CHAPTER 4. Variance Swaps

Chapter 4. 분산스왑 — 복제의 교훈
Variance Swaps

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0. 이 장을 읽기 전에 알아야 할 배경지식

Chapter 4는 분산스왑(variance swap)이라는 파생상품을 다룹니다. 분산스왑은 "미래에 실현될 변동성의 제곱(분산)"을 사전에 합의된 고정 분산과 교환하는 계약으로, 옵션 시장에서 가장 중요한 상품 중 하나입니다. 이 장을 온전히 이해하려면 여러 가지 기초 개념이 먼저 단단히 잡혀 있어야 합니다. 이 절에서는 본문에 들어가기 전에 반드시 숙지해야 할 핵심 용어와 배경 이론을 하나씩 정리합니다.

0.1 핵심 용어 정의

실현 변동성과 실현 분산 (Realized Volatility & Realized Variance)

실현 변동성이란 실제로 관찰된 주가 경로로부터 사후적으로 측정한 변동성입니다. 구체적으로 말하면, 일정 기간 동안의 로그수익률을 관측한 뒤 그 제곱합(또는 제곱의 평균)을 구하여 연율화한 것입니다. 로그수익률(log return)은 다음과 같이 정의됩니다:

$$r_i = \ln\!\left(\frac{P_{t_i}}{P_{t_{i-1}}}\right)$$

여기서 \(P_{t_i}\)는 시점 \(t_i\)에서의 가격입니다. 로그수익률을 사용하는 이유는 여러 가지가 있지만, 가장 근본적인 이유는 로그수익률이 가산적(additive)이기 때문입니다. 즉, 여러 기간의 로그수익률을 단순히 더하면 전체 기간의 로그수익률이 됩니다. 이 성질은 분산을 계산할 때 매우 편리합니다.

실현 분산(realized variance)은 로그수익률의 제곱합을 적절히 연율화한 것입니다. 가장 간단한 형태는 평균을 제거하지 않는 경우입니다:

$$\mathrm{RV} = \frac{A}{n}\sum_{i=1}^{n} r_i^2$$

여기서 \(n\)은 관측 횟수이고, \(A\)는 연율화 계수입니다. 일간 관측이면 \(A = 252\)(1년 거래일 수), 주간이면 \(A = 52\) 등입니다. 실현 변동성은 이 실현 분산의 제곱근, 즉 \(\sigma_R = \sqrt{\mathrm{RV}}\)입니다.

분산스왑 계약에서는 종종 "평균 제거(mean removal)" 여부가 명시됩니다. 평균을 제거하면 \(\mathrm{RV} = \frac{A}{n-1}\sum(r_i - \bar{r})^2\)처럼 표본분산 형태가 되는데, 만기가 충분히 길고 관측이 빈번하면 평균 제거 여부의 차이는 미미합니다. 그러나 짧은 만기나 이벤트 구간에서는 차이가 무시할 수 없게 됩니다.

내재 변동성 (Implied Volatility)

내재 변동성이란 시장에서 관찰되는 옵션 가격에 BSM(Black-Scholes-Merton) 공식을 역으로 적용하여 추출한 변동성입니다. 예를 들어, 시장에서 특정 콜 옵션이 100원에 거래되고 있다면, BSM 공식의 변동성 입력을 조정하여 공식의 출력이 정확히 100원이 되는 변동성 값을 찾는 것입니다. 이 값이 바로 내재 변동성 \(\Sigma\)(또는 \(\sigma_I\))입니다.

내재 변동성은 "시장 참여자들이 합의한 미래 변동성에 대한 기대"로 종종 해석되지만, 보다 정확히 말하면 이것은 위험프리미엄, 수급, 점프 위험 등 다양한 요인이 응축된 합성 지표입니다. 내재 변동성이 미래 실현 변동성과 반드시 같을 필요는 없으며, 실제로도 일반적으로 다릅니다. 이 차이가 분산스왑 거래의 동기 중 하나입니다.

변동성 스마일 (Volatility Smile)

BSM 모형에서는 변동성이 상수라고 가정합니다. 만약 이 가정이 현실에서도 성립한다면, 같은 기초자산에 대해 서로 다른 행사가(strike)의 옵션에서 추출한 내재 변동성은 모두 동일해야 합니다. 그러나 현실에서는 행사가에 따라 내재 변동성이 달라집니다. 이 현상을 내재 변동성이 행사가의 함수로 "미소 짓는 것처럼" 보인다고 하여 변동성 스마일(volatility smile)이라 부릅니다.

주식 시장에서는 낮은 행사가의 풋 옵션이 높은 행사가의 콜 옵션보다 내재 변동성이 높은 경향이 있어 "스큐(skew)"라고도 부릅니다. 이 현상은 BSM 모형의 한계를 반영하며, 분산스왑의 공정가치가 단일 ATM 내재 변동성만으로는 결정되지 않고 스마일 전체의 정보를 필요로 한다는 사실의 배경이 됩니다.

복제 (Replication)

복제란 특정 파생상품의 만기 시 지급금(payoff)을 다른 거래 가능한 자산들의 포트폴리오로 재현하는 행위입니다. BSM 모형의 핵심 통찰은 "유럽형 옵션의 페이오프를 기초자산과 무위험 채권의 동적(dynamic) 조합으로 완벽히 복제할 수 있다"는 것입니다. 복제가 가능하면, 파생상품의 가격은 반드시 복제 비용과 같아야 합니다. 왜냐하면 만약 가격이 복제 비용보다 높다면 파생상품을 매도하고 복제 포트폴리오를 구성하여 무위험 이익을 얻을 수 있고(이것을 차익거래, arbitrage라 합니다), 반대라면 파생상품을 매수하고 복제 포트폴리오를 매도하여 무위험 이익을 얻을 수 있기 때문입니다.

분산스왑의 복제에서는 두 가지 종류의 복제가 등장합니다. 첫째, 기초자산의 동적 거래(매 순간 보유량을 조정)로 로그수익률을 축적하는 것, 둘째, 다양한 행사가의 옵션을 정적으로(한 번 사놓고 만기까지 보유) 결합하여 로그 페이오프를 만드는 것입니다. 이 두 복제의 결합이 분산스왑 프라이싱의 핵심입니다.

위험중립 가격결정 (Risk-Neutral Pricing)

파생상품 가격결정에는 크게 두 가지 접근법이 있습니다. 하나는 균형(equilibrium) 접근으로, CAPM이 대표적입니다. CAPM은 "왜 위험자산이 평균적으로 특정 기대수익률을 가져야 하는가"를 설명하는 균형 모형입니다:

$$E[R_i] - r_f = \beta_i\big(E[R_m] - r_f\big), \quad \beta_i = \frac{\mathrm{Cov}(R_i, R_m)}{\mathrm{Var}(R_m)}$$

그러나 파생상품(특히 옵션)은 기초자산의 비선형 함수이므로, CAPM으로 직접 다루면 계산이 매우 복잡해집니다. 그래서 실무에서는 위험중립(risk-neutral) 접근을 사용합니다.

위험중립 세계에서는 모든 자산의 기대수익률이 무위험이자율 \(r\)이 됩니다. 이것은 "현실의 기대수익률이 \(r\)이다"라는 뜻이 아니라, 가격을 계산할 때의 편의를 위해 확률 측도를 재조정(change of measure)한 결과입니다. 복제가 가능한(완전시장인) 경우, 이 확률 재조정은 실제 시장 가격과 동일한 정보를 담고 있으며, 파생상품 가격 = 위험중립 기대값의 할인값이 됩니다.

Chapter 4의 분산스왑 결과는 CAPM 같은 균형 가정이 아니라, "연속 확산 + 무차익 + 복제"에 뿌리를 둡니다. 따라서 이후 전개는 주로 위험중립 기대값과 복제 논리로 진행됩니다.

이토 보조정리 (Ito's Lemma)

확률 과정의 함수에 대한 미분 규칙으로, 결정론적 미적분학의 연쇄법칙(chain rule)에 대응하는 확률미적분의 핵심 도구입니다. 주가 \(S\)가 \(dS/S = \mu\,dt + \sigma\,dW\)를 따를 때, 임의의 매끄러운 함수 \(f(S,t)\)의 미분은 다음과 같습니다:

$$df = \frac{\partial f}{\partial t}\,dt + \frac{\partial f}{\partial S}\,dS + \frac{1}{2}\frac{\partial^2 f}{\partial S^2}\,(dS)^2$$

결정론적 미적분과의 결정적 차이는 마지막 항입니다. 확률 과정에서는 \((dS)^2 = \sigma^2 S^2\,dt\)가 0이 아니라 유한한 값을 가집니다(2차 변분, quadratic variation). Chapter 4에서 이토 보조정리가 결정적으로 사용되는 순간은, \(f(S) = \ln S\)를 적용할 때입니다. 이때 \(\partial^2(\ln S)/\partial S^2 = -1/S^2\)이므로, 2차 항이 \(-\frac{1}{2}\sigma^2\,dt\)를 만들어내고, 이것이 바로 분산스왑 복제의 수학적 기초가 됩니다.

그릭스: 감마(Gamma), 베가(Vega), 카파(Kappa)

감마(Gamma, \(\Gamma\))는 옵션 가격의 기초자산 가격에 대한 2차 도함수 \(\partial^2 C/\partial S^2\)입니다. 감마가 양수인 포지션(롱 옵션)을 델타 헤지하면, 기초자산 가격이 어느 방향으로 움직이든 이득을 보는 "볼록성 이익"이 발생합니다. 이 볼록성 이익이 바로 분산 노출의 원천입니다.

베가(Vega, \(\mathcal{V}\))는 옵션 가격의 변동성 \(\sigma\)에 대한 민감도 \(\partial C/\partial \sigma\)입니다. 변동성이 1%p 변할 때 옵션 가격이 얼마나 변하는지를 나타냅니다.

카파(Kappa, \(\kappa\))는 옵션 가격의 분산 \(\sigma^2\)에 대한 민감도 \(\partial C/\partial(\sigma^2)\)입니다. 분산스왑은 \(\sigma^2\)에 선형인 페이오프를 가지므로, 카파가 베가보다 개념적으로 더 자연스러운 민감도입니다. 베가와 카파는 연쇄법칙으로 \(\kappa = \mathcal{V}/(2\sigma)\)라는 관계로 연결됩니다.

0.2 분산스왑이 왜 중요한가: 이 장을 읽어야 하는 이유

분산스왑은 단순히 "변동성에 베팅하는 상품"을 넘어, 파생상품 이론의 여러 핵심 아이디어가 교차하는 지점에 위치합니다. 이 장을 통해 배울 수 있는 것들을 정리하면 다음과 같습니다.

첫째, 복제의 일반 원리를 배울 수 있습니다. BSM 이론에서 바닐라 옵션의 복제는 "기초자산 + 채권"의 동적 포트폴리오로 이루어집니다. 분산스왑의 복제는 이보다 한 단계 더 나아가, "옵션 스트립의 정적 포트폴리오 + 기초자산의 동적 거래"라는 혼합 복제(hybrid replication)를 사용합니다. 이 과정에서 정적 복제와 동적 복제의 차이, 그리고 그 결합이 어떤 조건에서 가능한지를 체계적으로 이해할 수 있습니다.

둘째, \(1/K^2\) 가중치의 의미를 배울 수 있습니다. 왜 하필 \(1/K^2\)으로 옵션을 가중해야 하는지, 그 수학적 근거와 직관적 해석을 이해하면, VIX 지수의 산출 방법론이 자연스럽게 따라옵니다.

셋째, 모델-프리(model-free) 가격결정의 의미와 한계를 배울 수 있습니다. 분산스왑의 공정가치는 BSM의 상수 변동성 가정 없이도 유도됩니다. 필요한 것은 "주가가 점프 없이 연속적으로 움직인다"는 가정뿐입니다. 이것이 분산스왑이 "모델-프리"로 불리는 이유이며, 동시에 점프가 있을 때 복제가 깨지는 이유이기도 합니다.

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1. 옵션의 변동성 민감도: 분산 노출의 시작

분산스왑을 이해하는 여정은 "옵션이 왜 변동성에 민감한가?"라는 질문에서 시작합니다. 이 질문에 대한 답은 BSM 편미분방정식과 옵션의 그릭스(Greeks)에 담겨 있습니다.

1.1 BSM 편미분방정식의 복습과 재해석

무배당 주식 \(S\)에 대한 파생상품의 가격 \(C(S, t)\)가 BSM 가정(상수 변동성, 연속 거래, 거래비용 없음) 하에서 만족하는 편미분방정식은 다음과 같습니다:

식 (4.1): BSM 편미분방정식

$$\frac{\partial C}{\partial t} + rS\frac{\partial C}{\partial S} + \frac{1}{2}\sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 C}{\partial S^2} = rC \tag{4.1}$$

이 방정식의 각 항이 무엇을 의미하는지 하나씩 살펴보겠습니다. \(\partial C/\partial t\)는 시간의 경과에 따른 옵션 가치의 변화(theta)입니다. 시간이 지나면 만기까지의 불확실성이 줄어들기 때문에 옵션의 시간가치가 감소합니다. \(rS \cdot \partial C/\partial S\)는 위험중립 세계에서 주가의 기대 성장(\(rS\,dt\))이 옵션 가치에 미치는 영향입니다. \(\frac{1}{2}\sigma^2 S^2 \cdot \partial^2 C/\partial S^2\)는 주가 변동의 2차 효과, 즉 감마에 의한 볼록성 이득입니다. 그리고 우변의 \(rC\)는 옵션을 보유하는 대신 무위험 자산에 투자했다면 얻었을 기회비용입니다.

이 방정식의 물리적 의미를 한 문장으로 요약하면 이렇습니다: "theta에 의한 시간가치 감소 + 위험중립 드리프트 효과 + 감마에 의한 볼록성 이득 = 무위험 기회비용". BSM 세계에서는 이 네 가지가 정확히 균형을 이루어 차익거래가 존재하지 않습니다.

1.2 BSM 콜 가격 공식

BSM PDE의 해, 즉 유럽형 콜 옵션의 가격은 다음과 같이 주어집니다:

식 (4.2): BSM 콜 가격 공식

$$C(S, K, \tau, \sigma, r) = S\,N(d_1) - K\,e^{-r\tau}\,N(d_2) \tag{4.2}$$ $$d_{1} = \frac{\ln(S/K) + (r + \sigma^2/2)\,\tau}{\sigma\sqrt{\tau}}, \quad d_{2} = d_{1} - \sigma\sqrt{\tau}$$ $$N(z) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{z} e^{-y^2/2}\,dy$$

이 공식의 구조를 직관적으로 이해하는 한 가지 방법은 다음과 같습니다. \(S \cdot N(d_1)\)은 "옵션이 행사될 경우 받게 될 주식의 현재가치"이고, \(K e^{-r\tau} N(d_2)\)는 "옵션이 행사될 경우 지불해야 할 행사가격의 현재가치"입니다. \(N(d_2)\)는 위험중립 세계에서 옵션이 내가격(in-the-money)으로 만기될 확률로 해석할 수 있습니다.

1.3 총변동성 \(v = \sigma\sqrt{\tau}\)와 직관

옵션의 만기까지 남은 기간 동안 누적되는 불확실성의 크기는 변동성 \(\sigma\)와 시간 \(\tau\)가 개별적으로가 아니라, 이 둘의 결합인 \(\sigma\sqrt{\tau}\)로 결정됩니다. 이를 총변동성(total volatility)이라 부르고 \(v = \sigma\sqrt{\tau}\)로 표기합니다.

총변동성이 하나의 복합 변수로서 중요한 이유는, 옵션 가격이 궁극적으로 \(\sigma\)와 \(\tau\)를 개별적으로 알아야 하는 것이 아니라, 그 결합인 \(v\)에 의해 주로 결정되기 때문입니다. 예를 들어, 변동성 20%에 만기 1년인 옵션과, 변동성 40%에 만기 3개월인 옵션은 매우 다른 파라미터를 가지고 있지만, 총변동성이 각각 20%와 20%로 비슷하므로 (정확히 같지는 않지만) 옵션의 ATM 가치도 비슷합니다.

교육적 단순화를 위해 \(r = 0\)으로 두면 BSM 공식이 한층 깔끔해집니다:

식 (4.3): 단순화된 BSM 콜 (r = 0)

$$C(S, K, v) = S\,N(d_1) - K\,N(d_2) \tag{4.3}$$ $$d_{1,2} = \frac{1}{v}\ln\!\left(\frac{S}{K}\right) \pm \frac{v}{2}$$

1.4 Vega와 Kappa: 변동성 민감도와 분산 민감도

옵션 트레이딩에서 가장 중요한 민감도 중 하나가 "변동성 변화에 대한 가격 변화"입니다. 이 민감도에는 두 가지 표현 방식이 있습니다. 변동성 \(\sigma\)에 대한 미분을 베가(vega)라 하고, 분산 \(\sigma^2\)에 대한 미분을 카파(kappa) 또는 분산 베가(variance vega)라 합니다.

식 (4.4a): Vega

$$\mathcal{V} = \frac{\partial C}{\partial \sigma} = \frac{S\sqrt{\tau}}{\sqrt{2\pi}}\,e^{-d_1^2/2} = S\sqrt{\tau}\,\phi(d_1) \tag{4.4a}$$

여기서 \(\phi(z) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-z^2/2}\)는 표준정규분포의 확률밀도함수(PDF)입니다.

식 (4.4b): Kappa (분산 베가)

$$\kappa = \frac{\partial C}{\partial(\sigma^2)} = \frac{S\sqrt{\tau}}{2\sigma\sqrt{2\pi}}\,e^{-d_1^2/2} \tag{4.4b}$$

베가와 카파의 관계는 연쇄법칙(chain rule)으로 즉시 도출됩니다:

Vega-Kappa 관계 유도

\(\sigma^2\)을 \(u\)로 두면 \(\sigma = \sqrt{u}\)이므로 \(d\sigma/du = 1/(2\sigma)\)입니다. 연쇄법칙에 의해:

$$\kappa = \frac{\partial C}{\partial u} = \frac{\partial C}{\partial \sigma}\cdot\frac{\partial \sigma}{\partial u} = \mathcal{V}\cdot\frac{1}{2\sigma}$$

식 (4.4c): Vega-Kappa 관계

$$\boxed{\kappa = \frac{\mathcal{V}}{2\sigma}} \tag{4.4c}$$

분산스왑의 페이오프가 \(\sigma_R^2 - \sigma_K^2\), 즉 분산에 선형이라는 점을 고려하면, "분산 1단위 변화당 옵션 가격 변화"를 나타내는 카파가 베가보다 분산스왑 맥락에서 더 자연스러운 민감도입니다. 하지만 시장에서 옵션 호가는 대개 변동성 단위로 표시되므로, 베가도 실무적으로 여전히 중요합니다.

1.5 감마와 분산 노출의 연결: 왜 옵션에서 분산이 나타나는가

이제 가장 중요한 연결 고리를 살펴봅니다. 델타 헤지된 옵션 포지션이 왜 분산(수익률의 제곱)에 민감한 손익을 만들어내는가? 이 질문에 답하기 위해 테일러 전개를 사용합니다.

아주 짧은 시간 \(dt\) 동안 주가 변화가 \(dS\)일 때, 옵션 가격의 변화를 테일러 전개하면:

식 (4.5): 옵션 가격의 테일러 전개

$$dC \approx \underbrace{\Delta\,dS}_{\text{1차: 선형}} + \underbrace{\frac{1}{2}\Gamma\,(dS)^2}_{\text{2차: 볼록성}} + \underbrace{\Theta\,dt}_{\text{시간 감소}} + \cdots \tag{4.5}$$

여기서 \(\Delta = \partial C/\partial S\)는 델타, \(\Gamma = \partial^2 C/\partial S^2\)는 감마, \(\Theta = \partial C/\partial t\)는 세타입니다. 이 전개의 물리적 의미를 하나씩 짚어보겠습니다.

첫째 항 \(\Delta\,dS\)는 기초자산 가격의 1차(선형) 변화에 대한 옵션 가격의 반응입니다. 델타 헤징이란 바로 이 항을 상쇄시키는 행위입니다. 옵션을 보유하면서 \(-\Delta\)만큼의 주식을 동시에 보유하면, 주가가 \(dS\)만큼 움직일 때 옵션에서 \(\Delta\,dS\)를 얻고 주식에서 \(-\Delta\,dS\)를 잃어(또는 그 반대) 1차 효과가 정확히 상쇄됩니다.

그러면 델타 헤지 후 남는 것은 무엇인가? 바로 둘째 항 \(\frac{1}{2}\Gamma(dS)^2\)입니다. 이것이 핵심입니다. \((dS)^2\)은 주가 변화의 제곱이며, 확률 과정에서 \((dS)^2 = \sigma^2 S^2\,dt\)(연속시간 극한)이므로, 이 항은 바로 변동성의 제곱, 즉 분산에 비례합니다. 따라서 감마가 양인 포지션(롱 옵션)을 델타 헤지하면, 분산에 비례하는 손익이 자연스럽게 발생합니다.

[핵심 통찰]

델타 헤지된 옵션 포지션의 손익에서, 1차 항(델타)은 상쇄되고 남는 것은 감마에 의한 2차 항입니다. 이 2차 항은 \((dS)^2 = \sigma^2 S^2\,dt\)를 통해 분산에 직접 연결됩니다. 이것이 "옵션을 델타 헤지하면 분산에 대한 베팅이 된다"는 주장의 수학적 근거입니다.

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2. Kappa가 최대인 기초자산 가격 (연습문제)

2.1 문제

식 (4.4b)를 이용하여, 카파 \(\kappa\)가 최대가 되는 기초자산 가격 \(S^*\)를 구하시오. (가정: \(r = 0\), 무배당, \(K, \sigma, \tau\)는 상수)

2.2 상세 풀이

Step 1: 카파 함수의 명시적 표현

식 (4.4b)에서 카파는 다음과 같습니다:

$$\kappa(S) = \frac{S\sqrt{\tau}}{2\sigma\sqrt{2\pi}}\,e^{-d_1^2/2}$$

여기서 \(r = 0\)이면:

$$d_1 = \frac{\ln(S/K) + \frac{1}{2}\sigma^2\tau}{\sigma\sqrt{\tau}} = \frac{\ln(S/K)}{v} + \frac{v}{2}, \quad v = \sigma\sqrt{\tau}$$

Step 2: \(\kappa\)를 \(S\)로 미분

\(\kappa\)는 두 부분의 곱입니다. \(S\)(선형 증가)와 \(e^{-d_1^2/2}\)(종 모양 감소)의 곱이므로, 곱의 미분법(product rule)을 적용합니다.

미분 과정

\(A = \frac{\sqrt{\tau}}{2\sigma\sqrt{2\pi}}\)를 상수로 두면 \(\kappa = A \cdot S \cdot e^{-d_1^2/2}\)입니다.

Step 2-1: \(d_1\)의 \(S\) 미분을 먼저 구합니다.

$$\frac{\partial d_1}{\partial S} = \frac{1}{v} \cdot \frac{1}{S} = \frac{1}{vS}$$

Step 2-2: 지수 함수 부분의 \(S\) 미분:

$$\frac{\partial}{\partial S}\left(e^{-d_1^2/2}\right) = e^{-d_1^2/2} \cdot \left(-d_1\right) \cdot \frac{\partial d_1}{\partial S} = -\frac{d_1}{vS}\,e^{-d_1^2/2}$$

Step 2-3: 곱의 미분법 적용:

$$\frac{\partial \kappa}{\partial S} = A\left[e^{-d_1^2/2} + S\cdot\left(-\frac{d_1}{vS}\right)e^{-d_1^2/2}\right] = A\,e^{-d_1^2/2}\left(1 - \frac{d_1}{v}\right)$$

식 (4.6): 카파의 \(S\) 미분

$$\frac{\partial \kappa}{\partial S} = \frac{\sqrt{\tau}}{2\sigma\sqrt{2\pi}}\,e^{-d_1^2/2}\left(1 - \frac{d_1}{v}\right) \tag{4.6}$$

Step 3: 최대 조건

\(\kappa\)가 최대가 되려면 \(\partial\kappa/\partial S = 0\)이어야 합니다. 식 (4.6)에서 \(e^{-d_1^2/2} > 0\)이고 앞의 상수도 양수이므로, 괄호 안이 0이 되어야 합니다:

$$1 - \frac{d_1}{v} = 0 \quad \Rightarrow \quad d_1 = v$$

\(d_1\)의 정의를 대입합니다:

$$\frac{\ln(S^*/K) + \frac{1}{2}v^2}{v} = v$$ $$\ln(S^*/K) + \frac{1}{2}v^2 = v^2$$

식 (4.7)-(4.8): Kappa 최대점

$$\ln\!\left(\frac{S^*}{K}\right) = \frac{1}{2}v^2 = \frac{1}{2}\sigma^2\tau \tag{4.7}$$ $$\boxed{S^* = K\,e^{\sigma^2\tau/2}} \tag{4.8}$$

Step 4: 해석

이 결과의 의미를 살펴보겠습니다. 변동성이 20%이고 만기가 1년(\(\tau = 1\))이면, \(\sigma^2\tau/2 = 0.04/2 = 0.02\)이므로 \(S^* = K \cdot e^{0.02} \approx 1.0202K\)입니다. 즉, 카파가 최대인 지점은 행사가보다 약 2% 높은 곳입니다. 만기가 짧거나 변동성이 낮으면 \(\sigma^2\tau\)가 더 작아져 \(S^* \approx K\)가 됩니다. 다시 말해, 카파(그리고 베가도)는 대체로 등가격(ATM) 부근에서 가장 큽니다. 이것은 ATM 옵션이 변동성에 가장 민감하다는, 실무에서 잘 알려진 사실과 일치합니다.

\(S^*\)가 정확히 \(K\)가 아니라 약간 위에 있는 이유는, 카파가 \(S\)에 대한 선형 증가 부분(\(S\))과 종 모양 감소 부분(\(e^{-d_1^2/2}\))의 곱이기 때문입니다. 선형 부분이 약간 위쪽으로 밀어내는 효과가 있어, 최대점이 \(K\) 바로 위에 놓입니다.

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3. 변동성 스왑과 분산 스왑: 구조와 볼록성

이제 분산스왑의 기본 구조를 정의합니다. 변동성 스왑과 분산스왑은 이름이 비슷하지만, 수학적으로는 중요한 차이가 있습니다. 이 차이를 이해하는 것이 이 절의 목표입니다.

3.1 기본 구조

변동성 스왑(volatility swap)은 만기 시 실현 변동성 \(\sigma_R\)과 사전에 합의된 고정 변동성 \(\sigma_K\)(행사 변동성)의 차이를 명목금액에 곱하여 정산합니다:

식 (4.9): 변동성 스왑의 만기 지급금

$$\pi_{\text{vol}} = N_{\text{vol}}(\sigma_R - \sigma_K) \tag{4.9}$$

\(N_{\text{vol}}\)은 변동성 명목(vega notional)으로, "변동성 1%p 변화당 얼마의 손익"인지를 결정합니다.

분산스왑(variance swap)은 실현 분산 \(\sigma_R^2\)과 고정 분산 \(\sigma_K^2\)의 차이를 정산합니다:

식 (4.10): 분산스왑의 만기 지급금

$$\pi_{\text{var}} = N_{\text{var}}(\sigma_R^2 - \sigma_K^2) \tag{4.10}$$

\(N_{\text{var}}\)는 분산 명목(variance notional)으로, "분산 1단위 변화당 얼마의 손익"인지를 결정합니다.

두 스왑의 차이를 이해하기 위해 간단한 예를 들어보겠습니다. 행사 변동성이 20%(행사 분산 0.04)이고, 실현 변동성이 25%(실현 분산 0.0625)인 경우를 생각합시다. 변동성 스왑 매수자는 \(25\% - 20\% = 5\%p\)에 명목을 곱한 금액을 받습니다. 분산스왑 매수자는 \(0.0625 - 0.04 = 0.0225\)에 명목을 곱한 금액을 받습니다. 같은 변동성 변화(20%에서 25%로)에 대해 두 스왑의 손익은 다른 크기를 가지며, 명목금액의 환산이 필요합니다.

3.2 명목금액의 환산: 1차 근사

\(\sigma_R\)이 \(\sigma_K\) 근처에서 크게 벗어나지 않는다고 가정하면, 분산의 차이를 변동성의 차이로 근사할 수 있습니다. 고교 수학의 인수분해를 사용합니다:

식 (4.11): 분산-변동성 1차 근사

$$\sigma_R^2 - \sigma_K^2 = (\sigma_R - \sigma_K)(\sigma_R + \sigma_K) \approx 2\sigma_K(\sigma_R - \sigma_K) \tag{4.11}$$

마지막 근사에서 \(\sigma_R + \sigma_K \approx 2\sigma_K\)를 사용했습니다. 이것은 \(\sigma_R \approx \sigma_K\)일 때, 즉 실현 변동성이 행사 변동성에서 크게 벗어나지 않을 때 유효합니다.

이 근사로부터, 변동성 스왑과 분산스왑이 같은 손익을 주려면 명목금액이 다음 관계를 만족해야 합니다:

$$N_{\text{vol}}(\sigma_R - \sigma_K) \approx N_{\text{var}} \cdot 2\sigma_K(\sigma_R - \sigma_K)$$ $$\therefore\; N_{\text{var}} = \frac{N_{\text{vol}}}{2\sigma_K}$$

예를 들어, 변동성 명목이 100만 달러이고 행사 변동성이 25%이면, 분산 명목은 \(1{,}000{,}000 / (2 \times 0.25) = 2{,}000{,}000\) 달러입니다. 이 환산은 "작은 변동" 근사에 기반하므로, 변동성이 크게 움직이면 오차가 발생합니다. 이 오차가 바로 "볼록성 효과"의 실무적 표현입니다.

3.3 볼록성 효과: 왜 분산스왑이 더 "비싸" 보이는가

분산은 변동성의 제곱입니다. 함수 \(f(x) = x^2\)은 볼록(convex)한 함수입니다. 볼록함수에 대해서는 유명한 젠센 부등식(Jensen's inequality)이 성립합니다:

식 (4.12): 젠센 부등식과 볼록성 조정

$$E[\sigma_R]^2 \le E[\sigma_R^2] \tag{4.12}$$ $$\therefore\; E[\sigma_R] \le \sqrt{E[\sigma_R^2]}$$

이 부등식의 의미를 풀어보겠습니다. 좌변 \(E[\sigma_R]\)은 변동성 스왑의 공정 행사가에 해당합니다. 우변 \(\sqrt{E[\sigma_R^2]}\)는 분산스왑의 공정 행사분산의 제곱근에 해당합니다. 따라서 "분산스왑의 행사분산을 제곱근으로 변환한 값"은 "변동성 스왑의 공정 행사 변동성"보다 항상 크거나 같습니다.

직관적으로 이렇게 이해할 수 있습니다. 분산스왑은 변동성의 제곱에 선형입니다. 변동성이 크게 올라갈 때의 분산 증가(예: 20%에서 40%로 가면 분산은 0.04에서 0.16으로 4배)는, 변동성이 같은 크기로 내려갈 때의 분산 감소(20%에서 0%로 가면 분산은 0.04에서 0으로)보다 절대적으로 큽니다. 따라서 분산스왑의 매수자는 "변동성이 올라갈 때 비대칭적으로 큰 이익"을 보게 되고, 이 비대칭성에 대한 프리미엄이 분산스왑 행사가에 반영됩니다. 이것을 볼록성 조정(convexity adjustment)이라 부릅니다.

볼록성 조정의 크기: 볼록성 조정의 정밀한 크기는 변동성 자체의 변동성(vol-of-vol)에 의해 결정됩니다. Vol-of-vol이 높을수록 변동성의 분포가 넓어지고, 젠센 부등식의 부등호가 더 엄격해져 볼록성 조정이 커집니다. 일반적으로 주식 지수 분산스왑에서 볼록성 조정은 0.5~2%p 정도이지만, 시장 스트레스 시에는 상당히 커질 수 있습니다.

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4. 델타 헤지 P&L과 분산 노출

분산스왑 복제의 핵심을 이해하기 위해, 델타 헤지된 옵션 포지션의 손익을 좀 더 정밀하게 분석합니다. 이 분석은 Chapter 5에서 더 깊이 다루어지지만, 여기서는 분산스왑 복제에 필요한 핵심 결과만을 도출합니다.

4.1 순간 P&L의 핵심 형태

옵션을 매수하고 델타 헤지(즉, \(-\Delta\)만큼의 주식 보유)를 수행하는 포트폴리오를 구성합니다. 아주 짧은 시간 \(dt\) 동안, 이 헤지 포트폴리오의 순간적 손익은 다음과 같이 표현됩니다:

식 (4.13): 델타 헤지 순간 P&L

$$\mathrm{P\&L} \approx \frac{1}{2}\Gamma S^2(\sigma_R^2 - \Sigma^2)\,dt \tag{4.13}$$

여기서 \(\sigma_R\)은 실제로 발생한(실현된) 순간 변동성이고, \(\Sigma\)는 옵션 가격에 내재된(그리고 헤지 설계에 사용된) 내재 변동성입니다.

이 공식의 유도 과정을 개략적으로 설명하면 다음과 같습니다. 델타 헤지 포트폴리오의 가치 변화는 \(d\pi = dC - \Delta\,dS\)입니다. 여기에 이토 보조정리를 적용하면 \(\Delta\,dS\) 항이 상쇄되고, 남는 것은 theta 항과 감마 항입니다. BSM PDE를 사용하여 theta를 제거하면, 순간 P&L이 감마와 "실현 분산 vs 내재 분산"의 차이에 비례한다는 결과를 얻습니다. 이 유도는 Chapter 5와 Chapter 6에서 상세히 다루어지므로 여기서는 결과만 사용합니다.

4.2 왜 단일 옵션은 "깨끗한" 분산 베팅이 아닌가

식 (4.13)은 분산스왑의 페이오프 구조(\(\sigma_R^2 - \sigma_K^2\)에 비례)와 매우 유사하게 생겼습니다. 그러나 결정적인 차이가 하나 있습니다. 바로 앞에 붙어 있는 \(\frac{1}{2}\Gamma S^2\) 계수입니다.

이 계수가 상수라면, 식 (4.13)을 만기까지 적분하면 깔끔하게 \(\int_0^T \sigma_R^2\,dt - \int_0^T \Sigma^2\,dt\)에 비례하는 누적 P&L을 얻을 것이고, 이것은 완벽한 분산스왑 복제가 됩니다. 그러나 현실은 그렇지 않습니다.

[핵심 문제: \(\Gamma S^2\)는 상수가 아니다]

바닐라 옵션의 감마 \(\Gamma\)는 주가 \(S\)와 잔존만기 \(\tau\)에 따라 크게 변합니다. ATM 근처에서 감마가 최대이고, 깊은 ITM이나 OTM에서는 감마가 거의 0에 수렴합니다. 또한 만기가 가까워질수록 ATM 감마는 급격히 커지고(핀 리스크), ITM/OTM 감마는 급격히 줄어듭니다. 따라서 \(\Gamma S^2\)는 주가 경로에 따라 끊임없이 변하는 확률변수입니다.

이것이 의미하는 바는, 단일 옵션을 델타 헤지하면 분산에 대한 베팅이 되긴 하지만, 그 "베팅의 가중치"가 주가와 시간에 따라 계속 바뀌어 경로 의존적이라는 것입니다. 주가가 행사가 근처에 머물면 감마가 크므로 P&L이 크고, 행사가에서 멀어지면 감마가 줄어 P&L이 작아집니다. 이것은 "순수한" 분산 베팅이 아닙니다.

분산스왑은 바로 이 문제를 해결합니다. 분산스왑의 페이오프는 \(\sigma_R^2 - \sigma_K^2\)에 정확히 선형이며, 주가 경로에 의존하지 않습니다(점프가 없는 한). 어떻게 이것이 가능한가? 답은 "\(\Gamma S^2\)가 항상 상수가 되는 특별한 포트폴리오"를 찾는 것에 있습니다.

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5. \(\Gamma S^2 = 1\) 만들기: 로그계약의 등장

이제 목표가 뚜렷해졌습니다. 식 (4.13)에서 \(\frac{1}{2}\Gamma S^2(\sigma_R^2 - \Sigma^2)\,dt\)의 형태를 보면, 만약 \(\Gamma S^2\)가 항상 1이 되도록 만들 수 있다면, 순간 P&L이 \(\frac{1}{2}(\sigma_R^2 - \Sigma^2)\,dt\)로 깔끔해지고, 이것을 만기까지 적분하면 "순수한 분산 노출"을 얻을 수 있습니다. 그렇다면 \(\Gamma S^2 = 1\)을 만족하는 파생상품은 어떤 형태일까요?

5.1 \(\Gamma = 1/S^2\)를 만족하는 함수 찾기

\(\Gamma S^2 = 1\)이 되려면 \(\Gamma = 1/S^2\)이어야 합니다. 감마는 가격 함수의 2차 도함수 \(\partial^2 f/\partial S^2\)이므로, 다음 미분방정식을 풀어야 합니다:

$$\frac{\partial^2 f}{\partial S^2} = \frac{1}{S^2}$$

이것은 간단한 2차 상미분방정식입니다. 한 번 적분하면 \(\partial f/\partial S = -1/S + \text{상수}\), 한 번 더 적분하면:

$$f(S) = -\ln S + aS + b$$

여기서 \(a\)와 \(b\)는 적분 상수입니다. \(aS\) 항은 주식(선형 함수)에 해당하고, \(b\)는 상수(무위험 채권에 해당)이므로, 본질적인 부분은 \(-\ln S\)입니다. 즉, 로그 함수(또는 그 음수)가 \(\Gamma S^2 = 1\)을 만족하는 유일한 비선형 함수입니다.

[핵심 발견]

$$\text{만약 } f(S) = -\ln S \text{이면, } \frac{\partial^2 f}{\partial S^2} = \frac{1}{S^2} \text{이므로}$$ $$\Gamma S^2 = \frac{1}{S^2} \cdot S^2 = 1 \quad \text{(항상 상수)} \tag{4.14}$$

이것이 분산 복제에서 로그가 등장하는 근본적인 이유입니다. 로그 함수의 "곡률"(\(1/S^2\))이 \(S^2\)과 정확히 상쇄되어 주가에 무관한 상수 \(\Gamma S^2\)를 만들어냅니다.

5.2 로그계약의 정의

만기 \(T\)에 \(\ln(S_T/S^*)\)를 지급하는 계약을 로그계약(log contract)이라 합니다. 여기서 \(S^*\)는 참조 가격(reference price)으로, 보통 거래 시점의 주가 \(S_0\) 또는 선도가격(forward price) \(F_0\)를 사용합니다. 로그계약의 페이오프는 주가가 \(S^*\)보다 높으면 양, 낮으면 음입니다. 그리고 이 페이오프의 크기는 주가 변화가 클수록 증가하지만, 단순한 선형 관계가 아니라 로그적으로 증가합니다.

BSM 세계(\(r = 0\), 상수 \(\sigma\))에서 로그계약의 시점 \(t\)에서의 가치는 다음과 같이 주어집니다:

식 (4.17): BSM 세계에서 로그계약의 가치

$$L(S, S^*, t, T) = \ln\!\left(\frac{S}{S^*}\right) - \frac{1}{2}\sigma^2(T - t) \tag{4.17}$$

식 (4.17)의 유도

\(r = 0\)인 위험중립 세계에서 \(\ln(S_T/S^*)\)의 기대값을 구합니다. GBM에서 \(\ln S_T = \ln S_t + (r - \sigma^2/2)(T-t) + \sigma(W_T - W_t)\)이고, \(r = 0\)이면:

$$E^Q\!\left[\ln\!\left(\frac{S_T}{S^*}\right)\bigg|\mathcal{F}_t\right] = E^Q\!\left[\ln S_T - \ln S^*\right] = \ln S_t - \frac{1}{2}\sigma^2(T-t) - \ln S^*$$ $$= \ln\!\left(\frac{S_t}{S^*}\right) - \frac{1}{2}\sigma^2(T-t)$$

\(r = 0\)이므로 할인 불필요. 이것이 곧 로그계약의 현재 가치입니다.

식 (4.17)의 구조를 주의 깊게 살펴보면, 두 번째 항 \(-\frac{1}{2}\sigma^2(T-t)\)이 \(\sigma^2\)에 선형입니다. 이 선형성이야말로 "로그계약이 분산을 복제한다"는 주장의 수학적 핵심입니다. 로그계약의 숏(매도) 포지션을 취하면:

식 (4.18): 로그계약 숏의 가치

$$-L(S, S^*, t, T) = -\ln\!\left(\frac{S}{S^*}\right) + \frac{1}{2}\sigma^2(T-t) \tag{4.18}$$

이 식에서 \(\frac{1}{2}\sigma^2(T-t)\)은 "잔존만기 동안의 잔여 분산의 절반"에 해당합니다. 로그계약을 숏하면 이 분산에 대한 롱 노출을 얻습니다.

5.3 스케일링: 분산 1단위 노출 만들기

\(-L\)의 분산 \(\sigma^2\)에 대한 민감도는 \((T-t)/2\)입니다. 시작 시점(\(t = 0\))에서는 \(T/2\)입니다. 따라서 분산 1단위에 정확히 대응하는 노출을 만들려면 \(-L\)에 \(2/T\)를 곱합니다.

이 스케일링된 포트폴리오를 옵션 스트립의 언어로 표현하면(식 (4.16)을 사용하여 로그를 옵션으로 분해):

식 (4.19): 스케일된 분산 복제 포트폴리오

$$\Pi(S, t) = \frac{2}{T}\left[\frac{S - S^*}{S^*} - \ln\!\left(\frac{S}{S^*}\right)\right] + \frac{T - t}{T}\,\sigma^2 \tag{4.19}$$

특히 \(S^* = S_0\)로 두고 시작 시점(\(t = 0\), \(S = S_0\))에서 평가하면, 첫 번째 대괄호 안의 두 항이 모두 0이 됩니다(\(\frac{S_0 - S_0}{S_0} = 0\), \(\ln(S_0/S_0) = 0\)). 따라서:

$$\Pi(S_0, 0) = 0 + \sigma^2 = \sigma^2$$

[핵심 결과] 복제 포트폴리오의 초기 가치가 곧 \(\sigma^2\), 즉 공정 분산(fair variance)입니다. 이것은 분산스왑의 공정 행사가(variance swap strike)가 이 복제 포트폴리오의 비용으로 결정된다는 것을 의미합니다.

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6. \(1/K^2\) 가중 옵션 스트립과 로그 페이오프

로그계약이 분산을 복제한다는 것은 알았지만, 실제 시장에서 로그계약은 직접 거래되지 않습니다. 따라서 로그계약의 페이오프를 시장에서 거래되는 바닐라 옵션들의 조합으로 만들어야 합니다. 이 절에서는 어떻게 OTM 옵션들을 \(1/K^2\)로 가중하여 로그 페이오프를 정적으로 복제하는지를 보여줍니다.

6.1 임의 페이오프의 옵션 분해: 이론적 배경

먼저 일반적인 원리를 설명합니다. 임의의 (충분히 매끄러운) 만기 페이오프 \(g(S_T)\)는 주식, 채권, 그리고 모든 행사가의 콜/풋 옵션을 적절히 결합하여 만들 수 있습니다. 이것은 Breeden-Litzenberger (1978) 결과의 확장으로, 핵심 아이디어는 페이오프의 2차 도함수가 옵션의 "가중치"를 결정한다는 것입니다.

수학적으로, 분기점(pivot) \(S^*\)를 기준으로:

$$g(S_T) = g(S^*) + g'(S^*)(S_T - S^*) + \int_0^{S^*} g''(K)(K - S_T)^+\,dK + \int_{S^*}^{\infty} g''(K)(S_T - K)^+\,dK$$

이 식의 첫 두 항은 상수와 선형 함수이므로 채권과 주식(또는 선도)으로 복제됩니다. 나머지 두 적분은 각각 풋 옵션과 콜 옵션의 가중합입니다. 가중치는 \(g''(K)\), 즉 목표 페이오프의 2차 도함수(곡률)에 의해 결정됩니다.

6.2 로그 페이오프의 2차 도함수

이제 우리의 목표 페이오프 \(g(S_T) = -\ln(S_T/S^*)\)에 이 일반 원리를 적용합니다. \(g(x) = -\ln(x/S^*)\)의 도함수들은:

$$g'(x) = -\frac{1}{x}, \quad g''(x) = \frac{1}{x^2}$$

따라서 로그 페이오프를 옵션으로 분해할 때의 가중치는 \(g''(K) = 1/K^2\)입니다. 이것이 \(1/K^2\) 가중치가 등장하는 수학적 근거입니다.

6.3 \(1/K^2\) 가중 옵션 스트립의 정의

분기점 \(S^*\)를 기준으로, \(K < S^*\)에서는 OTM 풋 옵션, \(K > S^*\)에서는 OTM 콜 옵션을 사용하여 다음과 같은 연속 포트폴리오를 정의합니다:

식 (4.15): \(1/K^2\) 가중 옵션 스트립

$$\pi(S, S^*) = \int_0^{S^*}\frac{1}{K^2}\,P(S, K)\,dK + \int_{S^*}^{\infty}\frac{1}{K^2}\,C(S, K)\,dK \tag{4.15}$$

OTM 풋과 OTM 콜을 분기점에서 나누어 사용하는 이유는 실무적입니다. ITM 옵션은 유동성이 낮고, 가격에 내재가치(주가에 선형인 부분)가 포함되어 있어 "변동성 정보"를 추출하기 어렵습니다. OTM 옵션은 시간가치만으로 이루어져 있으므로 변동성 정보가 더 순수합니다.

6.4 만기 시 적분의 직접 계산

만기에는 옵션 가격이 내재가치로 수렴합니다: \(P(S_T, K) = (K - S_T)^+\), \(C(S_T, K) = (S_T - K)^+\). 이를 식 (4.15)에 대입하여 적분을 직접 계산할 수 있습니다.

만기 시 적분 계산 (상세)

Case 1: \(S_T < S^*\)

풋 적분에서 \(K\) 범위를 두 구간으로 나눕니다. \(K \le S_T\)이면 \((K-S_T)^+ = 0\), \(S_T < K \le S^*\)이면 \((K-S_T)^+ = K - S_T\).

$$\int_0^{S^*}\frac{(K-S_T)^+}{K^2}\,dK = \int_{S_T}^{S^*}\frac{K - S_T}{K^2}\,dK = \int_{S_T}^{S^*}\left(\frac{1}{K} - \frac{S_T}{K^2}\right)dK$$ $$= \left[\ln K + \frac{S_T}{K}\right]_{S_T}^{S^*} = \ln S^* + \frac{S_T}{S^*} - \ln S_T - 1$$ $$= \ln\!\left(\frac{S^*}{S_T}\right) + \frac{S_T}{S^*} - 1 = \ln\!\left(\frac{S^*}{S_T}\right) - \frac{S^* - S_T}{S^*}$$

콜 적분: \(S_T < S^*\)이므로 \(S_T < K\)인 모든 \(K > S^*\)에서 \((S_T - K)^+ = 0\). 따라서 콜 적분 = 0.

Case 2: \(S_T > S^*\)

유사한 방법으로 콜 적분만 살아남고:

$$\int_{S^*}^{S_T}\frac{S_T - K}{K^2}\,dK = \ln\!\left(\frac{S_T}{S^*}\right) - \frac{S_T - S^*}{S^*} = -\ln\!\left(\frac{S^*}{S_T}\right) + \frac{S^* - S_T}{S^*}$$

부호를 정리하면 두 경우 모두 동일한 형태가 나옵니다.

두 경우를 종합하면:

식 (4.16): 만기 시 옵션 스트립의 페이오프

$$\pi(S_T, S^*) = \frac{S_T - S^*}{S^*} - \ln\!\left(\frac{S_T}{S^*}\right) \tag{4.16}$$

이 식의 구조를 분석합니다. 첫째 항 \((S_T - S^*)/S^*\)는 주가의 선형 함수이며, 선도 계약(또는 주식 + 현금 조합)으로 복제됩니다. 이 항은 변동성에 대한 민감도가 없습니다. 둘째 항 \(-\ln(S_T/S^*)\)가 바로 우리가 원하는 로그계약의 숏 페이오프입니다. 모든 변동성(분산) 노출은 이 로그 항에서 발생합니다.

[핵심 결론] \(1/K^2\) 가중 OTM 옵션 스트립의 만기 페이오프는 "선형 항 + 로그 항"으로 분해됩니다. 선형 항은 변동성에 무감하고, 로그 항이 순수한 분산 노출을 제공합니다. 따라서 "OTM 옵션 스트립 + 선형 조정 = 로그계약"이 성립합니다.

6.5 왜 하필 \(1/K^2\)인가: 직관적 해석

\(1/K^2\) 가중치가 등장하는 이유를 직관적으로도 이해할 수 있습니다. 행사가 \(K\)인 옵션의 분산 민감도(카파)를 생각해 봅시다. ATM 근처의 옵션은 카파가 크지만, 깊은 OTM 옵션은 카파가 작습니다. 또한 옵션의 감마는 대략 \(\phi(d_1)/(S\sigma\sqrt{\tau})\)에 비례하므로, \(\Gamma S^2 \propto S/K\) 형태의 의존성을 보입니다(대략적 표현).

포트폴리오 전체의 \(\Gamma S^2\)가 주가 \(S\)에 무관한 상수가 되려면, 각 행사가의 옵션에 부여하는 가중치가 "낮은 행사가에서는 더 크고, 높은 행사가에서는 더 작은" 패턴을 보여야 합니다. 이 패턴이 바로 \(1/K^2\)입니다. 수학적으로, 이것은 \(\partial^2(-\ln x)/\partial x^2 = 1/x^2\)이라는 사실의 직접적인 반영입니다.

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7. 경로별 항등식과 모델-프리 분산 복제

지금까지는 BSM의 상수 변동성 가정 하에서 논의를 진행했습니다. 그러나 분산스왑 복제의 가장 강력한 메시지는 "변동성이 확률적이더라도, 주가가 점프 없이 연속 확산이라면 분산 복제가 모델에 무관하게(model-free) 성립한다"는 점입니다. 이것을 가능하게 하는 핵심 도구가 바로 경로별 항등식(pathwise identity)입니다.

7.1 일반 확산 과정에서의 이토 보조정리

주가가 다음과 같은 일반 확산(diffusion)을 따른다고 가정합니다. 여기서 중요한 것은 변동성 \(\sigma_t\)가 더 이상 상수가 아니라, 시간과 다른 확률변수에 의존할 수 있는 확률적 과정이라는 점입니다:

식 (4.20): 일반 확산 과정

$$\frac{dS}{S} = \mu_t\,dt + \sigma_t\,dZ \tag{4.20}$$

\(\mu_t\)는 드리프트(기대수익률), \(\sigma_t\)는 순간 변동성, \(dZ\)는 위너 과정의 증분입니다. 핵심 가정은 \(dS\)에 점프(jump) 항이 없다는 것, 즉 주가가 연속적으로만 움직인다는 것입니다.

이토 보조정리를 \(f(S) = \ln S\)에 적용합니다. \(f'(S) = 1/S\), \(f''(S) = -1/S^2\)이므로:

식 (4.21): 로그 주가의 이토 전개

$$d\ln S = \frac{1}{S}\,dS - \frac{1}{2}\frac{1}{S^2}\,(dS)^2 = \frac{1}{S}\,dS - \frac{1}{2}\sigma_t^2\,dt$$ $$= \left(\mu_t - \frac{1}{2}\sigma_t^2\right)dt + \sigma_t\,dZ \tag{4.21}$$

이 전개의 핵심은 \(-\frac{1}{2}\sigma_t^2\,dt\) 항입니다. 이것은 확률미적분에서만 나타나는 항(이토 보정항, Ito correction)으로, 결정론적 미적분에서는 존재하지 않습니다. 이 항이 분산을 "잡아내는" 역할을 합니다.

7.2 경로별 항등식의 유도

이제 식 (4.20)과 식 (4.21)을 빼봅니다. 식 (4.20)은 \(dS/S\), 식 (4.21)은 \(d\ln S\)인데, 이 두 식의 차이에서 드리프트 항과 확산 항이 모두 상쇄됩니다:

경로별 항등식의 유도

Step 1: 두 식을 뺍니다.

$$\frac{dS}{S} - d\ln S = \left[\mu_t\,dt + \sigma_t\,dZ\right] - \left[\left(\mu_t - \frac{1}{2}\sigma_t^2\right)dt + \sigma_t\,dZ\right]$$

Step 2: 항별로 상쇄합니다.

$$= \mu_t\,dt - \mu_t\,dt + \frac{1}{2}\sigma_t^2\,dt + \sigma_t\,dZ - \sigma_t\,dZ = \frac{1}{2}\sigma_t^2\,dt$$

식 (4.22): 순간적 경로별 항등식

$$\frac{dS}{S} - d\ln S = \frac{1}{2}\sigma_t^2\,dt \tag{4.22}$$

이제 이 순간적 관계를 \(t = 0\)부터 \(t = T\)까지 적분합니다:

식 (4.23): 누적 경로별 항등식

$$\boxed{\int_0^T \sigma_t^2\,dt = 2\left[\int_0^T \frac{dS}{S} - \ln\!\left(\frac{S_T}{S_0}\right)\right]} \tag{4.23}$$

7.3 식 (4.23)의 깊은 해석

이 식은 분산스왑 이론의 가장 핵심적인 결과입니다. 각 구성 요소의 의미를 하나씩 깊이 살펴보겠습니다.

7.3.1 좌변: 누적 분산

\(\int_0^T \sigma_t^2\,dt\)는 만기까지의 누적 분산(integrated variance)입니다. 이것이 바로 분산스왑이 정산하는 값(을 연율화한 것)입니다. 변동성이 상수이면 이 값은 단순히 \(\sigma^2 T\)이지만, 변동성이 확률적이면 경로에 따라 달라지는 확률변수입니다.

7.3.2 우변 첫째 항: 동적 거래 전략

\(\int_0^T dS/S\)는 "항상 보유 가치가 1단위가 되도록 주식을 보유하는 전략"의 누적 수익입니다. 구체적으로, 시점 \(t\)에서 \(1/S_t\) 주의 주식을 보유하면, \(dt\) 동안의 수익은 \((1/S_t) \cdot dS_t = dS_t/S_t\)입니다. 이 전략은 주가가 오르면 보유량을 줄이고, 주가가 내리면 보유량을 늘리는 동적 리밸런싱을 필요로 합니다.

7.3.3 우변 둘째 항: 로그계약

\(-\ln(S_T/S_0)\)는 로그계약의 숏 포지션의 만기 페이오프입니다. 앞서 보았듯이 이 페이오프는 \(1/K^2\) 가중 OTM 옵션 스트립으로 정적으로(한 번 구성하고 만기까지 보유) 복제됩니다.

7.3.4 모델-프리의 의미

[가장 중요한 관찰]

식 (4.23)은 기대값이 아니라 경로별로(pathwise) 성립합니다. 즉, 주가가 어떤 경로를 따르든, 변동성이 어떤 확률 과정을 따르든(변동성이 확률적이든, 주가와 상관이 있든), 점프만 없으면 이 등식이 모든 개별 경로에서 정확히 성립합니다.

이것이 의미하는 바는 대단히 강력합니다. 우변의 동적 거래 전략(\(\int dS/S\))과 정적 옵션 포트폴리오(\(-\ln(S_T/S_0)\))를 결합하면, 변동성 모형을 전혀 알 필요 없이 좌변의 누적 분산을 정확히 복제할 수 있습니다. BSM의 상수 변동성 가정이 필요 없습니다. 확률적 변동성(stochastic volatility) 모형이든, 국소 변동성(local volatility) 모형이든, 어떤 확산 모형이든 상관없습니다. 필요한 가정은 오직 "주가가 점프 없이 연속적으로 움직인다"는 것뿐입니다.

7.4 점프가 있으면 왜 깨지는가

점프가 있는 경우, 주가 과정은 다음과 같이 수정됩니다:

$$\frac{dS}{S} = \mu_t\,dt + \sigma_t\,dZ + J\,dN$$

여기서 \(J\)는 점프 크기, \(dN\)은 포아송 과정의 증분(점프 발생 시 1, 아니면 0)입니다. 이 경우 경로별 항등식이 깨지는 이유는 여러 가지입니다.

[점프가 복제를 깨뜨리는 메커니즘]

첫째, 이차변동(quadratic variation)이 더 이상 \(\int \sigma_t^2\,dt\)만으로 표현되지 않습니다. 점프 크기의 제곱 \(J^2\)이 추가로 등장합니다. 즉, 분산스왑이 정산하는 "실현 분산"(로그수익률 제곱 합)과, 로그계약 기반 복제가 포착하는 "연속 분산"이 서로 달라집니다.

둘째, 점프가 발생하면 주가가 옵션 스트립의 행사가 범위를 벗어날 수 있습니다. 유한한 행사가 범위에서만 옵션을 사용하는 실무에서는 이 "범위 이탈"이 심각한 복제 오차를 만듭니다.

셋째, 동적 거래 전략 \(\int dS/S\)가 점프 순간에 이산적으로 변하므로, 연속 리밸런싱의 가정이 깨집니다.

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8. 분산의 가치평가: 옵션 시장가격으로 표현

경로별 항등식 (4.23)의 양변에 위험중립 기대값을 취하면, 분산스왑의 공정 행사분산(fair variance strike)을 시장에서 관찰 가능한 옵션 가격으로 표현할 수 있습니다.

8.1 위험중립 기대값 취하기

식 (4.23)의 양변에 위험중립 기대값 \(E^Q[\cdot]\)을 취합니다. 분산스왑의 공정 행사분산 \(\sigma_K^2\)는 "실현 분산의 위험중립 기대값"을 만기로 나눈 것입니다:

$$\sigma_K^2 = \frac{1}{T}E^Q\!\left[\int_0^T \sigma_t^2\,dt\right] = \frac{2}{T}E^Q\!\left[\int_0^T \frac{dS}{S} - \ln\!\left(\frac{S_T}{S_0}\right)\right]$$

우변의 첫 항 \(\int dS/S\)의 위험중립 기대값은, 위험중립 세계에서 주가의 드리프트가 \(r - q\)(무위험이자율 - 배당수익률)이므로, \(E^Q[\int dS/S] = (r-q)T\)로 결정됩니다(연속 드리프트의 적분). 둘째 항 \(-\ln(S_T/S_0)\)의 위험중립 기대값은, 로그계약의 현재 가치에 해당하며, 이것은 OTM 옵션 스트립의 현재 시장 가격으로 표현됩니다.

8.2 공정분산의 최종 형태

이자율과 배당을 포함한 일반적인 경우, 분기점 \(S^*\)를 둔 형태는 다음과 같습니다:

식 (4.24): 공정분산의 일반 형태

$$\sigma_K^2 = \frac{2e^{rT}}{T}\left[\int_0^{S^*}\frac{P(K,0)}{K^2}\,dK + \int_{S^*}^{\infty}\frac{C(K,0)}{K^2}\,dK + \text{(선형 조정항)}\right] \tag{4.24}$$

선형 조정항은 분기점 \(S^*\)의 선택에 따라 달라지며, 선도가격 근처에서 최소화됩니다.

실무에서 자주 쓰는 단순화(\(S^* = S_0\) 또는 \(S^* = F_0\), 작은 \(rT\)에서 선형 조정항이 무시 가능)를 적용하면:

식 (4.25): 공정분산의 실무 형태

$$\boxed{\sigma_K^2 \approx \frac{2e^{rT}}{T}\left[\int_0^{S_0}\frac{P(K,0)}{K^2}\,dK + \int_{S_0}^{\infty}\frac{C(K,0)}{K^2}\,dK\right]} \tag{4.25}$$

[식 (4.25)의 해석]

이 식이 "모델-프리(model-free)"로 불리는 이유는, BSM의 상수 변동성 가정을 사용하지 않고, 점프 없는 연속 확산과 무차익 조건만으로 도출되었기 때문입니다. 식의 입력은 오직 시장에서 관찰 가능한 OTM 옵션 가격 \(P(K,0)\)과 \(C(K,0)\)뿐입니다. 따라서 분산스왑의 공정 행사분산은 스마일 전체(다양한 행사가의 옵션 가격)에 의해 결정됩니다. 단일 ATM 내재 변동성만으로는 정해지지 않습니다.

이것은 실무적으로 매우 중요한 함의를 가집니다. 스마일이 가파를수록(즉, OTM 풋의 내재 변동성이 높을수록) 공정분산이 높아집니다. 이것은 "시장이 하방 리스크에 더 높은 프리미엄을 매기고 있다"는 사실이 분산스왑 가격에 직접 반영된다는 뜻입니다.

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9. 유한 개수 옵션으로의 구현: 근사, 절단, 가중치

이론적으로는 모든 행사가 \(K \in (0, \infty)\)에서 연속적인 옵션 스트립이 필요합니다. 그러나 현실에서는 옵션의 행사가가 이산적이고, 매우 낮거나 높은 행사가의 옵션은 유동성이 없거나 아예 존재하지 않습니다. 따라서 실무 구현에서는 두 가지 근사가 불가피합니다.

9.1 적분의 이산화

연속 적분 \(\int f(K)\,dK\)를 이산 합 \(\sum f(K_j)\,\Delta K_j\)로 근사합니다. 가장 단순한 방법은 중점법(midpoint rule) 또는 사다리꼴법(trapezoidal rule)을 사용하는 것입니다. 실무에서 흔히 쓰이는 방식은 구간선형(piecewise-linear) 복제입니다. 이 방식은 목표 페이오프(로그 형태)를 여러 행사가에서 꺾이는 선분(piecewise-linear function)으로 근사하고, 각 꺾임점(kink)에서의 기울기 변화를 해당 행사가의 옵션 수량으로 해석합니다.

수학적으로, 구간선형 근사에서 각 꺾임점의 "꺾임의 크기"는 목표 함수의 2차 도함수를 이산화한 것과 같습니다. 목표 함수가 \(-\ln(S/S^*)\)이고 그 2차 도함수가 \(1/S^2\)이므로, 각 행사가에서의 옵션 가중치는 자연스럽게 \(1/K^2\)에 비례하게 됩니다.

식 (4.26): 이산 옵션 포트폴리오

$$V(t) = \cdots + (\lambda_1^P - \lambda_0^P)\,P(K_1^P) + \lambda_0^P\,P(K_0) + \lambda_0^C\,C(K_0) + (\lambda_1^C - \lambda_0^C)\,C(K_1^C) + \cdots \tag{4.26}$$

여기서 \(\lambda_j\)는 인접 구간 기울기의 변화량으로, 각 행사가에서 보유해야 할 옵션의 수량을 결정합니다.

9.2 꼬리 절단(Tail Truncation)

매우 낮은 행사가(\(K \to 0\))의 깊은 OTM 풋과 매우 높은 행사가(\(K \to \infty\))의 깊은 OTM 콜은 시장에서 유동성이 매우 낮거나 존재하지 않습니다. 따라서 적분 범위를 \([K_{\min}, K_{\max}]\)로 절단(truncate)해야 합니다. 이 절단은 꼬리 영역의 기여를 누락시키므로 공정분산을 과소평가하는 방향의 편향을 만듭니다.

반대로, 행사가 간격이 넓으면 구간선형 근사가 실제 곡선보다 위에 놓일 수 있어(젠센형 편향) 공정분산을 과대평가하는 경향이 나타날 수도 있습니다. 따라서 "행사가 간격을 촘촘히 하는 것"과 "행사가 범위를 넓히는 것"은 서로 다른 종류의 오차를 줄입니다.

절단 오차의 크기 감각: 일반적으로, 극단적인 행사가의 옵션 가격은 매우 작기 때문에 절단 오차도 대개 작습니다. 그러나 꼬리가 두터운 분포(fat tails)에서는 극단 행사가의 기여가 무시할 수 없게 됩니다. 예를 들어, S&P 500 옵션 시장에서 스큐가 가파르면 낮은 행사가 풋의 가격이 상당하고, 이들을 누락하면 공정분산이 수 퍼센트 포인트 차이가 날 수 있습니다.

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10. 복제 오차의 원인: 이산 리밸런싱, 점프, 스프레드

이론에서 분산 복제는 세 가지 이상적 조건을 요구합니다. 첫째, 동적 거래(\(\int dS/S\))의 연속 리밸런싱. 둘째, 거래비용 없음(무마찰). 셋째, 무한히 촘촘한 행사가의 옵션 스트립. 현실에서는 이 세 조건 모두 충족되지 않으므로 복제 오차가 발생합니다. 이 오차들은 분산스왑의 시장 가격(스프레드, 프리미엄)에 반영됩니다.

오차 원인	메커니즘	영향 방향
점프	경로별 항등식 (4.23)이 깨짐. 실현분산과 복제 수익의 괴리 발생.	복제 불완전, 양방향 오차
이산 리밸런싱	\(\int dS/S\) 동적 전략을 연속으로 못 하므로 헤지 오차 누적.	\(1/\sqrt{n}\) 스케일 잡음
꼬리 절단	극단 행사가 옵션 부재로 로그 페이오프의 꼬리 기여 누락.	공정분산 과소평가
행사가 갭	적분을 이산합으로 근사하면서 곡률을 완전히 포착 못함.	이산화 방식에 따라 다름
유동성/스프레드	다수 행사가 옵션 매매 시 호가 스프레드에 의한 비용 누적.	비용 증가
스마일 보간	없는 행사가의 옵션 가격을 보간/외삽하는 방법에 따른 추정 차이.	양방향

특히 점프는 단순히 "변동성이 커졌다"의 문제가 아닙니다. 점프는 분산 복제의 구조 자체를 바꿉니다. 점프가 있을 때 실현분산(로그수익률 제곱합)에는 점프 기여가 포함되지만, 로그계약 기반 복제는 연속 확산 부분만 정확히 포착합니다. 이 괴리를 어떻게 프라이싱할지는 점프 확산(jump-diffusion) 모형이나 변동성 위험프리미엄 분해 등의 고급 주제로 이어집니다.

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11. VIX의 해석: 사실상 30일 분산스왑

VIX는 CBOE(시카고옵션거래소)에서 산출하는 변동성 지수로, S&P 500 지수의 옵션 가격으로부터 계산됩니다. VIX의 핵심적인 해석은, 이것이 "향후 30일간의 위험중립 기대분산"을 옵션 시장가격으로부터 추정한 뒤, 그 제곱근을 취하고 100을 곱해 지수로 표시한 것이라는 점입니다.

11.1 VIX 산출의 개념적 구조

VIX의 산출 과정은 개념적으로 다음 세 단계로 이해할 수 있습니다.

단계 1: 옵션 스트립으로 공정분산 계산. 식 (4.25)와 동일한 구조로, 다양한 행사가의 OTM 옵션 가격을 \(1/K^2\)로 가중하여 합산합니다. 실제로는 이산 합으로 근사합니다.

단계 2: 30일 보간. 보통 정확히 30일 만기인 옵션이 존재하지 않으므로, 두 개의 인접 만기(30일 전후) 옵션 체인에서 각각 분산을 계산한 뒤, 30일에 해당하는 값을 선형 보간합니다.

단계 3: 제곱근 및 스케일링. 분산의 제곱근을 취하고 100을 곱하여 지수로 표시합니다. 예를 들어 공정분산이 0.04이면 \(\sqrt{0.04} \times 100 = 20\)이므로 VIX = 20입니다.

중요한 점은 VIX가 "특정 BSM 내재 변동성 하나"가 아니라, 여러 행사가의 OTM 옵션 가격을 모두 사용한다는 것입니다. 즉, VIX는 스마일 전체의 정보를 반영합니다. 스마일이 가파를수록(OTM 풋이 비쌀수록) VIX가 높아지는 경향이 있는데, 이것은 시장이 하방 리스크에 더 높은 프리미엄을 매기고 있다는 신호입니다.

VIX와 분산스왑의 차이: VIX는 분산스왑의 공정분산과 개념적으로 매우 유사하지만 완전히 동일하지는 않습니다. 차이점으로는 (1) VIX는 행사가의 이산 합을 사용하고 분산스왑은 연속 적분을 전제로 하며, (2) VIX는 특정 만기 보간 규칙을 사용하고, (3) VIX 산출에는 중복 옵션 제거, 최소 호가 간격 등의 세부 규칙이 있습니다. 그러나 개념적 핵심은 동일합니다. 둘 다 "OTM 옵션 스트립으로부터 추출한 기대 분산"입니다.

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12. 연습문제 상세 해설

문제 4-1 (원문)

BSM 가격 공식을 이용하여, 니케이 225 지수(NKY)에 대한 바닐라 유러피안 콜 옵션의 가격과 베가를 계산하라. 조건: 잔존만기 6개월, 행사가 15,000, 현재 NKY 수준 15,000, 무배당, 무위험이자율 0%, 내재 변동성 20%. 변동성이 21%로 상승하면 가격이 얼마나 변할 것으로 예상하는가? 실제로는 얼마나 변하는가?

문제 4-1 상세 해설

Step 1: 기본 파라미터 정리

파라미터	기호	값	비고
현재 지수	\(S\)	15,000	ATM (\(S = K\))
행사가	\(K\)	15,000
잔존만기	\(\tau\)	0.5년	6개월
변동성	\(\sigma\)	0.20	20%
이자율	\(r\)	0
배당	\(q\)	0

Step 2: \(d_1\), \(d_2\) 계산

ATM이고 \(r = 0\)이므로 \(\ln(S/K) = 0\):

$$d_1 = \frac{0 + \frac{1}{2}(0.04)(0.5)}{0.20\sqrt{0.5}} = \frac{0.01}{0.14142} = 0.07071$$ $$d_2 = d_1 - \sigma\sqrt{\tau} = 0.07071 - 0.14142 = -0.07071$$

\(d_1\)이 0에 매우 가깝다는 것은 ATM 근사가 잘 작동할 것임을 예고합니다. 참고로 \(d_1 = v/2 = \sigma\sqrt{\tau}/2\)이고 \(d_2 = -v/2\)라는 깔끔한 대칭 관계가 ATM, \(r = 0\)에서 성립합니다.

Step 3: 콜 가격 계산

ATM에서 \(S = K\), \(r = 0\)이면 \(C = S[N(d_1) - N(d_2)]\)입니다. \(d_2 = -d_1\)이므로 대칭성 \(N(-d_1) = 1 - N(d_1)\)을 이용하면 \(C = S[2N(d_1) - 1]\):

$$N(0.07071) \approx 0.5282$$ $$C = 15{,}000 \times (2 \times 0.5282 - 1) = 15{,}000 \times 0.0564 \approx 846.2$$

Step 4: Vega 계산

식 (4.4a)를 직접 적용합니다:

$$\phi(d_1) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\,e^{-d_1^2/2} = 0.39894 \times e^{-0.0025} \approx 0.3979$$ $$\mathcal{V} = S\sqrt{\tau}\,\phi(d_1) = 15{,}000 \times 0.7071 \times 0.3979 \approx 4{,}221$$

이 값의 단위 해석: 변동성이 1(즉 100%p) 변할 때 옵션 가격이 약 4,221포인트 변한다는 뜻입니다. 실무에서는 보통 변동성 1%p(0.01) 변화에 대한 가격 변화를 보고하므로, 1%p 베가는 약 42.2입니다.

Step 5: 1차 근사에 의한 가격 변화 예측

변동성이 20%에서 21%로, \(\Delta\sigma = 0.01\) 상승할 때:

$$\Delta C_{\text{approx}} \approx \mathcal{V} \times \Delta\sigma = 4{,}221 \times 0.01 \approx 42.2$$

Step 6: 실제 가격 변화 계산

\(\sigma = 21\%\)에서의 새로운 \(d_1\):

$$d_1' = \frac{0 + \frac{1}{2}(0.0441)(0.5)}{0.21\sqrt{0.5}} = \frac{0.011025}{0.14849} = 0.07424$$ $$N(0.07424) \approx 0.5296$$ $$C' = 15{,}000 \times (2 \times 0.5296 - 1) = 15{,}000 \times 0.0592 \approx 888.5$$ $$\Delta C_{\text{actual}} = 888.5 - 846.2 \approx 42.3$$

Step 7: 비교 및 해석

항목	값
1차 근사 \(\Delta C\)	42.2
실제 \(\Delta C\)	42.3
차이	약 0.1 (0.2%)

\(\Delta\sigma = 0.01\)이 충분히 작아 2차 민감도(volga = \(\partial^2 C/\partial\sigma^2\))의 영향이 미미하므로, 1차 베가 근사가 매우 정확하게 작동합니다. 변동성 변화가 더 클 경우(예: 5%p 이상), volga 항의 기여가 무시할 수 없게 되어 1차 근사의 오차가 커집니다.

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문제 4-2 (원문)

Euro Stoxx 50(SX5E)에 대한 변동성 스왑을 보유 중: 명목 €1,000,000, 행사가 25%, 롱 변동성, 잔존 1년. 거래상대방이 분산스왑만 제공한다면, 행사가 25%에 분산을 매도할 수 있을 때 식 (4.11)을 이용해 필요한 분산 스왑 명목은? 실현 변동성이 24%일 때와 30%일 때 헤지 포지션의 페이오프는?

문제 4-2 상세 해설

Step 1: 포지션 분석

보유 중인 변동성 스왑의 만기 지급금(롱 변동성):

$$\pi_{\text{vol}} = 1{,}000{,}000 \times (\sigma_R - 0.25)$$

이것을 헤지하기 위해 분산스왑을 매도(숏 분산)합니다. 분산스왑의 만기 지급금(숏이므로 부호 반전):

$$\pi_{\text{var}} = -N_{\text{var}} \times (\sigma_R^2 - 0.25^2)$$

Step 2: 필요한 분산 명목 결정

식 (4.11)의 1차 근사 \(\sigma_R^2 - \sigma_K^2 \approx 2\sigma_K(\sigma_R - \sigma_K)\)를 이용합니다. 변동성 스왑의 손익과 분산스왑의 손익이 1차적으로 상쇄되려면:

$$N_{\text{vol}}(\sigma_R - \sigma_K) \approx N_{\text{var}} \cdot 2\sigma_K(\sigma_R - \sigma_K)$$ $$N_{\text{var}} = \frac{N_{\text{vol}}}{2\sigma_K} = \frac{1{,}000{,}000}{2 \times 0.25} = 2{,}000{,}000$$

Step 3: \(\sigma_R = 24\%\)일 때의 헤지 결과

변동성 스왑: \(1{,}000{,}000 \times (0.24 - 0.25) = -10{,}000\)

분산스왑 (숏): \(-2{,}000{,}000 \times (0.24^2 - 0.25^2) = -2{,}000{,}000 \times (0.0576 - 0.0625) = -2{,}000{,}000 \times (-0.0049) = +9{,}800\)

합계: \(-10{,}000 + 9{,}800 = -200\)

Step 4: \(\sigma_R = 30\%\)일 때의 헤지 결과

변동성 스왑: \(1{,}000{,}000 \times (0.30 - 0.25) = +50{,}000\)

분산스왑 (숏): \(-2{,}000{,}000 \times (0.30^2 - 0.25^2) = -2{,}000{,}000 \times (0.09 - 0.0625) = -2{,}000{,}000 \times 0.0275 = -55{,}000\)

합계: \(50{,}000 - 55{,}000 = -5{,}000\)

Step 5: 해석 — 볼록성 잔여의 실체

\(\sigma_R\)	변동성 스왑	분산스왑 (숏)	합계	잔여 원인
24%	-10,000	+9,800	-200	\(\sigma_R \approx \sigma_K\): 근사 정확
30%	+50,000	-55,000	-5,000	\(\sigma_R\)이 \(\sigma_K\)에서 벗어남

\(\sigma_R\)이 \(\sigma_K\)에서 멀어질수록 1차 근사(\(\sigma_R^2 - \sigma_K^2 \approx 2\sigma_K(\sigma_R - \sigma_K)\))의 잔여가 커집니다. 정확한 잔여는 \((\sigma_R - \sigma_K)^2\)에 비례하며, 이것이 바로 볼록성 차이의 실무적 표현입니다. 30%에서는 \((\sigma_R + \sigma_K) = 0.55\)이지만 근사에서는 \(2 \times 0.25 = 0.50\)을 사용했으므로, 차이가 \(0.05 \times (\sigma_R - \sigma_K) = 0.05 \times 0.05 = 0.0025\)이고, 명목을 곱하면 \(2{,}000{,}000 \times 0.0025 = 5{,}000\)입니다.

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문제 4-3 (원문)

행사가 80, 90, 100, 110, 120인 5개 옵션(\(\tau = 0.25\), \(\sigma = 15\%\), 무배당, \(r = 0\))에 대해 \(\kappa(S)\)를 비교하라. 또한 \(1/K^2\)에 비례하고 합이 1인 가중평균 \(\kappa\)가 상대적으로 평탄해지는 이유를 설명하라.

문제 4-3 상세 해설

핵심 논리

각 행사가 \(K\)의 옵션에 대한 카파 \(\kappa(S, K)\)는 식 (4.4b)에 의해 결정됩니다. 카파 함수는 \(S\)에 대해 종 모양(bell-shaped)이며, 행사가 근처에서 봉우리(peak)를 가집니다. 따라서 5개 옵션의 카파를 \(S\)의 함수로 그리면, 80, 90, 100, 110, 120 근처에서 각각 봉우리가 나타나는 5개의 곡선이 됩니다.

이제 이 5개 옵션을 \(1/K^2\)에 비례하는 가중치로 결합합니다. 정규화(합 = 1)를 위해 가중치는:

$$w_j = \frac{1/K_j^2}{\sum_{i} 1/K_i^2}$$

이 가중치의 핵심 특성은 낮은 행사가에 더 큰 비중을 부여한다는 것입니다. 예를 들어 \(1/80^2 = 0.000156\)이고 \(1/120^2 = 0.000069\)이므로, \(K = 80\) 옵션의 가중치가 \(K = 120\) 옵션의 약 2.25배입니다.

왜 이것이 카파를 "평탄하게" 만드는가? 개별 옵션의 카파 봉우리는 \(S\)가 해당 행사가 근처에 있을 때만 크고, 멀어지면 급격히 줄어듭니다. \(1/K^2\) 가중을 하면, 낮은 행사가 옵션(좌측 봉우리)에 더 큰 비중이 주어져 좌측 영역의 카파 감소를 보정합니다. 높은 행사가 쪽에서는 원래 카파가 상대적으로 평평하므로 가중치가 작아도 괜찮습니다.

연속 행사가 스트립(\(K \to\) 연속)으로 확장하면, 이 \(1/K^2\) 가중이 완벽한 평탄화를 달성하여 "주가에 무관한" 분산 민감도를 만듭니다. 5개의 이산 행사가로는 완벽한 평탄화가 불가능하지만, 개별 봉우리에 비해 합성 카파가 훨씬 평탄해지는 것을 관찰할 수 있습니다.

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문제 4-4 (원문)

SOP Corp, \(S_0 = 10\), \(r = q = 0\), 1년 분산스왑의 공정 행사가를 구하라. 행사가 범위는 \([5, 15]\). 옵션 가격은 다음으로 주어진다:

$$C(K) = \frac{1}{20}K^2 - 1.5K + 11.25, \quad P(K) = \frac{1}{20}K^2 - 0.5K + 1.25$$

문제 4-4 상세 해설

Step 1: 공정분산 공식 설정

\(r = 0\), \(T = 1\), \(S^* = S_0 = 10\). 식 (4.25)에서 \(e^{rT} = 1\), \(2/T = 2\)이므로:

$$\sigma_K^2 = 2\left[\int_5^{10}\frac{P(K)}{K^2}\,dK + \int_{10}^{15}\frac{C(K)}{K^2}\,dK\right]$$

적분 범위가 \([0, \infty)\)가 아니라 \([5, 15]\)로 절단되어 있음에 주의합니다. 이것은 근사치입니다.

Step 2: 피적분함수 정리

풋 적분의 피적분함수:

$$\frac{P(K)}{K^2} = \frac{\frac{1}{20}K^2 - 0.5K + 1.25}{K^2} = \frac{1}{20} - \frac{0.5}{K} + \frac{1.25}{K^2}$$

콜 적분의 피적분함수:

$$\frac{C(K)}{K^2} = \frac{\frac{1}{20}K^2 - 1.5K + 11.25}{K^2} = \frac{1}{20} - \frac{1.5}{K} + \frac{11.25}{K^2}$$

Step 3: 각 적분의 계산

풋 적분 (\(K: 5 \to 10\)):

$$\int_5^{10}\left(\frac{1}{20} - \frac{0.5}{K} + \frac{1.25}{K^2}\right)dK$$ $$= \left[\frac{K}{20} - 0.5\ln K - \frac{1.25}{K}\right]_5^{10}$$ $$= \left(\frac{10}{20} - 0.5\ln 10 - \frac{1.25}{10}\right) - \left(\frac{5}{20} - 0.5\ln 5 - \frac{1.25}{5}\right)$$ $$= (0.5 - 1.15129 - 0.125) - (0.25 - 0.80472 - 0.25)$$ $$= -0.77629 - (-0.80472) = 0.02843$$

콜 적분 (\(K: 10 \to 15\)):

$$\int_{10}^{15}\left(\frac{1}{20} - \frac{1.5}{K} + \frac{11.25}{K^2}\right)dK$$ $$= \left[\frac{K}{20} - 1.5\ln K - \frac{11.25}{K}\right]_{10}^{15}$$ $$= \left(\frac{15}{20} - 1.5\ln 15 - \frac{11.25}{15}\right) - \left(\frac{10}{20} - 1.5\ln 10 - \frac{11.25}{10}\right)$$ $$= (0.75 - 4.06389 - 0.75) - (0.5 - 3.45388 - 1.125)$$ $$= -4.06389 - (-4.07888) = 0.01499$$

Step 4: 공정분산 및 공정 변동성

$$\sigma_K^2 = 2 \times (0.02843 + 0.01499) = 2 \times 0.04342 = 0.08684$$ $$\sigma_K = \sqrt{0.08684} \approx 29.5\%$$

[절단 오차에 대한 주의] 이 값은 \([5, 15]\) 범위 절단이 반영된 근사치입니다. 범위를 \([0, \infty)\)로 확장하면 공정분산이 약간 높아질 것입니다. 특히 \(K < 5\) 영역의 깊은 OTM 풋 기여가 누락되어 있습니다. 실무에서는 이러한 절단 효과가 어느 정도인지를 감도 분석(sensitivity analysis)으로 확인합니다.

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문제 4-5 ~ 4-6: 범위 절단의 효과 (Google 분산스왑)

제한된 행사가 범위에서 구간선형 복제를 수행하면 공정분산이 체계적으로 과소/과대 평가될 수 있음을 확인하라. 좁은 범위(예: 350~650)와 넓은 범위(예: 250~750)의 결과를 비교하고, 차이가 꼬리 절단에서 비롯됨을 설명하라.

문제 4-5 ~ 4-6 상세 해설

핵심 논리

목표 페이오프 \(\pi(S_T) = \frac{2}{T}\left[\frac{S_T - S_0}{S_0} - \ln(S_T/S_0)\right]\)를 여러 노드(행사가)에서 계산한 뒤, 인접 구간 기울기의 변화량(꺾임)을 옵션 가중치로 해석합니다. 각 꺾임점에서의 가중치에 해당 행사가의 OTM 옵션 가격을 곱하여 합산하면 복제 비용이 나옵니다.

좁은 범위 vs 넓은 범위

범위	포착하는 영역	누락 영역	편향 방향
좁음 (350~650)	ATM 근처만	극단 꼬리 모두	과소평가 (꼬리 기여 누락)
넓음 (250~750)	더 넓은 꼬리 포함	극극단 꼬리만 누락	이론값에 더 가까움

범위를 넓히면 극단 영역에서의 곡률(감마)을 더 포착하므로 꼬리 절단 오차가 줄어들고 공정분산이 이론값에 가까워집니다. 그러나 극단 행사가의 옵션은 유동성이 낮아 호가 스프레드가 넓고, 가격의 신뢰도가 낮을 수 있습니다. 따라서 실무에서는 "범위를 넓히는 것"과 "가격의 신뢰도"를 저울질해야 합니다.

한편, 행사가 간격이 넓으면 구간선형 근사가 실제 곡선의 곡률을 충분히 반영하지 못합니다. 목표 함수 \(-\ln(S/S_0)\)는 볼록(convex)이므로, 구간선형 근사는 대체로 실제 곡선 아래에 놓여 과소평가를 만듭니다. 행사가 간격을 촘촘히 하면 이 이산화 오차가 줄어듭니다.

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13. 수식 유도 요약표

Chapter 4의 전체 수식 흐름을 한눈에 파악할 수 있도록 정리합니다. 음영이 짙을수록 이 장에서 더 핵심적인 결과입니다.

식 번호	내용	핵심 논리
(4.1)	BSM PDE	복제 포트폴리오 존재의 수학적 표현
(4.2)~(4.3)	BSM 콜 가격 공식	PDE의 해
(4.4a~c)	Vega, Kappa, 그리고 \(\kappa = \mathcal{V}/(2\sigma)\)	변동성/분산에 대한 민감도
(4.5)	옵션 가격의 테일러 전개	델타 헤지 후 감마 항이 분산 노출을 만듦
(4.6)~(4.8)	Kappa 최대점 \(S^* = Ke^{\sigma^2\tau/2}\)	\(\partial\kappa/\partial S = 0\) 조건
(4.9)~(4.10)	변동성/분산 스왑의 페이오프	기본 계약 구조
(4.11)	분산-변동성 1차 근사	명목 환산의 기초
(4.12)	젠센 부등식과 볼록성 조정	\(E[\sigma_R] \le \sqrt{E[\sigma_R^2]}\)
(4.13)	델타 헤지 순간 P&L	\(\frac{1}{2}\Gamma S^2(\sigma_R^2 - \Sigma^2)dt\)
(4.14)	\(\Gamma S^2 = 1\) (로그계약)	분산 복제의 핵심: \(\partial^2(-\ln S)/\partial S^2 = 1/S^2\)
(4.15)~(4.16)	\(1/K^2\) 가중 OTM 스트립 = 로그 페이오프	정적 복제의 구체적 구성
(4.17)~(4.19)	로그계약의 BSM 가치, 스케일링	초기 비용 = 공정분산
(4.20)~(4.23)	경로별 항등식	모델-프리 분산 복제의 핵심. 점프 없으면 경로마다 성립.
(4.24)~(4.25)	공정분산 = OTM 옵션 가격의 \(1/K^2\) 가중합	모델-프리 공정가치. VIX 산출의 기초.

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14. 흔한 함정과 오해

[함정 1] "분산스왑 복제는 BSM 가정이 필요하다."

아닙니다. 경로별 항등식 (4.23)은 BSM의 상수 변동성 가정 없이 유도됩니다. 필요한 것은 "주가가 점프 없이 연속 확산을 따른다"는 가정뿐입니다. 변동성이 확률적이든, 주가와 상관이 있든, 시간에 따라 변하든 상관없습니다. 이것이 "모델-프리"의 의미입니다.

[함정 2] "VIX = ATM 내재 변동성이다."

VIX는 단일 ATM 내재 변동성이 아니라, 다양한 행사가의 OTM 옵션 가격을 \(1/K^2\)로 가중하여 계산한 공정분산의 제곱근입니다. 스마일이 평탄하면 VIX가 ATM 내재 변동성에 가까워지지만, 스큐가 가파르면 VIX가 ATM 내재 변동성보다 높을 수 있습니다.

[함정 3] "변동성 스왑과 분산스왑은 같은 것이다."

변동성 스왑은 \(\sigma_R - \sigma_K\)에, 분산스왑은 \(\sigma_R^2 - \sigma_K^2\)에 선형입니다. 볼록성 때문에 분산스왑의 행사가를 제곱근으로 변환한 값이 변동성 스왑의 행사가보다 항상 높습니다. 1차 근사(\(N_{\text{var}} = N_{\text{vol}}/(2\sigma_K)\))는 \(\sigma_R \approx \sigma_K\)에서만 정확합니다.

[함정 4] "\(1/K^2\) 가중치는 임의의 선택이다."

\(1/K^2\)는 임의의 선택이 아니라, 로그 함수의 2차 도함수 \(d^2(-\ln x)/dx^2 = 1/x^2\)에서 필연적으로 도출되는 가중치입니다. 이 가중치만이 포트폴리오의 \(\Gamma S^2\)를 주가에 무관한 상수로 만듭니다.

[함정 5] "점프가 있어도 분산스왑 복제는 작동한다."

점프가 있으면 경로별 항등식 (4.23)이 깨집니다. 실현분산(로그수익률 제곱합)에는 점프 기여가 포함되지만, 로그계약 기반 복제는 연속 확산 부분만 포착합니다. 이 괴리가 분산스왑의 점프 리스크 프리미엄의 원천입니다.

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15. 암기 체크리스트

항목	내용	확인
Kappa 정의	\(\kappa = \partial C/\partial\sigma^2 = \mathcal{V}/(2\sigma)\)
Kappa 최대점	\(S^* = Ke^{\sigma^2\tau/2}\) (대개 \(K\) 근처)
Vol-Var 1차 근사	\(\sigma_R^2 - \sigma_K^2 \approx 2\sigma_K(\sigma_R - \sigma_K)\)
분산 복제의 핵심	\(\Gamma S^2\)를 상수로 만들기. 로그계약의 \(\Gamma = 1/S^2\).
\(1/K^2\) 커널	연속 OTM 옵션 스트립으로 로그를 복제하는 가중치. \(d^2(-\ln x)/dx^2 = 1/x^2\).
경로별 항등식	\(\int\sigma_t^2\,dt = 2\left[\int dS/S - \ln(S_T/S_0)\right]\) (점프 없음)
공정분산 공식	\(\sigma_K^2 \approx \frac{2e^{rT}}{T}\left[\int \frac{P}{K^2}dK + \int \frac{C}{K^2}dK\right]\)
볼록성 조정	\(E[\sigma_R] \le \sqrt{E[\sigma_R^2]}\) (젠센 부등식)
오차 원인	이산 리밸런싱, 점프, 행사가 갭, 꼬리 절단, 거래비용
VIX 해석	OTM 옵션 스트립으로 계산한 단기 공정분산의 제곱근 (연율화)

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