FRM part1. Reading 49: Measuring and Monitoring Volatility

 

FRM Part I – Reading 49
변동성 측정 및 모니터링 (Measuring and Monitoring Volatility)

EXAM FOCUS

핵심 학습 목표

변동성의 정확한 추정은 잠재적 위험 노출을 이해하는 데 매우 중요합니다. 자산 가치는 정규분포를 사용하여 평가할 수 있지만, 정규성으로부터의 이탈(deviations from normality)은 리스크 관리자가 변동성과 VaR을 측정하는 데 어려움을 야기합니다. 이 Reading에서는 변동성 추정의 문제점과 VaR을 결정하는 데 사용할 수 있는 다양한 가중 방법을 다룹니다. 다양한 방법론의 장점, 단점, 기저 가정도 함께 논의합니다.

시험에서 반드시 할 수 있어야 하는 것

• 정규분포로부터의 이탈이 발생하는 이유 설명 (팻테일, 비대칭, 불안정)
• 조건부 분포와 무조건부 분포의 구별, 레짐 스위칭 개념
• VaR 측정의 파라메트릭 및 비파라메트릭 접근법 비교
• EWMA 모델을 사용한 변동성 추정 계산
• GARCH(1,1) 모델을 사용한 변동성 추정 및 장기 분산 계산
• 변동성의 평균회귀(Mean Reversion) 특성과 장기 시계열 변동성 추정
• 내재변동성(Implied Volatility)과 VIX의 개념
• 상관관계 추정(Correlation Estimation)의 업데이트 방법

이 Reading은 정량적 계산이 핵심이며, 특히 EWMA 계산, GARCH(1,1) 계산, 장기 분산 도출, 안정성 조건이 시험에 자주 출제됩니다.

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MODULE 49.1: 수익률 분포와 시장 체제

LO 49.a: 자산 수익률 분포가 정규분포에서 이탈하는 방식

1. VaR(Value at Risk)의 개념

VaR(Value at Risk, 위험가치)는 주어진 기간 동안 과거 수익률 분포를 기반으로 포트폴리오 가치의 잠재적 손실을 측정하는 확률적 방법입니다. VaR는 포트폴리오(자산) 가치가 특정 시간 내에 x% 확률로만 도달하거나 초과할 손실 금액입니다. 즉, 손실이 VaR 수치와 같거나 클 확률이 x%입니다. VaR는 어떤 손실 확률 비율에 대해서든, 어떤 기간에 대해서든 계산할 수 있습니다. 1%, 5%, 10% VaR은 각각 VaR(1%), VaR(5%), VaR(10%)로 표기합니다. 리스크 관리자가 관심 있는 x% 확률과 VaR을 측정할 기간을 선택하며, 일반적으로 선택되는 기간은 1일입니다.

예시: VaR 해석

리스크 관리자가 일일 5% VaR를 $10,000으로 계산했다고 가정합니다.

• VaR(5%) = $10,000은 어느 날이든 포트폴리오가 $10,000 이상의 손실을 경험할 확률이 5%임을 의미
• 반대로 95% 확률로 손실이 $10,000 미만이거나 이익을 볼 것임
• $10,000이 포트폴리오 가치의 8%라면, 5% 확률로 8% 이상 손실, 95% 확률로 8% 미만 손실 또는 양(+)의 수익

시험 함정 주의: VaR는 최대손실(maximum loss)이 아닙니다. VaR를 넘는 꼬리 구간에서 훨씬 더 큰 손실이 발생할 수 있습니다. 이것이 바로 ES(Expected Shortfall, 기대부족액)가 VaR을 보완하는 이유입니다.

2. 정규분포로부터의 세 가지 이탈

위험 모델링에서 문제가 되는 정규성으로부터의 세 가지 일반적인 이탈이 있습니다. 이는 자산 수익률 분포가 (1) 팻테일, (2) 비대칭, (3) 불안정한 경우에 발생합니다.

이탈 유형	설명	시사점
팻테일 (Fat-tailed)	정규분포보다 극단값(꼬리 사건)이 더 자주 발생하는 분포. 평균에서 더 멀리 떨어진 관측치가 발생할 확률이 더 큼.	팻테일 분포의 처음 두 적률(평균, 분산)은 정규분포와 유사하나, 꼬리에 더 많은 확률 질량이 있으면서 표준편차를 동일하게 유지하려면 중심 부근에도 더 많은 확률 질량이 필요. 반면 중간 범위(약 ±1 표준편차)에는 정규분포보다 적은 확률 질량이 존재.
비대칭 (Skewed)	대칭이 아닌 분포. 큰 음수 또는 큰 양수 수익률이 발생할 확률이 더 높음.	서로 다른 평균과 표준편차를 가진 두 분포를 결합하면 비대칭 분포가 생성될 수 있음. 왼쪽 꼬리가 더 두꺼우면 좌편향(Left-skewed)이라 함.
불안정 (Unstable)	분포의 모수(parameters)가 시간에 따라 일정하지 않고 변하는 경우.	예상 주식 수익률, 금리, 인플레이션이 시간에 따라 변하면 수익률의 변동성도 시간에 따라 달라짐. 이를 이분산성(Heteroskedasticity)이라 함.

LO 49.b: 수익률 분포의 팻테일 발생 원인과 시사점

"팻테일" 현상의 가장 유력한 원인은 분포의 변동성(volatility) 및/또는 평균(mean)이 시간에 따라 변하기 때문입니다. 변동성이 예측 불가능한 방식으로 변하면, 이를 확률적 변동성(stochastic volatility)이라 하며, 이 경우 무조건부 정규분포(unconditionally normal)와 조건부 정규분포(conditionally normal)를 구별해야 합니다.

시장이 '평온 국면(calm regime)'과 '위기 국면(crisis regime)'을 오가면, 각 국면에서는 정규분포처럼 보여도 전체를 섞으면 혼합분포(mixture distribution)가 되어 팻테일처럼 보입니다. 예를 들어, 평온기에는 변동성이 1%이고 위기기에는 3%인 두 개의 정규분포를 섞으면, 전체 분포는 정규분포보다 더 두꺼운 꼬리를 가지게 됩니다.

핵심 포인트: 팻테일은 주로 무조건부 분포에서 변동성이 시간에 따라 변하기 때문에 발생합니다. 이는 시험에서 자주 묻는 포인트입니다. "팻테일의 가장 유력한 원인은?" → "무조건부 분포에서의 시간 변화하는 변동성(time-varying volatility for the unconditional distribution)"

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LO 49.c: 조건부 분포, 무조건부 분포, 레짐 스위칭

1. 무조건부 분포 (Unconditional Distribution)

자산 수익률의 평균과 표준편차가 어느 날이든 동일한 경우, 수익률 분포를 무조건부 분포(unconditional distribution)라고 합니다. 이는 시간에 따른 변화를 무시하고 한 개의 분포로 전체를 설명하는 것으로, 전체 데이터 샘플에서 관측되는 분포입니다.

2. 조건부 분포 (Conditional Distribution)

그러나 다른 시장 또는 경제 상황이 수익률 분포의 평균과 분산을 시간에 따라 변화시킬 수 있습니다. 이런 경우 수익률 분포를 조건부 분포(conditional distribution)라고 합니다. 예를 들어, 평온기의 변동성이 1%이고 위기기의 변동성이 3%인 경우, 각 시기의 분포는 조건부 분포입니다.

전체 데이터 샘플을 시장 환경에 따라 두 개의 정규 분포 부분집합으로 분리한다고 가정합시다. 조건부 분포들이 유사한 평균이지만 서로 다른 변동성을 가진 정규분포라 하더라도, 전체 샘플의 서로 다른 시점에서 데이터를 추출하면 무조건부 분포에서 팻테일이 생성될 수 있습니다.

예시: 조건부 vs 무조건부 분포의 VaR 적용

과거 데이터의 표준편차가 평균 2%였지만, 현재 변동성이 3%로 추정된다면:

• 3% 표준편차의 정규분포를 가정하는 것이 가장 정확한 VaR 및 ES 결과를 산출
• 과거 데이터에서 도출한 팻테일 분포를 가정하는 것보다 더 정확
• 2% 표준편차의 정규분포를 가정하는 것보다 당연히 더 정확

→ 현재의 조건부 변동성이 과거 평균과 다를 때, 조건부 변동성을 사용하는 것이 더 적절

3. 레짐 스위칭(Regime Switching)

데이터 모델링에서 변동성은 일반적으로 서서히 변한다고 가정합니다. 이는 고변동성 뒤에 고변동성이, 저변동성 뒤에 저변동성이 따라오는 현상입니다. 그러나 변동성이 빠르고 급격하게 변할 수도 있는데, 이를 레짐 스위칭(Regime Switching)이라고 합니다.

예를 들어, 예상치 못한 중앙은행이나 정부 발표로 인해 시장 변동성이 즉시 급등했다가, 시장이 뉴스를 소화하면 급격히 하락할 수 있습니다. 레짐 스위칭 모델은 조건부 정규성(conditional normality)을 포착하고, 조건부 평균과 변동성을 허용합니다. 따라서 조건부 분포가 정규분포일 수 있으며, 무조건부 분포가 정규분포가 아니더라도 팻테일 문제를 해결할 수 있습니다.

핵심 포인트: 레짐 스위칭 모델은 팻테일 문제를 가장 잘 완화할 수 있습니다. 왜냐하면 팻테일을 '사실은 서로 다른 국면들의 혼합'으로 설명하기 때문입니다. 시험에서 "팻테일 문제가 가장 적은 모델은?" → "레짐 스위칭 모델(regime-switching model)"

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Module Quiz 49.1

문제 1. 팻테일 자산 수익률 분포는 다음 중 무엇이 시간에 따라 변하기 때문에 가장 가능성이 높은가?

A. 무조건부 분포의 변동성
B. 무조건부 분포의 평균
C. 조건부 분포의 변동성
D. 조건부 분포의 평균

문제 2. 변동성을 측정할 때 팻테일 문제가 가장 적은 것은?

A. 불안정 분포
B. 비대칭 분포
C. 레짐 스위칭 모델
D. 무조건부 분포

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MODULE 49.2: VaR 추정 방법

LO 49.d: 조건부 변동성 추정을 위한 다양한 접근법 비교

리스크 추정을 위한 VaR 방법은 일반적으로 역사적 기반 접근법(historical-based approach) 또는 내재변동성 기반 접근법(implied-volatility-based approach)입니다. 역사적 기반 접근법에서는 과거 시계열 데이터를 기반으로 조건부 분포의 형태를 추정합니다. 역사적 기반 접근법은 다시 파라메트릭(parametric)과 비파라메트릭(nonparametric)의 두 하위 범주로 나뉩니다.

1. 파라메트릭 접근법 (Parametric Approach)

파라메트릭 접근법은 자산 수익률 분포에 대한 특정 가정을 필요로 합니다. 파라메트릭 모델은 일반적으로 자산 수익률이 정규분포 또는 로그정규분포를 따르며 시간에 따라 변동성이 변한다고 가정합니다. 미래 변동성을 추정하는 파라메트릭 방법의 가장 일반적인 예는 "평균 제곱 편차(mean squared deviation)"를 사용한 역사적 분산 또는 표준편차 계산입니다. 가장 최근 K개의 수익률 데이터 윈도우를 사용하여 미래 분산을 추정합니다.

자산 수익률이 랜덤 워크(random walk)를 따른다고 가정하면, 평균 수익률은 0이 됩니다. 또는 분석가가 특정 기간에 대해 0이 아닌 조건부 평균과 변동성을 가정할 수도 있습니다.

예시: 조건부 평균 추정

K = 100(최근 100개의 자산 수익률을 사용하는 추정 윈도우)을 가정하고, 시장이 15% 하락할 것으로 알려져 있다면 조건부 평균을 추정하시오.

풀이: 일간 조건부 평균 자산 수익률 \(\mu_t\)는 다음과 같이 추정됩니다:

$$\mu_t = \frac{-1500\text{ bps}}{100\text{ days}} = -15\text{ bps/day}$$

2. 비파라메트릭 접근법 (Nonparametric Approach)

비파라메트릭 접근법은 자산 수익률 분포에 대한 기본 가정이 없어 덜 제한적입니다. 일반적인 비파라메트릭 접근법은 (1) 역사적 시뮬레이션 방법(historical simulation method)과 (2) 다변량 밀도 추정 방법(multivariate density estimation method)을 사용하여 변동성을 모델링합니다.

역사적 시뮬레이션 방법 (Historical Simulation Method)

역사적 시뮬레이션 방법에서는 모든 수익률이 추정 윈도우의 관측치 수에 따라 동일한 가중치(1/K)로 부여됩니다. 예를 들어, 추정 기간이 100일(K=100)이면 각 수익률에 1/100 = 0.01의 가중치가 부여됩니다.

예시: 역사적 시뮬레이션을 이용한 VaR 계산

100일 추정 기간(K=100)의 최저 수익률 6개가 다음과 같습니다:

순위	수익률
1 (최저)	-4.20%
2	-3.90%
3	-3.70%
4	-3.50%
5	-3.40%
6	-3.20%

5% VaR 추정: 5번째 백분위수를 찾아야 합니다. 100개 관측치에서 5번째 백분위수 = 5번째로 낮은 수익률 = -3.40%

3. 파라메트릭 vs 비파라메트릭 비교

구분	파라메트릭 (Parametric)	비파라메트릭 (Nonparametric)
분포 가정	특정 분포 가정 필요 (정규/로그정규)	분포에 대한 기본 가정 없음
대표 방법	델타-노말(Delta-Normal) 방법	역사적 시뮬레이션, 다변량 밀도 추정(MDE)
장점	데이터 효율적 사용	팻테일, 비대칭 등 분포 이탈이 추정 과정에서 문제되지 않음
단점	분포 가정이 틀리면 VaR가 위험을 과소추정	큰 표본 필요, 레짐별로 나누면 사용 가능 데이터 감소

시험 함정 주의: "비파라메트릭 방법의 장점은?" → "팻테일, 비대칭 등 분포 이탈이 추정 과정에서 문제되지 않는다"가 정답. "데이터를 더 효율적으로 사용한다"는 파라메트릭의 장점이므로 오답!

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Module Quiz 49.2

문제 1. 다음 중 파라메트릭 방법에 비해 비파라메트릭 방법의 장점에 해당하는 것은?

A. 비파라메트릭 방법이 데이터를 더 효율적으로 사용한다
B. 비파라메트릭 방법은 추정 과정에서 팻테일이나 비대칭에 대해 걱정할 필요가 없다
C. 비파라메트릭 모델은 VaR 추정을 위해 전체 수익률 분포에 대한 가정이 필요하다
D. 데이터를 서로 다른 시장 레짐으로 분리하면 비파라메트릭 방법에 사용 가능한 데이터 양이 증가한다

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MODULE 49.3: 변동성 추정 및 평균회귀

LO 49.e: EWMA 접근법을 활용한 변동성 추정

1. 변동성의 기본 측정

변수의 변동성 \(\sigma\)는 해당 변수의 연속복리 수익률의 표준편차로 표현됩니다. 옵션 가격 결정에서는 변동성이 일반적으로 1년 기간의 수익률 표준편차로 표현되지만, 리스크 관리에서는 일반적으로 1일 기간의 수익률 표준편차로 표현됩니다.

변동성의 전통적 측정은 먼저 기간별 자산 가치 변화율을 계산해야 합니다. 연속복리 수익률 데이터 \(r_i\)를 여러 날에 걸쳐 수집하면 평균 수익률을 계산할 수 있습니다. 평균 수익률이 변동성에 비해 작다고 가정하여 평균을 0으로 가정하면, 분산의 최대우도 추정량(maximum likelihood estimator)을 얻을 수 있습니다.

이러한 단순 접근법은 모든 관측치에 동일한 가중치를 부여합니다. 즉, 먼 과거의 수익률도 최근 수익률과 동일한 영향을 미칩니다. 만약 현재 수준의 변동성을 추정하는 것이 목표라면, 최근 데이터에 더 큰 가중치를 부여할 수 있습니다. 다양한 가중 체계가 있으며, 이들은 가중치(\(\alpha\)들)가 1에 합산되고, 오래된 관측치일수록 \(\alpha\) 값이 감소하는 구조입니다.

대안적 접근법으로는 제곱수익률 대신 평균 역사적 수익률(average historical returns)을 사용하는 방법이 있으며, 이 접근법의 장점은 팻테일이 있는 비정규 분포에 대해 더 나은 예측을 제공한다는 것입니다.

2. EWMA 모델 (Exponentially Weighted Moving Average)

EWMA(지수가중이동평균) 모델은 일반적인 가중 모델의 특수한 경우입니다. 핵심 차이점은 가중치가 시간을 거슬러 올라가며 지수적으로 감소한다고 가정하는 것입니다. n일의 추정 변동성은 과거 제곱수익률에 가중치를 적용하여 도출되며, 더 오래전 데이터일수록 더 낮은 가중치를 갖습니다.

이 모델은 두 기간의 데이터(n-1과 n-2)로 단순화됩니다. 두 가중치의 합이 1이어야 하므로 \(w_0 = (1-\lambda)\)로 대체할 수 있으며, 이로써 분산에 대한 특정 관계식이 도출됩니다:

EWMA 분산 공식

$$\sigma_n^2 = \lambda\sigma_{n-1}^2 + (1-\lambda)r_{n-1}^2$$

여기서:

• \(\sigma_n^2\) = n일의 분산 추정치
• \(\sigma_{n-1}^2\) = n-1일의 분산 추정치
• \(r_{n-1}^2\) = n-1일의 제곱수익률
• \(\lambda\) = 감쇠계수(decay factor), 0과 1 사이 값

이 공식은 적응적 변동성 추정(adaptive volatility estimation)이라고도 불리는데, 변동성에 대한 이전 신념을 새로운 데이터로 업데이트하기 때문입니다. EWMA 모델은 두 가지 문제를 극복합니다: (1) n이 매우 크지만 변동성이 주기적인 경우, 모델이 변동성을 과대 또는 과소추정할 수 있음; (2) 오래전의 매우 크거나 작은 수익률이 모델에 부당하게 영향을 미칠 수 있음.

3. λ(감쇠계수)의 영향

λ 값	효과	설명
λ가 큰 경우 (예: 0.97)	업데이트 느림	이전 분산 추정치에 더 큰 가중치 → 일간 수익률의 영향을 최소화. 변동성 추정이 안정적이지만 새로운 충격에 느리게 반응.
λ가 작은 경우 (예: 0.80)	업데이트 빠름	가장 최근 제곱수익률에 더 큰 가중치 → 일간 수익률의 영향을 증가. 새로운 충격에 빠르게 반응하지만 변동성 추정이 불안정할 수 있음.

RiskMetrics 접근법: EWMA 모델은 JPMorgan의 전 부서였던 RiskMetrics에 의해 사용되었습니다. RiskMetrics 접근법은 사전 지정된 감쇠계수를 사용하는 EWMA 모델입니다: 일간 데이터: λ = 0.94, 월간 데이터: λ = 0.97

EWMA의 한 가지 이점은 적은 데이터 포인트만 필요하다는 것입니다. 구체적으로, 분산 계산에 필요한 것은 현재 분산 추정치와 가장 최근의 제곱수익률뿐입니다. 기술적으로, 변동성 계산을 위한 유일한 "새로운" 정보는 제곱수익률에 기인하는 부분입니다.

예시: EWMA 모델 계산

조건: \(\lambda = 0.94\), 현재 일간 변동성 \(\sigma_{n-1} = 1\%\), 오늘 주식시장 수익률 \(r_{n-1} = 2\%\)

풀이:

$$\sigma_n^2 = 0.94 \times (0.01)^2 + (1-0.94) \times (0.02)^2$$ $$= 0.94 \times 0.0001 + 0.06 \times 0.0004$$ $$= 0.000094 + 0.000024 = 0.000118$$

결과:

$$\sigma_n = \sqrt{0.000118} = 0.01086 \approx 1.09\%$$

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LO 49.f: GARCH(1,1) 모델을 활용한 변동성 추정

1. GARCH(1,1)의 개념

변동성 추정에서 가장 인기 있는 방법 중 하나가 GARCH(1,1) 모델입니다. GARCH는 Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity(일반화 자기회귀 조건부 이분산성)의 약어로, 시간에 따라 변하는 변동성을 예측하기 위해 분석가들이 사용하는 시계열 모델입니다.

GARCH(1,1) 모델은 가장 최근의 분산 및 제곱수익률 추정치를 통합할 뿐만 아니라, 장기 평균 분산 수준(long-run average level of variance)을 설명하는 변수도 포함합니다. 모델명의 (1,1)은 하나의 제곱수익률(가장 최근 관측치)과 하나의 분산율(가장 최근 추정치)에 부여되는 가중치를 의미합니다.

GARCH(1,1) 분산 공식

$$\sigma_n^2 = \omega + \alpha r_{n-1}^2 + \beta\sigma_{n-1}^2$$

여기서:

• \(\omega\) = 장기 평균 분산으로 끌어당기는 상수 (가중치: \(\gamma = 1 - \alpha - \beta\))
• \(\alpha\) = 새로운 충격(제곱수익률 \(r^2\))의 가중치
• \(\beta\) = 이전 분산(\(\sigma^2\))의 가중치 (지수적 감쇠율)

2. EWMA와 GARCH의 관계

EWMA는 GARCH(1,1) 변동성 과정의 특수한 경우(special case)에 불과합니다. 구체적으로, \(\omega = 0\), \(\alpha = 1-\lambda\), \(\beta = \lambda\)인 GARCH(1,1)이 바로 EWMA입니다. EWMA와 마찬가지로 \(\beta\)는 정보의 지수적 감쇠율을 나타냅니다. GARCH(1,1) 모델은 EWMA 모델이 생성하는 정보에 평균 장기 분산 추정치에 대한 가중치를 추가합니다.

GARCH(1,1) 추정치의 추가적 특성은 분산이 장기 평균 수준으로 회귀하는 경향이 있다는 암묵적 가정입니다. 변동성에서 평균회귀 특성의 인식은 옵션과 같은 파생상품의 가격 결정에서 중요한 특징입니다.

EWMA vs GARCH 핵심 비교:

특성	EWMA	GARCH(1,1)
장기 평균으로의 회귀	없음 (ω = 0)	있음 (ω > 0)
이론적 정당성	상대적으로 약함	더 강한 이론적 정당성
모수 불안정 시	대안으로 사용 가능	불안정할 수 있음
변동성 클러스터링	포착 가능	매우 잘 포착

3. 장기(무조건부) 분산 및 안정성 조건

장기 분산 (Long-run Variance)

$$V_L = \sigma_L^2 = \frac{\omega}{1-\alpha-\beta}$$

안정성 조건 (Stability Condition)

$$\alpha + \beta < 1$$

이 조건이 충족되어야만 GARCH(1,1) 모델이 안정적으로 작동합니다.

시험 함정 주의: "GARCH(1,1) 모델은 어떤 경우에만 변동성 추정에 사용할 수 있는가?" → "α + β < 1인 경우"가 정답. α + β > 0이나 α > β 같은 조건은 오답!

예시: GARCH(1,1) 모델 계산

조건: \(\omega = 0.000003\), \(\alpha = 0.04\), \(\beta = 0.92\), 현재 일간 변동성 \(\sigma = 1\%\), 오늘 주식시장 수익률 \(r = 2\%\)

새 분산 계산:

$$\sigma_n^2 = 0.000003 + 0.04 \times (0.02)^2 + 0.92 \times (0.01)^2$$ $$= 0.000003 + 0.04 \times 0.0004 + 0.92 \times 0.0001$$ $$= 0.000003 + 0.000016 + 0.000092 = 0.000111$$

새 변동성:

$$\sigma_n = \sqrt{0.000111} \approx 1.05\%$$

장기 분산 및 변동성:

$$V_L = \frac{0.000003}{1 - 0.04 - 0.92} = \frac{0.000003}{0.04} = 0.000075$$ $$\sigma_L = \sqrt{0.000075} \approx 0.866\%$$

현재 변동성(1.05%)이 장기 변동성(0.866%)보다 높으므로, GARCH 모델은 변동성이 하락할 것으로 예측합니다 (평균회귀).

GARCH 모델의 유용한 특징 중 하나는 변동성 클러스터링(volatility clustering)을 매우 잘 모델링한다는 것입니다. 고변동성 기간이 다른 고변동성 기간으로 이어지고, 저변동성 기간이 후속 저변동성 기간으로 이어지는 경향이 있습니다. 따라서 \(r_{n-1}^2\)에 자기상관(autocorrelation)이 존재합니다. GARCH 모델이 변동성 변화를 잘 설명하면, \(r_{n-1}^2 / \sigma_{n-1}^2\)에는 자기상관이 거의 없어야 합니다.

4. 다변량 밀도 추정 (Multivariate Density Estimation, MDE)

다변량 밀도 추정(MDE)에서는 먼저 과거 어느 기간이 현재 기간에 대응하는지 분석한 다음, 현재 데이터와 얼마나 유사한지에 따라 역사적 데이터에 가중치를 부여합니다. 예를 들어, 금리의 변동성은 금리 수준에 따라 변하는 경향이 있습니다. MDE 방법에서는 현재 금리 수준과 더 유사한 금리 수준에 더 많은 가중치를 부여합니다.

구분	내용
MDE의 장점
유연한 가중치	가장 관련 있는 데이터의 시기에 관계없이 현재 시장 환경과의 관련성에 따라 가중치를 달리할 수 있음
경제 변수 의존성	상태 변수(state variables) 또는 조건 변수(conditioning variables)라 불리는 경제 변수에 대한 의존성을 도입하는 데 매우 유연
MDE의 단점
과적합 위험	가중 체계 식별, 관련 조건 변수 선택, 변동성 추정에 사용되는 관측치 수에 관한 가정에서 데이터 스누핑(data snooping)이나 과적합(overfitting) 발생 가능
대량 데이터 필요	모델에 사용되는 조건 변수의 수에 직접적으로 관련된 대량의 데이터 필요

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LO 49.g: 장기 시계열 변동성/VaR 추정 방법과 GARCH(1,1)의 평균회귀

1. 제곱근 법칙 (Square Root Rule)

일간 수익률이 독립적이고 동일한 변동 수준(i.i.d.)을 가진다고 가정하면, 일간 변동성을 더 긴 기간 T로 확장할 수 있습니다. 수익률의 표준편차에 \(\sqrt{T}\)를 곱하여 장기 시계열 변동성을 계산합니다. 마찬가지로, VaR도 일수의 제곱근을 곱하여 장기 기준으로 확장할 수 있습니다.

제곱근 법칙 (Square Root Rule)

$$\sigma_T = \sigma_{\text{daily}} \times \sqrt{T}$$

예시:

• 일간 변동성 1.5%의 10일 변동성 = \(1.5\% \times \sqrt{10} = 1.5\% \times 3.162 \approx 4.74\%\)
• 일간 변동성 1.5%의 연간 변동성 = \(1.5\% \times \sqrt{252} \approx 23.8\%\)

일간 변동성을 연간 변동성으로 변환할 때 일반적으로 \(\sqrt{252}\)를 사용합니다 (달력상 일수가 아닌 영업일 수).

2. 평균회귀(Mean Reversion)와 장기 변동성

그러나 실증 데이터는 변동성이 평균회귀(mean reversion) 특성을 보인다는 것을 나타냅니다. 이는 현재 변동성이 높으면 하락할 것으로 예상되고, 낮으면 상승할 것으로 예상된다는 것을 의미합니다.

이 특성은 제곱근 법칙의 적용에 중요한 시사점을 줍니다. 만약 변동성이 하락할 것으로 예상된다면, 수익률의 표준편차에 \(\sqrt{T}\)를 곱하면 변동성을 과대추정하게 됩니다. GARCH(1,1)의 \(V_L\) 항은 장기 평균으로 끌어당기는(pull back) 역할을 합니다. 반면 EWMA는 이러한 pull을 제공하지 않습니다.

예시: 평균회귀를 고려한 장기 변동성

현재 일간 분산이 0.000225 (일간 표준편차 1.5%)라고 가정합니다.

제곱근 법칙 적용 (단순):

$$\sigma_{30} = 1.5\% \times \sqrt{30} = 1.5\% \times 5.477 = 8.2\%$$

그러나 평균회귀의 결과로 향후 30일 동안의 일간 평균 분산이 0.000324 (표준편차 1.8%)로 더 높을 것으로 예상된다면:

$$\sigma_{30} = 1.8\% \times \sqrt{30} = 1.8\% \times 5.477 = 9.9\%$$

이 경우, 평균회귀를 적용하면 장기 시계열 조건부 변동성 추정치가 더 높아집니다.

핵심 포인트:

• 제곱근 법칙은 독립성과 동일분산(i.i.d.) 가정이 필요
• 변동성 클러스터링과 평균회귀가 있으면 장기 위험을 과대 또는 과소 추정할 수 있음
• GARCH는 장기 평균으로 끌어당기는 구조가 있어 평균회귀 효과를 반영
• EWMA는 이러한 pull이 없음
• 평균회귀가 존재하면, 장기 리스크(및 결과적인 VaR 계산)는 제곱근 변동성보다 작을 것임

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LO 49.h: 내재변동성의 미래 변동성 예측력과 한계

1. 내재변동성 (Implied Volatility)

역사적 데이터를 사용한 미래 변동성 추정(EWMA, GARCH 포함)은 시장의 현재 변화에 조정되는 데 시간이 필요합니다. 미래 변동성을 추정하는 대안적 방법이 내재변동성(implied volatility)입니다. 역사적 데이터에서 계산된 변동성이 후향적(backward-looking)인 반면, 옵션 가격에서 계산된 내재변동성은 전향적(forward-looking)입니다. 옵션 가격은 변동성에 의존하며, 변동성이 증가하면 옵션 가격도 상승합니다. 이에 따라 변동성은 옵션 가격에서 역산(implied)됩니다.

옵션의 내재변동성은 일반적으로 연간 변동성으로 표현됩니다. 연간 미만의 변동성은 시간의 제곱근으로 조정해야 합니다.

연간 변동성에서 일간 변동성으로 변환: $$\sigma_{\text{daily}} = \frac{\sigma_{\text{annual}}}{\sqrt{252}}$$

예: 연간 변동성 18%일 때 일간 변동성 = \(\frac{18\%}{\sqrt{252}} \approx 1.13\%\)

2. VIX (CBOE Volatility Index)

내재변동성을 발표하는 가장 널리 사용되는 지수는 시카고옵션거래소(CBOE) 변동성 지수(티커 심볼: VIX)입니다. VIX는 S&P 500 지수에 대한 다양한 30일물 콜옵션과 풋옵션의 내재변동성을 보여줍니다. VIX의 선물 및 옵션 거래는 변동성 자체에 대한 베팅입니다.

VIX 핵심 사항:

• 설립 이래 VIX는 주로 10~20 사이에서 거래됨 (S&P 500 지수 옵션의 10%~20% 변동성에 해당)
• 2008년 10월 리먼 브라더스 파산 후 80 근처까지 정점 도달
• 시장 참여자들에 의해 "공포지수(fear index)"라 불림 — 현재 시장 불확실성을 반영

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LO 49.i: 상관관계 추정치의 업데이트

1. 상관관계 추정의 필요성

관리자는 변동성 외에도 상관관계(correlations)를 모니터링해야 합니다. 분산에서 변동성을 추정하는 것과 유사하게, 공분산(covariances)에서 상관관계를 추정할 수 있습니다. EWMA 모델을 사용하여 수익률 X와 수익률 Y 사이의 일반적인 공분산 공식을 수립할 수 있습니다.

EWMA를 이용한 공분산 업데이트: $$\text{cov}_n = \lambda \cdot \text{cov}_{n-1} + (1-\lambda) \cdot r_{X,n-1} \cdot r_{Y,n-1}$$

상관관계와 공분산의 관계: $$\rho_{XY} = \frac{\text{cov}_{XY}}{\sigma_X \times \sigma_Y}$$ $$\text{cov}_{XY} = \rho_{XY} \times \sigma_X \times \sigma_Y$$

예시: 상관관계 업데이트 계산

조건: n-1일에 수익률 X = 2%, Y = 4%, X와 Y의 상관관계 = 0.3, X의 변동성 = 1%, Y의 변동성 = 2%, λ = 0.92. 업데이트된 X의 변동성 = 1.11%, Y의 변동성 = 2.23%.

Step 1: n-1일의 공분산 계산

$$\text{cov}_{n-1} = 0.3 \times 0.01 \times 0.02 = 0.00006$$

Step 2: n일의 공분산 업데이트

$$\text{cov}_n = 0.92 \times 0.00006 + (1-0.92) \times 0.02 \times 0.04$$ $$= 0.0000552 + 0.08 \times 0.0008 = 0.0000552 + 0.000064 = 0.0001192$$

Step 3: 새로운 상관계수 계산

$$\rho_n = \frac{0.0001192}{0.0111 \times 0.0223} = \frac{0.0001192}{0.0002475} \approx 0.4816$$

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Module Quiz 49.3

문제 1. GARCH(1,1) 모델의 모수가 ω = 0.00003, α = 0.04, β = 0.92이다. 일간 변동성이 1.5%로 추정되고 오늘 주식시장 수익률이 0.8%일 때, 새로운 표준편차 추정치는?

A. 1.68%
B. 1.55%
C. 1.45%
D. 2.74%

문제 2. EWMA 모델의 λ가 0.9로 추정된다. 일간 표준편차가 1.5%로 추정되고 오늘 주식시장 수익률이 0.8%일 때, 새로운 표준편차 추정치는?

A. 1.68%
B. 1.55%
C. 1.45%
D. 2.74%

문제 3. GARCH(1,1) 모델의 모수가 ω = 0.00003, α = 0.04, β = 0.92이다. 이 수치들이 시사하는 장기 일간 표준편차는?

A. 1.68%
B. 1.55%
C. 1.45%
D. 2.74%

문제 4. GARCH(1,1) 모델은 다음 조건에서만 변동성 추정에 사용할 수 있다:

A. α + β > 0
B. α + β < 1
C. α > β
D. α < β

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정답

문제	정답	해설
49.1-1	A	"팻테일"의 가장 유력한 설명은 무조건부 분포에서 변동성이 시간에 따라 변하기 때문입니다. 예를 들어, 연준의 발표 전 금리 변동성 변화에서 이를 관측할 수 있습니다. 전체 샘플의 서로 다른 시점에서 데이터를 추출하면 조건부 분포가 정규분포라 하더라도 무조건부 분포에서 팻테일이 생성될 수 있습니다. (LO 49.c)
49.1-2	C	레짐 스위칭 모델은 조건부 정규성을 포착하여 팻테일 문제와 기타 정규성 이탈을 해결할 수 있습니다. 레짐 스위칭 모델은 조건부 평균과 변동성을 허용하므로, 무조건부 분포가 정규분포가 아니더라도 조건부 분포는 정규분포일 수 있습니다. (LO 49.c)
49.2-1	B	비파라메트릭 방법에서는 추정 과정에서 팻테일, 비대칭, 기타 가정된 분포로부터의 이탈이 문제가 되지 않습니다. 이것이 파라메트릭 방법 대비 비파라메트릭 방법의 핵심 장점입니다. (LO 49.d)
49.3-1	B	\(\sigma_n^2 = 0.00003 + 0.04 \times (0.008)^2 + 0.92 \times (0.015)^2\) = 0.00003 + 0.04 × 0.000064 + 0.92 × 0.000225 = 0.00003 + 0.00000256 + 0.000207 = 0.00023956 \(\sigma_n = \sqrt{0.00023956} \approx 1.548\% \approx 1.55\%\) (LO 49.f)
49.3-2	C	\(\sigma_n^2 = 0.9 \times (0.015)^2 + 0.1 \times (0.008)^2\) = 0.9 × 0.000225 + 0.1 × 0.000064 = 0.0002025 + 0.0000064 = 0.0002089 \(\sigma_n = \sqrt{0.0002089} \approx 1.445\% \approx 1.45\%\) (LO 49.e)
49.3-3	D	장기 분산율 = \(\frac{\omega}{1-\alpha-\beta} = \frac{0.00003}{1-0.04-0.92} = \frac{0.00003}{0.04} = 0.00075\) 장기 표준편차 = \(\sqrt{0.00075} \approx 2.74\%\) (LO 49.f)
49.3-4	B	안정적인 GARCH(1,1) 모델은 α + β < 1이어야 합니다. 그렇지 않으면 모델이 불안정합니다. (LO 49.f)

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KEY CONCEPTS (핵심 개념 정리)

LO 49.a 핵심

• 정규성으로부터의 세 가지 이탈: 팻테일(fat-tailed), 비대칭(skewed), 불안정(unstable)
• 팻테일: 정규분포보다 꼬리 관측이 더 빈번한 분포
• 비대칭: 대칭이 아닌 분포, 이상치(outlier) 확률이 더 높음
• 불안정: 모수가 시간에 따라 변하는 분포

LO 49.b 핵심

• "팻테일"의 가장 유력한 원인: 분포의 변동성 및/또는 평균이 시간에 따라 변하기 때문

LO 49.c 핵심

• 무조건부 분포: 평균과 표준편차가 어느 날이든 동일
• 조건부 분포: 시장/경제 조건에 따라 평균과 분산이 시간에 따라 변할 수 있음
• 레짐 스위칭: 변동성이 빠르고 급격하게 변하는 현상 → 팻테일 문제 완화 가능

LO 49.d 핵심

• VaR 추정: 역사적 기반 또는 내재변동성 기반 접근법
• 파라메트릭: 정규/로그정규 분포 가정, 데이터 효율적
• 비파라메트릭: 분포 가정 없음 (역사적 시뮬레이션), 팻테일/비대칭 문제 해소, 대표본 필요

LO 49.e 핵심

• EWMA: 마지막 변동성 추정치와 최신 가격 변동 정보의 가중치 기반 변동성 추정
• 공식: \(\sigma_n^2 = \lambda\sigma_{n-1}^2 + (1-\lambda)r_{n-1}^2\)
• RiskMetrics: 일간 λ = 0.94, 월간 λ = 0.97
• 적은 데이터 포인트 필요 (현재 분산 추정치 + 최근 제곱수익률)

LO 49.f 핵심

• GARCH(1,1): 최근 분산, 제곱수익률, 장기 평균 분산 수준을 모두 통합
• EWMA보다 더 강한 이론적 정당성을 가짐
• EWMA는 ω=0, α=1-λ, β=λ인 GARCH(1,1)의 특수 케이스
• 안정성 조건: α + β < 1
• 장기 분산: \(V_L = \omega / (1 - \alpha - \beta)\)
• MDE: 현재 데이터와의 유사성에 따라 역사적 데이터에 가중치 부여

LO 49.g 핵심

• 변동성은 평균회귀 특성: 높으면 하락 예상, 낮으면 상승 예상
• 제곱근 법칙: \(\sigma_T = \sigma_{\text{daily}} \times \sqrt{T}\), 연간 변환 시 √252 사용
• 변동성 하락 예상 시, 제곱근 법칙은 변동성을 과대추정
• GARCH(1,1)은 장기 평균으로의 pull back 제공, EWMA는 미제공
• 평균회귀 존재 시, 장기 리스크는 제곱근 변동성보다 작음

LO 49.h 핵심

• 내재변동성: 옵션 가격에서 역산, 전향적(forward-looking)
• 역사적 변동성(EWMA/GARCH): 후향적(backward-looking)
• 내재변동성은 보통 연간으로 표현, 연간 미만은 √T로 조정
• VIX: S&P 500 30일물 옵션의 내재변동성 지수, "공포지수"

LO 49.i 핵심

• 상관관계는 공분산에서 추정 가능
• 상관관계 = 공분산 / (두 자산 표준편차의 곱)
• EWMA를 사용하여 공분산 및 상관관계를 업데이트할 수 있음

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시험 대비 한 줄 암기 체크리스트

주제	암기 포인트
정규성 이탈 3가지	팻테일 / 비대칭(skew) / 불안정(unstable)
팻테일 원인	무조건부 분포에서 변동성이 시간에 따라 변하기 때문
팻테일 완화 모델	레짐 스위칭 모델 (조건부 정규성 포착)
조건부 vs 무조건부	조건부: 시장 상황에 따라 모수 변함 / 무조건부: 모수 고정
파라메트릭 장점	데이터 효율적 사용
비파라메트릭 장점	팻테일, 비대칭이 추정 과정에서 문제되지 않음
EWMA 공식	\(\sigma_n^2 = \lambda\sigma_{n-1}^2 + (1-\lambda)r_{n-1}^2\)
RiskMetrics λ	일간 0.94 / 월간 0.97
λ 크면	과거 분산 더 신뢰, 업데이트 느림
λ 작으면	최근 충격 더 반영, 업데이트 빠름
GARCH 공식	\(\sigma_n^2 = \omega + \alpha r_{n-1}^2 + \beta\sigma_{n-1}^2\)
EWMA = GARCH 특수 케이스	\(\omega=0\), \(\alpha=1-\lambda\), \(\beta=\lambda\)
GARCH 안정성 조건	α + β < 1 (필수!)
장기 분산	\(V_L = \omega / (1-\alpha-\beta)\)
평균회귀	높으면 ↓ 예상, 낮으면 ↑ 예상 / GARCH는 pull back 있음, EWMA는 없음
제곱근 법칙	\(\sigma_T = \sigma_{\text{daily}} \times \sqrt{T}\), 연간 = \(\sqrt{252}\)
내재변동성	옵션 가격에서 역산, 전향적(forward-looking)
VIX	S&P 500 30일물 옵션 내재변동성, "공포지수", 보통 10~20, 2008년 약 80
상관관계 업데이트	\(\rho = \text{cov} / (\sigma_X \times \sigma_Y)\), EWMA로 공분산 업데이트 가능

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