Chapter 3. Deltas and Market Conventions

 

Chapter 3. Deltas and Market Conventions
델타의 복수성과 시장 관행 — 하나의 옵션, 다섯 개의 델타, 무수한 컨벤션

부제: FX 옵션 시장에서 "25 Delta Call"이 왜 단 하나의 숫자로 결정되지 않는가

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0. 이 장을 읽기 전에 반드시 알아야 할 배경지식

Chapter 3의 근본 질문

주식 옵션에서 델타는 딱 하나다. "기초자산 가격이 1단위 오를 때 옵션 가격이 얼마나 변하는가"라는 물음에 정확히 하나의 계산 방법과 하나의 답이 존재한다. 그런데 외환(FX) 옵션의 세계에 들어서면 이 자명한 사실이 완전히 무너진다. 동일한 옵션 계약에 대해 최소 다섯 가지 서로 다른 델타가 계산되고, 브로커마다, 통화쌍마다, 심지어 같은 거래소의 만기가 다른 계약에 대해서도 서로 다른 델타 정의가 적용된다. 이것은 단순한 관행의 차이가 아니라, 수학적으로 올바른 서로 다른 다섯 가지 헤지 전략이 존재하며 각각이 서로 다른 경제적 질문에 답하고 있기 때문이다. 이 장은 그 질문들을 하나하나 분리하고, 각 답변이 어디서 나오는지를 처음부터 끝까지 추적한다.

0.1 환율의 이중성: ccy1과 ccy2의 역할

환율(Foreign Exchange Rate)의 구조

ccy1 / ccy2 표기 체계: EURUSD라는 통화쌍을 예로 들면, EUR이 ccy1(외화, foreign currency)이고 USD가 ccy2(자국통화, domestic currency)이다. 환율 \(S_0\)는 "ccy1 한 단위를 사는 데 필요한 ccy2의 양"으로 읽는다: \(S_0 = 1.08\) USD/EUR이면 EUR 1을 사는 데 USD 1.08이 필요하다.

역수 관계의 함의: 같은 경제적 현실을 USDEUR = 0.9259로도 표현할 수 있다. 두 숫자는 정확히 역수다. 주식 옵션에서는 기초자산(주식)과 가격 단위(달러)가 고정되어 이런 역수 관계가 없다. 그런데 FX에서는 같은 시장 현실에 대해 "EURUSD 관점"과 "USDEUR 관점"이 동등하게 성립하고, 각 관점에서 미분(델타)을 취하면 서로 다른 숫자가 나온다. 이것이 FX 델타의 복잡성을 구조적으로 만드는 첫 번째 원인이다.

표기 관례: 이 장에서 \(S_0\)는 현물환율(spot rate), \(F_{0,T}\)는 만기 \(T\)까지의 선도환율(forward rate), \(r_d\)는 ccy2(자국통화) 금리, \(r_f\)는 ccy1(외화) 금리를 나타낸다.

누메레르(Numeraire)와 두 위험중립 측도

누메레르의 수학적 정의: 자산 \(A\)의 가격을 누메레르 \(N\)으로 나눈 비율 \(A/N\)이 어떤 확률 측도 \(\mathbb{Q}^N\) 하에서 마팅게일(martingale)이 된다면, \(\mathbb{Q}^N\)을 "누메레르 \(N\)에 대응하는 동등마팅게일측도"라 한다. 이 짝이 있으면 어떤 계약의 공정 가격도 기대값으로 계산할 수 있다.

FX의 두 누메레르: EURUSD 시장에는 두 개의 자연스러운 누메레르가 존재한다. USD 머니마켓 계정 \(B_d(t)=e^{r_d t}\)에 대응하는 것이 USD 위험중립 측도 \(\mathbb{Q}^d\)이고, EUR 머니마켓 계정 \(B_f(t)=e^{r_f t}\)에 대응하는 것이 EUR 위험중립 측도 \(\mathbb{Q}^f\)이다. 이 두 측도가 서로 다른 드리프트(drift)를 갖기 때문에, 같은 사건의 확률이 측도에 따라 달라진다. 이것이 \(N(d_1)\)과 \(N(d_2)\)가 서로 다른 이유이며, FX 델타가 복수인 두 번째 구조적 원인이다.

USD 위험중립 측도 하의 SDE: \(\mathbb{Q}^d\) 하에서 환율의 확률미분방정식은 다음과 같다:

$$\frac{dS_t}{S_t} = (r_d - r_f)\,dt + \sigma\,dW_t^{\mathbb{Q}^d}$$

드리프트가 \(r_d - r_f\)인 이유: EUR을 보유하면 \(r_f\)만큼의 수익이 발생하고, 이 수익이 USD 기준 가격 변화에서 차감되는 구조이기 때문이다. 이것은 배당을 지급하는 주식의 Merton(1973) 모형에서 \(q=r_f\)로 놓은 것과 수학적으로 동일하다.

커버드 금리 평가(CIP)와 선도환율

선도환율 \(F_{0,T}\)는 차익거래(arbitrage) 방지 조건에 의해 고정된다. 두 전략을 비교하자.

전략 A: USD \(S_0\)를 USD 머니마켓에 예치 → 시간 \(T\) 후 USD \(S_0 e^{r_d T}\) 수취.

전략 B: USD \(S_0\)로 EUR 1 매수 → EUR 머니마켓 예치 → 시간 \(T\) 후 EUR \(e^{r_f T}\) → 선도환율 \(F_{0,T}\)로 환전 → USD \(F_{0,T} e^{r_f T}\) 수취.

두 전략 모두 무위험이므로 수익이 같아야 한다:

$$S_0 e^{r_d T} = F_{0,T} e^{r_f T} \quad\Rightarrow\quad \boxed{F_{0,T} = S_0\,e^{(r_d-r_f)T}}$$

이 관계가 커버드 금리 평가(Covered Interest Rate Parity, CIP)이며, FX 옵션 이론 전체의 기반이다.

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1. FX Black-Scholes 가격식의 완전한 구조

1.1 Garman-Kohlhagen(1983) 모형: 역사와 구조

역사적 맥락

Mark Garman과 Steven Kohlhagen이 FX 옵션 가격식을 발표한 1983년은 FX 옵션 시장의 여명기였다. 필라델피아 증권거래소(PHLX)에서 1982년 말에 처음으로 표준화된 FX 옵션 거래가 시작되었고, 이 모형이 학계와 업계 모두의 표준이 되었다. 본질적으로 Black-Scholes(1973)에 외화 금리 \(r_f\)를 배당수익률로 추가한 구조지만, FX의 이중 통화 구조를 처음으로 명시적으로 처리했다는 의의가 있다.

유럽형 EUR 콜(USD 풋)의 만기 페이오프는 다음과 같다:

$$\text{Payoff}_T = \max(S_T - K,\; 0) \quad [\text{단위: USD}]$$

FX Black-Scholes 가격식 단계별 유도

Step 1: 위험중립 기대값 설정

\(\mathbb{Q}^d\) 하에서 \(\ln S_T \sim \mathcal{N}\!\left(\ln S_0 + (r_d-r_f-\tfrac{1}{2}\sigma^2)T,\;\sigma^2 T\right)\)이다. 콜 가격은:

$$V_{\text{call}} = e^{-r_d T}\,\mathbb{E}^{\mathbb{Q}^d}[\max(S_T-K,0)]$$

Step 2: 기대값을 두 항으로 분리

$$\mathbb{E}^{\mathbb{Q}^d}[\max(S_T-K,0)] = \underbrace{\mathbb{E}^{\mathbb{Q}^d}[S_T\cdot\mathbf{1}_{S_T>K}]}_{\text{(A)}} - K\cdot\underbrace{\mathbb{Q}^d(S_T>K)}_{\text{(B)}}$$

Step 3: (B) 계산 — USD 측도 하의 행사 확률

$$\mathbb{Q}^d(S_T>K) = N(d_2),\quad d_2=\frac{\ln(F_{0,T}/K)-\tfrac{1}{2}\sigma^2 T}{\sigma\sqrt{T}}$$

Step 4: (A) 계산 — EUR 측도로 변환

Girsanov 정리로 EUR 위험중립 측도 \(\mathbb{Q}^f\)로 변환하면:

$$e^{-r_d T}\,\mathbb{E}^{\mathbb{Q}^d}[S_T\cdot\mathbf{1}_{S_T>K}] = S_0\,e^{-r_f T}\,\mathbb{Q}^f(S_T>K) = S_0\,e^{-r_f T}\,N(d_1)$$ $$d_1=d_2+\sigma\sqrt{T}=\frac{\ln(F_{0,T}/K)+\tfrac{1}{2}\sigma^2 T}{\sigma\sqrt{T}}$$

Step 5: 최종 가격식 (\(\omega=+1\): 콜, \(\omega=-1\): 풋)

$$\boxed{V_{d/f} = \omega\,S_0\,e^{-r_f T}\,N(\omega d_1) - \omega\,K\,e^{-r_d T}\,N(\omega d_2)}$$

\(d_1\)과 \(d_2\)의 경제적 의미

\(N(d_2)\): USD 위험중립 측도 \(\mathbb{Q}^d\) 하에서 만기에 콜이 행사될 확률. "USD로 세상을 보는" 투자자 관점의 행사 확률.

\(N(d_1)\): EUR 위험중립 측도 \(\mathbb{Q}^f\) 하에서의 동일한 확률. 두 측도는 Girsanov 정리로 연결되며, 드리프트가 \(\sigma^2 T\)만큼 다른 세계에서 계산된다.

이 차이가 "Pips 델타(\(d_1\) 사용)"와 "% 델타(\(d_2\) 사용)"가 서로 다른 정규분포 함수를 사용하는 근본 이유다.

1.2 Black-Scholes 항등식: 모든 델타 유도의 핵심 도구

Black-Scholes 항등식

$$\boxed{S_0\,e^{-r_f T}\,n(d_1) = K\,e^{-r_d T}\,n(d_2)}$$

여기서 \(n(\cdot)\)는 표준정규분포 PDF: \(n(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}\).

항등식 증명

Step 1: \(n(d_1)/n(d_2)\) 계산

\(d_1=d_2+\sigma\sqrt{T}\)이므로 \(d_1^2-d_2^2=(d_1+d_2)(d_1-d_2)=\frac{2\ln(F/K)}{\sigma\sqrt{T}}\cdot\sigma\sqrt{T}=2\ln(F/K)\)이다. 따라서:

$$\frac{n(d_1)}{n(d_2)}=e^{-(d_1^2-d_2^2)/2}=e^{-\ln(F/K)}=\frac{K}{F_{0,T}}=\frac{K}{S_0 e^{(r_d-r_f)T}}$$

Step 2: 항등식 확인

$$S_0 e^{-r_f T} n(d_1) = K e^{-r_d T} n(d_2) \;\Leftrightarrow\; \frac{n(d_1)}{n(d_2)}=\frac{K e^{-r_d T}}{S_0 e^{-r_f T}}=\frac{K}{F_{0,T}} \quad\checkmark$$

이 항등식이 없으면 5종 델타 유도에서 남는 교차항들이 상쇄되지 않아 닫힌형이 존재하지 않는다. 반드시 암기하고 그 증명을 이해해야 한다.

1.3 편미분 준비: \(d_i\)의 \(S_0\) 의존성

\(F_{0,T}=S_0 e^{(r_d-r_f)T}\)이므로 \(\ln(F_{0,T}/K)=\ln S_0+(r_d-r_f)T-\ln K\)이고, \(d_1\)과 \(d_2\) 모두 \(\ln S_0\)을 통해 \(S_0\)에 의존한다.

핵심 편미분 (모든 델타 유도에 공통 적용)

$$\frac{\partial d_1}{\partial S_0}=\frac{\partial d_2}{\partial S_0}=\frac{1}{S_0\,\sigma\sqrt{T}}$$ $$\frac{\partial N(\omega d_i)}{\partial S_0}=n(d_i)\cdot\omega\cdot\frac{1}{S_0\,\sigma\sqrt{T}}$$

두 편미분이 동일한 이유: \(d_2=d_1-\sigma\sqrt{T}\)에서 상수 \(\sigma\sqrt{T}\)는 \(S_0\)에 무관하므로 미분 시 사라진다.

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2. 가격 표기(Quote Style) 체계

FX 옵션의 프리미엄은 어느 통화로든 표현할 수 있다. EURUSD 콜의 경우 EUR로도 USD로도 표현 가능하며, 어떤 notional 단위를 쓰느냐에 따라 숫자가 달라진다. 이 모호성이 4가지 가격 표기 방식을 낳는다.

4가지 가격 표기: 정의와 변환

\(V_{d/f}\) (Pips, Domestic per Foreign): 기준값. "ccy1 1단위 옵션에 대한 ccy2 단위 가격." EURUSD에서 단위는 USD/EUR. \(V_d=N_f\cdot V_{d/f}\)로 실제 USD 프리미엄을 구한다.

\(V_{\%f}=V_{d/f}/S_0\) (% Foreign): EUR notional 대비 비율. EUR로 프리미엄을 지급하는 시장에서 자연스럽다. 나중에 Premium Adjustment에서 핵심 역할을 한다.

\(V_{\%d}=V_{d/f}/K\) (% Domestic): USD notional \(K\) 대비 비율.

\(V_{f/d}=V_{d/f}/(S_0 K)\) (Foreign per Domestic): 역방향 pips. "USDEUR 관점"의 가격.

수치 예: EURUSD 콜의 4가지 가격 표기

가정: \(S_0=1.0800\), \(K=1.0900\), \(V_{d/f}=0.0153\) USD/EUR

표기	계산	값	단위
\(V_{d/f}\)	기준	0.0153	USD/EUR
\(V_{\%f}\)	0.0153/1.0800	1.4167%	EUR notional 대비
\(V_{\%d}\)	0.0153/1.0900	1.4037%	USD notional 대비
\(V_{f/d}\)	0.0153/(1.08×1.09)	0.01300	EUR/USD

네 숫자는 모두 동일한 옵션을 나타낸다. EUR 10,000,000 notional에서 \(V_{\%f}\)와 \(V_{\%d}\)를 혼동하면 약 USD 13,000의 오류가 발생한다.

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3. 델타가 여러 개가 되는 수학적 이유

3.1 두 개의 이분법이 4가지 델타를 만든다

FX 델타의 2×2 분류 체계

	Pips 가격 \(V_{d/f}\)로 미분	% 가격 \(V_{\%f}=V_{d/f}/S_0\)로 미분
Spot \(S_0\)으로 미분	(1) Pips Spot Delta \(\Delta_{S,p}\)	(2) % Spot Delta \(\Delta_{S,\%}\)
Forward \(F_{0,T}\)로 미분	(3) Pips Forward Delta \(\Delta_{F,p}\)	(4) % Forward Delta \(\Delta_{F,\%}\)

3.2 % 가격의 미분: Premium Adjustment의 수학적 근거

\(V_{\%f}=V_{d/f}/S_0\)를 \(S_0\)로 미분하면

상(quotient) 미분 적용

$$\frac{\partial V_{\%f}}{\partial S_0}=\frac{1}{S_0}\frac{\partial V_{d/f}}{\partial S_0}-\frac{V_{d/f}}{S_0^2}$$

양변에 \(S_0\) 곱하기 (로그-spot 탄력성)

$$S_0\,\frac{\partial V_{\%f}}{\partial S_0}=\frac{\partial V_{d/f}}{\partial S_0}-\frac{V_{d/f}}{S_0}=\Delta_{S,p}-V_{\%f}$$

결론: % 델타 = pips 델타 - % 가격

$$\boxed{\Delta_{S,\%}=\Delta_{S,p}-V_{\%f}}$$

이 추가로 빠지는 \(V_{\%f}\) 항이 프리미엄 조정(Premium Adjustment)의 수학적 본질이다.

3.3 Forward 미분: Spot Delta와의 관계

\(F_{0,T}=S_0 e^{(r_d-r_f)T}\)이므로 체인룰에 의해:

$$\frac{\partial V}{\partial S_0}=\frac{\partial V}{\partial F_{0,T}}\cdot e^{(r_d-r_f)T}$$

따라서 "Spot으로 미분"과 "Forward로 미분" 사이에는 항상 \(e^{(r_d-r_f)T}=F_{0,T}/S_0\)라는 인수 차이가 존재한다.

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4. 델타 5종 완전 유도

4.1 (1) Pips Spot Delta \(\Delta_{S,p}\)

Pips Spot Delta 완전 유도

Step 1: 첫 번째 항 미분

$$\frac{\partial}{\partial S_0}[\omega S_0 e^{-r_f T}N(\omega d_1)] = \omega e^{-r_f T}N(\omega d_1) + \frac{e^{-r_f T}n(d_1)}{\sigma\sqrt{T}}$$

Step 2: 두 번째 항 미분

$$\frac{\partial}{\partial S_0}[-\omega K e^{-r_d T}N(\omega d_2)] = -\frac{K e^{-r_d T}n(d_2)}{S_0\,\sigma\sqrt{T}}$$

Step 3: 합산 후 Black-Scholes 항등식 적용

교차항 \(\frac{1}{\sigma\sqrt{T}}(e^{-r_f T}n(d_1)-\frac{K e^{-r_d T}n(d_2)}{S_0})\)이 항등식에 의해 정확히 0이 된다.

$$\boxed{\Delta_{S,p}=\omega\,e^{-r_f T}\,N(\omega d_1)}$$

헤지 해석 및 수치 예

헤지 의미: EUR notional 1짜리 콜을 헤지하기 위해 현재 EUR를 \(\Delta_{S,p}\)만큼 공매도하고 USD를 \(K e^{-r_d T}N(d_2)\)만큼 예치한다. 이것이 Black-Scholes 복제 포트폴리오의 구성이다.

수치 예: \(S_0=1.08,\;K=1.09,\;r_d=0.04,\;r_f=0.02,\;\sigma=0.09,\;T=0.5\)

\(F=1.0909,\;d_1\approx0.0448,\;N(d_1)\approx0.5179\)

\(\Delta_{S,p}=e^{-0.01}\times0.5179\approx0.5127\) → EUR 1,000,000 콜 헤지에 EUR 512,700 공매도 필요.

4.2 (2) % Spot Delta \(\Delta_{S,\%}\): Premium-Adjusted Spot Delta

% Spot Delta 닫힌형 유도

콜의 경우 \(V_{\%f}^{\text{call}}\) 계산

$$V_{\%f}^{\text{call}}=\frac{V_{d/f}^{\text{call}}}{S_0}=e^{-r_f T}N(d_1)-\frac{K}{S_0}e^{-r_d T}N(d_2)$$

\(\Delta_{S,p}-V_{\%f}\) 계산

$$\Delta_{S,\%}^{\text{call}}=e^{-r_f T}N(d_1)-\left[e^{-r_f T}N(d_1)-\frac{K}{S_0}e^{-r_d T}N(d_2)\right]=\frac{K}{S_0}e^{-r_d T}N(d_2)$$

통일 표기 (콜/풋)

$$\boxed{\Delta_{S,\%}=\omega\,\frac{K}{S_0}\,e^{-r_d T}\,N(\omega d_2)}$$

핵심 관찰: \(d_2\)가 중심이 된다

Pips 델타는 \(N(\omega d_1)\)(EUR 측도의 행사 확률), % 델타는 \(N(\omega d_2)\)(USD 측도의 행사 확률)를 사용한다. EUR 프리미엄을 지급하는 두 노출(옵션 델타 노출 + 프리미엄 EUR 노출)이 상쇄될 때, \(N(d_1)\) 항들이 소거되고 \(N(d_2)\) 항만 남는다. 이것은 단순한 수식 차이가 아니라 서로 다른 확률 측도에서 나온 서로 다른 경제적 실체다.

4.3 (3) Pips Forward Delta \(\Delta_{F,p}\)

FV(만기가치) 기준으로 정의한다: \(\Delta_{F,p}=\partial\,\mathbb{E}^{\mathbb{Q}^d}[V_T]/\partial F_{0,T}\). 결정론 금리 하에서 \(\mathbb{E}^{\mathbb{Q}^d}[V_T]=e^{r_d T}V_{d/f}\)이므로:

$$\Delta_{F,p}=e^{r_d T}\cdot\frac{\partial V_{d/f}}{\partial F_{0,T}}=e^{r_d T}\cdot e^{-r_d T}N(\omega d_1)$$ $$\boxed{\Delta_{F,p}=\omega\,N(\omega d_1)}$$

모든 할인인자가 소거되어 사라진다. \(\Delta_{F,p}=e^{r_f T}\Delta_{S,p}\) 관계도 성립한다. \(r_f=0\)이면 두 델타가 일치한다.

Forward Delta가 선호되는 이유

Spot Pips Delta는 외화 할인인자 \(e^{-r_f T}\)를 포함하므로 금리 커브 합의가 필요하다. 2008년 금융위기처럼 FX 스왑 시장이 왜곡될 때, 거래 당사자들이 서로 다른 금리 커브를 사용하면 "같은 25D 콜"의 strike가 달라진다. Forward Delta는 이 할인인자가 없어 위기 상황에서도 모든 참가자가 동일한 숫자를 계산한다. 또한 SABR 모형이 forward를 기초자산으로 정의하므로, Forward Delta 축이 SABR 캘리브레이션과 자연스럽게 연결된다.

4.4 (4) % Forward Delta \(\Delta_{F,\%}\)

% 가격의 FV를 forward로 미분하면:

$$\boxed{\Delta_{F,\%}=\omega\,\frac{K}{F_{0,T}}\,N(\omega d_2)}$$

구조는 "역방향 moneyness \(K/F_{0,T}\)가 가중된 위험중립 행사 확률"이다. 브라질 헤알(BRL), 터키 리라(TRY) 등 EM 통화 선물 시장에서 주로 사용된다.

4.5 (5) Simple Delta \(\Delta_{\text{simple}}\): 스마일 좌표축

Simple Delta의 정의와 사용 제한

정의: 스마일 변동성을 전혀 사용하지 않고 계산 가능한 "근사 좌표"다.

$$\Delta_{\text{simple}}=\omega\,N(\omega d),\quad d=\frac{\ln(F_{0,T}/K)}{\sigma_{\text{ref}}\sqrt{T}}$$

\(d\)의 정체: \(d_1\)에서 \(+\tfrac{1}{2}\sigma^2 T\)를, \(d_2\)에서 \(-\tfrac{1}{2}\sigma^2 T\)를 제거한 "중간값"이다. Itô 보정이 없으므로 진정한 헤지 비율이 아니며, 반드시 스마일의 가로축(좌표) 역할로만 사용해야 한다.

존재 이유: 스마일 캘리브레이션 반복(iteration)에서, 각 iteration마다 "어떤 strike가 25D인가"를 구할 때 스마일 자체를 참조하면 순환 참조가 된다. Simple Delta는 이 순환을 끊는 초기 좌표를 제공한다.

4.6 5종 델타 완전 비교표

델타 종류	닫힌형	핵심 분포 인수	헤지 의미	주요 사용 시장
Pips Spot \(\Delta_{S,p}\)	\(\omega e^{-r_f T}N(\omega d_1)\)	\(d_1\) / EUR 측도	USD 프리미엄 시장 기본 헤지	EURUSD, USDJPY 등 G10
% Spot \(\Delta_{S,\%}\)	\(\omega(K/S_0)e^{-r_d T}N(\omega d_2)\)	\(d_2\) / USD 측도	EUR 프리미엄 + 프리미엄 노출 상쇄	EUR 프리미엄 G10 시장
Pips Forward \(\Delta_{F,p}\)	\(\omega N(\omega d_1)\)	\(d_1\) / EUR 측도	할인인자 불필요; 위기 시 안정	장기 만기, SABR 시장
% Forward \(\Delta_{F,\%}\)	\(\omega(K/F_{0,T})N(\omega d_2)\)	\(d_2\) / USD 측도	선물+% 결합; EM 통화	BRL, TRY, EM 선물 시장
Simple \(\Delta_{\text{simple}}\)	\(\omega N(\omega d)\), Itô 보정 없음	\(d\) (중간값)	헤지 비율 아님; 스마일 좌표축	스마일 피팅 초기값, 표 인덱스

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5. Premium Adjustment 심층: 경제학과 수학

5.1 두 FX 노출의 분리

EUR 프리미엄 지급 시 두 가지 EUR 노출이 발생한다

노출 1 — 옵션 델타 노출: 환율이 오르면 콜 가치가 오른다. EUR 롱 노출 크기: \(\Delta_{S,p}\). 헤지: EUR를 \(\Delta_{S,p}\)만큼 공매도.

노출 2 — 프리미엄 EUR 노출: EUR로 지급한 프리미엄 자체가 EUR 자산이다. EUR 강세 시 이 프리미엄의 USD 가치가 올라 이득이 된다. EUR 롱 노출 크기: \(V_{\%f}\). 헤지: EUR를 추가로 \(V_{\%f}\)만큼 공매도.

총 EUR 공매도: \(\Delta_{S,p}-V_{\%f}=\Delta_{S,\%}\). % 델타는 "두 노출을 합산한 순 EUR 민감도"다.

5.2 깊은 ITM에서의 부호 역전

깊은 ITM 옵션에서의 주의사항

단순 바닐라 콜에서 \(\Delta_{S,\%}=(K/S_0)e^{-r_d T}N(d_2)\)는 \(S_0\to\infty\) 극한에서 0으로 수렴한다(음수로 역전되지 않음). 그러나 복잡한 포지션이나 스트랭글 구조에서는 일부 구간에서 부호 역전이 발생할 수 있어 "콜인데 EUR를 매수해야 헤지"가 되는 상황이 생긴다.

더 중요한 실무 위험은, Pips 델타 기준으로 헤지하다가 EUR 프리미엄 시장에 진입하는 경우다. 이때 노출 2(프리미엄 EUR 노출)를 무시하면 체계적인 과다헤지(over-hedge)가 발생한다. 깊은 ITM에서 \(V_{\%f}\approx10\%\)에 달할 수 있으므로 이 오차는 무시하기 어렵다.

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6. 시장 컨벤션: 통화쌍별 델타 스타일

6.1 Premium Currency가 Delta Style을 결정한다

통화쌍	ccy1/ccy2	Premium 통화	Delta 스타일	ATM 정의	비고
EURUSD	EUR/USD	USD(ccy2)	Spot Pips	DNS Pips	가장 유동적 G10
USDJPY	USD/JPY	JPY(ccy2)	Spot Pips	DNS Pips	JPY 금리≈0, spot≈forward
GBPUSD	GBP/USD	USD(ccy2)	Spot Pips	DNS Pips	EURUSD와 동일 패턴
AUDUSD	AUD/USD	USD(ccy2)	Spot Pips	DNS Pips	AUD 금리 차이 주의
USDTRY	USD/TRY	USD(ccy1)	Forward %	DNS % 또는 ATMF	TRY 높은 금리 → 큰 spot/fwd 차이
USDBRL	USD/BRL	USD(ccy1)	Forward %	DNS %	BRL 선물 시장 중심
EURJPY (크로스)	EUR/JPY	시장 확인 필수	혼재	확인 필수	오해 가장 흔한 구간

크로스 통화쌍의 위험성: 반드시 명시적으로 확인하라

EURJPY, EURGBP, AUDJPY 같은 크로스 통화쌍은 거래 플랫폼마다, 브로커마다 다른 컨벤션을 사용하는 경우가 빈번하다. 거래 전 반드시 (1) 어떤 델타 정의인지, (2) ATM이 ATMF인지 DNS인지, (3) 프리미엄 통화가 무엇인지를 명시적으로 확인해야 한다. 이 확인 없이 "25D 콜"을 말하면 두 당사자가 서로 다른 strike를 상정하는 사태가 발생한다.

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7. ATM 정의 두 가지: ATMF와 DNS

7.1 왜 ATM에 두 가지 정의가 필요한가

ATMF (At-The-Money Forward)

정의: ATM strike = 선도환율. \(K_{ATMF}=F_{0,T}=S_0 e^{(r_d-r_f)T}\)

장점: 계산이 즉각적이고 스마일 정보가 불필요하다.

단점: \(K=F_{0,T}\)에서의 straddle은 일반적으로 delta-neutral하지 않다. 순 delta가 0이 아닌 straddle을 "방향성 없이 변동성만 사는" 도구로 쓰면 방향성 베팅이 섞인다.

DNS (Delta-Neutral Straddle)

정의: straddle의 순 delta가 정확히 0이 되는 strike.

$$\Delta_Q^{\text{call}}(K_{DNS})+\Delta_Q^{\text{put}}(K_{DNS})=0$$

7.2 DNS Strike의 닫힌형 유도

케이스 A: Pips Forward Delta 기준 DNS

DNS 조건 설정

$$N(d_1)-N(-d_1)=2N(d_1)-1=0 \Rightarrow d_1=0$$ $$\frac{\ln(F/K)+\tfrac{1}{2}\sigma^2 T}{\sigma\sqrt{T}}=0 \Rightarrow \ln(F/K)=-\tfrac{1}{2}\sigma^2 T$$

결과

$$\boxed{K_{DNS,\,F\text{-pips}}=F_{0,T}\,e^{+\frac{1}{2}\sigma_{ATM}^2 T}}$$

결론: \(K>F_{0,T}\). ATM strike가 선도환율보다 위에 위치한다.

케이스 B: % Forward Delta 기준 DNS

DNS 조건 설정

$$\frac{K}{F}[2N(d_2)-1]=0 \Rightarrow d_2=0$$ $$\frac{\ln(F/K)-\tfrac{1}{2}\sigma^2 T}{\sigma\sqrt{T}}=0 \Rightarrow \ln(F/K)=+\tfrac{1}{2}\sigma^2 T$$

결과

$$\boxed{K_{DNS,\,F\text{-\%}}=F_{0,T}\,e^{-\frac{1}{2}\sigma_{ATM}^2 T}}$$

결론: \(K<F_{0,T}\). ATM strike가 선도환율보다 아래에 위치한다.

시장 감별법: ATM strike의 위치로 컨벤션 추론

관측 사실	추론되는 컨벤션
\(K_{ATM}>F_{0,T}\)	Pips Forward DNS 또는 Pips Spot DNS
\(K_{ATM}=F_{0,T}\)	ATMF 컨벤션
\(K_{ATM}<F_{0,T}\)	% Delta DNS (Premium-Adjusted)

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8. 변동성 스마일: Delta 축으로 인용하는 이유

8.1 스마일이 발생하는 이유

Black-Scholes는 변동성이 모든 strike에서 상수라고 가정한다. 그러나 현실 시장에서는 같은 만기, 다른 strike의 옵션들이 서로 다른 내재변동성을 갖는다. 이를 변동성 스마일(Volatility Smile) 또는 스큐(Skew)라 한다.

스마일의 원인은 복합적이다: (1) 로그정규 분포 가정의 현실 부적합(두꺼운 꼬리, 점프 과정), (2) 비대칭 수요(수출기업의 외화 풋 수요 집중, 캐리 트레이더의 방향성 편향), (3) 공급-수요 불균형. 이런 이유로 내재변동성은 \(\sigma_X(K)\) 또는 \(\sigma_X(\Delta)\)처럼 함수로 모델링된다.

8.2 Delta 축이 만기 정규화를 제공한다

절대 strike \(K\)를 좌표축으로 쓰면, 1개월 만기와 1년 만기에서 같은 \(K\)가 완전히 다른 moneyness를 의미한다. Delta는 \(\ln(K/F)\)를 \(\sigma\sqrt{T}\)로 스케일링하므로 만기가 달라져도 "25D 콜"이 대략 비슷한 위험 특성을 가진 옵션을 지칭한다. 이것이 FX 시장에서 ATM / 25D / 10D 포인트로 스마일을 표현하는 이유다.

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9. Risk Reversal, Market Strangle, Smile Strangle

9.1 3-point 스마일 표현

FX 스마일은 통상 세 숫자로 요약된다: ATM vol(레벨), 25D RR(기울기), 25D MS(곡률). 이 세 숫자에서 근사적으로 25D 콜/풋의 변동성을 복원한다:

$$\sigma_{25D\text{-}C}\approx\sigma_{ATM}+\sigma_{25D\text{-}SS}+\tfrac{1}{2}\sigma_{25D\text{-}RR}$$ $$\sigma_{25D\text{-}P}\approx\sigma_{ATM}+\sigma_{25D\text{-}SS}-\tfrac{1}{2}\sigma_{25D\text{-}RR}$$

9.2 Risk Reversal(RR)

Risk Reversal의 정확한 정의

$$\sigma_{25D\text{-}RR}=\phi_{RR}\,[\sigma_X(K_{25D\text{-}C})-\sigma_X(K_{25D\text{-}P})]$$

여기서 \(K_{25D\text{-}C}\), \(K_{25D\text{-}P}\)는 스마일 \(\sigma_X(K)\) 위에서 delta가 ±0.25가 되는 strikes이다. 이 strikes를 구하려면 스마일이 필요하고, 스마일을 구하려면 이 strikes가 필요한 순환 구조가 발생한다. 이것이 캘리브레이션이 반복(iterative) 문제인 이유다.

경제적 해석: RR > 0이면 콜이 같은 delta 풋보다 비싸다. EURUSD에서 RR > 0은 "EUR 강세 위험이 더 비싸게 priced in"된 상태다.

9.3 Market Strangle(MS)의 3단계 구조

Market Strangle: 합산 가격 제약

1단계: 단일 변동성 \(\sigma_{MS}=\sigma_{ATM}+\sigma_{25D\text{-}MS}\) 계산. 이 가상의 평탄한 세계에서 delta ±0.25 strikes를 구한다: \(K_{25D\text{-}C\text{-}MS}\), \(K_{25D\text{-}P\text{-}MS}\).

2단계: 타깃 가격 계산:

$$V_{MS}^{\text{target}}=BS(+1,K_{25D\text{-}C\text{-}MS},\sigma_{MS})+BS(-1,K_{25D\text{-}P\text{-}MS},\sigma_{MS})$$

3단계 (제약): 실제 스마일 \(\sigma_X(K)\)로 같은 구조를 가격하면 타깃과 일치해야 한다:

$$BS(+1,K_{25D\text{-}C\text{-}MS},\sigma_X(K_{25D\text{-}C\text{-}MS}))+BS(-1,K_{25D\text{-}P\text{-}MS},\sigma_X(K_{25D\text{-}P\text{-}MS}))=V_{MS}^{\text{target}}$$

핵심: 각 다리의 가격이 개별적으로 타깃과 일치할 필요는 없다. 합계만 일치하면 된다. 이 합계 제약이 스마일의 곡률(butterfly)을 고정하고, 개별 wing은 RR로 결정된다.

9.4 Smile Strangle(SS): 스마일 위의 진짜 25D 볼 평균

Smile Strangle의 정의와 MS와의 차이

$$\sigma_{25D\text{-}SS}=\tfrac{1}{2}[\sigma_X(K_{25D\text{-}C})+\sigma_X(K_{25D\text{-}P})]-\sigma_{ATM}$$

MS와 SS의 근본 차이: MS는 "단일 vol으로 구성한 스트랭글의 합산 가격"이고, SS는 "실제 스마일 위 25D strikes에서의 평균 변동성"이다. 스큐(RR)가 작으면 MS ≈ SS이지만, 스큐가 크면 25D-MS strikes와 25D-SS strikes가 달라져 두 값이 유의미하게 달라진다. 고품질 캘리브레이션에서는 이 둘을 반드시 구별해야 한다.

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10. 스마일 캘리브레이션: 암시적 문제의 구조

10.1 문제의 구조와 암시성

캘리브레이션의 목표: 임의의 strike \(K\)에서 내재변동성 \(\sigma_X(K)\)를 계산할 수 있는 스마일 함수를 구성하는 것. 입력: ATM vol, 25D RR, 25D MS (경우에 따라 10D도 추가).

암시성의 두 원인: (1) 스마일 위의 25D strikes가 스마일 자체에 의존한다(순환 참조). (2) MS 제약이 합산 가격만 고정하므로 개별 wing이 RR과 동시에 결정되어야 한다.

표준 3-point 캘리브레이션 알고리즘 흐름

Step 0 — 컨벤션 확정 (가장 중요): Delta 타입, ATM 정의, RR 부호, 프리미엄 통화를 명확히 확정. 이 단계 없이는 이후 계산 전체가 무의미하다.

Step 1 — 전제 계산: \(F_{0,T}\), \(K_{ATM}\)(컨벤션에 따라), \(\sigma_{MS}=\sigma_{ATM}+\sigma_{25D\text{-}MS}\).

Step 2 — MS strikes와 타깃 가격: 단일 vol \(\sigma_{MS}\) 하에서 이분법(bisection)으로 delta ±0.25 strikes 역산. 타깃 가격 계산.

Step 3 — 파라미터 초기화: 3-파라미터 스마일 모형 선택, 초기값 설정.

Step 4 — 내부 루프 (ATM + RR): 현재 파라미터로 스마일 위 25D strikes 역산 → ATM 오차와 RR 오차 계산 → Levenberg-Marquardt로 파라미터 업데이트 → 수렴까지 반복.

Step 5 — 외부 루프 (MS 가격 검증): 현재 스마일로 MS 가격 계산 → 타깃과 비교 → 오차가 크면 SS 파라미터 조정 후 Step 4로 복귀 → 수렴 시 완성.

수치 안정성 핵심

이분법 우선: Delta는 strike에 대해 단조함수이므로 이분법이 항상 수렴한다. 구간: \(K\in[F e^{-8\sigma\sqrt{T}}, F e^{+8\sigma\sqrt{T}}]\)로 설정하면 실제 모든 경우를 커버한다.

Newton법 폴백: Newton법이 10회 이상 발산 시도 시 이분법으로 자동 전환. Vega가 0에 가까운 깊은 OTM에서 Newton법은 발산한다.

Arbitrage-free 검증 필수: 캘리브레이션 완료 후 butterfly spread ≥ 0 조건을 전체 strike 범위에서 확인해야 한다. 위반 시 음의 위험중립 밀도가 발생한다.

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11. 연습문제 상세 해설

문제 1: 5종 델타 전체 계산

문제 설정

EURUSD 유럽형 콜. \(S_0=1.0800\), \(K=1.1000\), \(\sigma=0.10\), \(T=0.5\), \(r_d=0.04\), \(r_f=0.02\), \(V_{d/f}=0.01452\). 5종 델타를 모두 계산하라.

상세 풀이

Step 1: 기본 수치

\(F=1.0800\times e^{0.01}=1.09085\)

\(d_1=[\ln(1.09085/1.1000)+0.5\times0.01\times0.5]/(0.10\times0.7071)=(-0.00836+0.00250)/0.07071\approx-0.0829\)

\(d_2=-0.0829-0.07071=-0.1536\)

\(N(d_1)\approx0.4670,\;N(d_2)\approx0.4389\)

Step 2: (1) Pips Spot Delta

$$\Delta_{S,p}=e^{-0.01}\times0.4670\approx0.9901\times0.4670\approx0.4624$$

Step 3: (2) % Spot Delta

\(V_{\%f}=0.01452/1.0800\approx0.01344\)

닫힌형: \(\Delta_{S,\%}=(1.1000/1.0800)\times e^{-0.02}\times0.4389\approx1.01852\times0.9802\times0.4389\approx0.4383\)

Step 4: (3) Pips Forward Delta

$$\Delta_{F,p}=N(d_1)=0.4670$$

Step 5: (4) % Forward Delta

$$\Delta_{F,\%}=(1.1000/1.09085)\times0.4389\approx1.00839\times0.4389\approx0.4426$$

Step 6: (5) Simple Delta

\(d=\ln(1.09085/1.1000)/(0.10\times0.7071)=-0.00836/0.07071\approx-0.1182\)

$$\Delta_{\text{simple}}=N(-0.1182)\approx0.4530$$

델타 종류	계산값	주요 인수
Pips Spot	0.4624	\(N(d_1)e^{-r_f T}\)
% Spot	~0.4383	\(N(d_2)(K/S_0)e^{-r_d T}\)
Pips Forward	0.4670	\(N(d_1)\)
% Forward	0.4426	\(N(d_2)(K/F)\)
Simple	0.4530	\(N(d)\), Itô 보정 없음

문제 2: DNS Strike 계산

문제 설정

USDJPY. \(F_{0,T}=150.00\), \(\sigma_{ATM}=0.12\), \(T=1\). (i) ATMF, (ii) Pips Forward DNS, (iii) % Forward DNS strike를 구하라.

풀이

(i) ATMF

$$K_{ATMF}=F_{0,T}=150.00$$

(ii) Pips Forward DNS (\(d_1=0\) 조건)

$$K_{DNS,F\text{-pips}}=150.00\times e^{+0.5\times0.0144\times1}=150.00\times e^{0.0072}\approx151.08$$

(iii) % Forward DNS (\(d_2=0\) 조건)

$$K_{DNS,F\text{-\%}}=150.00\times e^{-0.0072}\approx148.92$$

해석: 세 strike 간 차이 \(\approx\pm1.08\)은 \(F\times\tfrac{1}{2}\sigma^2 T=150\times0.0072=1.08\)로 정확히 설명된다. 이 \(\tfrac{1}{2}\sigma^2 T\) 항이 Itô 보정이며, \(d_1\)과 \(d_2\)의 차이를 만드는 것과 같은 항이다. 변동성이 크거나 만기가 길수록 세 ATM strike의 차이가 커지고, "어떤 ATM 정의를 쓰느냐"의 영향이 커진다.

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12. 흔한 함정과 오해 정리

함정 1: "25 Delta"가 하나의 strike를 결정한다는 오해

4종의 진정한 델타(Pips Spot / % Spot / Pips Forward / % Forward) 각각에서 "delta = 0.25"가 되는 strike가 모두 다르다. 컨벤션 확인 없이 "25D 콜"을 말하는 것은 의미 없다.

함정 2: ATM을 \(K=S_0\)로 오해

FX 옵션에서 ATM은 거의 항상 선도환율 기준(ATMF) 또는 DNS다. \(K=S_0\)를 ATM으로 쓰는 것은 초보 교육자료에서나 허용되는 과도한 단순화다. 두 통화 간 금리 차이가 클수록 \(S_0\)와 \(F_{0,T}\)의 차이가 커지고, 이 구분의 실무 중요성이 높아진다.

함정 3: \(N(d_1)\)과 \(N(d_2)\)의 임의 교환

\(N(d_1)\)은 EUR 측도 \(\mathbb{Q}^f\), \(N(d_2)\)는 USD 측도 \(\mathbb{Q}^d\)에서의 행사 확률이다. Pips 델타에서 \(d_2\) 사용, % 델타에서 \(d_1\) 사용은 체계적 편향을 만든다.

함정 4: Market Strangle이 각 wing vol을 고정한다는 오해

MS는 합산 가격만 제약한다. 개별 wing은 RR(스큐) 정보와 함께 동시에 결정된다.

함정 5: MS = SS로 단순화

스큐(RR)가 클 때 MS ≠ SS이다. 이 차이를 무시하면 스마일이 실제 시장 가격을 재현하지 못한다.

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13. 암기 체크리스트

번호	체크 항목	확인
1	FX 델타가 복수인 두 이분법(Spot vs Forward, Pips vs %)을 구체적으로 설명할 수 있는가?
2	Black-Scholes 항등식 \(S_0 e^{-r_f T}n(d_1)=K e^{-r_d T}n(d_2)\)를 증명하고 그 역할을 설명할 수 있는가?
3	5종 델타의 닫힌형을 모두 암기하는가? (Pips Spot: \(\omega e^{-r_f T}N(\omega d_1)\), % Spot: \(\omega(K/S_0)e^{-r_d T}N(\omega d_2)\), Pips Fwd: \(\omega N(\omega d_1)\), % Fwd: \(\omega(K/F)N(\omega d_2)\), Simple: \(\omega N(\omega d)\))
4	Premium Adjustment의 경제적 의미를 "두 EUR 노출의 합산"으로 유도할 수 있는가?
5	Forward Delta가 할인인자를 포함하지 않는 이유와 실무적 장점을 설명할 수 있는가?
6	Simple Delta가 Itô 보정 없는 스마일 좌표축임을 설명할 수 있는가?
7	Pips Forward DNS \(K=Fe^{+\sigma^2 T/2}\), % Forward DNS \(K=Fe^{-\sigma^2 T/2}\)를 유도할 수 있는가?
8	RR(기울기), MS(곡률), SS(진짜 25D vol 평균)의 차이를 설명할 수 있는가?
9	스마일 캘리브레이션이 암시적 문제인 이유 두 가지(순환 참조, 합산 제약)를 설명할 수 있는가?
10	Premium Currency가 Delta Style을 결정하는 메커니즘을 주요 통화쌍 예시와 함께 설명할 수 있는가?
11	ATM strike의 위치(\(K_{ATM}\)과 \(F_{0,T}\)의 대소 관계)로 시장 컨벤션을 추론하는 방법을 아는가?
12	크로스 통화쌍 거래 전 반드시 확인해야 할 3가지(delta 타입, ATM 정의, 프리미엄 통화)를 말할 수 있는가?

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14. 다음 장으로의 연결

Chapter 3의 핵심 메시지와 다음 장 연결

이 장의 핵심 메시지: FX 옵션에서 델타는 단일 개념이 아니다. "어떤 가격 관점에서 어떤 기초자산 변화에 대해 미분하느냐"와 "시장이 어떤 컨벤션을 채택하느냐"에 따라, 수학적으로 모두 올바른 다섯 가지 델타가 존재한다. 이 컨벤션의 차이가 변동성 스마일의 좌표계를 결정하고, 스마일 캘리브레이션 전체의 정확도를 결정한다.

Chapter 4에서는 이 스마일 함수 \(\sigma_X(K)\)를 실제로 파라미터화하고, 배리어(barrier)와 디지털(digital) 같은 이색 옵션의 가격에 적용하는 방법을 다룬다. Chapter 3에서 확립한 "올바른 delta 정의"와 "올바른 스마일 좌표계" 없이는 이색 옵션 가격이 시장과 일치하지 않는다.

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부록. 핵심 용어 사전

용어	영문	정의와 수식	연결 개념
현물환율	Spot Rate \(S_0\)	오늘 즉시 교환하는 ccy2/ccy1 환율	CIP, 선도환율
선도환율	Forward Rate \(F_{0,T}\)	\(F=S_0 e^{(r_d-r_f)T}\)	CIP, Forward Delta
누메레르	Numeraire	가치를 측정하는 기준 자산. USD/EUR 머니마켓.	측도 변경, Girsanov
Pips Spot Delta	\(\Delta_{S,p}\)	\(\omega e^{-r_f T}N(\omega d_1)\)	G10 USD 프리미엄
% Spot Delta	\(\Delta_{S,\%}\)	\(\omega(K/S_0)e^{-r_d T}N(\omega d_2)\)	EUR 프리미엄 시장
Pips Forward Delta	\(\Delta_{F,p}\)	\(\omega N(\omega d_1)\)	장기 만기, SABR
% Forward Delta	\(\Delta_{F,\%}\)	\(\omega(K/F_{0,T})N(\omega d_2)\)	EM 통화 선물
Simple Delta	\(\Delta_{\text{simple}}\)	\(\omega N(\omega d)\), \(d=\ln(F/K)/(\sigma\sqrt{T})\)	스마일 좌표축
Premium Adjustment	Premium Adj.	\(\Delta_{S,\%}=\Delta_{S,p}-V_{\%f}\)	% Spot/Forward Delta
BS 항등식	BS Identity	\(S_0 e^{-r_f T}n(d_1)=K e^{-r_d T}n(d_2)\)	5종 델타 유도
ATMF	At-The-Money Forward	\(K_{ATMF}=F_{0,T}\)	ATM 정의
DNS	Delta-Neutral Straddle	Straddle 순 delta=0 strike	스마일 캘리브레이션
Risk Reversal	RR	25D 콜 vol − 25D 풋 vol. 스마일 기울기.	스마일 3-point
Market Strangle	MS	단일 vol으로 구성한 25D 스트랭글 합산 가격 제약.	스마일 곡률
Smile Strangle	SS	스마일 위 25D vol 평균 − ATM vol. MS ≠ SS (큰 스큐).	스마일 캘리브레이션
CIP	Covered Interest Parity	\(F=S_0 e^{(r_d-r_f)T}\). 무차익 조건.	선도환율 전체

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Reference: Clark, I. J. (2011). Foreign Exchange Option Pricing: A Practitioner's Guide. Wiley Finance. Chapter 3.  |  Garman & Kohlhagen (1983). JIMF.  |  Black & Scholes (1973). JPE.