FRM part1. Reading 52: Measuring Credit Risk

 

FRM Part I – Reading 52
신용 리스크 측정 (Measuring Credit Risk)

EXAM FOCUS

핵심 학습 목표

이 Reading은 금융기관이 보유한 신용자산(대출, 채권, 파생상품 익스포저 등)을 포트폴리오 관점에서 분석할 때 제기되는 핵심 질문들을 다룹니다. 은행이 얼마나 손실을 볼 것인지, 최악의 경우 손실이 얼마까지 갈 수 있는지, 그리고 그 손실을 버티기 위해 자본을 얼마나 쌓아야 하는지를 체계적으로 학습합니다. 경제적 자본(Economic Capital)과 규제 자본(Regulatory Capital)의 차이를 이해하고, 다양한 신용리스크 모델링 기법을 비교하는 것이 핵심입니다.

시험에서 반드시 할 수 있어야 하는 것

• 기대손실(EL)과 예상치 못한 손실(UL)의 계산 및 관계 (Actual Loss = EL + UL)
• 이항분포를 기반으로 한 포트폴리오 손실의 평균과 표준편차 계산
• Basel II의 두 가지 접근법: 표준방법(Standardized) vs 내부등급법(IRB)
• Vasicek 모형(규제자본)의 WCDR 공식과 UL 계산
• CreditMetrics 모형(경제적 자본)과 신용등급 전이(Migration)의 개념
• Euler 정리를 이용한 포트폴리오 위험 기여도 분해
• Gaussian Copula의 원리와 한계
• 파생상품 EAD 계산이 대출보다 어려운 이유와 Wrong-way Risk

이 Reading은 정량적 계산과 정성적 개념이 혼합되어 있습니다. 특히 손실 표준편차 계산, Vasicek 모형의 WCDR 공식, Euler 정리의 적용이 시험에 자주 출제됩니다. 계산 문제뿐 아니라 각 모형의 핵심 논리와 한계점을 이해하는 것이 중요합니다.

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MODULE 52.1: 기대손실(EL)과 예상치 못한 손실(UL)

LO 52.a: 경제적 자본과 규제 자본의 구분

1. 왜 은행은 자본을 쌓아야 하는가?

은행은 수많은 대출을 보유하고 있으며, 이 중 일부는 반드시 부실해집니다. 이것은 피할 수 없는 사업 현실입니다. 위험 자산(risky asset)의 가치 하락에 대한 최선의 추정치는 기대손실(Expected Loss)이지만, 실제 발생하는 손실은 기대손실을 훨씬 초과할 수 있습니다. 거래상대방의 미지급 또는 부도로 인한 손실 위험이 신용리스크(Credit Risk)입니다.

만약 은행이 손실 대비 부적절한 준비금을 보유하고 있다면, 은행 자체가 손상(impaired)될 가능성이 있습니다. 따라서 은행은 예상치 못한 손실(UL)을 흡수하여 대규모 손실이 발생하더라도 계속 영업할 수 있도록 자본 준비금(capital reserves)을 보유하는 것이 필수적입니다. 손실이 발생하면 자기자본(equity capital)에서 흡수됩니다.

핵심 직관:
평균적으로 나는 손실(EL)은 '예측 가능'하므로 대출 금리(스프레드)나 충당금(대손충당금)으로 미리 반영할 수 있습니다. 하지만 금융위기처럼 많은 차주가 동시에 무너지면 손실이 평균을 훨씬 초과합니다. 이 '예상치 못한 손실(UL)'이 은행의 자기자본을 깎아먹어 지급불능 사태를 일으킬 수 있습니다. 따라서 은행은 UL을 흡수할 완충장치로 '자본(Capital)'을 보유해야 합니다.

2. 경제적 자본 (Economic Capital)

경제적 자본은 은행이 자체적으로 산정한 필요 자본입니다. '우리 포트폴리오의 위험 수준이라면 최소 이 정도 자본은 있어야 안전하다'고 추정한 금액입니다. 은행이 필요로 하는 자본의 크기는 가능한 손실 추정치에 의존하지만, 자본구조(부채 대비 자기자본 비율)에도 의존합니다. 예를 들어, AA등급 유지를 목표로 하면 99.98% 신뢰수준의 극단적 꼬리(tail)까지 커버해야 합니다.

3. 규제 자본 (Regulatory Capital)

규제 자본은 감독당국이 강제하는 최소 자본입니다. 글로벌 기준은 바젤은행감독위원회(BCBS)의 Basel 프레임워크입니다. Basel I Accord는 1996년에 발효되어 은행의 필요 신용리스크 자본 수준을 결정했습니다. 2004년에 도입된 Basel II Accord는 신용리스크 자본 요구량을 변경하고, 시장리스크와 운영리스크에 대한 자본 요구량도 도입했습니다. 이러한 프레임워크들은 Basel III Accord에 의해 대체될 예정입니다.

Basel II는 신용리스크 자본 계산을 위한 두 가지 접근법을 제시합니다: (1) 신용등급을 사용하는 표준방법(Standardized Approach), (2) Vasicek 모형을 사용하는 내부등급법(Internal Ratings-Based, IRB Approach).

구분	경제적 자본	규제 자본
결정 주체	은행 자체	감독당국 (Basel)
목적	내부 리스크 관리	금융시스템 안정성
유연성	은행별 맞춤	표준화된 규칙
신뢰수준	목표 등급에 따라 (예: 99.98%)	99.9% (Basel IRB)
주요 모형	CreditMetrics	Vasicek Model

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LO 52.b: 부도 데이터와 부도의 '클러스터링' 현상

1. 부도 데이터 (Default Data)의 특성

신용리스크 평가 시 부도 데이터를 분석하는 것이 중요합니다. 현실에서 대출 부도(default)는 독립적으로 발생하지 않습니다. 부도는 군집화(cluster)되는 경향이 있어, 서로 독립적으로 부도가 나지 않습니다. 어떤 해에는 (기업) 부도율이 높고, 다른 해에는 낮습니다. 예를 들어, 1990년, 2001년, 2009년에 부도율이 급격히 증가했습니다.

2. 신용 전염 (Credit Contagion)

이러한 군집화의 중요한 원인 중 하나는 경제의 체계적 위험(systemic risk)입니다. 좋은 경제 상황에서는 부도확률이 낮아지는 반면, 약한 경제 상황에서는 부도율과 상관관계가 동시에 증가합니다. 나쁜 경제 시기에 상관관계가 증가하는 현상을 신용 전염(Credit Contagion)이라고 합니다. 이는 특히 금융회사에 중요한데, 은행시스템 전체에 체계적 위험을 야기할 수 있기 때문입니다. 경제 상황은 분산(diversification)으로 제거할 수 없는 위험을 나타냅니다.

시험 핵심 포인트:
포트폴리오가 아무리 커도 경기요인(체계적 위험)은 분산되지 않습니다. 이것이 Vasicek 모형의 핵심 가정이자, '신용리스크는 완전 분산이 안 된다'는 핵심 메시지입니다.

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LO 52.c & LO 52.d: 신용리스크의 3대 요소와 기대손실·예상치 못한 손실

1. 신용리스크의 3대 구성요소: PD, EAD, LGD

부도확률(PD)은 차주가 부도날 가능성이지만, 이것이 반드시 채권자의 가장 큰 우려사항은 아닙니다. 차주가 잠시 부도 상태에 빠졌다가 지급이나 이자, 연체료를 납부하여 빠르게 회복할 수도 있기 때문입니다. 채권자는 PD 외에 다른 위험 지표도 함께 고려해야 합니다.

요소	영문	의미	상세 설명
PD	Probability of Default	부도확률	1년 내에 차주가 부도날 확률. 백분율로 표시
EAD	Exposure at Default	부도시 노출액	부도 시점에 걸려있는 금액. 대출의 경우 대출 잔액, 신용한도의 경우 추정 인출액. 달러 금액 또는 명목 대출금의 백분율로 표시
LGD	Loss Given Default	부도시 손실률	부도 시 노출액 중 잃는 비율. 부도의 심각성(severity)은 부도 가능성만큼 중요함. \(LGD = 1 - RR\) (회수율의 여집합)

시험 함정 주의:
PD만 중요하다고 착각하면 안 됩니다. LGD가 높으면(담보가치 하락 등) 같은 PD라도 손실이 폭발적으로 증가합니다. 부도가 짧고 채권자가 손실을 입지 않으면 큰 우려사항이 아니지만, 부도가 영구적이고 채권자가 상당한 손실을 입으면 심각한 문제가 됩니다. 특히 경기침체 시에는 PD 상승과 LGD 상승이 동시에 발생하는 '이중 악재'가 나타납니다.

2. 기대손실 (Expected Loss, EL)

기대손실(EL)은 은행이 대차대조표에 보유한 위험 자산의 가치 하락에 대한 기대치입니다. EL은 기대부도율(PD)과 부도시 손실률(LGD)의 곱으로 계산됩니다. 이것은 마치 보험회사가 보험료를 책정할 때 예상 보험금 지급액을 반영하는 것과 같습니다.

기대손실 (EL) 공식

$$EL = PD \times LGD$$ $$EL(\$) = EAD \times PD \times LGD$$

비율 기준 EL은 '평균적으로 예상되는 손실률'이며,
금액 기준 EL은 여기에 노출액(EAD)을 곱한 것입니다.

예시: 기대손실(EL) 계산

조건: 은행이 대출 포트폴리오에 대해 부도율 1.8%를 예상하며, 부도 시 회수율(RR)이 60%인 경우

$$LGD = 1 - RR = 1 - 0.60 = 0.40\ (40\%)$$ $$EL = PD \times LGD = 1.8\% \times 40\% = 0.72\%$$

해석: 이 0.72%는 은행 포트폴리오의 평균 손실 기대치를 백분율로 나타낸 것입니다. EL은 근사치라는 점에 유의해야 합니다. 달러 기준으로 EL에 EAD를 곱하면, EL은 노출이 증가함에 따라 증가합니다.

예: EAD가 1억원이면 \(EL(\$) = 1\text{억} \times 0.72\% = 72\text{만원}\)

3. 예상치 못한 손실 (Unexpected Loss, UL)

부도 시 자산의 실제 손실은 기대손실보다 높거나 낮을 수 있습니다. 실제 손실과 기대손실의 차이가 예상치 못한 손실(UL)입니다.

예상치 못한 손실 (UL) 정의

$$UL = \text{실제 손실(Actual Loss)} - EL$$ $$\therefore\ \text{Actual Loss} = EL + UL$$

UL이 발생하는 원인에는 세 가지가 있습니다. 첫째, 부도 발생 자체로 인한 예상치 못한 손실입니다. 둘째, 신용등급 전이(Credit Migration)로 인한 손실인데, 이는 차주의 신용도가 악화될 가능성을 나타냅니다. 등급 전이가 즉각적인 부도로 이어지지 않을 수 있지만, 그러한 사건의 확률이 증가합니다. 물론 반대로 채무자의 신용 품질이 시간이 지남에 따라 개선될 수도 있습니다.

4. VaR와의 연결: 필요 자본 계산

이전 Reading의 VaR 논의와 연결하면, 필요 자본은 1년 기간 동안 x% 신뢰수준에서의 VaR에서 EL을 뺀 것과 같습니다. 바젤위원회는 IRB 접근법에 따른 규제 자본에 대해 x를 99.9%로 설정합니다.

필요 자본 공식

$$\text{Required Capital} = \text{Credit VaR}_{x\%} - EL$$

여기서 \(x\)는 신뢰수준 (Basel IRB: 99.9%)

핵심 해석:
99.9% 확률은 1,000년에 한 번만 발생하는 사건에 해당합니다. EL은 이미 가격/충당금에 반영되어 있으므로, 자본은 그 이상의 손실(UL)을 버티기 위해 필요합니다. 흥미롭게도, 은행들은 신용등급 유지를 위해 이 확률보다 더 보수적인 경향이 있습니다. 예를 들어, AA등급 은행은 1년 내 부도확률이 0.02% 이하여야 하므로 99.98% 확률에 해당합니다.

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MODULE 52.2: 신용손실 측정 및 모델링

LO 52.e: 이항분포를 이용한 개별 대출 및 포트폴리오 손실의 평균과 표준편차

1. 개별 대출 손실의 분포 (베르누이/이항분포)

\(n\)개의 대출로 구성된 포트폴리오에서, \(i\)번째 대출의 부도 시 손실은 액면가 \(L\)에 대해 \(L_i(1 - RR_i)\)입니다. 여기서 \(RR_i\)는 \(i\)번째 대출의 부도 시 회수율입니다. 포트폴리오의 대출 손실 확률분포는 이항분포(Binomial Distribution)를 따릅니다. 즉, 손실 발생 확률 \(PD_i\)와 손실 미발생 확률 \(1 - PD_i\)로 구성됩니다.

개별 대출 손실의 평균과 표준편차

평균 손실(기대손실):

$$E[\text{Loss}_i] = PD_i \times L_i \times (1 - RR_i) = PD_i \times L_i \times LGD_i$$

손실 표준편차:

$$\sigma_i = L_i \times LGD_i \times \sqrt{PD_i \times (1 - PD_i)}$$

예시: 개별 대출 손실 표준편차 계산

조건: \(L = \text{EUR}\ 1\text{백만}\), \(PD = 0.5\%\), \(RR = 30\%\) (따라서 \(LGD = 70\%\)), \(L = 1\)로 가정

$$\sigma = L \times LGD \times \sqrt{PD \times (1-PD)}$$ $$\sigma = 1 \times 0.70 \times \sqrt{0.005 \times 0.995}$$ $$\sigma = 0.70 \times \sqrt{0.004975}$$ $$\sigma = 0.70 \times 0.07053 \approx 0.0494$$

해석: 개별 대출의 손실 변동성은 원금의 약 4.94%

2. 포트폴리오 손실의 표준편차: 상관(ρ)의 핵심 역할

개별 대출의 손실 표준편차로부터, 손실 간 상관관계 \(\rho_{ij}\)를 도입하여 대출 포트폴리오의 손실 표준편차를 계산할 수 있습니다.

포트폴리오 손실 표준편차

일반 형태:

$$\sigma_P = \sqrt{\sum_i \sigma_i^2 + \sum_i \sum_{j \neq i} \rho_{ij}\sigma_i\sigma_j}$$

단순화 (모든 대출 동일: L, PD, LGD, ρ 가정):

$$\sigma_P = \sigma \times \sqrt{n + \rho \times n \times (n-1)}$$

포트폴리오 규모 대비 (%):

$$\frac{\sigma_P}{n \times L} = \left(\frac{\sigma}{L}\right) \times \sqrt{\rho + \frac{1-\rho}{n}}$$

핵심 직관 — 상관이 분산을 막는다:

\(n\)이 매우 커지면 \((1-\rho)/n \to 0\)이 됩니다. 결국 남는 것은 \(\sqrt{\rho}\) 성분입니다.

의미: 포트폴리오가 아무리 커져도 상관(체계요인, 경기요인)으로 인한 위험은 사라지지 않습니다. 이것이 '신용리스크는 완전 분산이 안 된다'는 핵심 메시지이며, 규제 자본이 존재해야 하는 근본적 이유입니다.

예시: 포트폴리오 손실 표준편차 계산

조건: \(n = 10{,}000\)개 대출, \(L = \text{EUR}\ 1\text{백만}\), \(PD = 0.5\%\), \(RR = 30\%\), \(\rho = 0.2\), \(L = 1\)로 가정

(1) 개별 대출 \(\sigma\) (앞서 계산): 0.0494

(2) 포트폴리오 규모 대비 표준편차:

$$\sigma\% = \left(\frac{\sigma}{L}\right) \times \sqrt{\rho + \frac{1-\rho}{n}}$$ $$= 0.0494 \times \sqrt{0.2 + \frac{0.8}{10{,}000}}$$ $$= 0.0494 \times \sqrt{0.20008}$$ $$= 0.0494 \times 0.4473 \approx 0.0221\ (2.21\%)$$

비교: 만약 \(\rho = 0\)이면 \(\sigma\% = 0.0494 \times \sqrt{1/10{,}000} = 0.000494\) (0.05%). 상관 때문에 위험이 약 45배 더 큰 것을 확인할 수 있습니다.

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LO 52.f: Gaussian Copula 모형

1. 코퓰라(Copula)의 개념

코퓰라(Copula)는 두 개 이상의 변수들의 개별 주변분포(marginal distribution)는 유지하면서 변수들 사이의 결합확률분포(joint probability distribution)를 만들어주는 수학적 도구입니다. Gaussian Copula 모형은 고유한 형태를 가질 수 있는 두 변수의 확률분포를 표준정규분포(평균 0, 표준편차 1)로 매핑합니다. 이 매핑은 백분위-백분위(percentile-to-percentile) 방식으로 이루어집니다. Gaussian Copula는 은행과 규제기관 모델 모두에서 사용됩니다.

Gaussian Copula 매핑 예시

비정규분포 \(V_1\)과 \(V_2\)의 관측치를 Gaussian Copula를 통해 표준정규분포 \(U_1\)과 \(U_2\)로 매핑합니다:

• 비정규분포의 1백분위수는 → 표준정규분포의 1백분위수(–2.326)로 매핑
• 비정규분포의 5백분위수는 → 표준정규분포의 5백분위수(–1.645)로 매핑
• 이 과정을 각 관측치에 대해 백분위-백분위 기준으로 반복

이렇게 매핑된 \(U_1\)과 \(U_2\)는 이변량 정규분포(bivariate normal)가 되므로 상관 구조를 정의할 수 있습니다.

2. 단일요인 모형 (One-Factor Model)

그러나 상관을 정의하는 것은 어려울 수 있으며, 분포의 수가 많아지면 상관 파라미터가 폭발적으로 증가합니다. 이 문제를 해결하는 방법 중 하나가 단일요인 모형(One-Factor Model)입니다:

단일요인 모형

$$U_i = a_i \times F + \sqrt{1 - a_i^2} \times Z_i$$

여기서:

• \(F\): 모든 \(U_i\)에 공통인 요인 (경기/시장 요인, 체계요인)
• \(Z_i\): \(F\)와 무관한 \(U_i\)의 개별 고유요인 (서로 독립, \(Z_i\)와 \(Z_j\)는 상관 없음)
• \(a_i\): –1과 +1 사이의 값

두 표준정규분포 간의 상관을 고려하면, \(F\)가 모든 \(Z_i\)와 상관이 없고 \(Z_i\)가 \(Z_j\)와 상관이 없으므로 \(U_i\)와 \(U_j\)의 상관계수 = \(a_i \times a_j\)가 됩니다 (\(E(F^2) = 1\)이므로).

CAPM과의 유사성:
가장 잘 알려진 단일요인 모형은 CAPM(자본자산가격결정모형)으로, 단일 요인이 시장지수 수익률입니다. 이 구조는 CAPM에서 시장수익률이라는 '단일 요인'으로 주식 수익률을 설명하는 것과 동일한 논리입니다. 다음 섹션의 Vasicek 모형은 이 단일요인 모형을 부도확률에 적용합니다.

Gaussian Copula의 한계:
Gaussian Copula는 극단적인 꼬리(tail)에서 동시 발생 확률을 과소평가할 수 있습니다. 정규분포는 'tail dependence'가 약해서, 위기 상황에서 동시다발적 부도가 발생할 확률을 실제보다 낮게 추정합니다. 이것이 2008년 금융위기에서 CDO 가격 오류의 한 원인으로 지목되었습니다.

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LO 52.g: Vasicek 모형 (Basel IRB의 핵심)

1. Vasicek 모형의 개요

Vasicek 모형은 규제 자본을 결정하기 위한 수학적 모형입니다. 이 모형은 EL과 UL을 모두 정의하여 거래상대방 리스크를 평가합니다. 이 모형은 분포의 왼쪽 꼬리(left tail), 즉 신용 손실과 부도에 관심이 있습니다.

2. 부도 임계값 관점

왼쪽 꼬리 리스크는 표준정규분포 \(U_i\)를 통해 측정됩니다. 기업의 '자산가치' 또는 '신용상태'를 표준정규 변수 \(U\)로 표현하고, 이 값이 특정 임계값 이하로 떨어지면 부도로 간주합니다:

부도 조건

$$U_i \le \Phi^{-1}(PD)$$

여기서 \(\Phi^{-1}\)은 역누적정규분포(Inverse Cumulative Normal Distribution)

예시: 부도 임계값

\(PD = 2\%\)이면:

$$\Phi^{-1}(0.02) = -2.054$$

\(U_i\)가 –2.054 미만인 모든 값은 부도에 해당하고, 그 이상의 값(–2.054에서 양의 무한대)은 비부도에 해당합니다.

3. WCDR (Worst-Case Default Rate)

Vasicek 모형의 핵심은 '경기가 극단적으로 나쁜 상태'를 가정했을 때의 조건부 부도율을 계산하는 것입니다. 99.9% 비부도 확률(즉, 0.1% PD)을 가정하면, 부도율의 99.9 백분위수를 설정할 수 있습니다. 이 모형은 평균 PD를 0.1% 확률(1,000년에 한 번 발생하는 사건)의 포트폴리오 부도율로 변환합니다.

WCDR 공식 (99.9% 신뢰수준)

$$\text{WCDR} = \Phi\left(\frac{\Phi^{-1}(PD) + \sqrt{\rho} \times \Phi^{-1}(0.999)}{\sqrt{1 - \rho}}\right)$$

여기서 \(\Phi^{-1}(0.999) = 3.09\)

해석: 99.9% 확률로 부도율이 WCDR 이하

4. UL 계산 (Basel IRB)

Vasicek 모형을 확장하여 개별 대출 또는 대출 포트폴리오의 UL을 계산할 수 있습니다. Basel II 자본 요구량의 IRB 접근법에서:

UL 공식 (Basel IRB)

$$UL = (\text{WCDR} - PD) \times LGD \times EAD$$

이 수식에서 모든 대출은 동일한 PD, 동일한 상관, 동일한 LGD를 가집니다.
포트폴리오 전체: \(UL_{\text{total}} = \sum UL_i\)

Vasicek 모형의 핵심 특성:

• 부도율은 PD와 상관계수(ρ) 모두 증가함에 따라 증가합니다
• 결국 규제자본이 커지는 방향으로 작동합니다
• '왼쪽 꼬리(left tail)', 'default', '규제자본', 'IRB'가 나오면 → Vasicek 모형을 떠올리세요

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LO 52.h: CreditMetrics 모형 (경제적 자본)

1. CreditMetrics의 개요와 핵심 아이디어

CreditMetrics 모형은 주로 금융기관이 경제적 자본을 결정하는 데 사용합니다. 이 모형에서 차주에게는 내부 및 외부 신용등급이 부여되며, 차주의 등급이 1년 이내에 변경될 확률을 신용 손실 분포를 통해 평가합니다.

CreditMetrics의 핵심 아이디어는 부도 없이도 손실이 발생한다는 것입니다. 차주의 신용등급이 AA에서 BBB로 하락하면, 해당 채권의 요구수익률(스프레드)이 커지고 채권 가격이 하락합니다. 부도가 발생하지 않았어도 시가평가(mark-to-market) 손실이 나타납니다.

2. CreditMetrics 방법론

평가는 일반적으로 Monte Carlo 시뮬레이션을 통해 수행되며, Gaussian Copula 모형을 사용합니다. Monte Carlo 시뮬레이션은 각 차주의 등급 전이를 정규분포로 변환하면서 정규분포 간의 상관관계를 반영합니다. 상관관계는 흔히 거래소에서 거래되는 주식 수익률의 상관으로부터 추정합니다.

3. Vasicek vs CreditMetrics 비교

구분	Vasicek	CreditMetrics
주요 용도	규제자본 (Basel IRB)	경제적 자본
손실 정의	부도(Default)만 고려	부도 + 등급변화(Migration) 모두 고려
방법론	해석적 공식 (Closed-form)	Monte Carlo 시뮬레이션
출력	WCDR → UL	전체 손실분포
의존성 모델	단일요인 모형	Gaussian Copula
상관 추정	규제 파라미터	주식수익률 상관

시험 함정 주의:
CreditMetrics는 Vasicek와 달리 부도의 영향뿐만 아니라 등급 변화의 영향도 고려합니다. 즉, 부도가 없더라도 등급 전이가 발생하면 금융기관은 신용 손실을 입을 수 있습니다. 이것이 두 모형의 가장 핵심적인 차이점입니다.

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LO 52.i: Euler 정리 – 위험 기여도 분해

1. 왜 위험 기여도 분해가 필요한가?

포트폴리오 전체 위험(예: VaR, 표준편차)을 계산한 후, '각 자산이 전체 위험에 얼마나 기여했는가?'를 알아야 합니다. Euler 정리는 포트폴리오의 동차적(homogeneous) 리스크 함수를 개별 구성요소의 기여분으로 분해합니다. 이는 각 기초 대출이 전체 대출 포트폴리오 리스크에 기여하는 정도를 결정할 때 특히 유용합니다.

위험 기여도가 필요한 이유는 다음과 같습니다:

• 한도(Limit) 설정: 위험 기여도가 큰 대출에 한도를 두기
• 가격 책정: 위험 기여도에 비례해 스프레드 책정
• 위험 예산(Risk Budget): 부서별/상품별 위험 배분
• 집중도 관리: 특정 자산/섹터 쏠림 감지

2. Euler 정리의 수학적 표현

Euler 정리

위험측도 \(R\)이 1차 동차함수(homogeneous of degree 1)이면:

$$R(w) = \sum_i w_i \times \left(\frac{\partial R}{\partial w_i}\right)$$

여기서:

• \(w_i\): 자산 \(i\)의 비중/규모
• \(\frac{\partial R}{\partial w_i}\): 한계 위험 (자산 \(i\)를 한 단위 늘릴 때 위험 증가)
• \(Q_i = w_i \times \frac{\partial R}{\partial w_i}\): 자산 \(i\)의 위험 기여도

\(x_i\)가 작아지면, 리스크 함수 \(F\)는 개별 \(Q_i\) 구성요소의 합으로 단순화됩니다.

3. Euler 정리 적용 예시

예시: 3개 대출의 위험 기여도 분해

조건: 대출(1)의 손실 표준편차 = 1.2, 대출(2) = 0.8, 대출(3) = 0.8

상관행렬:

	대출(1)	대출(2)	대출(3)
대출(1)	1.0	0.3	0.3
대출(2)	0.3	1.0	0.4
대출(3)	0.3	0.4	1.0

(1) 포트폴리오 전체 σ 계산:

$$\sigma_P = \sqrt{1.2^2 + 0.8^2 + 0.8^2 + 2(0.3)(1.2)(0.8) + 2(0.3)(1.2)(0.8) + 2(0.4)(0.8)(0.8)}$$ $$= \sqrt{1.44 + 0.64 + 0.64 + 0.576 + 0.576 + 0.512}$$ $$= \sqrt{4.392} \approx 1.87$$

(2) 대출(1)의 기여도(Q₁) 계산:

대출(1)의 크기를 1% 증가시키면 → \(\sigma_1' = 1.2 \times 1.01 = 1.212\)

새 포트폴리오 σ'를 계산:

$$\sigma_P' = \sqrt{1.212^2 + 0.8^2 + 0.8^2 + 2(0.3)(1.212)(0.8) + 2(0.3)(1.212)(0.8) + 2(0.4)(0.8)(0.8)}$$

포트폴리오 σ의 증가분을 0.01로 나누면 \(Q_1\)을 얻습니다.

결과:

• \(Q_1 \approx 0.7733\)
• \(Q_2 \approx 0.5492\)
• \(Q_3 \approx 0.5492\)

검증: \(Q_1 + Q_2 + Q_3 = 0.7733 + 0.5492 + 0.5492 = 1.87 = \sigma_P\) ✓

포트폴리오의 총 손실 표준편차를 3개 대출의 개별 기여분으로 완전히 분해했습니다.

시험 팁: '기여도', '분해(decomposition)', '각 자산의 위험 몫'이 나오면 → Euler 정리를 떠올리세요.

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MODULE 52.3: 신용리스크 평가의 어려움

LO 52.j: 파생상품의 EAD 계산이 대출보다 어려운 이유

1. 대출 vs 파생상품 EAD

은행의 필요 자본 계산에는 EAD 산출이 포함됩니다. 대출의 EAD는 비교적 단순합니다 — 단순히 대출 잔액(선수금 금액)입니다. 그러나 파생상품의 EAD는 파생상품의 가치가 매일 변동하므로 파생상품 익스포저가 매일 변화하여 훨씬 더 도전적입니다.

파생상품 EAD (Basel 규정)

$$EAD = \text{현재 노출(Current Exposure)} + \text{추가분(Add-on)}$$

여기서:

• 현재 노출: 상대방이 지금 당장 부도나면 은행이 잃을 수 있는 금액
• 추가분(Add-on): 부도 시점까지 시장이 움직여 노출이 더 악화될 가능성에 대한 완충분

2. 네팅(Netting)의 영향

대출과 달리 파생상품은 네팅 계약(netting agreements)의 적용을 받습니다. 네팅이 존재하면, 단일 거래상대방과의 모든 파생거래는 상대방이 부도 시 하나의 파생상품으로 간주되므로, 필요 자본 계산은 거래 기준(transaction basis)이 아닌 거래상대방 기준(counterparty basis)으로 이루어져야 합니다.

네팅의 함정:
네팅이 있으면 자본 계산이 '단순해진다'고 생각하기 쉽지만, 오히려 더 복잡해집니다. 모든 파생거래를 '거래별'이 아닌 '상대방별'로 묶어서 계산해야 해서, 거래 건수가 많으면 이 작업이 매우 복잡해집니다.

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LO 52.k: 신용리스크 정량화의 한계점

신용리스크 평가에는 여러 한계점이 존재합니다:

(1) Through-the-cycle vs Point-in-time PD

규제당국은 은행에게 규제 자본 산출 시 경기주기 전체를 반영한 Through-the-cycle PD를 계산하도록 요구합니다. 이는 경기변동의 변동성을 제거하기 위함입니다. 그러나 은행 내부적으로는 현재 상황을 반영한 Point-in-time PD가 더 유용할 수 있습니다. 경기주기 전체의 PD는 현재 PD를 가장 잘 대표하지 못할 수 있으며, 이 경우 Point-in-time PD가 신용리스크를 더 잘 예측할 수 있습니다.

(2) 경기침체의 이중 악재

경기침체는 은행에 이중의 부정적 효과를 줍니다. 경기침체 시 부도율이 증가하는 동시에, 회수율은 감소합니다(따라서 LGD가 증가합니다). PD 상승과 LGD 상승이 동시에 발생하면 손실이 기하급수적으로 증가합니다.

(3) Wrong-way Risk

Wrong-way Risk는 한 기업의 거래상대방에 대한 신용 노출이 증가하는 것이 거래상대방의 신용위험 증가와 동시에 발생하는 현상입니다. 즉, 거래상대방에 대한 노출 가치 증가가 거래상대방의 높은 부도 위험과 일치합니다. 이는 특히 파생상품 거래에서 중요합니다.

Wrong-way Risk 예시

은행이 원자재 기업과 원자재 가격 스왑 계약을 체결한 상황:

• 원자재 가격 하락 → 은행의 스왑 수익(노출) 증가
• 동시에 원자재 기업의 수익 악화 → 부도 위험 증가
• '내가 돈을 받아야 할 때' 상대방이 부도날 가능성이 커지는 최악의 조합

(4) 상관 추정의 어려움

상관관계는 추정하기 어려울 수 있습니다. 과거 데이터로 추정한 상관이 위기 시에는 급격히 변할 수 있어 상관 불안정성 문제가 존재합니다.

(5) 다른 리스크와의 상호작용

신용리스크 외에도 기업은 시장리스크, 운영리스크, 유동성리스크, 전략리스크 등 많은 다른 리스크에 직면하며, 이 모든 것이 은행의 필요 자본에 영향을 미칩니다.

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MODULE QUIZ

Module Quiz 52.1

문제 1. XYZ 은행이 중소기업 차주에 대한 대출의 기대손실을 예측하려 합니다. 차주가 금융 의무를 이행하지 않을 경우 75%의 손실이 발생할 것으로 판단합니다. 이 리스크 지표는:

A. 부도확률(Probability of Default)
B. 손실률(Loss Rate)
C. 예상치 못한 손실(Unexpected Loss)
D. 부도시 노출액(Exposure at Default)

문제 2. 기대손실(EL)과 예상치 못한 손실(UL)에 관한 다음 설명 중 옳은 것은?

A. 기대손실은 항상 예상치 못한 손실을 초과한다
B. 예상치 못한 손실은 항상 기대손실을 초과한다
C. 기대손실은 실제 손실의 정량화를 요구한다
D. 기대손실은 노출 금액과 직접적으로 관련된다

문제 3. 기대손실(EL), 예상치 못한 손실(UL), 실제 손실의 관계를 가장 잘 설명하는 것은?

A. 실제 손실 = EL + UL
B. 실제 손실 = EL – UL
C. 실제 손실 = EL × UL
D. 실제 손실 = UL – EL

Module Quiz 52.2

다음 정보를 문제 1과 2에 사용하세요.
은행이 50,000개의 대출을 보유한 포트폴리오가 있으며, 각 대출은 USD 1백만이고 연간 PD는 1.1%입니다. 회수율은 40%, 대출 간 상관관계는 0.2입니다. L = 1로 가정합니다.

문제 1. 각 개별 대출의 손실 표준편차에 가장 가까운 값은?

A. 0.01100
B. 0.01088
C. 0.04172
D. 0.06258

문제 2. 대출 포트폴리오 규모 대비 손실 표준편차에 가장 가까운 값은?

A. 0.015288
B. 0.027988
C. 0.041622
D. 0.055975

문제 3. 리스크 관리자가 각 기초 대출이 전체 대출 포트폴리오 리스크에 기여하는 정도를 결정하려 합니다. 이 관리자가 사용해야 하는 것은?

A. CreditMetrics
B. Euler 정리
C. Gaussian Copula
D. Vasicek 모형

Module Quiz 52.3

문제 1. 파생상품의 신용리스크 자본 계산에 관한 다음 설명 중 가장 부정확한 것은?

A. 대출보다 파생상품의 EAD를 계산하는 것이 더 쉽다
B. 네팅 약정은 파생상품의 신용리스크 자본 계산을 단순하게 만든다
C. Basel 규정은 파생상품의 EAD를 현재 노출 + 추가분(add-on)으로 설정한다
D. 네팅 약정이 있는 파생상품의 경우, 필요 자본 계산은 거래상대방 기준으로 이루어져야 한다

정답

문제	정답	해설
52.1-1	B	차주가 부도 시 75%의 손실은 손실률(Loss Rate, LGD)입니다. 신용리스크 평가 지표에는 부도확률(PD), 손실률(LGD), 부도시 노출액(EAD), 기대손실(EL)이 포함됩니다.
52.1-2	D	EL은 노출 금액이 증가함에 따라 증가합니다 (\(EL = EAD \times PD \times LGD\)). UL은 일반적으로 EL을 초과하지만, PD가 0이면 둘 다 0입니다. 실제 손실의 정량화가 필요한 것은 EL이 아니라 UL입니다.
52.1-3	A	UL은 실제 손실과 기대손실의 차이로 정의되므로, 실제 손실 = EL + UL입니다.
52.2-1	D	\(\sigma = L \times LGD \times \sqrt{PD \times (1-PD)} = 1 \times 0.60 \times \sqrt{0.011 \times 0.989} = 0.60 \times 0.10432 \approx 0.06258\)
52.2-2	B	\(\sigma\% = (\sigma/L) \times \sqrt{\rho + (1-\rho)/n} = 0.06258 \times \sqrt{0.2 + 0.8/50{,}000} = 0.06258 \times 0.4473 \approx 0.027988\)
52.2-3	B	Euler 정리는 포트폴리오의 리스크 함수를 개별 구성요소의 기여분으로 분해하여, 각 기초 대출이 전체 리스크에 기여하는 정도를 결정합니다.
52.3-1	B	네팅 약정은 파생상품의 리스크 자본 계산을 더 복잡하게 만듭니다. 단일 거래상대방과의 모든 파생상품이 하나의 파생상품으로 간주되므로, 필요 자본 계산이 거래 기준이 아닌 거래상대방 기준으로 이루어져야 하기 때문입니다.

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KEY CONCEPTS (핵심 개념 정리)

LO 52.a 핵심

• 경제적 자본: 은행 자체가 필요하다고 추정한 자본. 예상치 못한 손실을 완충하기 위해 충분한 경제적 자본을 보유해야 함
• 규제 자본: 감독당국이 은행에 요구하는 최소 자본. Basel II는 표준방법(Standardized) 또는 내부등급법(IRB)으로 계산
• 경제적 자본은 은행 자체 추정, 규제 자본은 감독당국 기준

LO 52.b 핵심

• 약한 경제 상황은 부도와 상관관계를 동시에 증가시킴
• 나쁜 경제 시기에 상관관계가 증가하는 현상 = 신용 전염(Credit Contagion)
• 경제 상황은 분산으로 제거할 수 없는 체계적 위험

LO 52.c 핵심

• 기대손실(EL) = PD × LGD (비율), EL($) = EAD × PD × LGD (금액)
• EL은 은행이 대차대조표에 보유한 위험 자산의 기대 가치 하락분

LO 52.d 핵심

• 예상치 못한 손실(UL) = 실제 손실 - 기대손실
• UL 발생 원인: 부도 발생, 신용등급 전이(Credit Migration)
• 필요 자본 = Credit VaR(x%) - EL, Basel IRB는 x = 99.9%

LO 52.e 핵심

• 개별 대출 손실 표준편차: \(\sigma = L \times LGD \times \sqrt{PD(1-PD)}\)
• 포트폴리오 규모 대비 표준편차: \(\sigma\% = (\sigma/L) \times \sqrt{\rho + (1-\rho)/n}\)
• n이 커져도 상관(ρ)으로 인한 위험은 사라지지 않음

LO 52.f 핵심

• Gaussian Copula: 고유한 형태의 변수들을 표준정규분포로 매핑 (백분위-백분위 기준)
• 은행과 규제기관 모두 사용
• 단일요인 모형으로 상관 파라미터 폭발 문제 해결. 상관 = \(a_i \times a_j\)
• 한계: 꼬리에서 동시 발생 확률을 과소평가 (2008 금융위기 원인 중 하나)

LO 52.g 핵심

• Vasicek 모형: 규제 자본 결정, 왼쪽 꼬리 분포의 부도 분석
• 부도 조건: \(U_i \le \Phi^{-1}(PD)\)
• WCDR = 99.9% 신뢰수준에서의 최악의 부도율
• UL = (WCDR - PD) × LGD × EAD
• 부도율은 PD와 상관계수(ρ) 모두 증가함에 따라 증가

LO 52.h 핵심

• CreditMetrics: 경제적 자본 결정. Monte Carlo 시뮬레이션 사용
• Vasicek와의 핵심 차이: 부도뿐 아니라 등급 변화(Rating Migration)의 영향도 고려
• 부도 없이도 등급 전이로 신용 손실 발생 가능

LO 52.i 핵심

• Euler 정리: 포트폴리오 리스크 함수를 개별 기여분으로 분해
• 각 기초 대출이 전체 포트폴리오 리스크에 기여하는 정도를 결정
• 위험 기여도의 합 = 포트폴리오 전체 위험

LO 52.j 핵심

• 파생상품의 EAD 계산이 대출보다 어려움: 파생상품 노출이 매일 변동
• Basel 규정: 파생상품 EAD = 현재 노출 + 추가분(Add-on)
• 네팅이 있으면 거래 기준이 아닌 거래상대방 기준으로 계산 (더 복잡해짐)

LO 52.k 핵심

• 한계점 5가지: ① TTC vs PIT PD ② 경기침체의 이중 악재(PD↑, LGD↑) ③ 파생상품 EAD 및 Wrong-way Risk ④ 상관 추정의 어려움 ⑤ 타 리스크(시장, 운영, 유동성, 전략)와의 상호작용
• Wrong-way Risk: 노출 증가와 상대방 신용위험 증가가 동시 발생

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시험 대비 한 줄 암기 체크리스트

주제	암기 포인트
EL 공식	\(EL = PD \times LGD\), 금액: \(EL(\$) = EAD \times PD \times LGD\)
UL 정의	\(\text{Actual Loss} = EL + UL\), UL = 실제손실 - 기대손실
필요 자본	\(\text{Required Capital} = \text{Credit VaR}_{x\%} - EL\)
Basel IRB 신뢰수준	99.9% (1,000년에 1회), AA등급 은행은 99.98%
경제적 vs 규제 자본	경제적=은행자체(CreditMetrics), 규제=감독당국(Vasicek/IRB)
신용 전염	경기 나빠지면 부도율 ↑ + 상관 ↑ 동시 발생
개별 대출 σ	\(\sigma = L \times LGD \times \sqrt{PD(1-PD)}\)
포트폴리오 σ%	\((\sigma/L) \times \sqrt{\rho + (1-\rho)/n}\), n↑이어도 ρ 부분은 사라지지 않음
Gaussian Copula	백분위-백분위 매핑, 꼬리 의존성 약함 (위기 시 과소평가)
단일요인 모형 상관	\(\text{Corr}(U_i, U_j) = a_i \times a_j\)
Vasicek 부도 조건	\(U_i \le \Phi^{-1}(PD)\), 왼쪽 꼬리 → 규제자본
WCDR	\(\Phi\left(\frac{\Phi^{-1}(PD)+\sqrt{\rho}\cdot\Phi^{-1}(0.999)}{\sqrt{1-\rho}}\right)\), PD↑ρ↑이면 WCDR↑
UL (Basel IRB)	\((WCDR - PD) \times LGD \times EAD\)
CreditMetrics vs Vasicek	CreditMetrics = 부도 + 등급전이, Vasicek = 부도만
Euler 정리	\(R = \sum w_i \cdot \partial R / \partial w_i\), 기여도 합 = 전체 위험
파생상품 EAD	현재 노출 + Add-on, 네팅 시 거래상대방 기준 (더 복잡)
Wrong-way Risk	노출 ↑ + 상대방 신용위험 ↑ 동시 발생
경기침체 이중 악재	PD ↑ + LGD ↑ (회수율 ↓) 동시 발생

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