FRM part1. Reading 39: Properties of Options

 

FRM Part I – Reading 39
옵션의 성질 (Properties of Options)

EXAM FOCUS

핵심 학습 목표

이 Reading은 옵션 프리미엄(가격)이 어떤 논리로 움직이는가를 체계적으로 분석합니다. Reading 38이 옵션의 시장 메커니즘(거래 구조, 분할/배당 시 계약 조정 등)을 다뤘다면, Reading 39는 한 단계 더 들어가서 옵션 가격 자체의 이론적 성질을 다룹니다. 핵심 관점은 하나입니다: "관계가 깨지는 가격이 나오면 무위험 차익거래가 생기고, 시장이 거래로 다시 원래 관계로 되돌린다." Reading 36(무차익/복제 포트폴리오) 사고방식을 옵션에 그대로 적용하는 장입니다.

시험에서 반드시 할 수 있어야 하는 것

• 옵션 가격을 움직이는 6가지 요인과 각 요인이 콜/풋에 미치는 방향 판단
• 유럽형/미국형 옵션의 상한선(Upper Bound)과 하한선(Lower Bound) 계산
• 풋-콜 패리티(Put-Call Parity)를 이용한 옵션 가격 산출 및 합성 포지션 구성
• 미국형 옵션의 조기행사(Early Exercise)가 최적인 조건과 그 논리적 근거
• 배당이 옵션 가격 경계와 풋-콜 패리티에 미치는 영향
• 포워드 가격을 이용한 풋-콜 패리티 표현

이 Reading은 정량적 계산과 정성적 논리가 혼합되어 있습니다. 특히 가격 경계(Pricing Bounds) 계산, 풋-콜 패리티 활용 문제, 미국형 옵션 조기행사 논리가 시험에 매우 빈출됩니다. 단순 암기보다는 "왜 그 관계가 성립하는가"를 차익거래 관점에서 이해하는 것이 핵심입니다.

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MODULE 39.1: 옵션 가격을 움직이는 6가지 요인

LO 39.a: 옵션 가격에 영향을 미치는 6가지 요인 식별

옵션의 가격(프리미엄)은 6가지 요인에 의해 결정됩니다. 시험에서는 거의 항상 "다른 조건이 동일할 때(ceteris paribus)" 한 가지 변수가 변화하면 콜/풋 가격이 어느 방향으로 움직이는지를 묻습니다. 여기서 중요한 것은 단순 암기보다 왜 그런 방향이 되는지를 직관적으로 이해하는 것입니다.

1. 기초자산 가격 \(S_0\): ITM으로 갈수록 가치 상승

옵션은 결국 "정해진 가격 \(X\)로 사거나 팔 권리"입니다. 따라서 기초자산 가격 \(S_0\)가 움직이면, 그 옵션이 얼마나 유리한 권리인지(머니니스, Moneyness)가 직접적으로 변합니다.

콜 옵션(Call Option)은 "\(X\)에 살 권리"입니다. 현재 주가 \(S_0\)가 상승하면 행사가 \(X\)에 살 수 있는 권리가 더 유리해집니다. 예컨대, 행사가 $50인 콜 옵션을 보유한 상태에서 주가가 $45에서 $55로 올랐다면, 시장에서 $55에 거래되는 주식을 $50에 살 수 있으므로 그 권리의 가치는 당연히 커집니다. 반대로 주가가 하락하면, 시장에서 더 싸게 살 수 있으므로 굳이 행사가로 매수할 이유가 줄어들고 콜의 가치는 떨어집니다.

풋 옵션(Put Option)은 "\(X\)에 팔 권리"입니다. 주가가 상승하면 시장에서 더 비싸게 팔 수 있으므로 행사가 \(X\)에 팔 이유가 줄어들어 풋 가치가 하락합니다. 반대로 주가가 하락하면 행사가로 파는 것이 유리해지므로 풋 가치가 상승합니다.

핵심 원리: 옵션은 내가격(ITM) 방향으로 움직일수록 가치가 커진다. 콜은 \(S_0 \uparrow\)이면 가치\(\uparrow\), 풋은 \(S_0 \uparrow\)이면 가치\(\downarrow\).

2. 행사가 \(X\): 기초자산 가격 효과의 정반대

행사가는 콜 보유자에게는 "내가 내야 하는 가격"이고, 풋 보유자에게는 "내가 받을 가격"입니다. 따라서 행사가의 변화는 기초자산 가격 변화와 정확히 반대 방향으로 작용합니다.

콜 옵션의 경우, 행사가 \(X\)가 높아지면 매수 시 더 많은 금액을 지불해야 하므로 콜의 가치는 하락합니다. 예를 들어, 같은 주식에 대해 행사가 $50인 콜과 행사가 $60인 콜을 비교하면, 주가가 동일한 상황에서 $50에 살 권리가 $60에 살 권리보다 당연히 더 가치가 있습니다.

풋 옵션의 경우, 행사가 \(X\)가 높아지면 매도 시 더 많은 금액을 받을 수 있으므로 풋의 가치는 상승합니다. 행사가 $60인 풋은 행사가 $50인 풋보다 더 비싼 가격에 팔 수 있는 권리이므로 가치가 더 큽니다.

핵심 원리: \(X\)는 옵션을 ITM/OTM으로 만드는 축이므로, 그 효과가 \(S_0\)와 정반대 방향이다. 콜은 \(X \uparrow\)이면 가치\(\downarrow\), 풋은 \(X \uparrow\)이면 가치\(\uparrow\).

3. 만기까지 시간 \(T\): "시간 = 기회"이나, 유럽형에는 예외가 존재

시간은 옵션에게 "유리한 방향으로 움직일 기회"를 부여합니다. 만기까지 시간이 길수록 기초자산 가격이 유리한 방향으로 변동할 가능성이 커지기 때문입니다. 그러나 미국형 옵션과 유럽형 옵션에서의 영향을 명확히 구분해야 합니다.

미국형 옵션(American Options)은 만기 이전 어느 시점에서든 행사가 가능합니다. 만기가 길어지면 기존 만기까지의 모든 행사 기회에 추가적인 행사 기회가 더해지는 구조입니다. 따라서 시간이 증가하면 미국형 옵션의 가치는 항상 증가합니다. 3개월 만기 미국형 옵션은 1개월 만기 미국형 옵션이 가진 모든 행사 권리를 포함하면서 2개월의 추가 기회까지 가지고 있기 때문입니다.

유럽형 옵션(European Options)은 만기에만 행사가 가능하므로, "시간이 길면 항상 가치가 높다"고 단정할 수 없습니다. 대표적인 예외 상황이 배당입니다. 동일 기초자산, 동일 행사가의 1개월 만기 콜과 3개월 만기 콜이 있고, 2개월 후에 큰 배당이 예정되어 있다고 가정합시다. 배당 지급 시 주가가 배당만큼 하락(배당락)하는데, 3개월 만기 콜은 이 배당락 효과를 겪어야 합니다. 반면 1개월 만기 콜은 배당락 이전에 만기가 도래하므로 이 부정적 효과를 피합니다. 결과적으로 1개월 만기 유럽형 콜이 3개월 만기 유럽형 콜보다 더 비쌀 수 있습니다.

시험 함정 주의: "시간이 길면 옵션 가치가 항상 증가한다"는 문장은 미국형 옵션에만 안전하게 적용할 수 있습니다. 유럽형 옵션에 대해서는 일반적인 진술을 할 수 없으며, 특히 배당이 존재하는 경우 예외가 발생할 수 있습니다.

4. 무위험이자율 \(r\): \(PV(X)\)를 통한 간접 효과

옵션의 행사가 \(X\)는 미래에 주고받는 금액입니다. 콜 보유자는 만기에 \(X\)를 지불하고, 풋 보유자는 만기에 \(X\)를 수취합니다. 이자율이 변하면 이 미래 현금흐름의 현재가치 \(PV(X)\)가 변하고, 이것이 옵션 가치에 영향을 미칩니다.

이자율 \(r\)이 상승하면 \(PV(X) = \frac{X}{(1+r)^T}\)가 감소합니다. 이때 콜 옵션 보유자 입장에서는 미래에 \(X\)를 "지불"해야 하는데, 그 지불 부담의 현재가치가 줄어드는 셈이므로 콜의 가치가 상승합니다. 직관적으로 말하면, 행사가를 나중에 내도 되는 구조에서 이자율이 오르면 "기다리는 동안 돈을 더 불릴 수 있으므로" 콜 보유가 더 매력적이 됩니다.

반대로 풋 옵션 보유자는 미래에 \(X\)를 "수취"하는 구조인데, 이자율 상승으로 \(PV(X)\)가 줄면 받을 금액의 현재가치가 낮아지므로 풋의 가치가 하락합니다.

이자율 효과 메커니즘:

$$r \uparrow \;\Rightarrow\; PV(X) = \frac{X}{(1+r)^T} \downarrow$$

콜: 미래에 \(X\)를 "지불" → 부담의 현재가치 감소 → 콜 가치 상승
풋: 미래에 \(X\)를 "수취" → 수취액의 현재가치 감소 → 풋 가치 하락

5. 배당 \(D\): 옵션 보유자는 배당을 받지 못한다

옵션을 보유하고 있다고 해서 기초자산인 주식을 직접 보유하는 것은 아닙니다. 따라서 옵션 보유자는 배당을 직접 수취할 수 없습니다. 더 중요한 점은, 배당 지급 시점에 주가가 통상적으로 배당금만큼 하락(배당락, Ex-Dividend)한다는 사실입니다.

배당이 증가하면 배당락으로 인한 주가 하락 폭이 커지므로, 콜 옵션에는 불리합니다. 콜은 주가 상승으로 이익을 보는 구조인데, 배당이 주가를 끌어내리기 때문입니다. 반대로 풋 옵션에는 유리합니다. 풋은 주가 하락으로 이익을 보는 구조이고, 배당으로 인한 주가 하락은 풋 보유자에게 플러스 요인이 됩니다.

핵심 원리: 배당은 콜의 가치를 깎고, 풋의 가치를 올린다. 옵션 보유자는 배당을 직접 받지 못하며, 배당락으로 인한 주가 하락의 간접 효과만 받는다.

6. 변동성 \(\sigma\): 옵션의 가장 강력한 우군

변동성은 옵션 가치에 영향을 미치는 요인 중 가장 독특한 성질을 가지고 있습니다. 변동성이 증가하면 콜과 풋 모두의 가치가 상승합니다. 이는 옵션의 payoff 구조가 비대칭(Asymmetric)이기 때문입니다.

롱 옵션 포지션의 최대 손실은 지불한 프리미엄으로 고정되어 있습니다. 주가가 아무리 불리한 방향으로 움직여도 옵션을 행사하지 않으면 됩니다. 반면, 유리한 방향으로의 이익은 제한이 없습니다(콜의 경우) 또는 행사가까지 가능합니다(풋의 경우). 변동성이 높아지면 주가가 극단적으로 움직일 확률이 커지는데, 불리한 방향의 극단적 움직임은 프리미엄 손실에서 멈추고(downside 제한), 유리한 방향의 극단적 움직임은 큰 이익으로 이어집니다(upside 확대). 이 비대칭 구조 때문에 변동성 증가의 순효과는 항상 양(+)입니다.

많은 전문가들이 변동성을 옵션 가치 평가에서 가장 중요한 요인으로 꼽습니다. 실무에서 옵션 트레이더들이 "옵션 가격"이 아니라 "내재변동성(Implied Volatility)"으로 호가를 주고받는 이유도 이 때문입니다.

핵심 원리: \(\sigma \uparrow\) → 콜 가치 상승, 풋 가치 상승. 변동성은 모든 옵션의 친구다. 이는 옵션 payoff의 비대칭 구조(downside 제한, upside 개방) 때문이다.

6가지 요인 효과 종합 정리

요인	유럽형 콜 (\(c\))	미국형 콜 (\(C\))	유럽형 풋 (\(p\))	미국형 풋 (\(P\))
기초자산 가격 \(S_0 \uparrow\)	+	+	−	−
행사가 \(X \uparrow\)	−	−	+	+
만기 \(T \uparrow\)	?	+	?	+
무위험이자율 \(r \uparrow\)	+	+	−	−
배당 \(D \uparrow\)	−	−	+	+
변동성 \(\sigma \uparrow\)	+	+	+	+

시험 함정 주의: 만기까지 시간 \(T\)의 효과에서 유럽형 옵션은 "?"로 표기합니다. 이는 배당 등의 이벤트에 따라 더 긴 만기가 반드시 더 높은 가치를 의미하지 않기 때문입니다. 미국형 옵션만 \(T \uparrow\)이면 확실히 가치가 상승합니다.

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MODULE 39.2: 옵션 가격의 상한선과 하한선

LO 39.b: 배당/무배당 주식 옵션의 상한선과 하한선 식별 및 계산

이 파트는 옵션이 이론적으로 가질 수 있는 가격의 합리적 범위를 설정합니다. 핵심 태도는 단 하나입니다: "경계를 깨는 가격이 나오면 무위험 차익거래(Riskless Arbitrage)가 가능해지고, 그 거래가 곧바로 가격을 합리적 범위로 되돌린다." 다음 가정 하에 논의를 진행합니다: 거래비용 없음, 모든 이익에 동일한 세율 적용, 무위험이자율로 차입/대출 가능.

표기법 정리

기호	의미
\(S_0\)	현재 기초자산(주식) 가격
\(X\)	행사가 (Strike Price)
\(T\)	만기까지의 기간
\(r\)	무위험이자율 (Risk-Free Rate)
\(c, p\)	유럽형 콜/풋 옵션 가격
\(C, P\)	미국형 콜/풋 옵션 가격
\(PV(X)\)	행사가의 현재가치 = \(\dfrac{X}{(1+r)^T}\)
\(D\)	배당의 현재가치

1. 상한선 (Upper Bounds)

(1) 콜 옵션 상한: \(c \le S_0\), \(C \le S_0\)

콜 옵션은 "주식을 행사가에 살 권리"입니다. 이 권리의 가격이 주식 자체의 가격보다 비싸다면, 합리적인 투자자라면 누구나 비싼 옵션을 매도하고 동시에 싼 주식을 매수하여 무위험 이익을 실현할 것입니다. 시장에서 이런 차익거래가 발생하면 옵션 가격은 하락하고 주가는 상승하여, 결국 관계가 복원됩니다. 이 논리는 유럽형과 미국형 모두에 동일하게 적용됩니다.

$$c \le S_0, \quad C \le S_0$$

콜 옵션의 가격은 기초자산 가격을 초과할 수 없다

(2) 풋 옵션 상한: \(p \le X\), \(P \le X\)

풋 옵션은 "주식을 행사가 \(X\)에 팔 권리"입니다. 풋 보유자가 받을 수 있는 최대 금액은 주가가 0이 되었을 때의 \(X\)입니다. 따라서 풋 옵션의 가격이 행사가 \(X\)를 초과할 수는 없습니다. 만약 그렇다면, 누구나 풋을 매도하고 그 대금을 무위험이자율로 투자하여 확실한 이익을 얻을 수 있습니다.

$$p \le X, \quad P \le X$$

풋 옵션의 가격은 행사가를 초과할 수 없다

(3) 유럽형 풋의 더 강한 상한: \(p \le PV(X)\)

유럽형 풋은 조기행사가 불가능하므로, 만기에서야 비로소 \(X\)를 받을 수 있습니다. 따라서 오늘 관점에서 유럽형 풋이 가질 수 있는 최대 가치는 \(X\)가 아니라 \(X\)의 현재가치인 \(PV(X)\)입니다. 미국형 풋은 지금 당장 행사하여 \(X\)를 받을 수 있지만, 유럽형은 반드시 만기까지 기다려야 하므로 시간가치만큼 할인이 적용됩니다.

$$p \le PV(X) = \frac{X}{(1+r)^T}$$

유럽형 풋의 상한은 행사가의 현재가치로 제한된다

2. 하한선 (Lower Bounds): 지배 포트폴리오(Dominance) 논리

하한선을 도출하는 핵심 논리는 지배 포트폴리오(Dominance Portfolio) 개념입니다: "만기에 항상 더 크거나 같은 payoff를 제공하는(지배하는) 포트폴리오는, 오늘도 더 비싸거나 같아야 한다." 만약 더 싸다면 차익거래 기회가 존재합니다.

(1) 배당 없는 유럽형 콜의 하한

두 포트폴리오를 비교합니다:

포트폴리오	구성	만기 Payoff (\(S_T > X\)일 때)	만기 Payoff (\(S_T \le X\)일 때)
\(P_1\)	유럽형 콜(\(c\)) + 만기 \(X\) 지급 무위험채권(\(PV(X)\))	\(S_T - X + X = S_T\)	\(0 + X = X\)
\(P_2\)	주식 1주 (\(S_0\))	\(S_T\)	\(S_T\)

만기 시점에서 \(P_1\)의 payoff는 \(\max(S_T, X)\)이고, \(P_2\)의 payoff는 \(S_T\)입니다. \(\max(S_T, X) \ge S_T\)는 항상 성립하므로, 만기에서 \(P_1\)이 항상 \(P_2\) 이상의 가치를 가집니다. 무차익거래 원칙에 의해 현재에도 \(P_1 \ge P_2\)가 성립해야 합니다.

$$c + PV(X) \ge S_0 \quad \Rightarrow \quad c \ge S_0 - PV(X)$$

콜 옵션의 가격은 음수가 될 수 없으므로, 최종 하한은:

$$c \ge \max\big(S_0 - PV(X),\; 0\big)$$

(2) 배당 없는 유럽형 풋의 하한

마찬가지로 두 포트폴리오를 비교합니다:

포트폴리오	구성	만기 Payoff (\(S_T \ge X\)일 때)	만기 Payoff (\(S_T < X\)일 때)
\(P_3\)	유럽형 풋(\(p\)) + 주식 1주(\(S_0\))	\(0 + S_T = S_T\)	\(X - S_T + S_T = X\)
\(P_4\)	만기 \(X\) 지급 무위험채권(\(PV(X)\))	\(X\)	\(X\)

만기 시점에서 \(P_3\)의 payoff는 \(\max(S_T, X)\)이고, \(P_4\)의 payoff는 \(X\)입니다. \(\max(S_T, X) \ge X\)는 항상 성립하므로, \(P_3\)이 항상 \(P_4\) 이상의 가치를 가집니다. 따라서 현재에도 \(P_3 \ge P_4\)가 성립해야 합니다.

$$p + S_0 \ge PV(X) \quad \Rightarrow \quad p \ge PV(X) - S_0$$

풋 옵션의 가격은 음수가 될 수 없으므로, 최종 하한은:

$$p \ge \max\big(PV(X) - S_0,\; 0\big)$$

(3) 미국형 옵션의 하한: 내재가치가 최저선

미국형 옵션은 언제든 행사가 가능하므로, 즉시행사 시 얻을 수 있는 내재가치(Intrinsic Value)가 최소 가격 역할을 합니다. 만약 옵션 가격이 내재가치보다 낮다면, 누구나 그 옵션을 매수하여 즉시 행사함으로써 무위험 이익을 실현할 수 있습니다.

미국형 콜 하한: $$C \ge \max(S_0 - X,\; 0)$$ 미국형 풋 하한: $$P \ge \max(X - S_0,\; 0)$$

또한 미국형 옵션은 유럽형 옵션의 모든 권리에 더하여 "조기행사 권리"라는 추가 가치를 가지므로, 항상 대응하는 유럽형 옵션 이상의 가치를 가집니다:

$$C \ge c, \quad P \ge p$$

미국형 옵션 가격은 항상 대응하는 유럽형 옵션 가격 이상이다

3. 옵션 가격 경계 종합 정리

옵션 유형	하한 (Lower Bound)	상한 (Upper Bound)
유럽형 콜 (\(c\))	\(\max(S_0 - PV(X),\; 0)\)	\(S_0\)
미국형 콜 (\(C\))	\(\max(S_0 - PV(X),\; 0)\)	\(S_0\)
유럽형 풋 (\(p\))	\(\max(PV(X) - S_0,\; 0)\)	\(PV(X)\)
미국형 풋 (\(P\))	\(\max(X - S_0,\; 0)\)	\(X\)

시험 함정 주의:
- 미국형 콜의 하한이 \(\max(S_0 - X, 0)\)이 아니라 \(\max(S_0 - PV(X), 0)\)인 이유: 배당이 없는 주식의 미국형 콜은 조기행사가 비합리적이므로 \(C = c\)이며, 유럽형 콜과 동일한 하한을 가집니다.
- 미국형 풋의 하한은 \(\max(X - S_0, 0)\)입니다. 유럽형 풋의 하한 \(\max(PV(X) - S_0, 0)\)보다 더 강한(큰) 하한입니다.

예시 1: 미국형 vs 유럽형 풋의 최소 가격

조건: 4개월 만기, 행사가 $65, 현재 주가 $63, 무위험이자율 5%, 배당 없음

미국형 풋 하한:

$$P \ge \max(X - S_0, \; 0) = \max(65 - 63, \; 0) = \$2.00$$

유럽형 풋 하한:

$$p \ge \max\left(PV(X) - S_0, \; 0\right) = \max\left(\frac{65}{1.05^{4/12}} - 63, \; 0\right) = \max(63.94 - 63, \; 0) = \$0.94$$

미국형 풋의 최소 가격($2.00)이 유럽형 풋의 최소 가격($0.94)보다 더 높습니다. 이는 미국형 풋의 조기행사 권리가 추가 가치를 제공하기 때문입니다.

예시 2: 미국형 vs 유럽형 콜의 최소 가격

조건: 3개월 만기, 행사가 $65, 현재 주가 $68, 무위험이자율 5%, 배당 없음

미국형 콜 하한 = 유럽형 콜 하한: (배당 없는 주식이므로 \(C = c\))

$$c \ge \max\left(S_0 - PV(X), \; 0\right) = \max\left(68 - \frac{65}{1.05^{3/12}}, \; 0\right) = \max(68 - 64.21, \; 0) = \$3.79$$

배당이 없으므로 미국형 콜의 조기행사 가치가 없어 두 하한이 동일합니다.

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LO 39.c: 풋-콜 패리티 (Put-Call Parity)

풋-콜 패리티는 유럽형 옵션의 무차익거래(No-Arbitrage) 등식입니다. 이 등식은 공식 자체를 외우는 것도 중요하지만, 본질을 이해하는 것이 더 중요합니다. 핵심 원리는: "만기에 현금흐름이 완전히 동일한 두 포트폴리오는, 오늘 가격도 반드시 동일해야 한다."

1. 풋-콜 패리티의 도출

풋-콜 패리티의 도출은 두 포트폴리오 조합의 만기 payoff를 비교하는 것에서 출발합니다.

Fiduciary Call(신탁형 콜)은 행사가 \(X\)인 유럽형 콜 옵션과, 만기에 \(X\)를 지급하는 무이표(Zero-coupon) 무위험채권의 조합입니다. 만기 payoff를 분석하면, 콜이 외가격(OTM)일 때 행사하지 않으므로 채권의 \(X\)만 남고, 콜이 내가격(ITM)일 때는 \((S_T - X) + X = S_T\)가 됩니다. 즉, Fiduciary Call의 만기 payoff는 \(\max(S_T, X)\)입니다.

Protective Put(보호형 풋)은 주식 1주와 그 주식에 대한 유럽형 풋 옵션의 조합입니다. 풋이 내가격(ITM)일 때의 payoff는 \((X - S_T) + S_T = X\)이고, 풋이 외가격(OTM)일 때는 주식 가치 \(S_T\)만 남습니다. 즉, Protective Put의 만기 payoff 역시 \(\max(S_T, X)\)입니다.

두 포트폴리오의 만기 payoff가 완전히 동일하므로, 무차익거래 원칙에 의해 오늘의 가격도 동일해야 합니다.

풋-콜 패리티 (Put-Call Parity):

$$c + PV(X) = p + S_0$$

Fiduciary Call = Protective Put

중요 전제조건:
- 옵션은 반드시 유럽형이어야 합니다 (미국형에는 등식이 아닌 부등식 적용)
- 콜과 풋의 행사가(\(X\))가 동일해야 합니다
- 콜과 풋의 만기가 동일해야 합니다
- 무위험채권의 액면가가 행사가 \(X\)와 동일해야 합니다

2. 합성 포지션 (Synthetic Positions) 만들기

풋-콜 패리티를 재배열하면, 시장에서 직접 거래하기 어려운 증권을 옵션, 채권, 주식의 조합으로 합성(복제)할 수 있습니다. 이것이 풋-콜 패리티의 실전적 활용입니다.

합성 대상	패리티 재배열	의미 (+ = 롱, − = 숏)
합성 주식	\(S_0 = c - p + PV(X)\)	콜 매수 + 풋 매도 + 채권 매수
합성 콜	\(c = p + S_0 - PV(X)\)	풋 매수 + 주식 매수 + 차입
합성 풋	\(p = c - S_0 + PV(X)\)	콜 매수 + 주식 매도 + 채권 매수
합성 채권	\(PV(X) = p + S_0 - c\)	풋 매수 + 주식 매수 + 콜 매도

부호 해석법: 패리티를 원하는 증권에 대해 풀어낸 후, 양(+) 부호는 해당 증권의 롱(매수) 포지션을, 음(−) 부호는 숏(매도/차입) 포지션을 의미합니다.

예시: 풋-콜 패리티를 이용한 콜 가격 산출

조건: 현재 주가 $52, 무위험이자율 5%, 3개월 만기 행사가 $50 풋 옵션 가격 $1.50. 동일 조건의 콜 옵션 가격은?

풋-콜 패리티를 콜에 대해 재배열합니다:

$$c = p + S_0 - PV(X) = 1.50 + 52 - \frac{50}{1.05^{0.25}}$$ $$= 1.50 + 52 - \frac{50}{1.0122} = 1.50 + 52 - 49.39 = \$4.11$$

따라서 3개월 만기, 행사가 $50인 콜 옵션의 합리적 가격은 $4.11입니다.

3. "롱콜 − 숏풋 = 롱포워드" 해석

풋-콜 패리티를 다르게 정리하면 매우 중요한 해석이 나옵니다:

$$c - p = S_0 - PV(X)$$

좌변: 콜 매수 + 풋 매도 (콜-풋 스프레드)
우변: 주식 매수를 위한 선도(Forward) 포지션의 현재 가치

이 식은 "동일 행사가, 동일 만기의 콜을 사고 풋을 파는 것"이 사실상 기초자산에 대한 선도(Forward) 포지션과 경제적으로 동일한 구조임을 보여줍니다. 이는 Reading 36/37에서 다룬 선도 가격 결정 논리와 직접적으로 연결되는 중요한 다리입니다. 만기에 반드시 \(X\)를 주고 주식을 사는 의무를 지는 것(Forward)과, 콜 행사/풋 비행사를 통해 사실상 같은 결과를 만드는 것(콜-풋 스프레드)이 동치라는 뜻입니다.

4. 포워드 가격을 이용한 풋-콜 패리티

풋-콜 패리티에서 \(S_0\)를 선도가격 \(F\)의 현재가치 \(PV(F)\)로 치환하면 다음과 같이 표현할 수 있습니다:

$$c + PV(X) = p + PV(F)$$

또는 등가적으로:

$$c + PV(X - F) = p$$

선도계약 진입 비용은 0이므로, 이 식은 선도가격과 옵션 가격의 관계를 직접적으로 보여준다

5. 미국형 옵션의 풋-콜 관계: 부등식

풋-콜 패리티의 등식은 유럽형 옵션에만 성립합니다. 미국형 옵션은 조기행사 가능성 때문에 등식 대신 부등식으로 관계가 표현됩니다. 이 부등식은 미국형 콜과 풋의 가격 차이에 대한 상한과 하한을 설정합니다.

미국형 옵션의 풋-콜 부등식:

$$S_0 - X \;\le\; C - P \;\le\; S_0 - PV(X)$$

미국형 콜-풋 가격 차이는 \(S_0 - X\)와 \(S_0 - PV(X)\) 사이에 존재한다

예시: 미국형 풋 옵션 가격의 범위

조건: 미국형 콜과 풋 옵션, 동일한 1년 만기, 행사가 $20, 현재 주가 $22, 연이자율 6%, 미국형 콜 가격 $4

미국형 풋-콜 부등식을 적용합니다:

$$S_0 - X \le C - P \le S_0 - PV(X)$$ $$22 - 20 \le 4 - P \le 22 - \frac{20}{1.06}$$ $$2 \le 4 - P \le 3.13$$

각 부등식을 \(P\)에 대해 풀면:

$$4 - 3.13 \le P \le 4 - 2$$ $$\$0.87 \le P \le \$2.00$$

따라서 미국형 풋의 가격은 $0.87에서 $2.00 사이에 있어야 합니다.

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LO 39.d: 미국형 옵션의 조기행사 논리

미국형 옵션의 가장 큰 특징은 만기 이전에 언제든 행사할 수 있다는 것입니다. 그렇다면 "조기행사가 가능하면 언제나 이득인가?" 이 질문에 대한 답은 "아니다"입니다. 조기행사가 최적인 경우와 그렇지 않은 경우를 구분하는 것이 시험에서 매우 빈출되는 주제입니다.

1. 배당 없는 미국형 콜: 조기행사는 절대 최적이 아니다

배당이 없는 주식에 대한 미국형 콜을 조기행사하면 왜 손해인지, 두 가지 이유가 동시에 작용합니다.

첫째, 이자 손실(Interest Forgo): 콜을 조기행사하면 행사가 \(X\)를 "지금" 지불해야 합니다. 만기까지 기다렸다면 그 \(X\)만큼의 현금을 무위험이자율로 운용하여 이자를 벌 수 있었을 것입니다. 조기행사를 하면 이 이자 수익을 포기하게 됩니다. 수학적으로, 조기행사 시 콜의 가치는 \(S_0 - X\)인데, 이는 양의 이자율과 양의 잔여만기가 존재하는 한 항상 \(S_0 - PV(X)\)(보유 시 가치의 하한)보다 작습니다.

둘째, 시간가치 소멸(Time Value Destruction): 옵션의 가격은 내재가치(Intrinsic Value)와 시간가치(Time Value)의 합입니다. 조기행사를 하는 순간 시간가치가 완전히 사라지고 내재가치만 남습니다. 만기까지 보유하면 시간가치를 그대로 유지할 수 있는데, 조기행사로 이를 포기하는 것은 비합리적입니다.

결론: 배당이 없는 주식에 대한 미국형 콜은 조기행사가 절대 최적이 아닙니다. 따라서 미국형 콜의 조기행사 프리미엄은 0이고, 유럽형 콜과 가격이 동일합니다: $$C = c$$ 이것은 FRM 시험에서 가장 자주 출제되는 관계 중 하나입니다.

2. 배당 없는 미국형 풋: 충분히 ITM이면 조기행사가 최적

풋은 콜과 상황이 다릅니다. 풋을 조기행사하면 \(X - S_0\)만큼의 현금을 "지금" 확보하여 만기까지 이자를 벌 수 있습니다. 특히 주가 \(S_0\)가 크게 떨어져 풋이 깊게 내가격(Deep ITM)인 경우, 기다리는 것보다 지금 행사하여 현금을 확보하고 이자를 버는 것이 더 유리할 수 있습니다.

극단적인 예를 들어봅시다. 주가가 거의 0에 근접했다면, 풋의 내재가치는 거의 \(X\)에 달합니다. 이 상태에서 만기까지 기다려봤자 주가가 더 하락할 여지는 거의 없고(주가는 0 아래로 갈 수 없으므로), 오히려 반등 위험이 있습니다. 반면 지금 행사하면 거의 \(X\)에 달하는 현금을 확보하여 이자를 벌 수 있습니다. 이 경우 조기행사가 명백히 최적입니다.

결론: 배당이 없는 주식에 대한 미국형 풋은, 충분히 내가격(Deep ITM)일 때 조기행사가 최적일 수 있습니다. 따라서: $$P \ge p$$ 미국형 풋은 유럽형 풋보다 가치가 높을 수 있으며, 그 차이가 조기행사 프리미엄입니다.

3. 배당이 있는 경우: 미국형 콜도 조기행사 최적 가능

배당이 존재하면 미국형 콜의 조기행사 논리가 완전히 달라집니다. 콜을 조기행사하여 주식을 직접 보유하면 배당을 수취할 수 있기 때문입니다. 배당으로 얻는 이익이 조기행사로 포기하는 이자 수익과 시간가치를 초과하면, 조기행사가 합리적이 됩니다.

예를 들어, 내일 큰 특별 배당이 예정된 주식의 콜 옵션을 보유하고 있다면, 오늘 콜을 행사하여 주식을 확보하면 내일 배당을 받을 수 있습니다. 이 배당 금액이 조기행사로 포기하는 나머지 시간가치와 이자보다 크다면 조기행사가 최적입니다.

시험 핵심 문장:
- 배당이 충분히 크면, 미국형 콜도 조기행사가 최적일 수 있다
- 조기행사가 최적이라면, 배당락일(Ex-Dividend Date) 직전에 행사해야 한다
- 배당락일 직전이 최적인 이유: 배당을 받으려면 배당락일 이전에 주식을 보유해야 하기 때문

4. 배당이 옵션 가격 경계에 미치는 영향

대부분의 주식 옵션은 만기가 1년 미만이므로, 배당은 비교적 정확하게 추정할 수 있습니다. 배당은 주가를 하락시키므로, 옵션 가격의 하한선에도 영향을 미칩니다.

배당이 있는 유럽형 콜의 하한: 포트폴리오 \(P_6\)(콜 + \(D + PV(X)\)만큼의 현금)과 \(P_7\)(주식 1주)을 비교하면, \(P_6\)이 항상 \(P_7\) 이상이므로:

$$c \ge \max\big(S_0 - D - PV(X),\; 0\big)$$

배당의 존재는 콜의 하한선을 낮춥니다

배당이 있는 유럽형 풋의 하한: 포트폴리오 \(P_8\)(풋 + 주식 1주)과 \(P_9\)(\(D + PV(X)\)만큼의 현금)을 비교하면:

$$p \ge \max\big(D + PV(X) - S_0,\; 0\big)$$

배당의 존재는 풋의 하한선을 높입니다

5. 배당이 있는 경우의 풋-콜 패리티

배당이 있으면 주식 보유자는 배당을 수취하지만 옵션 보유자는 배당을 받지 못합니다. 동일한 만기 payoff를 만들기 위해서는 배당의 현재가치 \(D\)만큼의 보정이 필요합니다.

배당 조정 풋-콜 패리티:

$$c + D + PV(X) = p + S_0$$

또는 등가적으로:

$$p + S_0 = c + D + PV(X)$$

미국형 옵션의 풋-콜 부등식도 배당을 반영하여 다음과 같이 수정됩니다:

배당 조정 미국형 풋-콜 부등식:

$$S_0 - D - X \;\le\; C - P \;\le\; S_0 - PV(X)$$

6. ATM 콜 vs ATM 풋: 어느 쪽이 더 비싼가?

풋-콜 패리티에서 등가격(ATM, \(S_0 = X\)) 옵션의 경우를 분석하면 흥미로운 결론을 얻을 수 있습니다. 패리티 \(c - p = S_0 - PV(X)\)에서 \(S_0 = X\)를 대입하면:

$$c - p = X - PV(X) > 0 \quad (\text{양의 이자율일 때})$$

따라서 양의 이자율이 존재하는 한, 등가격 콜 옵션은 항상 대응하는 등가격 풋 옵션보다 비쌉니다. 이는 콜이 행사가 지불을 미래로 미룰 수 있다는 이점(이자 절약)에서 기인합니다.

핵심 원리: 만기 이전에 등가격(ATM)인 콜 옵션은 항상 대응하는 풋 옵션보다 가치가 높다. 이는 풋-콜 패리티의 직접적인 결과이다.

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MODULE QUIZ

Module Quiz 39.1

문제 1. 다음 중 XYZ 주식에 대한 유럽형 콜 옵션 포지션의 가치 하락을 유발하지 않는 것은?

A. XYZ가 3:1 주식분할을 선언한다
B. XYZ가 분기 배당을 주당 $0.15에서 $0.17로 인상한다
C. 연방준비제도이사회가 경기 부양을 위해 금리를 0.25% 인하한다
D. 투자자들이 XYZ 주가의 변동성이 하락했다고 판단한다

Module Quiz 39.2

문제 1. $50에 거래 중인 주식에 대한 유럽형 풋 옵션을 고려하라. 만기 6개월, 행사가 $40, 무위험이자율 5%. 이 풋의 하한(Lower Bound)과 상한(Upper Bound)에 가장 가까운 것은?

A. $10, $40.00
B. $10, $39.00
C. $0, $40.00
D. $0, $39.00

문제 2. 1년 만기 유럽형 풋 옵션의 현재 가격이 $5이고, 기초자산 주가는 $25, 행사가는 $27.50이다. 1년 무위험이자율은 6%이다. 대응하는 콜 옵션의 가치에 가장 가까운 것은?

A. $0.00
B. $3.89
C. $4.06
D. $5.00

문제 3. 동일한 주식에 대한 미국형 콜과 풋 옵션을 고려하라. 두 옵션의 만기는 1년, 행사가는 $45이다. 현재 주가는 $50이고 연이자율은 10%이다. 두 옵션의 가격 차이로 가능한 값은?

A. $4.95
B. $7.95
C. $9.35
D. $12.50

문제 4. 유럽형 옵션의 풋-콜 패리티에 따르면, ABC 주식에 대한 풋 옵션 매수는 다음과 동일하다:

A. 콜 매수, ABC 주식 매수, 무이표채권 매수
B. 콜 매수, ABC 주식 매도, 무이표채권 매수
C. 콜 매도, ABC 주식 매도, 무이표채권 매수
D. 콜 매수, ABC 주식 매도, 무이표채권 매도

정답 및 해설

문제	정답	해설
39.1-1	A	주식분할 시 주가와 옵션 행사가가 모두 조정되므로 옵션 포지션의 가치는 변하지 않습니다. 배당 인상(콜 가치 하락), 금리 인하(콜 가치 하락), 변동성 하락(콜 가치 하락)은 모두 유럽형 콜의 가치를 하락시킵니다.
39.2-1	D	유럽형 풋 상한 = \(PV(X) = 40/1.05^{0.5} = \$39.04 \approx \$39.00\). 풋이 외가격(OTM, 주가 $50 > 행사가 $40)이므로 하한은 $0.
39.2-2	C	\(c = p - PV(X) + S_0 = 5 - (27.50/1.06) + 25 = 5 - 25.94 + 25 = \$4.06\)
39.2-3	B	미국형 부등식: \(S_0 - X \le C - P \le S_0 - PV(X)\), 즉 \(50 - 45 \le C - P \le 50 - 45/1.10\) → \(5 \le C - P \le 9.09\). 이 범위에 속하는 값은 $7.95뿐입니다.
39.2-4	B	풋-콜 패리티에서 \(p = c - S_0 + PV(X)\)이므로, 풋 매수 = 콜 매수(+c) + 주식 매도(\(-S_0\)) + 무이표채권 매수(+PV(X)).

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KEY CONCEPTS (핵심 개념 정리)

LO 39.a 핵심

• 옵션 가격에 영향을 미치는 6가지 요인: 기초자산 가격(\(S_0\)), 행사가(\(X\)), 만기(\(T\)), 변동성(\(\sigma\)), 무위험이자율(\(r\)), 배당(\(D\))
• 만기까지 시간을 제외하면, 나머지 5가지 요인은 유럽형과 미국형 옵션에 동일한 방향으로 영향
• 변동성 증가는 콜과 풋 모두의 가치를 상승시키는 유일한 요인 (비대칭 payoff 구조 때문)
• 이자율 효과는 \(PV(X)\)를 매개로 작동: \(r \uparrow\) → \(PV(X) \downarrow\) → 콜\(\uparrow\), 풋\(\downarrow\)

LO 39.b 핵심

• 콜 상한: \(c \le S_0\), \(C \le S_0\) (콜은 주식보다 비쌀 수 없음)
• 풋 상한: \(P \le X\), \(p \le PV(X)\) (유럽형 풋은 더 강한 제약)
• 배당 없는 유럽형 콜 하한: \(c \ge \max(S_0 - PV(X), 0)\)
• 배당 없는 유럽형 풋 하한: \(p \ge \max(PV(X) - S_0, 0)\)
• 미국형 풋 하한: \(P \ge \max(X - S_0, 0)\) (내재가치가 최저선)
• 모든 경계의 근거: 지배 포트폴리오(Dominance)와 무차익거래 원칙

LO 39.c 핵심

• 풋-콜 패리티: \(c + PV(X) = p + S_0\) (유럽형, 무배당)
• Fiduciary Call과 Protective Put의 만기 payoff가 동일 → 오늘 가격도 동일
• 패리티 재배열로 합성 포지션 구성 가능 (합성 주식, 합성 콜, 합성 풋, 합성 채권)
• 포워드 표현: \(c + PV(X) = p + PV(F)\)
• 배당 조정: \(c + D + PV(X) = p + S_0\)
• 미국형은 등식이 아닌 부등식: \(S_0 - X \le C - P \le S_0 - PV(X)\)

LO 39.d 핵심

• 배당 없는 미국형 콜: 조기행사 절대 비최적 → \(C = c\)
• 이유: (1) 행사가 지불의 이자 포기, (2) 시간가치 소멸
• 배당 없는 미국형 풋: 충분히 ITM이면 조기행사 최적 가능 → \(P \ge p\)
• 배당 있는 미국형 콜: 배당이 충분히 크면 조기행사 최적 가능
• 조기행사 최적 시점: 배당락일(Ex-Dividend Date) 직전
• 등가격(ATM) 콜은 항상 대응하는 등가격 풋보다 비싸다 (양의 이자율 가정)

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시험 대비 한 줄 암기 체크리스트

주제	암기 포인트
6가지 요인	\(S_0\), \(X\), \(T\), \(\sigma\), \(r\), \(D\) — 변동성만 콜/풋 모두 (+)
시간(\(T\)) 예외	유럽형은 배당 때문에 긴 만기가 반드시 비싸지 않음
이자율 메커니즘	\(r \uparrow\) → \(PV(X) \downarrow\) → 콜\(\uparrow\), 풋\(\downarrow\)
콜 상한	\(c \le S_0\), \(C \le S_0\)
풋 상한	\(P \le X\), \(p \le PV(X)\)
유럽형 콜 하한	\(\max(S_0 - PV(X), 0)\)
유럽형 풋 하한	\(\max(PV(X) - S_0, 0)\)
미국형 풋 하한	\(\max(X - S_0, 0)\) — 내재가치가 바닥
풋-콜 패리티	\(c + PV(X) = p + S_0\)
배당 조정 패리티	\(c + D + PV(X) = p + S_0\)
미국형 부등식	\(S_0 - X \le C - P \le S_0 - PV(X)\)
배당 없는 콜 조기행사	절대 비최적 → \(C = c\)
배당 없는 풋 조기행사	Deep ITM이면 최적 가능 → \(P \ge p\)
배당 있는 콜 조기행사	배당 충분히 크면 최적 가능, 배당락일 직전 행사
ATM 콜 vs 풋	양의 이자율이면 ATM 콜이 항상 ATM 풋보다 비싸다

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