Chapter 2. 복제의 원리
The Principle of Replication
0. 이 장을 읽기 전에 알아야 할 배경지식
Chapter 2는 금융공학의 가장 근본적인 질문에 답합니다. "파생상품의 가격은 어떻게 결정되는가?" 이 질문에 대한 답은 놀랍게도 "예측(prediction)"이 아니라 "복제(replication)"입니다. 미래 주가를 정확히 예측하지 못하더라도, 기존에 거래되는 자산들의 조합으로 파생상품의 페이오프를 재현할 수 있다면, 그 조합의 비용이 곧 파생상품의 공정 가격이 됩니다. 이 장은 이 단순하면서도 혁명적인 통찰을 처음부터 끝까지 밀어붙이는 과정입니다.
이 내용을 온전히 소화하려면, 먼저 몇 가지 기초 개념이 단단하게 잡혀 있어야 합니다. 아래에서 하나씩 정의하고, 왜 이 개념이 Chapter 2에 필요한지를 설명합니다.
0.1 핵심 용어 정의
상태(State)
"상태"란 미래에 실현될 수 있는 하나의 시나리오를 말합니다. 예를 들어 "내일 삼성전자 주가가 70,000원이 된다"가 하나의 상태이고, "내일 삼성전자 주가가 60,000원이 된다"가 또 다른 상태입니다. 금융 모형에서 미래는 이렇게 여러 개의 가능한 상태로 "쪼개어" 분석됩니다. 이 장에서 다루는 이항 모형(binomial model)은 미래를 단 두 개의 상태(상승/하락)로 단순화하는 가장 기본적인 설정이지만, 이 단순한 구조 안에서도 복제와 무차익의 핵심 논리가 완전하게 작동합니다.
상태 개념이 중요한 이유는, 금융에서 가격결정을 "상태별 페이오프의 현재가치 합산"으로 환원할 수 있기 때문입니다. 어떤 계약이든 "상태 1에서 얼마를 받고, 상태 2에서 얼마를 받는가"를 적을 수 있다면, 그 계약의 가격을 계산하는 체계적인 방법이 존재합니다.
페이오프(Payoff)
페이오프란 어떤 계약(증권, 파생상품 등)이 미래의 특정 시점에 지급하는 현금의 크기를 뜻합니다. 상태가 여러 개일 때, 각 상태에서의 지급 금액을 벡터(vector) 형태로 나열한 것을 "상태별 페이오프(payoff-by-state)"라 합니다. 예를 들어 두 상태 \((S_1, S_2)\)가 있고 어떤 증권 \(X\)가 상태 \(S_1\)에서 100원을, 상태 \(S_2\)에서 0원을 지급한다면, 이 증권의 페이오프 벡터는 \((100, 0)\)입니다.
페이오프가 중요한 이유는 명확합니다. 복제란 결국 "목표 페이오프 벡터를, 이미 거래되는 자산들의 페이오프 벡터들의 선형결합(linear combination)으로 정확히 맞추는 것"이기 때문입니다. 따라서 모든 가격결정 논의는 페이오프로부터 시작됩니다.
차익거래(Arbitrage)
차익거래란, 오늘 순투자 비용이 0(또는 음수, 즉 돈을 받고 시작)이면서, 미래의 모든 상태에서 손실이 발생하지 않고(비음, non-negative), 적어도 하나의 상태에서는 양의 이익이 발생하는 전략을 말합니다. 한마디로 "공짜 점심(free lunch)"입니다.
차익거래를 좀 더 직관적으로 이해하기 위해, 일상적인 비유를 들어봅시다. 어떤 과일 가게에서 사과 1개가 1,000원이고, 바로 옆 가게에서 동일한 사과 1개가 800원이라면, 여러분은 800원에 사서 1,000원에 팔 수 있습니다. 자본 투입 없이(동시 매매이므로) 200원의 확실한 이익을 얻습니다. 이것이 차익거래의 본질입니다. 금융시장에서 이런 기회가 존재하면, 합리적인 참여자들이 즉시 그 기회를 이용하려 할 것이고, 그 결과 가격 차이가 사라질 때까지 거래가 일어납니다.
무차익 조건(No-Arbitrage Condition)
무차익 조건이란 "시장에 차익거래 기회가 존재하지 않는다"는 가정(또는 규범적 요구)입니다. 이 조건이 왜 중요한가 하면, 무차익 조건이 성립하는 순간 금융 자산들의 가격 사이에 매우 강한 수학적 관계가 성립하기 때문입니다. 구체적으로, 모든 상태에서 동일한 페이오프를 내는 두 증권은 반드시 동일한 현재 가격을 가져야 합니다(일물일가의 법칙). 이 관계를 위반하면 즉시 차익거래가 가능해지므로, 합리적인 시장에서는 이 관계가 유지되어야 합니다.
무차익 조건은 "경험적 사실(fact)"이라기보다는 "시장이 최소한 이 정도의 합리성은 갖추고 있다"는 규범적 가정(normative assumption)에 가깝습니다. 현실에서는 시장 위기, 유동성 부족, 규제 제약 등으로 일시적으로 무차익 조건이 깨지는 듯 보이는 경우가 있지만, 정상적인 시장에서는 차익거래 기회가 발견되면 빠르게 소멸하는 경향이 있습니다.
할인(Discounting)과 현재가치(Present Value)
오늘의 1원과 1년 뒤의 1원은 경제적으로 동일하지 않습니다. 오늘의 1원을 무위험 자산(예: 국채, 은행 예금)에 투자하면, 1년 후에는 \((1 + r)\)원이 됩니다. 여기서 \(r\)은 무위험이자율(risk-free rate)입니다. 따라서 1년 후의 1원을 오늘 가치로 환산하면 \(1/(1+r)\)원입니다. 이 과정을 "할인(discounting)"이라 하고, 그 결과를 "현재가치(present value, PV)"라 합니다.
더 일반적으로, 시간 간격이 \(\Delta t\)이고 단순이자(simple interest) 근사를 사용하면, 오늘 1원을 투자하면 \(\Delta t\) 후에 \((1 + r\Delta t)\)원이 됩니다. 따라서 \(\Delta t\) 후의 1원의 현재가치는 \(1/(1+r\Delta t)\)입니다. 이 할인 인자(discount factor)는 이 장 전체에서 반복적으로 사용됩니다.
기대수익률(\(\mu\))과 변동성(\(\sigma\))
기대수익률 \(\mu\)는 자산 가격이 시간당 평균적으로 얼마나 성장하는지를 나타내는 척도입니다. 변동성 \(\sigma\)는 자산 수익률의 불확실성(산포도)을 측정합니다. 변동성이 클수록 가격이 위아래로 크게 흔들린다는 뜻입니다.
이 장에서 가장 핵심적인 메시지 중 하나는, 복제가 가능한 세계에서 파생상품의 가격은 기대수익률 \(\mu\)에 의존하지 않고 변동성 \(\sigma\)에 의존한다는 것입니다. 이 놀라운 결과가 왜 나오는지를 이항 모형의 복제 유도를 통해 확인하는 것이 이 장의 핵심입니다.
위험중립 확률(Risk-Neutral Probability)
위험중립 확률 \(p^*\)는 현실에서 사람들이 실제로 믿는 "상승할 확률"이 아닙니다. 이것은 무차익 가격체계를 유지하기 위해 수학적으로 도출되는 대체 확률(alternative probability measure)입니다. 구체적으로, 위험중립 확률하에서 모든 자산의 기대수익률은 무위험이자율 \(r\)과 같아집니다. 이렇게 조정된 확률로 미래 페이오프의 기대값을 구한 뒤 할인하면, 무차익 가격이 나옵니다.
0.2 이 장의 전체 구조와 학습 목표
Chapter 2는 다섯 덩어리로 구성됩니다. (1) 복제의 개념과 일물일가의 법칙, (2) 기초자산의 위험 모형화(EMH, 불확실성 vs 위험), (3) 이항 모형에서의 복제와 위험중립 확률 유도, (4) 위험-수익 관계(샤프비율, 분산투자, CAPM), (5) 파생상품의 비독립성과 다음 장으로의 연결.
학습 목표: (i) 일물일가와 무차익의 동치성을 설명할 수 있어야 합니다. (ii) 이항 모형에서 복제 포트폴리오를 구성하고 옵션 가격을 유도할 수 있어야 합니다. (iii) 위험중립 확률이 무차익 가격체계의 산물임을 논증할 수 있어야 합니다. (iv) \(\mu\)가 파생상품 가격에서 사라지는 이유를 설명할 수 있어야 합니다.
1. 복제(Replication): 가격을 '예측'이 아니라 '논리'로 결정하는 방법
1.1 "예측"과 "복제"는 근본적으로 다른 가격결정 방식이다
금융을 처음 접하는 사람의 자연스러운 직감은 이렇습니다. "자산의 가격은 사람들이 미래에 대해 어떻게 예측하느냐에 따라 결정된다." 이 직감은 일정 부분 맞습니다. 주식 가격은 기업의 미래 수익에 대한 시장 참여자들의 기대를 반영합니다. 그러나 파생상품의 가격결정에서는, 이 "예측"보다 훨씬 강력한 논리가 존재합니다. 그것이 바로 복제(replication)입니다.
복제의 핵심 아이디어를 처음 접하면 거의 마법처럼 느껴집니다. 미래 주가가 올라갈 확률을 정확히 모르더라도, 주식과 무위험 채권을 적절히 섞어서 옵션의 만기 페이오프와 "모든 상태에서" 동일한 현금흐름을 만들 수 있다면, 그 혼합물의 오늘 비용이 곧 옵션의 공정 가격이 됩니다. 여기서 "모든 상태에서"라는 조건이 결정적으로 중요합니다. "평균적으로 비슷한" 것도 아니고, "대부분의 경우에 비슷한" 것도 아닙니다. 미래가 어떤 방향으로 전개되든, 예외 없이, 정확히 동일한 금액을 지급해야 합니다.
[핵심: 예측 vs 복제]
"예측"에 의한 가격결정은 미래에 대한 주관적 판단(기대수익률 \(\mu\), 확률 \(p\))에 의존합니다. 서로 다른 투자자가 서로 다른 예측을 할 수 있으므로, 가격에 대한 합의가 쉽지 않습니다.
"복제"에 의한 가격결정은 미래에 대한 예측이 아니라, 무차익이라는 논리적 구조에 의존합니다. 복제가 가능하면, 개인의 주관적 확률이나 위험 선호(risk preference)와 무관하게 가격이 하나로 고정됩니다.
1.2 복제의 정확한 정의
복제를 형식적으로 정의하면, 시장에 거래되는 자산들의 어떤 조합(포트폴리오)이 모든 가능한 미래 상태에서 목표 계약의 페이오프와 정확히 동일한 현금흐름을 생성하는 것입니다.
[구체적 예시]
어떤 옵션 계약이 "내일 주가가 110원이면 10원을 지급하고, 주가가 90원이면 0원을 지급한다"고 합시다. 페이오프 벡터는 \((10, 0)\)입니다. 만약 주식 0.5주와 무위험 채권 \(-45/(1+r\Delta t)\)원어치를 보유하는 포트폴리오가, 주가 110에서 \(0.5 \times 110 - 45 = 10\)을, 주가 90에서 \(0.5 \times 90 - 45 = 0\)을 지급한다면, 이 포트폴리오가 옵션을 복제합니다. 따라서 옵션의 공정 가격은 이 포트폴리오의 오늘 비용입니다.
주목할 점은, 주가가 올라갈 "확률"이 60%인지 40%인지는 어디에도 사용되지 않았다는 것입니다. 이것이 복제의 핵심입니다.
1.3 일물일가의 법칙(Law of One Price)
일물일가의 법칙
모든 가능한 미래 상태에서 동일한 페이오프를 갖는 두 증권(또는 포트폴리오)은, 현재 시점에서 동일한 가격을 가져야 합니다. 수학적으로 표현하면, 만약 모든 상태 \(j\)에서 \(X_j = Y_j\)이면, 현재가격도 \(P_X = P_Y\)이어야 합니다.
일물일가의 법칙이 왜 성립해야 하는지를, 차익거래의 관점에서 증명합니다. 만약 \(P_X < P_Y\)라면, 오늘 \(X\)를 매수(\(-P_X\))하고 \(Y\)를 매도(\(+P_Y\))합니다. 오늘 순현금흐름은 \(P_Y - P_X > 0\)입니다. 미래의 모든 상태에서 \(X_j = Y_j\)이므로 순 미래 현금흐름은 0입니다. 따라서 오늘 양의 수익을 확보하면서 미래에 아무런 위험도 부담하지 않는 차익거래가 성립합니다. 반대로 \(P_X > P_Y\)이면 반대 방향으로 동일한 차익거래가 가능합니다. 따라서 무차익 조건하에서 유일한 결론은 \(P_X = P_Y\)입니다.
[현실의 주의사항]
일물일가는 "자연 법칙"이 아니라 "규범적 원리"입니다. 거래비용, 공매도 제약, 유동성 부족, 신용위험 등의 마찰에 의해 일시적으로 깨질 수 있습니다. 그러나 마찰이 작은 정상적인 시장에서는 차익거래를 노리는 참여자들의 행동이 가격 차이를 빠르게 소멸시킵니다.
1.4 상태가격(State Price)과 애로-드브루 증권
일물일가를 한 단계 더 밀어붙이면 "상태가격(state price)"이 등장합니다. 상태가격이란, "특정 상태가 실현될 때 정확히 1원을 지급하고, 다른 모든 상태에서는 0원을 지급하는 가상의 증권"의 현재 가격입니다. 이런 가상 증권을 애로-드브루(Arrow-Debreu) 증권이라 부릅니다.
상태가격에 의한 가격결정
$$P_X = \psi_1 \cdot X_1 + \psi_2 \cdot X_2$$각 상태에서 받는 금액에, 그 상태 1원짜리의 오늘 가격(\(\psi_j\))을 곱해서 합산합니다. 상태가격의 존재는 무차익 조건에서 보장됩니다(제1 기본정리).
1.5 정적 복제: 선형대수(연립방정식)의 관점
상태가 유한 개이고, 거래 가능한 증권이 충분히 있을 때, 복제는 "목표 페이오프 벡터를 다른 벡터들의 선형결합으로 표현하는" 선형대수 문제입니다.
두 상태에서의 복제 연립방정식
$$\begin{cases} xA_1 + yB_1 = X_1 \\[4pt] xA_2 + yB_2 = X_2 \end{cases}$$미지수 2개(\(x, y\)), 방정식 2개. 계수행렬의 행렬식이 0이 아닌 한 유일한 해가 존재합니다. 해가 존재하면, 오늘 가격은 \(P_X = x^* P_A + y^* P_B\)로 고정됩니다(일물일가).
선형대수의 용어로, 두 증권의 페이오프 벡터가 선형독립이면 2차원 공간의 모든 벡터를 표현할 수 있어 어떤 목표 페이오프도 복제 가능합니다. 이때 시장을 "완비(complete)"하다고 합니다.
1.6 정적 복제 vs 동적 복제: 근본적인 차이
1.6.1 정적 복제(Static Replication)
정적 복제란, 포트폴리오를 한 번 구성하면 만기까지 조정 없이 그대로 유지하는 복제 방식입니다. 장점은 리밸런싱이 필요 없어 거래비용이 낮고 실행 리스크가 작다는 것입니다. 한계는 시장에서 거래 가능한 도구들이 목표 페이오프를 충분히 생성(spanning)해야 한다는 것입니다.
1.6.2 동적 복제(Dynamic Replication)
동적 복제란, 시간이 흐르면서 포트폴리오의 구성을 계속 조정(리밸런싱)하는 복제 방식입니다. 옵션과 같은 비선형 페이오프를 갖는 파생상품에서 필수적입니다. 주가 수준이 바뀌면 옵션의 민감도(델타)가 변하므로, 그에 맞게 주식 보유량을 조정해야 합니다.
| 한계 요인 | 내용 | 영향 |
|---|---|---|
| 불연속 점프(Jump) | 주가가 갑자기 크게 뛰면 연속 조정 가정 붕괴 | 큰 헤징 오차 발생 |
| 거래비용/스프레드 | 매번 리밸런싱 시 매수-매도 호가 차이 발생 | 자주 조정할수록 비용 누적 |
| 유동성/시장충격 | 큰 포지션 조정이 시장 가격을 움직임 | 이론가격과 실행가격의 괴리 |
| 모형오차 | 어떤 변동성을 투입하느냐에 따라 델타가 달라짐 | 잘못된 변동성 사용 시 헤지 품질 저하 |
| 이산 리밸런싱 | 현실에서는 유한 횟수만 조정 가능 | 리밸런싱 간격 동안의 미스헤지 누적 |
1.7 복제가 완벽하지 않을 때: 가격은 "점"이 아니라 "범위"가 된다
복제가 모든 상태에서 완벽히 성립하면, 파생상품의 가격은 정확히 하나의 값으로 고정됩니다. 그러나 현실에서는 마찰들로 인해 복제 오차가 남으므로, 가격은 "합리적 범위(reasonable range)"로 이해하는 것이 적절합니다.
실무에서 파생상품의 호가는 대개 세 요소의 합입니다. (i) 복제 비용(이론가의 핵심), (ii) 복제 오차의 리스크에 대한 보상(자본비용), (iii) 거래비용/유동성 비용. 이 장은 그중 (i)을 논리적으로 확립하는 단계입니다.
2. 기초자산의 위험 모형화
2.1 효율적 시장 가설(EMH): 무엇을 주장하고 무엇을 주장하지 않는가
효율적 시장 가설(Efficient Market Hypothesis, EMH)은 종종 "시장은 항상 옳다"로 오해되지만, 더 정확히는 "이용 가능한 정보가 자산 가격에 빠르게 반영되므로, 같은 정보 집합을 사용하여 지속적으로 시장 수익률을 초과하는 것은 매우 어렵다"는 주장입니다.
"빠르게 반영된다"의 의미를 구체적으로 이해해야 합니다. 만약 어떤 정보가 자산의 적정 가격이 현재보다 높다는 것을 시사한다면, 이 정보를 아는 투자자들은 즉시 매수에 나설 것이고, 그 매수 압력이 가격을 올려 정보가 가격에 반영됩니다. 이 과정이 충분히 빠르게 일어나면, 나중에 같은 정보를 가지고 진입하는 사람은 이미 가격이 조정된 뒤이므로 초과수익을 얻기 어렵습니다.
| 형태 | 반영되는 정보 | 함의 | 현실 부합도 |
|---|---|---|---|
| 약형(Weak) | 과거 가격, 거래량 | 기술적 분석만으로는 지속적 초과수익 어려움 | 대체로 지지됨 |
| 준강형(Semi-Strong) | 공개 정보 전체 | 공시 후 즉시 가격 조정, 공개정보로 초과수익 어려움 | 상당 부분 지지됨 |
| 강형(Strong) | 내부자 정보 포함 모든 정보 | 내부자조차 초과수익 어려움 | 현실과 가장 먼 형태 |
EMH가 이 장에서 등장하는 이유는, "왜 미래 주가를 정확히 예측하기 어려운가"에 대한 이론적 배경을 제공하기 때문입니다. 예측이 체계적으로 어렵기 때문에, "예측 대신 복제"라는 접근이 강력해집니다. 복제는 미래를 예측하는 것이 아니라, 미래가 어떻게 전개되든 동일한 결과를 만들어내는 전략을 구성하는 것이므로, 예측의 어려움을 우회합니다.
2.2 불확실성 vs 위험: 확률을 쓸 수 있느냐가 핵심이다
일상에서 "불확실성(uncertainty)"과 "위험(risk)"은 거의 같은 뜻으로 사용되지만, 금융 이론에서는 이 둘을 명확히 구분합니다. 이 구분은 경제학자 프랭크 나이트(Frank Knight)가 1921년에 체계화한 것으로, "나이트적 불확실성(Knightian uncertainty)"이라는 용어의 기원이기도 합니다.
위험(Risk) vs 불확실성(Uncertainty)
위험(Risk)은 확률로 정량화할 수 있는 불확실성입니다. 금융에서는 주가의 변동성(\(\sigma\)), 손실 확률, VaR 등으로 위험을 측정합니다. 확률 분포로 표현할 수 있으므로 수학적 도구(기대값, 분산, 공분산 등)로 다룰 수 있습니다.
불확실성(Uncertainty)은 확률을 신뢰하기 어려운 상황에서의 무지입니다. 예를 들어 "내년에 전쟁이 발생할 확률"에는 신뢰할 수 있는 확률을 부여하기 어렵습니다. 확률 모형의 "바깥에" 존재하며, 시나리오 분석이나 스트레스 테스트로 다룹니다.
| 구분 | 정량화 불가능한 불확실성 | 정량화 가능한 위험 |
|---|---|---|
| 핵심 | 확률을 신뢰하기 어렵다 | 분포/변동성/상관으로 정량화 가능 |
| 대표 도구 | 시나리오, 스트레스, 전문가 판단 | 분산, VaR/ES, 옵션가격, 헤지 |
| 주의점 | 모형으로 해결하기 어렵다 | 추정오차/모형오차가 남는다 |
이 장에서 다루는 이항 모형과 BSM 모형은 위험을 변동성 \(\sigma\)라는 하나의 숫자로 압축합니다. 이 장에서 중요한 메시지는 "현실이 정말 이렇다"가 아니라, "이렇게 단순화된 세계에서조차 복제와 무차익이 가격을 강하게 고정한다"는 것입니다. 이후 장들에서는 이 단순화가 깨질 때 나타나는 현상, 즉 변동성 스마일이 주제가 됩니다.
2.3 \(\mu\)와 \(\sigma\)로 주가를 요약한다는 것의 의미
현실의 기업 가치는 매출, 비용, 경쟁, 규제, 거시경제 등 수많은 요인에 의해 결정됩니다. 그러나 금융 모형에서는 이 복잡성을 "주가"라는 하나의 숫자로 압축하고, 주가의 동학을 기대수익률 \(\mu\)와 변동성 \(\sigma\)라는 두 파라미터로 기술합니다. 이 압축은 어마어마한 정보 손실을 수반하지만, 그 대가로 계산 가능성(tractability)을 제공합니다.
기대수익률 \(\mu\)를 정확히 추정하는 것은 실무에서 대단히 어렵습니다. 과거 데이터로 추정하려 해도 추정 오차가 매우 크고, 미래의 \(\mu\)가 과거와 같을 것이라는 보장도 없습니다. 그런데 놀랍게도 복제에 기반한 파생상품 가격결정에서는 \(\mu\)가 필요하지 않습니다. 반면 변동성 \(\sigma\)는 핵심 입력입니다. BSM 공식에서 옵션 가격은 \(\sigma\)의 함수이며, \(\sigma\)를 어떻게 추정하느냐에 따라 가격이 달라집니다. 이후 장의 "변동성 스마일"은, 시장에서 관찰되는 옵션 가격이 BSM의 단일 \(\sigma\) 가정과 체계적으로 다르다는 현상입니다.
3. 이항 모형과 무차익 조건: 복제의 수학적 구현
3.1 이항 트리: 가장 단순하면서도 완전한 위험 모형
이항 모형(binomial model)은 기초자산의 가격이 한 단위 시간(\(\Delta t\)) 동안 정확히 두 방향 중 하나로 움직인다고 가정합니다. "상승(Up)"하면 주가가 \(S\)에서 \(Su\)로, "하락(Down)"하면 \(Sd\)로 변합니다. 이 단순한 구조가 왜 중요한가? 첫째, 상태가 정확히 두 개이므로 상태별 페이오프를 선명하게 쓸 수 있습니다. 둘째, 거래 가능한 자산 2개(주식, 채권)와 상태 2개로 복제가 완결됩니다. 셋째, 여러 단계로 반복하면 연속시간 모형(BSM)으로 수렴합니다.
한 스텝 이항 모형의 구조
현재 주가: \(S\)
한 스텝 후 상승 시: \(S_u = S \cdot u\)
한 스텝 후 하락 시: \(S_d = S \cdot d\)
무위험 자산의 성장: \(1 \to (1 + r\Delta t)\)
조건: \(u > d > 0\)
3.2 무차익 조건: 무위험 성장은 반드시 두 상태 사이에 있어야 한다
이항 모형의 무차익 조건
$$d < 1 + r\Delta t < u$$이 조건이 왜 필요한지를, 조건이 위반되는 두 경우를 살펴봅시다.
경우 1: \(1 + r\Delta t \geq u > d\) (무위험이 너무 높은 경우)
주식이 최대로 올라가도(\(u\)) 무위험 자산의 성장에 못 미칩니다. 주식을 공매도하고 그 대금을 무위험 자산에 투자하면, 주가가 올라도 무위험 수익이 주식 반환 비용 이상이므로 손실 없이 이익을 확보합니다. 차익거래가 성립합니다.
경우 2: \(u > d \geq 1 + r\Delta t\) (무위험이 너무 낮은 경우)
주식이 최소로 내려가도(\(d\)) 무위험 성장 이상입니다. 무위험 이자율로 차입하여 주식을 매수하면, 어떤 상태에서도 차입 비용 이상의 수익이 보장됩니다. 역시 차익거래입니다.
두 경우 모두 "비용 0으로 시작하여 미래에 손실 없이 이익을 얻는" 전략이 존재하므로, 가격 체계가 붕괴합니다. 따라서 무차익이 유지되려면 반드시 \(d < 1 + r\Delta t < u\)가 성립해야 합니다.
3.3 (핵심) 복제에서 위험중립 확률이 자연스럽게 등장한다
이제 이 장에서 가장 중요한 유도를 수행합니다. 이항 모형에서 유럽형 옵션의 복제 포트폴리오를 구성하고, 위험중립 확률이 어떻게 등장하는지를 단계별로 보여줍니다.
3.3.1 문제 설정
현재 주가 \(S\). 한 스텝 후 \(S_u = Su\) 또는 \(S_d = Sd\). 만기 옵션의 페이오프: 상승 시 \(C_u\), 하락 시 \(C_d\). 주식 \(\Delta\)주와 무위험 채권 \(B\)원으로 복제합니다.
3.3.2 복제 연립방정식
미지수 2개(\(\Delta, B\)), 방정식 2개. \(u \neq d\)이면 유일한 해가 존재합니다.
3.3.3 \(\Delta\)의 도출
Step 1: 두 식의 차이
$$\Delta \cdot S(u - d) = C_u - C_d$$Step 2: \(\Delta\) 해결
$$\boxed{\Delta = \frac{C_u - C_d}{S(u - d)}}$$이 결과의 의미를 해석합시다. \(\Delta\)는 "주가의 변화폭 \(S(u-d)\)에 대한 옵션 페이오프의 변화폭 \(C_u - C_d\)의 비율"입니다. 이것은 연속시간 모형에서의 델타(\(\partial C / \partial S\))의 이산 버전이며, 옵션의 주가에 대한 민감도(sensitivity)입니다.
주목할 점은 \(\Delta\)를 구하는 과정에서 현실 확률 \(p\)가 어디에도 사용되지 않았다는 것입니다. 오직 \(u, d, C_u, C_d\)만이 사용되었습니다. 이것이 "복제는 확률에 의존하지 않는다"는 핵심 메시지의 수학적 근거입니다.
3.3.4 \(B\)의 도출과 옵션 가격
Step 3: \(B\) 해결 (하락 상태 식에 대입)
$$B = \frac{C_d - \Delta \cdot Sd}{1+r\Delta t}$$Step 4: 옵션 가격 = 복제 비용
$$C = \Delta \cdot S + B$$3.3.5 위험중립 형태로의 정리
\(\Delta\)와 \(B\)를 \(C = \Delta S + B\)에 대입하여 정리하면, 매우 우아한 형태가 나타납니다. 이 과정을 상세히 따라갑니다.
Step 5: \(R = 1 + r\Delta t\)로 놓고, 대입 후 분자를 정리
\(C = \frac{C_u - C_d}{u-d} + \frac{1}{R} \cdot \frac{C_d u - C_u d}{u-d}\)를 통분하면:
$$C = \frac{1}{R} \cdot \frac{(C_u - C_d)R + C_d u - C_u d}{u-d}$$Step 6: 분자 전개
$$(C_u - C_d)R + C_d u - C_u d = C_u R - C_d R + C_d u - C_u d$$ $$= C_u(R - d) + C_d(u - R)$$Step 7: 최종 정리
$$C = \frac{1}{1+r\Delta t}\left[\frac{R-d}{u-d} \cdot C_u + \frac{u-R}{u-d} \cdot C_d\right]$$여기서 다음과 같이 정의합니다:
위험중립 확률의 정의와 옵션 가격
$$\boxed{p^* = \frac{(1+r\Delta t) - d}{u - d}}$$ $$\boxed{C = \frac{1}{1+r\Delta t}\left[p^* C_u + (1-p^*) C_d\right]}$$옵션 가격은 위험중립 확률 \(p^*\)를 가중치로 한 미래 페이오프의 가중 평균을, 무위험이자율로 할인한 것입니다.
[핵심 해석: 왜 위험중립 확률이 등장하는가]
복제 연립방정식에서 \(\Delta\)와 \(B\)를 구할 때, 현실 확률 \(p\)는 방정식 어디에도 나타나지 않습니다. 두 상태에서의 페이오프를 "맞추는" 작업은 확률과 무관한 대수적(algebraic) 작업이기 때문입니다. 그 결과 복제 비용으로 결정된 옵션 가격도 현실 확률에 의존하지 않습니다.
그런데 이 가격을 "어떤 확률하에서의 기대값을 할인한 것"으로 재표현할 수 있는데, 그때 등장하는 확률이 \(p^*\)입니다. \(p^*\)하에서 주식의 기대수익률을 계산하면 정확히 무위험이자율 \(r\)이 됩니다. 이것은 "모든 자산의 기대수익률이 무위험이자율과 같은 세계"를 의미하며, 그래서 이 확률을 "위험중립 확률"이라 부릅니다.
그러나 투자자가 실제로 위험에 무관심하다는 뜻이 아닙니다. 위험중립 확률은 가격결정을 위한 수학적 도구일 뿐이며, 복제 가능성이 이 도구의 사용을 정당화합니다. 시험에서 "위험중립은 투자자가 위험을 싫어하지 않는 것"이라고만 쓰면 핵심을 놓친 답안이 됩니다.
3.4 위험중립 확률하에서 주식의 기대수익률 검증
검증
$$E^*[S_{t+\Delta t}] = p^* \cdot Su + (1 - p^*) \cdot Sd = S[p^* u + (1-p^*) d]$$\(p^*\)의 정의를 대입하면:
$$p^* u + (1-p^*)d = \frac{(R-d)u + (u-R)d}{u-d} = \frac{Ru - du + ud - Rd}{u-d} = \frac{R(u-d)}{u-d} = R$$따라서 \(E^*[S_{t+\Delta t}] = S \cdot (1 + r\Delta t)\). 위험중립 세계에서 주식의 기대수익률은 무위험이자율과 동일합니다.
3.5 복제 가격에서 \(\mu\)가 사라지는 메커니즘
복제 연립방정식에 등장하는 양은 \(S, u, d, r, \Delta t, C_u, C_d\)뿐이며, 현실 확률 \(p\)는 어디에도 없습니다. 그 이유는 본질적으로 간단합니다. 복제란 "모든 상태에서 페이오프를 맞추는 것"이지, "기대값(평균)을 맞추는 것"이 아니기 때문입니다. 각 상태에서의 조건을 독립적으로 세우면, 상태에 가중치를 부여하는 확률은 불필요합니다.
비유를 들면, 열쇠가 자물쇠에 맞는지를 확인하는 데 "이 자물쇠가 얼마나 자주 사용되는가(확률)"는 관계없습니다. 오직 "모양이 맞는가(상태별 페이오프의 일치)"만 중요합니다.
현실 확률 \(p\)와 \(\mu\)의 관계를 보면: \(p = \frac{(1+\mu\Delta t) - d}{u - d}\). 따라서 \(p\)가 가격결정에 불필요하다는 것은, 곧 \(\mu\)가 불필요하다는 것과 같은 의미입니다. 이것이 "복제가 가능하면 파생상품 가격에서 \(\mu\)가 사라진다"는 강력한 결론의 수학적 근거입니다.
3.6 다기간 이항 트리: "한 스텝 복제"의 반복이 동적 복제가 된다
다기간 이항 모형의 가격결정은 역방향 귀납법(backward induction)입니다. 만기에서 시작하여, 각 노드에서 "한 단계 앞의 두 노드 값을 이용하여 현재 노드의 값을 역산"합니다. 각 역산 과정은 정확히 한 스텝 복제이며, 각 노드에서의 \(\Delta\)와 \(B\)가 결정됩니다.
핵심 관찰은 각 노드에서의 \(\Delta\)가 주가 수준과 시간에 따라 달라진다는 것입니다. 따라서 투자자는 각 시점에서 포지션을 재조정해야 하며, 이것이 동적 복제입니다.
연속시간으로의 확장
이항 트리의 단계 수를 무한대로 보내면(\(\Delta t \to 0\)), 이산적인 "노드별 복제"는 연속적인 "순간적 델타 헤지"로 수렴합니다. 이 극한에서 옵션 가격이 만족하는 방정식이 BSM PDE이며, 위험중립 기대값의 연속 버전이 BSM 공식이 됩니다.
4. 위험과 수익의 관계: 샤프비율, 분산투자, CAPM
4.1 "어떤 위험이 보상받는가?"
Section 1-3에서는 "가격을 고정하는 논리(복제와 무차익)"를 다루었습니다. 이제 관점을 바꿔, "기대수익률 \(\mu\)는 어떤 구조를 가져야 하는가"를 묻습니다. 핵심은 "위험이 하나가 아니다"라는 점입니다. 어떤 위험은 분산투자로 제거할 수 있고(비체계적 위험), 어떤 위험은 시장 전체와 함께 움직여서 제거할 수 없습니다(체계적 위험). 보상은 주로 "제거할 수 없는 위험"에 붙습니다. 이 구조를 세 가지 "세계(World)"를 통해 이해합니다.
4.2 World #1: 위험자산 1개 + 무위험 자산 (희석과 레버리지)
위험자산(기대수익 \(\mu\), 변동성 \(\sigma\))과 무위험 자산(\(r\))만 존재합니다. 자금의 \(w\) 비율을 위험자산에 배분합니다.
혼합 포트폴리오
$$\mu_P = r + w(\mu - r), \qquad \sigma_P = w\sigma$$샤프비율의 불변성
샤프비율(Sharpe Ratio)
변동성 한 단위당 초과수익을 나타내는 지표입니다:
$$\lambda = \frac{\mu - r}{\sigma}$$포트폴리오 샤프비율 = 원래 샤프비율
$$\lambda_P = \frac{\mu_P - r}{\sigma_P} = \frac{w(\mu - r)}{w\sigma} = \frac{\mu - r}{\sigma} = \lambda$$비중 \(w\)에 상관없이 포트폴리오의 샤프비율은 원래 위험자산과 동일합니다. "무위험 자산과의 혼합은 위험의 크기(scale)만 바꿀 뿐, 위험 대비 보상의 비율(quality)은 바꾸지 않습니다." 기하학적으로 \((\sigma_P, \mu_P)\) 평면에서 무위험 자산과 위험자산을 잇는 직선(자본배분선, CAL) 위의 모든 점은 동일한 샤프비율을 갖습니다.
[가정이 깨지면 불변성도 깨진다]
차입금리가 대출금리와 다르면(현실에서 흔함) \(w > 1\)(레버리지)일 때 실효 샤프비율이 낮아집니다. 공매도/레버리지 제한, 거래비용도 이 불변성을 깨뜨립니다.
4.3 World #2: 비상관 주식이 많아지면 (분산투자의 수학)
서로 비상관인 위험자산 \(n\)개를 균등 비중(\(1/n\))으로 담습니다.
Step 1: 분산 전개
$$\text{Var}(R_P) = \frac{1}{n^2}\sum_{i=1}^n \text{Var}(R_i) + \frac{1}{n^2}\sum_{i \neq j}\text{Cov}(R_i, R_j)$$Step 2: 비상관 가정 적용
비상관이므로 \(\text{Cov}(R_i, R_j) = 0\) (\(i \neq j\)):
$$\text{Var}(R_P) = \frac{n\sigma^2}{n^2} = \frac{\sigma^2}{n}$$Step 3: 표준편차
$$\boxed{\sigma_P = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}}$$\(n \to \infty\)이면 \(\sigma_P \to 0\)입니다. 무한히 많은 비상관 자산이 있으면 사실상 무위험 포트폴리오를 만들 수 있고, 무차익 조건에 의해 기대수익은 \(r\)로 수렴해야 합니다. 비현실적이지만, "현실에서 왜 남는 위험이 존재하고 보상받는가"를 강조하는 사고실험입니다.
4.4 World #3: 시장 요인이 남는 세계 (CAPM의 핵심 직관)
현실의 주식들은 경기, 금리, 인플레이션 등 공통 요인(시장 요인)에 함께 반응합니다. 분산투자는 기업 고유의 변동(비체계적 위험)을 제거할 수 있지만, 시장 요인에 대한 반응(체계적 위험)은 제거할 수 없습니다. 이 "남는 위험"이 보상받는 위험입니다.
베타(Beta)
자산 \(i\)의 베타는 시장 수익률에 대한 자산 수익률의 민감도입니다:
$$\beta_i = \frac{\text{Cov}(R_i, R_M)}{\text{Var}(R_M)}$$직관: "시장이 1% 움직일 때, 자산 \(i\)가 평균적으로 얼마나 같이 움직이는가"
\(\beta = 1\): 시장과 동일하게 움직임. \(\beta > 1\): 시장보다 민감 (공격적). \(\beta < 1\): 시장보다 둔감 (방어적). \(\beta = 0\): 시장과 무관.
CAPM: 증권시장선(Security Market Line, SML)
$$\boxed{\mu_i - r = \beta_i(\mu_M - r)}$$해석: 기대 초과수익은 시장 초과수익에 베타를 곱한 값입니다. 총 변동성 \(\sigma_i\)가 아니라 시장과의 공동 움직임(\(\beta\))만이 보상받습니다.
CAPM의 가정과 한계
CAPM은 강한 가정에 의존합니다. 모든 투자자가 평균-분산 기준으로 의사결정, 동일한 기대, 무마찰, 단일기간, 동일 금리 차입/대출 등입니다. 실증적으로 규모 효과, 가치 효과 등은 CAPM만으로 설명되지 않아 다요인 모형(Fama-French 등)으로 확장되었습니다.
이 장에서 CAPM이 등장하는 이유는 실증적 정확성이 아니라, "보상받는 위험과 보상받지 못하는 위험의 구분"이라는 핵심 논리를 가장 단순하게 보여주기 때문입니다.
5. 파생상품은 독립적 증권이 아니다
5.1 유럽형 콜 옵션의 비선형성
유럽형 콜 옵션의 페이오프
$$C(S_T) = \max(S_T - K, 0)$$이 페이오프는 비선형(nonlinear)입니다. \(S_T < K\)이면 0이고, \(S_T > K\)이면 \(S_T - K\)로 직선 증가합니다. 이 "꺾인 직선" 형태 때문에, 주식(선형)과 채권(상수)의 고정 조합으로는 정적 복제가 불가능하고, 주가 수준에 따라 보유량을 바꾸는 동적 복제가 필요합니다.
5.2 복제 가능성이 파생상품에 주는 제약
복제가 가능한 순간, 파생상품은 더 이상 "독립적인 기대수익률"을 갖는 자산이 아닙니다. 가격은 기초자산 가격 \(S\), 무위험이자율 \(r\), 변동성 \(\sigma\), 만기 \(T\), 행사가격 \(K\)에 의해 완전히 결정됩니다. 투자자의 기대수익률 \(\mu\)나 위험 선호는 가격에 영향을 주지 않습니다. 이것은 파생상품 가격결정의 가장 혁명적인 통찰이며, Black, Scholes, Merton이 1973년에 보여준 것입니다.
5.3 이 장에서 다음 장으로의 연결
[Chapter 2에서 이후 장으로의 연결 흐름]
(1) 이항 모형의 한 단계 복제는 "옵션 = 주식 + 채권" 구조를 보여줍니다.
(2) 다단계 이항 모형에서 \(\Delta\)가 바뀌므로 동적 복제(리밸런싱)가 필요합니다. 연속시간 극한에서 이것은 BSM의 연속 델타 헤지가 됩니다.
(3) 가격은 위험중립 할인 기대값으로 표현되며, 연속시간에서 BSM 공식이 도출됩니다.
(4) 변동성 \(\sigma\)가 핵심 입력으로 부상합니다.
(5) 현실에서 내재 변동성이 행사가격에 따라 달라지는 현상(변동성 스마일)이 이후 장의 주제입니다.
6. 연습문제 상세 해설
문제 2-1: 정적 복제 (난이도: 하)
두 상태 \(S_1, S_2\)만 존재한다. 증권 A는 \(S_1\)에서 9, \(S_2\)에서 11을 지급한다. 증권 B는 \(S_1\)에서 \(-5\), \(S_2\)에서 5를 지급한다. 두 상태 모두에서 100을 지급하는 포트폴리오 \(xA + yB\)를 구성하라.
상세 해설
| 상태 | 증권 A | 증권 B | 목표 |
|---|---|---|---|
| \(S_1\) | 9 | \(-5\) | 100 |
| \(S_2\) | 11 | 5 | 100 |
Step 1: 연립방정식 수립
$$\begin{cases} 9x - 5y = 100 \\ 11x + 5y = 100 \end{cases}$$Step 2: 두 식을 더함
$$20x = 200 \quad \Rightarrow \quad x = 10$$Step 3: 첫 식에 대입
$$90 - 5y = 100 \quad \Rightarrow \quad y = -2$$검증: 상태 \(S_1\): \(10 \times 9 + (-2) \times (-5) = 90 + 10 = 100\). 상태 \(S_2\): \(10 \times 11 + (-2) \times 5 = 110 - 10 = 100\).
[결론과 해석] A 10단위 롱, B 2단위 숏(\(y = -2\))이면 두 상태에서 모두 100을 지급합니다. 이 포트폴리오는 상태와 무관하게 동일한 현금흐름이므로 경제적으로 "무위험 자산"입니다. 따라서 \(10P_A - 2P_B = 100/(1+r\Delta t)\)여야 하며, 이 등식이 깨지면 차익거래가 가능합니다.
\(y = -2\)의 의미: 증권 B를 2단위 매도(숏)한다는 것입니다. 상태 \(S_1\)에서 B의 페이오프가 \(-5\)이므로, 숏 2단위의 현금흐름은 \(-2 \times (-5) = +10\)입니다. 숏 포지션에서는 부호가 뒤집힌다는 점에 주의하십시오.
문제 2-2: 샤프비율과 목표 변동성 (난이도: 하)
주식의 샤프비율 0.60, 무위험 이자율 2%, 목표 변동성 10%. 포트폴리오의 기대수익률은?
핵심 관계식: \(\mu_P = r + \lambda \cdot \sigma_P\)
$$\mu_P = 0.02 + 0.60 \times 0.10 = 0.08$$답: 8%
주식의 \(\sigma\)나 \(\mu\)가 명시되지 않았지만 답을 구할 수 있습니다. 샤프비율과 목표 변동성만으로 기대수익률이 정해지는 구조입니다. 만약 \(\sigma = 20\%\)가 추가로 주어지면, 비중 \(w = 0.10/0.20 = 0.5\)도 결정됩니다.
문제 2-3: 레버리지 포트폴리오와 동적 복제 (난이도: 중)
자기자본 100, ETF 투자, \(r=0\), 2배 레버리지. (a) 초기 구성? (b) ETF +10% 후 레버리지? (c) 정적/동적?
(a) 초기 구성
| 항목 | 금액 | 비고 |
|---|---|---|
| ETF 보유 (자산) | 200 | 자기자본 100 + 차입 100 |
| 차입 (부채) | 100 | \(r = 0\) |
| 자기자본 | 100 | |
| 레버리지 | 2.0 | \(= 200/100\) |
(b) ETF +10% 후
자산: \(220\), 부채: \(100\), 자기자본: \(120\). 레버리지: \(220/120 \approx 1.833\). 상승으로 자기자본이 늘었지만 부채는 고정이므로 레버리지 하락.
(c) 목표 레버리지 유지
레버리지 2 회복에 필요한 자산: \(120 \times 2 = 240\). 현재 자산 220이므로 ETF 20 추가 매수 필요 (20 추가 차입). 시장이 움직일 때마다 이런 조정이 필요하므로 동적 복제가 필수입니다.
[변동성 드래그(Volatility Drag)]
레버리지 ETF는 일간 목표를 맞추기 위해 매일 리밸런싱합니다. 예시: ETF가 +10%, -10% 반복하면, ETF 자체는 \(1.10 \times 0.90 = 0.99\)(1% 손실). 2배 레버리지는 \(1.20 \times 0.80 = 0.96\)(4% 손실). "2배이면 2% 손실"이 아니라 4% 손실입니다. 이 추가 손실이 변동성 드래그이며, 시험에서는 "경로 의존적(path-dependent)"임을 정확히 기술해야 합니다.
문제 2-4: 위험중립 확률 계산 (난이도: 중)
\(u = 1.10\), \(d = 0.90\), \(\Delta t = 1\), \(r = 5\%\). (a) 무차익 조건? (b) \(p^*\)?
(a) 무차익 조건 확인
\(1 + r\Delta t = 1.05\). 부등식: \(0.90 < 1.05 < 1.10\). 성립합니다. 무위험 성장이 주식의 두 결과 사이에 있어 차익거래 불가능.
(b) 위험중립 확률
답: \(p^* = 0.75\)
검증: \(p^* u + (1-p^*)d = 0.75 \times 1.10 + 0.25 \times 0.90 = 0.825 + 0.225 = 1.05 = 1 + r\Delta t\). 위험중립 세계에서 주식의 기대성장률이 정확히 무위험 성장률과 일치합니다.
\(p^* = 0.75\)는 "현실에서 주가 상승 확률이 75%"가 아닙니다. 현실 확률이 60%이든 30%이든, 무차익 가격은 이 \(p^*\)로 계산됩니다. \(p^*\)는 무차익 가격체계를 표현하기 위한 수학적 도구입니다.
문제 2-5: CAPM 초과수익 (난이도: 하)
시장 기대 초과수익 6%, \(\beta = 1.5\). 주식의 기대 초과수익은?
답: 9%
핵심: 보상받는 위험은 총 변동성(\(\sigma_i\))이 아니라 시장 노출(\(\beta_i\))에 비례합니다. 이 주식의 총 변동성이 40%이든 50%이든, 기대수익을 결정하는 요인은 오직 \(\beta\)입니다.
추가 문제 1: 샤프비율 재계산 (난이도: 하)
\(\mu = 12\%\), \(\sigma = 20\%\), \(r = 3\%\). 목표 변동성 10% 포트폴리오의 기대수익률?
답: 7.5%. 비중 \(w = 0.10/0.20 = 0.5\)(50% 주식, 50% 채권).
추가 문제 2: "위험중립"을 한 문장으로 정의하라 (난이도: 중)
모범 답안: "위험중립 확률(risk-neutral probability measure)은, 할인된 자산 가격이 마팅게일(martingale)이 되도록 만드는, 무차익 가격결정을 위한 수학적 확률 체계이다."
좋은 답안의 3요소: (i) "현실 확률이 아니라 수학적 확률 체계"임을 명시, (ii) "무차익 가격결정을 위한 도구"임을 명시, (iii) "할인된 자산 가격이 마팅게일"이라는 성질을 언급.
추가 문제 3: 복제와 \(\mu\) 제거 (난이도: 상)
"복제가 가능하면 파생상품 가격에서 \(\mu\)가 사라진다"는 말을, 이항 모형 한 스텝 복제 방정식 관점에서 설명하라.
Step 1. 복제는 주식 \(\Delta\)주 + 채권 \(B\)로 모든 상태에서 옵션 페이오프를 맞추는 연립방정식입니다:
$$\begin{cases} \Delta Su + B(1+r\Delta t) = C_u \\ \Delta Sd + B(1+r\Delta t) = C_d \end{cases}$$Step 2. 이 연립방정식에 등장하는 변수는 \(S, u, d, r, \Delta t, C_u, C_d\)뿐입니다. 기대수익률 \(\mu\)나 현실 확률 \(p\)는 어디에도 나타나지 않습니다.
Step 3. 이유: 복제는 "각 상태별로 페이오프를 정확히 맞추는" 작업이지, "평균적으로 맞추는" 것이 아닙니다. 각 상태에 가중치를 부여하는 확률이 불필요합니다.
Step 4. 따라서 복제 비용 \(C = \Delta S + B\)도 \(\mu\)에 의존하지 않습니다. 위험중립 확률 \(p^*\)는 이 가격을 "기대값의 할인"으로 재표현하기 위한 수학적 도구일 뿐입니다.
7. 핵심 개념 요약
| 개념 | 핵심 내용 | 연결 |
|---|---|---|
| 일물일가 | 모든 상태에서 동일 페이오프이면 현재가격도 동일. 위반 시 차익거래. | 복제의 논리적 토대 |
| 복제 = 가치평가 | 복제 가능하면, 목표 계약의 가격은 복제 포트폴리오 비용으로 고정. | 파생상품 가격결정의 핵심 |
| 위험중립 확률 | 무차익 가격을 표현하기 위한 수학적 확률. 현실 확률이 아님. | 이항 모형, BSM으로 연결 |
| \(\mu\)의 제거 | 복제 연립방정식에 현실 확률/기대수익률이 등장하지 않음. | 파생상품 가격의 핵심 특성 |
| 무차익 조건 | 비용 0으로 무위험 이익을 얻는 전략이 존재하지 않음. | 상태가격, 위험중립의 존재 보장 |
| 정적 vs 동적 복제 | 정적: 한 번 구성, 비용 낮음. 동적: 리밸런싱 필요, 비선형에 필수. | Ch.5-6 (헤지 오차) |
| 이항 모형 | 두 상태의 최소 모형. 무차익이 \(p^*\)를 만든다. | BSM의 이산 버전 |
| 샤프비율 | \(\lambda = (\mu - r)/\sigma\). 이상 조건하 희석/레버리지로 불변. | 위험-수익 관계의 기초 |
| 분산투자 | 비상관 위험은 \(\sigma/\sqrt{n}\)으로 감소. 공통요인 때문에 0 수렴 안 함. | 체계적/비체계적 위험 구분 |
| CAPM | \(\mu_i - r = \beta_i(\mu_M - r)\). 보상받는 위험은 시장노출(베타). | 다요인 모형으로 확장 |
| 파생상품의 비독립성 | 복제 가능 시 가격은 기초자산/무위험 가격체계에 의해 제약. | BSM, 변동성 스마일 |
8. 흔한 함정과 오해
[함정 1] "일물일가 = 자연법칙"이라는 오해
일물일가는 규범적 원리(should-be condition)이며, 시장 위기/비유동성/규제/신용불안 상황에서는 단기적으로 깨질 수 있습니다. 2008년 금융위기 때 동일한 현금흐름을 가진 채권과 CDS의 가격이 일시적으로 괴리된 사례가 대표적입니다. 다만 유동성이 높은 정상적 시장에서는 강하게 작동합니다.
[함정 2] "위험중립 = 투자자가 위험을 싫어하지 않는다"는 오해
가장 흔한 오해입니다. 위험중립 확률은 투자자의 심리적 태도를 기술하는 것이 아닙니다. 현실의 투자자는 대부분 위험 기피적입니다. 위험중립 확률은 "무차익 가격체계를 편리하게 표현하기 위한 수학적 도구"입니다. 복제가 가능하면 가격은 투자자의 위험 선호와 무관하게 결정되므로, 마치 모든 사람이 위험에 무관심한 것"처럼" 계산해도 올바른 가격이 나옵니다.
[함정 3] "정적 복제면 완전 무위험"이라는 오해
정적 복제는 거래가 적어 비용이 낮지만, 상품 정의의 차이(결제 방식, 증거금), 신용위험, 호가 괴리, 포지션 규모 제약 때문에 완전 무위험이 아닐 수 있습니다.
[함정 4] "동적 복제는 이론대로 항상 된다"는 오해
연속 헤지, 즉시 거래, 무마찰은 이론적 이상화입니다. 점프(갭), 스프레드, 유동성 부족이 헤지 오차를 만들고 실현 P&L이 모형 예측과 크게 달라질 수 있습니다. Chapter 5-7에서 체계적으로 분석합니다.
[함정 5] "레버리지 2배 = 항상 수익률 2배"라는 오해
레버리지 상품의 목표 배율은 보통 "일간" 기준입니다. 장기 누적 성과는 경로에 의존하며, 변동성 드래그 때문에 "단순 N배"보다 악화될 수 있습니다.
[함정 6] 부호 실수 (정적 복제 문제에서 빈번)
공매도(숏) 포지션의 현금흐름은 원래 페이오프의 부호가 뒤집힙니다. \(y = -2\)이고 페이오프가 \(-5\)인 상태에서, 숏 2단위의 현금흐름은 \(-2 \times (-5) = +10\)입니다. 이중 부정에 주의하십시오.
[함정 7] "샤프비율은 시간 단위와 무관"이라는 오해
샤프비율은 무차원 지표이지만, 수익률/변동성의 측정 기간(일/월/연)에 의존합니다. 일간 샤프비율을 연율화하려면 \(\sqrt{252}\)를 곱하는 관례가 있지만, 이는 수익률이 i.i.d.라는 가정에 의존합니다. 비교 시 반드시 동일한 시간 단위로 통일해야 합니다.
9. 암기 체크리스트
| 번호 | 체크 항목 | 확인 |
|---|---|---|
| 1 | 일물일가와 무차익이 어떻게 동치로 연결되는지 설명 가능한가? | |
| 2 | 이항 모형에서 복제 포트폴리오를 구성하고 위험중립 확률을 유도할 수 있는가? | |
| 3 | 위험중립 확률이 "현실 확률이 아니라 무차익 가격체계의 산물"임을 논증 가능한가? | |
| 4 | \(\mu\)가 파생상품 가격에서 사라지는 이유를 복제 연립방정식 관점에서 설명 가능한가? | |
| 5 | 정적 복제와 동적 복제의 차이(거래비용, 모형 의존성, 실행 리스크)를 비교 가능한가? | |
| 6 | 샤프비율 \(\lambda = (\mu - r)/\sigma\)와 희석/레버리지하 불변성을 유도할 수 있는가? | |
| 7 | 분산투자에서 \(\sigma/\sqrt{n}\)이 나오는 이유를 직관과 수식으로 설명 가능한가? | |
| 8 | "남는 위험 = 시장요인"이라는 World #3의 흐름을 재구성할 수 있는가? | |
| 9 | 베타의 정의(공분산/분산)와 경제적 의미를 설명 가능한가? | |
| 10 | CAPM의 SML 형태를 쓰고 핵심 가정과 한계를 구분 가능한가? |
10. 다음 장으로의 연결
Chapter 2의 메시지는 "복제가 가능하면 가격은 논리(무차익)로 고정되고, 모형은 복제 가능성을 보장하는 도구"라는 것입니다. 다음 장에서는 이항 모형의 복제 논리를 연속시간으로 확장하면서, 옵션의 동적 복제(델타 헤지)가 어떻게 BSM PDE와 가격 공식으로 연결되는지를 다룹니다.
연결 흐름 정리
Chapter 2 (이 장): 이항 모형에서 한 단계 복제. 무차익 조건이 위험중립 확률을 만든다. 복제 가능하면 \(\mu\)가 가격에서 제거된다.
다음 장: 이항 모형의 연속시간 극한. 동적 복제(연속 델타 헤지)가 BSM PDE를 유도한다. 위험중립 기대값의 연속 버전이 BSM 공식이 된다.
이후 장들: BSM이 가정하는 "단일 변동성"이 현실에서 행사가격에 따라 달라지는 현상(변동성 스마일)을 분석한다. BSM 가정의 한계를 드러내면서, 동시에 BSM 프레임워크의 유용성을 더 깊이 이해하는 계기가 된다.
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