FRM part1. Reading 45: Interest Rate Futures

 

FRM Part I – Reading 45
금리 선물 (Interest Rate Futures)

EXAM FOCUS

이 Reading의 본질적 질문

금리 선물(Interest Rate Futures)은 채권이나 금리를 기초자산으로 하는 파생상품으로, 금리 변동이 거의 모든 자산의 가치에 영향을 미치기 때문에 금융기관, 기업, 투자자들이 금리 위험을 관리(헤지)하는 데 사용하는 핵심 도구입니다. 미국에서 대표적인 금리 선물은 미국 국채 선물(Treasury Bond Futures)이며, 시카고상품거래소(CBOT)에서 활발하게 거래됩니다.

이 Reading은 (1) 채권 호가(Quotation) 및 일수계산(Day Count), (2) 국채선물의 전환계수(Conversion Factor)와 최저비용 인도채권(CTD), (3) 보유비용(Cost-of-Carry) 모형에 기반한 이론 선물가격, (4) 듀레이션 기반 헤지 전략까지를 하나의 논리적 흐름으로 연결하여 학습합니다.

시험에서 반드시 할 수 있어야 하는 것

• 경과이자(Accrued Interest)와 클린/더티 가격의 정확한 구분과 계산
• 일수계산 규칙 3가지(Actual/Actual, 30/360, Actual/360)의 적용 시장과 계산
• T-bill의 할인율 호가에서 현금가격으로의 변환
• 전환계수(CF)의 계산 원리와 실제 계산
• CTD(Cheapest-to-Deliver) 채권의 판정
• 금리 수준과 수익률곡선 형태가 CTD에 미치는 영향
• 국채 선물 이론가격 공식: \(\frac{F_0^{cash} - AI_{delivery}}{CF}\)
• 듀레이션 기반 헤지의 계약 수 계산: \(N = -\frac{P \times D_P}{F \times D_F}\)
• 듀레이션 헤지의 한계(비선형성, 평행이동 가정)

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MODULE 45.1: 일수계산 규칙과 채권 호가

LO 45.a: 일수계산 규칙(Day Count Convention)의 이해와 적용

1. 일수계산 규칙이란 무엇인가?

채권 거래에서 가장 기초적이면서도 실수가 빈번한 개념이 바로 일수계산 규칙(Day Count Convention)입니다. 채권은 정기적으로 쿠폰(이자)을 지급하지만, 현실에서 채권 거래는 쿠폰 지급일과 상관없이 아무 날짜에나 이루어집니다. 이때 매수자는 매도자에게 결제일까지 발생한 경과이자(Accrued Interest, AI)를 지급해야 합니다.

경과이자를 계산하려면 두 가지가 필요합니다: "직전 쿠폰 지급일부터 현재까지의 경과일수"와 "쿠폰 기간 전체의 기준기간 일수"입니다. 문제는 이 "일수"를 세는 방법이 시장마다 다르다는 것입니다. 이것이 일수계산 규칙이 존재하는 이유이며, 규칙을 먼저 확정하지 않으면 동일한 채권에 대해서도 경과이자 계산이 달라집니다.

2. 미국의 3대 일수계산 규칙

미국 시장에서는 세 가지 일수계산 규칙이 가장 널리 사용됩니다. 각 규칙은 특정 시장에 관례적으로 결합되어 있으므로, "어떤 상품인가?"를 먼저 파악한 뒤 해당 규칙을 적용해야 합니다.

일수계산 규칙	적용 시장	분자(경과일수)	분모(기준기간 일수)	핵심 특징
Actual/Actual	미국 국채 (T-bonds, T-notes)	실제 경과일수	실제 쿠폰 기간 일수	가장 정확. 달마다 일수가 다르고 기간마다 분모가 달라짐
30/360	미국 회사채 및 지방채 (Corporate/Municipal Bonds)	모든 달을 30일로 간주	항상 180일 (반기) 또는 360일 (연간)	계산이 단순. 실제 달력과 무관하게 일수를 셈
Actual/360	미국 머니마켓 상품 (T-bills 등)	실제 경과일수	항상 360일	분자는 실제, 분모는 360. 할인율 호가에 사용

핵심 포인트:

Actual/Actual에서는 기준기간 일수가 쿠폰 기간에 따라 달라집니다(예: 3월~9월 = 184일, 9월~3월 = 181일). 반면 30/360에서는 반기가 항상 180일입니다. 이 차이가 동일한 채권 구조에서도 경과이자가 달라지는 원인입니다.

3. 경과이자 계산 공식

경과이자(Accrued Interest) 공식 $$AI = \text{쿠폰} \times \frac{\text{경과일수}}{\text{기준기간 일수}}$$

예시 1: 일수계산 규칙별 경과이자 계산

조건:

• 액면가: $100, 반기 쿠폰 지급
• 연 쿠폰율: 6% → 반기 쿠폰 = $3
• 쿠폰 지급일: 3월 1일, 9월 1일
• 현재 날짜: 7월 13일

(A) T-bond (Actual/Actual) 규칙 적용:

기준기간(3/1 ~ 9/1)의 실제 일수를 셉니다:

3월: 30일 + 4월: 30일 + 5월: 31일 + 6월: 30일 + 7월: 31일 + 8월: 31일 + 9월 1일 도달까지 = 184일

경과일수(3/1 ~ 7/13)의 실제 일수:

3월 나머지: 30일 + 4월: 30일 + 5월: 31일 + 6월: 30일 + 7월 1~13일: 13일 = 134일

$$AI_{T\text{-}bond} = 3 \times \frac{134}{184} = 3 \times 0.72826 = \textbf{2.1848}$$

(B) 회사채 (30/360) 규칙 적용:

30/360 규칙에서는 모든 달을 30일로 간주합니다. 따라서 반기 기준기간은 항상 180일입니다.

경과일수(3/1 ~ 7/13): 4개월(4월~7월) x 30일 = 120일 + 7월 중 12일 = 132일

$$AI_{Corp} = 3 \times \frac{132}{180} = 3 \times 0.73333 = \textbf{2.2000}$$

비교:

규칙	경과일수	기준기간 일수	경과이자
Actual/Actual (T-bond)	134일	184일	$2.1848
30/360 (회사채)	132일	180일	$2.2000

동일한 현금흐름 구조(같은 쿠폰, 같은 날짜)임에도 불구하고 일수계산 규칙에 따라 경과이자가 달라집니다. 이것이 시험에서 "규칙을 먼저 확인"해야 하는 이유입니다.

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LO 45.c: T-bond의 클린 가격과 더티 가격

1. T-bond 호가: 32분의 1(32nds) 표기법

미국 국채의 가격은 액면 $100 기준으로 "달러 + 32분의 1" 단위로 표시됩니다. 이것은 미국 채권 시장의 오랜 관례입니다. 예를 들어:

• 95-05라는 호가는 \(95 + \frac{5}{32} = 95 + 0.15625 = 95.15625\)를 의미합니다.
• 102-11이라는 호가는 \(102 + \frac{11}{32} = 102 + 0.34375 = 102.34375\)를 의미합니다.

이 32nds 표기법은 시험에서 소수점 변환을 요구하는 첫 번째 단계이므로, 빠르게 변환하는 연습이 필요합니다.

2. 클린 가격(Clean Price) vs 더티 가격(Dirty Price)

T-bond 시장에서 호가(Quoted Price)로 표시되는 가격은 클린 가격(Clean Price)입니다. 클린 가격에는 경과이자가 포함되어 있지 않습니다. 그러나 실제로 채권을 매수할 때 지불해야 하는 금액은 클린 가격이 아닙니다. 매수자는 직전 쿠폰 지급일 이후 발생한 경과이자까지 매도자에게 지불해야 합니다.

따라서 실제 결제금액인 더티 가격(Dirty Price)은 다음과 같이 정의됩니다:

더티 가격 = 클린 가격 + 경과이자 $$\text{Dirty Price (Cash Price)} = \text{Clean Price (Quoted Price)} + AI$$

또는 역으로: \(\text{Clean Price} = \text{Dirty Price} - AI\)

더티 가격은 현금가격(Cash Price) 또는 인보이스 가격(Invoice Price)이라고도 불립니다. 이 가격이 채권 소유권을 양도받기 위해 매도자에게 실제로 지불해야 하는 금액입니다. 더티 가격은 채권의 현재가치(= 클린 가격)에 경과이자를 더한 것입니다.

왜 클린 가격으로 호가하는가?

더티 가격은 날마다 경과이자 때문에 자동으로 변합니다. 만약 더티 가격으로 호가하면, 금리가 전혀 변하지 않아도 가격이 매일 바뀌어 보입니다. 이는 금리 변화에 의한 진정한 가격 변동을 파악하기 어렵게 만듭니다. 따라서 시장은 경과이자를 분리한 클린 가격으로 호가하여, 가격 변동이 순수하게 금리 변화만을 반영하도록 합니다.

예시 2: 더티 가격(현금가격) 계산

조건: 예시 1의 T-bond가 현재 102-11로 호가되고 있음. 경과이자 AI = $2.1848 (이미 계산됨)

Step 1: 32nds → 소수점 변환

$$\text{클린 가격} = 102 + \frac{11}{32} = 102 + 0.34375 = 102.34375$$

Step 2: 더티 가격 계산

$$\text{더티 가격} = 102.34375 + 2.1848 = \textbf{104.52855}$$

Step 3: 실제 결제금액 (액면 $100,000 기준)

$$\text{결제금액} = \frac{100{,}000}{100} \times 104.52855 = \textbf{\$104{,}528.55}$$

호가는 액면 $100 기준이므로, 실제 액면이 $100,000이면 1,000을 곱해야 합니다.

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LO 45.b: T-bill 할인율 호가와 현금가격 변환

1. T-bill은 왜 다르게 호가되는가?

T-bill(재무부 단기증권)은 쿠폰이 없는 할인채(Discount Security)입니다. 만기에 액면가를 받고, 매수 시에는 액면가보다 낮은 가격에 매수합니다. T-bill과 다른 머니마켓 상품은 가격 대신 할인율 기준(Discount Rate Basis)으로 호가되며, Actual/360 일수계산 규칙을 사용합니다.

2. 할인율과 현금가격의 관계

T-bill 할인율 호가 $$\text{Discount Rate} = \frac{360}{n} \times \frac{100 - Y}{100}$$

여기서 \(n\) = 만기까지 잔여일수, \(Y\) = 현금가격(액면 100 기준)

역으로 현금가격을 구하면:

$$Y = 100 - \left(\text{Discount Rate} \times \frac{n}{360}\right)$$

예시 3: T-bill 현금가격과 실제 수익률 계산

조건: 만기까지 180일, 할인율(호가) 5%, 액면 $100

Step 1: 할인액 계산

$$\text{할인액} = 100 \times 0.05 \times \frac{180}{360} = \textbf{\$2.50}$$

Step 2: 현금가격 계산

$$Y = 100 - 2.50 = \textbf{\$97.50}$$

Step 3: 실제(기간) 수익률 계산

$$\text{실제 수익률} = \frac{2.50}{97.50} = \textbf{2.564\%}$$

핵심 관찰: 할인율 5%는 액면($100) 기준으로 연율화한 것이고, 실제 수익률은 투자금($97.50) 기준으로 계산합니다. 투자금이 액면보다 작으므로, 실제 수익률(2.564%)은 할인율 기준 기간수익률(2.50%)보다 항상 높습니다.

시험 함정 주의:

T-bill의 할인율과 실제 수익률은 다른 값입니다. 할인율은 액면 기준, 실제 수익률은 매수가(투자금) 기준입니다. 시험에서 "true rate of interest"를 물으면 매수가를 분모로 사용해야 합니다.

Module Quiz 45.1

문제 1. 일수계산 규칙에 대한 다음 상황을 고려하세요: 반기 쿠폰 채권, 액면 $100, 쿠폰율 4%, 쿠폰 지급일 3월 1일과 9월 1일, 현재 날짜 8월 3일. 다음 중 올바른 설명은?

A. 회사채가 7월에 T-bond보다 더 많은 이자를 발생시킨다
B. 회사채가 3월 1일 ~ 9월 1일 기간에 9월 1일 ~ 3월 1일 기간보다 더 많은 이자를 발생시킨다
C. 회사채가 이 기간(3월 1일 ~ 8월 3일)에 T-bond보다 더 많은 경과이자를 발생시킨다
D. T-bond의 경과이자는 이 기간(3월 1일 ~ 8월 3일)에 $1.76이다

문제 2. 90일 만기 T-bill의 현금가격이 98.75로 호가된다면, 할인율은 약 얼마인가?

A. 4%
B. 5%
C. 6%
D. 7%

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MODULE 45.2: 미국 국채 선물의 구조

LO 45.d: 전환계수(Conversion Factor)의 설명 및 계산

1. 전환계수(CF)가 필요한 이유

국채 선물 계약은 만기 시 실물 채권의 인도(Physical Delivery)가 발생합니다. 그런데 여기서 문제가 생깁니다. 인도 가능한 채권(Deliverable Bonds)은 쿠폰율, 만기, 시장가격이 모두 다릅니다. 예를 들어, 쿠폰 2%인 10년물과 쿠폰 6%인 20년물의 시장가치는 현저하게 다릅니다. 만약 동일한 선물가격에 대해 어떤 채권이든 인도할 수 있다면, 모든 숏 포지션은 가장 싸고 품질이 낮은 채권만 인도하려 할 것입니다.

이 문제를 해결하기 위해 시카고상품거래소(CBOT)는 전환계수(Conversion Factor, CF)를 도입했습니다. 전환계수는 서로 다른 시장가치를 가진 인도 가능 채권들을 "표준화된 인도금액"으로 변환해주는 조정 계수입니다.

2. 인도 시 숏 포지션이 받는 금액

숏 포지션(인도자)은 채권을 인도하면서 다음과 같이 계산된 현금(인보이스 금액)을 롱 포지션으로부터 받습니다:

인보이스 금액(Invoice Amount) $$\text{Invoice Amount} = (\text{Quoted Futures Price} \times CF) + AI$$

여기서 QFP = 선물 호가(정산가격), CF = 인도 채권의 전환계수, AI = 인도 시점의 경과이자

전환계수가 높은 채권(보통 고쿠폰 채권)을 인도하면 더 많은 금액을 받고, 전환계수가 낮은 채권(저쿠폰 채권)을 인도하면 적은 금액을 받습니다. 이렇게 함으로써 어떤 채권을 인도하든 이론적으로는 인도자에게 공정한 금액이 지급되도록 설계되어 있습니다.

3. 전환계수 계산 규칙

전환계수는 CBOT에 의해 매일 제공되며, 다음 절차로 계산됩니다:

단계	내용	상세 설명
1	잔여 만기 계산	인도월 1일(Day 1 of Delivery Month)부터 채권 만기까지의 기간을 계산
2	내림(Rounding Down)	10년물 이상: 3개월 단위로 내림 (예: 11년 7.5개월 → 11년 6개월) 2년/5년물: 1개월 단위로 내림
3	가격 산출	내림한 만기에서 연 6% 수익률(반기복리, 반기 3%)을 가정하여 채권의 클린 가격을 계산
4	CF 도출	산출된 클린 가격을 액면 $1당 가격으로 표시한 것이 전환계수 (예: 83.55 → CF = 0.8355)

핵심 직관: "6% 기준"의 의미

전환계수는 모든 채권을 "만약 수익률이 6%라면 이 채권의 가격은 얼마인가?"라는 가상의 표준 환경에서 평가합니다.

• 쿠폰 < 6%인 채권: 6% 수익률 환경에서는 할인 거래 → 가격 < 100 → CF < 1
• 쿠폰 > 6%인 채권: 6% 수익률 환경에서는 프리미엄 거래 → 가격 > 100 → CF > 1
• 쿠폰 = 6%인 채권: CF ≈ 1

예시 4: 전환계수 계산

조건: 2021년 11월 T-bond 선물 계약, 기초 채권은 쿠폰 4%, 만기 2033년 6월 15일. 가장 최근 정산가격 100. 직전 쿠폰 지급 직후에 평가한다고 가정.

Step 1: 잔여 만기 계산

인도월 1일(2021-11-01)부터 만기(2033-06-15)까지 = 11년 7.5개월

Step 2: 내림

10년물 이상이므로 3개월 단위로 내림: 11년 7.5개월 → 11년 6개월 (= 23 반기)

Step 3: 6% 수익률(반기 3%)로 채권 가격 계산

금융계산기 입력:

• N = 23 (반기 수)
• I/Y = 3 (반기 수익률 = 6%/2)
• PMT = 2 (반기 쿠폰 = 4% x $100 / 2)
• FV = 100
• CPT → PV = 83.55

Step 4: CF 도출

경과이자가 없으므로(직전 쿠폰 지급 직후 가정), 83.55가 클린 가격이자 더티 가격입니다.

$$CF = \frac{83.55}{100} = \textbf{0.8355}$$

해석: 쿠폰(4%)이 기준 수익률(6%)보다 낮으므로, 이 채권은 6% 환경에서 할인 거래됩니다. 따라서 CF < 1이 됩니다. 이는 숏이 이 채권을 인도할 때 선물 호가의 83.55%만 받게 된다는 의미입니다.

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LO 45.e: CTD(Cheapest-to-Deliver, 최저비용 인도채권)

1. CTD 개념: 왜 "가장 싼" 채권이 중요한가?

전환계수 시스템은 이론적으로는 공정하지만, 현실에서는 완벽하지 않습니다(Not Perfect). 전환계수는 6% 수익률이라는 가상 환경에서 계산되는데, 실제 시장 수익률은 6%가 아닙니다. 이 괴리 때문에 인도 가능한 채권들 사이에 인도 비용(Cost of Delivery)의 차이가 발생하며, 그 중 하나의 채권이 인도하기에 가장 저렴하거나 가장 수익성 있는(Cheapest or Most Profitable) 채권이 됩니다. 이것이 CTD(Cheapest-to-Deliver)입니다.

숏 포지션은 인도할 채권을 선택할 수 있으므로, 당연히 자신에게 가장 유리한(인도 비용이 최소인) 채권을 인도합니다.

2. CTD 판정 공식

CTD를 판정하려면 "인도 비용"을 비교합니다. 핵심은 경과이자(AI)가 "받는 금액"과 "매수 비용" 양쪽에 모두 포함되어 상쇄된다는 점입니다:

• 숏이 받는 금액 = (QFP x CF) + AI
• 채권 매수 비용 = 채권 호가(Quoted Bond Price) + AI
• 인도 비용 = 매수 비용 - 받는 금액 = (채권 호가 + AI) - (QFP x CF + AI)

AI가 상쇄되므로:

인도 비용(Cost of Delivery) $$\text{Delivery Cost} = \text{Quoted Bond Price} - (QFP \times CF)$$

이 값이 최소인 채권이 CTD

예시 5: CTD 채권 판정

조건: 선물 정산가격(QFP) = $95.75, 인도 가능 채권 4개

채권	채권 호가	전환계수(CF)	QFP x CF	인도 비용
Bond 1	$99	1.01	95.75 x 1.01 = 96.71	99 - 96.71 = $2.29
Bond 2	$125	1.24	95.75 x 1.24 = 118.73	125 - 118.73 = $6.27
Bond 3	$103	1.06	95.75 x 1.06 = 101.50	103 - 101.50 = $1.51
Bond 4	$115	1.14	95.75 x 1.14 = 109.16	115 - 109.16 = $5.85

결론: Bond 3이 인도 비용 $1.51로 최소이므로 CTD입니다.

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LO 45.f: 금리 수준과 수익률곡선이 CTD에 미치는 영향

1. 금리 수준의 영향

전환계수는 6% 수익률이라는 고정된 기준에서 계산되지만, 실제 시장 수익률은 6%와 다릅니다. 이 괴리가 CTD를 결정짓는 핵심입니다.

시장 조건	CTD 경향	핵심 논리
시장 수익률 > 6%	저쿠폰 + 장기만기	실제 수익률이 CF 기준(6%)보다 높으면, 장기/저쿠폰 채권의 실제 가격이 CF가 내포하는 가격보다 더 크게 하락합니다. 즉, 시장에서 더 싸게 살 수 있는데 CF 기준 인보이스는 상대적으로 덜 줄어드므로, 인도 비용이 낮아집니다.
시장 수익률 < 6%	고쿠폰 + 단기만기	저금리 환경에서 장기/저쿠폰 채권은 가격이 크게 상승하여 인도하기에 비쌉니다. 반면 단기/고쿠폰 채권은 가격 상승이 상대적으로 적어 인도 비용이 낮습니다.

2. 수익률곡선 형태의 영향

수익률곡선 형태	CTD 경향	논리
우상향(정상, Upward Sloping)	장기만기 CTD 경향	장기 금리가 높으므로 장기채 가격이 상대적으로 낮아져 인도하기 유리
우하향(역전, Downward Sloping)	단기만기 CTD 경향	단기 금리가 높으므로 단기 구간 채권 가격이 상대적으로 낮아져 인도하기 유리

시험 함정 주의:

수익률곡선이 완전히 수평(Flat)이고 수익률이 정확히 6%라면, 모든 인도 가능 채권의 인도 비용이 거의 같아져 CTD 판별이 어렵습니다. CTD가 명확히 구분되려면 수익률곡선이 수평이 아닌 형태여야 합니다.

3. 와일드카드 플레이(Wild Card Play)와 숏의 옵션

국채 선물에서 숏 포지션은 여러 가지 유리한 옵션을 보유합니다:

와일드카드 플레이(Wild Card Play): 선물의 정산가격은 시카고 시간 오후 2시에 확정됩니다. 그러나 숏은 그 이후에도 인도 결정을 내릴 수 있습니다. 만약 오후 2시 이후 현물 채권 가격이 하락하면, 숏은 더 낮은 가격에 현물을 매수하여 이미 확정된(더 높은) 정산가격 기준으로 인도할 수 있습니다. 이로 인해 추가적인 이득이 발생합니다.

인도 시기 선택권: 숏은 인도월 내 어느 날에 인도할지를 선택할 수 있습니다. 이 역시 숏에게 유리한 옵션입니다.

선물가격에 대한 영향:

이러한 옵션들이 모두 숏 포지션에게 유리하기 때문에, 숏은 더 낮은 인도 가격을 기꺼이 수용합니다. 그 결과 선물가격은 이러한 "숏의 옵션" 가치만큼 낮아지는 경향이 있습니다.

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LO 45.g: 국채 선물의 이론가격 계산

1. 보유비용(Cost-of-Carry) 모형 복습

선물의 이론가격은 보유비용 모형(Cost-of-Carry Model)에 기초합니다. 기초자산이 만기 전에 쿠폰(현금흐름)을 지급하는 경우, 그 쿠폰의 현재가치를 현물가격에서 차감한 뒤 무위험이자율로 미래 시점까지 누적(연속복리)합니다.

현금 기준 선물가격 (Cash Futures Price) $$F_0^{cash} = \left(S_0^{cash} - PV(\text{Coupons})\right) \times e^{rT}$$

여기서:

• \(S_0^{cash}\) = 현재 더티 가격 (현금가격, Clean Price + AI)
• \(PV(\text{Coupons})\) = 선물 만기 전 수취할 쿠폰의 현재가치
• \(r\) = 무위험이자율 (연속복리)
• \(T\) = 선물 만기까지 시간 (연 단위)

2. 전환계수 반영: 최종 이론 선물가격

위에서 구한 현금 기준 선물가격은 특정 CTD 채권에 대한 "더티" 선물가격입니다. 실제 시장에서 호가되는 선물가격은 (1) 인도 시점의 경과이자를 차감하여 클린 가격으로 변환하고, (2) 전환계수로 나누어 표준화합니다.

최종 국채 선물 이론가격 $$\text{Theoretical Futures Price} = \frac{F_0^{cash} - AI_{delivery}}{CF}$$

여기서:

• \(F_0^{cash}\) = 현금 기준 선물가격 (보유비용 모형에서 도출)
• \(AI_{delivery}\) = 인도 시점의 경과이자
• \(CF\) = CTD 채권의 전환계수

예시 6: 국채 선물 이론가격 계산 (종합)

조건:

• CTD 채권: 연 10% 쿠폰 (반기 쿠폰 = $5)
• 전환계수: CF = 1.1
• 채권 클린 가격(호가): $100
• 쿠폰 기간: 180일, 직전 쿠폰 지급은 90일 전
• 선물 인도까지: 180일
• 무위험이자율: 연 3% (연속복리)

Step 1: 현재 경과이자 계산

직전 쿠폰 지급이 90일 전이고 쿠폰 기간이 180일이므로:

$$AI_{today} = 5 \times \frac{90}{180} = \textbf{\$2.50}$$

Step 2: 현재 더티 가격(현금가격) 계산

$$S_0^{cash} = \text{Clean Price} + AI_{today} = 100 + 2.50 = \textbf{\$102.50}$$

Step 3: 만기 전 쿠폰의 현재가치

다음 쿠폰은 90일 후(직전 쿠폰 지급 후 180일 시점)에 지급됩니다. 이 쿠폰을 무위험이자율로 할인:

$$PV(\text{Coupon}) = 5 \times e^{-0.03 \times (90/365)} = 5 \times e^{-0.00740} = 5 \times 0.99262 \approx \textbf{\$4.96}$$

Step 4: 현금 기준 선물가격 계산

$$F_0^{cash} = (102.50 - 4.96) \times e^{0.03 \times (180/365)}$$ $$= 97.54 \times e^{0.01479}$$ $$= 97.54 \times 1.01490 \approx \textbf{\$98.99}$$

Step 5: 인도 시점 경과이자 계산

선물은 180일 후에 인도됩니다. 180일 후는 현재로부터 90일 후에 쿠폰이 지급된 뒤 다시 90일이 경과한 시점입니다(다음 쿠폰 기간의 절반 경과):

$$AI_{delivery} = 5 \times \frac{90}{180} = \textbf{\$2.50}$$

Step 6: 최종 이론 선물가격

$$\text{Theoretical Futures Price} = \frac{98.99 - 2.50}{1.1} = \frac{96.49}{1.1} = \textbf{87.72}$$

계산 흐름 요약:

단계	계산	결과
1. 현재 경과이자	\(5 \times 90/180\)	$2.50
2. 현재 더티 가격	\(100 + 2.50\)	$102.50
3. 쿠폰 PV	\(5 \times e^{-0.03 \times 90/365}\)	$4.96
4. 현금 선물가격	\((102.50 - 4.96) \times e^{0.03 \times 180/365}\)	$98.99
5. 인도 시 경과이자	\(5 \times 90/180\)	$2.50
6. 이론 선물가격	\((98.99 - 2.50) / 1.1\)	87.72

시험에서 자주 실수하는 포인트:

• "더티 가격"으로 시작: 보유비용 모형의 \(S_0\)는 클린 가격이 아니라 더티 가격(현금가격)입니다
• 쿠폰 PV 차감 시점: 선물 만기 전에 지급되는 쿠폰만 차감합니다
• 최종 단계에서 AI 차감 + CF 나누기: 현금 선물가격에서 인도 시점 AI를 빼서 클린으로 만든 뒤 CF로 나눕니다. 이 순서를 바꾸면 안 됩니다

Module Quiz 45.2

문제 1. 투자자가 숏 포지션의 인도를 앞두고 4개 채권 중 선택해야 합니다. 정산가격(QFP) = $92.50. 각 채권의 정보는 다음과 같습니다.

채권	호가	CF
Bond 1	$98	1.02
Bond 2	$122	1.27
Bond 3	$105	1.08
Bond 4	$112	1.15

어떤 채권이 CTD인가?

A. Bond 1
B. Bond 2
C. Bond 3
D. Bond 4

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MODULE 45.3: 듀레이션 기반 헤지 전략

LO 45.h: 듀레이션 기반 헤지비율과 헤지 전략

1. 듀레이션 기반 헤지의 목표

듀레이션 기반 헤지(Duration-Based Hedge)의 목표는 작은 수익률 변화에 대해 결합 포지션의 가치 변화가 0에 가깝도록 선물 포지션을 설정하는 것입니다. 다시 말해, 포트폴리오와 선물을 결합했을 때 듀레이션이 0인 포지션을 만드는 것입니다.

포트폴리오가 양(+)의 듀레이션을 가지고 있다면(일반적인 채권 포트폴리오), 금리가 상승하면 포트폴리오 가치가 하락합니다. 이를 상쇄하기 위해 통상 선물을 숏합니다. 선물 숏은 금리 상승 시 이익이 발생하므로, 포트폴리오의 손실을 상쇄합니다.

2. 헤지 계약 수 공식

듀레이션 기반 헤지 계약 수 $$N = -\frac{P \times D_P}{F \times D_F}$$

여기서:

• \(N\) = 필요한 선물 계약 수 (음수면 숏, 양수면 롱)
• \(P\) = 포트폴리오 가치
• \(D_P\) = 포트폴리오 듀레이션
• \(F\) = 선물 1계약 가치 (호가 x 계약규모)
• \(D_F\) = 선물의 듀레이션

공식 앞의 음수 부호(-)는 선물 포지션이 원래 포지션의 반대 방향이어야 함을 의미합니다. 투자자가 포트폴리오를 롱하고 있다면, 듀레이션을 0으로 만들기 위해 N개의 계약을 숏해야 합니다.

예시 7: 듀레이션 기반 헤지 계약 수 계산

조건:

• 포트폴리오 가치: P = $100,000,000 (1억 달러)
• 포트폴리오 듀레이션: \(D_P\) = 10
• 6개월물 T-bond 선물 호가: 105 (액면 대비 %)
• 선물 계약규모: $100,000
• 선물 듀레이션: \(D_F\) = 12

Step 1: 선물 1계약 가치 계산

$$F = 105\% \times \$100{,}000 = \$105{,}000$$

Step 2: 계약 수 계산

$$N = -\frac{100{,}000{,}000 \times 10}{105{,}000 \times 12}$$ $$= -\frac{1{,}000{,}000{,}000}{1{,}260{,}000}$$ $$= -793.65 \approx \textbf{-794 (794 계약 숏)}$$

작동 원리 검증:

시나리오	현물 포트폴리오	선물 숏 포지션	결합 효과
금리 상승	채권가 하락 → 손실	선물가 하락 → 숏 이익	상쇄
금리 하락	채권가 상승 → 이익	선물가 상승 → 숏 손실	상쇄

금리가 어느 방향으로 움직이든, 현물과 선물의 손익이 대체로 상쇄되어 결합 포지션의 순가치 변화가 0에 근접합니다.

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LO 45.i: 듀레이션 기반 헤지의 한계

1. 한계의 본질: 듀레이션은 "근사치"이다

채권의 가격-수익률 관계는 볼록(Convex)합니다. 즉, 비선형(Nonlinear) 형태입니다. 그러나 듀레이션은 이 관계를 선형으로 근사(Linear Approximation)합니다. 따라서 수익률 변화가 커질수록 듀레이션 측정치는 점점 부정확해집니다. 또한 듀레이션은 모든 수익률이 완전히 상관(Perfectly Correlated)되어 있다고 암묵적으로 가정합니다. 즉, 모든 만기의 수익률이 같은 크기, 같은 방향으로 움직인다(평행이동)고 봅니다.

2. 세 가지 핵심 한계

한계	문제	영향	대응 방안
1. 비선형성 (Convexity)	큰 금리 변화에서 듀레이션 근사의 오차가 확대됨	실제 가격 변화와 듀레이션 추정의 괴리 증가. 특히 금리가 크게 하락할 때 실제 가격 상승이 듀레이션 추정보다 큼	컨벡시티 조정 추가, 델타-감마 헤지
2. 평행이동 가정 (Parallel Shift)	수익률 곡선의 기울기 변화나 형태 변화를 반영하지 못함	단기/장기 금리가 다르게 움직이면(비평행 이동) 헤지 성과가 크게 저하	키레이트 듀레이션(Key Rate Duration), 바벨/불릿 조합
3. 베이시스 위험 (Basis Risk)	현물과 선물의 금리 연동이 불완전	선물과 현물의 가격 움직임이 완전히 일치하지 않아 헤지 잔여 위험 발생	최적 헤지비율(Optimal Hedge Ratio) 추정, 교차 헤지(Cross Hedge) 분석

시험 핵심 정리:

금리 변화가 크고(Large) 비평행적(Nonparallel)일 때, 듀레이션 기반 헤지 전략은 저조한 성과(Perform Poorly)를 보입니다. 이것이 듀레이션을 단일 위험 측정 도구로 사용하는 것의 근본적 한계입니다.

Module Quiz 45.3

문제 1. 6개월 헤지 기간, 포트폴리오 가치 $30,000,000, 6개월 T-bond 선물 호가 100.41, 계약규모 $100,000, 포트폴리오 듀레이션 8, 선물 듀레이션 12. 작은 수익률 변화에 대한 적절한 헤지는?

A. 298 계약 롱
B. 298 계약 숏
C. 199 계약 롱
D. 199 계약 숏

문제 2. 위험 지표로서 듀레이션 사용에 관한 다음 설명 중 올바른 것은?

A. 어떤 크기의 수익률 변화도 고려할 수 있다
B. 금리 변동성이 일정하다고 가정한다
C. 가격/수익률 관계가 선형이라고 가정한다
D. 평행 및 비평행 수익률곡선 변화를 모두 고려할 수 있다

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정답 및 해설

문제	정답	해설
45.1-1	C	T-bond(Actual/Actual): 155/184 = 0.8424 x $2 = $1.6848. 회사채(30/360): 152/180 = 0.8444 x $2 = $1.6889. 회사채의 경과이자가 T-bond보다 약간 큽니다. 참고: 7월 한 달만의 이자 발생 비율은 T-bond(31/184 = 0.1685)가 회사채(30/180 = 0.1667)보다 크므로 A는 오답.
45.1-2	B	\(\text{Discount Rate} = \frac{360}{90} \times \frac{100 - 98.75}{100} = 4 \times 0.0125 = 0.05 = 5\%\)
45.2-1	A	Bond 1: 98 - (92.50 x 1.02) = $3.65 (최소) Bond 2: 122 - (92.50 x 1.27) = $4.53 Bond 3: 105 - (92.50 x 1.08) = $5.10 Bond 4: 112 - (92.50 x 1.15) = $5.63 Bond 1이 인도 비용 $3.65로 CTD.
45.3-1	D	\(F = 100.41\% \times 100{,}000 = 100{,}410\) \(N = -\frac{30{,}000{,}000 \times 8}{100{,}410 \times 12} = -\frac{240{,}000{,}000}{1{,}204{,}920} = -199.2 \approx -199\) 199 계약 숏이 적절합니다.
45.3-2	C	듀레이션의 한계: (1) 작은 수익률 변화에만 유효, (2) 가격/수익률 관계가 선형이라고 가정, (3) 모든 만기와 위험 수준에서 수익률 변화가 동일(완전 상관)하다고 가정. 따라서 C가 정답.

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KEY CONCEPTS (핵심 개념 정리)

LO 45.a 핵심

• 일수계산 규칙은 경과이자 계산의 기초. 채권 매수 시 결제일까지의 경과이자를 매도자에게 지급
• 3대 규칙: Actual/Actual (국채), 30/360 (회사채/지방채), Actual/360 (머니마켓)
• 동일 현금흐름이라도 규칙에 따라 경과이자가 달라짐

LO 45.b 핵심

• T-bill은 할인율 기준으로 호가. 현금가격: \(Y = 100 - (\text{할인율} \times n/360)\)
• 할인율(액면 기준)과 실제 수익률(투자금 기준)은 다른 값

LO 45.c 핵심

• T-bond 호가는 32nds 단위의 클린 가격(경과이자 미포함)
• 더티 가격(현금가격) = 클린 가격 + 경과이자. 실제 결제금액은 더티 가격

LO 45.d 핵심

• 전환계수: 인도 가능 채권의 시장가치 차이를 조정하는 계수
• 계산: 만기를 내림 → 6%(반기복리) 수익률로 클린 가격 계산 → 액면 1당 가격이 CF
• 쿠폰 < 6%이면 CF < 1, 쿠폰 > 6%이면 CF > 1

LO 45.e 핵심

• CTD: 인도 비용 = 채권 호가 - (QFP x CF)가 최소인 채권
• 전환계수 시스템은 불완전하여 하나의 채권이 인도에 가장 유리함

LO 45.f 핵심

• 수익률 > 6%: 저쿠폰/장기 CTD. 수익률 < 6%: 고쿠폰/단기 CTD
• 우상향 곡선: 장기만기 CTD. 우하향(역전) 곡선: 단기만기 CTD
• 와일드카드 플레이: 숏에게 유리한 옵션으로 선물가격을 낮추는 효과

LO 45.g 핵심

• 이론 선물가격 = (현금 선물가격 - 인도 시 경과이자) / 전환계수
• 현금 선물가격은 보유비용 모형: \(F_0^{cash} = (S_0^{cash} - PV(\text{Coupons})) \times e^{rT}\)
• \(S_0^{cash}\)는 반드시 더티 가격(클린 + AI)으로 시작

LO 45.h 핵심

• 듀레이션 헤지 계약 수: \(N = -\frac{P \times D_P}{F \times D_F}\)
• 음수 부호 = 원래 포지션의 반대 방향. 롱 포트폴리오에 대해 선물 숏

LO 45.i 핵심

• 듀레이션은 선형 근사 → 큰 수익률 변화에서 부정확
• 평행이동 가정 → 비평행 곡선 이동 시 헤지 실패
• 금리 변화가 크고 비평행적일 때 듀레이션 헤지는 저조한 성과

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시험 대비 한 줄 암기 체크리스트

주제	암기 포인트
일수계산 3종	Actual/Actual(국채), 30/360(회사채), Actual/360(머니마켓)
T-bond 호가 단위	32nds. 예: 95-05 = 95 + 5/32 = 95.15625
더티 가격	Dirty = Clean + AI (실제 결제금액)
T-bill 현금가격	\(Y = 100 - (\text{할인율} \times n/360)\). 할인율 ≠ 실제 수익률
전환계수 기준	6%(반기복리) 수익률 가정. 쿠폰 < 6% → CF < 1
만기 내림	10년+ → 3개월 단위 내림, 단기(2·5년) → 1개월 단위 내림
인보이스 금액	(QFP x CF) + AI
CTD 판정	채권 호가 - (QFP x CF) → 최소
CTD와 금리	수익률 > 6% → 저쿠폰/장기. 수익률 < 6% → 고쿠폰/단기
CTD와 곡선	우상향 → 장기 CTD. 우하향 → 단기 CTD
와일드카드 플레이	오후 2시 이후 현물 가격 하락 → 숏에게 유리한 옵션
이론 선물가격	\(\frac{F_0^{cash} - AI_{delivery}}{CF}\). \(S_0\)는 더티 가격으로 시작
헤지 계약 수	\(N = -\frac{P \times D_P}{F \times D_F}\). 음수 = 숏
듀레이션 한계 1	선형 근사 → 큰 금리 변화 시 컨벡시티 오차
듀레이션 한계 2	평행이동 가정 → 비평행 곡선 이동 반영 불가
최악의 경우	금리 변화 크고 + 비평행적일 때 헤지 최저 성과
계산 순서	호가 → 클린 → AI → 더티 → CF/CTD → 보유비용 → 이론가격 → 헤지 계약 수

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