FRM part1. Reading 36: Pricing Financial Forwards and Futures

 

FRM Part I – Reading 36
금융 선도 및 선물 가격 결정 (Pricing Financial Forwards and Futures)

EXAM FOCUS

핵심 학습 목표

이 Reading은 선도(Forward)와 선물(Futures) 계약의 공정가격, 즉 무차익가격(No-Arbitrage Price)을 결정하는 원리를 다룹니다. 선도와 선물 계약은 모두 미래 거래에 대한 의무(obligation)이며, 이 둘의 가격 차이는 대체로 작기 때문에 가격결정 모델은 상호교환적으로 적용됩니다. 핵심 원리는 복제(Replication)와 무차익(No-Arbitrage) 논리이며, 기초자산을 현재 매수하여 만기까지 보유하는 비용, 즉 보유비용(Cost of Carry)이 선도/선물의 공정가격을 결정합니다.

시험에서 반드시 할 수 있어야 하는 것

• 금융자산의 3가지 유형 정의 및 분류 (무소득/고정소득/배당수익률)
• 공매도(Short Selling)의 메커니즘과 배당주 공매도 순이익 계산
• 기초자산 유형별 선도가격 공식 3가지의 도출 및 적용
• 선도가격(Forward Price, F)과 선도계약 가치(Value of Forward, V)의 명확한 구분
• 무차익 논리에 기반한 차익거래 전략 설명
• 선도 vs 선물 가격 차이를 일일정산 + 금리-자산가격 상관으로 설명
• FX 선도환율을 이자율평가(IRP) 공식으로 계산
• 주가지수 선물의 가격결정과 인덱스 차익거래 개념

이 Reading은 FRM 시험에서 정량적 계산 문제가 매우 자주 출제됩니다. 특히 선도가격(F)을 구하는 문제와 기존 계약의 가치(V)를 구하는 문제가 혼재되어 있으므로, 문제가 무엇을 묻는지 정확히 판별하는 것이 가장 중요합니다. 또한 이자율평가(Interest Rate Parity)가 이 Reading의 핵심 구성요소임을 반드시 인지해야 합니다.

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MODULE 36.1: 선도 및 선물 가격 (Forward and Futures Prices)

LO 36.a: 금융자산(Financial Assets)의 정의와 분류

1. 금융자산이란 무엇인가

금융자산(Financial Asset)이란 특정한 청구권(claim)으로부터 가치가 파생되는 자산입니다. 예를 들어, 주식은 기업이 창출하는 미래 현금흐름에 대한 청구권이고, 채권은 이자와 원금 상환에 대한 청구권입니다. 이 Reading에서 금융자산을 특별히 강조하는 이유는, 금융자산이 투자자산(Investment Asset)에 해당하여 무차익 복제(No-Arbitrage Replication)가 깔끔하게 작동하기 때문입니다. 투자자산은 투자 목적으로 보유되는 자산으로, 다수의 투자자가 투자를 위해 보유하고 있습니다.

이와 대비되는 개념이 소비자산(Consumption Asset)입니다. 소비자산은 투자가 아닌 소비를 목적으로 보유하는 자산으로, 원유나 천연가스 같은 상품(commodity)이 대표적입니다. 소비자산에 대해서는 무차익 논리가 완전하게 작동하지 않을 수 있는데, 이는 소비자산을 공매도하기 어렵거나 보유자가 편의수익(Convenience Yield)을 얻기 때문입니다. 이러한 확장은 Reading 37에서 다루며, Reading 36은 투자자산을 전제로 이론을 전개합니다.

2. 금융자산의 3가지 분류

이 Reading에서 다루는 금융자산은 만기 전 현금흐름의 형태에 따라 세 가지로 분류됩니다. 이 분류가 중요한 이유는, 각 유형에 따라 선도가격 공식이 달라지기 때문입니다.

분류	설명	예시	적용 공식
(1) 소득(현금흐름)이 없는 자산	만기 전 배당이나 쿠폰 같은 현금흐름이 없다고 가정되는 자산	무배당 주식, 무이표채(Zero-Coupon Bond)	Equation 1
(2) 고정 소득 자산	언제 얼마가 지급되는지 확정된 현금흐름이 있는 자산	쿠폰채(Coupon Bond), 확정배당 주식	Equation 2
(3) 가치의 일정 비율로 소득이 생기는 자산	현금흐름이 "금액"이 아닌 "가치의 비율"로 정의되는 자산	주가지수(배당수익률), 외화(이자율)	Equation 3

핵심 포인트: 모든 금융자산은 투자자산(Investment Asset)으로 간주됩니다. 투자자산과 소비자산의 구분은 무차익 논리의 적용 가능 범위를 결정하는 근본적인 기준입니다. 투자자산은 다수의 투자자가 보유하고 있으므로, 공매도가 가능하고 무차익 복제가 양방향으로 작동합니다.

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LO 36.b: 공매도(Short Selling)와 배당주 공매도 순이익

1. 공매도의 메커니즘

공매도(Short Selling)란 자신이 소유하지 않은 증권을 빌려서 매도하고, 이후 시장에서 재매수하여 반환하는 거래입니다. 공매도자는 브로커를 통해 증권을 차입(borrow)하고 동시에 시장에서 매도합니다. 이후 증권 대여자가 반환을 요청하거나 공매도 포지션을 청산할 때, 시장에서 해당 증권을 매수하여 반환해야 합니다.

공매도의 동기는 단순합니다. 현재 가격이 과대평가(overpriced)되어 있다고 판단하고, 향후 가격이 하락할 것으로 기대하는 것입니다. 비용을 무시하면, 주당 $30에 공매도한 뒤 가격이 $20으로 하락하면 $20에 재매수하여 반환하고 주당 $10의 이익을 얻습니다. 반대로, 가격이 상승하면 공매도자는 손실을 봅니다.

2. 공매도 시 배당금 처리 (시험 핵심 함정)

공매도에서 가장 중요한 시험 포인트는 배당금 지급 의무입니다. 주식을 빌려준 원래 소유자(대여자)는 여전히 배당을 받을 권리가 있습니다. 따라서 공매도 기간 중 배당이 발생하면, 공매도자가 대여자에게 해당 배당금을 직접 지급해야 합니다. 이는 공매도자에게 명백한 추가 비용입니다.

시험 함정 주의: 공매도 순이익을 계산할 때 배당금을 빼는 것을 잊지 마십시오. 공매도 순이익의 공식은 다음과 같습니다:

공매도 순이익 = 매도 시 수취액 - 배당 지급액 - 재매수 시 지출액

예시: 배당주 공매도의 순이익 계산

한 트레이더가 3월에 XYZ 주식 200주를 차입하여 주당 $50에 공매도했습니다. 4월에 XYZ 주식은 주당 $2의 배당을 지급했습니다. 6월에 트레이더는 주당 $40에 200주를 재매수하여 차입분을 반환하고 포지션을 청산했습니다.

시점	거래 내용	현금흐름
3월	200주를 주당 $50에 공매도	+$10,000 (유입)
4월	주당 $2 배당 x 200주를 대여자에게 지급	-$400 (유출)
6월	200주를 주당 $40에 재매수하여 반환	-$8,000 (유출)
순이익 합계		+$1,600

만약 배당이 없었다면 순이익은 $2,000이 되었을 것이지만, 배당금 $400을 대여자에게 지급해야 했으므로 실제 순이익은 $1,600입니다.

공매도가 선도/선물 가격결정에서 중요한 이유:
무차익 논리의 한 방향, 즉 "선도가 과소평가되었을 때 현물을 공매도하고 선도를 매수하는 전략"은 공매도가 가능해야만 실행할 수 있습니다. 따라서 공매도 제한이 없다는 가정이 무차익 가격결정 모델의 전제조건입니다. 공매도가 불가능하거나 비용이 크면 무차익 관계가 완전하게 성립하지 않을 수 있습니다.

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LO 36.c ~ 36.f: 선도가격(Forward Price) 공식과 무차익 논리

1. 기본 가정과 표기법(Notation)

선도가격 결정 모델은 다음 가정하에 전개됩니다: 거래비용이 0이고, 공매도 제한이 없으며, 차입과 대출이 동일한 무위험이자율로 가능합니다. 이 가정들은 무차익 논리를 가장 깔끔하게 보여주기 위한 것입니다.

기호	의미
\(T\)	선도계약의 만기까지 시간 (년 단위)
\(S\)	기초자산의 현재 현물가격 (Spot Price, t = 0 시점)
\(F\)	오늘 새로 체결하는 선도계약의 공정 선도가격 (Forward Price)
\(r\)	연복리(Annually Compounded) 무위험이자율
\(K\)	과거에 체결된 선도계약의 인도가격 (Delivery Price, 계약 이후 고정)
\(I\)	만기 전 확정 현금흐름(쿠폰, 배당 등)의 현재가치(PV) 합
\(q\)	연복리 배당수익률 (Annually Compounded Dividend Yield)

2. 유형 1: 중간 현금흐름이 없는 자산의 선도가격

만기 전에 배당이나 쿠폰 같은 현금흐름이 전혀 없는 자산의 경우, 선도가격은 가장 단순한 형태가 됩니다. 이 공식의 핵심 논리는 다음과 같습니다.

투자자가 오늘 현물을 매수하여 만기까지 보유하려면, 자금을 조달(차입)해야 하고 그 자금에 대한 기회비용(이자)이 발생합니다. 따라서 현물을 매수하여 만기까지 "들고 가는(carry)" 총비용의 미래가치가 곧 선도가격이 되어야 합니다. 만약 선도가격이 이 비용과 다르다면, 차익거래(Arbitrage)가 가능해지므로 시장은 즉시 균형으로 복귀합니다.

Equation 1: 중간 현금흐름이 없는 자산의 선도가격

$$F = S \times (1 + r)^T$$

우변 \(S \times (1+r)^T\)는 현물 매수 자금의 차입비용을 만기까지 복리한 값,
즉 보유비용(Cost of Carry)의 미래가치입니다.

3. 무차익 논리 (Arbitrage Argument) - 양방향 검증

Equation 1의 등식이 왜 반드시 성립해야 하는지를 이해하려면, 등식이 깨졌을 때 어떤 차익거래가 가능한지를 양방향으로 확인해야 합니다. 이 논리는 시험에서 서술형으로 출제될 수 있으므로 정확히 이해해야 합니다.

상황	의미	차익거래 전략	결과
\(F > S(1+r)^T\)	선도가 과대평가(비쌈)	선도 매도 + 자금 차입하여 현물 매수	만기에 현물 인도, 차입금 상환 후 무위험 이익 확보
\(F < S(1+r)^T\)	선도가 과소평가(쌈)	현물 공매도 + 매도대금 무위험 운용 + 선도 매수	만기에 선도로 현물 수취하여 공매도 반환, 잔여금이 이익

어느 방향으로든 차익거래자가 존재하면 시장 수급에 의해 선도가격이 조정됩니다. 선도가 비싸면 매도 압력이 생겨 가격이 하락하고, 선도가 싸면 매수 압력이 생겨 가격이 상승합니다. 결국 시장이 균형에 도달하면 \(F = S(1+r)^T\) 등식이 강제됩니다.

예시: 중간 현금흐름이 없는 자산의 선도가격 계산

현재 자산 가격이 $1,000이고, 연복리 무위험이자율이 4%인 경우, 6개월 선도계약의 가격을 구하시오.

$$F = \$1{,}000 \times 1.04^{0.5} = \$1{,}019.80$$

이 $1,019.80은 "지금 $1,000을 빌려서 자산을 사고, 6개월 뒤에 차입금과 이자를 갚는 비용"과 정확히 같습니다. 따라서 선도 매수자가 6개월 뒤에 지불할 공정 인도가격이 $1,019.80이 되어야 무차익 조건이 충족됩니다.

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4. 유형 2: 고정 현금흐름이 있는 자산의 선도가격

기초자산이 만기 전에 확정된 현금흐름(쿠폰, 고정배당 등)을 지급하는 경우, 선도가격 공식에 조정이 필요합니다. 이 조정의 핵심 논리는 다음과 같습니다.

현물을 보유하는 투자자는 만기 전에 쿠폰이나 배당이라는 현금흐름을 수취할 수 있습니다. 그러나 선도 매수자는 만기 전 중간 현금흐름을 전혀 받지 못합니다. 왜냐하면 선도 매수자는 만기에야 비로소 기초자산을 인도받기 때문입니다. 따라서 선도가격을 결정할 때, 현물 보유자가 누리는 중간 현금흐름의 이점을 공정하게 반영해야 합니다. 구체적으로, 만기 전 발생하는 확정 현금흐름의 현재가치(PV)를 현물가격에서 차감한 후 보유비용을 적용합니다.

Equation 2: 고정 현금흐름이 있는 자산의 선도가격

$$F = (S - I) \times (1 + r)^T$$

\(I\) = 만기 전 확정 현금흐름들의 현재가치(PV) 합

이 공식의 직관적 의미는 명확합니다. 현물을 사서 들고 가면 중간에 쿠폰 \(I\)를 받으므로, 실질적인 순(net) 투자금액은 \(S-I\)입니다. 이 순투자금액에 보유비용(이자)을 적용하면 공정한 선도가격이 됩니다.

예시: 쿠폰채의 선도가격 계산

현재가치가 $1,000인 채권이 반기 5%(즉, 반기마다 $25 쿠폰)를 지급합니다. 3개월 뒤에 쿠폰 $25가 지급 예정이고, 연 무위험이자율은 4%입니다. 6개월 선도계약의 가격을 구하시오.

Step 1: 만기(6개월) 이전에 발생하는 쿠폰의 현재가치를 계산합니다. 3개월 뒤 지급되는 $25의 현재가치는:

$$I = \frac{25}{1.04^{0.25}} = \$24.756$$

Step 2: Equation 2를 적용합니다:

$$F = (\$1{,}000 - \$24.756) \times 1.04^{0.5} = \$975.244 \times 1.0198 = \$994.56$$

선도가격 $994.56은 현물가격 $1,000보다 낮습니다. 이는 현물 보유자가 중간에 쿠폰을 받는 이점이 반영되어, 선도 매수자가 지불할 금액이 그만큼 낮아지기 때문입니다.

시험 함정 주의 - 쿠폰/배당의 시점 확인:
문제에서 주어진 쿠폰이나 배당이 선도계약 만기 이전에 발생하는지 반드시 확인해야 합니다. 만기 이후에 발생하는 현금흐름은 차감 대상이 아닙니다. 시험에서 가장 흔한 실수는 만기 이후의 쿠폰까지 차감하거나, 반대로 만기 이전의 쿠폰을 빼지 않는 것입니다.

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5. 유형 3: 배당수익률(Percentage Yield)이 있는 자산의 선도가격

주가지수처럼 기초자산의 소득이 "확정 금액"이 아니라 "가치의 일정 비율"로 주어지는 경우가 있습니다. 예를 들어, S&P 500 지수의 배당수익률이 연 2%라 하면, 지수 가치가 변함에 따라 배당 금액도 비례적으로 변합니다. 이 경우에는 Equation 2의 \(I\) 방식이 아닌, 배당수익률 \(q\)를 이용한 별도의 공식을 사용합니다.

Equation 3: 배당수익률이 있는 자산의 선도가격

$$F = S \times \left(\frac{1+r}{1+q}\right)^T$$

\(q\) = 연복리 배당수익률 (Annually Compounded Dividend Yield)

이 공식의 방향성을 이해하는 것이 매우 중요합니다. 분자의 \(r\)은 자금조달비용으로 선도가격을 올리는 힘이고, 분모의 \(q\)는 현물 보유자가 얻는 배당수익으로 선도가격을 내리는 힘입니다. 선도 매수자는 만기 전에 배당을 받지 못하므로, 그만큼 선도가격에서 할인을 받는 것입니다. 만약 \(r > q\)이면 선도가격은 현물가격보다 높고(선도 프리미엄), \(r < q\)이면 선도가격은 현물가격보다 낮습니다(선도 디스카운트).

예시: 배당수익률이 있는 주가지수의 선도가격 계산

주가지수의 현재 가치가 1,000이고, 연복리 배당수익률이 1%, 무위험이자율이 4%일 때, 6개월 선도계약의 가격을 구하시오.

$$F = 1{,}000 \times \left(\frac{1.04}{1.01}\right)^{0.5} = 1{,}000 \times 1.02970^{0.5} = 1{,}000 \times 1.01474 = 1{,}014.74$$

\(r = 4\% > q = 1\%\)이므로 선도가격 1,014.74는 현물가격 1,000보다 높습니다. 이는 자금조달비용이 배당수익률을 초과하기 때문입니다.

연속복리 vs 연복리 주의:
일부 문제는 연속복리(Continuous Compounding) 가정으로 출제됩니다. 이 경우 Equation 3은 \(F = Se^{(r-q)T}\) 형태가 됩니다. 문제에서 compounding 방식이 무엇인지 반드시 먼저 확인한 후 적절한 공식을 적용해야 합니다.

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LO 36.e ~ 36.f: 선도가격(F) vs 선도계약 가치(V) - 계산 함정 1순위

1. 왜 F와 V의 구분이 중요한가

FRM 시험에서 선도/선물 관련 계산 문제의 가장 큰 함정은 문제가 "선도가격(Forward Price, F)"을 묻는지 "선도계약의 가치(Value of Forward, V)"를 묻는지 혼동하는 것입니다. 이 두 개념은 근본적으로 다른 것을 의미합니다.

구분	선도가격 (Forward Price, F)	선도계약 가치 (Value of Forward, V)
정의	오늘 새로 계약을 체결할 때, 계약가치가 정확히 0이 되도록 만드는 인도가격	이미 과거에 인도가격 \(K\)로 체결된 기존 계약이, 현재 시점에서 롱(매수자)에게 갖는 경제적 가치
체결 시점의 값	시장 조건에 따라 결정되는 가격	항상 0 (공정하게 계약했으므로 어느 쪽에도 유리하지 않음)
체결 이후	시간이 지나면 "새 계약의 F"가 변화 (시장 조건 변동으로)	기초자산 가격 변동에 따라 양수 또는 음수로 변동
계산 시 필요한 것	현재 \(S\), \(r\), \(T\), (그리고 \(I\) 또는 \(q\))	\(S\), \(r\), \(T\), 그리고 과거 체결 시 인도가격 \(K\)

핵심 원리:
선도가격 \(F\)는 "지금 새 계약을 맺는다면 공정한 인도가격이 얼마인가"를 묻는 것이고, 선도계약 가치 \(V\)는 "과거에 \(K\)라는 인도가격으로 이미 맺어진 계약이 현재 얼마의 가치가 있는가"를 묻는 것입니다.

\(F\)를 구할 때는 \(K\)가 필요 없고, \(V\)를 구할 때는 반드시 \(K\)가 필요합니다. 이 구분을 섞는 순간 계산이 즉시 무너집니다.

2. 선도계약 가치(V) 공식 - 롱(매수) 포지션 기준

선도계약의 가치는 기초자산의 현금흐름 유형에 따라 세 가지로 정리됩니다. 모든 공식은 롱(매수) 포지션 기준입니다. 숏(매도) 포지션의 가치는 부호를 반대로 하면 됩니다.

선도계약 가치(Value of Long Forward Contract)

(1) 현금흐름이 없는 자산:

$$V = S - \frac{K}{(1+r)^T}$$

(2) 확정 현금흐름(PV = I)이 있는 자산:

$$V = S - I - \frac{K}{(1+r)^T}$$

(3) 배당수익률 q가 있는 자산:

$$V = \frac{S}{(1+q)^T} - \frac{K}{(1+r)^T}$$

각 공식의 직관적 의미를 이해하면 암기가 필요 없어집니다. 롱 선도의 가치는 "만기에 기초자산을 받는 것의 현재가치"에서 "만기에 \(K\)를 지불하는 것의 현재가치"를 뺀 것입니다. 첫 번째 항은 기초자산 유형에 따라 달라지고, 두 번째 항은 항상 \(K/(1+r)^T\)입니다.

예시: 주가지수 선도계약의 가치 계산

앞의 예시에서 인도가격 \(K = 1{,}014.74\)로 계약이 체결되었습니다. 계약 직후 지수가 \(S = 1{,}050\)으로 상승했다면, 롱 포지션의 가치는 얼마입니까? (나머지 조건: \(r = 4\%\), \(q = 1\%\), \(T = 0.5\))

Step 1: 배당수익률이 있는 자산이므로 (3)번 공식을 적용합니다:

$$V = \frac{1{,}050}{1.01^{0.5}} - \frac{1{,}014.74}{1.04^{0.5}}$$

Step 2: 각 항을 계산합니다:

$$\frac{1{,}050}{1.01^{0.5}} = \frac{1{,}050}{1.00499} = 1{,}044.79$$ $$\frac{1{,}014.74}{1.04^{0.5}} = \frac{1{,}014.74}{1.01980} = 995.03$$

Step 3: 가치를 계산합니다:

$$V = 1{,}044.79 - 995.03 = 49.76$$

지수가 1,000에서 1,050으로 상승했으므로 롱 포지션에게 유리한 방향으로 움직였고, 계약의 가치는 양수($49.76)가 되었습니다. 이는 롱이 원래 인도가격보다 시장가격이 높아진 만큼의 이득을 현재가치로 환산한 것입니다.

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LO 36.g: 선도가격 vs 선물가격 (Forward vs Futures Prices)

1. 선도와 선물의 핵심 차이: 일일정산(Daily Mark-to-Market)

선도(Forward)와 선물(Futures)은 "미래 특정 시점에 기초자산을 약정 가격으로 거래한다"는 계약 구조는 동일합니다. 그러나 가장 중대한 차이점은 선물에 일일정산(Mark-to-Market) 의무가 있다는 것입니다. 선물 계약은 매일 거래소를 통해 정산되어, 당일의 이익이나 손실이 즉시 현금으로 반영됩니다. 반면 선도는 일반적으로 만기에 일괄 정산(single settlement at maturity)합니다.

2. 일일정산이 만드는 경제적 차이

일일정산의 존재는 다음과 같은 경제적 차이를 만들어 냅니다. 선물 롱(매수) 포지션이 이익을 보면, 그 이익이 매일 현금으로 증거금 계좌에 유입되어 즉시 재투자가 가능합니다. 반대로 선물 롱이 손실을 보면, 그 손실을 매일 현금으로 메워야 하므로 즉시 자금조달 부담이 발생합니다. 선도는 이러한 중간 현금흐름이 없으므로, 이익이든 손실이든 만기까지 현금효과가 이연됩니다.

3. 금리-자산가격 상관관계의 영향 (시험 핵심)

금리가 일정하거나 예측 가능하게 변한다면, 선도와 선물의 가격은 이론적으로 동일합니다. 그러나 현실에서 금리는 불확실하게 변동하며, 이때 기초자산 가격과 금리의 상관관계가 선도-선물 가격 차이를 만듭니다.

상관관계	메커니즘	결과
자산가격과 금리가 양(+)의 상관	자산가격 상승(이익 발생) 시 금리도 높은 경향 → 선물 롱은 이익을 즉시 받아 높은 금리로 재투자 가능	선물이 선도보다 유리 → 선물가격 > 선도가격
자산가격과 금리가 음(-)의 상관 (대표: 고정금리채)	금리 상승 시 채권가격 하락(손실 발생) → 선물 롱은 손실을 매일 고금리 환경에서 조달하여 충당해야 함	선도가 선물보다 유리 → 선도가격 > 선물가격

고정금리채의 선도 vs 선물 - 시험 출제 핵심 논리

금리가 상승하면 고정금리채의 가격은 하락합니다. 이때 선물 롱은 일일정산에 의해 손실을 즉시 인식해야 하고, 이 손실을 높아진 금리 환경에서 자금을 조달하여 메워야 합니다. 이는 추가적인 비용 부담이므로 선물 롱에게 불리합니다. 반면 선도 롱은 만기까지 손실 인식이 이연되므로, 동일 상황에서 선도가 선물보다 더 유리합니다. 따라서 선도가 선물보다 약간 높은 가격에 거래됩니다.

반대로 금리가 하락하면 채권가격이 상승하지만, 이때 선물 롱이 받는 이익은 낮아진 금리로만 재투자할 수 있어 역시 선물에게 상대적으로 불리합니다. 어느 경우든 고정금리채는 금리와 음의 상관을 가지므로 선도가 선물보다 유리합니다.

4. 인도일 선택의 차이

선도와 선물의 또 다른 차이는 인도일(Delivery Date)의 유연성입니다. 선도계약은 보통 하나의 고정된 인도일을 가지지만, 선물계약은(특히 채권 선물의 경우) 숏 포지션에게 인도 시점이나 인도할 채권을 선택할 수 있는 옵션이 부여되는 경우가 있습니다.

금융자산의 경우, 보유비용(financing cost)이 투자수익(investment income)을 초과하면 숏 포지션은 비용을 최소화하기 위해 가능한 빨리 인도하려 할 것입니다. 반대로 투자수익이 보유비용을 초과하면, 숏 포지션은 수익을 최대화하기 위해 가능한 늦게 인도하려 할 것입니다.

정리:
전반적으로 선도와 선물의 가격 차이는 대체로 매우 작아서 무시할 수 있는 수준입니다. 따라서 Equation 1~3은 선도와 선물 모두의 가격결정에 사용할 수 있습니다. 다만, 선물은 즉시 이익을 인식하는 반면 선도는 해당 이익의 현재가치만 인식할 수 있다는 점을 유의해야 합니다.

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LO 36.g (계속): FX 선도환율 - 이자율평가 (Interest Rate Parity)

1. FX 선도환율의 본질

외환(FX) 선도는 본질적으로 "두 통화 간 금리차를 반영한 선도가격"입니다. 그 구조가 Equation 3(배당수익률 공식)과 놀랍도록 닮아 있는 이유가 있습니다. 외환에서는 외화(기초통화)를 예금하면 얻는 이자율이 주식의 배당수익률과 동일한 역할을 하기 때문입니다. 외화를 보유하면 외화 이자를 받을 수 있지만, 선도 매수자는 만기까지 외화를 보유하지 않으므로 이 이자를 못 받습니다. 따라서 외화 이자율은 선도가격을 낮추는 방향으로 작용합니다.

2. XXXYYY 고시 규칙과 IRP 공식

이자율평가(Interest Rate Parity, IRP) 공식에서 가장 중요한 것은 통화 표기의 방향을 정확히 이해하는 것입니다. 환율이 XXXYYY 형식(예: EURUSD)으로 고시되면, XXX가 기초통화(Base Currency)이고 YYY가 표시통화(Quote Currency)입니다. 환율 \(S\)는 "기초통화 1단위의 표시통화 가격"을 의미합니다.

Equation 4: IRP 선도환율 공식

$$F = S \times \left(\frac{1 + r_{YYY}}{1 + r_{XXX}}\right)^T$$

\(r_{YYY}\) = 표시통화(YYY)의 무위험이자율 (= 국내금리에 해당)
\(r_{XXX}\) = 기초통화(XXX)의 무위험이자율 (= 외국금리에 해당)

이 공식은 Equation 3에서 \(q\)를 \(r_{XXX}\)로, \(r\)을 \(r_{YYY}\)로 치환한 것과 정확히 동일합니다. 외화 예금 수익률(\(r_{XXX}\))이 배당수익률(\(q\))과 같은 역할을 합니다.

시험 함정 주의 - 금리 위치 뒤바꿈:
FX 선도환율 문제에서 가장 빈번한 실수는 분자와 분모에 들어가는 금리를 뒤바꾸는 것입니다. XXXYYY 고시 기준으로 기억하면 됩니다:

분자 = 표시통화(YYY) 금리, 분모 = 기초통화(XXX) 금리

직관적으로, 표시통화 금리가 높으면 선도환율이 높아지고(기초통화 약세 방향), 기초통화 금리가 높으면 선도환율이 낮아집니다(기초통화 강세 방향).

예시: 멕시코 페소 FX 선도환율 계산

10개월 만기의 멕시코 페소 선물계약의 선도환율을 구하시오. 고시 방식은 MXNUSD(기초통화 = MXN, 표시통화 = USD)이며, 현재 환율 \(S = 0.12\) (1 MXN = 0.12 USD), 멕시코 연복리 무위험이자율 \(r_{MXN} = 14\%\), 미국 연복리 무위험이자율 \(r_{USD} = 2\%\)입니다.

Step 1: XXXYYY = MXNUSD이므로, XXX = MXN(기초통화), YYY = USD(표시통화)입니다.

Step 2: IRP 공식에 대입합니다:

$$F = 0.12 \times \left(\frac{1 + r_{USD}}{1 + r_{MXN}}\right)^{10/12} = 0.12 \times \left(\frac{1.02}{1.14}\right)^{10/12}$$

Step 3: 계산합니다:

$$F = 0.12 \times (0.89474)^{0.8333} = 0.12 \times 0.91148 = \$0.10938/\text{peso}$$

선도환율 $0.10938은 현물환율 $0.12보다 낮습니다. 이는 멕시코 금리(14%)가 미국 금리(2%)보다 훨씬 높기 때문입니다. 멕시코 페소를 보유하면 높은 이자를 받을 수 있으므로, 선도 매수자는 이 이점을 포기하는 대가로 더 낮은 선도환율을 적용받습니다. 이것이 바로 이자율평가의 핵심 논리입니다.

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LO 36.h: 주가지수 선물과 인덱스 차익거래 (Stock Index Futures and Index Arbitrage)

1. 주가지수 선물의 가격결정

주가지수 선물은 본질적으로 "배당수익률이 있는 자산의 선도"와 동일한 방식으로 가격이 결정됩니다. 주가지수를 구성하는 주식들이 평균적으로 일정한 배당수익률 \(q\)를 지급한다고 가정하면, Equation 3이 그대로 적용됩니다.

주가지수 선물 가격결정

$$F = S \times \left(\frac{1+r}{1+q}\right)^T$$

\(S\) = 현재 지수 수준, \(q\) = 지수 구성 주식들의 평균 배당수익률

2. 인덱스 차익거래 (Index Arbitrage)

만약 선물가격이 위 이론가격과 괴리를 보이면, 현물(지수 구성 주식 묶음)과 선물을 동시에 거래하여 무위험 차익을 추구할 수 있습니다. 이를 인덱스 차익거래(Index Arbitrage)라 합니다.

상황	의미	차익거래 전략	주요 실행 주체
\(F > S\left(\frac{1+r}{1+q}\right)^T\)	선물 과대평가	선물 매도(숏) + 현물(구성주식) 매수(롱)	지수 구성 주식을 이미 보유한 연기금
\(F < S\left(\frac{1+r}{1+q}\right)^T\)	선물 과소평가	현물(구성주식) 공매도(숏) + 선물 매수(롱)	단기 투자를 보유한 기업이나 은행

3. 프로그램 매매(Program Trading)의 역할

주가지수는 수십에서 수백 개의 종목으로 구성되어 있어, 차익거래를 실행하려면 이 모든 종목을 선물 거래와 동시에(contemporaneously) 매매해야 합니다. 사람이 수작업으로 이를 수행하는 것은 사실상 불가능하므로, 프로그램 매매(Program Trading)가 사용됩니다. 컴퓨터가 지수 내 모든 종목에 대한 주문을 자동으로 생성하여 선물 거래와 동시에 집행합니다.

인덱스 차익거래의 존재 의의는 단순히 차익을 추구하는 데 있는 것이 아닙니다. 차익거래자들이 괴리를 발견하고 매매를 실행함으로써, 현물지수와 선물지수 사이의 가격 관계(pricing relationship)가 유지됩니다. 즉, 차익거래는 시장의 효율성을 회복시키는 메커니즘으로 기능합니다.

프로그램 매매의 시장 영향:
인덱스 차익거래에 의한 프로그램 매매는 현물 시장에서 대량의 동시 매매를 유발합니다. 선물이 과대평가되어 있으면 현물 주식을 대량 매수하는 프로그램이 실행되고, 이는 현물 가격을 상승시켜 선물-현물 괴리를 축소합니다. 반대의 경우도 마찬가지입니다. 이러한 메커니즘을 통해 선물 시장과 현물 시장의 무차익 관계가 지속적으로 유지됩니다.

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MODULE QUIZ

Module Quiz 36.1

다음 정보를 이용하여 문제 1과 2에 답하시오.
투자자가 현재 $500의 가치를 가진 자산을 보유하고 있으며, 모든 만기의 연복리 무위험이자율은 3%입니다.

문제 1. 3개월 선도계약의 무차익 가격에 가장 가까운 것은?

A. $496
B. $500
C. $502
D. $504

문제 2. 해당 자산이 연 2%의 배당수익률을 지급한다면, 3개월 선도계약의 무차익 가격에 가장 가까운 것은?

A. $495
B. $499
C. $501
D. $505

문제 3. 어떤 채권이 반기 쿠폰 $40을 지급하며, 현재가치는 $1,109입니다. 다음 쿠폰 지급일은 4개월 후이고, 연 이자율은 6.50%입니다. 연복리 가정 하에서, 이 채권의 6개월 선도계약 가격에 가장 가까운 것은?

A. $1,103
B. $1,104
C. $1,145
D. $1,185

문제 4. 한 트레이더가 고정금리채를 기초자산으로 하는 선도 또는 선물 계약에 투자할지 고려하고 있습니다. 금리가 상승한다고 가정할 때, 기초자산에 이익 또는 손실이 발생하는지 결정하고, 선도와 선물 중 어느 것이 더 유리한지 판단하시오.

A. 기초자산에 이익이 발생하며 선도가 더 유리하다
B. 기초자산에 손실이 발생하며 선도가 더 유리하다
C. 기초자산에 이익이 발생하며 선물이 더 유리하다
D. 기초자산에 손실이 발생하며 선물이 더 유리하다

문제 5. 고정금리 자산을 기초자산으로 하는 선도 및 선물 계약에 관한 다음 설명 중 올바른 것은?

A. 선도가격과 선물가격은 종종 크게 괴리된다
B. 선도 또는 선물 계약의 존속기간 동안 금리 경로는 대체로 예측 가능하다
C. 선도와 선물의 가장 중요한 차이는 인도일 수의 차이이다
D. 기초자산에 손실이 발생할 때, 기초자산에 대한 선도계약이 선물계약보다 높은 가격에 거래된다

정답 및 해설

문제	정답	해설
1	D	Equation 1 적용: \(F = \$500 \times 1.03^{0.25} = \$503.71\). 소득이 없는 자산이므로 단순히 현물가격에 보유비용(이자)을 복리하면 됩니다. $504에 가장 가깝습니다.
2	C	Equation 3 적용: \(F = \$500 \times (1.03/1.02)^{0.25} = \$501.22\). 배당수익률 2%가 보유비용을 부분적으로 상쇄하여, 무소득 자산보다 선도가격이 낮아집니다. $501에 가장 가깝습니다.
3	B	Equation 2 적용: 4개월 후 지급되는 $40 쿠폰의 PV를 먼저 구합니다. \(I = \$40/1.065^{0.333} = \$39.17\). 선도가격: \(F = (\$1{,}109 - \$39.17) \times 1.065^{0.5} = \$1{,}104.05\). $1,104에 가장 가깝습니다.
4	B	금리가 상승하면 고정금리채 가격은 하락(손실 발생)합니다. 선물에서는 이 손실이 즉시 인식되어 높아진 금리로 자금을 조달해야 하므로 불리합니다. 선도에서는 손실 인식이 만기까지 이연되므로, 선도가 선물보다 유리합니다.
5	D	기초자산에 손실이 발생할 때, 선도는 손실 인식을 만기까지 지연시킬 수 있어(일일정산 없음) 선물보다 유리합니다. 따라서 선도가 선물보다 높은 가격에 거래됩니다. A는 틀림(가격차는 대체로 매우 작음), B는 틀림(금리 경로는 대체로 예측 불가능), C는 틀림(가장 중요한 차이는 일일정산).

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KEY CONCEPTS (핵심 개념 정리)

LO 36.a 핵심

금융자산은 세 가지로 분류됩니다: (1) 소득이 없는 자산, (2) 고정 소득 자산, (3) 가치의 일정 비율로 소득이 생기는 자산. 모든 금융자산은 투자자산(Investment Asset)으로 간주되며, 이는 소비자산(Consumption Asset)과 구분됩니다. 투자자산에서는 무차익 복제가 양방향으로 완전하게 작동합니다.

LO 36.b 핵심

공매도(Short Selling)는 소유하지 않은 증권을 빌려서 매도하는 거래입니다. 공매도자는 증권 대여자에게 배당금을 반드시 지급해야 합니다. 공매도 순이익은 매도대금에서 배당 지급액과 재매수 비용을 차감하여 계산합니다. 공매도가 가능하다는 가정은 무차익 가격결정의 핵심 전제조건입니다.

LO 36.c ~ 36.d 핵심

선도와 선물의 가장 중요한 차이는 선물의 일일정산(Daily Mark-to-Market) 의무입니다. 선도와 현물의 기본 가격관계는 \(F = S(1+r)^T\)이며, 이 등식이 성립하지 않으면 차익거래가 가능합니다. \(F\)가 이론가보다 높으면 "선도 매도 + 현물 매수(차입)"로, 낮으면 "현물 공매도 + 선도 매수"로 무위험 이익을 얻습니다.

LO 36.e ~ 36.f 핵심

선도계약의 체결 시점 가치는 항상 0입니다. 체결 이후에는 기초자산 가격 변동에 따라 양수 또는 음수의 가치를 가질 수 있습니다. 롱 선도의 가치: 현금흐름 없음 = \(S - K/(1+r)^T\), 확정 현금흐름 PV = I일 때 = \(S - I - K/(1+r)^T\), 배당수익률 q일 때 = \(S/(1+q)^T - K/(1+r)^T\). F(새 계약의 공정가격)와 V(기존 계약의 현재 가치)를 반드시 구분해야 합니다.

LO 36.g 핵심

금리가 확정적이면 선도가격과 선물가격은 동일합니다. 현실에서 금리는 불확실하므로 자산가격-금리 상관관계에 따라 미세한 가격차가 발생합니다. 양의 상관이면 선물가격 > 선도가격, 음의 상관(고정금리채)이면 선도가격 > 선물가격. 가격 차이는 대체로 매우 작아 무시 가능하며, Equation 1~3은 선도와 선물 모두에 적용 가능합니다. FX 선도환율은 IRP 조건인 \(F = S \times [(1+r_{YYY})/(1+r_{XXX})]^T\)로 결정됩니다.

LO 36.h 핵심

주가지수 선물은 배당수익률이 있는 선도와 동일하게 가격이 결정됩니다. 선물가격이 이론가와 괴리되면 인덱스 차익거래가 발생합니다. 과대평가 시 선물 매도 + 현물 매수, 과소평가 시 현물 공매도 + 선물 매수. 프로그램 매매를 통해 실행되며, 이는 현물-선물 간 가격관계를 유지시키는 역할을 합니다.

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시험 대비 한 줄 암기 체크리스트

주제	암기 포인트
금융자산 3분류	무소득 / 고정소득 / 비율소득 (각각 Eq1, Eq2, Eq3 대응)
투자자산 vs 소비자산	금융자산 = 투자자산, 원유/가스 = 소비자산
공매도 순이익	매도수취액 - 배당지급 - 재매수비용 (배당 빼는 것 잊지 말 것!)
Equation 1 (무소득)	\(F = S(1+r)^T\)
Equation 2 (고정소득)	\(F = (S-I)(1+r)^T\), I는 만기 전 현금흐름의 PV 합
Equation 3 (배당수익률)	\(F = S \times [(1+r)/(1+q)]^T\)
F vs V 구분	F = 새 계약의 공정 인도가격 (K 불필요), V = 기존 계약의 현재 가치 (K 필수)
선도계약 초기 가치	항상 0 (계약 후에만 비(非)0이 됨)
선도 vs 선물 핵심 차이	일일정산(Mark-to-Market)의 유무
양(+)의 상관 (자산-금리)	선물가격 > 선도가격
음(-)의 상관 (고정금리채)	선도가격 > 선물가격 (금리 상승 시 손실을 일일정산해야 하므로 선물 불리)
IRP 공식 (Eq4)	\(F = S \times [(1+r_{YYY})/(1+r_{XXX})]^T\), 분자=표시통화, 분모=기초통화
인덱스 차익거래	선물 과대평가: 선물 숏 + 현물 롱 / 선물 과소평가: 현물 숏 + 선물 롱
프로그램 매매	인덱스 차익거래 실행 수단, 현물-선물 가격관계 유지 역할

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