채권가격 PDE 유도: 무차익 조건, 위험의 시장가격, 위험중립측도
이자율 모형에서 채권가격을 결정하는 편미분방정식(PDE)을 유도하는 과정은, 블랙–숄즈(Black–Scholes) 프레임워크에서 주식옵션 가격결정 PDE를 유도하는 과정과 근본적인 유사성을 가지면서도, 결정적으로 다른 점이 하나 존재한다. 블랙–숄즈에서는 위험의 원천인 주식 \(S(t)\) 자체가 시장에서 직접 거래되는 자산이므로, 옵션과 주식을 적절히 결합한 델타 헤지(delta hedge) 포트폴리오를 구성하면 모든 확률적 항이 제거되어 PDE가 "닫힌다(closed)." 그러나 이자율 모형에서는 위험의 원천인 단기이자율(short rate) \(R(t)\) 자체가 시장에서 직접 거래되는 자산이 아니다. 은행에서 돈을 빌리고 빌려주는 행위를 통해 단기이자율의 영향을 받을 수는 있지만, \(R(t)\)라는 "자산"을 주식처럼 직접 사고팔 수 있는 것은 아니다.
이 차이 때문에, 이자율 모형에서는 단 하나의 채권만으로 델타 헤지를 구성하여 PDE를 유도하는 것이 불가능하다. 대신, 서로 다른 만기의 두 채권을 이용하여 포트폴리오를 구성하고, 무차익(no-arbitrage) 원리를 적용하는 우회적인 방법을 사용한다. 이 과정에서 위험의 시장가격(market price of risk) \(\lambda_t\)라는 핵심 개념이 자연스럽게 등장하며, 이것이 현실측도(physical measure) \(P\)와 위험중립측도(risk-neutral measure) \(Q\)를 연결하는 다리 역할을 한다.
이 글에서는 (1) 단기이자율 과정의 일반적 SDE 설정, (2) 채권가격 \(B(t,T) = B(t, R(t); T)\)에 대한 이토 공식 적용, (3) 서로 다른 만기의 채권을 이용한 무차익 논증과 위험의 시장가격 도출, (4) 채권가격 PDE의 완성, (5) 기라노프 정리(Girsanov Theorem)를 통한 위험중립측도로의 전환, 그리고 (6) 위험중립측도에서의 채권 SDE 재구성에 이르기까지, 전 과정을 점진적이고 상세하게 전개한다. 모든 핵심 결과에 대해서는 각 단계에서 "왜 그렇게 되는가"의 직관적 해석을 제공하는 데 중점을 두었다.
Part 1. 출발점: 단기이자율 SDE와 채권가격의 함수적 구조
1.1 단기이자율 과정
이자율 모형의 출발점은 단기이자율(short rate) \(R(t)\)의 확률적 역학(stochastic dynamics)을 기술하는 것이다. 단기이자율이란, 시점 \(t\)에서 무한히 짧은 순간(instant) 동안 적용되는 연속복리 이자율을 의미한다. 실무적으로는 하루 만기의 콜금리(overnight rate)나 기준금리(policy rate)에 가까운 개념이다. 현실측도(physical measure) \(P\) 하에서, 단기이자율은 다음의 확률미분방정식(SDE)을 만족한다고 가정한다.
이 SDE의 각 구성요소가 의미하는 바를 자세히 살펴보자.
드리프트 함수 \(\alpha(t, R(t))\)는 단기이자율의 결정론적 추세를 나타낸다. 이 함수는 시간 \(t\)와 현재 이자율 수준 \(R(t)\) 모두에 의존할 수 있다. 예를 들어 Vasicek 모형에서는 \(\alpha(t,R) = b(\theta - R)\)로, 이자율이 장기 평균 \(\theta\)보다 높으면 하향 압력을, 낮으면 상향 압력을 받는 평균회귀(mean reversion) 구조를 가진다. Ho–Lee 모형에서는 \(\alpha(t,R) = \alpha(t)\)로, 이자율 수준에 무관한 시간의존 함수이다. CIR(Cox–Ingersoll–Ross) 모형에서는 \(\alpha(t,R) = b(\theta - R)\)로 Vasicek과 같은 평균회귀 구조이다. 핵심은, 이 함수의 구체적인 형태가 아직 특정되지 않은 "일반형(general form)"에서 출발한다는 것이다.
확산 함수 \(\beta(t, R(t))\)는 단기이자율의 변동성(volatility)을 결정한다. 이 함수 역시 시간과 이자율 수준에 의존할 수 있다. Ho–Lee나 Vasicek에서는 \(\beta\)가 상수이고, CIR에서는 \(\beta(t,R) = \sigma\sqrt{R}\)로 이자율 수준에 의존한다. CIR에서 \(\sqrt{R}\)이 곱해지는 것은, 이자율이 0에 가까워지면 변동성도 함께 줄어들어 음수 이자율이 발생하지 않게 하려는 의도이다.
브라운 운동 \(W(t)\)는 현실측도 \(P\) 하에서의 표준 브라운 운동이다. 이것이 이자율의 무작위적 변동을 일으키는 "잡음(noise)"의 원천이다. 여기서 중요한 점은, 이 브라운 운동은 현실세계에서 실제로 관측되는 이자율 변동의 확률적 성격을 반영하고 있다는 것이다. 나중에 위험중립측도 \(Q\)로 전환할 때, 이 브라운 운동의 드리프트가 조정되어 새로운 브라운 운동 \(W^Q(t)\)가 만들어지게 된다.
핵심 관찰 — \(R(t)\)는 거래자산이 아니다: 주식 \(S(t)\)는 시장에서 직접 매수하거나 매도할 수 있는 거래자산(traded asset)이다. 그래서 블랙–숄즈에서는 주식과 옵션을 결합한 포트폴리오로 위험을 완전히 제거(perfect hedge)할 수 있었다. 그러나 단기이자율 \(R(t)\)는 경제적 상태변수(state variable)일 뿐, "이자율"이라는 상품을 시장에서 직접 사고팔 수는 없다. 이 근본적인 차이가 이자율 모형에서의 가격결정 논리를 주식옵션과 다르게 만드는 출발점이며, 위험의 시장가격 \(\lambda_t\)라는 추가적 개념이 필요하게 되는 이유이다.
1.2 채권가격의 함수적 구조: \(B(t,T) = B(t, R(t); T)\)
만기 \(T\)에 1원을 지급하는 할인채(zero-coupon bond)의 시점 \(t\)에서의 가격을 \(B(t,T)\)로 표기한다. 이 채권가격은 현재 시점 \(t\), 현재의 단기이자율 \(R(t)\), 그리고 만기 \(T\)에 의해 결정되므로, 다음과 같이 쓸 수 있다.
이 표기의 의미를 좀 더 정확히 해석해 보자. 채권가격이 \(t\)와 \(R(t)\)의 함수라는 것은, 두 가지 경로를 통해 시간에 따라 변할 수 있음을 의미한다. 첫째, 시간 자체가 흐르면서 만기가 가까워지면, 채권가격은 만기 지급액 1원에 수렴하려는 경향을 보인다. 이것은 \(t\)가 직접적으로 채권가격에 미치는 효과이다. 둘째, 시간이 흐르면서 단기이자율 \(R(t)\)가 변동하면, 할인율이 변하므로 채권가격도 영향을 받는다. 이것은 \(R(t)\)를 통한 간접적 효과이다.
이 두 경로를 통한 변화를 동시에 포착하려면, 일반적인 미적분학의 체인룰이 아니라 이토 공식(Itô's Lemma)을 적용해야 한다. 왜냐하면 \(R(t)\)가 브라운 운동을 포함하는 확률과정이기 때문에, \((dR)^2\)이 0이 아닌 \(\beta^2\,dt\)의 크기를 가지며, 테일러 전개의 2차항을 무시할 수 없기 때문이다.
한편, 만기 \(T\)는 채권의 계약 조건으로 고정된 상수이지 확률적으로 변하는 변수가 아니다. 따라서 \(T\)에 대한 미분은 채권의 SDE를 유도하는 과정에서는 필요하지 않다. 다만, 서로 다른 만기 \(T_1\)과 \(T_2\)를 가진 두 채권을 비교할 때, \(T\)의 값에 따라 채권가격의 성질이 어떻게 달라지는지를 분석하게 된다.
마르코프 성질의 가정: \(B(t,T) = B(t, R(t); T)\)라는 표현은 채권가격이 오직 현재 시점과 현재 이자율에만 의존한다는 것을 함의한다. 즉, 이자율의 과거 경로(path history)는 가격에 영향을 미치지 않는다는 마르코프 가정(Markov property)이 암묵적으로 포함되어 있다. 이 가정은 1요인 이자율 모형(one-factor short rate model)의 핵심적 특성이다. 만약 이자율의 과거 경로가 중요하다면, 상태변수를 더 추가하거나 경로의존적(path-dependent) 모형을 사용해야 한다.
1.3 채권가격의 일반형 SDE
채권가격 \(B(t,T)\)가 확률과정이므로, 연속시간 확률과정의 표준적 표현에 따라 다음과 같이 쓸 수 있다.
이 표현은 채권가격의 순간적 변화율(즉, 수익률)을 두 부분으로 분해한 것이다. 좌변 \(dB/B\)는 채권가격의 순간 수익률이다. 우변의 첫째 항 \(\mu_B(t,T)\,dt\)는 채권의 즉시 기대수익률(instantaneous expected return)을 나타낸다. 이 값은 투자자가 이 채권을 보유함으로써 기대할 수 있는 "평균적인" 순간 수익률이며, 결정론적이다. 즉, 무작위성이 없는 예측 가능한 부분이다.
우변의 둘째 항 \(\sigma_B(t,T)\,dW(t)\)는 채권가격의 확률적 변동, 즉 예측 불가능한 무작위적 변동을 나타낸다. \(\sigma_B(t,T)\)는 채권가격이 브라운 운동 \(dW\)의 충격에 얼마나 민감하게 반응하는지를 나타내는 계수이다. 여기서 매우 중요한 점은, \(\sigma_B\)가 반드시 양수일 필요는 없다는 것이다. 이 계수는 "변동성의 크기"만이 아니라, 브라운 운동에 대한 "민감도의 방향"까지 포함한다. 이자율이 상승(\(dW > 0\))할 때 채권가격이 하락한다면 \(\sigma_B < 0\)이 되는데, 이것은 이자율과 채권가격의 역관계를 반영하는 자연스러운 결과이다.
현 단계에서 우리는 \(\mu_B(t,T)\)와 \(\sigma_B(t,T)\)의 구체적인 형태를 아직 모른다. 이것들은 채권가격 함수 \(B\)가 만족해야 하는 편미분방정식의 풀이를 통해 결정되어야 할 미지의 함수들이다. 이 글의 핵심 목표 중 하나가 바로 이 함수들을 채권가격의 편도함수(\(B_t, B_R, B_{RR}\))로 표현하고, 나아가 무차익 조건을 이용하여 \(\mu_B\)를 "알려진" 양들로 치환하는 것이다.
Part 2. 이토 공식의 적용: 채권 SDE의 미시적 구조
2.1 이토 공식 적용의 필요성
Part 1에서 채권가격의 SDE를 형식적으로 \(dB = \mu_B B\,dt + \sigma_B B\,dW\)로 썼지만, 이것은 \(\mu_B\)와 \(\sigma_B\)가 미지인 상태이다. 이들을 채권가격 함수의 편도함수로 표현하려면, \(B(t,T) = B(t, R(t); T)\)에 이토 공식을 직접 적용해야 한다.
일반적인 미적분학에서 \(y = f(t, x(t))\)의 변화량은 전미분 공식 \(dy = f_t\,dt + f_x\,dx\)로 구해진다. 이것은 체인룰(chain rule)의 다변수 버전이다. 그러나 \(x(t)\)가 브라운 운동을 포함하는 확률과정일 때는, 이 공식이 정확하지 않다. 확률과정의 미분 \(dR\)은 \(\sqrt{dt}\) 크기의 \(dW\)를 포함하기 때문에, \((dR)^2\)이 \(\beta^2\,dt\)의 크기를 가져 무시할 수 없다. 따라서 테일러 전개의 2차항까지 포함해야 하며, 이것이 이토 공식이다.
2.2 편도함수의 금융적 의미
이토 공식을 적용하기 전에, 채권가격 함수 \(B(t, R; T)\)의 편도함수들이 각각 무엇을 의미하는지를 명확히 해 두는 것이 유용하다. 이들은 단순한 수학적 기호가 아니라, 금융 실무에서 매우 중요한 "그릭스(Greeks)"에 해당한다.
채권가격의 편도함수와 금융적 해석
시간 편도함수 \(B_t(t,T) \equiv \frac{\partial B}{\partial t}\) — "시간 효과(time decay)": 이자율 \(R\)이 그대로 유지되더라도, 시간이 흐르면 만기까지의 잔존기간이 줄어든다. 할인채는 만기에 정확히 1원을 지급하므로, 시간이 지남에 따라 가격이 1원에 수렴하려는 경향을 보인다. 이 자연스러운 가격 변화를 \(B_t\)가 포착한다. 주식옵션에서의 세타(\(\Theta\))와 유사한 개념이다.
이자율 편도함수 \(B_R(t,T) \equiv \frac{\partial B}{\partial R}\) — "이자율 민감도(금리 듀레이션)": 단기이자율이 미세하게 변할 때 채권가격이 얼마나 반응하는지를 나타낸다. 일반적으로 이자율이 상승하면 채권가격은 하락하므로, \(B_R < 0\)인 것이 자연스럽다. 이 편도함수는 채권의 금리 민감도(interest rate sensitivity)를 결정하며, 듀레이션(duration)과 밀접하게 관련된다. 주식옵션에서의 델타(\(\Delta\))와 유사한 역할을 한다.
이자율 2차 편도함수 \(B_{RR}(t,T) \equiv \frac{\partial^2 B}{\partial R^2}\) — "이자율 볼록성(금리 감마)": 이자율 변동에 대한 채권가격의 반응이 선형이 아닌 경우, 그 비선형성의 정도를 나타낸다. 할인채의 가격함수 \(B(R) = e^{-R\tau}\)(대략적으로)는 볼록(convex)하므로, \(B_{RR} > 0\)이 일반적이다. 이 볼록성 때문에 이자율이 올라도 내려도 채권 보유자가 평균적으로 유리해지는 "볼록성 이점(convexity advantage)"이 발생한다. 이토 공식에서 이 항은 \(\frac{1}{2}\beta^2 B_{RR}\,dt\)의 형태로 드리프트에 기여하며, 이것이 바로 볼록성 보정(convexity correction)의 수학적 기원이다. 주식옵션에서의 감마(\(\Gamma\))와 정확히 대응한다.
2.3 이토 공식의 적용
이제 \(B(t,T) = B(t, R(t); T)\)에 이토 공식을 적용한다. \(B\)는 \(t\)에 대해 1번, \(R\)에 대해 2번 연속 미분 가능한 \(C^{1,2}\) 함수라고 가정한다. 이토 공식에 의해 다음이 성립한다.
이 공식의 각 항을 해석하면 다음과 같다. 첫째 항 \(B_t\,dt\)는 이자율이 변하지 않아도 시간이 흐르면서 발생하는 채권가격의 변화이다. 둘째 항 \(B_R\,dR\)은 이자율의 변화 \(dR\)이 채권가격에 미치는 1차적 효과이다. 셋째 항 \(\frac{1}{2}\beta^2 B_{RR}\,dt\)가 바로 이토 보정항(Itô correction term)이다. 일반 미적분에서는 이 항이 존재하지 않는다. 이 항은 \((dR)^2 = \beta^2\,dt\)로부터 나오며, 이자율의 확률적 변동이 채권가격의 볼록성을 통해 체계적인(결정론적인) 드리프트 효과를 만들어낸다는 것을 나타낸다.
2.4 단기이자율 SDE의 대입
이제 (4.16)의 \(dR\) 자리에 단기이자율의 SDE인 \(dR = \alpha\,dt + \beta\,dW\)를 대입한다. 이렇게 하면 채권가격의 변화 \(dB\)를 \(dt\)와 \(dW\)라는 두 기본 "벽돌(building blocks)"로 표현할 수 있게 된다.
$$dB = B_t\,dt + B_R(\alpha\,dt + \beta\,dW) + \frac{1}{2}\beta^2 B_{RR}\,dt$$\(dt\) 항과 \(dW\) 항을 각각 모아서 정리하면 다음을 얻는다.
이 결과는 매우 중요하다. 채권가격의 순간적 변화가 두 부분으로 깔끔하게 분리되었다. \(dt\) 앞의 괄호 안 표현 \(B_t + \alpha B_R + \frac{1}{2}\beta^2 B_{RR}\)은 채권가격의 결정론적 추세, 즉 기대 변화율을 나타낸다. \(dW\) 앞의 계수 \(\beta B_R\)은 채권가격의 확률적 변동 크기를 나타낸다. 이 확산 계수의 구조는 직관적으로도 명쾌하다. 채권가격의 무작위 변동은 두 요소의 곱으로 결정되는데, \(\beta\)는 이자율 자체의 변동성이고, \(B_R\)은 이자율 변동에 대한 채권가격의 민감도이다. 즉, "이자율이 얼마나 흔들리는가" \(\times\) "이자율 흔들림에 채권이 얼마나 반응하는가"가 채권가격의 무작위 변동을 결정한다.
핵심 통찰 — 채권의 불확실성은 이자율의 불확실성에서 온다: \(dW\) 항의 계수가 \(\beta \cdot B_R\)이라는 사실은, 채권가격의 모든 무작위적 변동이 궁극적으로 단기이자율의 확률적 변동(\(\beta\,dW\))에서 비롯됨을 보여준다. 이것은 1요인 모형의 핵심적 함의이다. 모든 만기의 채권가격이 동일한 하나의 브라운 운동 \(W(t)\)에 의해 구동되므로, 서로 다른 만기의 채권들 사이에는 완전상관(perfect correlation)이 존재한다. 이 구조적 특성이 다음 Part에서 무차익 포트폴리오를 구성할 수 있게 해주는 열쇠가 된다.
2.5 일반형 SDE와 이토 전개의 계수 비교
Part 1.3에서 쓴 일반형 SDE (4.15)와 이토 전개로 얻은 (4.19)는 동일한 \(dB\)를 두 가지 방식으로 표현한 것이다. 하나는 추상적인 계수 \(\mu_B, \sigma_B\)를 사용한 "외부" 표현이고, 다른 하나는 편도함수 \(B_t, B_R, B_{RR}\)을 사용한 "내부" 표현이다. 두 표현이 동일하려면, \(dt\) 계수끼리 같고 \(dW\) 계수끼리 같아야 한다.
\(dW\) 계수 비교
(4.15)에서 \(dW\)의 계수는 \(\sigma_B \cdot B\)이고, (4.19)에서는 \(\beta \cdot B_R\)이다. 이 둘이 같으므로 다음을 얻는다.
이 관계를 \(\sigma_B\)에 대해 풀면 \(\sigma_B = \frac{\beta \cdot B_R}{B}\)이다. 앞서 언급했듯이 일반적으로 \(B_R < 0\)이므로 \(\sigma_B < 0\)이 된다. 이것은 이자율 상승 충격(\(dW > 0\))이 채권가격을 하락시킨다는, 이자율과 채권가격의 역관계를 반영한 것이다.
\(dt\) 계수 비교
(4.15)에서 \(dt\)의 계수는 \(\mu_B \cdot B\)이고, (4.19)에서는 \(B_t + \alpha B_R + \frac{1}{2}\beta^2 B_{RR}\)이다. 이 둘이 같으므로 다음을 얻는다.
이 등식은 이미 PDE의 형태에 매우 가까워 보인다. 그러나 결정적인 문제가 있다. 좌변의 \(\mu_B(t,T)\)가 아직 미지라는 것이다. 주식옵션의 블랙–숄즈 PDE에서는 델타 헤지를 통해 \(\mu\)가 완전히 소거되어, PDE에 더 이상 기대수익률이 등장하지 않았다. 그러나 여기서는 \(\mu_B\)가 남아 있으므로, 이 상태로는 방정식이 "닫히지(closed)" 않는다. 이 \(\mu_B\)를 알려진 양들로 대체하기 위해, 다음 Part에서 무차익 조건을 적용해야 한다.
Part 3. 무차익 논증과 위험의 시장가격 \(\lambda_t\)
3.1 무차익 원리의 핵심 아이디어
무차익(no-arbitrage) 원리란, 초기 투자 없이(zero initial investment) 위험 없이(riskless) 양의 이익(positive profit)을 얻을 수 있는 거래 전략은 존재하지 않는다는 것이다. 이것은 경쟁적 금융시장의 가장 기본적인 가정이며, 만약 이 원리가 위반된다면 합리적인 투자자들이 차익거래 기회를 즉시 이용할 것이므로, 시장가격이 균형으로 조정되어 차익거래 기회가 사라질 것이다.
이 원리를 이자율 모형에 적용하려면, 먼저 "무위험 포트폴리오"를 구성해야 한다. 블랙–숄즈에서는 주식 1주와 옵션의 적절한 조합으로 무위험 포트폴리오를 만들었다. 이자율 모형에서는 위험의 원천이 하나(\(dW\))뿐이므로, 서로 다른 만기 \(T_1\)과 \(T_2\)를 가진 두 할인채를 적절히 결합하면 \(dW\) 항을 소거할 수 있다. 이것이 이자율 모형에서 무차익 논증의 출발점이다.
3.2 포트폴리오 구성과 위험 제거
만기가 \(T_1\)인 채권과 만기가 \(T_2\)인 채권을 각각 \(w_1\)과 \(w_2\)만큼 보유하는 포트폴리오를 구성하자. 이 포트폴리오의 가치를 \(\Pi = w_1 B(t,T_1) + w_2 B(t,T_2)\)라 하면, 그 변화량은 다음과 같다.
$$d\Pi = w_1\,dB(t,T_1) + w_2\,dB(t,T_2)$$각 채권의 SDE (4.15)를 대입하면, \(dt\) 항과 \(dW\) 항이 나타난다. \(dW\) 항을 소거하려면, \(w_1 \sigma_B(t,T_1) B(t,T_1) + w_2 \sigma_B(t,T_2) B(t,T_2) = 0\)이 되도록 \(w_1\)과 \(w_2\)의 비율을 선택하면 된다. 이렇게 하면 포트폴리오의 모든 확률적 변동이 제거되어 완전한 무위험 포트폴리오가 된다.
무차익 원리에 의해, 이 무위험 포트폴리오의 수익률은 반드시 무위험이자율 \(R(t)\)와 같아야 한다. 만약 더 높다면 무위험 차익거래가 가능하고, 더 낮다면 포트폴리오를 공매도하여 차익거래를 할 수 있기 때문이다. 이 조건을 수학적으로 표현하면 \(d\Pi = R(t) \cdot \Pi\,dt\)이다.
이 연립조건을 풀면, 서로 다른 만기 \(T_1\)과 \(T_2\)에 대해 다음의 비율이 동일해야 한다는 결론이 나온다.
이 등식의 의미는 심오하다. 좌변은 만기 \(T_1\)인 채권의 "단위 위험당 초과수익률(excess return per unit risk)"이고, 우변은 만기 \(T_2\)인 채권의 것이다. 무차익 조건은 이 비율이 모든 만기에 대해 동일해야 한다고 요구한다. 만약 이 비율이 만기에 따라 다르다면, 비율이 높은 채권을 매수하고 낮은 채권을 매도하는 차익거래가 가능할 것이기 때문이다.
3.3 위험의 시장가격 \(\lambda_t\)의 정의
모든 만기에 대해 동일한 이 비율을 \(\lambda_t\)로 정의한다. 이것이 바로 위험의 시장가격(market price of risk)이다.
이 공식을 \(\mu_B\)에 대해 풀면 다음을 얻는다.
이 등식의 금융적 의미를 자세히 해석해 보자. 채권의 기대수익률 \(\mu_B\)는 두 부분으로 구성된다. 첫째 부분 \(R(t)\)는 무위험이자율이다. 이것은 아무런 위험도 부담하지 않더라도 얻을 수 있는 "기본 보상(base return)"이다. 둘째 부분 \(\lambda_t \cdot \sigma_B\)는 위험프리미엄(risk premium)이다. 투자자가 채권의 이자율 위험을 부담하는 대가로 요구하는 추가 보상이다. 이 위험프리미엄은 두 요소의 곱으로 구성된다. \(\lambda_t\)는 "위험 1단위에 대해 시장이 요구하는 보상의 크기"이고, \(\sigma_B\)는 "이 채권이 감수하는 위험의 크기"이다. 따라서 위험프리미엄은 "위험의 양 \(\times\) 위험 1단위당 가격"으로 자연스럽게 분해된다.
위험의 시장가격 \(\lambda_t\)의 핵심 성질
성질 1 — 만기에 무관: \(\lambda_t\)는 만기 \(T\)에 의존하지 않고, 오직 시간 \(t\)(그리고 잠재적으로 \(R(t)\))에만 의존한다. 이것이 무차익 조건의 핵심이다. "위험 1단위당 가격"은 시장 전체에서 결정되는 것이지, 개별 채권의 만기에 의존하는 것이 아니다.
성질 2 — 일반적으로 음수: 일반적으로 이자율이 상승하면 채권가격이 하락하므로 \(\sigma_B < 0\)이다. 또한 위험 자산(채권)의 기대수익률이 무위험이자율보다 높으므로 \(\mu_B - R > 0\)이다. 따라서 \(\lambda_t = (\mu_B - R) / \sigma_B\)에서 분자는 양수, 분모는 음수이므로 \(\lambda_t < 0\)이다.
성질 3 — 외생적 입력: \(\lambda_t\)는 이자율 모형 자체로부터 결정되는 것이 아니라, 시장 데이터나 일반 균형 모형(general equilibrium model)으로부터 외생적으로 주어져야 한다. 이것은 이자율 모형이 "상대적 가격결정(relative pricing)"의 도구라는 사실의 반영이다. 즉, \(\lambda_t\)가 주어지면 모든 만기의 채권가격을 일관되게 결정할 수 있지만, \(\lambda_t\) 자체를 결정하려면 모형 밖의 정보가 필요하다.
블랙–숄즈와의 결정적 차이: 블랙–숄즈에서는 기초자산(주식)이 직접 거래되므로, 옵션 가격결정에 주식의 기대수익률 \(\mu\)가 등장하지 않는다. 델타 헤지가 \(\mu\)를 완전히 소거해 버리기 때문이다. 그러나 이자율 모형에서는 상태변수 \(R(t)\)가 직접 거래되지 않으므로, 드리프트(\(\alpha\))가 완전히 소거되지 않고 \(\lambda_t\)와 결합된 형태로 PDE에 남게 된다. 이것이 금리 파생상품 가격결정이 주식옵션보다 본질적으로 더 복잡한 이유이다.
Part 4. 채권가격 PDE의 완성
4.1 \(\mu_B\)의 치환
Part 2에서 얻은 두 개의 관계식, 즉 (4.20)과 (4.21)을 다시 정리하고, 여기에 Part 3에서 얻은 무차익 관계 (4.14)를 결합하여 PDE를 완성한다.
먼저 무차익 관계 \(\mu_B = R + \lambda_t \sigma_B\)를 (4.21)의 좌변에 대입한다. (4.20)에서 \(\sigma_B B = \beta B_R\)이므로, \(\lambda_t \sigma_B B = \lambda_t \beta B_R\)이다. 따라서 다음을 얻는다.
이 관계의 의미를 해석하면 다음과 같다. 채권가격의 기대 변화(\(\mu_B B\))는 두 부분으로 분해된다. 첫째 부분 \(R \cdot B\)는 무위험 이자율에 의한 "기본 수익"이다. 이것은 채권이 아무런 위험도 가지고 있지 않다면 얻을 수 있는 수익에 해당한다. 둘째 부분 \(\lambda_t \beta B_R\)은 이자율 위험에 대한 "위험 보상"이다. \(\beta\)는 이자율의 변동성, \(B_R\)은 채권의 이자율 민감도, \(\lambda_t\)는 위험의 시장가격이므로, 이 항은 "이자율이 얼마나 변동하는가 \(\times\) 그 변동에 채권이 얼마나 노출되어 있는가 \(\times\) 그 노출 1단위에 대한 보상"으로 읽힌다.
4.2 PDE 도출
이제 핵심 단계이다. (4.21)과 (4.22)는 모두 좌변이 \(\mu_B \cdot B\)로 동일하다. 따라서 두 등식의 우변도 같아야 한다.
$$B_t + \alpha\,B_R + \frac{1}{2}\beta^2\,B_{RR} = R\,B + \lambda_t\,\beta\,B_R$$모든 항을 한쪽으로 모아서 정리하면, 채권가격이 만족해야 하는 편미분방정식(PDE)을 최종적으로 얻는다.
이 PDE가 채권가격 결정의 핵심 방정식이다. 종단조건(terminal condition)은 만기에 채권이 1원을 지급한다는 조건으로, \(B(T,T) = 1\)이다.
4.3 PDE의 구조 분석
이 PDE의 구조를 블랙–숄즈 PDE와 비교하면서 자세히 분석해 보자.
시간 편도함수 항 \(B_t\): 시간의 흐름에 따른 채권가격의 자연적 변화를 나타낸다. 만기가 다가올수록 채권가격이 1원에 수렴하는 효과가 여기에 포함된다.
드리프트 항 \((\alpha - \beta\lambda_t) B_R\): 이 항이 블랙–숄즈와 가장 크게 다른 부분이다. 블랙–숄즈 PDE에서는 주식의 기대수익률 \(\mu\)가 완전히 사라지고 무위험이자율 \(r\)만 남았는데, 여기서는 \(\alpha\)(현실측도에서의 이자율 드리프트)와 \(\lambda_t\)(위험의 시장가격)의 결합이 남아 있다. 구체적으로, \(\alpha - \beta\lambda_t\)는 위험중립측도에서의 이자율 드리프트, 즉 \(\alpha^Q(t,R)\)에 해당한다. 이 점은 Part 6에서 기라노프 정리를 통해 더 명확해질 것이다.
확산 항 \(\frac{1}{2}\beta^2 B_{RR}\): 이자율의 확률적 변동이 채권가격의 볼록성을 통해 만들어내는 효과이다. 이 항은 볼록성 보정(convexity correction)의 원천이며, 블랙–숄즈의 \(\frac{1}{2}\sigma^2 S^2 V_{SS}\) 항에 대응한다.
할인 항 \(-R \cdot B\): 이 항은 자산가격이 무위험이자율로 할인되어야 한다는 요구를 반영한다. 블랙–숄즈의 \(-rV\) 항에 정확히 대응한다.
블랙–숄즈 PDE와의 체계적 비교
| 항목 | 블랙–숄즈 (주식옵션) | 채권가격 PDE |
|---|---|---|
| 위험의 원천 | 주가 \(S(t)\) — 거래자산 | 단기이자율 \(R(t)\) — 비거래 상태변수 |
| 헤지 도구 | 옵션 + 기초주식 | 만기 다른 두 채권 |
| PDE의 드리프트 | \(rS \cdot V_S\) (기대수익률 \(\mu\) 소거됨) | \((\alpha - \beta\lambda_t)\,B_R\) (\(\alpha, \lambda_t\) 잔존) |
| 확산 항 | \(\frac{1}{2}\sigma^2 S^2 V_{SS}\) | \(\frac{1}{2}\beta^2 B_{RR}\) |
| 할인 항 | \(-rV\) (\(r\)은 상수) | \(-R \cdot B\) (\(R(t)\)는 확률과정) |
| 종단조건 | \(V(T,S) = \max(S-K, 0)\) | \(B(T,T) = 1\) |
| \(\lambda_t\) 필요? | 불필요 (자동 소거) | 필요 (외생적 입력) |
핵심 요약: 채권가격 PDE (4.23)에서 \(\alpha\)와 \(\lambda_t\)가 항상 \(\alpha - \beta\lambda_t\)의 조합으로만 나타난다는 사실은 매우 중요하다. 이것은 현실측도에서의 드리프트 \(\alpha\)와 위험의 시장가격 \(\lambda_t\)를 개별적으로 알 필요 없이, 그 조합 \(\alpha - \beta\lambda_t\)만 알면 채권가격을 결정할 수 있다는 것을 의미한다. 나중에 보게 되겠지만, 이 조합이 바로 위험중립측도 하에서의 이자율 드리프트 \(\alpha^Q\)이며, 이것은 시장에서 관측되는 일드곡선으로부터 직접 추출할 수 있다. 이 관찰이 위험중립 가격결정의 실무적 가치의 핵심이다.
Part 5. 기라노프 정리와 위험중립측도로의 전환
5.1 왜 측도를 바꾸는가?
Part 4에서 채권가격 PDE를 유도했지만, 이 PDE를 풀기 위해서는 \(\alpha - \beta\lambda_t\)의 구체적인 형태를 알아야 한다. 현실측도에서의 드리프트 \(\alpha\)는 이자율의 실제 통계적 행태(예: 과거 데이터의 시계열 분석)로부터 추정할 수 있지만, 위험의 시장가격 \(\lambda_t\)는 직접 관측하기 어렵다. 그래서 \(\alpha\)와 \(\lambda_t\)를 개별적으로 다루는 대신, 처음부터 \(\alpha - \beta\lambda_t\)를 하나의 단위로 취급하여 "새로운 세계"를 정의하는 것이 더 효율적이다. 이 "새로운 세계"가 바로 위험중립측도 \(Q\)이다.
측도를 바꾸면 무엇이 좋은가? 위험중립측도에서는 모든 거래자산의 기대수익률이 무위험이자율 \(R(t)\)와 같다. 이것은 위험프리미엄을 명시적으로 다룰 필요 없이 자산가격을 계산할 수 있게 해주므로, 계산이 크게 단순해진다. 채권가격은 단순히 \(B(t,T) = E_t^Q[\exp(-\int_t^T R(u)\,du)]\)로 표현되며, 이 기대값을 계산하기 위해서는 위험중립측도에서의 이자율 역학, 즉 \(\alpha^Q = \alpha - \beta\lambda_t\)만 알면 충분하다.
5.2 기라노프 정리(Girsanov Theorem)
기라노프 정리는 확률측도의 변환이 브라운 운동의 드리프트 조정으로 실현될 수 있음을 보장하는 정리이다. 구체적으로, 현실측도 \(P\) 하에서의 브라운 운동 \(W(t)\)로부터, 다음과 같이 새로운 과정 \(W^Q(t)\)를 정의한다.
이 정의를 적분형으로 쓰면 \(W^Q(t) = W(t) + \int_0^t \lambda_s\,ds\)이다. 기라노프 정리는, 적절한 기술적 조건(노비코프 조건 등) 하에서, 이렇게 정의된 \(W^Q(t)\)가 새로운 확률측도 \(Q\) 하에서 표준 브라운 운동이 된다는 것을 보장한다.
직관적으로 이해하면 다음과 같다. 현실세계(\(P\))에서 이자율의 무작위 충격 \(dW\)는 "순수한 잡음"이지만, 투자자들은 이 잡음에 노출되는 대가로 위험프리미엄을 요구한다. 기라노프 정리에 의한 측도 전환은, 이 위험프리미엄을 브라운 운동 자체의 드리프트로 "흡수"시키는 것이다. 그 결과, 위험중립세계(\(Q\))에서는 새로운 브라운 운동 \(dW^Q\)가 "순수한 잡음"이 되고, 모든 자산의 기대수익률이 무위험이자율로 통일된다.
기라노프 정리의 작동 원리 — 상세 설명
Step 1. 역변환. (4.25)를 역으로 풀면 \(dW(t) = dW^Q(t) - \lambda_t\,dt\)이다. 이것은 현실세계의 브라운 운동 충격을 위험중립세계의 언어로 번역한 것이다.
Step 2. 이자율 SDE의 변환. 원래 이자율 SDE \(dR = \alpha\,dt + \beta\,dW\)에 \(dW = dW^Q - \lambda_t\,dt\)를 대입하면 다음을 얻는다.
$$dR = \alpha\,dt + \beta(dW^Q - \lambda_t\,dt) = (\alpha - \beta\lambda_t)\,dt + \beta\,dW^Q$$따라서 위험중립측도 \(Q\) 하에서 이자율의 SDE는 다음과 같다.
핵심 관찰: 측도 전환에 의해 드리프트만 \(\alpha \to \alpha^Q = \alpha - \beta\lambda_t\)로 변경되고, 확산 계수 \(\beta\)는 변하지 않는다. 이것은 기라노프 정리의 일반적인 성질이다. 확률측도를 바꾸면 확률과정의 "방향(드리프트)"은 바뀌지만, "변동 폭(확산)"은 보존된다.
5.3 위험중립측도에서의 PDE 재해석
위험중립측도에서의 이자율 드리프트가 \(\alpha^Q = \alpha - \beta\lambda_t\)이므로, Part 4의 PDE (4.23)을 다시 쓰면 다음과 같이 된다.
이 형태에서는 현실측도의 드리프트 \(\alpha\)와 위험의 시장가격 \(\lambda_t\)가 개별적으로 등장하지 않고, 오직 위험중립 드리프트 \(\alpha^Q\)만 나타난다. 이것이 위험중립 가격결정의 장점이다. 현실세계에서 이자율이 실제로 어떤 추세를 따르는지(\(\alpha\)), 시장이 위험을 어떻게 평가하는지(\(\lambda_t\))를 각각 추정할 필요 없이, 위험중립 드리프트 \(\alpha^Q\)만 알면 채권가격을 결정할 수 있다. 그리고 \(\alpha^Q\)는 시장에서 관측되는 일드곡선에 모형을 캘리브레이션(calibration)함으로써 직접 추출할 수 있다.
또한 이 PDE는 Feynman–Kac 정리에 의해 다음의 확률적 표현과 동치이다.
이것이 할인채의 위험중립 가격결정 공식이다. 이 공식은 "미래의 누적 할인인자의 기대값을 위험중립측도에서 계산하면 채권가격이 된다"는 것을 의미한다. Feynman–Kac 정리가 보장하는 것은, PDE를 직접 풀든, 위의 기대값을 계산하든, 두 방법의 결과가 동일하다는 것이다. 실무에서는 모형의 구조에 따라 닫힌형 해가 존재하면 기대값 계산을 선호하고(Ho–Lee, Vasicek 등), 닫힌형이 불가능하면 PDE의 수치적 풀이(유한차분법 등)를 사용한다.
Part 6. 위험중립측도에서의 채권 SDE
6.1 채권 SDE의 변환
현실측도에서 채권의 SDE는 \(dB = \mu_B B\,dt + \sigma_B B\,dW\)였다. 이것을 위험중립측도로 변환하기 위해, \(dW = dW^Q - \lambda_t\,dt\)를 대입한다.
$$dB = \mu_B B\,dt + \sigma_B B\,(dW^Q - \lambda_t\,dt) = (\mu_B - \sigma_B\lambda_t)\,B\,dt + \sigma_B B\,dW^Q$$무차익 관계 (4.14)에서 \(\mu_B = R + \lambda_t\sigma_B\)이므로, 새로운 드리프트는 다음과 같이 계산된다.
$$\mu_B - \sigma_B\lambda_t = (R + \lambda_t\sigma_B) - \sigma_B\lambda_t = R(t)$$놀라울 정도로 깔끔한 결과이다. \(\lambda_t\)를 포함하는 항들이 정확히 상쇄되어, 드리프트가 오직 무위험이자율 \(R(t)\)만 남게 된다. 따라서 위험중립측도에서의 채권 SDE는 다음과 같다.
이 결과의 의미는 심오하면서도 직관적이다. 위험중립측도에서 모든 거래자산의 기대수익률은 무위험이자율 \(R(t)\)이다. 이것은 블랙–숄즈에서 "위험중립 세계에서 주식의 기대수익률이 \(r\)이다"라는 결과와 정확히 같은 구조이다. 만기가 1년인 채권이든 30년인 채권이든, 위험중립측도에서의 순간 기대수익률은 모두 동일하게 \(R(t)\)이다. 물론 현실세계에서는 만기가 길수록 위험프리미엄이 추가되어 기대수익률이 더 높겠지만, 이 추가 수익은 기라노프 변환에 의해 브라운 운동의 드리프트 조정으로 흡수되어, 위험중립세계에서는 보이지 않게 된다.
6.2 확산 항의 해석
위험중립 SDE (4.28)에서 확산 항 \(\sigma_B B\,dW^Q\)는 측도 전환에 의해 변하지 않았음에 주목하자. (4.20)의 관계 \(\sigma_B B = \beta B_R\)은 여전히 유효하므로, 위험중립 SDE를 다음과 같이 다시 쓸 수도 있다.
이 표현은 채권가격의 무작위 변동의 원천을 매우 투명하게 보여준다. 채권가격의 확률적 변동 = (이자율의 확률적 변동 크기 \(\beta\)) \(\times\) (채권의 이자율 민감도 \(B_R\)) \(\times\) (위험중립 브라운 운동 \(dW^Q\))이다. 즉, 채권가격의 불확실성은 결국 이자율 과정의 불확실성에서 오고, 그 불확실성이 채권에 얼마나 전달되는지가 \(B_R\)(금리 민감도)에 의해 결정된다.
핵심 메시지: 위험중립측도로의 전환은 채권 SDE에서 두 가지 변화를 가져온다. 첫째, 드리프트가 \(\mu_B\)(현실측도의 기대수익률)에서 \(R(t)\)(무위험이자율)로 단순화된다. 둘째, 브라운 운동이 \(dW\)(현실측도)에서 \(dW^Q\)(위험중립측도)로 교체된다. 그러나 확산 계수(\(\sigma_B\) 또는 \(\beta B_R\))는 변하지 않는다. 따라서 채권가격의 변동 "크기"는 현실세계나 위험중립세계에서 동일하며, 달라지는 것은 오직 변동의 "방향"(드리프트)뿐이다.
Part 7. \(\lambda_t\)의 부호와 금융적 해석
7.1 \(\sigma_B\)의 부호 분석
위험의 시장가격 \(\lambda_t\)의 부호를 이해하려면, 먼저 \(\sigma_B\)의 부호를 분석해야 한다. (4.20)에서 \(\sigma_B = \frac{\beta B_R}{B}\)이다. \(\beta > 0\)(이자율 변동성은 양수)이고 \(B > 0\)(채권가격은 양수)이므로, \(\sigma_B\)의 부호는 \(B_R\)의 부호에 의해 결정된다.
이자율이 상승하면 미래 현금흐름의 할인율이 커지므로 채권가격은 하락한다. 이것은 금융에서 가장 기본적인 관계 중 하나이다. 수학적으로 \(B_R < 0\)이다. 따라서 \(\sigma_B < 0\)이다.
\(\sigma_B\)가 음수라는 것은, 양의 이자율 충격(\(dW > 0\), 즉 이자율 상승)이 채권가격을 하락시킨다는 것을 의미한다. 이것은 채권가격 SDE \(dB = \mu_B B\,dt + \sigma_B B\,dW\)에서 \(dW > 0\)일 때 확산 항이 \(\sigma_B B \cdot dW < 0\)이 되므로, 채권가격이 하락하는 방향으로 작용한다는 것을 수학적으로 확인해 준다.
7.2 \(\lambda_t\)의 부호
채권은 이자율 위험에 노출되어 있으므로, 현실세계에서 투자자들은 이 위험에 대한 보상을 요구한다. 즉, 채권의 기대수익률이 무위험이자율보다 높아야 한다. 수학적으로 \(\mu_B > R(t)\)이다.
이제 (4.14)에서 \(\lambda_t = \frac{\mu_B - R}{\sigma_B}\)의 부호를 결정할 수 있다. 분자 \(\mu_B - R > 0\)(위험프리미엄은 양수)이고 분모 \(\sigma_B < 0\)이므로, 다음을 얻는다.
\(\lambda_t < 0\)이라는 결과의 직관적 의미를 정리하면 다음과 같다. 위험의 시장가격이 음수라는 것은, 이자율 상승 위험(\(dW > 0\))에 노출된 자산이 낮은 수익을 제공하므로, 이자율 하락 위험(\(dW < 0\))에 노출된 자산, 즉 채권이 더 높은 기대수익률(위험프리미엄)을 가진다는 것을 반영한다. 다시 말해, 채권 투자자는 "이자율이 예상 밖으로 상승하면 손실을 볼 위험"을 부담하고 있으며, 이 위험에 대한 보상으로 무위험이자율 이상의 기대수익률을 얻는 것이다.
\(\sigma_B < 0\)이 "변동성이 음수"라는 뜻인가? 그렇지 않다. 이 맥락에서 \(\sigma_B\)는 "변동성의 크기(magnitude)"만을 나타내는 것이 아니라, 브라운 운동 \(dW\)에 대한 민감도의 방향과 크기를 모두 포함하는 계수이다. 변동성의 "크기"만을 따진다면 \(|\sigma_B| > 0\)이다. \(\sigma_B < 0\)이라는 것은, 양의 랜덤 충격(\(dW > 0\))이 채권가격을 음의 방향으로 움직인다는 의미일 뿐이다. 실무에서 "채권의 변동성"이라고 할 때는 보통 \(|\sigma_B|\)를 의미한다.
Part 8. 구체적 모형에의 적용
Part 4에서 유도한 일반적인 채권가격 PDE는, 드리프트 \(\alpha\)와 확산 \(\beta\)의 구체적 형태를 특정하면 다양한 이자율 모형에 적용된다. 각 모형에 따라 PDE의 구조와 해의 성질이 어떻게 달라지는지를 살펴보자.
8.1 Ho–Lee 모형
Ho–Lee 모형에서는 위험중립측도 하에서 \(\alpha^Q(t) = \alpha(t) - \beta\lambda_t\)가 시간에만 의존하는 함수이고, \(\beta\)는 상수이다. 따라서 PDE는 다음과 같이 된다.
$$B_t + \alpha^Q(t)\,B_R + \frac{1}{2}\beta^2\,B_{RR} - R\,B = 0$$이 PDE는 아핀 가정 \(B = \exp(-A(\tau) - C(\tau)R)\)을 대입하면 닫힌형 해를 구할 수 있다. \(R\)의 계수를 비교하면 \(C'(\tau) = 1\), 즉 \(C(\tau) = \tau\)를 얻고, 상수항 비교로 \(A(\tau)\)를 결정한다. 결과적으로 \(B(t,T) = \exp(-A(t,T) - \tau R(t))\)라는 아핀 구조가 나온다.
8.2 Vasicek 모형
Vasicek 모형에서는 위험중립 드리프트가 \(\alpha^Q = b(\theta^Q - R)\)로, 이자율에 선형 의존한다. 여기서 \(\theta^Q = \theta - \frac{\beta\lambda}{b}\)는 위험중립측도에서의 장기 평균이다. PDE는 다음과 같다.
$$B_t + b(\theta^Q - R)\,B_R + \frac{1}{2}\beta^2\,B_{RR} - R\,B = 0$$이 PDE 역시 아핀 해를 가지며, \(C(\tau) = \frac{1-e^{-b\tau}}{b}\)로 만기에 따라 지수적으로 감쇠하는 구조를 보인다. 이것은 평균회귀에 의해 이자율 충격이 장기적으로 감쇠하므로, 장기 채권의 이자율 민감도가 유한하게 묶이는 것을 반영한다.
8.3 CIR 모형
CIR 모형에서는 위험중립 드리프트가 \(\alpha^Q = b(\theta^Q - R)\)이고 확산이 \(\beta = \sigma\sqrt{R}\)이다. PDE는 다음과 같다.
$$B_t + b(\theta^Q - R)\,B_R + \frac{1}{2}\sigma^2 R\,B_{RR} - R\,B = 0$$확산 항에 \(R\)이 곱해져 있으므로, 이자율이 0에 가까워지면 변동성도 함께 줄어든다. 이 구조 덕분에 이자율이 음수가 되는 것이 방지된다. CIR 모형도 아핀 해를 가지지만, \(A(\tau)\)와 \(C(\tau)\)의 구체적 형태가 Ho–Lee나 Vasicek보다 복잡하다.
| 모형 | 위험중립 드리프트 \(\alpha^Q\) | 확산 \(\beta\) | PDE의 특징 |
|---|---|---|---|
| Ho–Lee | \(\alpha^Q(t)\) (시간만 의존) | 상수 \(\beta\) | \(C(\tau) = \tau\), 병행이동 |
| Vasicek | \(b(\theta^Q - R)\) | 상수 \(\beta\) | \(C(\tau)\) 지수감쇠, 평균회귀 |
| Hull–White | \(a^Q(t) - b(t)R\) | \(\beta(t)\) | 시간의존 파라미터, 초기곡선 적합 |
| CIR | \(b(\theta^Q - R)\) | \(\sigma\sqrt{R}\) | 음수 이자율 방지, 비선형 확산 |
Part 9. 전체 논리 흐름 요약
지금까지의 논리 전개를 한눈에 조감할 수 있도록, 각 단계의 핵심 아이디어와 그 연결 구조를 정리한다.
Step-by-Step 논리 흐름
① 출발점. 단기이자율 \(R(t)\)의 SDE를 설정하고, 채권가격을 \(B(t,T) = B(t, R(t); T)\)로 표현한다.
② 이토 공식 적용. \(B(t, R(t); T)\)에 이토 공식을 적용하여, 채권의 SDE를 편도함수 \(B_t, B_R, B_{RR}\)로 표현한다. 이 과정에서 \((dR)^2 = \beta^2\,dt\)에 의한 이토 보정항이 등장한다.
③ 계수 비교. 일반형 SDE (4.15)와 이토 전개 (4.19)의 계수를 비교하여, \(\mu_B\)와 \(\sigma_B\)를 편도함수로 표현하는 두 관계식 (4.20), (4.21)을 얻는다.
④ 무차익 논증. 서로 다른 만기의 두 채권으로 무위험 포트폴리오를 구성하고, 무차익 원리를 적용하여 위험의 시장가격 \(\lambda_t\)를 도출한다. 이로부터 \(\mu_B = R + \lambda_t \sigma_B\)를 얻는다.
⑤ PDE 완성. \(\mu_B\)를 \(R + \lambda_t\sigma_B\)로 치환하여 (4.21)에 대입하고, (4.20)을 이용하여 정리하면 채권가격 PDE (4.23)을 얻는다.
⑥ 기라노프 변환. \(dW^Q = dW + \lambda_t\,dt\)를 정의하여 위험중립측도 \(Q\)로 전환한다. 이에 따라 이자율 드리프트가 \(\alpha \to \alpha^Q = \alpha - \beta\lambda_t\)로 변경되고, 채권의 드리프트가 \(\mu_B \to R(t)\)로 단순화된다.
⑦ 위험중립 가격결정. Feynman–Kac 정리에 의해 PDE의 해는 \(B(t,T) = E_t^Q[\exp(-\int_t^T R(u)\,du)]\)로 표현되며, 이것이 할인채의 위험중립 가격결정 공식이다.
Part 10. 연습문제
(초급) 문제 1 — 이토 공식 적용
단기이자율이 \(dR = \alpha\,dt + \beta\,dW\)를 만족하고 \(B(t,T) = e^{-R(t)(T-t)}\)라 가정하자. 이토 공식을 적용하여 \(dB\)를 구하고, \(\mu_B\)와 \(\sigma_B\)를 식별하라.
(초급) 문제 2 — 무차익 조건
만기 \(T_1 = 1\)년, \(T_2 = 5\)년인 두 채권의 \(\mu_B\)와 \(\sigma_B\)가 각각 \(\mu_1 = 4\%\), \(\sigma_1 = -3\%\), \(\mu_2 = 6\%\), \(\sigma_2 = -8\%\)이고, 무위험이자율 \(R = 2\%\)일 때, 무차익 조건을 만족하는지 확인하라.
(중급) 문제 3 — 위험의 시장가격과 측도 전환
현실측도에서 \(dR = 0.05(0.04 - R)\,dt + 0.01\,dW\)이고 \(\lambda_t = -0.2\)일 때, 위험중립측도에서의 이자율 SDE를 구하라.
(중급) 문제 4 — PDE와 Feynman–Kac
채권가격 PDE \(B_t + \alpha^Q B_R + \frac{1}{2}\beta^2 B_{RR} - RB = 0\)에 종단조건 \(B(T,T) = 1\)이 주어졌을 때, 이 PDE의 확률적 표현(Feynman–Kac 공식)을 쓰고, 그 의미를 설명하라.
(상급) 문제 5 — 아핀 모형의 구조
위험중립 드리프트가 \(\alpha^Q = a + bR\)이고 확산이 \(\beta^2 = c + dR\)인 아핀 모형에서, \(B(t,T) = \exp(-A(\tau) - C(\tau)R)\) 형태의 해를 가정하고, \(C(\tau)\)와 \(A(\tau)\)가 만족하는 ODE를 유도하라.
Part 11. 모범답안 / 해설
해설 1
\(B = e^{-R\tau}\)에서 \(\tau = T - t\)이다. 편도함수를 구하면, \(B_t = R \cdot B\)(왜냐하면 \(\frac{\partial}{\partial t}e^{-R(T-t)} = R \cdot e^{-R\tau}\)), \(B_R = -\tau \cdot B\), \(B_{RR} = \tau^2 \cdot B\)이다. 이토 공식에 의해 다음을 얻는다.
$$dB = B_t\,dt + B_R\,dR + \frac{1}{2}\beta^2 B_{RR}\,dt$$ $$= RB\,dt - \tau B(\alpha\,dt + \beta\,dW) + \frac{1}{2}\beta^2\tau^2 B\,dt$$ $$= B\,(R - \tau\alpha + \frac{1}{2}\beta^2\tau^2)\,dt - B\tau\beta\,dW$$따라서 \(\mu_B = R - \tau\alpha + \frac{1}{2}\beta^2\tau^2\)이고 \(\sigma_B = -\tau\beta\)이다. \(\sigma_B < 0\)인 것은 이자율 상승 시 채권가격이 하락하는 역관계를 반영한다.
해설 2
무차익 조건은 모든 만기에 대해 \(\frac{\mu_B - R}{\sigma_B}\)가 동일해야 한다는 것이다. 만기 1년의 비율은 \(\frac{0.04 - 0.02}{-0.03} = \frac{0.02}{-0.03} = -\frac{2}{3} \approx -0.667\)이다. 만기 5년의 비율은 \(\frac{0.06 - 0.02}{-0.08} = \frac{0.04}{-0.08} = -0.5\)이다. 두 비율이 같지 않으므로(\(-0.667 \neq -0.5\)), 무차익 조건이 위반된다. 즉, 이 시장에서는 차익거래 기회가 존재한다.
해설 3
현실측도에서 \(\alpha = 0.05(0.04 - R)\), \(\beta = 0.01\), \(\lambda_t = -0.2\)이다. 위험중립 드리프트는 \(\alpha^Q = \alpha - \beta\lambda_t = 0.05(0.04 - R) - 0.01 \times (-0.2) = 0.05(0.04 - R) + 0.002\)이다. 이것을 정리하면 \(\alpha^Q = 0.002 + 0.002 - 0.05R = 0.004 - 0.05R = 0.05(0.08 - R)\)이다. 따라서 위험중립 SDE는 다음과 같다.
$$dR = 0.05(0.08 - R)\,dt + 0.01\,dW^Q$$현실측도에서의 장기 평균이 \(\theta = 0.04\)(4%)이었으나, 위험중립측도에서는 \(\theta^Q = 0.08\)(8%)로 상향되었다. 이것은 \(\lambda_t < 0\)이므로, 위험중립세계에서 이자율 드리프트가 현실세계보다 상향 조정된 것으로 해석할 수 있다.
해설 4
Feynman–Kac 정리에 의해 PDE의 해는 다음과 같은 확률적 표현을 가진다.
$$B(t,T) = E_t^Q\!\left[\exp\!\left(-\int_t^T R(u)\,du\right) \cdot 1\right] = E_t^Q\!\left[\exp\!\left(-\int_t^T R(u)\,du\right)\right]$$여기서 종단조건 \(B(T,T) = 1\)이 만기 지급액에 해당한다. 이 공식의 의미는, "위험중립측도 \(Q\) 하에서, 현재 시점 \(t\)에서 만기 \(T\)까지의 누적 할인인자 \(\exp(-\int_t^T R(u)\,du)\)의 조건부 기대값이 곧 할인채의 가격"이라는 것이다. 이 기대값에서 \(R(u)\)는 위험중립 SDE \(dR = \alpha^Q\,dt + \beta\,dW^Q\)를 따르는 확률과정으로 취급된다.
해설 5
\(B = \exp(-A - CR)\)를 PDE에 대입한다. \(B_t = (A' + C'R)B\), \(B_R = -CB\), \(B_{RR} = C^2 B\)이다(여기서 프라임은 \(\tau\)에 대한 도함수이고, \(d\tau/dt = -1\)에 주의). PDE에 대입하면 다음과 같다.
$$(A' + C'R) - (a + bR)C + \frac{1}{2}(c + dR)C^2 - R = 0$$\(R\)의 계수와 상수항을 분리한다. \(R\)의 계수: \(C' - bC + \frac{1}{2}dC^2 - 1 = 0\), 즉 \(C'(\tau) = 1 + bC - \frac{1}{2}dC^2\)이고 초기조건은 \(C(0) = 0\)이다. 상수항: \(A'(\tau) = aC - \frac{1}{2}cC^2\)이고 초기조건은 \(A(0) = 0\)이다. \(C(\tau)\)에 대한 ODE는 리카티 방정식(Riccati equation)이며, \(d = 0\)(Ho–Lee, Vasicek)이면 선형 ODE로 단순화된다.
핵심 공식 요약
| 항목 | 공식 | 식 번호 |
|---|---|---|
| 단기이자율 SDE (현실측도) | \(dR = \alpha\,dt + \beta\,dW\) | (4.4) |
| 채권 SDE (일반형) | \(dB / B = \mu_B\,dt + \sigma_B\,dW\) | (4.15) |
| 이토 전개 | \(dB = (B_t + \alpha B_R + \frac{1}{2}\beta^2 B_{RR})\,dt + \beta B_R\,dW\) | (4.19) |
| 확산 계수 관계 | \(\sigma_B B = \beta B_R\) | (4.20) |
| 드리프트 관계 | \(\mu_B B = B_t + \alpha B_R + \frac{1}{2}\beta^2 B_{RR}\) | (4.21) |
| 무차익 조건 | \((\mu_B - R) / \sigma_B = \lambda_t\) | (4.14) |
| 채권가격 PDE | \(B_t + (\alpha - \beta\lambda_t)B_R + \frac{1}{2}\beta^2 B_{RR} - RB = 0\) | (4.23) |
| 기라노프 변환 | \(dW^Q = dW + \lambda_t\,dt\) | (4.25) |
| 위험중립 채권 SDE | \(dB / B = R\,dt + \sigma_B\,dW^Q\) | (4.28) |
| 위험중립 가격결정 | \(B(t,T) = E_t^Q[\exp(-\int_t^T R\,du)]\) | — |
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