR} = C^2\,g$$\(A\)와 \(C\)가 만족하는 ODE를 유도하자. \(C(t,T) = \int_t^T \exp(-\int_t^s b\,du)\,ds\)를 \(t\)에 대해 미분하면(라이프니츠 규칙 적용) 다음의 Riccati ODE를 얻는다.
$$\frac{\partial C}{\partial t} = b(t)\,C(t,T) - 1, \qquad C(T,T) = 0$$\(A(t,T) = \int_t^T (a\,C - \frac{1}{2}\beta^2 C^2)\,ds\)를 \(t\)에 대해 미분하면 다음을 얻는다.
$$\frac{\partial A}{\partial t} = -a(t)\,C(t,T) + \frac{1}{2}\beta^2(t)\,C^2(t,T)$$이들을 이토 공식에 대입하면, 정교한 소거가 일어나 드리프트 항이 정확히 \(R(t)B\)만 남는다.
최종 결과는 다음과 같다.
이 SDE의 드리프트 항이 정확히 \(R(t)\,dt\)라는 것은, 위험중립측도 \(Q\) 하에서 할인채의 기대수익률이 무위험이자율과 동일하다는 뜻이다. 이것이 바로 무차익 조건이 만족됨을 확인하는 것이다. 만약 드리프트가 \(R(t)\)가 아니었다면, 무위험 채권과 할인채 사이에 차익거래 기회가 존재하게 되어 모형이 자기모순에 빠지게 된다.
확산 항의 계수 \(-C(t,T)\,\beta(t)\)는 할인채의 변동성이다. 부호가 음수인 것은 이자율이 상승하면(\(dW^Q > 0\)이면) 채권 가격이 하락한다는 이자율-채권가격의 역관계를 반영한다. Ho–Lee에서 채권 변동성이 \(-\beta\tau\)로 잔존만기에 선형적으로 비례하는 것과 달리, Hull–White에서는 \(-C(t,T)\beta\)로 평균회귀에 의해 만기가 길어져도 변동성 증가가 억제된다.
Part 14. \(\theta(t)\)의 결정: 초기 일드곡선 캘리브레이션
Hull–White 모형의 핵심 실무적 가치는, 시장에서 관측되는 초기 일드곡선에 정확히 적합할 수 있다는 것이다. 이 파트에서는 표준 형태(\(b = a\), \(\beta = \sigma\) 상수)를 사용하여 \(\theta(t)\)의 캘리브레이션 공식을 유도한다.
14.1 캘리브레이션의 원리
시점 0에서의 시장 순간선도이자율 \(f^{\text{mkt}}(0,t)\)가 주어져 있을 때, 모형의 선도이자율 \(F(0,t)\)가 이것과 일치해야 한다는 조건을 부과하면, 드리프트 함수 \(\theta(t)\)가 유일하게 결정된다.
14.2 \(\theta(t)\)의 캘리브레이션 공식
유도 과정
표준 형태에서 시점 0에서의 모형 선도이자율을 구한다. \(C(0,t) = \frac{1-e^{-at}}{a}\)이고, \(F(0,t) = \partial_t A(0,t) + (\partial_t C(0,t))\,R(0)\)에서 \(\partial_t C(0,t) = e^{-at}\)이다.
\(A(0,t) = \int_0^t (\theta(s)\,C(s,t) - \frac{1}{2}\sigma^2\,C^2(s,t))\,ds\)를 \(t\)에 대해 미분하면 다음을 얻는다.
$$F(0,t) = \int_0^t \theta(s)\,e^{-a(t-s)}\,ds - \frac{\sigma^2}{2a^2}(1 - e^{-at})^2 + e^{-at}\,R(0)$$이제 \(F(0,t) = f^{\text{mkt}}(0,t)\)를 부과하고 양변을 \(t\)에 대해 미분한다. 좌변의 미분은 \(\partial_t f^{\text{mkt}}\)이고, 우변의 적분항을 라이프니츠 규칙으로 미분하면 \(\theta(t) - a\int_0^t \theta(s)\,e^{-a(t-s)}\,ds\)를 얻는다. 이 적분 항을 원래의 \(F(0,t)\) 표현으로 다시 대입하면 \(\theta(t)\)를 분리하여 위의 공식을 얻는다.
이 공식의 각 항의 의미를 풀어보겠다.
첫째 항 \(\frac{\partial f^{\text{mkt}}}{\partial t}\): 시장 선도곡선의 기울기이다. 선도이자율이 시간에 따라 어떤 방향으로 변하는지를 반영한다.
둘째 항 \(a \cdot f^{\text{mkt}}\): 평균회귀에 의한 보정이다. 선도이자율의 레벨에 비례하는 항으로, 평균회귀 강도 \(a\)가 클수록 이 보정이 커진다. Ho–Lee에서는 \(a = 0\)이므로 이 항이 존재하지 않는다.
셋째 항 \(\frac{\sigma^2}{2a}(1 - e^{-2at})\): 확률변동에 의한 볼록성 보정(convexity correction)이다. Part 4에서 본 것처럼, 정규분포 변수의 지수의 기대값에는 \(\frac{1}{2}\sigma^2\) 형태의 보정이 붙는데, 이 항이 바로 그 효과를 반영한다. Ho–Lee에서 이에 대응하는 항은 \(\beta^2 t\)이며, \(a \to 0\)에서 Hull–White의 셋째 항은 \(\frac{\sigma^2}{2a} \cdot 2at = \sigma^2 t\)로 환원된다.
실무적 절차: 실무에서는 (1) 시장 스왑 레이트나 국채 가격으로부터 할인곡선 \(P^{\text{mkt}}(0,T)\)를 부트스트래핑하고, (2) 이로부터 선도이자율 \(f^{\text{mkt}}(0,t) = -\frac{\partial}{\partial t}\ln P^{\text{mkt}}(0,t)\)를 추출하고, (3) 수치 미분으로 \(\partial_t f^{\text{mkt}}\)를 계산하여, (4) 위의 공식에 대입하여 \(\theta(t)\)를 결정한다. 파라미터 \(a\)와 \(\sigma\)는 캡/스왑션 등 금리옵션의 시장 가격에 캘리브레이션하여 결정한다.
Part 15. 수치 예제
15.1 모형 설정
다음과 같은 구체적인 Hull–White 모형을 고려한다.
$$dR(u) = \bigl(0.015 + 0.005\,e^{-0.21u} - 0.21\,R(u)\bigr)\,du + 0.06\,dW^Q(u)$$파라미터는 \(a(u) = 0.015 + 0.005\,e^{-bu}\), \(b = 0.21\), \(\beta = 0.06\)이다.
이 모형에서 평균회귀 속도 \(b = 0.21\)은 이자율의 반감기(half-life)가 \(\ln 2 / 0.21 \approx 3.3\)년임을 의미한다. 즉, 이자율이 장기 평균에서 벗어난 정도가 약 3.3년마다 반으로 줄어든다. 변동성 \(\beta = 0.06\)(= 600bp)은 연간 기준으로 이자율의 순간 표준편차가 6%p임을 나타내며, 정상분포 분산은 \(\sigma^2/(2a) = 0.0036/0.42 \approx 0.0086\)이므로 정상분포 표준편차는 약 9.3%p이다.
15.2 \(H(u)\) 및 \(C(t,T)\)
\(b\)가 상수이므로 \(H(u) = bu\)이다. 따라서 \(C(t,T)\)는 다음과 같다.
15.3 \(A(t,T)\) 계산
\(A(t,T) = \int_t^T (a(s)\,C(s,T) - \frac{1}{2}\beta^2 C^2(s,T))\,ds\)에서 \(a(s) = 0.015 + 0.005\,e^{-bs}\)이므로, 세 적분으로 분해된다.
$$A(t,T) = 0.015\,I_1 + 0.005\,I_2 - \tfrac{1}{2}\beta^2\,I_3$$여기서 각 적분의 닫힌형은 다음과 같다.
$$I_1 := \int_t^T C(s,T)\,ds = \frac{\tau}{b} - \frac{1}{b^2}\bigl(1 - e^{-b\tau}\bigr)$$ $$I_2 := \int_t^T e^{-bs}\,C(s,T)\,ds = \frac{1}{b^2}\bigl(e^{-bt} - e^{-bT}\bigr) - \frac{\tau}{b}\,e^{-bT}$$ $$I_3 := \int_t^T C^2(s,T)\,ds = \frac{1}{2b^3}\bigl(1 - e^{-2b\tau}\bigr) - \frac{2}{b^3}\bigl(1 - e^{-b\tau}\bigr) + \frac{\tau}{b^2}$$15.4 할인곡선, 일드곡선의 형태
시점 \(t = 1\)에서 초기 이자율 \(R(t)\)의 수준에 따라 일드곡선의 형태가 어떻게 달라지는지를 살펴본다.
| \(R(t)\) 수준 | 할인곡선 | 일드곡선 형태 | 직관적 설명 |
|---|---|---|---|
| \(0.003\) (매우 낮음) | 천천히 감소 | 단조증가 (우상향) | 평균회귀에 의해 이자율이 장기적으로 상승할 것으로 기대 |
| \(0.03\) (중간) | 중간 속도 감소 | 낙타등(hump) 형태 | 단기 상승 후 평균으로 안정화 |
| \(0.12\) (매우 높음) | 빠르게 감소 | 단조감소 (우하향) | 평균회귀에 의해 이자율이 장기적으로 하락할 것으로 기대 |
Ho–Lee와 비교하면, Hull–White의 일드곡선은 장기 영역에서 보다 안정적인 행태를 보인다. Ho–Lee에서는 볼록성 보정 \(-\frac{\beta^2\tau^2}{2}\)이 만기의 제곱에 비례하여 커지면서 장기 선도이자율이 \(-\infty\)로 발산하지만, Hull–White에서는 \(C(s,T)\)의 포화 효과에 의해 볼록성 보정이 억제되므로 장기 선도이자율이 유한한 값으로 수렴한다.
15.5 오일러-마루야마 시뮬레이션
Hull–White 모형을 수치적으로 시뮬레이션하려면, 연속시간 SDE를 이산시간으로 근사해야 한다. 오일러-마루야마(Euler-Maruyama) 근사의 이산화 스킴은 다음과 같다.
Ho–Lee 시뮬레이션과의 차이는 드리프트에 \(-b\,R_k\) 항이 포함된다는 점이다. 이 항이 평균회귀 효과를 수치적으로 구현한다. \(R_k\)가 높으면 음의 드리프트가 작용하여 이자율을 끌어내리고, 낮으면 양의 드리프트가 작용하여 끌어올린다. 또한 확산 계수가 \(R_k\)에 의존하지 않으므로(상수 \(\beta\)), CIR 모형에서와 같은 음수 문제에 대한 별도의 수치적 처리가 필요하지 않다.
Part 16. 장단점 정리
16.1 장점
Hull–White 모형의 가장 큰 장점은 초기 일드곡선 적합과 평균회귀를 동시에 갖추고 있다는 것이다. 시간의존 드리프트 함수 \(\theta(t)\)(또는 일반형에서 \(a(u)\))를 조정하여 현재 시장의 일드곡선을 정확히 적합할 수 있으며, 동시에 평균회귀 구조에 의해 이자율이 장기적으로 합리적인 수준으로 회귀한다. 이것은 Ho–Lee(적합 가능하지만 평균회귀 없음)와 Vasicek(평균회귀 있지만 적합 불가)의 한계를 동시에 극복한 것이다.
둘째, 할인채 가격, 선도이자율, 일드가 모두 닫힌형(아핀)으로 표현되므로, 캡, 스왑션 등 금리파생상품의 가격을 효율적으로 계산할 수 있다. 특히 유럽형 캡/플로어는 Jamshidian(1989)의 분해 기법을 사용하여 블랙-숄즈 유형의 닫힌형 공식으로 계산할 수 있다.
셋째, 평균회귀에 의해 장기 선도이자율이 유한한 값으로 수렴한다. Ho–Lee에서 장기 선도이자율이 \(-\infty\)로 발산하는 것과 대조적이며, 이는 장기 채권이나 연금 등의 가격결정에서 매우 중요한 성질이다.
넷째, 이자율 충격이 만기에 따라 감쇠하여, 단기 금리 변동이 장기 금리에 미치는 영향이 자연스럽게 줄어든다. 이는 현실에서 관측되는 기간구조 움직임의 특성을 잘 반영한다.
16.2 한계
Hull–White 모형의 첫 번째 한계는 가우시안(정규분포) 모형이라는 점이다. 이자율이 음수가 될 확률이 항상 양수이며, 이론적으로는 극단적으로 큰 음수값도 양의 확률로 발생할 수 있다. 비록 2008년 이후 실제로 음의 금리가 관측되었지만, 이러한 극단적 값의 가능성은 여전히 비현실적인 측면이 있다.
둘째, 1요인 모형이므로 일드곡선의 모든 움직임이 하나의 브라운 운동에 의해 결정된다. 따라서 일드곡선의 twist(비틀림)나 butterfly(나비형) 움직임을 설명할 수 없다. 실제 일드곡선은 수준(level), 기울기(slope), 곡률(curvature)의 세 가지 주요 요인에 의해 움직이므로, 1요인 모형은 이 중 수준 변화만을 포착할 수 있다.
셋째, 변동성이 이자율 수준에 의존하지 않는다. 현실에서는 이자율이 낮을 때 변동성이 작아지는 경향이 관측되는데(레벨 의존성), Hull–White는 이를 반영하지 못한다. 이 때문에 금리 옵션에서 관측되는 변동성 스마일이나 스큐를 충분히 설명하지 못하는 경우가 많다.
16.3 확장 방향
CIR(Cox-Ingersoll-Ross) 모형은 확산 계수를 \(\sigma\sqrt{R}\)로 설정하여, 이자율이 0에 가까워지면 변동성도 함께 줄어들게 만든 모형이다. 이 구조 덕분에 이자율이 음수가 되는 것이 수학적으로 불가능하다(Feller 조건 하에서).
다요인 Hull–White는 여러 개의 브라운 운동을 도입하여 일드곡선의 다양한 움직임(수준 변화, 기울기 변화, 곡률 변화)을 독립적으로 포착할 수 있게 한다. 예를 들어 Hull–White 2요인(G2++) 모형은 \(R(t) = x(t) + y(t) + \phi(t)\)로, 두 개의 독립적인 Ornstein-Uhlenbeck 과정의 합으로 이자율을 표현한다.
확률적 변동성 모형은 변동성 자체도 확률과정으로 모델링하여, 금리 옵션에서 관측되는 변동성 스마일이나 스큐를 설명할 수 있다. SABR(Stochastic Alpha Beta Rho) 모형이 대표적이다.
Part 17. 연습문제
(초급) 문제 1 — 이토 공식 연습
\(X(t)\)가 \(dX = \mu X\,dt + \sigma X\,dW\)를 만족할 때, \(\ln X(t)\)의 SDE를 유도하라.
(초급) 문제 2 — Hull–White 해의 조건부 분포
표준 Hull–White 모형(\(b = a\), \(\beta = \sigma\) 상수)에서 \(R(T)\,|\,\mathcal{F}_t\)의 조건부 평균과 분산을 구하라.
(중급) 문제 3 — Ho–Lee를 특수한 경우로 복원
Hull–White의 채권가격 공식에서 \(b \to 0\)을 취하면 Ho–Lee의 채권가격 공식이 복원됨을 보여라. (힌트: \(\frac{1 - e^{-b\tau}}{b} \to \tau\) as \(b \to 0\))
(중급) 문제 4 — 할인채 가격 PDE
Hull–White 모형에서 할인채 가격 \(B(t,T)\)가 만족하는 PDE와 종단조건을 쓰고, 아핀 가정 \(B = \exp(-A - CR)\)를 대입하여 \(C\)와 \(A\)에 대한 ODE를 유도하라.
(상급) 문제 5 — 장기 선도이자율의 수렴
Hull–White에서 \(\tau \to \infty\)일 때 선도이자율 \(F(t,T)\)가 유한한 값으로 수렴함을 보이고, Ho–Lee에서 \(-\infty\)로 발산하는 것과 비교하라.
Part 18. 모범답안 / 해설
해설 1
\(f(x) = \ln x\)에 이토 공식을 적용한다. \(f_x = 1/x\), \(f_{xx} = -1/x^2\)이다. SDE의 드리프트는 \(\mu X\)이고 확산은 \(\sigma X\)이므로, 이토 공식에 의해 다음을 얻는다.
$$d\ln X(t) = \frac{1}{X}(\mu X\,dt + \sigma X\,dW) + \frac{1}{2}\!\left(-\frac{1}{X^2}\right)(\sigma X)^2\,dt = (\mu - \tfrac{1}{2}\sigma^2)\,dt + \sigma\,dW$$이 결과에서 이토 보정항 \(-\frac{1}{2}\sigma^2\,dt\)가 등장한다. 이것이 기하 브라운 운동(GBM)에서 로그수익률의 드리프트가 \(\mu\)가 아니라 \(\mu - \frac{1}{2}\sigma^2\)인 이유이다.
해설 2
Part 8의 해에서 \(b(s) = a\), \(\beta(s) = \sigma\), \(H(u) = au\)를 대입한다. \(R(T) = e^{-a(T-t)}\,R(t) + e^{-aT}\int_t^T e^{as}\,a(s)\,ds + e^{-aT}\int_t^T e^{as}\,\sigma\,dW^Q(s)\)이다.
조건부 평균: 이토 적분의 기대값이 0이므로,
$$E_t^Q[R(T)] = e^{-a\tau}\,R(t) + e^{-aT}\int_t^T e^{as}\,a(s)\,ds$$조건부 분산: 이토 등거리성에 의해,
$$\text{Var}_t^Q[R(T)] = e^{-2aT}\int_t^T e^{2as}\,\sigma^2\,ds = \frac{\sigma^2}{2a}\bigl(1 - e^{-2a\tau}\bigr)$$분산이 \(\tau \to \infty\)에서 \(\frac{\sigma^2}{2a}\)로 수렴한다. 이것이 정상분포 분산이다.
해설 3
Hull–White에서 \(C(t,T) = \frac{1-e^{-b\tau}}{b}\)이다. \(b \to 0\)에서 로피탈 규칙을 적용하면 \(\frac{1-e^{-b\tau}}{b} = \frac{\tau e^{-b\tau}}{1} \to \tau\)이다. 따라서 \(C \to \tau\)이고, 이는 Ho–Lee에서 \(R(t)\)의 계수가 잔존만기 \(\tau\)인 것과 일치한다.
\(A(t,T)\)에서 \(I_3 = \int_t^T C^2\,ds\)는 \(b \to 0\)에서 \(\int_t^T (T-s)^2\,ds = \frac{\tau^3}{3}\)으로 수렴하므로, 볼록성 보정 \(-\frac{\beta^2}{2}\cdot\frac{\tau^3}{3} = -\frac{\beta^2\tau^3}{6}\)이 되어 Ho–Lee의 결과를 정확히 복원한다.
해설 4
할인채 가격 \(F = B(t,T)\)가 만족하는 PDE는 Feynman-Kac 공식에 의해 다음과 같다.
$$F_t + (a(t) - b(t)\,R)\,F_R + \frac{1}{2}\beta^2(t)\,F_{RR} - R \cdot F = 0, \qquad F(T,R) = 1$$아핀 가정 \(F = \exp(-A(\tau) - C(\tau)\,R)\)를 대입한다(\(\tau = T - t\)이므로 \(\partial_t = -\partial_\tau\)). PDE에 대입하여 \(R\)의 계수와 상수항을 분리하면 다음의 ODE 계를 얻는다.
\(R\)의 계수: \(C'(\tau) = 1 - b(t)\,C(\tau)\), \(C(0) = 0\). 이것은 1차 선형 ODE이며, 해는 \(C(\tau) = \int_0^\tau e^{-\int_0^s b\,du}\,ds\)이다.
상수항: \(A'(\tau) = a(t)\,C(\tau) - \frac{1}{2}\beta^2(t)\,C^2(\tau)\), \(A(0) = 0\). 이를 적분하면 Part 11의 \(A(t,T)\)를 정확히 복원한다.
해설 5
표준 Hull–White에서 선도이자율의 \(R(t)\) 계수는 \(e^{-a\tau}\)이다. \(\tau \to \infty\)이면 \(e^{-a\tau} \to 0\)이므로 \(R(t)\)의 영향이 소멸한다.
\(\partial_T A\) 부분에서 볼록성 보정 항을 분석하면, \(C(s,T) \le 1/a\)이므로 \(-\frac{1}{2}\sigma^2 C^2 \ge -\frac{\sigma^2}{2a^2}\)이다. 따라서 볼록성 보정이 유한한 범위 안에서 묶여 있으며, 선도이자율은 \(\tau \to \infty\)에서 유한한 값으로 수렴한다.
반면 Ho–Lee에서는 \(C(s,T) = T - s\)가 무한히 커지므로 볼록성 보정 \(-\frac{\beta^2\tau^2}{2}\)가 음의 무한대로 발산하여 \(F(t,T) \to -\infty\)이다. 이 발산의 근본 원인은 평균회귀의 부재이다. 평균회귀가 없으면 이자율의 누적 분산이 무한히 커지고, 이 불확실성이 볼록성 보정을 통해 선도이자율을 끌어내린다. Hull–White에서는 평균회귀 계수 \(a > 0\)이 이자율의 장기 분산을 \(\frac{\sigma^2}{2a}\)로 묶어두므로, 선도이자율의 발산이 방지되는 것이다.
핵심 공식 요약
| 항목 | 공식 |
|---|---|
| Hull–White SDE (일반형) | \(dR = (a(u) - b(u)\,R)\,du + \beta(u)\,dW^Q\) |
| Hull–White SDE (표준형) | \(dR = (\theta(t) - a\,R)\,dt + \sigma\,dW^Q\) |
| 적분인자 | \(H(u) = \int_0^u b(s)\,ds\) |
| 해 | \(R(u) = e^{-(H(u)-H(t))}R(t) + e^{-H(u)}\int_t^u e^{H(s)}a(s)\,ds + e^{-H(u)}\int_t^u e^{H(s)}\beta(s)\,dW^Q(s)\) |
| \(C(t,T)\) | \(\int_t^T \exp(-\int_t^s b(u)\,du)\,ds\) |
| \(C(t,T)\) (표준형) | \(\frac{1-e^{-a\tau}}{a}\) |
| \(A(t,T)\) | \(\int_t^T (a(s)\,C(s,T) - \frac{1}{2}\beta^2(s)\,C^2(s,T))\,ds\) |
| 할인채 가격 | \(B(t,T) = \exp(-A(t,T) - C(t,T)\,R(t))\) |
| 선도이자율 | \(F(t,T) = \partial_T A + (\partial_T C)\,R(t)\) |
| 일드 | \(\mathcal{R}(t,T) = (A + C\,R(t))/\tau\) |
| 할인채 SDE | \(dB = R\,B\,dt - B\,C\,\beta\,dW^Q\) |
| \(I(t,T)\) 분산 | \(\int_t^T e^{2H(s)}\,\beta^2(s)\!\left(\int_s^T e^{-H(u)}\,du\right)^2 ds\) |
| \(\theta(t)\) 캘리브레이션 | \(\partial_t f^{\text{mkt}} + a\,f^{\text{mkt}} + \frac{\sigma^2}{2a}(1 - e^{-2at})\) |
| 조건부 분산 (표준형) | \(\frac{\sigma^2}{2a}(1 - e^{-2a\tau})\) |
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