FRM part1. Reading 48: Calculating and Applying VaR

 

FRM Part I – Reading 48
VaR 계산 및 적용 (Calculating and Applying VaR)

EXAM FOCUS

핵심 학습 목표

이 Reading은 Value at Risk(VaR)과 Expected Shortfall(ES)을 실제로 어떻게 계산하는가에 초점을 맞춥니다. 앞선 Reading 47이 "VaR이란 무엇인가, ES란 무엇인가"라는 개념적 정의를 다루었다면, 이번 Reading은 선형(Linear) 파생상품과 비선형(Non-linear) 파생상품이라는 포트폴리오의 특성에 따라 어떤 계산 방법을 선택해야 하는지, 각 방법의 구체적인 계산 절차는 어떠한지, 그리고 각 방법의 강점과 약점은 무엇인지를 체계적으로 학습합니다.

구체적으로, 역사적 시뮬레이션(Historical Simulation), 델타-정규 접근법(Delta-Normal Approach), 전체 재평가(Full Revaluation) 접근법을 통한 VaR 및 ES 계산 방법과 각 접근법의 장단점 및 기본 가정을 다룹니다. 마지막으로 구조화된 몬테카를로(Structured Monte Carlo), 스트레스 테스트(Stress Testing), 최악 시나리오(Worst-Case Scenario, WCS) 분석이 복잡한 파생상품과 시나리오에서 VaR 기법을 확장하는 유용한 도구임을 학습합니다.

시험에서 반드시 할 수 있어야 하는 것

• 선형 vs 비선형 파생상품의 정의, 특성, 대표 예시를 구분하고, 각각에 적합한 VaR 계산 방법 선택
• 역사적 시뮬레이션에서 VaR/ES 계산 시 "몇 번째 최악 손실"인지 정확히 결정하는 방법
• 델타-정규 접근법의 핵심 공식 적용 및 이 방법이 옵션 VaR을 왜 왜곡하는지(감마 무시) 설명
• 선형 파생상품의 VaR 계산: \(VaR_p = \delta \times VaR_f\) 공식 적용
• 몬테카를로 시뮬레이션 6단계 프로세스 완벽 암기 및 장단점 비교
• 위기 시 상관관계 붕괴(Correlation Breakdown)가 분산효과에 미치는 영향과 전염효과(Contagion) 개념
• 최악 시나리오(WCS) 분석이 VaR/ES를 대체하는 것이 아니라 보완하는 도구라는 점 이해
• 일간 VaR을 장기 VaR로 환산하는 √T 규칙과 그 가정·한계

이 Reading은 정량적 계산과 방법론 비교가 혼합되어 있습니다. 특히 역사적 시뮬레이션에서의 순위 결정, 델타-정규의 한계(감마 무시에 따른 꼬리위험 왜곡), 몬테카를로 6단계 프로세스가 시험에서 반복적으로 출제됩니다.

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MODULE 48.1: 선형 및 비선형 파생상품

LO 48.a: 선형 포트폴리오와 비선형 포트폴리오

1. 왜 이 구분이 중요한가?

VaR을 계산할 때 가장 먼저 결정해야 하는 것은 "포트폴리오 가치가 기초 위험요인(Risk Factor)에 대해 선형으로 반응하는가, 아니면 비선형으로 반응하는가"입니다. 이 구분이 핵심인 이유는, 포트폴리오의 선형성 여부에 따라 적용 가능한 VaR 계산 방법과 그 방법의 정확도가 크게 달라지기 때문입니다.

선형 포트폴리오는 기초자산 가격이 1단위 변할 때 파생상품 가치도 일정한 비율(즉, 상수인 델타)만큼 변합니다. 이 경우 델타-정규 접근법처럼 단순하고 빠른 방법을 사용해도 높은 정확도를 얻을 수 있습니다. 반면 비선형 포트폴리오는 기초자산 가격 수준에 따라 민감도(델타) 자체가 변하므로, 단순한 선형 근사로는 VaR을 정확히 측정할 수 없으며, 몬테카를로 시뮬레이션이나 전체 재평가(Full Revaluation)와 같은 더 정교한 방법이 필요합니다.

구분	선형 파생상품 (Linear)	비선형 파생상품 (Non-linear)
기초자산과의 관계	기초자산 변화와 파생가치 변화가 직선(일정 비율) 관계	기초자산의 상태(수준)에 따라 민감도가 변함 (곡선 관계)
델타(Delta)	모든 기초자산 수준에서 상수(Constant)	기초자산 수준에 따라 연속적으로 변동
대표 예시	선물(Futures), 선도(Forward), 통화선도(FX Forward)	콜/풋 옵션, 아시안 옵션, 배리어 옵션, MBS, 버터플라이 스프레드
적합한 VaR 방법	델타-정규 접근법으로 충분	몬테카를로 시뮬레이션 또는 전체 재평가 필요
가격-기초자산 그래프	직선 (기울기 = 델타)	곡선 (접선의 기울기가 위치에 따라 변함)

2. 선도(Forward) 계약이 선형인 이유

선도계약(Forward Contract)은 선형 파생상품의 대표적인 예입니다. 선도계약의 가치는 만기 이전 어느 시점에서든 다음과 같이 표현됩니다:

선도계약 가치:

$$\text{Forward Value} = S - PV(K)$$

여기서:

• \(S\): 현재 기초자산의 현물가격(Spot Price)
• \(PV(K)\): 만기 시 지급할 약정가격 \(K\)의 현재가치

이 공식에서 \(PV(K)\)는 특정 시점에서 금리와 잔존 만기에 의해 결정되는 상수(또는 금리의 함수)입니다. 따라서 선도계약의 가치는 기초자산 가격 \(S\)에 대해 기울기가 1인 직선 관계를 가집니다. \(S\)가 1달러 오르면 선도가치도 정확히 1달러 오르고, \(S\)가 1달러 내리면 선도가치도 정확히 1달러 내립니다. 이 관계는 \(S\)의 수준에 관계없이 항상 동일하므로, 선도계약은 기초자산에 대해 완벽한 선형 관계를 가집니다.

3. 콜옵션이 비선형인 이유

콜옵션(Call Option)은 비선형 파생상품의 대표적인 예입니다. 콜옵션의 만기 페이오프(Payoff at Expiry) 구조를 살펴보면 비선형성이 명확해집니다:

• \(S \le X\) (기초자산 가격이 행사가격 이하)일 때: 페이오프 = 0 (옵션 소멸, 가치 없음)
• \(S > X\) (기초자산 가격이 행사가격 초과)일 때: 페이오프 = \(S - X\) (내재가치만큼 이익)

이처럼 행사가격 \(X\)에서 "꺾이는(Kinked)" 구조를 가지고 있기 때문에, 만기 이전에는 옵션 가격이 기초자산 가격의 매끈한 곡선(Smooth Curve) 함수이지만 결코 직선이 아닙니다. 옵션의 델타(민감도)는 기초자산 가격 수준에 따라 계속 변합니다.

구체적으로, 기초자산 가격이 행사가격보다 훨씬 낮은 깊은 외가격(Deep Out-of-the-Money) 상태에서는 기초자산이 조금 오르더라도 옵션 가치는 거의 변하지 않습니다(델타 ≈ 0). 반대로 기초자산 가격이 행사가격보다 훨씬 높은 깊은 내가격(Deep In-the-Money) 상태에서는 옵션이 거의 기초자산처럼 1:1로 움직입니다(델타 ≈ 1). 그리고 행사가격 근처인 등가격(At-the-Money) 상태에서는 델타가 가장 급격하게 변합니다(감마가 최대). 이러한 특성이 바로 옵션의 비선형성입니다.

비선형 상품의 추가 예시로는 아시안 옵션(Asian Option), 배리어 옵션(Barrier Option), 주택저당증권(Mortgage-Backed Securities, MBS), 그리고 세 가지 포지션을 결합하는 버터플라이 스프레드(Butterfly Spread)가 있으며, 버터플라이 스프레드는 고도로 비선형적(Highly Nonlinear)인 파생상품의 대표적 사례입니다.

⚠️ 시험 함정 주의 — 선형 파생상품에 대한 흔한 오해:

오해 1: "선형이면 델타가 1이다" → 오답입니다. 선형 파생상품의 핵심은 델타가 상수(Constant)라는 점이지, 그 값이 반드시 1일 필요는 없습니다. 예를 들어, 선물계약의 델타는 계약승수(Contract Multiplier)에 의해 1이 아닌 값을 가질 수 있지만, 모든 기초자산 수준에서 그 값이 변하지 않으므로 선형입니다.

오해 2: "옵션도 델타만으로 VaR을 근사하면 충분하다" → 기초자산의 작은 변동에서는 그럴듯한 결과를 얻을 수 있으나, 큰 가격 변동이나 등가격(ATM) 옵션(감마가 큰 상태)에서는 상당한 오차가 발생합니다. VaR은 본질적으로 극단적 손실(꼬리)에 관심이 있으므로, 큰 변동을 무시할 수 없습니다.

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LO 48.d: 선형 파생상품의 VaR 계산

1. 핵심 공식

선형 파생상품의 경우, VaR 계산은 매우 직관적이고 단순합니다. 파생상품의 가치가 기초요인에 대해 선형적으로 반응하므로, 기초요인의 VaR에 민감도(델타)를 곱하면 파생상품의 VaR이 됩니다:

선형 파생상품 VaR:

$$VaR_p = \delta \times VaR_f$$

여기서:

• \(VaR_p\): 파생상품(포트폴리오)의 VaR
• \(\delta\): 델타 — 기초요인 변화에 대한 파생상품 가격의 민감도
• \(VaR_f\): 기초요인(Underlying Factor)의 VaR

(여기서 롱 포지션을 모델링하므로 δ는 양수로 가정합니다.)

2. 델타(Delta)의 정의

델타는 파생상품 가격의 변화를 기초요인 가격의 변화로 나눈 비율로 정의됩니다:

$$\delta = \frac{\Delta P}{\Delta S}$$

여기서 \(\Delta P\)는 포트폴리오(파생상품) 가치의 변화, \(\Delta S\)는 기초 위험요인의 변화입니다.

로컬 델타(Local Delta)는 기초자산이 1% 움직일 때 파생상품 가격이 몇 % 움직이는지를 나타내는 국소 기울기(Local Slope)입니다. 기초자산 가격의 작은 변화에 대해서는 다음과 같은 1차 근사(First-Order Approximation)가 잘 작동합니다:

$$\Delta V \approx \delta \times \Delta S$$

이 근사는 선형 파생상품에서는 모든 크기의 변화에 대해 정확하지만, 비선형 파생상품에서는 변화의 크기가 커질수록 오차가 증가합니다. 이 차이가 바로 LO 48.e에서 다루는 델타-정규 방법의 한계입니다.

예제: 주가지수 선물계약의 VaR 계산

문제: 리스크 관리자가 주가지수 선물계약의 VaR을 추정하려 합니다. 지수가 1포인트 상승하면 선물 롱 포지션의 가치가 $500 증가한다고 가정합니다. 이 선물계약의 VaR을 어떻게 계산할 수 있습니까?

풀이:

선물계약 가치 \(F_t\)와 기초지수 \(S_t\) 사이의 관계가 다음과 같이 주어집니다:

$$F_t = \$500 \times S_t$$

이 관계에서 계약승수(Contract Multiplier)가 $500으로, 이것이 곧 이 선물계약의 달러 델타(Dollar Delta)입니다. 지수가 몇 포인트에 있든 관계없이 1포인트당 $500의 가치 변화가 발생하므로, 델타는 상수이고 선형 관계가 성립합니다.

따라서 선물계약의 VaR은:

$$VaR(F_t) = \$500 \times VaR(S_t)$$

예를 들어, 지수의 일간 99% VaR이 50포인트(즉, 하루 동안 지수가 50포인트 이상 하락할 확률이 1%)라면:

$$VaR(F_t) = \$500 \times 50 = \$25{,}000$$

즉, 이 선물계약의 일간 99% VaR은 $25,000입니다.

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LO 48.b: 역사적 시뮬레이션으로 VaR/ES 계산

1. 개념과 목적

역사적 시뮬레이션(Historical Simulation)은 VaR과 ES를 계산하는 가장 직관적이고 간결한 방법입니다. 이 방법의 핵심 아이디어는 특정 확률분포를 가정하지 않고, 과거에 실제로 관측된 시장 변화(수익률)를 그대로 활용하여 미래의 잠재적 손실을 추정하는 것입니다. 과거에 일어났던 일이 미래에도 다시 일어날 수 있다는 전제하에, 과거 데이터로 만든 시나리오를 현재 포트폴리오에 적용하여 손익 분포(P/L Distribution)를 구축하고, 여기서 VaR과 ES를 도출합니다.

이 방법은 정규분포나 로그정규분포 등 특정 분포를 가정하는 모수적(Parametric) 방법과 대조됩니다. 분포를 가정하지 않으므로 팻테일(Fat Tail)이나 비대칭(Skewness) 등 현실 시장의 분포 특성을 자연스럽게 반영할 수 있다는 장점이 있습니다.

2. 계산 절차

역사적 시뮬레이션의 구체적인 실행 절차는 다음과 같습니다:

역사적 시뮬레이션 5단계:

단계	상세 내용
Step 1	위험요인 식별: 포트폴리오에 영향을 미치는 핵심 위험요인(Risk Factor)을 식별합니다. 위험요인에는 금리(Interest Rates), 환율(Exchange Rates), 주가(Stock Prices), 변동성(Volatilities), 신용 스프레드(Credit Spreads) 등이 포함됩니다.
Step 2	일별 데이터 수집: 식별된 각 위험요인에 대해 과거의 일별 변화(수익률 또는 절대 변화량)를 수집합니다. 일반적으로 1~3년 정도의 일별 데이터가 사용됩니다.
Step 3	시나리오 분석 수행: 과거에 관측된 각 일별 변화가 "내일도 발생할 수 있다"고 가정하고, 이 변화를 현재 포트폴리오에 적용하여 각 시나리오별 일별 손익(Daily P/L)을 계산합니다.
Step 4	손실 순위 정렬: 계산된 모든 시나리오의 손익을 가장 큰 손실(최악)부터 가장 작은 손실(또는 최대 이익) 순으로 정렬합니다.
Step 5	VaR 및 ES 계산: 정렬된 분포에서 원하는 신뢰수준에 해당하는 분위수(Quantile)를 VaR로, VaR을 초과하는 손실들의 평균을 ES로 도출합니다.

3. VaR/ES 계산 예시

300일간의 시뮬레이션 데이터가 손실 크기순으로 정렬되었다고 가정합니다:

순위	손실 (CAD)	설명
1	14.0M	최악의 손실 (1위)
2	12.5M	두 번째 최악 (2위)
3	11.0M	세 번째 최악 (3위) = 99% VaR
4	10.0M	네 번째 최악
...	...	...

99% VaR (1% 유의수준) 계산

논리: 99% 신뢰수준(1% 유의수준)에서 VaR을 구하려면, 전체 300개 시나리오 중 최악 1%에 해당하는 경계값을 찾아야 합니다.

$$k = \alpha \times N = 0.01 \times 300 = 3$$

따라서 3번째 최악의 손실이 99% VaR에 해당합니다:

99% VaR = CAD 11.0M

이는 "300일 중 299일(99.7%)은 CAD 11.0M 이하의 손실(또는 이익)이 발생하지만, 가장 나쁜 1%(3일)에서는 이를 초과하는 손실이 발생할 수 있다"는 의미입니다.

Expected Shortfall (ES) 계산

ES는 VaR을 초과하는 손실들의 평균입니다. VaR 경계(3위)보다 더 큰 손실은 1위(14.0M)와 2위(12.5M)이므로:

$$ES = \frac{14.0 + 12.5}{2} = \text{CAD } 13.25\text{M}$$

이는 "99% VaR 경계를 넘는 최악의 1% 상황이 발생했을 때, 평균적으로 CAD 13.25M의 손실을 예상할 수 있다"는 의미입니다. ES는 VaR보다 항상 크며, VaR이 알려주지 않는 꼬리 영역의 심각성에 대한 정보를 제공합니다.

4. 장단점

장점	단점
분포 가정이 필요 없음: 정규분포 등 특정 분포를 가정하지 않으므로, 팻테일·비대칭 등 실제 시장 분포를 자연스럽게 반영합니다.	과거 데이터에만 한정: 역사적으로 발생하지 않았던 유형의 위기나 새로운 리스크 유형은 반영할 수 없습니다.
과거 위기 사건을 자연스럽게 반영: 2008년 금융위기와 같은 극단적 사건이 데이터에 포함되어 있으면 VaR/ES에 자동 반영됩니다.	데이터 기간 선택에 민감: 위기 기간을 포함하느냐 여부에 따라 VaR 추정치가 크게 달라질 수 있습니다.
극단적 가치 변화 식별에 초점: 실제로 일어났던 극단적 변동을 기반으로 하므로 현실감 있는 시나리오를 제공합니다.	특정 자산 클래스에서 간과된 위기: 과거 데이터에 특정 자산의 극단 사건이 누락되었을 수 있습니다.

⚠️ 시험 함정 — 순위 계산:

표본이 \(N\)개일 때 "99% VaR"이 정확히 몇 번째 최악인지는 시험에서 자주 출제됩니다. 일반적으로 \(k = \alpha \times N\)으로 계산하며, \(\alpha = 1\%\)입니다. 예를 들어 \(N = 500\)이면 \(k = 0.01 \times 500 = 5\)번째 최악이 99% VaR입니다. 다만 정수 처리(올림/내림) 방식이나 "third worst"처럼 문제에서 명시적으로 지정하는 표현이 있으면 그것을 그대로 따르십시오.

ES 계산에서도 주의가 필요합니다. ES는 VaR을 초과하는(Exceeding) 손실들의 평균이므로, VaR에 해당하는 순위 자체는 ES 평균에 포함하지 않습니다. 위 예시에서 3위(VaR)는 ES 계산에 포함되지 않고, 1위와 2위만 평균합니다.

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LO 48.c: 델타-정규(Delta-Normal) 접근법

1. 개념과 특징

델타-정규 방법(Delta-Normal Method)은 역사적 시뮬레이션과 대조적으로, 기초 관측값의 분포를 명시적으로 가정합니다. 구체적으로, 기초 시장변수의 변화(수익률)가 다변량 정규분포(Multivariate Normal Distribution)를 따른다고 가정합니다. 이 가정 하에서 포트폴리오를 위험요인에 대해 선형 근사(델타 근사)하면, 포트폴리오 가치 변화 \(\Delta V\)도 정규분포를 따르게 되므로, VaR과 ES를 닫힌 형태(Closed-Form)의 공식으로 빠르게 계산할 수 있습니다.

역사적 시뮬레이션이 "분포 가정 없음 + 과거 데이터 한계"라는 특성을 가진다면, 델타-정규는 "분포를 명시적으로 가정 + 빠른 해석적 계산"이라는 특성을 가집니다. 따라서 선형 포트폴리오에서는 매우 효율적이고 실용적인 방법이지만, 비선형 포트폴리오에서는 근사치에 불과합니다.

2. 핵심 가정

델타-정규 접근법의 세 가지 핵심 가정:

1. 위험요인 변화의 정규성: 위험요인 변화 벡터 \(\Delta x = (\Delta x_1, \Delta x_2, \ldots, \Delta x_n)\)가 다변량 정규분포(Multivariate Normal)를 따릅니다. 이는 각 위험요인의 변화가 정규분포를 따를 뿐 아니라, 위험요인 간의 결합분포도 정규라는 강한 가정입니다.
2. 선형 근사(델타 근사): 포트폴리오 가치 변화 \(\Delta V\)를 위험요인 변화에 대해 1차 테일러 전개(선형화)합니다. 즉, 델타만 사용하고 고차항(감마, 볼볼 등)은 무시합니다.
3. 포트폴리오 가치 변화의 정규성: 위 두 가정의 결과로, \(\Delta V\)도 정규분포를 따르게 되어 VaR/ES를 정규분포의 분위수로 직접 계산할 수 있습니다.

3. 위험요인의 두 가지 유형

델타-정규 접근법을 적용할 때, 위험요인의 성격에 따라 변화를 어떻게 정의하느냐가 달라집니다:

유형	퍼센트 변화(Returns)가 실용적	절대 변화(Level Change)가 실용적
해당 위험요인	주가, 원자재 가격, 환율	금리, 신용 스프레드
표현 방식	"S&P 500이 5% 하락"	"10년 국채 금리가 20bp 상승(2.0% → 2.2%)"
정규성 가정 대상	퍼센트 수익률이 정규분포	금리/스프레드의 절대 변화가 정규분포

4. 포트폴리오 분산 및 VaR/ES 공식

선형 포트폴리오에서 가치 변화는 위험요인 변화의 가중합으로 근사됩니다:

포트폴리오 가치 변화 (선형 근사):

$$\Delta V \approx \sum_{i=1}^{n} \delta_i \, \Delta x_i$$

포트폴리오 분산:

$$\text{Var}(\Delta V) = \boldsymbol{\delta}^{\top} \boldsymbol{\Sigma} \boldsymbol{\delta} = \sigma_p^2$$

여기서 \(\boldsymbol{\delta}\)는 델타 벡터, \(\boldsymbol{\Sigma}\)는 위험요인의 공분산행렬(Covariance Matrix)입니다.

\(\Delta V\)가 정규분포를 따르고, 평균 변화 \(\mu = 0\)을 가정하면(단기간에서 합리적인 가정), VaR과 ES는 다음과 같이 간단하게 계산됩니다:

정규분포 기반 VaR 및 ES:

$$VaR_{\alpha} = z_{\alpha} \times \sigma_p$$ $$ES_{\alpha} = \frac{\phi(z_{\alpha})}{\alpha} \times \sigma_p$$

여기서:

• \(z_{\alpha}\): 표준정규분포의 \(\alpha\) 분위수 (예: 99% VaR → \(z_{0.01} \approx 2.326\))
• \(\sigma_p\): 포트폴리오 표준편차
• \(\phi(\cdot)\): 표준정규분포의 확률밀도함수(PDF)

대표적인 z값: 99% VaR(좌측 1% 손실) → \(z \approx 2.326\), 95% VaR(좌측 5% 손실) → \(z \approx 1.645\)

중심극한정리(Central Limit Theorem)에 의해, 포트폴리오에 많은 수의 비정규 위험요인이 포함되어 있더라도, 포트폴리오 전체의 가치 변화는 근사적으로 정규분포에 접근할 수 있습니다. 이는 델타-정규 접근법의 실용성을 높여주는 중요한 이론적 근거입니다.

5. 기간구조와 선형보간

주가나 원자재 가격과 같은 위험요인은 단일 숫자로 모니터링할 수 있어 비교적 간단합니다. 그러나 금리나 신용 스프레드와 같은 위험요인은 일반적으로 만기별 곡선, 즉 기간구조(Term Structure)로 표현됩니다. 모든 만기의 금리가 시장에서 직접 관측되는 것은 아니므로, 관측되지 않는 만기의 금리가 필요할 때 선형보간(Linear Interpolation)을 사용합니다.

예시: 선형보간을 통한 금리 추정

6개월 금리가 2.2%이고 1년 금리가 2.8%인 경우, 9개월 금리는 두 관측점의 중간에 위치하므로:

$$r_{9M} \approx \frac{2.2\% + 2.8\%}{2} = 2.5\%$$

이는 금리가 만기에 대해 선형적으로 변한다는 가정하에, 두 관측 가능한 금리 사이의 선형 거리(Linear Distance)를 이용한 보간입니다.

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LO 48.e: 델타-정규 방법의 한계

1. 핵심 문제점

델타-정규 방법은 선형 포트폴리오에는 잘 작동하지만, 비선형 상품(예: 콜옵션)이나 비선형 포트폴리오에서는 근사치(Approximation)에 불과합니다. 이 한계의 근본적인 원인은 델타가 1차(선형) 측정치이기 때문입니다. 델타는 기초자산 가격의 작은 변화에서의 기울기를 나타내지만, 가격이 크게 변할 때 곡선을 따라 변하는 파생상품의 가치를 직선으로만 근사하므로 오차가 발생합니다.

2. 왜 델타만으로는 부족한가?

비선형 파생상품의 가격 변화를 보다 정확히 포착하기 위해서는 2차항까지 고려해야 합니다. 이것이 감마(Gamma)의 역할입니다. 감마는 델타의 변화율, 즉 가격함수의 곡률(Curvature)을 측정합니다. 델타와 감마를 모두 고려한 2차 근사는 다음과 같습니다:

델타-감마 근사 (2차 테일러 전개):

$$\Delta V \approx \delta \cdot \Delta S + \frac{1}{2}\gamma \cdot (\Delta S)^2$$

여기서:

• \(\delta\): 델타 (1차 민감도, 기울기)
• \(\gamma\): 감마 (2차 민감도, 곡률)
• \(\Delta S\): 기초자산 가격의 변화

첫 번째 항(\(\delta \cdot \Delta S\))은 선형 근사이고, 두 번째 항(\(\frac{1}{2}\gamma \cdot (\Delta S)^2\))이 곡률 보정입니다.

이 2차 항이 왜 중요한지 직관적으로 이해해 봅시다. \(\Delta S\)가 작을 때는 \((\Delta S)^2\)이 매우 작아 무시할 수 있지만, \(\Delta S\)가 클 때는 \((\Delta S)^2\)이 급격히 커지므로 감마항의 영향이 상당해집니다. VaR은 본질적으로 극단적 손실(큰 \(\Delta S\))에 관심이 있으므로, 감마를 무시하면 VaR 추정에 심각한 오차가 발생할 수 있습니다.

3. 내가격(ITM) vs 등가격(ATM) 옵션에서의 차이

델타 근사의 정확도는 옵션의 가격 상태(Moneyness)에 따라 크게 달라집니다:

특성	내가격(ITM) 옵션	등가격(ATM) 옵션
감마 크기	상대적으로 낮음	감마가 최대 → 곡률이 가장 심함
가격 함수 형태	"거의 직선처럼" 움직이는 구간이 넓음	곡선이 급격히 휘는 구간에 위치
델타 근사 정확도	그나마 괜찮음	심각한 오차 발생 가능
VaR 왜곡 위험	상대적으로 낮음	가장 높음

직관적으로, 깊은 내가격 옵션은 기초자산과 거의 1:1로 움직이므로(델타 ≈ 1, 감마 ≈ 0) 사실상 선형에 가깝습니다. 반면 등가격 옵션은 델타가 약 0.5 근처이면서 감마가 최대이므로, 기초자산 가격이 조금만 변해도 델타 자체가 크게 변합니다. 이 상황에서 델타를 상수로 취급하는 델타-정규 방법은 가장 큰 오차를 초래합니다.

4. 분포 왜곡 문제

델타-정규 방법의 또 다른 중요한 한계는 분포의 형태를 잘못 추정한다는 점입니다. 기초자산 가격이 정규분포를 따른다고 가정하더라도, 옵션은 비대칭적 페이오프 구조를 가지고 있어 옵션 가격의 분포는 비대칭(Skewed)·비정규(Non-normal)가 됩니다.

델타-정규 방법은 "기초자산이 정규분포 → 파생상품도 정규분포"라고 취급하므로 다음과 같은 왜곡이 발생합니다:

델타-정규 방법의 분포 왜곡:

• 높은 옵션 가치(큰 이익) 영역의 확률을 과소평가(Understate)합니다.
• 낮은 옵션 가치 영역의 확률을 과대평가(Overstate)합니다.
• 결과적으로 꼬리위험(Tail Risk) 측정에 취약하며, 이는 포트폴리오 관리자에게 심각한 문제를 야기합니다.

이 왜곡은 델타-정규 방법이 비선형 포트폴리오의 곡률(감마)을 고려하지 않기 때문에 발생합니다.

⚠️ 시험 단골 문장:

"델타-정규 방법은 옵션의 비선형성(감마)을 무시하므로, 높은 옵션 가치의 확률을 과소평가하고 낮은 옵션 가치의 확률을 과대평가하여 VaR을 왜곡한다."

비선형 상품 예시: 콜/풋 옵션, 아시안 옵션(Asian Option), 배리어 옵션(Barrier Option), 주택저당증권(MBS), 버터플라이 스프레드(Butterfly Spread — 고도의 비선형성)

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MODULE QUIZ 48.1

문제 1. 콜옵션과 주택저당증권(MBS)은 다음 중 어떤 유형의 좋은 예시입니까?

A. 각각 선형 및 비선형 파생상품
B. 각각 비선형 및 선형 파생상품
C. 모두 선형 파생상품
D. 모두 비선형 파생상품

문제 2. 선형 및 비선형 파생상품에 관한 다음 진술 중 올바른 것은?

A. 선형 파생상품의 델타는 1이다.
B. 선도계약은 비선형 파생상품의 예이다.
C. 선형 파생상품의 델타는 기초요인의 모든 수준에서 상수여야 한다.
D. 콜옵션의 가치는 기초주식 가치의 변화에 따라 일정한 비율로 변한다.

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MODULE 48.2: 몬테카를로, 스트레스 테스트, 시나리오 분석

LO 48.f: 몬테카를로 시뮬레이션으로 VaR/ES 계산

1. 개념과 특징

몬테카를로 접근법(Monte Carlo Approach)은 난수 샘플링(Random Sampling)을 통해 수천~수만 개의 시나리오를 생성하고, 각 시나리오에서 기초자산 및 포트폴리오를 완전히 재평가(Full Revaluation)하여 손실분포를 구축하는 방법입니다. 이 방법은 세 가지 VaR 계산법 중 가장 유연하고 강력하지만, 동시에 가장 계산 집약적(Computationally Intensive)입니다.

세 가지 방법의 핵심 차이를 정리하면 다음과 같습니다:

방법	데이터 원천	분포 가정	비선형 대응
역사적 시뮬레이션	과거 실제 데이터	없음 (비모수적)	△ (데이터에 의존)
델타-정규	해석적 공식	다변량 정규분포	✕ (선형 근사만)
몬테카를로	난수 생성 시나리오	어떤 분포든 가능	◎ (전체 재평가)

2. 6단계 프로세스 (반드시 암기)

몬테카를로 시뮬레이션은 다음 6단계로 수행됩니다. 이 프로세스는 시험에서 직접 출제되므로 각 단계의 순서와 내용을 정확히 암기해야 합니다:

몬테카를로 시뮬레이션 6단계 프로세스:

단계	수행 내용	핵심 키워드
Step 1	현재(오늘) 위험요인의 가치를 사용하여 포트폴리오를 오늘 기준으로 평가합니다. 이것이 비교 기준점(Baseline)이 됩니다.	현재가치 평가
Step 2	위험요인 변화 \(\Delta x_i\)를 다변량 정규 확률분포에서 샘플링합니다. 이 과정에서 위험요인 간의 상관관계가 반영됩니다.	난수 샘플링
Step 3	샘플링된 \(\Delta x_i\) 값을 사용하여 기간말(End-of-Period) 위험요인 수준을 결정합니다. 즉, 현재 위험요인 값에 샘플링된 변화를 더합니다.	기간말 요인 결정
Step 4	업데이트된 위험요인 값을 사용하여 포트폴리오를 완전히 재평가(Full Revaluation)합니다. 비선형 상품(옵션 등)도 정확한 가격결정 모형을 통해 새로운 가치를 산출합니다.	전체 재평가
Step 5	Step 1의 현재가치에서 Step 4의 재평가 가치를 차감하여 손실 금액을 계산합니다. 결과가 양수이면 손실, 음수이면 이익입니다.	손실 계산
Step 6	Step 2~5를 수천~수만 번 반복하여 다양한 시나리오에서의 손실값을 축적하고, 이를 통해 손실분포(Loss Distribution)를 생성합니다.	반복 → 분포 생성

3. VaR/ES 계산 예시

손실분포가 생성되면, 역사적 시뮬레이션과 유사한 방법으로 VaR과 ES를 계산합니다:

예시: 500회 시뮬레이션의 VaR/ES

몬테카를로로 500회 시뮬레이션을 수행했다면:

• 99% VaR = \(1\% \times 500 = 5\)번째 최악 손실
• ES = 상위 4개(1~4위) 최악 손실의 평균

예를 들어 10,000회 시뮬레이션이라면, 99% VaR은 100번째 최악 손실이고, ES는 1~99위 최악 손실의 평균입니다.

4. 시간 확대 규칙 (√T Rule)

일간 VaR을 장기 기간(예: 10일, 1개월)의 VaR로 환산할 때 √T 규칙(Square Root of Time Rule)이 사용됩니다:

시간 확대 공식:

$$VaR(T, X) = VaR(1, X) \times \sqrt{T}$$ $$ES(T, X) = ES(1, X) \times \sqrt{T}$$

여기서 \(T\)는 일(Day) 수 기준의 시간 기간입니다.

예: 일간 VaR = $100,000 → 10일 VaR = \($100{,}000 \times \sqrt{10} \approx \$316{,}228\)

⚠️ √T 규칙의 핵심 가정과 한계:

이 규칙은 다음 세 가지 가정이 충족될 때만 정확합니다:

1. 수익률의 독립성: 각 일의 수익률이 독립적(오늘의 수익률이 내일의 수익률에 영향을 미치지 않음)
2. 동일 분포: 매일의 수익률이 같은 분포에서 추출됨(분산이 시간에 따라 변하지 않음)
3. 분산의 시간 비례: T일 동안의 분산 = 일간 분산 × T (이는 위 두 가정의 결과)

한계: 위기 국면(Crisis Period)에서는 변동성 군집(Volatility Clustering) 현상이 나타나 높은 변동성이 연이어 발생하고, 수익률 간 자기상관(Autocorrelation)이 발생하여 독립성 가정이 깨집니다. 이 경우 √T 규칙은 장기 VaR을 과소추정하거나 과대추정할 수 있습니다.

5. 장단점

장점	단점
다수 위험요인 및 상관관계 반영 가능: 기초자산 간의 상관구조를 모델링하여 상관된 시나리오를 생성할 수 있습니다. 예를 들어 10,000개의 시나리오를 생성한 후 특정 사건의 발생 확률을 추정할 수 있습니다.	느리고 계산 비용이 큼(Computationally Intensive): 수천~수만 번의 시뮬레이션과 매 시뮬레이션마다 전체 포트폴리오 재평가가 필요하므로, 대규모 포트폴리오에서는 상당한 컴퓨팅 자원과 시간이 소요됩니다.
어떤 분포든 가정 가능: 정규분포에 국한되지 않으며, 팻테일 분포, 점프 확산 모형 등 다양한 분포를 적용할 수 있습니다. 리스크 관리자가 제공해야 할 것은 평균, 표준편차, 분포 유형뿐입니다.	분포 가정의 위험: 자유롭게 분포를 선택할 수 있지만, 가정한 분포가 현실과 다르면 결과도 왜곡됩니다.
비선형 상품에 강력: 전체 재평가(Full Revaluation)를 통해 옵션 등 비선형 상품의 가격을 정확히 산출합니다.	대규모 포트폴리오에서 시간 소요: 복잡한 가격결정 모형을 가진 파생상품이 많을수록 계산 부담이 기하급수적으로 증가합니다.

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LO 48.g: 상관관계 붕괴(Correlation Breakdown)의 함의

1. 핵심 메시지

위기(Crisis) 시에는 자산 간 상관관계가 급격히 상승합니다. 평상시에는 상관관계가 낮아 분산투자의 효과가 크지만, 위기가 발생하면 이전에 서로 독립적으로 움직이던 자산들이 동시에 하락하는 현상이 나타납니다. 이는 낮은 상관관계에 의존하던 포트폴리오 전략이 무너지면서 위험이 과소평가되는 결과를 초래합니다.

핵심적인 역설은 다음과 같습니다: 분산효과(Diversification Benefits)가 가장 필요한 시점(위기)에 분산 혜택이 가장 크게 약화됩니다. 이는 VaR과 ES 분석에서 상관관계를 정적(Static)으로 취급하는 것의 위험성을 보여줍니다.

2. 전염효과(Contagion Effect)

전염효과(Contagion Effect)의 정의와 특성:

전염효과는 변동성(Volatility)과 상관관계(Correlation)가 동시에 상승할 때 발생하는 현상입니다. 이 효과의 결과:

• 분산 혜택이 약화(Mitigate Diversification Benefits): 자산 간 상관관계가 높아지면 포트폴리오 분산이 줄어들지 않으므로, 분산투자의 위험 감소 효과가 사라집니다.
• 수익률 생성 과정의 변화: 기초자산에 평상시와 다른 수익률 생성과정(Return Generating Process)이 나타납니다. 평상시의 통계적 관계(상관관계, 변동성 등)가 더 이상 유효하지 않습니다.
• VaR/ES의 과소추정: 평상시 상관관계로 계산된 VaR/ES는 위기 시 실제 손실을 심각하게 과소추정합니다.

대표적 사례: 2007-2009 글로벌 금융위기에서 역사적 상관관계 행렬(Historical Correlation Matrix)이 붕괴되어, 이전에 분산 효과를 제공하던 자산 클래스들이 동시에 가치를 잃었습니다.

3. 스트레스 테스트 방법론

상관관계 붕괴에 대비하기 위해, 스트레스 테스트(Stress Testing)가 VaR/ES의 보완 도구로 활용됩니다. 스트레스 테스트에는 크게 두 가지 접근법이 있습니다:

접근법	(1) 과거 위기 재현형 (Historical Crisis Replay)	(2) 가상 시나리오형 (Hypothetical Scenarios)
방법	과거의 특정 위기 사건(예: 2007-2009 금융위기)을 식별하고, 그 위기 기간의 시장 변동을 현재 포트폴리오에 그대로 적용하여 손실을 추정합니다.	리스크 관리자가 가상의 스트레스 시나리오를 사전에 설정합니다. 예: 단기금리 3% 상승, 자국통화 대비 외국통화 4% 절하, 주가지수 20% 하락 등.
장점	기초자산 수익률이나 정규성에 대한 가정이 필요 없음. 실제 발생했던 위기이므로 현실감 있는 시나리오를 제공합니다.	과거에 없었던 위험도 평가 가능. 어떤 시나리오든 자유롭게 설계할 수 있으므로 창의적인 리스크 탐색이 가능합니다.
단점	과거에 실제로 발생한 사건만 평가 가능. 새로운 유형의 위기나 이전과 다른 형태의 충격은 반영할 수 없습니다.	시나리오 설계의 주관성이 개입. 중요한 시나리오를 누락하거나, 비현실적인 시나리오를 설정할 위험이 있습니다.

실무에서는 두 가지 접근법을 병행하여 사용하는 것이 일반적입니다. 과거 위기 재현으로 검증된 리스크를 확인하고, 가상 시나리오로 미래에 발생할 수 있는 새로운 유형의 리스크를 탐색합니다. 상관관계, VaR, ES를 스트레스하는 것(Stressing Correlation, VaR, and ES)은 위기 시 발생할 수 있는 전염효과를 모델링하는 데 사용되는 핵심 기법입니다.

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LO 48.h: 최악 시나리오(WCS) 분석과 VaR 비교

1. WCS의 개념

최악 시나리오(Worst-Case Scenario, WCS) 분석은 불리한 사건이 발생했을 때 가능한 최악의 결과들의 분포에 초점을 맞춥니다. VaR이 "특정 신뢰수준에서의 손실 경계(단일 숫자)"를 제공하는 반면, WCS는 최악 결과들의 전체 분포를 분석하여 손실의 깊이(Extent)까지 추정합니다.

예를 들어, 투자자가 향후 6개월 동안 발생할 수 있는 최악의 일간 결과에 관심이 있다면, 6개월 기간 동안의 수익률 분포를 살펴보고 그 중 최악의 결과들이 어떤 분포를 형성하는지를 분석합니다. 이를 통해 "최악의 날에는 대략 어느 정도의 손실이 발생할 수 있는가"에 대한 보다 풍부한 정보를 얻을 수 있습니다.

2. VaR vs ES vs WCS 비교

측정 지표	의미	제공 정보	한계
VaR	특정 신뢰수준에서의 손실 경계(Quantile)	"99% 확률로 이 금액 이하의 손실"	경계를 넘으면 얼마나 더 잃는지 모름
ES	VaR 경계를 넘는 평균 손실	"최악 1%가 발생하면 평균적으로 이만큼 손실"	평균이므로 최악의 최악은 반영 미흡
WCS	불리한 사건 발생 시 최악 결과들의 분포 분석	손실의 깊이(Extent)까지 추정	분포 추정에 주관적 판단 개입 가능

핵심 포인트: WCS는 VaR/ES의 "대체(Alternative)"가 아니라 "보완/확장(Extension)"입니다.

WCS는 VaR이 제공하지 못하는 "VaR 경계를 넘었을 때 손실이 얼마나 깊을 수 있는가"에 대한 추가 정보를 제공합니다. 특히 복잡한 파생상품이나 극단 시나리오에서 VaR만 보면 손실의 깊이를 과소평가할 수 있으므로, WCS로 추가적인 리스크 정보를 얻는 것이 중요합니다.

시험에서 "WCS는 VaR의 대안(alternative)이다"라는 보기가 나오면 오답입니다. 정확한 표현은 "보완(complement)" 또는 "확장(extension)"입니다.

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MODULE QUIZ 48.2

문제 1. 스트레스 시나리오에 관한 다음 진술 중 올바르지 않은 것은? 전염효과(Contagion Effect)는:

A. 위기 사건에서 발생한다.
B. 분산 혜택을 증가시킨다.
C. 변동성과 상관관계가 모두 상승할 때 발생한다.
D. 기초자산에 평상시와 다른 수익률 생성과정을 야기한다.

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정답 및 상세 해설

문제	정답	상세 해설
48.1-1	D	콜옵션과 MBS는 모두 비선형 파생상품입니다. 비선형 파생상품의 가치는 기초자산의 변화에 대해 비선형적으로 반응하며, 기초자산의 상태(수준)에 따라 민감도가 변합니다. 선도계약(Forward)이 선형의 예이며, 콜옵션·MBS는 비선형의 대표적 예입니다. (LO 48.a)
48.1-2	C	선형 파생상품의 델타(기울기)는 기초요인의 모든 수준에서 상수여야 합니다. A는 오답(델타가 반드시 1일 필요 없음), B는 오답(선도계약은 선형), D는 오답(콜옵션의 가치는 일정한 비율로 변하지 않음 — 비선형). (LO 48.a)
48.2-1	B	전염효과는 변동성과 상관관계가 모두 상승하면서 분산 혜택을 약화(Mitigate)시킵니다. B의 "분산 혜택을 증가시킨다"는 정반대이므로 올바르지 않은 진술입니다. 전염효과의 핵심은 위기 시 상관관계 상승으로 인해 분산투자의 리스크 감소 효과가 사라진다는 것입니다. 2007-2009 글로벌 금융위기가 역사적 상관관계 행렬 붕괴의 대표적 사례입니다. (LO 48.g)

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KEY CONCEPTS (핵심 개념 정리)

LO 48.a 핵심 — 선형 vs 비선형

• 선형 파생상품: 기초요인과 파생가치 간 관계가 선형(직선), 델타가 상수. 예: 선물, 선도, 통화선도
• 비선형 파생상품: 기초자산 상태에 따라 민감도(델타)가 변함(곡선). 예: 옵션, 아시안옵션, 배리어옵션, MBS, 버터플라이 스프레드
• 선형의 핵심 = 델타가 상수 (반드시 1일 필요 없음)

LO 48.b 핵심 — 역사적 시뮬레이션

• 위험요인 식별 → 과거 데이터 수집 → 시나리오 적용으로 일별 손익 재계산 → 손실 정렬 → VaR(분위수) 및 ES(VaR 초과 평균) 도출
• 장점: 분포 가정 불필요, 과거 극단 사건 자연스럽게 반영
• 단점: 과거에 없었던 위기 반영 불가, 실제 역사적 데이터에만 제한

LO 48.c 핵심 — 델타-정규 접근법

• 위험요인 변화가 다변량 정규분포를 따른다고 가정, 포트폴리오를 델타로 선형화
• 결과: \(\Delta V\)가 정규분포 → \(VaR = z_\alpha \cdot \sigma_p\), \(ES = \frac{\phi(z_\alpha)}{\alpha} \cdot \sigma_p\)
• 중심극한정리: 많은 비정규 변수로 구성된 포트폴리오도 근사적으로 정규에 접근
• 관측되지 않는 금리 만기는 선형보간으로 추정

LO 48.d 핵심 — 선형 파생상품 VaR

• \(VaR_p = \delta \times VaR_f\) — 기초요인 VaR에 델타(민감도)를 곱함
• 로컬 델타 = 기초자산 1% 변화 시 파생상품의 % 변화 (국소 기울기)

LO 48.e 핵심 — 델타-정규의 한계

• 델타는 1차 근사이므로 큰 변동에서는 감마(곡률)를 무시해 오차 발생
• ITM 옵션(감마 낮음)에서는 그나마 괜찮지만, ATM 옵션(감마 최대)에서 오차 극대화
• 높은 옵션 가치 확률을 과소평가, 낮은 옵션 가치 확률을 과대평가 → 꼬리위험 왜곡
• 델타-감마 근사: \(\Delta V \approx \delta \Delta S + \frac{1}{2}\gamma(\Delta S)^2\)

LO 48.f 핵심 — 몬테카를로 시뮬레이션

• 6단계: 현재가치 평가 → 난수 샘플링 → 기간말 요인 결정 → 전체 재평가 → 손실 계산 → 반복
• 장점: 어떤 분포든 가능, 다수 위험요인·상관관계 반영, 비선형 강력 대응
• 단점: 느리고 계산 비용이 큼 (Computationally Intensive)
• 시간 확대: \(VaR_T = VaR_1 \times \sqrt{T}\)

LO 48.g 핵심 — 상관관계 붕괴

• 위기 시 변동성 + 상관관계 동시 상승 = 전염효과(Contagion)
• 분산 혜택이 가장 필요한 시점에 분산 혜택 약화
• 기초자산에 평상시와 다른 수익률 생성과정 출현
• 대응: 과거 위기 재현형 + 가상 시나리오형 스트레스 테스트 병행

LO 48.h 핵심 — 최악 시나리오(WCS)

• WCS = 최악 결과들의 분포에 초점, 손실의 깊이(Extent)까지 추정
• VaR/ES의 대체가 아니라 보완/확장
• 복잡한 파생상품이나 극단 시나리오에서 추가 정보 제공

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시험 대비 한 줄 암기 체크리스트

주제	암기 포인트
선형 파생상품	델타가 상수 (≠ 반드시 1), 예: 선물, 선도, 스왑
비선형 파생상품	델타가 기초자산 수준에 따라 변동, 예: 옵션, MBS, 배리어옵션, 버터플라이 스프레드
선형 VaR 공식	\(VaR_p = \delta \times VaR_f\)
역사적 시뮬레이션	분포 가정 X, 과거 데이터 정렬 → k번째 최악 = VaR, k 위에 초과분 평균 = ES
VaR 순위 공식	\(k = \alpha \times N\) (예: 1% × 300 = 3번째)
델타-정규 가정	위험요인 변화 = 다변량 정규, 포트폴리오 = 선형 근사(델타)
델타-정규 VaR	\(VaR = z_\alpha \times \sigma_p\) (99% → z ≈ 2.326, 95% → z ≈ 1.645)
델타-정규 한계	감마 무시 → 비선형 상품에서 꼬리위험 왜곡 (높은 가치 과소평가, 낮은 가치 과대평가)
ATM vs ITM	ATM = 감마 최대 → 델타 근사 오차 최대, ITM = 감마 낮음 → 델타 근사 상대적 양호
델타-감마 근사	\(\Delta V \approx \delta\Delta S + \frac{1}{2}\gamma(\Delta S)^2\)
몬테카를로 6단계	①현재가치 ②난수샘플링 ③기간말요인 ④재평가 ⑤손실계산 ⑥반복→분포생성
몬테카를로 장단점	장: 어떤 분포든, 비선형 강력 / 단: 느리고 계산비용 큼
√T 규칙	\(VaR_T = VaR_1 \times \sqrt{T}\), 가정: i.i.d 수익률, 위기 시 깨짐
전염효과	변동성↑ + 상관관계↑ → 분산혜택↓ → VaR/ES 과소추정
스트레스 테스트	과거위기재현(장: 가정불필요, 단: 과거한정) + 가상시나리오(장: 자유설계, 단: 주관성)
WCS	최악 결과들의 분포 분석, VaR/ES의 보완(대체 아님!)
VaR 3방법 비교	역사적(비모수/과거) vs 델타-정규(모수/해석적) vs 몬테카를로(난수/전체재평가)

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