FRM part1. Reading 47: Measures of Financial Risk

 

FRM Part I – Reading 47
금융 위험의 측정 (Measures of Financial Risk)

EXAM FOCUS

핵심 학습 목표

이 Reading은 금융 위험을 측정하는 세 가지 주요 프레임워크를 다룹니다. 첫째, 포트폴리오 이론의 기초인 평균-분산 프레임워크(Mean-Variance Framework)가 어떤 조건에서 유효한지, 둘째, 가장 널리 쓰이는 위험측정치인 VaR(Value at Risk)가 무엇이고 어떤 한계가 있는지, 셋째, VaR의 한계를 보완하는 ES(Expected Shortfall)가 왜 더 우수한 위험측정치인지를 체계적으로 학습합니다. 핵심은 "수익률 분포의 가정(Distribution Assumption)"이 위험측정 방법의 선택을 결정한다는 것입니다.

프레임워크	핵심 특징 및 적용 조건
평균-분산 (Mean-Variance)	타원형 분포(Elliptical Distribution)에서만 "분산(표준편차)"으로 리스크를 대표할 수 있음
VaR (Value at Risk)	비타원형/비정규 분포에서도 계산은 가능하나 불안정할 수 있고, 꼬리에서의 손실 규모를 알려주지 않음
ES (Expected Shortfall)	꼬리 손실의 평균 크기를 제공하며, Coherent Risk Measure의 모든 성질(특히 Subadditivity)을 만족

시험에서 반드시 할 수 있어야 하는 것

• Delta-Normal VaR 계산: 주어진 포트폴리오 가치, 기대수익률, 표준편차로 달러 VaR 산출
• ES 계산: 정규분포 하에서 φ(z)/(1-x) 공식을 사용한 Expected Shortfall 산출
• Coherent Risk Measure의 4가지 성질: 정의, 직관적 의미, 특히 Subadditivity
• VaR vs ES 비교: 왜 VaR은 Coherent가 아니고, ES는 Coherent인지
• 효율적 프론티어의 개념과 무위험자산 도입 시 변화
• 정규분포 vs 실제 수익률 분포: Fat Tails, 첨도, 왜도의 차이

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MODULE 47.1: 포트폴리오 이론과 VaR (Portfolio Theory and Value at Risk)

LO 47.a: 평균-분산 프레임워크와 효율적 프론티어

1. 평균-분산 프레임워크의 개념과 목적

전통적인 평균-분산 모형(Mean-Variance Model)은 포트폴리오의 금융 위험을 두 가지 숫자로 요약합니다: 포트폴리오의 기대수익률(Expected Return, Mean, \(\mu\))과 위험(Risk, Standard Deviation \(\sigma\) 또는 Variance \(\sigma^2\))입니다. "평균적으로 얼마나 벌 수 있는가?"와 "수익률의 흔들림(변동성)이 얼마나 큰가?"라는 두 질문에 답하는 것입니다.

이 프레임워크가 유효하게 작동하려면 핵심적인 가정이 필요합니다: 포트폴리오 수익률 분포가 반드시 타원형 분포(Elliptical Distribution)를 따라야 합니다. 가장 잘 알려진 타원형 확률분포함수가 바로 정규분포(Normal Distribution)입니다. 정규분포는 평균을 중심으로 좌우 대칭인 종(Bell) 모양의 연속 분포로, 모든 가능한 확률변수의 결과를 보여줍니다. 표준정규분포(Standard Normal Distribution)는 평균이 0이고 표준편차가 1인 특수한 정규분포입니다.

정규분포에서 수익률이 발생하면, 관측치의 약 66.7%가 평균 ± 1 표준편차 이내에, 약 95%가 평균 ± 2 표준편차 이내에 위치합니다. 따라서 이런 유형의 분포에서는 수익률이 평균 수익률에 가깝게 발생할 가능성이 더 높습니다. 수익률 분포가 대칭적(정규분포처럼)이라면, 표준편차는 바람직하지 않은 결과가 발생할 확률을 결정할 때 적절한 위험 측정치가 됩니다.

핵심 직관:
평균-분산 프레임워크는 "투자의 모든 정보를 두 숫자(평균, 분산)로 압축할 수 있다"는 강력한 단순화입니다. 하지만 이 단순화가 성립하려면 분포가 대칭적이어야 합니다. 만약 분포가 한쪽으로 쏠려 있거나(왜도 ≠ 0) 꼬리가 두꺼우면(초과첨도 > 0), 같은 표준편차라도 실제 위험 수준이 완전히 다를 수 있습니다.

2. 포트폴리오 기대수익률과 분산 공식

2자산 포트폴리오에서 \(w_1, w_2\)는 각 자산의 가중치(합이 1), \(\mu_1, \mu_2\)는 기대수익률, \(\sigma_1, \sigma_2\)는 표준편차, \(\rho_{12}\)는 상관계수를 나타냅니다.

포트폴리오 기대수익률

$$\mu_p = w_1\mu_1 + w_2\mu_2$$

포트폴리오 분산

$$\sigma_p^2 = w_1^2\sigma_1^2 + w_2^2\sigma_2^2 + 2w_1w_2\rho_{12}\sigma_1\sigma_2$$

n개 투자자산으로 구성된 포트폴리오의 경우, 기대수익률은 가중평균이고 분산은 모든 자산 쌍의 공분산을 합산합니다:

n자산 포트폴리오

$$\mu_p = \sum_{i=1}^{n} w_i \mu_i$$ $$\sigma_p^2 = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} w_i w_j \text{Cov}(R_i, R_j)$$

분산 공식에서 마지막 항인 \(2w_1w_2\rho_{12}\sigma_1\sigma_2\)가 분산효과(Diversification Effect)의 핵심입니다. 상관계수 \(\rho < 1\)이면 이 교차항이 최대값보다 작아지므로, 포트폴리오 전체의 분산이 개별 자산 분산의 단순 가중평균보다 감소합니다. 이것이 "계란을 한 바구니에 담지 말라"는 분산투자 원리의 수학적 근거입니다.

3. 효율적 프론티어 (Efficient Frontier)

효율적 프론티어란 투자 세계에서 위험자산으로 만들 수 있는 모든 가능한 포트폴리오 조합 중, 다른 모든 포트폴리오를 지배(Dominate)하는 포트폴리오들의 집합입니다. 여기서 "지배"란 다음 두 기준 중 하나를 만족하는 것입니다:

위험 지배: 기대수익률이 같다면, 위험(표준편차)이 더 낮은 포트폴리오가 지배합니다. 예를 들어, 포트폴리오 A와 C가 같은 기대수익률을 가지고 있다면, 위험회피 투자자는 위험이 더 적은 포트폴리오 A를 선택합니다.

수익 지배: 위험이 같다면, 기대수익률이 더 높은 포트폴리오가 지배합니다. 예를 들어, 포트폴리오 B와 C가 같은 위험 수준이라면, 투자자는 기대수익률이 더 높은 포트폴리오 B를 선택합니다.

효율적 프론티어의 오른쪽과 아래에는 거의 무한한 수의 위험자산 조합이 존재하지만, 무위험자산이 없는 상태에서는 효율적 프론티어의 왼쪽과 위는 달성 불가능합니다. 따라서 모든 합리적 투자자는 효율적 프론티어 위의 어떤 포트폴리오를 선택할 것입니다. 위험회피 성향이 강할수록 프론티어의 왼쪽(낮은 위험) 부근을, 위험 감수 성향이 강할수록 오른쪽(높은 위험·높은 수익) 부근을 선택합니다.

4. 무위험자산 도입 시: 자본시장선 (CML)

무위험자산(Risk-Free Asset)이 존재하면, 평균-분산 프레임워크는 효율적 프론티어를 넘어 확장됩니다. 최적 포트폴리오 집합은 이제 무위험수익률(\(R_f\))에서 출발하여 시장 포트폴리오(Market Portfolio, M)를 지나는 직선 위에 놓입니다. 이 직선이 새로운 효율적 프론티어이며, 자본시장선(Capital Market Line, CML)이라고 합니다.

시장 포트폴리오는 이론상 시장에서 이용 가능한 모든 투자자산을 그 비중대로 포함하는 포트폴리오입니다. 모든 투자자는 이제 무위험자산과 시장 포트폴리오의 일정 비율을 보유하여 투자합니다:

보수적 투자자: \(R_f\)와 M 사이의 선분 위에서, 무위험자산 비중을 높이고 시장 포트폴리오 비중을 낮춤

공격적 투자자: M 오른쪽 선분 위에서, 무위험이자율로 차입(Leverage)하여 시장 포트폴리오에 더 많이 투자

시험 핵심 포인트:
무위험자산이 없을 때 효율적 프론티어는 곡선(호 모양)입니다. 무위험자산이 있을 때 효율적 프론티어는 \(R_f\)에서 시장 포트폴리오 M을 지나는 직선(CML)이 됩니다. 매우 위험회피적인 투자자는 \(R_f\)와 M 사이의 선분 위에서 포트폴리오를 선택합니다.

5. 평균-분산 프레임워크의 한계

평균-분산 프레임워크를 적용하려면 다음과 같은 가정이 필요하며, 각각은 실무적으로 상당한 도전을 안고 있습니다:

가정	내용	현실적 한계
동질적 기대	모든 투자자가 동일한 평균, 표준편차, 상관계수를 가정	투자자마다 분석 방법과 기대치가 다름
2-파라미터 충분성	포트폴리오 선택에서 평균과 표준편차만 중요	왜도, 첨도 등 고차 모멘트 무시
무위험 차입 가능	모든 투자자가 무위험이자율로 차입 가능	실제로는 차입 비용이 더 높음
타원형 분포	수익률이 타원형(정규) 분포를 따라야 함	실제 수익률은 fat tails, 왜도 존재

가장 중요한 한계는 마지막 항목입니다. 기초 수익률 밀도함수의 형태가 대칭적이지 않으면(비정규/비타원형), 표준편차는 바람직하지 않은 수익률 결과를 얻을 확률을 적절히 포착하지 못합니다. 즉, 비대칭 분포에서는 같은 표준편차를 가진 두 자산이라도 하방 위험(Downside Risk)이 완전히 다를 수 있습니다.

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LO 47.b: 정규분포 vs 실제 금융자산 수익률 분포

1. 정규분포의 기본 성질

정규분포는 대칭적인 종(Bell) 모양의 연속 확률분포로, 두 개의 파라미터(평균 \(\mu\), 표준편차 \(\sigma\))로 완전히 정의됩니다. 표준정규분포(\(\mu = 0, \sigma = 1\))에서의 누적확률은 z-점수(z-score)를 통해 계산합니다.

Z-점수 (Z-Score)

$$z = \frac{x - \mu}{\sigma}$$

여기서 \(x\) = 특정 값, \(\mu\) = 평균, \(\sigma\) = 표준편차

예제: Z-점수 계산

문제: 평균 = 3, 표준편차 = 6일 때, 값이 2 이하일 누적확률은?

풀이:

$$z = \frac{2 - 3}{6} = \frac{-1}{6} = -0.1667$$

z-점수 -0.1667에 해당하는 누적확률은 약 0.4338, 즉 43.4%입니다. 이는 해당 값이 2 이하일 누적확률이 43.4%라는 의미입니다.

2. 실제 금융자산 수익률의 특성: 정규분포와의 괴리

금융변수가 정규분포를 따른다는 가정은 편리하지만, 주식과 같은 위험 금융자산의 실제 수익률 분포는 정규분포와 상당히 다릅니다. 예를 들어, 1998~2017년 기간 S&P 500의 수익률을 분석하면, 실제 수익률과 표준편차에서 작은 변화와 큰 변화 모두 정규분포 예측보다 훨씬 더 자주 발생했습니다.

특성	정규분포	실제 주식 수익률
분포 모양	완만한 종 모양	더 뾰족한(Peaked) 중심부
꼬리 두께	얇은 꼬리 (Thin Tails)	두꺼운 꼬리 (Fat Tails)
첨도 (Kurtosis)	3 (초과첨도 = 0)	> 3 (Leptokurtic, 초과첨도 > 0)
극단적 사건	매우 드물게 발생	양방향으로 더 자주 발생
왜도 (Skewness)	0 (완전 대칭)	≠ 0 (비대칭 가능)

실제 수익률 분포가 Fat Tails를 가진다는 것은, 정규분포가 "거의 일어나지 않는다"고 예측하는 극단적 사건(예: 일일 수익률 ±5% 이상)이 실제로는 훨씬 더 빈번하게 발생한다는 뜻입니다. 이는 VaR 계산에서 정규분포를 가정하면 극단적 손실을 과소평가할 위험이 있음을 의미합니다.

핵심 직관:
분포가 양으로 치우쳐(Positively Skewed) 있으면, 같은 평균과 표준편차를 가진 정규분포와 비교했을 때 전체 분포의 형태가 달라집니다. 양의 왜도 분포에서는 평균 아래의 결과가 평균에 더 가까이 발생하는 경향이 있지만, 오른쪽 꼬리에서는 극단적으로 큰 양의 결과가 나타날 수 있습니다. 정규성(Normality)은 평균-분산 프레임워크 사용 시 중요한 가정이며, 이 가정이 충족되지 않으면 프레임워크는 신뢰할 수 없습니다.

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LO 47.c: VaR (Value at Risk) — 정의, 가정, 한계

1. VaR의 정의

VaR(Value at Risk)는 정상적인 시장 조건에서, 지정된 보유기간(Holding Period) 동안, 주어진 신뢰수준(Confidence Level)에서 발생할 수 있는 최대 손실의 경계값입니다. 다시 말해, VaR은 주어진 신뢰수준에서 발생할 수 있는 최대 손실의 추정치입니다.

예를 들어, 분석가가 "주어진 월에 대해 VaR이 95% 신뢰수준에서 100만 달러"라고 말하면, 이는 "정상 조건 하에서, 95%의 달(20개월 중 19개월)에는 이익을 보거나 100만 달러 이내의 손실을 볼 것으로 예상한다"는 의미입니다. 분석가는 90%, 99% 등 다른 표준 신뢰수준도 사용합니다.

VaR은 수익률 분포의 왼쪽 꼬리에서 주어진 신뢰수준에 해당하는 발생 확률을 결정하는 위험 측정치입니다. 수익률 관점에서 VaR은 분위수(Quantile) 수익률입니다: 신뢰수준 이하의 확률로만 이보다 더 나쁜 수익률이 발생합니다.

2. Delta-Normal VaR 공식

VaR (수익률 기준)

$$VaR_{수익률} = \mu - z \times \sigma$$

VaR (달러 기준)

$$VaR_{달러} = [z \times \sigma - \mu] \times V$$

여기서 \(V\) = 포트폴리오 가치, \(z\) = 신뢰수준에 해당하는 z-값, \(\mu\) = 기대수익률, \(\sigma\) = 표준편차

주요 신뢰수준별 z-값은 다음과 같습니다:

신뢰수준	z-값	꼬리 확률
90%	1.28	10%
95%	1.65	5%
99%	2.33	1%

3. VaR 계산 예제

예제: Delta-Normal VaR 계산

문제: $100,000,000 포트폴리오, 1주 기대수익률 = 0.00188, 1주 표준편차 = 0.0125. 95% 신뢰수준의 1주 VaR은?

풀이:

Step 1: 분위수(Quantile) 수익률 계산

$$\mu - z \times \sigma = 0.00188 - 1.65 \times 0.0125 = 0.00188 - 0.020625 = -0.018745$$

이 값은 음수이므로 손실을 의미합니다.

Step 2: 달러 손실 계산

$$VaR = 0.018745 \times \$100{,}000{,}000 = \$1{,}874{,}500$$

정답: 운용자는 95% 신뢰 수준에서 최대 1주 손실이 $1,874,500을 초과하지 않을 것이라고 확신할 수 있습니다.

4. VaR의 두 가지 임의적 파라미터

첫째, 신뢰수준(Confidence Level): 신뢰수준은 VaR보다 크거나 같은 값을 얻을 가능성(확률)을 나타냅니다. 위험 수준은 선택된 신뢰도에 따라 달라집니다. 신뢰수준이 높아지면 VaR도 증가하며, 신뢰수준이 높아질수록 VaR의 증가 속도도 빨라집니다. 95%를 쓸지 99%를 쓸지는 분석가의 자의적 판단입니다.

둘째, 보유기간(Holding Period): VaR은 보유기간이 늘어나면 증가합니다. 보유기간에 따른 VaR의 증가 속도는 분포의 평균에 의해 부분적으로 결정됩니다:

시간에 따른 VaR 스케일링 (Square-Root-of-Time Rule):
평균(\(\mu\)) = 0이면: VaR은 보유기간의 제곱근에 비례하여 증가합니다. $$VaR_T = VaR_1 \times \sqrt{T}$$ 평균(\(\mu\)) > 0이면: VaR의 증가 속도가 둔화되며, 결국 감소할 수도 있습니다. 이는 양의 기대수익률이 시간이 지남에 따라 손실을 상쇄하는 효과 때문입니다.

5. VaR의 한계점

한계점	상세 설명
임의적 파라미터	신뢰수준(95%? 99%?)과 보유기간(1일? 1주? 1개월?)이 분석가에 의해 자의적으로 선택됨. 같은 포트폴리오도 파라미터 선택에 따라 VaR이 크게 달라짐
손실 규모 미제공	VaR은 "경계값"만 제공할 뿐, 그 아래(꼬리)에서 평균적으로 얼마나 크게 잃는지 알려주지 않음. 같은 VaR을 가진 두 분포가 꼬리에서 완전히 다른 손실 패턴을 보일 수 있음
OTM 옵션 매도 문제	외가격(OTM) 옵션을 매도하는 전략은 대부분의 시간 동안 양의 수익을 내지만, 옵션이 내가격으로 만기될 때 손실이 매우 클 수 있음. VaR만으로는 이 꼬리 위험을 포착하지 못해 전략이 오해될 수 있음
모형/구현 리스크	잘못된 분포 가정(모형 리스크)이나 모형 구현 과정의 오류(구현 리스크)로 VaR이 실제 위험을 과소/과대 추정할 수 있음
Subadditivity 위반	비타원형 분포에서 합친 포트폴리오의 VaR이 개별 VaR의 합보다 커질 수 있음 (분산효과 무시). 이는 Coherent Risk Measure에서 상세히 설명됨

요약하면, VaR 측정은 정규분포 같은 타원형 수익률 분포에서 잘 작동합니다. VaR은 비정규 분포에서도 위험을 계산할 수 있지만, 이 경우 VaR 추정치가 신뢰할 수 없을 수 있습니다. VaR 모형의 구현상 한계는 기초 수익률 분포, 임의적 신뢰수준, 임의적 보유기간, 그리고 손실 규모 계산 불능에서 비롯됩니다.

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Module Quiz 47.1

1. 평균-분산 프레임워크가 위험 측정에 부적절한 것은 기초 수익률 분포가 다음과 같을 때이다:

A. 정규분포인 경우
B. 타원형인 경우
C. 첨도가 3인 경우
D. 양으로 치우친(positively skewed) 경우

2. 매우 위험회피적인 투자자가 평균-분산 모형과 무위험자산을 기반으로 포트폴리오를 구성하고 있다. 이 투자자가 가장 가능성 높게 선택할 투자는:

A. 효율적 프론티어의 왼쪽
B. 효율적 프론티어의 오른쪽
C. 무위험수익률에서 시장 포트폴리오를 연결하는 선분 위
D. 시장 포트폴리오 오른쪽으로 연장되는 선분 위

3. 투자자가 S&P 500 지수에 포함된 주식을 매수했다. 정규분포에 비해, 이 투자자는 해당 증권의 수익률이 다음과 같을 것으로 합리적으로 기대할 수 있다:

A. 덜 뾰족할 것
B. 제로 왜도를 보일 것
C. 초과 첨도가 없을 것
D. 양방향으로 더 극단적일 것

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MODULE 47.2: Coherent Risk Measures와 Expected Shortfall

LO 47.e: Coherent Risk Measure의 4가지 성질

1. "좋은 위험측정치"란 무엇인가?

위험을 적절히 측정하려면, 먼저 위험 측정치가 무엇인지를 명확히 정의해야 합니다. \(R\)을 확률적 수익(Random Return)의 집합이라 하고, \(\rho(R)\)을 이 확률적 수익에 대한 위험측정치라 하면, 일관된(Coherent) 위험측정치는 다음 4가지 성질을 모두 만족해야 합니다. 이 4가지 성질은 "상식적으로 위험측정치가 이렇게 행동해야 한다"는 공리적 요구사항입니다.

성질	수식	직관적 의미
① Monotonicity (단조성)	\(R_1 \ge R_2\)이면 \(\rho(R_1) \le \rho(R_2)\)	모든 시나리오에서 항상 더 많이 버는 포트폴리오(\(R_1\))가 더 적게 버는 포트폴리오(\(R_2\))보다 "더 위험하다"고 나오면 안 됩니다. 미래 가치가 항상 더 큰 것이 위험이 더 적어야 합니다.
② Subadditivity (부분가법성)	\(\rho(R_1 + R_2) \le \rho(R_1) + \rho(R_2)\)	하위 포트폴리오들을 합친 전체 포트폴리오의 위험은 개별 위험의 합보다 작거나 같아야 합니다. 분산투자(Diversification) 시 위험이 줄어들거나, 최악의 경우에도 증가하지 않아야 합니다.
③ Positive Homogeneity (양의 동차성)	\(\beta > 0\)일 때 \(\rho(\beta R) = \beta \rho(R)\)	포지션 크기를 \(\beta\)배로 키우면, 위험도 정확히 \(\beta\)배가 됩니다. 포지션을 2배로 하면 위험도 2배입니다. 이는 시장에 충분한 유동성이 있을 때 성립합니다.
④ Translation Invariance (이동 불변성)	\(\rho(c + R) = \rho(R) - c\)	포트폴리오에 확정 현금 \(c\)를 추가하면, 위험이 정확히 \(c\)만큼 감소합니다. 현금은 완벽한 완충재(Buffer)로 작용하며, 확실한 금액의 추가는 포지션을 수용 가능하게 만드는 데 필요한 위험을 동일한 비율로 줄입니다.

2. 각 성질의 심층 해석

Monotonicity(단조성)는 가장 직관적인 성질입니다. 확률적 미래 가치 \(R_1\)이 항상 \(R_2\)보다 크다면, \(R_1\)의 수익률 분포에 대한 위험은 \(R_2\)보다 작습니다. "더 잘 벌면 더 안전하다"는 상식입니다.

Positive Homogeneity(양의 동차성)는 포지션 크기에 비례하여 위험이 변한다는 것입니다. 유동적인 시장에서는 포지션 크기를 바꿔도 가격에 영향이 없으므로 이 성질이 성립합니다.

Translation Invariance(이동 불변성)는 확실한 금액(현금)을 추가하면 위험이 동일하게 감소한다는 것입니다. 100만 원의 현금을 추가하면 위험이 정확히 100만 원 줄어들어야 합니다.

가장 중요한 성질: Subadditivity(부분가법성)
이 성질이 바로 "분산투자의 이점"을 수학적으로 보장합니다. 하위 포트폴리오들로 구성된 포트폴리오는 각 개별 하위 포트폴리오의 위험 합보다 같거나 적은 위험을 가져야 합니다. 이는 개별 위험을 합치면 분산효과(Diversification Benefit)가 있거나, 최악의 경우 분산효과가 없더라도 추가적인 위험이 발생하지는 않는다는 것을 가정합니다. 즉, 위험을 묶거나 더해도 전체 총합 위험량이 증가하지 않습니다.

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LO 47.d & LO 47.f: ES (Expected Shortfall) — 정의, 계산, VaR와의 비교

1. Expected Shortfall의 정의

VaR은 사전에 지정된 최악의 분위수 수익률(통상 5번째 백분위수 수익률)과 같은 최소 퍼센트 손실입니다. 반면 Expected Shortfall(ES)은 포트폴리오 수익률이 이미 사전에 지정된 최악의 분위수 수익률 아래에 있는 경우의 기대 손실(평균 손실)입니다. 다시 말해, ES는 q-분위수 아래에 해당하는 수익률들의 평균 퍼센트 손실입니다.

ES는 다른 이름으로도 불립니다:

• Conditional VaR (조건부 VaR): VaR 초과 조건 하에서의 기대 손실

• Expected Tail Loss (ETL, 기대 꼬리손실): 꼬리 영역의 평균 손실

• Tail Conditional Expectation: 꼬리 조건부 기대값

정의상 ES ≥ VaR입니다. ES는 VaR 경계값보다 더 나쁜 영역의 "평균"이므로, 경계값 자체보다 반드시 더 큰 손실을 나타냅니다.

2. 직관적 이해: VaR이 놓치는 것

5% VaR이 -20%라고 가정합시다. 이 경우:

VaR이 알려주는 것: "5%의 확률로 -20%보다 더 나쁜 수익률이 발생합니다." 즉, 경계선만 알려줍니다.

VaR이 알려주지 못하는 것: 하위 5%에 들어갔을 때, 실제 손실이 -25%인지, -40%인지, -60%인지 모릅니다. VaR은 펀드가 하위 5%의 가능한 결과에서 수행될 때 예상 손실 규모에 대한 좋은 정보를 제공하지 못합니다.

ES가 알려주는 것: "하위 5% 구간에 진입한 모든 시나리오의 평균 손실." ES는 불리한 사건이 발생했을 때 손실이 얼마나 클 것으로 예상되는지의 추정치를 제공합니다. 따라서 ES는 VaR보다 항상 더 큰 손실을 나타냅니다.

3. ES 공식 (정규분포)

평균 \(\mu\)와 표준편차 \(\sigma\)를 가진 정규분포에서, ES는 다음 공식으로 계산됩니다:

Expected Shortfall (정규분포)

$$ES = \mu - \sigma \times \left[\frac{\varphi(z)}{1-x}\right]$$

여기서:

\(\varphi(z)\) = 표준정규분포의 확률밀도함수(PDF) 값 (z에서의 높이)

\(x\) = 신뢰수준 (예: 95% → 0.95)

\(1 - x\) = 꼬리 확률 (예: 5% → 0.05)

\(z\) = 분포에서 \(x\%\)의 확률로 초과되는 지점 (예: 95% → z ≈ 1.65)

핵심적으로 이해해야 할 것은, ES 공식에서 \(\frac{\varphi(z)}{1-x}\) 부분이 z-값보다 항상 더 크다는 것입니다. 예를 들어 95% 신뢰수준에서 z = 1.65인데, \(\frac{0.102}{0.05} = 2.04\)로 z보다 큽니다. 이것이 바로 ES가 VaR보다 항상 큰 이유의 수학적 근거입니다.

4. ES 계산 예제

예제: Expected Shortfall 계산

문제: $100,000,000 포트폴리오, 1주 기대수익률 = 0, 1주 표준편차 = 0.0125. 95% 신뢰수준의 1주 ES는?

풀이:

Step 1: 필요한 값 확인

z(95%) ≈ 1.65, φ(1.65) ≈ 0.102, (1 - x) = 0.05

Step 2: ES 수익률 계산

$$ES = 0 - 0.0125 \times \frac{0.102}{0.05} = -0.0125 \times 2.04 = -0.0255$$

Step 3: 달러 ES 계산

$$\$ES = 0.0255 \times \$100{,}000{,}000 = \$2{,}550{,}000$$

정답: 1주 ES(95%) ≈ $2,550,000

비교: 같은 조건에서 VaR(95%)은 \(1.65 \times 0.0125 \times \$100M = \$2,062,500\)입니다 (μ=0일 때). ES는 VaR보다 약 $487,500 더 큽니다. 이 차이가 바로 "꼬리에서의 추가적 평균 손실"을 반영합니다.

5. VaR vs ES 종합 비교

비교 항목	VaR	ES
정의	분위수(Quantile) 경계값	꼬리 손실의 조건부 평균
손실 규모 정보	제공하지 않음 (경계만 제공)	제공함 (꼬리 평균 손실)
Subadditivity	비타원형 분포에서 위반 가능	항상 만족
Coherent?	정규분포에서만 Coherent	항상 Coherent
Risk Surface	비볼록(Non-convex) 가능	항상 볼록(Convex)
포트폴리오 최적화	비볼록 문제로 어려울 수 있음	볼록 문제로 더 적합
분포 가정	제약이 많음 (타원형 선호)	덜 제약적
크기 관계	—	정의상 ES ≥ VaR

공통점: VaR과 ES 모두 신뢰수준으로 표준화된 꼬리 위험 척도를 제공하여 서로 다른 포지션 간 비교를 가능하게 합니다. 또한 둘 다 상관관계(Correlation)를 적절히 반영할 수 있습니다. ES도 VaR과 동일한 방식으로 손실 확률을 결정하는 데 구현될 수 있습니다.

6. ES가 VaR보다 더 적절한 위험측정치인 4가지 이유

첫째, ES는 Subadditivity를 포함하여 Coherent Risk Measure의 모든 성질을 만족합니다. VaR은 정규분포에서만 이 성질들을 만족합니다.

둘째, Subadditivity 성질이 충족되므로 ES의 포트폴리오 위험 표면(Risk Surface)은 볼록(Convex)합니다. 보유기간과 신뢰수준을 동시에 조정할 때, ES 표면 곡선은 볼록하므로 포트폴리오 최적화 문제를 풀기에 VaR보다 더 적합합니다.

셋째, ES는 불리한 사건이 발생했을 때 손실의 규모(Magnitude)에 대한 추정치를 제공합니다. VaR은 손실이 얼마나 클 수 있는지에 대한 어떤 추정치도 제공하지 않습니다.

넷째, ES는 위험/수익 의사결정 규칙에 관한 덜 제약적인 가정을 가지고 있습니다.

7. 왜 VaR은 Coherent Risk Measure가 아닌가? (LO 47.f)

VaR은 Coherent Risk Measure의 4가지 성질 중 Subadditivity를 위반할 수 있기 때문에 Coherent가 아닙니다.

VaR에서는 합친 포트폴리오의 VaR이 개별 자산들의 VaR 합산보다 커질 수 있습니다. ES에서는 이런 일이 일어나지 않습니다. 이는 다음과 같은 상황에서 발생합니다:

• 비정규/비타원형 분포: 수익률이 정규분포를 따르지 않을 때

• 꼬리 의존성(Tail Dependence): 극단적 상황에서 상관관계가 급증할 때

• 비선형 페이오프(옵션): 옵션 등 비선형 상품이 포함된 포트폴리오

시험 핵심 포인트:
"VaR이 Coherent가 아닌 이유"를 물으면, 답은 반드시 Subadditivity 위반입니다. VaR은 비타원형 분포에서 분산효과(Diversification Benefit)를 보장하지 못하므로, 합친 포트폴리오가 개별 합보다 더 위험하다고 나올 수 있습니다. 반면 VaR과 ES 모두 정규분포에서는 Coherent Risk Measure의 모든 성질을 만족합니다. 비정규 분포에서만 ES만이 Coherent입니다.

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Module Quiz 47.2

1. \(\rho(X + Y) \le \rho(X) + \rho(Y)\)는 Coherent Risk Measure의 어떤 성질에 해당하는 수식인가?

A. Monotonicity
B. Subadditivity
C. Positive Homogeneity
D. Translation Invariance

2. 다음 중 Expected Shortfall(ES)이 VaR보다 더 적절한 위험측정치인 이유가 아닌 것은?

A. 정규분포에서 ES만이 Coherent Risk Measure의 모든 성질을 만족한다
B. 비타원형 분포에서 보유기간과 신뢰수준으로 형성된 포트폴리오 위험 표면이 ES에서 더 볼록하다
C. ES는 손실의 규모에 대한 추정치를 제공한다
D. ES는 위험/수익 의사결정 규칙에 관해 VaR보다 덜 제약적인 가정을 가진다

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Key Concepts

LO 47.a — 평균-분산 프레임워크와 효율적 프론티어

전통적인 평균-분산 모형은 포트폴리오의 금융 위험을 기대수익률(평균)과 위험(표준편차 또는 분산)으로 추정합니다. 이 모형의 필수 가정은 포트폴리오의 수익률 분포가 타원형 분포라는 것입니다.

효율적 프론티어는 위험자산의 투자 세계에서 위험과 수익에 대해 다른 모든 포트폴리오를 지배하는 포트폴리오들의 집합입니다. 무위험자산이 도입되면, 최적 포트폴리오 집합은 무위험수익률에서 시장 포트폴리오에 접선으로 이르는 직선이 됩니다.

프레임워크의 가정: ① 모든 투자자가 동일한 평균, 표준편차, 상관계수를 가정, ② 평균과 표준편차만 중요, ③ 모든 투자자가 무위험이자율로 차입 가능. 기초 수익률 분포가 비정규/비타원형이면 프레임워크는 신뢰할 수 없습니다.

LO 47.b — 정규분포 vs 실제 금융자산 수익률 분포

표준정규분포는 평균 0, 표준편차 1입니다. z-점수를 사용하여 특정 값 이하의 누적확률을 결정할 수 있습니다. 위험 금융자산의 수익률은 더 뾰족한 분포와 더 두꺼운 꼬리를 보이는 경향이 있으며, 이는 극단적 사건의 확률이 정규분포 예측보다 높다는 것을 의미합니다.

LO 47.c — VaR의 정의와 한계

VaR은 주어진 신뢰수준에서 수익률 분포의 왼쪽 꼬리에서 발생 확률을 결정하는 위험 측정치입니다. VaR = \([\mu - z\sigma]\)로 정의됩니다. 기초 수익률 분포, 임의적 신뢰수준과 보유기간 선택, 손실 규모 계산 불능이 VaR 모형의 주요 한계입니다.

LO 47.d — ES의 정의와 VaR 대비 장점

ES가 VaR보다 더 정확한 위험측정치인 이유: ① ES는 Subadditivity를 포함한 모든 Coherent Risk Measure 성질을 만족, ② ES의 포트폴리오 위험 표면이 볼록하여 최적화에 적합, ③ ES는 불리한 사건에 대한 손실 규모 추정치 제공, ④ ES는 덜 제약적인 가정을 가짐.

LO 47.e — Coherent Risk Measure의 4가지 성질

① Monotonicity: \(R_1 \ge R_2 \Rightarrow \rho(R_1) \le \rho(R_2)\) — 미래 수익이 클수록 위험이 적음

② Subadditivity: \(\rho(R_1+R_2) \le \rho(R_1)+\rho(R_2)\) — 포트폴리오 위험 ≤ 개별 위험의 합

③ Positive Homogeneity: \(\rho(\beta R) = \beta\rho(R)\) — 포지션 크기가 위험에 비례적 영향

④ Translation Invariance: \(\rho(c+R) = \rho(R)-c\) — 현금 추가 시 그만큼 위험 감소

LO 47.f — VaR이 Coherent가 아닌 이유

Coherent Risk Measure의 가장 중요한 성질인 Subadditivity는 하위 포트폴리오들로 구성된 포트폴리오가 각 개별 하위 포트폴리오의 위험 합보다 같거나 적은 위험을 가져야 한다고 명시합니다. VaR은 비타원형 분포에서 Subadditivity를 위반합니다.

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Answer Key for Module Quizzes

Module Quiz 47.1 정답 및 해설

1. 정답: D

평균-분산 프레임워크는 기초 분포가 타원형일 때만 적절합니다. 정규분포는 왜도가 0이고 첨도가 3인 타원형 분포의 특수한 경우입니다. 만약 왜도가 존재하면(양으로 치우침), 분포함수가 대칭적이지 않으므로 표준편차는 적절한 위험 측정치가 되지 못합니다. (LO 47.a)

2. 정답: C

평균-분산 프레임워크에서 무위험자산이 포함되면, 최적 포트폴리오 집합은 무위험수익률에서 시장 포트폴리오까지 이르는 직선 위에 놓입니다. 모든 투자자는 무위험자산과 시장 포트폴리오의 일정 비율을 보유합니다. 더 위험회피적인 투자자는 무위험자산과 시장 포트폴리오의 조합으로 무위험수익률과 시장 포트폴리오 사이의 선분 위에서 포트폴리오를 달성합니다. (LO 47.a)

3. 정답: D

주식과 같은 위험자산의 수익률은 정규분포를 따르지 않는 경향이 있습니다. 더 뾰족하고, 꼬리가 더 두꺼우며, 정규분포의 왜도 0과 초과첨도 0이라는 성질과 일치하지 않을 가능성이 높습니다. 두꺼운 꼬리는 양방향 모두에서 더 극단적인 수익률이 발생할 가능성이 높다는 것을 나타냅니다. (LO 47.b)

Module Quiz 47.2 정답 및 해설

1. 정답: B

Subadditivity(부분가법성)의 성질은 하위 포트폴리오들로 구성된 포트폴리오가 각 개별 하위 포트폴리오의 위험 합보다 같거나 적은 위험을 가져야 한다고 명시합니다. \(\rho(X+Y) \le \rho(X) + \rho(Y)\)가 이를 수학적으로 표현합니다. (LO 47.e)

2. 정답: A

VaR과 ES 모두 정규분포에서는 Coherent Risk Measure의 모든 성질을 만족합니다. 따라서 "정규분포에서 ES만이 모든 성질을 만족한다"는 진술은 거짓입니다. 정규분포에서는 둘 다 Coherent합니다. 그러나 정규성 가정이 충족되지 않을 때(비타원형 분포)에는 ES만이 Coherent Risk Measure의 모든 성질을 만족합니다. (LO 47.f)

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암기 체크리스트

#	핵심 공식 / 개념	한 줄 요약
1	\(\sigma_p^2 = w_1^2\sigma_1^2 + w_2^2\sigma_2^2 + 2w_1w_2\rho_{12}\sigma_1\sigma_2\)	포트폴리오 분산. \(\rho < 1\)이면 분산효과 발생
2	\(z = \frac{x - \mu}{\sigma}\)	Z-점수: 표준정규분포로의 변환
3	\(VaR = [z \times \sigma - \mu] \times V\)	Delta-Normal VaR (달러 기준)
4	\(ES = \mu - \sigma \times \frac{\varphi(z)}{1-x}\)	정규분포 ES. \(\frac{\varphi(z)}{1-x}\) > z 이므로 ES > VaR
5	\(\rho(R_1+R_2) \le \rho(R_1)+\rho(R_2)\)	Subadditivity: 분산투자 이점 보장. VaR은 위반 가능
6	VaR 스케일링: \(VaR_T = VaR_1 \times \sqrt{T}\)	평균 = 0일 때 적용 (Square-root-of-time rule)
7	평균-분산 유효 조건	타원형 분포(Elliptical Distribution) 가정 필수
8	VaR ≠ Coherent	비타원형 분포에서 Subadditivity 위반 → Coherent 아님
9	ES = 항상 Coherent	정규분포든 비정규분포든 4가지 성질 모두 만족
10	z(95%) ≈ 1.65, φ(1.65) ≈ 0.102	ES 계산 시 반드시 필요한 값 (암기)