FRM part1. Reading 42: Properties of Interest Rates

 

FRM Part I - Reading 42
Properties of Interest Rates (이자율의 속성)

EXAM FOCUS

핵심 학습 목표

이 Reading은 단순히 금리의 정의를 암기하는 곳이 아닙니다. 핵심 목표는 "시장에 존재하는 다양한 채권 가격(Raw Data)에서 정교한 수익률 곡선(Spot Curve)을 도출하고, 더 나아가 미래의 금리(Forward Rate)를 계산하는 방법"을 완전히 이해하는 것입니다. 채권 가격에서 순수한 금리를 추출하는 부트스트래핑(Bootstrapping) 기법은 시험에서 반드시 손으로 풀 수 있어야 합니다. 또한 금리 변화에 따른 채권 가격 변동성을 설명하는 듀레이션(Duration)과 볼록성(Convexity)은 채권 리스크 관리의 핵심입니다.

시험에서 반드시 할 수 있어야 하는 것

• 이산 복리(Discrete)와 연속 복리(Continuous) 간의 상호 변환 계산
• 부트스트래핑을 이용한 현물 이자율(Spot Rate) 곡선 도출
• 현물 이자율로부터 선도 이자율(Forward Rate) 계산
• FRA(Forward Rate Agreement)의 현금흐름과 가치 평가 계산
• 듀레이션 + 볼록성을 결합한 채권 가격 변화 추정
• Macaulay Duration, Modified Duration, Dollar Duration의 관계와 차이
• 기간 구조 이론 3가지의 비교

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MODULE 42.1: 금리의 종류와 복리 (Types of Interest Rates & Compounding)

LO 42.a: 금리의 종류와 "진정한 무위험 금리"

금융공학의 수많은 공식(블랙-숄즈 등)에는 항상 \(r\)(무위험 이자율)이라는 변수가 등장합니다. 그렇다면 현실 세계에서 도대체 무엇을 \(r\)로 사용해야 할까요? 이자율 파생상품(Interest Rate Derivatives) 시장에서 핵심적인 역할을 하는 금리 유형들은 국채금리(Treasury Rate), 담보부 1일물 자금조달 금리(SOFR), RP금리(Repo Rate), 그리고 익일물 인덱스 스왑(OIS) 금리입니다. 중요한 원칙은 기초 상품의 신용 위험(Credit Risk)이 증가할수록 이자율이 높아진다는 것입니다.

1. 국채 금리 (Treasury Rates)

국채 금리는 정부가 자국 통화로 차입할 때 적용되는 금리입니다. 전통적으로 가장 안전하다고 여겨지며, 무위험 금리(Risk-Free Rate)로 간주됩니다. 정부가 파산할 확률은 극히 낮기 때문입니다. T-bill(단기 국채)과 T-bond(장기 국채)의 금리가 명목 무위험 금리의 벤치마크로 흔히 사용됩니다.

그러나 파생상품 트레이더들의 시각은 다릅니다. 트레이더들은 국채 금리가 무위험 금리로 사용되기에는 "너무 낮다(too low)"고 봅니다. 왜냐하면 은행과 금융기관이 규제 준수(Regulatory Requirements)를 위해 국채를 의무적으로 보유해야 하므로, 이 의무적 수요가 국채 가격을 인위적으로 높이고(=금리를 낮추고) 있기 때문입니다. 이렇게 왜곡된 금리는 트레이더의 자본의 기회비용(Opportunity Cost of Capital)을 정확히 반영하지 못합니다.

2. LIBOR (London Interbank Offered Rate)

LIBOR는 대규모 국제 은행들이 자금을 조달할 때 적용되던 금리, 즉 런던 은행 간 대출 금리의 표준이었습니다. 그러나 LIBOR는 실제 거래가 아닌 은행들의 "추정치(Estimates)"를 기반으로 산출되었기 때문에 잠재적 조작(Manipulation)에 노출되어 있었습니다. 이것이 LIBOR가 2023년 중반에 단계적으로 폐지(Phased Out)된 기여 요인 중 하나였습니다. 이제는 더 이상 사용되지 않지만, 과거 데이터나 기존 계약의 이해를 위해 알아둘 필요가 있습니다.

3. SOFR (Secured Overnight Financing Rate)

SOFR는 담보부(Secured) 1일물(Overnight) 금리로, 실제 거래(Actual Transactions)에서 파생됩니다. 구체적으로는 RP(환매조건부채권, Repo) 시장의 실거래 데이터를 기반으로 산출됩니다. 추정치가 아닌 실거래 기반이므로 조작이 거의 불가능합니다. SOFR는 LIBOR의 대체 금리(Proposed Replacement) 중 하나입니다.

4. RP 금리 (Repo Rate)

"Repo"란 환매조건부 매매 계약(Repurchase Agreement)의 약자입니다. Repo 계약에서 한쪽 당사자는 상대방에게 증권을 매도하되, 매도 당사자가 나중에 더 높은 지정 가격으로 재매수할 것이라는 양해하에 거래합니다. 이 가격 차이에 내포된 이자율이 RP 금리입니다. 가장 일반적인 형태는 익일물 환매조건부 계약(Overnight Repo)이며, 더 긴 기간의 계약은 기간물 RP(Term Repo)라고 합니다. 관련 당사자와 구조에 따라 다소의 신용 위험이 존재합니다.

5. 익일물 금리와 OIS (Overnight Indexed Swap)

익일물 금리(Overnight Rate)는 대형 금융기관이 익일물 시장에서 서로 차입하는 금리입니다. 미국에서는 이 금리를 연방기금금리(Federal Funds Rate)라 부르며, 중앙은행이 모니터링하고 영향력을 행사합니다. 금융기관이 익일물 금리로 자금을 차입(또는 대출)하면, 해당 기간 동안 지급(또는 수취)하는 금리는 익일물 금리들의 가중평균입니다.

익일물 인덱스 스왑(Overnight Indexed Swap, OIS)는 고정 금리를 변동 금리와 교환하는 이자율 스왑이며, 여기서 변동 금리는 해당 기간 동안의 익일물 연방기금금리들의 기하평균(Geometric Average)입니다. OIS에서의 고정 금리를 OIS 금리(OIS Rate)라 합니다. 고정 금리가 익일물 금리들의 기하평균보다 크면 고정금리 측이 차액을 지급하고, 그렇지 않으면 변동금리 측이 지급합니다.

왜 OIS가 "진정한 무위험 금리"인가:
OIS는 현재 파생상품 시장에서 단기 무위험 금리의 대리변수로 대접받습니다. 매일매일의 초단기 금리를 기하평균한 것이고, 원금을 실제로 주고받지 않고 차액만 교환(Swap)하므로 원금 손실 위험이 없습니다. 따라서 트레이더의 자본 기회비용을 가장 잘 반영한다고 평가받습니다.

금리 유형	기초(Basis)	담보 여부	현재 상태	무위험 적합성
국채 금리 (Treasury Rate)	정부 차입	정부 신용	사용 중	벤치마크로 쓰이나 규제수요로 인해 인위적으로 낮음
LIBOR	은행 간 추정치	무담보	2023년 폐지	조작 스캔들로 신뢰 상실
SOFR	RP 시장 실거래	담보부(Secured)	LIBOR 대체	실거래 기반으로 조작 불가
RP 금리 (Repo Rate)	증권 담보 대출	담보부	사용 중	다소의 신용 위험 존재
OIS 금리	익일물 금리 기하평균	원금교환 없음	사용 중	파생상품 시장의 단기 무위험 금리로 사용

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LO 42.b: 복리 빈도와 투자 가치 계산

파생상품 가격결정은 흔히 연속시간 수학(Continuous Time Mathematics)이라는 프레임워크를 사용합니다. 이 프레임워크에서는 수익률이 연속적으로 복리 계산(Continuously Compounded)된다고 가정합니다. 이것은 이론적 구성(Theoretical Construct)에 불과합니다. 수익률을 문자 그대로 연속적으로 복리 계산할 수는 없기 때문입니다. 그러나 미적분과 같은 수학적 처리가 훨씬 편리해지므로 금융공학 모델링에서 표준으로 사용됩니다. 다행히 이산 복리에서 연속 복리로의 변환은 직관적입니다.

이산 복리 (Discrete Compounding)

초기 투자금 \(A\)가 연이율 \(R\)로, 연간 \(m\)회 복리 계산되어 \(n\)년 동안 투자된다면, 미래가치는 다음과 같습니다:

$$FV_1 = A\left(1 + \frac{R}{m}\right)^{mn}$$

현실의 은행은 1년에 이자를 1번(\(m=1\), 연복리), 2번(\(m=2\), 반기복리), 혹은 12번(\(m=12\), 월복리) 지급합니다. 이자를 자주 줄수록(복리 횟수 \(m\)이 늘어날수록), "이자에 이자가 붙는" 속도가 빨라져 같은 명목 금리라도 미래가치는 커집니다.

연속 복리 (Continuous Compounding)

동일한 투자가 연속적으로 복리 계산된다면, 미래가치는:

$$FV_2 = Ae^{R \times n}$$

어떤 금리 \(R\)에 대해서든, \(FV_2\)는 항상 \(FV_1\)보다 큽니다. 그러나 \(m\)이 증가할수록 그 차이는 줄어들며, \(m\)이 무한대로 가면 차이는 0으로 수렴합니다. 이것이 바로 연속 복리가 이산 복리의 극한이라는 의미입니다.

이산 복리 ↔ 연속 복리 변환 (시험 핵심 포인트)

대부분의 상황에서 금리는 이산적으로 복리 계산되므로, 동일한 미래가치를 주는 연속 복리 금리를 찾아야 합니다. 변환의 핵심 논리는 "100원을 연이율 \(R_m\)으로 \(m\)회 복리 계산하여 1년 투자한 돈"과 "100원을 연속 복리 금리 \(R_c\)로 1년 투자한 돈"이 같아지도록 하는 것입니다:

기본 등식:

$$\left(1 + \frac{R_m}{m}\right)^{m} = e^{R_c}$$

이산 → 연속:

$$R_c = m \ln\left(1 + \frac{R_m}{m}\right)$$

연속 → 이산:

$$R_m = m\left(e^{R_c/m} - 1\right)$$

Professor's Note: \(R\) 또는 \(R_c\)를 대수적으로 풀기 위해서는, \(e\)가 자연로그(\(\ln\))의 밑(Base)이라는 점을 이해하는 것이 도움이 됩니다. 즉, 자연로그는 지수함수의 역함수입니다: \(e^{\ln(x)} = \ln(e^x) = x\). 따라서 \(R = e^x\)와 같은 등식이 주어지면, \(x = \ln(R)\)이 됩니다.

예제: 연속 복리 금리 계산

문제: 반기복리(\(m=2\))로 제시된 5% 금리에 대응하는 연속 복리 금리를 구하시오. 분기복리, 월복리, 주복리, 일복리에 대해서도 반복하시오.

풀이 (반기복리):

$$R_c = 2 \ln\left(1 + \frac{0.05}{2}\right) = 2 \ln(1.025) = 2 \times 0.02470 = 4.939\%$$

복리 빈도	\(m\)	이산 금리 \(R_m\)	연속 복리 금리 \(R_c\)
반기(Semiannual)	2	5.000%	4.939%
분기(Quarterly)	4	5.000%	4.969%
월(Monthly)	12	5.000%	4.990%
주(Weekly)	52	5.000%	4.998%
일(Daily)	365	5.000%	4.9997%

관찰: \(m\)이 증가할수록 이산 금리와 연속 복리 금리의 차이는 줄어듭니다. 연속 복리 금리는 항상 이산 복리 금리보다 조금 더 작게 나옵니다. 이는 연속 복리에서는 "이자에 이자가 붙는" 빈도가 무한하므로, 같은 미래가치를 달성하기 위해 더 낮은 명목 금리만 필요하기 때문입니다.

예제: 이산 복리 금리 계산 (역변환)

문제: 대출 금리가 연속 복리 기준 12%로 제시되어 있다. 이자가 월별로 지급된다면, 동등한 월복리 금리를 계산하시오.

풀이:

$$R_m = 12\left(e^{0.12/12} - 1\right) = 12\left(e^{0.01} - 1\right) = 12 \times 0.01005 = 12.06\%$$

연속 복리 12%는 월복리 12.06%와 동일합니다. 역변환에서는 이산 복리 금리가 연속 복리 금리보다 항상 약간 더 크게 나옵니다.

Module Quiz 42.1

1. 현재 가치가 $86.50이고 1년 후 미래 가치가 $100인 투자의 연속 복리 수익률은?

A. 13.62%
B. 14.50%
C. 15.61%
D. 16.38%

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MODULE 42.2: 현물 금리, 선도 금리, 그리고 부트스트래핑 (Spot Rates, Forward Rates & Bootstrapping)

이 모듈은 Reading 42의 심장부입니다. "채권 가격 → 현물 이자율 → 선도 이자율"로 이어지는 논리적 빌드업을 놓치면 뒤따라오는 내용들을 이해하기 어렵습니다.

LO 42.c: 쿠폰과 수익률(Yield)에 기반한 채권 가격 계산

LO 42.d: 현물 이자율을 사용한 채권의 이론적 가격 계산

1. 현물 이자율(Spot Rate)의 개념

현물 이자율(Spot Rate)은 제로쿠폰 채권 수익률(Zero-Coupon Bond Yield)에 대응하는 금리입니다. 특정 미래 시점 또는 만기에 발생하는 단일 현금흐름에 대한 적절한 할인율입니다. 현물 이자율은 제로 금리(Zero Rate)라고도 불립니다. 시장에서 관측되는 대부분의 이자율(이표채 수익률 등)은 현물 이자율이 아닙니다.

현물 이자율 \(z_t\)의 의미는 "지금부터 \(t\)시점까지 중간에 이자를 한 푼도 받지 않고(Zero-coupon), 만기에 원금과 이자를 한 번에 받을 때 적용되는 수익률"입니다.

2. 채권 가격의 본질: "이표채 = 제로쿠폰 채권의 묶음"

이표채(Coupon Bond)는 일련의 현금흐름을 지급합니다. 각 현금흐름을 독립적으로 보면 하나의 제로쿠폰 채권과 같습니다. 이 해석을 사용하면, 이표채는 여러 개의 제로쿠폰 채권의 결합입니다. 예를 들어, 1년 만기 반기 이표채는 '6개월 만기 제로쿠폰'과 '1년 만기 제로쿠폰'의 결합입니다.

따라서 채권의 정확한 이론적 가격(No-Arbitrage Price)을 구하려면, 뭉뚱그려진 하나의 만기수익률(YTM)로 할인하는 것이 아니라, 각 현금흐름이 발생하는 시점에 맞는 현물 이자율로 각각 따로따로 할인해서 더해야 합니다.

반기 이표채의 가격 공식 (이산 복리):

$$P = \sum_{t=1}^{T} \frac{CF_t}{\left(1 + \frac{z_t}{2}\right)^{t}}$$

여기서 \(CF_t\)는 \(t\)번째 반기에 발생하는 현금흐름, \(z_t\)는 해당 시점의 연율 현물 이자율입니다.

연속 복리 방식:

$$P = \sum_{t=1}^{T} CF_t \times e^{-z_t \times (t/2)}$$

두 접근법은 유사한 결과를 산출합니다. 시험에서는 어느 방법을 사용하든 가장 가까운 답을 선택하면 됩니다.

예제: 채권 가격 계산

문제: 다음의 연율 현물 이자율을 사용하여 액면가 $100, 2년 만기, 4% 반기 이표채의 가격을 구하시오.

기간	0.5년	1.0년	1.5년	2.0년
현물 이자율 \(z_t\)	2.5%	2.7%	2.9%	3.1%

풀이: 반기 쿠폰 = $100 x 4% / 2 = $2. 마지막 기에는 원금 $100 + 쿠폰 $2 = $102.

$$P = \frac{2}{(1+0.025/2)^1} + \frac{2}{(1+0.027/2)^2} + \frac{2}{(1+0.029/2)^3} + \frac{102}{(1+0.031/2)^4}$$ $$= \frac{2}{1.0125} + \frac{2}{(1.0135)^2} + \frac{2}{(1.0145)^3} + \frac{102}{(1.0155)^4}$$ $$= 1.9753 + 1.9468 + 1.9149 + 95.8738 = 101.71$$

3. 채권 수익률(Bond Yield)

채권의 수익률(Yield)은 채권의 현재가치를 시장 가격과 같게 만드는 단일 할인율입니다. 현물 이자율이 만기별로 다른 금리인 반면, 수익률은 모든 현금흐름에 대해 동일하게 적용되는 하나의 금리입니다. 재무계산기의 TVM 기능을 사용하여 계산할 수 있습니다.

액면 수익률(Par Yield)은 채권 가격을 액면가(Par Value)와 같게 만드는 금리입니다. 채권이 액면가에 거래될 때, 쿠폰 금리는 채권의 수익률과 같아집니다.

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LO 42.j: 부트스트래핑(Bootstrapping)을 이용한 제로쿠폰 금리 계산

이론적 현물 곡선(Theoretical Spot Curve)은 각 국채(T-bond)를 제로쿠폰 채권의 묶음(Package)으로 해석하여 도출됩니다. 각 채권의 가격을 이용하여 부트스트래핑 방법론(Bootstrapping Methodology)으로 현물 곡선을 계산합니다.

문제는 시장에 '현물 이자율'이 직접 고시되지 않는다는 점입니다. 시장에는 다양한 만기의 "이표채 가격"만 존재합니다. 마치 신발 끈을 아래에서부터 위로 묶어 올라가듯(Bootstrap), 가장 짧은 만기부터 하나씩 현물 이자율을 풀어내는 과정을 거칩니다.

부트스트래핑의 3단계 논리:

Step 1 (가장 짧은 만기): 6개월 만기 국채를 봅니다. 이 채권은 만기에 원금+이자를 한 번만 주므로 그 자체가 제로쿠폰 채권입니다. 채권 가격 공식으로부터 \(z_{0.5}\)를 바로 구합니다.

Step 2 (그다음 만기): 1년 만기 국채를 봅니다. 이 채권은 6개월에 쿠폰, 1년에 원금+쿠폰을 줍니다. 6개월 쿠폰은 방금 구한 \(z_{0.5}\)로 할인합니다. 채권 가격에서 6개월 쿠폰의 현재가치를 빼면, 남은 가치는 오로지 1년 뒤 현금흐름만 남습니다. 이것으로 \(z_{1.0}\)을 역산합니다.

Step 3 (반복): 구한 \(z_{0.5}, z_{1.0}\)을 이용해 1.5년 만기 채권에서 \(z_{1.5}\)를 구합니다. 이 과정을 만기별로 계속 반복합니다.

예제: 부트스트래핑 실전

주어진 정보:

만기	반기 쿠폰	채권 가격 (%)
6개월	6.125%	102.2969
1년	6.25%	104.0469
1.5년	다음 단계에서 활용	주어짐
2년	다음 단계에서 활용	주어짐

Step 1: 6개월 현물 이자율 \(z_1\)

6개월 만기 채권은 현금흐름이 단 한 번이므로 그 자체가 제로쿠폰 채권입니다:

$$102.2969 = \frac{100 + 3.0625}{(1 + z_1/2)^1}$$ $$1 + z_1/2 = \frac{103.0625}{102.2969} = 1.007489$$ $$z_1 = 2 \times 0.007489 = 1.497\%$$

6개월 현물 이자율(채권등가수익률 기준)은 1.497%입니다. 이 경우 YTM을 따로 구할 필요가 없습니다. 현금흐름이 하나뿐이므로 YTM과 현물 이자율이 동일하기 때문입니다.

Step 2: 1년 현물 이자율 \(z_2\)

1년 만기 채권은 6개월에 쿠폰 3.125, 1년에 원금+쿠폰 103.125를 줍니다. 6개월 쿠폰은 방금 구한 \(z_1 = 1.497\%\)로 할인합니다:

$$104.0469 = \frac{3.125}{(1 + 0.01497/2)^1} + \frac{103.125}{(1 + z_2/2)^2}$$

첫 번째 항을 계산하고, 두 번째 항에서 \(z_2\)를 역산하면:

$$z_2 = 2.148\%$$

Step 3~4: 동일한 논리를 반복하여 \(z_3, z_4\)를 순차적으로 구합니다.

시험 팁: 부트스트래핑 계산 과정이 꽤 깁니다. 재무계산기의 메모리(STO/RCL) 기능을 활용하여 중간값을 저장해두는 습관이 필수적입니다. 중간 계산에서 반올림 오차가 누적되면 최종 답이 크게 벗어날 수 있습니다.

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LO 42.h: 현물 이자율로부터 선도 이자율 계산

선도 이자율(Forward Rate)의 개념

선도 이자율(Forward Rate)은 현물 곡선이 특정 미래 기간에 대해 내포(Implied)하고 있는 이자율입니다. 현물 이자율이 다양한 만기에 대해 투자자가 실현하리라 기대하는 적절한 금리라는 점을 떠올리면, 선도 이자율은 "시장이 예측하는 미래 금리"라고 이해할 수 있습니다.

무차익 논리(No-Arbitrage Logic)

투자자가 다음 두 가지 투자 중 하나를 선택한다고 합시다:

전략 1: 2년간 \(z_2 = 2.915\%\)로 투자
전략 2: 1년간 \(z_1 = 2.136\%\)로 투자 후, 그 돈을 다시 1년간 선도 이자율로 재투자

두 전략이 2년 후 동일한 수익을 준다면, 어느 투자를 선택하든 상관없습니다. 이는 두 전략이 2년 후 동일한 미래가치를 제공한다는 것과 같습니다:

이산 복리에서의 선도 이자율 도출:

$$(1+z_2)^2 = (1+z_1) \times (1+F_{1,2})$$ $$F_{1,2} = \frac{(1+z_2)^2}{(1+z_1)} - 1$$

연속 복리에서의 선도 이자율 공식 (필수 암기):

$$R_{\text{Forward}} = \frac{R_2 T_2 - R_1 T_1}{T_2 - T_1}$$

등가 표현:

$$R_{\text{Forward}} = R_2 + (R_2 - R_1) \times \frac{T_1}{T_2 - T_1}$$

연속 복리를 사용하면 지수 법칙에 의해 곱셈이 덧셈이 되어 공식이 매우 깔끔해집니다. 직관적으로, 긴 기간(\(T_2\))의 총 이자 수익(\(R_2 T_2\))에서 짧은 기간(\(T_1\))의 총 이자 수익(\(R_1 T_1\))을 빼고, 남은 기간(\(T_2 - T_1\))으로 나누면 그 구간의 금리가 나옵니다.

예제 1: 선도 이자율 계산

문제: 1년 현물 이자율이 2.136%, 2년 현물 이자율이 2.915%(둘 다 연속 복리)일 때, 지금 시점에서 1년 후부터 2년까지의 1년 선도 이자율을 구하시오.

풀이:

$$R_{\text{Forward}} = \frac{0.02915 \times 2 - 0.02136 \times 1}{2 - 1} = \frac{0.05830 - 0.02136}{1} = 3.694\%$$

예제 2: 더 먼 미래의 선도 이자율

문제: 3년 현물 이자율이 7.424%, 4년 현물 이자율이 8.216%(둘 다 연속 복리)일 때, 지금 시점에서 3년 후부터 4년까지의 1년 선도 이자율을 구하시오.

풀이:

$$R_{\text{Forward}} = \frac{0.08216 \times 4 - 0.07424 \times 3}{4 - 3} = \frac{0.32864 - 0.22272}{1} = 10.592\%$$

현물 곡선과 선도 곡선의 관계:
현물 곡선이 우상향(Upward-Sloping)하면, 선도 금리 곡선도 우상향하며 현물 곡선 위에(Above) 위치합니다.
현물 곡선이 우하향(Downward-Sloping)하면, 선도 금리 곡선도 우하향하며 현물 곡선 아래에(Below) 위치합니다.

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LO 42.i: 선도 금리 계약(FRA)의 현금흐름 계산

선도 금리 계약(Forward Rate Agreement, FRA)은 두 당사자가 특정 미래 시점 동안 특정 원금에 일정 이자율이 적용될 것을 합의하는 선도 계약입니다. "미래의 금리를 사고파는 계약"이라고 이해할 수 있습니다. "3달 뒤 금리가 오를 것 같다"고 생각하면 고정 금리를 지급(Pay Fixed)하고 변동 금리를 수취하는 계약을 맺고, 반대로 금리 하락을 예상하면 고정을 받고 변동을 줍니다.

FRA의 \(T_2\) 시점 현금흐름 (\(R_K\) 수취 시):

$$\text{Cash Flow}_{T_2} = \text{Principal} \times (R_K - R_M) \times (T_2 - T_1)$$

FRA의 현재 가치:

$$V_{\text{FRA}} = \text{Principal} \times (R_K - R_M) \times (T_2 - T_1) \times e^{-R_2 T_2}$$

여기서 \(R_K\)는 계약 고정 금리, \(R_M\)은 실제 시장 변동 금리입니다.

함정 포인트 (FRA 정산 시점):
FRA의 정산금은 이론적으로 기간이 끝날 때(\(T_2\)) 주고받아야 하지만, 관행상 기간이 시작되는 시점(\(T_1\))에 미리 정산합니다. 따라서 계산된 금리 차액을 반드시 해당 기간만큼 할인(Discount)해줘야 합니다. 이 할인을 빼먹어서 틀리는 경우가 매우 빈번합니다.

예제: FRA 현금흐름 계산

문제: 투자자가 원금 $1,000,000에 대해 3개월 후의 3개월 금리 기준으로 고정 3%를 지급하는 FRA에 진입했다(즉, 6개월 후에 정산). 분기 복리 가정. 3개월 후 변동 금리가 1%라면 6개월 시점의 현금흐름은?

풀이: 투자자는 고정 3%를 지급하고 변동 1%를 수취합니다. 6개월 시점 현금흐름:

$$\$1{,}000{,}000 \times (0.01 - 0.03) \times 0.25 = -\$5{,}000$$

투자자는 $5,000을 지급합니다. 변동 금리(1%)가 고정 금리(3%)보다 낮으므로, 고정 금리 지급자에게 불리한 결과입니다.

예제: FRA 정산금 계산 (연속 복리 포함)

문제: 3개월 변동 금리 4%, 6개월 변동 금리 5%(둘 다 연속 복리). 투자자는 원금 $5,000,000에 대해 3개월~6개월 구간에서 분기 복리 기준 8%를 수취하는 FRA에 진입했다. FRA의 정산금을 계산하시오.

풀이:

Step 1: 3개월~6개월 구간의 선도 이자율(연속 복리) 계산:

$$R_F = \frac{0.05 \times 0.5 - 0.04 \times 0.25}{0.5 - 0.25} = \frac{0.025 - 0.01}{0.25} = 6\%$$

Step 2: 연속 복리 6%를 분기 복리로 변환:

$$R_M = 4(e^{0.06/4} - 1) = 4(e^{0.015} - 1) = 4 \times 0.01511 = 6.045\%$$

Step 3: FRA 정산금 계산 (6개월 시점):

$$\$5{,}000{,}000 \times (0.08 - 0.06045) \times 0.25 = \$24{,}438$$

Step 4: 3개월 시점으로 할인 (관행상 \(T_1\) 시점 정산):

$$\$24{,}438 \times e^{-0.05 \times 0.5} = \$24{,}438 \times 0.9753 = \$23{,}834$$

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LO 42.k: 이자율 기간 구조 이론

수익률 곡선이 왜 특정한 형태(우상향, 우하향, 평탄)를 띠는지 설명하는 이론들입니다.

이론	핵심 주장	수익률 곡선 형태 설명	한계/비판
시장 분할 이론 (Market Segmentation Theory)	채권 시장은 서로 다른 만기 구간으로 분할되어 있으며, 각 만기 범위 내의 수요와 공급이 해당 구간의 금리를 결정한다	각 구간의 수급에 따라 금리가 독립적으로 결정됨. 특정 형태를 예측하지 않음	현실 설명력 부족: 많은 투자자들이 이용 가능한 수익률의 매력도에 따라 만기 구간 사이를 이동하는 경향이 있음
기대 이론 (Expectations Theory)	선도 이자율은 기대 미래 현물 이자율에 대응한다. 즉, 선도 이자율이 미래 현물 이자율의 좋은 예측자	금리 상승 기대 → 우상향 금리 하락 기대 → 우하향	현실에서 우상향 수익률 곡선이 우하향보다 훨씬 더 빈번하게 나타남. 기대 이론에 따르면 우상향과 우하향이 비슷한 빈도로 발생해야 하므로 의문
유동성 선호 이론 (Liquidity Preference Theory)	대부분의 예금자(투자자)는 현재의 필요를 충족시키기 위해 단기 유동성 예금을 선호함. 더 장기로 투자하도록 유인하려면 중개기관이 유동성 프리미엄(Liquidity Premium)을 추가해야 함	장기로 갈수록 유동성 프리미엄이 쌓이므로 수익률 곡선이 일반적으로 우상향	기대 이론의 의문을 해소함. 금리 하락이 기대되더라도 유동성 프리미엄이 충분히 크면 우상향 가능

Module Quiz 42.2

1. 다음 연율 현물 이자율을 사용하여 액면가 $100, 2.5년 만기, 3% 반기 이표채의 가격은?
\(z_1 = 3\%, z_2 = 3.1\%, z_3 = 3.2\%, z_4 = 3.3\%, z_5 = 3.4\%\)

A. $97.27
B. $97.83
C. $98.15
D. $99.07

2. 연속 복리 기준 10년 현물 이자율이 5%, 9년 현물 이자율이 4.9%이다. 9년 후부터 10년까지의 1년 선도 이자율에 가장 가까운 것은?

A. 4.1%
B. 5.1%
C. 5.9%
D. 6.0%

3. 투자자가 원금 $1,000,000에 대해 계약 금리 5%로 1년 기간의 FRA에 진입했다(고정 수취). 기초 자산(대출) 만기 시 실제 금리가 6%라면, 현금흐름에 가장 가까운 것은?

A. -$10,000
B. -$1,000
C. +$1,000
D. +$10,000

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MODULE 42.3: 듀레이션과 볼록성 (Duration & Convexity)

채권 가격은 금리가 변하면 움직입니다. "얼마나 변하는가?"를 설명하는 것이 듀레이션과 볼록성입니다. 이 모듈은 채권 리스크 관리의 핵심이며, 시험 출제 빈도가 매우 높습니다.

LO 42.e: Macaulay Duration, Modified Duration, Dollar Duration

1. Macaulay Duration (맥컬리 듀레이션)

채권의 듀레이션(Duration)은 채권의 현금흐름이 수취될 때까지의 평균 시간입니다. 제로쿠폰 채권의 경우 이는 단순히 만기까지의 시간입니다. 이표채의 경우 듀레이션은 반드시 만기보다 짧습니다. 왜냐하면 만기 전에 쿠폰이 지급되므로, 투자 원금의 일부를 먼저 회수하기 때문입니다.

각 현금흐름이 수취될 때까지의 시간(연 단위)에 대한 가중치는, 각 쿠폰 지급액과 만기 지급액이 채권 가치에서 차지하는 비율입니다. 연속 복리 할인을 사용한 듀레이션 공식은:

$$D = \frac{\sum_{i=1}^{n} t_i \times c_i \times e^{-y \times t_i}}{B}$$

여기서 \(t_i\)는 \(i\)번째 현금흐름까지의 시간, \(c_i\)는 \(i\)번째 현금흐름, \(y\)는 연속 복리 수익률, \(B\)는 채권 가격입니다.

듀레이션 측정의 유용성은, 수익률 곡선의 평행 이동(Parallel Shift) \(\Delta y\)에 대한 채권 가격 \(B\)의 근사적 변화를 구할 수 있다는 데 있습니다:

$$\frac{\Delta B}{B} \approx -D \times \Delta y$$

금리가 오르면(\(\Delta y > 0\)) 채권 가격은 떨어지므로(\(\Delta B < 0\)) 식 앞에 마이너스(-)가 붙습니다.

수익률 변화는 흔히 베이시스 포인트(bp) 변화로 표현됩니다. 1bp = 0.01%. 따라서 100bp 변화 = 1%의 수익률 변화입니다.

수익률이 연속 복리로 표현될 때, 위의 듀레이션 측정치를 Macaulay Duration이라 합니다.

2. Modified Duration (수정 듀레이션)

Modified Duration은 수익률이 연속 복리가 아닌 다른 복리 빈도로 주어질 때 사용됩니다. 예를 들어, 수익률이 반기 복리 금리로 표현되면:

$$\text{Modified Duration} = \frac{\text{Macaulay Duration}}{1 + y/m}$$

여기서 \(m\)은 연간 복리 횟수입니다. \(m\)이 무한대로 갈 때(연속 복리) 두 측정치는 동일해지며 차이가 없습니다.

3. Dollar Duration (달러 듀레이션)

Dollar Duration은 단순히 Modified Duration에 채권 가격을 곱한 것입니다:

$$\text{Dollar Duration} = \text{Modified Duration} \times B$$

Dollar Duration은 금리 변화 시 채권 가격의 절대적(달러 단위) 변화를 추정할 때 유용합니다.

듀레이션 유형	정의	적용 조건	단위
Macaulay Duration	현금흐름 회수의 가중 평균 시간	수익률이 연속 복리로 표현될 때	연(Years)
Modified Duration	Macaulay Duration / \((1+y/m)\)	수익률이 이산 복리(\(m\)회/년)로 표현될 때	연(Years)
Dollar Duration	Modified Duration x 채권 가격	절대적 가격 변화 추정 시	달러($)

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LO 42.f: 듀레이션의 한계와 볼록성의 보완

듀레이션의 한계: "직선 근사"의 오차

듀레이션은 옵션이 없는 채권(Option-Free Bond)의 가격 변화에 대한 좋은 근사치이지만, 비교적 작은 금리 변화에서만 유효합니다. 금리 변화가 커질수록, 채권 가격/수익률 관계의 곡률(Curvature)이 더 중요해지며, 듀레이션 같은 선형 추정(Linear Estimate)은 오차를 포함하게 됩니다.

사실 채권 가격과 수익률의 관계는 (듀레이션이 가정하는) 직선이 아니라 볼록(Convex)합니다. 이 볼록성은 실제 가격과 추정 가격의 차이가 수익률 변동이 클수록 벌어진다는 것을 보여줍니다. 이것을 볼록성의 정도(Degree of Convexity)라 합니다.

볼록성(Convexity): "곡선 보정"

다행히 채권의 볼록성 양을 측정하여 듀레이션을 보충(Supplement)함으로써 가격 변화의 더 정확한 추정치를 얻을 수 있습니다. 볼록성이 하는 일은 듀레이션에 기반한 추정 가격 변화의 오차량을 설명하는 것입니다. 다시 말해, 볼록성은 듀레이션이 그린 직선을, 실제 가격 곡선에 더 가깝게 곡선으로 변환합니다.

볼록성 효과:

$$\text{Convexity Effect} = \frac{1}{2} \times C \times (\Delta y)^2$$

여기서 \(C\)는 볼록성 수치, \(\Delta y\)는 수익률 변화입니다.

Modified Convexity (Modified Duration과 함께 사용):

$$\text{Modified Convexity} = \frac{\text{Convexity}}{(1 + y/m)^2}$$

볼록성의 마법 — "Always Good" (옵션이 없는 채권):
옵션이 없는 일반 채권은 항상 양(+)의 볼록성을 가집니다. 이는 투자자에게 무조건 유리한 성질입니다:

금리가 떨어질 때(채권 가격 상승): 듀레이션이 예측한 것보다 더 많이 오릅니다 (가속도 효과)
금리가 오를 때(채권 가격 하락): 듀레이션이 예측한 것보다 더 적게 떨어집니다 (브레이크 효과)

즉, 볼록성은 가격 하락은 방어해주고 상승은 도와주는 "쿠션" 역할을 합니다. \((\Delta y)^2\)이므로 금리가 오르든 내리든 볼록성 효과의 부호는 항상 양(+)입니다. 따라서 옵션이 없는 채권에서 볼록성은 항상 듀레이션에 더해져서 가격 변동성 오차를 수정합니다.

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LO 42.g: 듀레이션과 볼록성을 결합한 채권 가격 변화 계산 (시험 출제 1순위)

듀레이션과 볼록성을 결합하면, 특히 큰 수익률 변동에 대해 채권 가격의 퍼센트 변화를 훨씬 더 정확하게 추정할 수 있습니다:

최종 가격 변화 공식:

$$\%\Delta P \approx \underbrace{[-D \times \Delta y]}_{\text{Duration Effect}} + \underbrace{\left[\frac{1}{2} \times C \times (\Delta y)^2\right]}_{\text{Convexity Effect}}$$

주의사항:
1. 볼록성 항 앞에 \(\frac{1}{2}\)이 붙습니다 (테일러 급수 확장의 2차항)
2. \(\Delta y\)를 제곱하므로, 금리가 오르든 내리든 볼록성 효과의 부호는 항상 플러스(+)
3. 볼록성 효과는 대체로 듀레이션 효과보다 훨씬 작습니다. 이는 볼록성이 듀레이션의 오차를 보정하는 역할이므로 당연합니다
4. \(\Delta y\)를 소수(Decimal)로 입력해야 합니다: 100bp = 0.01, 150bp = 0.015

예제 1: 듀레이션/볼록성 접근법으로 가격 변화 추정

문제: 10년 만기, 5%, 옵션 없는 채권이 현재 액면가에 거래되고 있다. 듀레이션 = 7, 볼록성 = 90일 때, 수익률 100bp 상승 및 하락의 효과를 추정하시오.

풀이 — 수익률 100bp 상승 (\(\Delta y = +0.01\)):

듀레이션 효과: \(-7 \times 0.01 = -0.07\) (즉, -7.00%)

볼록성 효과: \(0.5 \times 90 \times (0.01)^2 = +0.0045\) (즉, +0.45%)

총 변화: \(-7.00\% + 0.45\% = \mathbf{-6.55\%}\)

(듀레이션만 사용하면 -7.00%로 추정했을 것이나, 볼록성 보정으로 실제로는 덜 떨어집니다)

풀이 — 수익률 100bp 하락 (\(\Delta y = -0.01\)):

듀레이션 효과: \(-7 \times (-0.01) = +0.07\) (즉, +7.00%)

볼록성 효과: \(0.5 \times 90 \times (-0.01)^2 = +0.0045\) (즉, +0.45%)

총 변화: \(+7.00\% + 0.45\% = \mathbf{+7.45\%}\)

(듀레이션만 사용하면 +7.00%로 추정했을 것이나, 볼록성 보정으로 실제로는 더 많이 오릅니다)

시나리오	듀레이션 효과	볼록성 효과	총 가격 변화
금리 100bp 상승	-7.00%	+0.45%	-6.55%
금리 100bp 하락	+7.00%	+0.45%	+7.45%

핵심 관찰: 볼록성은 하락 시 손실을 줄이고(-6.55% vs -7.00%), 상승 시 이익을 키워줍니다(+7.45% vs +7.00%). 이것이 "볼록성은 항상 투자자에게 유리하다(Always Good)"의 의미입니다.

Module Quiz 42.3

1. 12년 만기, 8% 반기 이표채, 액면가 $100, 현재 가격 $78.75, 듀레이션 9.8년, 볼록성 130. 수익률이 150bp 하락하면 채권 가격은?

A. $67.17
B. $86.47
C. $91.48
D. $95.43

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Answer Key for Module Quizzes — 상세 해설

Module Quiz 42.1

Q1. 정답: B (14.50%)

풀이: 먼저 연간 복리 기준 수익률 \(R\)을 구합니다:

$$R = \frac{100}{86.50} - 1 = 0.15607 \quad (15.607\%)$$

이것은 \(m=1\)(연간 복리)의 실효 수익률입니다. 연속 복리로 변환:

$$R_c = 1 \times \ln(1.15607) = \ln(1.15607) = 0.1450 = 14.50\%$$

또는, \(86.50 \times e^{R_c} = 100\)에서 \(R_c = \ln(100/86.50) = \ln(1.15607) = 14.50\%\). (LO 42.b)

Module Quiz 42.2

Q1. 정답: D ($99.07)

풀이: 반기 쿠폰 = $100 x 3% / 2 = $1.5. 마지막(5번째) 기에는 $101.5.

$$B = \frac{1.5}{(1+0.03/2)^1} + \frac{1.5}{(1+0.031/2)^2} + \frac{1.5}{(1+0.032/2)^3} + \frac{1.5}{(1+0.033/2)^4} + \frac{101.5}{(1+0.034/2)^5}$$ $$= 1.478 + 1.455 + 1.430 + 1.405 + 93.30 = \$99.07 \quad \text{(LO 42.d)}$$

Q2. 정답: C (5.9%)

풀이: 연속 복리 선도 이자율 공식을 적용합니다:

$$R_F = R_2 + (R_2 - R_1) \times \frac{T_1}{T_2 - T_1} = 0.05 + (0.05 - 0.049) \times \frac{9}{10 - 9}$$ $$= 0.05 + 0.001 \times 9 = 0.05 + 0.009 = 5.9\% \quad \text{(LO 42.h)}$$

Q3. 정답: A (-$10,000)

풀이: 투자자는 고정 5%를 수취하고 실제 금리 6%를 지급합니다:

$$\$1{,}000{,}000 \times (0.05 - 0.06) \times 1 = -\$10{,}000 \quad \text{(LO 42.i)}$$

실제 금리(6%)가 계약 금리(5%)보다 높으므로, 고정 수취자에게 불리한 결과입니다.

Module Quiz 42.3

Q1. 정답: C ($91.48)

풀이: 듀레이션/볼록성 접근법을 적용합니다 (\(\Delta y = -0.015\), 즉 150bp 하락):

$$\%\Delta P = [(-)(9.80)(-0.015)] + [(0.5)(130)(-0.015)^2]$$ $$= [+0.147] + [0.5 \times 130 \times 0.000225]$$ $$= 0.147 + 0.014625 = 0.16163 \quad (16.16\%)$$

듀레이션 효과: \(-9.80 \times (-0.015) = +14.70\%\) (금리 하락이므로 가격 상승)

볼록성 효과: \(0.5 \times 130 \times 0.000225 = +1.46\%\) (추가 상승)

총 상승률: \(14.70\% + 1.46\% = 16.16\%\)

추정 가격:

$$78.75 \times (1 + 0.1616) = 78.75 \times 1.1616 = \$91.48 \quad \text{(LO 42.g)}$$

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Key Concepts 요약

LO 42.a: 이자율 파생상품 시장에서 핵심적인 금리 유형은 국채 금리, SOFR, RP 금리입니다. 국채 금리가 명목 무위험 금리의 벤치마크이나, 파생상품 트레이더들은 OIS 금리를 단기 무위험 금리로 사용합니다. OIS는 고정 금리를 익일물 연방기금금리의 기하평균(변동 금리)과 교환하는 스왑입니다.

LO 42.b: 초기 투자금 \(A\)의 미래가치: 이산 복리 \(A(1+R/m)^{mn}\), 연속 복리 \(Ae^{Rn}\). 연속 복리 변환: \(R_c = m\ln(1+R_m/m)\).

LO 42.c: 채권의 시장 가격은 쿠폰과 수익률(Yield)을 사용하여 계산됩니다. 수익률은 채권의 현재가치를 시장 가격과 같게 만드는 단일 할인율입니다.

LO 42.d: 제로(현물) 금리는 단일 시점의 단일 현금흐름에 대한 이자율입니다. 채권 가격은 각 현금흐름을 해당 만기의 적절한 현물 이자율로 할인하여 계산됩니다.

LO 42.e: 연속 복리 수익률 사용 시 Macaulay Duration과 Modified Duration은 동일합니다. 둘 다 수익률의 절대적 변화에 대한 채권의 퍼센트 가격 변화를 추정합니다. Dollar Duration = Modified Duration x 채권 가격.

LO 42.f: 듀레이션은 비교적 작은 금리 변화에서만 유효합니다. 금리 변화가 커지면 채권 가격/수익률 관계의 곡률이 중요해지며, 선형 추정인 듀레이션에 오차가 발생합니다. 볼록성을 측정하여 듀레이션을 보충함으로써 더 정확한 가격 변화 추정이 가능합니다.

LO 42.g: 수익률 곡선의 평행 이동 \(\Delta y\)에 대한 채권 가격의 근사적 변화: \(\%\Delta P \approx [-D \times \Delta y] + [\frac{1}{2} \times C \times (\Delta y)^2]\). 듀레이션과 볼록성을 결합하면 더 정확한 추정이 가능합니다.

LO 42.h: 선도 이자율은 현물 이자율로부터 계산됩니다. 현물 곡선이 우상향하면 선도 곡선도 우상향하며 현물 곡선 위에 위치합니다. 현물 곡선이 우하향하면 선도 곡선도 우하향하며 현물 곡선 아래에 위치합니다.

LO 42.i: FRA는 특정 미래 기간 동안 특정 원금에 일정 이자율이 적용될 것을 합의하는 선도 계약입니다. 관행상 FRA 기간 시작 시점에 정산되므로 할인이 필요합니다.

LO 42.j: 이론적 현물 곡선은 각 국채를 제로쿠폰 채권의 묶음으로 해석하여, 부트스트래핑 방법론으로 도출됩니다.

LO 42.k: 시장 분할 이론: 각 만기 구간의 수급이 독립적으로 금리 결정. 기대 이론: 선도 이자율 = 기대 미래 현물 이자율. 유동성 선호 이론: 기대 이론을 확장, 장기 금리에 유동성 프리미엄이 포함됨.

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암기 체크리스트

#	핵심 공식/개념	한줄 요약
1	\(R_c = m\ln(1 + R_m/m)\)	이산 → 연속 복리 변환. 연속 복리 금리가 항상 더 작음
2	\(R_m = m(e^{R_c/m} - 1)\)	연속 → 이산 복리 변환. 이산 복리 금리가 항상 더 큼
3	\(P = \sum CF_t / (1+z_t/2)^t\)	각 현금흐름을 해당 만기의 현물 이자율로 개별 할인
4	부트스트래핑 절차	짧은 만기부터 순차적으로 현물 이자율을 역산 (Step-by-Step)
5	\(R_F = (R_2T_2 - R_1T_1)/(T_2 - T_1)\)	연속 복리 선도 이자율. "총 이자수익 차이 / 남은 기간"
6	\(V_{FRA} = P \times (R_K - R_M)(T_2-T_1) \times e^{-R_2T_2}\)	FRA 가치 평가. 관행상 기간 시작 시점 정산이므로 반드시 할인
7	\(\Delta B/B \approx -D \times \Delta y\)	듀레이션: 금리 변화 시 가격 변화의 1차 근사 (직선)
8	Modified Duration = D / (1+y/m)	이산 복리 수익률 사용 시 Macaulay Duration을 조정
9	Dollar Duration = Modified D x B	절대적(달러 단위) 가격 변화 추정
10	Convexity Effect = \(\frac{1}{2}C(\Delta y)^2\)	항상 양(+). 하락 방어 + 상승 가속 = "Always Good"
11	\(\%\Delta P \approx -D\Delta y + \frac{1}{2}C(\Delta y)^2\)	최종 가격 변화: 듀레이션 + 볼록성 결합 (시험 1순위)
12	기간 구조 이론 3가지	시장 분할(수급 독립), 기대(Forward=기대 Spot), 유동성 선호(장기에 프리미엄)
13	OIS = 파생상품 시장의 무위험 금리	국채 금리는 규제수요로 인위적 저금리. OIS가 기회비용을 더 잘 반영
14	현물곡선 우상향 → 선도곡선은 위에	현물곡선 우하향 → 선도곡선은 아래에