Chapter 2. Mathematical Preliminaries
수학적 기초 — FX 옵션 프라이싱의 언어를 배운다
0. 이 장을 읽기 전에: 왜 이런 수학이 필요한가
FX 옵션 한 계약에 얼마를 지불해야 정당한가? 이 질문은 표면적으로는 단순해 보이지만, 그 답을 엄밀하게 도출하려면 상당히 정교한 수학적 기계가 필요하다. 이 장은 그 기계의 부품들을 하나씩 소개한다. 부품들의 목록은 다음과 같다: 확률론의 언어(확률공간, 여과, 마팅게일), 브라운 운동의 성질(이차변동, 비미분가능성), 확률적분의 규칙(이토 적분, 이토 등척성), GBM(기하 브라운 운동)의 구조, 이토 보조정리, 무차익 복제의 논리, PDE와 기대값의 동치성(Feynman-Kac), 위험중립측도와 측도변환(Girsanov), 그리고 이 모든 것이 하나의 닫힌 형태 공식(Garman-Kohlhagen)으로 수렴하는 경로.
중요한 사전 경고가 있다. 이 수학은 "현실을 정확하게 기술하는" 방정식이 아니다. 오히려 "가정들의 집합 위에서 내부 일관성을 갖는 가격체계를 구성하는" 프레임워크다. 어느 가정이 얼마나 현실과 멀리 떨어져 있는지를 인식하면서 이 장을 읽는 것이, 단순히 공식을 암기하는 것보다 훨씬 가치 있다.
0.1 핵심 용어 정의 — 처음 등장하는 모든 개념을 사전에 해체한다
수학에서 "불확실성"을 다루려면 먼저 "가능한 세계의 집합"이 필요하다. 이 집합을 표본공간(sample space) \(\Omega\)라 부른다. \(\Omega\)의 각 원소 \(\omega\)는 "자연이 선택할 수 있는 하나의 경로(시나리오)"를 나타낸다. FX 옵션 맥락에서 \(\omega\)는 "만기까지 환율이 어떤 경로를 그리는가"에 해당하며, \(\Omega\)는 가능한 모든 경로의 집합이다.
\(\mathcal{F}\)는 시그마-대수(sigma-algebra)라 부르며, "사건(event)들의 모음"이다. 사건이란 "\(S_T \ge K\)처럼 어떤 조건이 성립하는 경로들의 집합"이다. \(\mathcal{F}\)는 세 성질을 만족해야 한다: (i) \(\Omega \in \mathcal{F}\), (ii) \(A \in \mathcal{F}\)이면 \(A^c \in \mathcal{F}\), (iii) 가산 무한개의 집합도 합집합이 \(\mathcal{F}\)에 속한다. 이 성질들은 "여사건과 사건들의 조합도 사건이어야 한다"는 당연한 요구를 수학적으로 표현한 것이다.
\(P\)는 확률측도(probability measure)로, 각 사건 \(A \in \mathcal{F}\)에 \([0,1]\) 사이의 숫자를 부여하여 "이 시나리오가 얼마나 자주 일어나는가"를 나타낸다. \(P(\Omega)=1\)이 되어야 하고(어떤 시나리오는 반드시 일어난다), 서로소인 사건들의 확률은 더할 수 있어야 한다.
초심자가 자주 헷갈리는 것: 확률공간에서 "확률"은 오직 한 가지 \(P\)다. 나중에 등장하는 "위험중립측도 \(Q\)"는 같은 \((\Omega, \mathcal{F})\) 위에 정의된 또 다른 확률측도다. 사건들의 집합(\(\mathcal{F}\))은 그대로이고, 각 사건에 부여하는 숫자만 달라지는 것이다.
금융에서 시간은 매우 중요한 역할을 한다. 오늘의 시장 참여자는 오늘까지의 정보는 알지만 미래는 모른다. 이 "시간에 따라 점점 축적되는 정보"를 수학적으로 표현하는 도구가 여과(filtration)다.
여과란 시간 \(t\)에 대한 시그마-대수들의 모음 \(\{\mathcal{F}_t\}_{t \ge 0}\)으로, 다음 성질을 갖는다: \(s \le t\)이면 \(\mathcal{F}_s \subseteq \mathcal{F}_t\). 즉 시간이 지날수록 \(\mathcal{F}_t\)가 커진다(포함관계). 직관적으로, 시간이 지날수록 "알 수 있는 사건의 종류"가 늘어난다는 뜻이다. 과거는 알 수 있지만 미래는 여전히 불확실하다.
FX 옵션에서 여과는 "시점 \(t\)까지의 환율 경로로부터 알 수 있는 모든 정보"로 생각하면 충분하다. \(\mathcal{F}_t\)에 속하는 사건은 "시점 \(t\)까지의 관측만으로 발생 여부를 판단할 수 있는 사건"이다. 예컨대 "\(S_{0.5} \ge 1100\)"이라는 사건은 6개월까지의 환율을 보면 알 수 있으므로 \(\mathcal{F}_{0.5}\)에 속한다. 반면 "\(S_T \ge K\)"는 만기 \(T\)가 되어야 알 수 있으므로 \(\mathcal{F}_T\)에는 속하지만 \(\mathcal{F}_t\) (\(t < T\))에는 일반적으로 속하지 않는다.
어떤 확률변수 \(X_t\)가 여과에 적응적(adapted)이라는 것은 "\(X_t\)의 값이 \(\mathcal{F}_t\)를 보면 결정된다", 즉 "시점 \(t\)의 정보로 \(X_t\)를 계산할 수 있다"는 의미다. 환율 \(S_t\)는 적응적이어야 한다(오늘의 환율은 오늘 알 수 있으므로). 옵션가격 \(V_t\)도 적응적이어야 한다. 반면 "내일의 환율"은 오늘에는 적응적이지 않다.
마팅게일은 "공정한 게임(fair game)"을 수학적으로 정의한 것이다. 확률과정 \(\{M_t\}_{t \ge 0}\)가 여과 \(\{\mathcal{F}_t\}\)에 대해 마팅게일이라는 것은 다음을 의미한다:
$$\mathbb{E}[M_t \mid \mathcal{F}_s] = M_s, \qquad \text{모든 } s \le t$$직관: "과거와 현재의 모든 정보(\(\mathcal{F}_s\))를 조건으로 하더라도, 미래 시점 \(t\)의 기대값이 현재값 \(M_s\)와 같다." 즉 미래에 대한 가장 좋은 예측이 현재값이라는 의미다. 도박에서 "누적 이익/손실이 마팅게일"이면 그 게임은 공정하다.
금융에서 마팅게일이 핵심인 이유는 무차익(no-arbitrage)과 밀접히 연결되기 때문이다. 제1 기본정리(First Fundamental Theorem of Asset Pricing, FTAP)에 따르면, 무차익 시장에서는 어떤 "위험중립측도 \(Q\)" 하에서 모든 할인된 가격과정이 마팅게일이 된다. 반대로 그런 측도가 존재하면 시장은 무차익이다. 이 동치 관계가 파생상품 가격결정의 수학적 토대다.
수퍼마팅게일(supermartingale)은 \(\mathbb{E}[M_t \mid \mathcal{F}_s] \le M_s\)로, "평균적으로 감소하는 과정"이다. 서브마팅게일(submartingale)은 반대로 "평균적으로 증가하는 과정"이다. 현실측도에서 기대수익률이 양수인 주식/환율은 서브마팅게일이고, 위험중립측도로 적절히 할인하면 마팅게일이 된다.
금융공학에서 "기대값"은 거의 항상 "어떤 정보를 조건으로 한 기대값"이다. 조건부 기대값 \(\mathbb{E}[X \mid \mathcal{F}_t]\)는 다음을 의미한다: "시점 \(t\)까지 알 수 있는 모든 정보 \(\mathcal{F}_t\)를 조건으로 할 때, 랜덤변수 \(X\)의 기대값."
직관적으로, 이것은 "현재까지의 관측 결과가 \(\omega \in A\)라는 정보하에서, 아직 불확실한 \(X\)의 평균값을 구하는 것"이다. 예를 들어 오늘 환율이 1,200원임을 알고 있을 때, 만기 환율의 조건부 기대값을 구하는 것이 실무적으로 중요한 계산이다.
조건부 기대값의 핵심 성질들: (i) 타워(tower) 성질: \(\mathbb{E}[\mathbb{E}[X|\mathcal{F}_t]|\mathcal{F}_s] = \mathbb{E}[X|\mathcal{F}_s]\) (\(s \le t\)). "더 적은 정보로 평균한 것은, 더 많은 정보로 평균한 것을 다시 평균한 것과 같다." (ii) \(\mathcal{F}_t\)-가측 확률변수 \(Y\)에 대해 \(\mathbb{E}[YX|\mathcal{F}_t]=Y\cdot\mathbb{E}[X|\mathcal{F}_t]\). "이미 아는 것은 기대값 밖으로 뺄 수 있다." (iii) 독립이면 \(\mathbb{E}[X|\mathcal{F}_t]=\mathbb{E}[X]\). 이 성질들은 이토 적분과 마팅게일 이론에서 반복적으로 사용된다.
확률과정 \(\{X_t\}_{t \ge 0}\)은 두 가지 방식으로 볼 수 있다. 첫째, 고정된 \(\omega\)에 대해 \(t \mapsto X_t(\omega)\)는 시간의 함수(경로)다. 둘째, 고정된 \(t\)에 대해 \(\omega \mapsto X_t(\omega)\)는 랜덤변수다. 따라서 확률과정은 "랜덤변수들의 시간 인덱스 모음"이면서 동시에 "랜덤한 함수(시간의 경로)"다.
경로의 연속성 여부는 매우 중요하다. 브라운 운동의 경로는 연속적이다(점프 없이 이어진다). 반면 점프-확산 과정의 경로는 불연속 점프를 허용한다. 연속 경로를 갖는 과정에 이토 미적분이 적용되고, 점프가 있으면 별도의 마커스(Marcus) 또는 이토-레비(Ito-Lévy) 공식이 필요하다.
0.2 이 장의 전체 흐름도
Step 1 (확률론 기초): 수학적 언어 설정. 확률공간, 여과, 마팅게일, 이토 적분의 기초 도구를 준비한다.
Step 2 (모형 선택): 환율 \(S_t\)가 기하 브라운 운동(GBM)을 따른다고 가정한다. 이 선택이 왜 자연스러운지, 한계는 무엇인지를 이해한다.
Step 3 (이토 보조정리): GBM 위에서 옵션가격 \(V(S_t,t)\)가 어떻게 변하는지를 계산하는 핵심 도구. "\(dW^2 = dt\)"라는 규칙에서 출발한다.
Step 4 (델타헤지 + PDE): 옵션과 기초자산(FX에서는 외화채권)을 섞어 무작위성을 제거한다. 남는 포트폴리오가 무위험이자율로 성장해야 한다는 무차익 조건이 Garman-Kohlhagen PDE를 만든다.
Step 5 (Feynman-Kac): PDE를 "위험중립 기대값의 할인"으로 재해석하는 다리. 이 다리 위에서 \(\mu\)가 완전히 사라지고 \(r_d, r_f\)만 남는다.
Step 6 (닫힌형 공식): GBM 가정하에서 로그정규 분포를 이용하여 기대값을 정규분포 적분으로 계산한다. 결과가 Garman-Kohlhagen 공식이다.
Step 7 (확장과 한계): 금리 기간구조, 동일가격의 법칙, Breeden-Litzenberger, 디지털 옵션, Fourier 방법, 그리고 GBM의 한계(leptokurtosis)로 이어진다.
1. 브라운 운동: 연속시간 불확실성의 표준 블록
1.1 왜 브라운 운동인가 — 역사적·직관적 배경
1827년 식물학자 로버트 브라운(Robert Brown)은 현미경으로 꽃가루 알갱이들이 물 위에서 끊임없이 불규칙하게 움직이는 것을 관찰했다. 처음에는 꽃가루가 살아있기 때문이라고 생각했지만, 무생물 입자에서도 동일한 현상이 나타났다. 이 운동은 수없이 많은 물 분자들이 사방에서 불규칙하게 충돌하는 결과였다. 1905년 아인슈타인은 이 운동의 수학적 이론을 완성했고, 1908년 수학자 루이 바슐리에(Louis Bachelier)는 이미 1900년 박사논문에서 주가의 불규칙한 움직임을 동일한 구조로 기술했다.
금융에서 브라운 운동이 "표준"이 된 이유는 무엇인가? 핵심은 "많은 독립적인 소충격들의 합"이라는 구조에 있다. 환율은 매 순간 수많은 시장 참여자들의 미세한 매수/매도, 뉴스, 신호에 반응하며 변한다. 이 개별 충격들은 작고, 서로 거의 독립적이며, 평균이 대략 0이다. 중심극한정리(CLT)에 따르면 이런 구조의 합은 정규분포로 수렴한다. 따라서 "짧은 시간 간격의 환율 변화가 정규분포를 따른다"는 GBM의 핵심 가정은 단순한 수학적 편의가 아니라 CLT에 의한 자연스러운 귀결이다.
1.2 표준 브라운 운동의 정의와 성질
확률과정 \(\{W_t\}_{t \ge 0}\)이 표준 브라운 운동이라 함은 다음 네 조건을 모두 만족함을 말한다:
(BM1) 초기값: \(W_0 = 0\) (거의 확실하게, almost surely).
(BM2) 독립 증가분: \(0 \le t_0 < t_1 < \cdots < t_n\)에 대해 \(W_{t_1}-W_{t_0}, W_{t_2}-W_{t_1}, \ldots, W_{t_n}-W_{t_{n-1}}\)은 서로 독립이다. 즉, 겹치지 않는 시간 구간의 움직임들은 서로 상관이 없다.
(BM3) 정규 증가분: \(s \le t\)에 대해 \(W_t - W_s \sim N(0, t-s)\). 즉 길이 \((t-s)\)의 시간 구간에서의 변화는 평균 0, 분산 \((t-s)\)인 정규분포를 따른다. 표준편차는 \(\sqrt{t-s}\)이다.
(BM4) 연속 경로: 거의 모든(almost all) \(\omega\)에 대해, \(t \mapsto W_t(\omega)\)는 연속함수다. 즉 순간적인 점프(gap)가 없다.
브라운 운동이 \(N(0,t)\)을 따른다는 것은 표준편차가 \(\sqrt{t}\)라는 뜻이다. 이것은 처음에는 이상하게 느껴진다. 시간이 4배면 변화량의 표준편차가 2배다. 왜 4배가 아닐까?
직관: 브라운 운동을 "작은 독립 보폭들의 합"으로 생각하자. 시간 \([0,t]\)를 \(n\)개의 작은 구간으로 나누면 각 구간에서 \(\pm\sqrt{t/n}\)의 보폭을 무작위로 걷는다고 볼 수 있다. 각 보폭이 독립이므로 분산은 더해진다: \(\text{Var}(\sum) = n \cdot (t/n) = t\). 표준편차는 \(\sqrt{t}\). 이 논리는 기술적으로는 이산 랜덤 워크의 연속시간 극한이고, 수학적으로는 중심극한정리의 연속 버전이다.
실무 의미: 옵션 공식에 나오는 \(\sigma\sqrt{T}\)는 "만기까지의 누적 불확실성(1 표준편차 범위)"을 나타낸다. 변동성 \(\sigma = 10\%\), 만기 \(T = 1\)년이면 환율의 1 표준편차 움직임은 약 10%다. 만기가 4년이면 1 표준편차는 \(10\% \times \sqrt{4} = 20\%\)다.
1.3 이차변동 (Quadratic Variation): \((dW_t)^2 = dt\)의 의미와 유도
브라운 운동과 일반 함수의 가장 결정적인 차이는 이차변동이다. 이 개념이 이토 보조정리의 "\(\frac{1}{2}\sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2}\)" 항을 낳는다.
확률과정 \(X_t\)의 구간 \([0,t]\)에 대한 이차변동은 다음 극한으로 정의된다:
$$[X,X]_t = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} (X_{t_i^n} - X_{t_{i-1}^n})^2$$여기서 분할 \(0 = t_0^n < t_1^n < \cdots < t_n^n = t\)의 메쉬(mesh, 최대 구간 길이)가 \(\to 0\)이다.
균등 분할 \(t_i^n = i \cdot t/n\)으로 두면, \(\Delta W_i := W_{t_i^n} - W_{t_{i-1}^n} \sim N(0, t/n)\)이고 서로 독립이다. 합산:
$$Q_n := \sum_{i=1}^{n} (\Delta W_i)^2$$독립성과 \(\mathbb{E}[(\Delta W_i)^2] = t/n\)에 의해:
$$\mathbb{E}[Q_n] = n \cdot \frac{t}{n} = t$$\(\text{Var}((\Delta W_i)^2) = \mathbb{E}[(\Delta W_i)^4] - (\mathbb{E}[(\Delta W_i)^2])^2\). \(\Delta W_i \sim N(0, t/n)\)이므로 4차 모멘트는 \(3(t/n)^2\)이다 (정규분포의 성질). 따라서:
$$\text{Var}((\Delta W_i)^2) = 3\left(\frac{t}{n}\right)^2 - \left(\frac{t}{n}\right)^2 = 2\left(\frac{t}{n}\right)^2$$독립성에 의해:
$$\text{Var}(Q_n) = n \cdot 2\left(\frac{t}{n}\right)^2 = \frac{2t^2}{n} \to 0 \text{ as } n \to \infty$$기대값은 \(t\)이고 분산이 0으로 수렴하므로, \(Q_n \to t\) in \(L^2\)(그리고 거의 확실하게). 따라서 \([W,W]_t = t\).
일반적인 매끄러운(미분가능한) 함수 \(f(t)\)의 이차변동은 0이다. 왜냐하면 \(|f(t_i)-f(t_{i-1})| \le C \cdot |t_i - t_{i-1}|\)이면 \(\sum(f(t_i)-f(t_{i-1}))^2 \le C \cdot \max_i|t_i-t_{i-1}| \cdot \sum |f(t_i)-f(t_{i-1})| \to 0\)이기 때문이다.
브라운 운동은 이차변동이 0이 아니다. 이는 브라운 운동의 경로가 "무한히 들쭉날쭉"해서, 미세 눈금으로 볼수록 더 많이 움직인다는 것을 의미한다. 수학적으로는 경로의 일차변동(total variation)이 무한대이며, 경로가 어디에서도 미분 불가능하다.
결과적으로 이산적인 미적분 규칙: \((dW_t)^2 \approx dt\) 는 엄밀히는 \(d[W,W]_t = dt\)로 쓰며, 이것이 이토 보조정리의 2차 항을 살려내는 핵심이다.
1.4 경로의 비미분가능성: 왜 보통 미적분이 실패하는가
브라운 운동의 경로는 연속이지만(BM4), 어디에서도 미분 불가능하다. 이것은 직관적으로 놀랍다. "연속이면 대부분 미분가능하지 않을까?"라는 직감이 있기 때문이다. 하지만 실제로는 연속이면서 어디에서도 미분 불가능한 함수가 존재하고(바이어슈트라스 함수), 브라운 운동이 바로 그런 경로를 갖는다.
미분가능성이란 "매우 가까운 두 점을 이은 직선의 기울기가 수렴하는 것"이다. 브라운 운동에서 \((W_{t+h}-W_t)/h\)의 표준편차는 \(1/\sqrt{h}\)인데, \(h \to 0\)이면 이것이 무한대로 발산한다. 따라서 기울기(도함수)가 정의되지 않는다.
물리적 비유: 브라운 입자는 매 순간 방향이 완전히 랜덤으로 바뀐다. 입자에 "지금 속도(=기울기)"를 물어보면 답할 수 없다. 무한히 빠른 진동 탓에 속도가 발산한다. 이것이 "이토 미적분이 필요한 근본 이유"다. 보통 미적분(뉴턴-라이프니츠)은 함수가 미분가능하다는 전제에 의존하지만, 브라운 운동에는 그 전제가 없다.
형식적으로는 \(dW_t\)를 "정의되지 않은 대상"으로 다루고, \(\int_0^t f(s) dW_s\)를 직접 적분으로 정의한다. 이것이 이토 적분의 출발점이다.
1.5 다변수 브라운 운동과 상관관계
여러 위험 요인이 함께 움직이는 경우(예: 두 통화쌍, 스팟과 변동성), 다변수 브라운 운동이 필요하다. \(n\)차원 브라운 운동 \(\mathbf{W}_t = (W_t^1, \ldots, W_t^n)\)은 각 성분이 독립 표준 브라운 운동이다. 상관된 브라운 운동이 필요하면 콜레스키(Cholesky) 분해로 독립 브라운 운동으로부터 생성한다. FX에서는 스팟-변동성 상관 \(\rho\)가 스큐(skew)를 만드는 핵심 파라미터로 등장하며, 이를 다루는 것이 헤스턴(Heston) 모형의 핵심이다.
2. 이토 적분: 브라운 운동에 대한 "덧셈"
2.1 왜 리만-스틸체스 적분이 실패하는가
보통의 적분 \(\int_0^t f(s) dg(s)\)는 \(g\)가 충분히 매끄럽거나(유한 일차변동) 최소한 리만-스틸체스 의미에서 잘 정의될 것을 요구한다. 브라운 운동은 무한 일차변동을 가지므로 리만-스틸체스 의미의 적분이 정의되지 않는다.
리만-스틸체스 적분을 구성하려면 \(\sum f(t_i^*)(W_{t_i}-W_{t_{i-1}})\)의 극한을 취한다. 그런데 \(W\)의 경로가 무한히 들쭉날쭉하므로, 구간점 \(t_i^*\)를 좌끝점으로 잡느냐, 우끝점으로 잡느냐, 중간점으로 잡느냐에 따라 극한값이 달라진다. 따라서 리만-스틸체스 적분은 유일하게 정의되지 않는다.
이토(Ito)는 구간점을 항상 "왼쪽 끝점"으로 잡아 고정한다. 이것이 이토 적분의 핵심 규약이고, 이로부터 이토 공식의 \(\frac{1}{2}\) 계수가 나온다. (스트라토노비치(Stratonovich) 적분은 "중간점"을 쓰며, 사슬 규칙이 보통 미적분과 같아지지만 마팅게일 성질을 잃는다.)
2.2 이토 적분의 구성
우선 계단함수(step function)에 대한 이토 적분을 정의한다. \(f(t) = \sum_{i=0}^{n-1} f_i \mathbf{1}_{[t_i, t_{i+1})}(t)\)이면 (단 각 \(f_i\)는 \(\mathcal{F}_{t_i}\)-가측, 즉 시점 \(t_i\)의 정보로 결정됨):
$$\int_0^t f(s)\,dW_s := \sum_{i=0}^{n-1} f_i (W_{t_{i+1}\wedge t} - W_{t_i \wedge t})$$이 정의에서 핵심은 \(f_i\)가 \(\mathcal{F}_{t_i}\)-가측이라는 조건이다. "왼쪽 끝점에서의 \(f\) 값"을 사용한다는 뜻이고, 이것이 이토 규약이다. 이후 이 정의를 \(L^2\) 완비화를 통해 적분가능한 일반 과정 \(f\)로 확장한다.
이토 적분의 가장 강력한 성질 중 하나는 등척성이다. 조건을 만족하는 과정 \(f\)에 대해:
$$\mathbb{E}\left[\left(\int_0^t f(s)\,dW_s\right)^2\right] = \mathbb{E}\left[\int_0^t f(s)^2\,ds\right]$$직관: "이토 적분의 제곱 기대값은, 피적분함수 제곱의 (시간) 기대값의 적분과 같다." 이것은 \(L^2\) 수렴의 언어로, 이토 적분이 "잘 정의된 극한"을 가짐을 보장한다. 실무적으로는 이토 적분의 분산을 계산할 때 유용하다.
적분가능 조건을 만족하는 과정 \(f\)에 대해, \(M_t := \int_0^t f(s)\,dW_s\)는 마팅게일이다:
$$\mathbb{E}[M_t \mid \mathcal{F}_s] = M_s, \qquad s \le t$$증명의 핵심: 이토 규약("왼쪽 끝점")으로 인해 증가분 \(\int_s^t f(u)\,dW_u\)는 \(\mathcal{F}_s\)에 조건부로 기대값이 0이다. 이는 이토 적분이 "순간적인 무작위 충격들의 합"이고, 각 충격의 방향이 \(dW_u\)에 의해 완전히 무작위로 결정되기 때문이다. 이 마팅게일 성질이 이토 적분을 금융에서 "무작위 손익의 합"으로 해석할 수 있게 해준다.
2.3 SDE(확률미분방정식)의 의미
SDE \(dX_t = a(X_t,t)\,dt + b(X_t,t)\,dW_t\)는 엄밀히는 적분 방정식의 약어다:
$$X_t = X_0 + \int_0^t a(X_s,s)\,ds + \int_0^t b(X_s,s)\,dW_s$$첫째 항 \(\int_0^t a\,ds\)는 보통의 리만 적분이고, 둘째 항 \(\int_0^t b\,dW_s\)가 이토 적분이다. SDE의 "해"는 이 적분 방정식을 만족하는 확률과정이다. GBM의 경우 강한 해(strong solution)가 명시적으로 존재하며, 이것이 닫힌형 공식을 가능하게 한다.
3. GBM: FX 스팟 환율의 확률과정 모형
3.1 왜 기하 브라운 운동인가 — 세 가지 요구조건
환율 \(S_t\)의 확률과정을 선택할 때, 최소한 다음 세 가지 요구를 만족해야 한다고 생각하는 것이 합리적이다. 이 세 요구를 모두 만족하는 가장 단순한 과정이 GBM이다.
| 요구조건 | 의미 | GBM에서의 만족 여부 |
|---|---|---|
| 양수성 (Positivity) | \(S_t > 0\) 항상 유지. 환율이 음수가 되는 것은 물리적으로 불가능하다. | 지수함수 형태이므로 항상 양수. |
| 비율 변화의 자연스러움 | "1원 움직임"보다 "1% 움직임"이 더 경제적으로 의미 있는 경우가 많다. 1,000원 환율에서 10원 움직임 = 1%이지만, 1,200원에서 10원 움직임 = 0.83%다. | 퍼센트 변화율 \(dS_t/S_t\)가 상수 \(\sigma\)의 잡음을 갖는다. |
| 확률적 변동 | 환율은 예측 불가능하게 움직인다. 결정론적 모형은 부적절하다. | 브라운 운동 \(dW_t\)가 포함되어 있다. |
3.2 GBM의 SDE와 직관
또는 양변을 \(S_t\)로 나누어:
$$\frac{dS_t}{S_t} = \mu\,dt + \sigma\,dW_t$$여기서 \(\mu\)는 드리프트(drift, 현실측도에서의 기대 성장률), \(\sigma > 0\)는 변동성(volatility), \(W_t\)는 표준 브라운 운동.
우변의 두 항을 직관적으로 이해하자. \(\mu\,dt\) 항: 아주 짧은 시간 \(dt\) 동안 환율이 평균적으로 \(\mu S_t\,dt\)만큼 변한다. 이것은 결정론적(예측 가능한) 성장이다. \(\sigma S_t\,dW_t\) 항: 브라운 운동의 충격 \(dW_t \sim N(0, dt)\)에 비례하는 랜덤 충격이다. 크기는 현재 스팟 \(S_t\)에 비례하므로, 스팟이 높을수록 절대적인 변동폭도 크다. 퍼센트 기준으로는 항상 \(\sigma\sqrt{dt}\)로 일정하다.
EUR/USD 환율 \(S_0 = 1.10\), 변동성 \(\sigma = 8\%\) (연간), 드리프트 \(\mu = 2\%\). 1주일(약 \(dt = 1/52\)년) 후의 변화를 생각해보자.
결정론적 부분: \(\mu S_0 dt = 0.02 \times 1.10 \times (1/52) \approx 0.000423\). 즉 평균적으로 약 0.042% 상승.
랜덤 부분: \(\sigma S_0 \sqrt{dt} = 0.08 \times 1.10 \times \sqrt{1/52} \approx 0.01220\). 즉 1 표준편차 움직임이 약 1.1% (절대값으로 약 0.012).
결정론적 부분이 랜덤 부분에 비해 훨씬 작으므로, 단기 옵션에서는 드리프트 \(\mu\)의 영향이 매우 작다. 이것이 "위험중립 가격결정에서 \(\mu\)를 무시해도 되는" 실질적 이유 중 하나다.
3.3 GBM의 해: 로그정규 분포의 도출
GBM의 해를 구하려면 이토 보조정리가 필요하다. 여기서는 결과를 먼저 제시하고, Section 4에서 이토 보조정리를 이용한 엄밀한 유도를 수행한다.
이토 보조정리를 \(f(S, t) = \ln S\)에 적용하면 (자세한 유도는 Section 4):
$$dX_t = d(\ln S_t) = \left(\mu - \frac{1}{2}\sigma^2\right)dt + \sigma\,dW_t$$드리프트와 확산계수가 모두 상수이므로 즉시 적분 가능하다:
$$X_T = X_0 + \left(\mu - \frac{1}{2}\sigma^2\right)T + \sigma W_T$$ $$\ln S_T = \ln S_0 + \left(\mu - \frac{1}{2}\sigma^2\right)T + \sigma W_T$$\(W_T \sim N(0, T)\)이므로 \(\sigma W_T \sim N(0, \sigma^2 T)\). 따라서:
$$\ln S_T \sim N\left(\ln S_0 + \left(\mu - \frac{1}{2}\sigma^2\right)T,\;\; \sigma^2 T\right)$$로그가 정규분포를 따르므로 \(S_T\) 자체는 로그정규분포(lognormal distribution)를 따른다.
GBM에서 기대값을 계산하면:
$$\mathbb{E}[S_T] = S_0 e^{\mu T}$$그런데 로그의 기대값은:
$$\mathbb{E}[\ln S_T] = \ln S_0 + \left(\mu - \frac{1}{2}\sigma^2\right)T$$즉 "\(\ln\)의 기대값 \(\ne\) 기대값의 \(\ln\)"이다. 이 차이 \(-\frac{1}{2}\sigma^2 T\)가 이토 수정이다. 이것은 로그정규분포의 Jensen 부등식(\(\mathbb{E}[\ln X] < \ln \mathbb{E}[X]\))의 결과다. 실무적으로 중요한 점은 "드리프트가 \(\mu\)인 GBM에서 로그수익률의 평균은 \(\mu\)가 아니라 \(\mu - \frac{1}{2}\sigma^2\)"라는 것이다. 변동성이 크면 로그수익률의 평균이 드리프트보다 낮아진다.
4. 이토 보조정리: 브라운 운동 세계의 사슬 규칙
4.1 테일러 전개와 이토 보조정리의 비교
보통 미적분에서 매끄러운 함수 \(f(x(t),t)\)의 미분은 사슬 규칙(chain rule)으로 계산된다:
$$df = \frac{\partial f}{\partial t}dt + \frac{\partial f}{\partial x}dx$$이것은 테일러 전개에서 2차 이상의 항을 무시한 결과다. 결정론적 세계에서 \(dx = O(dt)\)이므로 \((dx)^2 = O(dt^2)\)이 되어 무시해도 좋다. 그러나 브라운 운동 세계에서는 \(dx\)가 \(dW_t\)를 포함하고, \((dW_t)^2 \approx dt\)이므로 2차 항이 살아남는다. 이것이 이토 보조정리와 보통 사슬 규칙의 결정적 차이다.
4.2 이토 보조정리 (Ito's Lemma): 1차원 버전
\(X_t\)가 다음 SDE를 따른다고 하자:
$$dX_t = a(X_t, t)\,dt + b(X_t, t)\,dW_t$$\(f(x, t)\)가 \(x\)에 대해 2번, \(t\)에 대해 1번 연속 미분가능하면:
$$df(X_t, t) = \left(\frac{\partial f}{\partial t} + a\frac{\partial f}{\partial x} + \frac{1}{2}b^2\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}\right)dt + b\frac{\partial f}{\partial x}\,dW_t$$보통 사슬 규칙과의 차이: \(\frac{1}{2}b^2\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}\,dt\) 항이 추가되어 있다. 이것이 이토 수정(Ito correction)이다.
\(dX_t = a\,dt + b\,dW_t\)를 대입하면 \((dX_t)^2 = a^2(dt)^2 + 2ab\,dt\cdot dW_t + b^2(dW_t)^2\)이다. 이토 곱셈표:
| \(dt\) | \(dW_t\) | |
|---|---|---|
| \(dt\) | \(0\) (\(O(dt^2)\)이라 무시) | \(0\) (\(O(dt^{3/2})\)이라 무시) |
| \(dW_t\) | \(0\) | \(dt\) (이차변동으로부터) |
따라서 \((dX_t)^2 \to b^2 dt\). 나머지 항 \((dt)^2, dt \cdot dW_t\)는 모두 \(O(dt^{3/2})\) 이하로 무시된다.
4.3 핵심 응용: \(\ln S_t\)의 SDE 유도
\(X_t = S_t\)이고 GBM: \(dS_t = \mu S_t\,dt + \sigma S_t\,dW_t\). 이를 이토 형식으로 쓰면 \(a = \mu S_t\), \(b = \sigma S_t\). \(f(x) = \ln x\).
이 SDE는 상수계수 선형 SDE이므로 직접 적분 가능하다. 결과는 Section 3.3에서 본 GBM의 해와 일치한다. \(-\frac{1}{2}\sigma^2\) 항이 이토 수정이며, 보통 사슬 규칙(이 항 없음)과의 차이다.
4.4 이토 보조정리 — 2변수 버전 (FX에서 핵심)
\(X_t = (X_t^1, X_t^2)\)가 \(dX_t^i = a^i dt + \sum_j b^{ij} dW_t^j\)를 따를 때:
$$df(X_t^1, X_t^2, t) = \frac{\partial f}{\partial t}dt + \sum_i \frac{\partial f}{\partial x_i}dX_t^i + \frac{1}{2}\sum_{i,j}\frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j}d[X^i, X^j]_t$$여기서 \(d[X^i, X^j]_t = \sum_k b^{ik}b^{jk}dt\) (이차 공변동). 두 브라운 운동의 상관이 \(\rho\)이면 \(d[W^1, W^2]_t = \rho\,dt\).
FX에서는 스팟과 스토캐스틱 변동성을 동시에 다룰 때 이 버전이 필요하다. 단순 GBM에서는 변동성이 확정적이므로 1변수 버전으로 충분하다.
5. FX 시장의 구조: 주식 모형과 무엇이 다른가
5.1 FX 스팟 \(S_t\)의 경제적 의미
주식 옵션에서 기초자산은 "주식 1주"라는 물리적 실체이고, 그것을 보유하는 것이 직관적이다. FX에서 기초자산은 "환율" 즉 "두 통화의 교환비율"이다. 예를 들어 USD/KRW = 1,300이라면 1달러를 1,300원으로 살 수 있다는 뜻이다. 이것 자체는 "저장할 수 있는 부(wealth)"가 아니라 교환 규칙이다.
이 장 전체에서 다음 표기를 사용한다. Clark의 책도 동일한 규약을 따른다.
- 국내통화(domestic currency, d): 가격을 표시하는 통화. 예를 들어 USD/KRW 페어에서 KRW가 국내통화다. 옵션가격, 행사가격 \(K\), 모든 현금흐름이 이 통화로 표시된다.
- 해외통화(foreign currency, f): 기초자산의 통화. USD/KRW에서 USD가 해외통화다. 환율 \(S_t\)는 "1 USD를 사는 데 필요한 KRW의 수"다.
- \(r_d\): 국내통화 무위험이자율 (KRW 머니마켓 금리).
- \(r_f\): 해외통화 무위험이자율 (USD 머니마켓 금리).
표기 주의: EUR/USD라는 페어에서 USD가 국내통화, EUR이 해외통화가 된다. 혼동하기 쉬운 부분이므로 항상 "가격 표시 통화"가 국내임을 기억해야 한다.
5.2 머니마켓 계정: 진정한 "거래가능 자산"
FX 헤지에서 진정으로 "사고팔 수 있는" 기초 자산은 스팟이 아니라 각 통화의 무위험 채권(머니마켓 계정)이다:
$$B_t^d = e^{r_d t}, \qquad B_t^f = e^{r_f t}$$\(B_t^d\)는 "오늘 국내통화 1원을 무위험이자율 \(r_d\)로 투자했을 때 시점 \(t\)의 가치". \(B_t^f\)는 "오늘 해외통화 1단위를 무위험이자율 \(r_f\)로 투자했을 때 시점 \(t\)의 가치".
이것이 상수 금리 가정이다. 실제로는 이자율 곡선이 있으므로 나중에 \(r_d(t), r_f(t)\)로 확장된다.
5.3 FX에서 "거래가능한 기초자산"의 정의
옵션의 델타헤지를 구성할 때, 기초자산을 실제로 사고팔아야 한다. 주식 옵션에서는 주식을 직접 매수/매도한다. FX에서는 무엇을 사고파는가?
FX 스팟 \(S_t\)를 "사는 것"은 경제적으로 "국내통화를 지불하고 해외통화를 받는 것"이다. 받은 해외통화는 해외 머니마켓에 예치하면 \(B_t^f\)로 불어난다. 따라서 "해외 무위험 채권을 국내통화로 환산한 자산", 즉:
이 자산은 "현재 시점에서 1단위의 해외통화를 매입하여 해외 머니마켓에 예치하는 투자전략"의 국내통화 가치다. 이것이 헤지 포트폴리오에서 실제로 사고파는 대상이 되며, FX PDE에서 \(r_f\)가 등장하는 핵심 이유다.
이를 이용하면 국내 위험중립측도에서 \(\tilde{S}_t / B_t^d = S_t e^{(r_f - r_d)t}\)가 마팅게일이 되어야 하고, 이로부터 위험중립 드리프트가 \(r_d - r_f\)임을 수학적으로 도출할 수 있다.
5.4 이자율 평가 (Interest Rate Parity, IRP): 포워드 환율의 결정
무차익 조건으로부터 포워드 환율 \(F_{0,T}\)는 다음과 같이 결정된다:
$$F_{0,T} = S_0 \cdot \frac{e^{r_d T}}{e^{r_f T}} = S_0 e^{(r_d - r_f)T}$$직관: 오늘 KRW를 USD로 바꿔 미국에 예치하는 것 (\(S_0 \to S_0 e^{r_f T}\)의 USD)과, KRW를 국내에 예치하고 만기에 USD로 바꾸는 것 (\(e^{r_d T}\)의 KRW \(\to e^{r_d T}/F_{0,T}\)의 USD)이 무차익이어야 하므로 위 공식이 성립한다.
이 관계가 FX 옵션 공식에서 \(r_d - r_f\)가 드리프트로 나타나는 경제적 이유다. 포워드는 두 통화 금리차만큼 현재 스팟에서 이탈한다.
6. 무차익과 복제: PDE가 탄생하는 논리적 구조
6.1 무차익(No-Arbitrage)의 엄밀한 정의
포트폴리오 전략 \((\Delta_t, B_t)\)이 다음 조건을 모두 만족하면 차익거래(arbitrage)라 한다:
- 초기 비용이 0 이하: \(V_0 \le 0\) (돈을 들이지 않거나 오히려 받는다)
- 모든 미래 상태에서 손실 없음: \(V_T \ge 0\) (거의 확실하게)
- 적어도 한 상태에서 이익: \(\mathbb{P}(V_T > 0) > 0\)
무차익 조건이란 이런 전략이 존재하지 않는다는 가정이다. 더 강한 형태(NFLVR: No Free Lunch with Vanishing Risk)는 기술적으로 더 정확하지만, 기본 직관은 "공짜 점심은 없다"는 것이다.
적절한 기술적 조건하에서:
$$\text{시장이 무차익} \iff \text{동등 마팅게일 측도(EMM) } Q \text{가 존재한다}$$EMM이란 현실측도 \(P\)와 동등한(같은 사건을 불가능으로 보는) 측도 \(Q\)로서, 이 측도하에서 적절히 할인된 가격과정이 마팅게일이 된다. 이 정리가 "위험중립측도"의 존재를 보장하는 수학적 근거다. 단순 이항 모형에서는 위험중립 확률을 명시적으로 구할 수 있고(Section 3.3 참조), GBM 연속시간에서는 Girsanov 정리가 이 EMM의 구성을 담당한다.
6.2 복제와 완비 시장
완비 시장(complete market)이란 어떤 만기 페이오프도 거래가능 자산의 조합으로 복제할 수 있는 시장이다. 제2 기본정리에 따르면 EMM이 유일하면 시장이 완비이고, 그 역도 성립한다. GBM 단요인 모형에서는 EMM이 유일하므로 완비 시장이다. 이때 파생상품의 가격이 유일하게 결정된다.
시장이 불완비(incomplete)이면 EMM이 무수히 많고, 파생상품의 무차익 가격이 하나의 값이 아니라 범위(interval)로 주어진다. 스토캐스틱 변동성 모형(Heston 등)은 일반적으로 불완비 시장을 만드는데, 이때 "가장 그럴듯한 EMM" 선택 방법이 중요한 문제가 된다.
7. 델타헤지와 Garman-Kohlhagen PDE: 무차익이 방정식을 만든다
7.1 블랙-숄즈 PDE의 직관적 도출 (주식 버전, 배당 없음)
먼저 배당 없는 주식 옵션에서 PDE를 도출하고, FX로 확장한다. 옵션가격을 \(V(S,t)\), 주식가격을 \(S_t\)라 하자. GBM: \(dS_t = \mu S_t\,dt + \sigma S_t\,dW_t\).
이토 보조정리를 \(V(S_t, t)\)에 적용:
$$dV = \left(\frac{\partial V}{\partial t} + \mu S\frac{\partial V}{\partial S} + \frac{1}{2}\sigma^2 S^2\frac{\partial^2 V}{\partial S^2}\right)dt + \sigma S\frac{\partial V}{\partial S}\,dW_t$$이 식에는 결정론적 항(\(dt\))과 무작위 항(\(dW_t\))이 모두 있다.
옵션 1개(롱) + 주식 \(-\Delta\)주(숏)의 포트폴리오:
$$\Pi_t = V - \Delta \cdot S$$자기재정(self-financing) 가정하에서 포트폴리오의 변화는:
$$d\Pi = dV - \Delta\,dS = \left[\frac{\partial V}{\partial t} + \mu S\frac{\partial V}{\partial S} + \frac{1}{2}\sigma^2 S^2\frac{\partial^2 V}{\partial S^2} - \Delta\mu S\right]dt + \left[\sigma S\frac{\partial V}{\partial S} - \Delta\sigma S\right]dW_t$$\(dW_t\) 항의 계수를 0으로 만들려면:
$$\Delta = \frac{\partial V}{\partial S}$$이것이 BSM 델타다. 이 선택 후 포트폴리오는 순간적으로 무위험이 된다.
무위험 포트폴리오는 무위험이자율 \(r\)로 성장해야 한다(그렇지 않으면 차익거래 발생):
$$d\Pi = r\Pi\,dt = r(V - \Delta S)\,dt$$좌변(\(\Delta = \partial V/\partial S\) 대입):
$$d\Pi = \left(\frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2}\sigma^2 S^2\frac{\partial^2 V}{\partial S^2}\right)dt$$두 표현을 등치시키면:
$$\frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2}\sigma^2 S^2\frac{\partial^2 V}{\partial S^2} = r\left(V - \frac{\partial V}{\partial S}S\right)$$ $$\boxed{\frac{\partial V}{\partial t} + rS\frac{\partial V}{\partial S} + \frac{1}{2}\sigma^2 S^2\frac{\partial^2 V}{\partial S^2} - rV = 0}$$주목: 현실 드리프트 \(\mu\)가 완전히 사라졌다. 오직 무위험이자율 \(r\)만 남는다.
7.2 FX 옵션을 위한 Garman-Kohlhagen PDE
FX에서의 PDE 도출은 "어떤 자산으로 헤지하는가"에 따라 미묘하게 달라진다. 앞서 설명한 대로, FX 헤지는 외화 머니마켓 계정을 국내통화로 환산한 자산 \(\tilde{S}_t = S_t e^{r_f t}\)를 사고판다. GBM으로 돌아가면 \(d\tilde{S}_t = (\mu + r_f)\tilde{S}_t\,dt + \sigma\tilde{S}_t\,dW_t\)이다.
옵션 1개(롱, 가격 \(V(S,t)\)) + 외화채권(국내표시) \(-\Delta_t\)단위(숏):
$$\Pi_t = V(S_t, t) - \Delta_t \cdot S_t e^{r_f t}$$자기재정 조건하에서:
$$d\Pi_t = dV - \Delta_t\,d(S_t e^{r_f t})$$\(V(S_t, t)\)에 이토 보조정리 적용 (GBM 드리프트 \(\mu\) 사용):
$$dV = \left(\frac{\partial V}{\partial t} + \mu S\frac{\partial V}{\partial S} + \frac{1}{2}\sigma^2 S^2\frac{\partial^2 V}{\partial S^2}\right)dt + \sigma S\frac{\partial V}{\partial S}\,dW_t$$\(d(S_t e^{r_f t})\)에 이토 보조정리 (이 자산의 증가분에는 이자가 더해짐):
$$d(S_t e^{r_f t}) = (\mu + r_f)S_t e^{r_f t}\,dt + \sigma S_t e^{r_f t}\,dW_t$$\(dW_t\) 계수를 0으로 만들기 위해:
$$\sigma S\frac{\partial V}{\partial S} - \Delta_t \sigma S e^{r_f t} = 0 \implies \Delta_t = e^{-r_f t}\frac{\partial V}{\partial S}$$무위험 포트폴리오는 \(r_d\)로 성장해야 한다 (\(r_d\)는 국내통화 표시 포트폴리오의 무위험 기회비용):
$$d\Pi_t = r_d \Pi_t\,dt$$\(\Delta_t\)를 대입하고 양변을 같다고 놓으면:
$$\frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2}\sigma^2 S^2\frac{\partial^2 V}{\partial S^2} - r_f V + r_f S\frac{\partial V}{\partial S} = r_d V - r_d S\frac{\partial V}{\partial S} + r_f S\frac{\partial V}{\partial S}$$BSM PDE와의 비교: 컨벡션(convection) 항의 드리프트가 \(r\)에서 \(r_d - r_f\)로 바뀌고, 할인항은 \(r_d\)다. \(\mu\)는 역시 사라진다.
\(\frac{\partial V}{\partial t}\) (세타, Theta): 시간이 지남에 따른 옵션가격의 변화. 대부분의 옵션은 시간이 지날수록 가치가 줄어든다(time decay). 이 항은 보통 음수다.
\((r_d - r_f)S\frac{\partial V}{\partial S}\) (컨벡션 항): 포워드 이자율 차이에 의한 드리프트. 국내금리가 해외금리보다 높으면 (\(r_d > r_f\)) 포워드가 스팟보다 높고, 이것이 옵션가격에 반영된다.
\(\frac{1}{2}\sigma^2 S^2\frac{\partial^2 V}{\partial S^2}\) (확산 항, 감마 관련): 이 항이 이토 수정에서 온 핵심이다. \(\frac{\partial^2 V}{\partial S^2}\)는 감마(Gamma)이며, 옵션가격의 스팟에 대한 이차 민감도다. 이 항이 양수이면 변동성이 클수록 옵션이 비싸진다.
\(-r_d V\) (할인 항): 옵션의 기회비용. 이 금액을 국내 무위험 자산에 투자했을 경우의 이자와 상쇄해야 한다.
7.3 왜 현실 드리프트 \(\mu\)가 PDE에서 사라지는가
PDE 도출 과정을 돌이켜보면, \(\mu\)는 Step 2에서 \(dV\)와 \(d\tilde{S}\) 모두에 나타난다. Step 3에서 무작위 항을 제거할 때 \(\Delta\)를 선택하면, Step 4에서 포트폴리오의 \(dt\) 항을 계산할 때 \(\mu\)가 포함된 항들이 정확히 상쇄된다. 이것은 우연이 아니다.
경제적 논리: 헤지 포트폴리오는 "옵션 + 기초자산"의 조합이다. 기초자산의 기대수익률 변화는 옵션가격의 기대수익률 변화와 정확히 같은 방향으로 \(\mu\)에 의존하므로, 그 차이(포트폴리오의 기대수익)에서는 \(\mu\)가 상쇄된다. 남는 것은 이자율에 의한 기회비용과 감마-세타 균형(gamma-theta balance)뿐이다.
측도론적 논리: Girsanov 정리에 의해 현실측도에서 위험중립측도로 바꿀 때 드리프트 \(\mu\)를 \(r_d - r_f\)로 교체한다. 이 측도 변환의 수학적 내용이 PDE에서 \(\mu \to r_d - r_f\)로의 치환으로 나타난다.
7.4 경계조건(Boundary Conditions)과 PDE 해의 유일성
PDE 하나만으로는 해가 무수히 많다. 특정 파생상품의 가격을 얻으려면 경계조건이 필요하다. 유럽형 옵션의 경우 만기 조건(terminal condition)이 가장 중요하다:
시간 역행(backward induction): 만기 \(T\)에서 시작하여 역방향으로 PDE를 풀면 현재가격 \(V(S_0, 0)\)를 구한다. 이것은 "역방향 방정식(backward equation)"이다.
추가로 스팟의 경계 조건: \(V(0, t) = 0\) (콜의 경우, 스팟이 0이면 콜이 무가치), \(V \to S e^{-r_f(T-t)} - Ke^{-r_d(T-t)}\) (\(S \to \infty\)인 경우 콜이 포워드에 수렴). 이런 경계조건들이 갖추어지면 PDE의 해가 유일하게 결정된다.
8. 로그스팟 변환: PDE를 열방정식 형태로
8.1 변수변환의 동기
Garman-Kohlhagen PDE에서 \(S\)의 범위는 \((0, \infty)\)이고, 확산 계수가 \(\sigma^2 S^2\)으로 \(S\)에 의존한다. 이런 구조는 수치해석(유한차분법, 유한요소법)에서 다루기 불편하다. 로그 변환 \(x = \ln S\)를 쓰면 \(x\)의 범위가 \((-\infty, \infty)\)로 자연스러운 직선이 되고, 확산 계수가 상수 \(\sigma^2\)이 된다. 이는 열방정식(heat equation)의 구조로 귀결되어 분석과 수치해석 모두에서 유리하다.
\(S = e^x\). 연쇄규칙:
$$\frac{\partial V}{\partial S} = \frac{\partial V}{\partial x}\cdot\frac{1}{S}, \qquad \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} = \frac{1}{S^2}\left(\frac{\partial^2 V}{\partial x^2} - \frac{\partial V}{\partial x}\right)$$이 형태는 "확산(diffusion) + 이류(convection) + 반응(reaction)" 구조다. 확산 계수 \(\frac{1}{2}\sigma^2\)가 상수이고, 이류 계수 \(r_d - r_f - \frac{1}{2}\sigma^2\)도 상수이다. 이것이 위험중립 SDE \(dX_t = (r_d - r_f - \frac{1}{2}\sigma^2)dt + \sigma dW_t\)와 정확히 대응된다.
9. Feynman-Kac 정리: PDE와 기대값의 동치
9.1 왜 기대값 표현이 더 강력한가
PDE는 편미분 방정식으로, 함수를 직접 구한다. 기대값 표현은 "어떤 확률과정하에서 만기 페이오프의 기대값을 할인한 것"으로 옵션가격을 표현한다. 이 두 표현은 수학적으로 동치이지만, 기대값 표현이 다음 면에서 더 강력하다.
첫째, 몬테카를로 시뮬레이션이 가능해진다. PDE는 \((S, t)\) 격자 위에서 직접 풀어야 하는데, 차원이 높아지면 "차원의 저주(curse of dimensionality)"로 격자가 기하급수적으로 커진다. 반면 기대값 표현은 경로를 시뮬레이션하여 평균하면 되므로, 차원에 덜 민감하다. 둘째, 닫힌 형태를 구할 때 확률 계산(정규분포 적분)이 편미분 방정식 풀기보다 직접적이다.
어떤 함수 \(V(x, t)\)가 다음 PDE를 만족한다고 하자 (역방향, \(t < T\)):
$$\frac{\partial V}{\partial t} + a(x,t)\frac{\partial V}{\partial x} + \frac{1}{2}b(x,t)^2\frac{\partial^2 V}{\partial x^2} - r(x,t) V = 0$$만기 조건: \(V(x, T) = h(x)\). 이 PDE의 해는 다음 기대값으로 표현된다:
$$V(x, t) = \mathbb{E}^Q\left[e^{-\int_t^T r(X_s,s)\,ds}\cdot h(X_T)\,\Bigg|\, X_t = x\right]$$단, 위험중립 측도 \(Q\)하에서 \(X_t\)는 다음 SDE를 따른다:
$$dX_s = a(X_s, s)\,ds + b(X_s, s)\,dW_s^Q$$핵심 연결고리는 이토 보조정리다. 할인된 가격 \(\tilde{V}_t = e^{-\int_0^t r_d ds} V(X_t, t)\)에 이토 보조정리를 적용하면, \(V\)가 PDE를 만족할 때 \(dt\) 항이 정확히 0이 된다. 따라서 \(\tilde{V}_t\)는 위험중립측도하에서 마팅게일이다. 마팅게일 표현 정리(Martingale Representation Theorem)에 의해, 이 마팅게일은 이토 적분(즉, 기대값)으로 표현될 수 있다. 이것이 PDE ↔ 기대값의 동치 관계의 본질이다.
9.2 GK PDE에 Feynman-Kac 적용
GK PDE에 Feynman-Kac를 적용하면, 옵션가격은 다음과 같이 표현된다:
단, 국내 위험중립측도 \(Q^d\) (또는 \(P^d\))하에서 환율은 다음 SDE를 따른다:
$$dS_t = (r_d - r_f)S_t\,dt + \sigma S_t\,dW_t^d$$이것이 FX 버전의 위험중립 SDE다. 현실측도의 드리프트 \(\mu\)가 \(r_d - r_f\)로 교체된다.
10. 위험중립측도, Girsanov 정리, 뉴메레어
10.1 Girsanov 정리: 현실에서 위험중립 세계로 이동하는 법
PDE 도출에서 \(\mu\)가 \(r_d - r_f\)로 "자동으로" 교체되는 것처럼 보이지만, 측도론적으로는 Girsanov 정리라는 정확한 수학적 메커니즘이 그 뒤에 있다.
현실측도 \(P\)에서 \(dS_t = \mu S_t\,dt + \sigma S_t\,dW_t^P\). 위험 시장가격(market price of risk)을 \(\lambda = (\mu - r_d + r_f)/\sigma\)로 정의하자. 그러면 Girsanov 정리에 의해, 다음 확률과정:
$$Z_T = \exp\left(-\lambda W_T^P - \frac{1}{2}\lambda^2 T\right)$$를 이용하여 새로운 측도 \(Q^d\)를 정의할 수 있다: \(dQ^d/dP = Z_T\) (라돈-니코딤 미분). 이 새 측도 \(Q^d\)하에서:
$$W_t^d = W_t^P + \lambda t$$는 표준 브라운 운동이고, \(S_t\)의 SDE는:
$$dS_t = (r_d - r_f)S_t\,dt + \sigma S_t\,dW_t^d$$즉 드리프트가 \(\mu \to r_d - r_f\)로 바뀐다. \(\lambda\)는 이 측도 변환에서 브라운 운동에 더해지는 "추세 수정량"이다.
두 측도 \(P\)와 \(Q^d\)는 같은 경로 공간에 정의되어 있다. 달라지는 것은 각 경로에 부여하는 "가중치(확률)"다. Girsanov는 이 가중치 조정(라돈-니코딤 미분 \(Z_T\))이 브라운 운동의 드리프트를 바꾸는 것과 동치임을 보인다. 직관적으로는 "물리적 세계에서 오르막인 방향을 평평하게 만드는 좌표 변환"이다. 위험 시장가격 \(\lambda\)는 이 변환의 "경사도"다.
중요: \(P\)와 \(Q^d\)는 동등한(equivalent) 측도다. 같은 사건에 대해 하나가 0이면 다른 것도 0이다. 경로 자체는 변하지 않고, 확률만 재배분된다. 따라서 위험중립 세계의 경로와 현실 세계의 경로는 같은 집합이다. 단지 "드문 경로"와 "흔한 경로"의 분류가 달라질 뿐이다.
10.2 뉴메레어 변환: FX에 자연스러운 두 개의 위험중립측도
위험중립측도는 뉴메레어 선택에 따라 달라진다. FX에는 두 통화의 머니마켓이 모두 존재하므로 자연스럽게 두 개의 편리한 측도가 생긴다.
국내 위험중립측도 \(P^d\): 뉴메레어가 국내 머니마켓 \(B_t^d = e^{r_d t}\). 이 측도하에서 \(S_t e^{-r_d t}\cdot e^{r_f t} = S_t e^{(r_f-r_d)t}\)가 마팅게일이 되어야 하므로, \(S_t\)의 드리프트는 \(r_d - r_f\). 국내통화로 표시된 옵션가격 계산에 사용된다.
외화 위험중립측도 \(P^f\): 뉴메레어가 외화 머니마켓 \(B_t^f = e^{r_f t}\). 이 측도하에서 \((1/S_t)e^{(r_d-r_f)t}\)가 마팅게일이 되어야 하므로, \(1/S_t\)(역환율)의 드리프트는 \(r_f - r_d\). 해외통화로 표시된 관점에서 사용된다.
두 측도는 라돈-니코딤 미분으로 연결된다:
$$\frac{dP^f}{dP^d}\bigg|_{\mathcal{F}_T} = \frac{S_T e^{-r_f T}}{S_0 e^{-r_f T}\cdot e^{r_d T}/e^{r_d T}} = \frac{S_T e^{(r_d-r_f)T}}{S_0 e^{(r_d-r_f)T}} = \frac{S_T}{S_0 e^{(r_d-r_f)T}} = \frac{S_T}{F_{0,T}}$$즉, 만기 스팟을 포워드로 나눈 것이 측도 변환의 라돈-니코딤 미분이다. 이것이 콜 가격의 두 항에서 \(N(d_1)\)과 \(N(d_2)\)가 서로 다른 측도하에서의 확률임을 설명한다.
10.3 \(S_T\)의 분포: 두 측도에서의 SDE
국내 측도 \(P^d\) (Clark 책 (2.57a) 형태):
$$S_T = S_0\exp\left[\left(r_d - r_f - \frac{1}{2}\sigma^2\right)T + \sigma W_T^d\right]$$ $$\ln S_T \mid P^d \sim N\left(\ln S_0 + (r_d-r_f-\tfrac{1}{2}\sigma^2)T,\;\sigma^2 T\right)$$외화 측도 \(P^f\) (Clark 책 (2.57b) 형태):
$$S_T = S_0\exp\left[\left(r_d - r_f + \frac{1}{2}\sigma^2\right)T + \sigma W_T^f\right]$$ $$\ln S_T \mid P^f \sim N\left(\ln S_0 + (r_d-r_f+\tfrac{1}{2}\sigma^2)T,\;\sigma^2 T\right)$$두 측도에서 평균이 \(\pm\frac{1}{2}\sigma^2 T\)만큼 다르다. 이 차이가 \(d_1\)과 \(d_2\)의 차이로 나타난다.
11. Garman-Kohlhagen 공식의 완전한 유도
11.1 유럽형 콜의 기대값 분해
유럽형 콜의 만기 페이오프는 \((S_T - K)^+ = (S_T - K)\mathbf{1}_{\{S_T \ge K\}}\). 이를 국내 위험중립측도 \(P^d\)하에서 현재가치를 구한다.
국내 측도 \(P^d\)에서 \(\ln S_T \sim N\left(\ln S_0 + (r_d-r_f-\frac{1}{2}\sigma^2)T, \sigma^2T\right)\). 표준화:
$$P^d(S_T \ge K) = P^d\left(\frac{\ln S_T - \ln S_0 - (r_d-r_f-\frac{1}{2}\sigma^2)T}{\sigma\sqrt{T}} \ge \frac{\ln K - \ln S_0 - (r_d-r_f-\frac{1}{2}\sigma^2)T}{\sigma\sqrt{T}}\right)$$ $$= P^d(Z \ge -d_2) = N(d_2)$$여기서:
$$d_2 = \frac{\ln(S_0/K) + (r_d - r_f - \frac{1}{2}\sigma^2)T}{\sigma\sqrt{T}}$$뉴메레어 변환 기법: \(\mathbb{E}^d[S_T\mathbf{1}_{\{S_T\ge K\}}] = \mathbb{E}^d[S_T\mathbf{1}_{\{S_T\ge K\}}]\). 외화 머니마켓 \(e^{r_f T}\)를 뉴메레어로 도입하여 측도변환:
$$\mathbb{E}^d[S_T\mathbf{1}_{\{S_T\ge K\}}] = S_0 e^{r_f T} \cdot \mathbb{E}^f\left[\frac{S_T}{S_0 e^{r_f T}} \cdot \frac{S_T}{S_0 e^{r_f T}}\cdot\ldots\right]$$더 직접적인 방법: \(\mathbb{E}^d[S_T\mathbf{1}_{\{S_T\ge K\}}]\)을 로그정규 기대값 적분으로 계산한다. \(S_T = S_0 e^{(r_d-r_f-\frac{1}{2}\sigma^2)T + \sigma\sqrt{T}Z}\)이고 \(Z\sim N(0,1)\)이므로:
$$\mathbb{E}^d[S_T\mathbf{1}_{\{S_T\ge K\}}] = \int_{z^*}^{\infty} S_0 e^{(r_d-r_f-\frac{1}{2}\sigma^2)T+\sigma\sqrt{T}z}\cdot\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-z^2/2}\,dz$$(\(z^* = -d_2\)). 적분 내에서 지수를 정리하면:
$$= S_0 e^{(r_d-r_f)T}\int_{z^*}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}(z-\sigma\sqrt{T})^2}\,dz = S_0 e^{(r_d-r_f)T}\,N(d_1)$$여기서:
$$d_1 = d_2 + \sigma\sqrt{T} = \frac{\ln(S_0/K) + (r_d-r_f+\frac{1}{2}\sigma^2)T}{\sigma\sqrt{T}}$$11.2 풋 공식과 콜-풋 등가관계
유도: 동일한 기대값 계산 방법으로 직접 유도하거나, 콜-풋 등가관계(Put-Call Parity)로부터 도출한다.
좌변: 콜 매입 + 풋 매도 = 선물 계약과 동등. 우변: 포워드 페이오프의 현재가치 (포워드 스트라이크 \(F = S_0 e^{(r_d-r_f)T}\)가 \(K\)와 같으면 0).
이 관계는 무차익에서 직접 도출되며, 어떤 모형에도 의존하지 않는다. GK 공식이 이를 만족하는지 확인하는 것이 공식 검증의 첫 번째 단계다.
\(\omega = +1\): 콜, \(\omega = -1\): 풋. 이 표기는 코드 구현과 시험 문제에서 자주 사용된다.
11.3 각 항의 경제적 해석
\(N(d_2)\): 국내 위험중립측도하에서 만기에 \(S_T \ge K\)일 확률. 즉, 만기에 콜이 행사될 확률(ITM 확률)을 국내 측도로 계산한 것. 만기 행사가 \(K\)를 국내통화로 지불해야 하므로 국내 할인율 \(e^{-r_d T}\)과 함께 나타난다.
\(N(d_1)\): 외화 위험중립측도 \(P^f\)하에서 만기에 \(S_T \ge K\)일 확률. \(N(d_1) = P^f(S_T \ge K)\). 이 항은 "만기에 행사될 경우 받는 외화 1단위"의 현재가치에 해당하므로, 외화 할인율 \(e^{-r_f T}\)와 함께 나타난다.
\(d_1 = d_2 + \sigma\sqrt{T}\)의 차이: 두 측도 \(P^f\)와 \(P^d\) 사이의 측도 변환에서 브라운 운동이 \(\sigma\sqrt{T}\)만큼 이동하기 때문에 나타난다. 이것이 \(\pm\frac{1}{2}\sigma^2 T\)의 이토 수정에서 비롯된다.
직관적 체크: 만기가 길수록 \(d_1, d_2\)의 분모 \(\sigma\sqrt{T}\)가 커져서 \(N(d_1), N(d_2)\)가 0.5에 가까워진다. 딥 ITM이면 둘 다 1에 가까워져 콜 가격은 포워드 가치에 수렴한다. 딥 OTM이면 둘 다 0에 가까워져 콜 가격도 0으로 수렴한다. 이러한 극단값에서의 수렴이 공식 검증의 중요한 확인 방법이다.
12. 포워드 가격과 Black(1976) 모형
12.1 포워드 환율의 무차익 결정
국내 위험중립측도 \(P^d\)하에서 \(F_{0,T} = \mathbb{E}^d[S_T]\)이다. 즉, 포워드 환율은 \(P^d\)에서의 기대 환율과 같다. 이것이 "포워드가 위험중립 기대값"이라는 표현의 의미다. (현실 기대값과는 일반적으로 다르다.)
12.2 Black(1976) 모형: 포워드 위의 옵션
GK 공식을 포워드 \(F_{0,T}\)로 재표현하면 Black(1976) 구조가 나타난다:
이 형태에서 스팟 \(S_0\)와 이자율 \(r_d, r_f\)가 오직 포워드 \(F_{0,T}\)를 통해서만 들어온다. 따라서 이자율 곡선을 알고 있으면 (포워드를 결정할 수 있으면) 이자율 구조의 상세한 모형 없이도 이 공식을 쓸 수 있다. 실무에서 FX 옵션은 스팟이 아닌 포워드 기준으로 구성되는 경우가 많으며, 이 표현이 그 관행과 자연스럽게 맞아 떨어진다.
13. 동일가격의 법칙: 국내와 해외 관점의 일관성
13.1 문제: 두 투자자가 같은 계약을 다른 통화로 계산하면?
USD/KRW 콜옵션 계약을 한국 투자자(KRW 기준)와 미국 투자자(USD 기준)가 각각 다른 모형과 다른 뉴메레어로 가격결정한다고 가정하자. 두 결과가 오늘 스팟 환율로 환산했을 때 일치해야 한다. 이를 보장하는 것이 동일가격의 법칙(Law of One Price)이다.
13.2 역환율(Inverse Rate)과 플립 공식
역환율을 \(\hat{S}_t = 1/S_t\), 역 스트라이크를 \(\hat{K} = 1/K\)으로 정의하자. 그러면:
$$\hat{C}_0(\hat{S}_0, \hat{K}; r_f, r_d, \sigma) = \frac{1}{S_0 K}\,P_0(S_0, K; r_d, r_f, \sigma)$$즉 "역환율 기준 콜옵션"의 가격은 "원래 환율 기준 풋옵션"의 가격을 현재 스팟과 스트라이크의 곱으로 나눈 것과 같다. 국내통화와 해외통화의 역할이 뒤집히면 콜과 풋도 서로 뒤집힌다.
이 관계는 "헤지 모델이 두 통화 관점에서 일관성을 갖는지" 확인하는 내부 검증 도구다. FX 옵션 데스크에서 모델을 구현할 때, 역환율 스왑(inverse rate parity)이 성립하는지 테스트하면 구현 오류를 잡을 수 있다. 또한 이 관계는 "퍼/달러 콜"이 "달러/퍼 풋"에 해당한다는 실무적 직관의 수학적 근거다.
14. 기간구조: 결정론적 시변 금리와 변동성
14.1 왜 기간구조가 필요한가
GK 공식은 상수 \(r_d, r_f, \sigma\)를 가정한다. 실제 시장에서는 이 세 가지가 만기에 따라 다르다. 단기 금리와 장기 금리가 다르고(수익률 곡선), 단기 옵션의 내재변동성과 장기 옵션의 내재변동성이 다르다(변동성의 기간구조 또는 버킷). 이를 수용하는 가장 단순한 확장이 "결정론적 시변 파라미터" 모형이다.
14.2 시변 파라미터 모형의 GBM
위험중립 측도에서 \(\mu_t = r_d(t) - r_f(t)\). 로그스팟 \(X_t = \ln S_t\)의 SDE:
$$dX_t = \left(\mu_t - \frac{1}{2}\sigma_t^2\right)dt + \sigma_t\,dW_t$$적분:
$$X_T = X_0 + \int_0^T \mu_s\,ds - \frac{1}{2}\int_0^T \sigma_s^2\,ds + \int_0^T \sigma_s\,dW_s$$14.3 효과적 파라미터 (Effective Parameters)
효과적 금리:
$$\bar{r}_d = \frac{1}{T}\int_0^T r_d(t)\,dt, \qquad \bar{r}_f = \frac{1}{T}\int_0^T r_f(t)\,dt$$효과적 분산 및 변동성 (Clark 책 핵심 결과):
$$\bar{\sigma}^2 = \frac{1}{T}\int_0^T \sigma_t^2\,dt, \qquad \bar{\sigma} = \sqrt{\frac{1}{T}\int_0^T\sigma_t^2\,dt}$$이 효과적 파라미터를 사용하면, 유럽형 옵션의 가격은 상수 파라미터 GK 공식과 동일한 형태로 주어진다. 즉 만기 한 시점의 스팟 분포만 필요한 유럽형 옵션에서는, 전체 금리/변동성 경로 대신 그 시간 평균(RMS 변동성)만 알면 된다.
중요 경고: 이 단순화는 유럽형에만 적용된다. 경로의존 상품(배리어, 아시안, 노치아웃 등)에서는 \(\sigma_t\)의 전체 시간 프로파일이 가격에 영향을 준다.
15. Breeden-Litzenberger: 옵션 가격 곡선에서 분포를 복원한다
15.1 핵심 아이디어
시장에서 동일 만기의 모든 스트라이크에 대한 옵션가격 \(C(K, T)\)를 관찰할 수 있다면, 이로부터 만기 스팟 \(S_T\)의 위험중립 밀도함수를 완전히 복원할 수 있다. 이것이 Breeden-Litzenberger(1978) 결과다.
여기서 \(f_{S_T}^d\)는 국내 위험중립측도하에서 \(S_T\)의 밀도함수다.
직관: 콜 스프레드(\(K\)와 \(K+\delta K\) 스트라이크의 콜 가격 차)는 \(S_T\)가 \([K, K+\delta K]\)에 떨어질 위험중립 확률에 비례한다.
이 결과는 "변동성 스마일에서 위험중립 분포를 읽어내는" 핵심 도구다. GBM(로그정규) 가정에서는 스마일이 없고 분포가 단순하다. 실제 시장에서는 스마일/스큐가 있는데, 이것이 곧 "실제 위험중립 분포가 로그정규가 아님"을 의미한다. Breeden-Litzenberger는 스마일의 곡률(\(K\) 방향 2차 미분)이 클수록 그 스트라이크 근방의 위험중립 확률밀도가 크다는 것을 보여준다.
스큐(스마일이 기울어진 것)는 분포의 비대칭성(두꺼운 왼쪽 꼬리)을 반영하고, 스마일의 곡률(convexity)은 분포의 첨도(두꺼운 양 꼬리)를 반영한다. 이로부터 "내재변동성 표면 → 위험중립 분포"의 완전한 변환이 가능하다.
16. 디지털 옵션: 확률에 직접 베팅하는 상품
16.1 디지털 옵션의 정의와 분류
디지털 옵션(digital option, 또는 binary option)은 조건이 충족되면 미리 정해진 금액을 지급하고, 충족되지 않으면 0을 지급하는 옵션이다. 연속형 배리어와 달리, 만기 시점의 스팟 수준만이 페이오프를 결정한다. FX에서는 지급 통화에 따라 네 가지 기본 종류가 있다.
| 종류 | 페이오프 (국내통화 표시) | 설명 |
|---|---|---|
| Domestic Call Digital | \(\mathbf{1}_{\{S_T \ge K\}}\) | 만기에 \(S_T \ge K\)이면 국내통화 1단위 지급 |
| Domestic Put Digital | \(\mathbf{1}_{\{S_T \le K\}}\) | 만기에 \(S_T \le K\)이면 국내통화 1단위 지급 |
| Foreign Call Digital | \(S_T\mathbf{1}_{\{S_T \ge K\}}\) | 만기에 \(S_T \ge K\)이면 외화 1단위 지급 (국내로 환산하면 \(S_T\)) |
| Foreign Put Digital | \(S_T\mathbf{1}_{\{S_T \le K\}}\) | 만기에 \(S_T \le K\)이면 외화 1단위 지급 |
16.2 디지털 가격 공식
Domestic Call Digital (국내통화 콜 디지털):
$$V_0^{D_{dd,c}} = e^{-r_d T}\,N(d_2(S_0, K, r_d, r_f, \sigma, T))$$Foreign Call Digital (외화 콜 디지털):
$$V_0^{D_{df,c}} = S_0 e^{-r_f T}\,N(d_1(S_0, K, r_d, r_f, \sigma, T))$$유도 핵심: 기대값으로 보면 \(V_0^{D_{dd,c}} = e^{-r_d T}\mathbb{E}^d[\mathbf{1}_{\{S_T\ge K\}}] = e^{-r_d T}P^d(S_T\ge K) = e^{-r_d T}N(d_2)\). 외화 디지털은 측도를 \(P^f\)로 변환하면 \(V_0^{D_{df,c}} = S_0 e^{-r_f T}P^f(S_T\ge K) = S_0 e^{-r_f T}N(d_1)\).
연결고리: 유럽형 콜 \(C_0 = V_0^{D_{df,c}} - K\cdot V_0^{D_{dd,c}}\)로 분해된다. GK 공식의 두 항이 각각 외화/국내 콜 디지털이다.
16.3 정적 복제: 콜 스프레드로 디지털 근사
국내통화 콜 디지털의 페이오프는 \(K\)에서 계단(step)을 갖는다. 이를 거래가능한 유럽형 옵션으로 복제하기 위해 콜 스프레드를 사용한다:
\(\varepsilon \to 0\)의 극한에서 이것은 정확히 \(-\frac{\partial C}{\partial K} = e^{-r_d T}N(d_2)\)가 된다. 실무에서 \(\varepsilon\)은 거래 가능한 최소 스프레드(예: 0.5% 스트라이크 간격)로 두며, 노셔널은 \(1/(2\varepsilon)\)으로 설정한다.
이 복제 전략의 한계: 디지털 근처에서 \(\varepsilon\)이 작을수록 높은 노셔널의 스프레드가 필요하다. 그런데 스프레드 노셔널이 시장 유동성 한계를 넘으면 슬리피지가 발생하고 복제 오차가 커진다. 이것이 디지털 옵션이 "감마 리스크(gamma risk)"가 매우 집중된 상품인 이유다.
17. 정산과 결제 날짜 구조
17.1 FX 시장의 날짜 구조
FX 현물 거래는 보통 T+2로 결제된다(오늘 거래하면 이틀 후 자금 교환). 따라서 FX 옵션에는 여러 중요한 날짜가 있다:
| 날짜 | 설명 | 실무 표기 |
|---|---|---|
| Today | 거래 체결일 (옵션 매매 시점) | \(t = 0\) |
| Spot Date | 현물 결제일. 보통 Today + 2 영업일 | |
| Expiry Date | 옵션 만기일. 이 날 행사 가능 여부 결정 | \(T_{\text{exp}}\) |
| Delivery Date | 실제 통화 교환일. 보통 Expiry + 2 영업일 | \(T_{\text{del}}\) |
17.2 날짜 구조가 가격에 미치는 영향
변동성 \(\sigma\)는 "Today에서 Expiry까지"의 기간에 적용된다. 반면 현금흐름(페이오프)는 Delivery Date에 교환된다. 이 두 날짜가 다르면 단순히 \(T = T_{\text{exp}}\)를 쓰는 것만으로는 부족하다. Delivery Date까지의 추가 할인이 필요하며, 이것이 옵션을 "포워드 위의 옵션"으로 재해석하게 만든다.
옵션 행사(Expiry)와 자금 교환(Delivery) 사이의 기간 동안, 행사된 포지션은 사실상 "포워드 포지션"이다. 따라서 물리 결제 옵션은 "만기 시점에 포워드를 수취하는 권리"로 볼 수 있으며, 이를 "포워드 위의 옵션"으로 모델링하는 것이 자연스럽다. 실무에서는 이 딜레이를 이자율 조정으로 처리하거나, Delivery Date를 기준으로 할인한다.
18. Fourier 방법: 닫힌 형태를 뛰어넘는 가격 계산
18.1 왜 Fourier가 필요한가
GBM에서는 로그정규 분포 덕분에 닫힌 형태가 가능하다. 그러나 스토캐스틱 변동성(Heston), 점프-확산(Merton), 분산 감마(Variance Gamma) 모형 등에서는 로그스팟의 분포가 더 복잡해져 닫힌 형태가 존재하지 않는 경우가 많다. 이때 특성함수(characteristic function)를 이용한 Fourier 방법이 강력하다.
18.2 특성함수와 역변환
로그스팟 \(X_T = \ln S_T\)의 특성함수:
$$\varphi(\phi) = \mathbb{E}^d\left[e^{i\phi X_T}\right] = \int_{-\infty}^{\infty} e^{i\phi x} f_{X_T}^d(x)\,dx$$이것은 밀도함수 \(f_{X_T}^d\)의 Fourier 변환이다. 특성함수가 알려져 있으면, Fourier 역변환으로 밀도함수를 복원하고, 기대값(옵션가격)을 계산할 수 있다.
GBM에서 \(X_T = \ln S_0 + (r_d - r_f - \frac{1}{2}\sigma^2)T + \sigma W_T^d\)이므로:
$$\varphi(\phi) = \exp\left(i\phi\left[\ln S_0 + (r_d-r_f-\tfrac{1}{2}\sigma^2)T\right] - \tfrac{1}{2}\phi^2\sigma^2 T\right)$$이것은 정규분포의 특성함수 (모멘트 생성 함수의 Fourier 버전)이며, 닫힌 형태다. 더 복잡한 모형(Heston 등)에서도 특성함수는 종종 닫힌 형태로 구할 수 있고, 그 역변환을 수치적으로 수행하면 옵션가격을 얻는다.
18.3 Carr-Madan 공식: 실용적인 Fourier 가격결정
단순한 Fourier 역변환은 콜 옵션에 직접 적용할 때 적분이 수렴하지 않을 수 있다. Carr-Madan(1999)은 지수 감쇠인자를 도입하여 이 문제를 해결했다. 아이디어는 변환된 콜 가격 \(c_T(k) = e^{\alpha k}C_T(k)\) (\(k = \ln K\), \(\alpha > 0\))가 제곱 적분 가능함을 이용하는 것이다. 결과적으로:
$$C_T(K) = \frac{e^{-\alpha k}}{\pi}\int_0^{\infty}e^{-i\phi k}\,\psi(\phi)\,d\phi$$여기서 \(\psi(\phi) = e^{-r_d T}\varphi(\phi - (\alpha+1)i) / (\alpha^2+\alpha-\phi^2+i(2\alpha+1)\phi)\). 이 1차원 수치 적분(FFT 활용)으로 모든 스트라이크에 대한 가격을 동시에 계산할 수 있다.
19. Leptokurtosis: GBM의 한계와 실제 수익률 분포
19.1 GBM의 수익률 분포 예측
GBM에서 로그수익률 \(\ln(S_T/S_0)\)는 정규분포를 따른다. 정규분포의 초과첨도(excess kurtosis)는 정의상 0이다. 즉 GBM은 "꼬리가 정규 수준"인 분포를 예측한다.
19.2 실제 관찰: 두꺼운 꼬리와 높은 봉우리
실제 금융 자산의 로그수익률을 분석하면 정규분포와 체계적으로 다른 형태가 나타난다. 이것을 첨도 초과(leptokurtosis, 또는 fat tails)라 부른다. 구체적으로 실제 분포는 정규분포에 비해 중앙이 더 뾰족하고, 중간 구간("어깨")이 상대적으로 빈약하며, 꼬리가 더 두껍다. 이 세 특성이 동시에 나타나는 이유는 확률의 총합이 1이기 때문에 어딘가를 두껍게 하면 다른 곳이 얇아져야 하기 때문이다.
많은 사람들이 "fat tails = 모든 구간에서 확률이 더 크다"고 오해한다. 이것은 수학적으로 불가능하다. 확률의 총합은 1이다. Fat-tailed 분포는 꼬리가 두껍고 어깨가 얇다. 즉 "극단적 사건"과 "평범한 사건"은 더 자주 일어나지만, "중간 크기 사건(1~2 표준편차)"은 오히려 덜 일어난다. 이 재배분이 스마일과 스큐 모형의 핵심 동기가 된다.
19.3 Leptokurtosis의 기원: 여러 메커니즘
| 메커니즘 | 설명 | 모형화 접근 |
|---|---|---|
| 점프 (Jumps) | 갑작스러운 뉴스, 정책 변화로 인한 급격한 가격 이동 | 점프-확산 모형 (Merton, Kou) |
| 변동성 군집 (Vol Clustering) | 변동성이 높은 시기와 낮은 시기가 군집을 이룸 (GARCH 효과) | 스토캐스틱 변동성 (Heston, SABR) |
| 레짐 전환 (Regime Switching) | 시장 상태(위기/평온)가 갑자기 바뀜 | 레짐 전환 모형 |
| 학습 불완전성 | 파라미터 추정 불확실성이 불확실성을 증폭 | 베이지안 접근, 로버스트 최적화 |
GBM의 로그정규 가정이 맞다면 모든 스트라이크에서 내재변동성이 동일해야 한다. 실제 시장에서는 OTM 옵션(특히 풋)의 내재변동성이 ATM보다 높다. 이는 실제 분포의 꼬리가 로그정규보다 두껍기 때문이다. Breeden-Litzenberger를 통해 보면, OTM 풋의 내재변동성이 높다는 것은 해당 스트라이크 근방의 위험중립 밀도가 로그정규보다 크다는 뜻이고, 이는 두꺼운 왼쪽 꼬리(하락 위험)를 의미한다. 이것이 스큐(skew) 또는 스마일(smile)의 근본 원인이다.
20. 연습문제 상세 해설
문제 20-1: GBM의 로그정규 분포 적용 (난이도: 중)
현재 EUR/USD = 1.10, 변동성 \(\sigma = 10\%\), 국내(USD) 금리 \(r_d = 5\%\), 외화(EUR) 금리 \(r_f = 2\%\), 만기 \(T = 1\)년. (a) 만기 환율의 위험중립 기대값을 구하라. (b) \(P^d(S_T \ge 1.20)\)을 구하라. (c) 유럽형 콜(\(K = 1.20\))의 가격을 구하라.
국내 위험중립측도에서 \(\mathbb{E}^d[S_T] = S_0 e^{(r_d-r_f)T} = 1.10 \times e^{0.03 \times 1} = 1.10 \times 1.03045 \approx 1.1335\). 이것이 포워드 환율 \(F_{0,1}\)이기도 하다.
먼저 \(d_2\)를 계산한다:
$$d_2 = \frac{\ln(1.10/1.20) + (0.05 - 0.02 - 0.5 \times 0.01) \times 1}{0.10 \times 1}$$ $$= \frac{\ln(0.9167) + 0.025}{0.10} = \frac{-0.08701 + 0.025}{0.10} = \frac{-0.062}{0.10} = -0.620$$ $$P^d(S_T \ge 1.20) = N(d_2) = N(-0.620) = 1 - N(0.620) \approx 1 - 0.7324 = 0.2676$$\(d_1 = d_2 + \sigma\sqrt{T} = -0.620 + 0.10 = -0.520\).
$$N(d_1) = N(-0.520) \approx 1 - 0.6985 = 0.3015$$ $$C_0 = S_0 e^{-r_f T}N(d_1) - Ke^{-r_d T}N(d_2)$$ $$= 1.10 \times e^{-0.02}\times 0.3015 - 1.20 \times e^{-0.05} \times 0.2676$$ $$= 1.10 \times 0.9802 \times 0.3015 - 1.20 \times 0.9512 \times 0.2676$$ $$= 0.3249 - 0.3056 = 0.0193$$답: EUR/USD 콜 가격은 약 0.0193 USD (1유로당).
문제 20-2: Breeden-Litzenberger와 스마일 (난이도: 중)
만기 1년, 스트라이크 구간 \([K, K+\Delta K]\)에서 콜가격의 2차 도함수 \(\partial^2 C/\partial K^2 = 0.05\)이고 \(r_d = 5\%\)라면, 이 스트라이크 근방의 위험중립 밀도는 얼마인가? GBM(로그정규) 밀도와 비교하면 어떤 의미인가?
만약 GBM(로그정규)하에서 동일한 스트라이크 근방의 밀도가 0.040이었다면, 실제 시장 밀도 0.0526이 더 크다는 것은 시장이 그 스트라이크 근방으로 환율이 이동할 확률을 로그정규보다 더 높게 평가한다는 의미다. 만약 이 스트라이크가 OTM 풋 영역이라면, 하락 위험에 대한 프리미엄(풋 스큐)이 존재함을 시사한다.
문제 20-3: 이토 보조정리 적용 (난이도: 중상)
GBM \(dS_t = \mu S_t dt + \sigma S_t dW_t\). \(f(S,t) = S_t^2\)에 이토 보조정리를 적용하여 \(d(S_t^2)\)를 구하라. 이 결과가 \(\mathbb{E}[S_T^2]\) 계산에 어떻게 쓰이는가?
이토 적분은 마팅게일이므로 기대값에서 \(dW_t\) 항이 사라진다. 따라서:
$$\frac{d}{dt}\mathbb{E}[S_t^2] = (2\mu + \sigma^2)\mathbb{E}[S_t^2]$$ $$\mathbb{E}[S_T^2] = S_0^2 e^{(2\mu + \sigma^2)T}$$이것은 \(S_T = S_0 e^{(\mu-\sigma^2/2)T + \sigma W_T}\)에서 직접 계산해도 동일하게 나온다. 이처럼 이토 보조정리가 "기대값의 ODE"로 이어지는 것이 "Feynman-Kac의 역방향"에 해당한다.
21. 흔한 함정과 오해
위험중립 확률 \(N(d_2)\)는 \(P^d(S_T \ge K)\), 즉 국내 위험중립측도하에서의 ITM 확률이다. 이것은 실제 시장에서 주가가 \(K\) 이상이 될 "물리적 확률"이 아니다. 두 확률의 차이는 위험 프리미엄(위험 시장가격 \(\lambda\))에서 비롯된다. 실제 확률 \(P(S_T \ge K)\)를 계산하려면 현실측도에서의 드리프트 \(\mu\)를 사용해야 하며, 이는 일반적으로 불가능하다(\(\mu\)를 시장에서 관찰할 수 없다).
핵심 차이는 \(\frac{1}{2}b^2\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}\,dt\) 항이다. 이것을 빠뜨리면 모든 파생상품 가격결정이 틀린다. 이 항은 브라운 운동의 이차변동에서 비롯되며, GBM에서는 \(\frac{1}{2}\sigma^2 S^2\frac{\partial^2 V}{\partial S^2}\)가 PDE의 핵심 항이 된다. 보통 미적분 사슬 규칙을 적용하면 이 항이 없어 블랙-숄즈 PDE 대신 단순 이류 방정식이 나오는 오류를 범한다.
\(C_0 = S_0 e^{-r_f T}N(d_1) - Ke^{-r_d T}N(d_2)\)에서 \(r_f\)로 할인하는 것은 "외화를 받는 부분"이고, \(r_d\)로 할인하는 것은 "국내통화를 지불하는 부분"이다. \(S_0\) 앞에 \(e^{-r_f}\), \(K\) 앞에 \(e^{-r_d}\)가 붙는다. 반대로 쓰면 완전히 다른 답이 나온다. 체계적 암기법: "스팟과 같은 쪽은 해외금리, 스트라이크와 같은 쪽은 국내금리."
결정론적 시변 변동성 \(\sigma_t\)에서 유럽형 옵션은 "효과적 변동성 \(\bar{\sigma} = \sqrt{\frac{1}{T}\int_0^T\sigma_t^2 dt}\)"으로 GK 공식을 쓸 수 있다. 그러나 배리어 옵션, 아시안 옵션, 룩백 옵션 등 경로의존 상품에서는 이 단순화가 성립하지 않는다. 각 시점의 \(\sigma_t\) 값이 경로에 영향을 주기 때문이다. 이 구분을 혼동하면 경로의존 상품을 심각하게 오가격한다.
\(N(d_1)\)과 \(N(d_2)\)가 확률이지, \(d_1\)과 \(d_2\) 자체는 확률이 아니다. \(N(d_2)\)는 국내 위험중립측도에서의 ITM 확률이고, \(N(d_1)\)은 외화 위험중립측도에서의 ITM 확률이다. 두 값은 측도 변환의 차이인 \(\sigma\sqrt{T}\)만큼 다르다. 시험에서 "ITM 확률"을 묻는 경우 어떤 측도하에서의 확률을 원하는지 확인해야 한다.
Feynman-Kac 정리는 기술적 적분가능성 조건(예: Novikov 조건)이 만족되어야 엄밀히 성립한다. 극단적인 모형(무한 분산 등)에서는 조건이 깨질 수 있다. 실무에서는 대부분 조건이 만족되지만, 특이한 페이오프나 모형 파라미터에서는 수치적 불안정성이 나타날 수 있다.
22. 암기 체크리스트
| 번호 | 체크 항목 | 확인 |
|---|---|---|
| 1 | 브라운 운동의 네 성질(BM1~BM4)을 나열하고, 이차변동 \([W,W]_t=t\)를 유도할 수 있는가? | |
| 2 | 이토 보조정리(1차원)를 쓰고, 보통 사슬 규칙과의 차이를 설명할 수 있는가? | |
| 3 | GBM에서 \(d(\ln S_t) = (\mu - \frac{1}{2}\sigma^2)dt + \sigma dW_t\)를 유도할 수 있는가? | |
| 4 | Garman-Kohlhagen PDE를 쓰고 각 항의 경제적 의미를 설명할 수 있는가? | |
| 5 | Feynman-Kac 정리를 이용해 PDE를 기대값으로 변환하는 과정을 설명할 수 있는가? | |
| 6 | 국내 위험중립측도 \(P^d\)와 외화 측도 \(P^f\)의 차이와, 각각에서 \(S_T\)의 분포를 쓸 수 있는가? | |
| 7 | GK 공식 \(C_0 = S_0 e^{-r_f T}N(d_1) - Ke^{-r_d T}N(d_2)\)를 기대값 분해로 유도할 수 있는가? | |
| 8 | \(N(d_1)\)과 \(N(d_2)\)가 각각 어떤 측도에서의 ITM 확률인지 설명할 수 있는가? | |
| 9 | Breeden-Litzenberger 공식 \(f_{S_T}^d(K) = e^{r_d T}\frac{\partial^2 C}{\partial K^2}\)를 유도할 수 있는가? | |
| 10 | 국내/외화 콜 디지털의 가격과 유럽형 콜의 분해 관계를 설명할 수 있는가? | |
| 11 | 효과적 분산 \(\bar{\sigma}^2 = \frac{1}{T}\int_0^T \sigma_t^2 dt\)가 유럽형에만 적용되는 이유를 설명할 수 있는가? | |
| 12 | Girsanov 정리의 역할(드리프트 변환, 측도 변환)을 설명할 수 있는가? | |
| 13 | Leptokurtosis와 변동성 스마일의 관계를 Breeden-Litzenberger와 연결하여 설명할 수 있는가? | |
| 14 | FX 날짜 구조(Today, Expiry, Delivery)가 옵션 가격에 미치는 영향을 설명할 수 있는가? |
23. 핵심 개념 요약표
| 개념 | 핵심 수식 / 정의 | 실무 의미 | 연결 |
|---|---|---|---|
| 브라운 운동 | \(W_t \sim N(0,t)\), \((dW_t)^2 = dt\) | 연속시간 불확실성의 기본 블록 | GBM, Ito |
| 이토 보조정리 | \(df = (\partial_t f + a\partial_x f + \frac{1}{2}b^2\partial_{xx}f)dt + b\partial_x f\,dW\) | 옵션가격 SDE 계산의 핵심 도구 | GK PDE 유도 |
| GK PDE | \(\partial_t V + (r_d-r_f)S\partial_S V + \frac{1}{2}\sigma^2S^2\partial_{SS}V - r_d V = 0\) | FX 옵션가격이 만족해야 하는 방정식 | Feynman-Kac |
| GK 공식 | \(C_0 = S_0e^{-r_fT}N(d_1)-Ke^{-r_dT}N(d_2)\) | 유럽형 FX 콜의 닫힌 형태 가격 | 모든 FX 옵션의 기준점 |
| 위험중립측도 \(P^d\) | 뉴메레어: \(B_t^d\), 드리프트: \(r_d-r_f\) | 국내통화 표시 옵션가격 계산의 틀 | Girsanov, GK |
| 외화 측도 \(P^f\) | 뉴메레어: \(B_t^f\), \(N(d_1) = P^f(S_T\ge K)\) | GK 공식의 첫째 항 해석 | 측도변환, 동일가격 법칙 |
| Feynman-Kac | PDE 해 = \(e^{-r_dT}\mathbb{E}^d[V_T]\) | PDE를 기대값으로 변환하는 다리 | 몬테카를로, 측도론 |
| Breeden-Litzenberger | \(f_{S_T}^d(K) = e^{r_dT}\partial_{KK}C\) | 스마일 곡선 → 위험중립 분포 복원 | 스큐/스마일 모형 |
| 디지털 옵션 | \(e^{-r_dT}N(d_2)\), \(S_0e^{-r_fT}N(d_1)\) | 확률에 직접 베팅하는 구조 | GK 분해, 배리어 옵션 |
| 효과적 변동성 | \(\bar{\sigma}^2 = \frac{1}{T}\int_0^T\sigma_t^2 dt\) | 시변 변동성을 상수로 요약 (유럽형만) | 기간구조, 변동성 서피스 |
| Girsanov 정리 | \(dQ^d/dP = \exp(-\lambda W_T - \frac{1}{2}\lambda^2 T)\) | 현실측도 → 위험중립측도 전환 | 완비시장, FTAP |
| Leptokurtosis | 초과첨도 \(> 0\): 두꺼운 꼬리 + 뾰족한 중앙 | GBM의 한계, 스마일의 근본 원인 | 점프모형, SV 모형 |
24. 다음 장으로의 연결
이 장은 GBM이라는 단순하지만 강력한 가정 위에서, 무차익이라는 논리적 제약이 FX 옵션의 가격을 어떻게 유일하게 결정하는지를 보여준다. 핵심 메시지는 "현실 드리프트 \(\mu\)는 무관하고, 변동성 \(\sigma\)와 이자율 차이 \(r_d - r_f\)만이 가격을 결정한다"는 것이다.
그러나 현실 시장은 GBM보다 훨씬 복잡하다. 실제 FX 옵션 시장은 다양한 만기와 스트라이크에서 서로 다른 내재변동성을 보인다(변동성 스마일/스큐). 이것은 GBM의 로그정규 가정이 현실과 체계적으로 다름을 의미한다. 이후 장에서는 이 간극을 메우기 위한 다양한 모형들을 다룬다: 로컬 변동성 모형, 스토캐스틱 변동성 모형(Heston, SABR), 점프-확산 모형, 그리고 그것들의 보정(calibration) 방법.
이 장에서 배운 수학적 기계들 — 이토 적분, GK PDE, Feynman-Kac, 측도변환 — 은 이 모든 모형에 공통적으로 사용된다. 기계의 입력(확률과정)이 달라질 뿐, 기계 자체의 논리 구조는 유지된다.
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