FRM part1. Reading 55: Pricing Conventions, Discounting, and Arbitrage

 

FRM Part I – Reading 55
가격결정 관례, 할인 및 차익거래
(Pricing Conventions, Discounting, and Arbitrage)

EXAM FOCUS

핵심 학습 목표

이 Reading은 채권 가치평가(Bond Valuation)의 기초를 다룹니다. 채권의 가치는 단순히 미래 현금흐름을 적절한 할인율로 현재가치화한 것입니다. 할인계수(Discount Factors)는 쿠폰채의 가격결정과 채권이 저평가(Cheap)인지 고평가(Rich)인지를 판단하는 데 사용됩니다. 만약 증권 간 가격 오류(Mispricing)가 존재한다면, 일물일가의 법칙(Law of One Price) 위반으로부터 무위험 차익거래(Riskless Arbitrage) 이익을 실현할 수 있습니다.

시험에서 반드시 할 수 있어야 하는 것

• 할인계수(Discount Factor)를 이용한 현재가치와 미래가치 계산
• 일물일가의 법칙(Law of One Price)과 차익거래(Arbitrage) 기회 식별 및 거래 전략 수립
• STRIPS의 구조 이해: P-STRIPS vs C-STRIPS의 차이점
• 복제포트폴리오(Replicating Portfolio) 구성 방법과 역순 풀이 기법
• Clean Price vs Dirty Price의 차이와 경과이자(Accrued Interest) 계산
• 일수계산 관례(Day Count Convention): Actual/Actual, 30/360, Actual/360, Actual/365
• 단일 수익률(Single Yield)을 이용한 쿠폰채 가치평가와 가격-수익률 곡선(Price-Yield Curve)의 볼록성(Convexity)

이 Reading은 정량적 계산이 핵심입니다. 특히 할인계수 연쇄 도출(Bootstrap), 차익거래 현금흐름 분석, 경과이자 계산이 시험에 자주 출제됩니다.

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채권 가치평가의 기초 (Fundamentals of Bond Valuation)

1. 채권 가치평가의 기본 원리

고정수익증권(Fixed-Income Securities), 즉 채권의 가치평가는 금융의 가장 기본적인 원리를 따릅니다. 모든 증권의 가치는 미래에 받을 모든 기대 현금흐름(Expected Cash Flows)의 현재가치(Present Value)를 합산한 것입니다. 이것은 채권뿐만 아니라 주식, 파생상품 등 모든 금융자산 가치평가의 출발점입니다.

채권의 경우, 투자자가 받는 미래 현금흐름은 두 가지 유형으로 구성됩니다. 첫째, 쿠폰 지급액(Coupon Payments)은 채권 발행자가 정기적(일반적으로 반기 또는 연간)으로 투자자에게 지급하는 이자입니다. 둘째, 원금 상환(Return of Principal)은 채권 만기 시 투자자에게 반환되는 액면가(Face Value 또는 Par Value)입니다.

1.1 채권 가치평가의 3단계 프로세스

채권 가치평가는 체계적인 3단계 프로세스를 거칩니다. 이 프로세스를 정확히 이해하는 것이 모든 고정수익 분석의 기반입니다.

단계	설명	핵심 질문
Step 1	증권의 수명 동안 현금흐름 추정(Cash Flow Estimation)	언제, 얼마를 받는가?
Step 2	현금흐름의 불확실성에 기반한 적절한 할인율 결정(Discount Rate Determination)	위험을 어떻게 반영할 것인가?
Step 3	기대 현금흐름에 할인계수를 곱하여 현재가치 계산(Present Value Calculation)	오늘의 가치는 얼마인가?

1.2 할인율 결정: 무위험이자율과 위험 프리미엄

국채(Treasury Bond)의 경우, 약속된 현금흐름을 평가하는 데 사용되는 적절한 이자율은 무위험이자율(Risk-Free Rate)입니다. 무위험이자율은 모든 현금흐름을 할인하는 데 사용되는 단일 이자율일 수도 있고, 각 현금흐름이 도착하는 시점에 대응하는 일련의 할인율(즉, 현물이자율 곡선)일 수도 있습니다. 국채는 정부가 발행하므로 채무불이행 위험이 사실상 없다고 가정합니다.

비국채 증권(Non-Treasury Securities), 즉 회사채나 지방채의 경우, 적절한 할인율을 결정하기 위해 무위험(국채) 이자율에 위험 프리미엄(Risk Premium)을 추가해야 합니다. 위험 프리미엄은 더 큰 위험에 대한 보상으로서의 추가 수익률이며, 여러 유형의 위험을 반영합니다.

위험 유형	영문	설명
신용 위험	Credit Risk	발행자가 약속된 현금흐름을 지급하지 못할(채무불이행) 가능성
유동성 위험	Liquidity Risk	시장에서 적정한 가격으로 신속하게 매매하기 어려운 정도
콜 위험	Call Risk	발행자가 채권을 만기 전에 조기 상환(Call)할 가능성. 금리 하락 시 발행자에게 유리
조기상환 위험	Prepayment Risk	예상보다 빨리 원금이 상환될 위험 (주로 모기지담보증권에서 발생)

핵심 포인트: 단일 할인율을 사용하여 채권을 가치평가할 때, 위험 프리미엄은 무위험이자율에 더해져 모든 기대 현금흐름에 적용되는 하나의 할인율을 구성합니다. 이 단일 할인율이 바로 만기수익률(Yield to Maturity, YTM)의 개념적 기초입니다.

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MODULE 55.1: 할인계수와 차익거래 (Discount Factors and Arbitrage)

LO 55.a: 할인계수 정의 및 할인함수를 이용한 현재가치와 미래가치 계산

2. 할인계수(Discount Factor)의 개념

할인계수(Discount Factor)는 미래 현금흐름의 현재가치를 결정하는 데 사용되는 핵심 도구입니다. 할인함수는 \(d(n)\)으로 표현되며, 여기서 \(n\)은 다음 지급까지의 쿠폰 기간 수를 나타냅니다. 할인계수는 재무부 단기증권(Treasury Bills)과 재무부 채권(Treasury Bonds)의 가치평가에 특히 자주 사용됩니다.

2.1 할인계수의 직관적 이해

할인계수 \(d(n)\)은 "n 기간 후에 받을 1달러가 오늘 얼마의 가치가 있는가?"에 대한 답입니다. 이것은 화폐의 시간가치(Time Value of Money)를 가장 직접적으로 표현하는 방법입니다.

예를 들어, \(d(1) = 0.95\)라면, 1년 후 받을 $1는 오늘 $0.95의 가치가 있다는 의미입니다. \(d(2) = 0.90\)이라면, 2년 후 받을 $1는 오늘 $0.90의 가치가 있습니다. 할인계수는 항상 0과 1 사이의 값을 가지며, 정상적인 이자율 환경에서는 기간이 길어질수록 작아집니다. 이는 돈을 더 오래 기다려야 할수록 그 돈의 현재 가치가 줄어든다는 직관과 일치합니다.

할인계수의 핵심 성질:

• \(0 < d(n) < 1\): 미래 현금흐름의 현재가치는 항상 미래가치보다 작음
• 정상적인 금리 환경에서 \(d(1) > d(2) > d(3) > \cdots\): 기간이 길수록 할인계수가 작아짐
• 할인계수는 현물이자율(Spot Rate)과 역의 관계: 이자율이 높을수록 할인계수는 작아짐

2.2 재무부 단기증권(Treasury Bills)의 할인계수

재무부 단기증권(T-Bill)은 정부가 단기 자금 조달 필요를 위해 발행하는 1년 이내 만기 증권입니다. T-Bill은 쿠폰을 지급하지 않는 할인채(Discount Security)로, 투자자는 액면가보다 낮은 가격에 매수하고 만기 시 액면가를 받습니다. T-Bill의 현금 가격(Cash Price)은 만기 가격(예: 100), 호가(Q), 만기까지의 달력상 일수(n)의 함수입니다:

T-Bill 현금 가격 공식

$$\text{Cash Price} = 100 - Q \times \frac{n}{360}$$

여기서:

• \(Q\): 호가 (Quoted Price) = 연환산 할인율
• \(n\): 만기까지의 달력상 일수

T-Bill이 1년 후 만기이고 \(n = 360\)이라면, 매수자가 지불하는 가격은 \(100 - Q\)가 됩니다. 즉, 매수자는 오늘 \(100 - Q\)를 지불하고 360일 후에 100을 받습니다. 여기서 호가(Quoted Price, Q)는 본질적으로 T-Bill의 연환산 할인율입니다.

용어	영문	다른 명칭	설명
호가	Quoted Price	Clean Price	경과이자를 포함하지 않는 가격
현금 가격	Cash Price	Dirty Price	경과이자를 포함하는 가격 (실제 거래 금액)

2.3 할인계수 계산: Bid-Ask 중간값 방법

실무에서 할인계수를 계산할 때, 매수 호가(Bid)에 기반한 현금 가격과 매도 호가(Ask)에 기반한 현금 가격을 모두 계산한 후, 이 두 값의 중간값(Midpoint)을 사용합니다. 이 중간값이 해당 만기의 할인계수가 됩니다.

예제: 80일 후 만기 증권의 할인계수 계산

80일 후 만기인 T-Bill의 Bid 기준 현금 가격이 99.60이고, Ask 기준 현금 가격이 99.65입니다.

풀이:

$$\text{중간값} = \frac{99.60 + 99.65}{2} = 99.625$$ $$d(80\text{일}) = \frac{99.625}{100} = 0.99625$$

이 할인계수의 의미:

• 80일 후 $100,000 가치의 증권은 오늘 \(\$100{,}000 \times 0.99625 = \$99{,}625\)에 거래됩니다.
• 오늘 $100,000를 투자하면 80일 후 \(\$100{,}000 \div 0.99625 = \$100{,}376.41\)가 됩니다.

2.4 T-Bill 가치평가 예제

예제: 할인계수를 이용한 T-Bill 가치 계산

180일 후 만기 T-Bill의 할인계수가 \(d(0.5) = 0.92432\)라고 가정합니다. 오늘 이 T-Bill의 가격은 얼마입니까?

풀이:

6개월 후 받을 $1는 오늘 $0.92432의 가치가 있으므로, $100 액면가의 T-Bill 가격은:

$$\text{Price} = d(0.5) \times \$100 = 0.92432 \times \$100 = \$92.432$$

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3. 재무부 채권(Treasury Bonds)의 할인계수 도출

재무부 채권(T-Bond)은 정부가 중장기 자금 필요를 위해 발행하는 증권으로, 미래 현금흐름의 흐름(Stream)을 약속합니다. 채권은 액면가(Face Value), 현금흐름(쿠폰), 만기(Maturity)로 정의됩니다.

일련의 T-Bond 가격을 사용하여 할인함수(Discount Function)를 생성할 수 있습니다. 이것이 채권 시장에서 할인계수를 도출하는 핵심 방법론이며, 흔히 부트스트래핑(Bootstrapping)이라고 불립니다. 핵심 아이디어는 가장 짧은 만기의 채권부터 시작하여 순차적으로 더 긴 만기의 할인계수를 도출하는 것입니다.

예제: 채권 가격이 주어졌을 때 할인계수 연쇄 도출 (Bootstrap)

다음과 같은 반기 쿠폰 채권들이 있습니다 (액면가 $100, 결제일 기준 T+1):

채권	쿠폰율	만기	현금가격
Bond 1	5.50%	0.5년	101.50
Bond 2	7.25%	1.0년	105.98
Bond 3	2.00%	1.5년	101.22
Bond 4	4.50%	2.0년	104.87
Bond 5	3.75%	2.5년	104.21

Step 1: \(d(1)\) 계산 — Bond 1 사용

Bond 1은 0.5년(6개월) 후 만기이므로, 만기 시 원금 100과 마지막 반기 이자 지급액을 받습니다:

$$\text{반기 쿠폰} = \frac{5.50\%}{2} \times 100 = 2.75$$ $$\text{만기 시 총 현금흐름} = 100 + 2.75 = 102.75$$ $$101.50 = 102.75 \times d(1)$$ $$d(1) = \frac{101.50}{102.75} = 0.9878$$

Step 2: \(d(2)\) 계산 — Bond 2 사용

Bond 2는 1년 만기이므로, Time 1(6개월 후)과 Time 2(1년 후) 두 번의 현금흐름이 발생합니다:

$$\text{반기 쿠폰} = \frac{7.25\%}{2} \times 100 = 3.625$$

Time 1 현금흐름: 3.625   /   Time 2 현금흐름: \(100 + 3.625 = 103.625\)

$$105.98 = 3.625 \times d(1) + 103.625 \times d(2)$$ $$105.98 = 3.625 \times 0.9878 + 103.625 \times d(2)$$ $$105.98 = 3.581 + 103.625 \times d(2)$$ $$d(2) = \frac{105.98 - 3.581}{103.625} = \frac{102.399}{103.625} = 0.9880$$

Step 3: \(d(3)\) 계산 — Bond 3 사용

$$\text{반기 쿠폰} = \frac{2.00\%}{2} \times 100 = 1.0$$ $$101.22 = 1.0 \times d(1) + 1.0 \times d(2) + 101 \times d(3)$$ $$101.22 = 1.0 \times 0.9878 + 1.0 \times 0.9880 + 101 \times d(3)$$ $$101.22 = 1.9758 + 101 \times d(3)$$ $$d(3) = \frac{99.2442}{101} = 0.9825$$

Step 4~5: 동일한 방법론으로 Bond 4, 5를 사용하여 계속 도출합니다.

도출된 할인계수 요약:

기간 (n)	만기	할인계수 \(d(n)\)
1	0.5년	0.9878
2	1.0년	0.9880
3	1.5년	0.9825
4	2.0년	0.9731
5	2.5년	0.9633

시험 함정 주의: 할인계수 도출 시 반드시 짧은 만기부터 순차적으로 풀어야 합니다. 이전 단계에서 구한 할인계수가 다음 단계의 입력값으로 사용되기 때문입니다. 또한 반기 쿠폰채의 경우 쿠폰율을 반드시 2로 나누어 반기 쿠폰을 계산해야 합니다.

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LO 55.b: 일물일가의 법칙 정의 및 채권 가격결정에의 적용

4. 일물일가의 법칙 (Law of One Price)

앞서 도출한 할인함수는 채권의 가치를 추정하는 데 사용될 수 있습니다. 투자자는 현금흐름의 출처(Origin)에 관심이 없습니다. 다른 조건이 같다면, 한 채권에서 나오는 현금흐름은 다른 채권에서 나오는 현금흐름과 동일한 가치를 갖습니다. 이것이 바로 금융 시장의 가장 기본적인 원칙 중 하나인 일물일가의 법칙입니다.

일물일가의 법칙 (Law of One Price):

"동일한 미래 현금흐름을 가진 금융상품은 동일한 가격에 거래되어야 한다."

"Instruments with identical future cash flows should sell for the same price."

만약 동일한 현금흐름을 제공하는 두 증권이 다른 가격에 거래된다면, 시장 참여자들은 즉시 이 가격 차이를 이용하여 무위험 이익을 얻으려 할 것입니다. 이러한 차익거래(Arbitrage) 활동은 가격을 균형으로 밀어붙여, 결과적으로 두 자산의 가격이 수렴하게 만듭니다.

4.1 일물일가의 법칙이 성립하는 메커니즘

일물일가의 법칙은 차익거래(Arbitrage)의 힘에 의해 유지됩니다. 그 메커니즘은 다음과 같습니다:

단계	과정
1	동일한 현금흐름을 가진 두 자산이 다른 가격에 거래됨을 발견
2	투자자들이 비싼 자산을 공매도하고 싼 자산을 매수
3	이 거래 압력(Trading Pressure)이 가격을 균형(Equilibrium)으로 밀어붙임
4	결과적으로 두 자산의 가격이 수렴(Converge)

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LO 55.c: 확정된 현금흐름을 가진 고정수익증권의 차익거래 기회 식별

5. 차익거래 기회 (Arbitrage Opportunity)

투자자가 일물일가의 법칙 위반으로 인한 가격 오류(Mispricing)를 이용할 수 있다면, 이를 차익거래 기회(Arbitrage Opportunity)라고 합니다. 차익거래는 초기 투자 없이 무위험 이익을 창출할 수 있는 기회로, 효율적 시장(Efficient Market)에서는 빠르게 소멸해야 합니다.

차익거래 활용의 핵심 원리:

• 고평가(Rich)된 증권/포트폴리오를 공매도(Short Sell)
• 저평가(Cheap)된 증권/포트폴리오를 매수(Buy)
• 두 포지션이 동일한 미래 현금흐름을 제공하므로, 미래 의무가 서로 상쇄되면서 오늘 무위험 이익을 창출

5.1 공매도(Short Position)의 이해

공매도(Short Position)는 투자자가 소유하지 않은 증권을 매도하는 것입니다. 투자자는 증권을 빌려서 시장에 매도하고, 나중에 더 낮은 가격에 증권을 재매수하여 반환할 수 있기를 기대합니다. 공매도는 차익거래 전략에서 필수적인 구성요소입니다.

항목	설명
소득 지급 의무	증권이 소득(채권의 쿠폰, 주식의 배당)을 지급하면, 공매도 투자자는 이 소득을 증권 대여자에게 지급해야 함
주요 위험 (1)	증권 가격이 상승하여 더 높은 가격에 재매수해야 하는 경우 → 손실 발생
주요 위험 (2)	증권을 더 이상 빌릴 수 없어 투자자가 (잠재적으로 손실을 보며) 증권을 강제 재매수해야 하는 경우

5.2 차익거래 기회 식별 및 활용 예제

예제: 차익거래 기회 식별 및 3단계 활용 전략

다음과 같은 연간 쿠폰 채권들이 관찰되었습니다:

채권	만기	쿠폰율	YTM	가격
1년 무이표채	1년	0%	4%	96.154
2년 무이표채	2년	0%	8%	85.734
2년 8% 쿠폰채	2년	8%	8%	1,000.00

2년 현물이자율(Spot Rate)은 8.167%입니다. 차익거래 기회가 있습니까?

분석:

2년 무이표채의 YTM이 8%인데, 2년 현물이자율은 8.167%입니다. 무이표채의 YTM은 현물이자율과 동일해야 하므로, 2년 무이표채의 YTM(8%)이 너무 낮습니다. YTM이 낮다는 것은 가격이 높다는 뜻이므로, 2년 무이표채는 고평가(Trading Rich)되어 있습니다. 따라서 차익거래 기회가 존재합니다.

차익거래 전략 (3단계):

Step 1: 2년 8% 쿠폰채 $1,000,000 매수

Step 2: 1년 무이표채 $80,000 액면 공매도 (가격 96.154)

$$\text{현금 유입} = \$80{,}000 \times 0.96154 = \$76{,}923$$

Step 3: 2년 무이표채 $1,080,000 액면 공매도 (가격 85.734)

$$\text{현금 유입} = \$1{,}080{,}000 \times 0.85734 = \$925{,}927$$

현금흐름 분석:

시점	쿠폰채 (매수)	1년 무이표채 (공매도)	2년 무이표채 (공매도)	순 현금흐름
오늘 (T=0)	-$1,000,000	+$76,923	+$925,927	+$2,850
1년 후 (T=1)	+$80,000	-$80,000	$0	$0
2년 후 (T=2)	+$1,080,000	$0	-$1,080,000	$0

결과: 오늘 양(+)의 현금흐름 $2,850을 받고, 미래에는 아무런 의무도 없습니다. 이것이 바로 차익거래 기회입니다! 초기 투자 없이 무위험 이익을 실현할 수 있습니다.

시험 함정 주의:

• 공매도한 쿠폰채의 쿠폰 지급 의무를 잊지 마세요. 공매도 포지션은 쿠폰 지급일에 대여자에게 쿠폰을 지급해야 합니다.
• 차익거래의 핵심은 미래 순 현금흐름이 0이면서 오늘 양의 현금흐름을 얻는 것입니다.
• 고평가(Rich) = 공매도, 저평가(Cheap) = 매수 — 이 원칙을 확실히 기억하세요.

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MODULE 55.2: 채권 구성요소와 가격결정 (Bond Components and Pricing)

LO 55.d: 미국 재무부 쿠폰채의 구성요소 식별 및 STRIPS와 비교

6. STRIPS (Separate Trading of Registered Interest and Principal Securities)

STRIPS는 재무부가 발행하는 무이표채(Zero-Coupon Bonds)입니다. STRIPS라는 이름은 "Separate Trading of Registered Interest and Principal Securities"의 약자로, 문자 그대로 이자와 원금의 분리 거래를 의미합니다. STRIPS는 쿠폰채가 재무부에 제출될 때, 요청에 따라 생성됩니다. 하나의 쿠폰채는 두 가지 구성요소로 "분리(Stripped)"됩니다.

6.1 P-STRIPS vs C-STRIPS

구분	P-STRIPS	C-STRIPS
정식 명칭	Principal STRIPS	Coupon STRIPS
다른 명칭	TPs, Ps	TINTs, INTs
내용	채권의 원금(Principal) 부분	채권의 이자(쿠폰, Coupon) 부분
생성 수량	각 채권당 하나만 존재	각 쿠폰 지급일마다 하나씩 존재
만기	원래 채권의 만기일	각 쿠폰 지급일

예를 들어, 10년 만기 반기 쿠폰채를 분리(Strip)하면, 1개의 P-STRIPS(10년 후 원금 상환)와 20개의 C-STRIPS(6개월마다 지급되는 쿠폰 20개)가 생성됩니다.

6.2 STRIPS 차익거래

C-STRIPS와 P-STRIPS 간의 상대적 가격이 괴리될 때 차익거래 기회가 존재합니다. 예를 들어, 동일한 만기의 P-STRIPS와 C-STRIPS가 다른 가격에 거래된다면, 비싼 것을 공매도하고 싼 것을 매수하여 이익을 얻을 수 있습니다.

실무적 한계: 이론적으로 STRIPS 차익거래 기회가 존재하지만, 거래 비용(Transaction Costs)이 차익거래 이익을 상쇄할 수 있습니다. 따라서 이러한 기회가 시장에서 활용되지 않은 채로 남아있을 수 있습니다.

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LO 55.e: 여러 고정수익증권을 사용하여 복제포트폴리오 구성

7. 복제포트폴리오 (Replicating Portfolio) 구성

복제포트폴리오(Replicating Portfolio)란 특정 채권의 현금흐름을 정확히 복제(Replicate)하는 다른 채권들의 조합(Combination)입니다. 복제포트폴리오 구성은 차익거래 전략의 핵심입니다:

• 저평가(Cheap)된 채권을 발견하면: 해당 채권을 매수하고 복제포트폴리오를 공매도
• 고평가(Rich)된 채권을 발견하면: 해당 채권을 공매도하고 복제포트폴리오를 매수

두 경우 모두 미래 현금흐름이 서로 상쇄되므로, 가격 차이만큼의 무위험 이익을 창출할 수 있습니다.

7.1 복제포트폴리오 구성 방법: 역순 풀이 기법

손으로 복제포트폴리오를 구성할 때는 끝에서부터 시작(Working Backwards)하는 것이 가장 효율적입니다. 복제하려는 채권(대상 채권)의 만기와 일치하는 채권부터 시작하여, 역순으로 각 시점의 현금흐름을 맞춰나갑니다.

예제: 2년 만기 10% 쿠폰채의 복제포트폴리오 구성

대상 채권 (Bond 1):

• 액면가: $100, 쿠폰율: 10% (반기 지급), YTM: 4.5%
• 반기 쿠폰: \(\$100 \times 10\% / 2 = \$5\)

Bond 1의 현금흐름:

시점	0.5년	1.0년	1.5년	2.0년
현금흐름	$5	$5	$5	$105

복제에 사용할 채권들:

채권	만기	쿠폰율	가격
Bond 2	0.5년	2%	100.00
Bond 3	1.0년	3%	99.50
Bond 4	1.5년	4%	100.25
Bond 5	2.0년	3%	98.50

Step 1: Bond 5의 액면 비중 결정 (\(FV_5\))

2.0년 시점에서 Bond 1은 $105를 지급합니다. Bond 5는 만기에 원금 $100 + 반기 쿠폰 \(\$100 \times 3\%/2 = \$1.50\) = $101.50이 아니라, 연간 쿠폰율 3%이므로 반기 쿠폰 $1.50과 원금 $100을 합산한 $101.50... 그러나 원문에서는 만기 시 $103을 지급한다고 했으므로 연간 쿠폰 기준입니다.

Bond 5 만기 시 현금흐름 = \(100 + 3 = 103\) (쿠폰 + 원금)

$$FV_5 \times 103 = 105$$ $$FV_5 = \frac{105}{103} = 1.0194 \quad (\text{즉, 101.94\%})$$

Bond 5의 쿠폰율(3%)이 Bond 1의 쿠폰율(10%)보다 낮으므로, Bond 1의 $100 액면가보다 더 많은 Bond 5(101.94%)를 매수해야 2.0년 시점에서 $105의 현금흐름을 맞출 수 있습니다.

Step 2~4: 나머지 채권들의 비중도 동일한 방식으로 역순 결정합니다. 각 시점에서 이미 결정된 채권들의 쿠폰 기여분을 차감하고, 나머지를 새 채권으로 채웁니다.

최종 복제포트폴리오 현금흐름 확인:

채권	액면 비중	0.5년	1.0년	1.5년	2.0년
Bond 2	3.9125%	$3.9908	–	–	–
Bond 3	0.9768%	$0.0147	$1.0061	–	–
Bond 4	0.9353%	$0.0187	$0.0187	$0.9727	–
Bond 5	101.94%	$1.5291	$1.5291	$1.5291	$105
합계		≈ $5	≈ $5	≈ $5	$105

복제포트폴리오의 현금흐름이 Bond 1의 현금흐름과 정확히 일치함을 확인할 수 있습니다. 만약 이 복제포트폴리오의 총 비용이 Bond 1의 가격과 다르다면, 차익거래 기회가 존재합니다.

핵심 포인트:

• 복제포트폴리오 구성 시 역순 풀이(Working Backwards)가 핵심 기법
• 대상 채권보다 쿠폰율이 낮은 채권을 사용하면, 액면 비중이 100%를 초과할 수 있음
• 복제포트폴리오의 총 비용 ≠ 대상 채권 가격이면 차익거래 기회

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LO 55.f: Clean Price와 Dirty Price의 구분 및 경과이자의 함의

8. Clean Price vs Dirty Price

채권은 쿠폰 지급일 사이에 자주 거래됩니다. 두 쿠폰 지급일 사이에 채권이 거래될 때, 매수자는 매도자에게 마지막 쿠폰 지급일 이후 축적된 이자에 대한 보상을 해야 합니다. 이 상황에서 경과이자(Accrued Interest), 분수 기간 복리(Fractional Period Compounding), 일수계산 관례(Day Count Convention)의 세 가지 항목을 고려해야 합니다.

8.1 핵심 용어 정의

용어	영문	다른 명칭	설명
Dirty Price	Full Price, Invoice Price	더러운 가격	매도자에게 지불해야 하는 총 가격 = 채권의 현재가치 + 경과이자
Clean Price	Flat Price, Quoted Price	깨끗한 가격	Dirty Price에서 경과이자를 차감한 가격

Clean Price와 Dirty Price의 관계

$$\boxed{\text{Clean Price} = \text{Dirty Price} - \text{Accrued Interest}}$$

8.2 왜 두 가지 가격이 필요한가?

시장 관례상 채권 가격은 Clean Price로 호가(Quote)됩니다. 이는 두 가지 중요한 이유 때문입니다.

첫째, 비교 용이성(Comparability)입니다. Clean Price는 경과이자의 영향을 제거하여 채권 간 가격 비교를 용이하게 합니다. 쿠폰 지급일이 다른 채권들도 Clean Price로 표시하면 공정한 비교가 가능합니다.

둘째, 가격 연속성(Price Continuity)입니다. Dirty Price는 쿠폰 지급일에 급격히 하락합니다(지급된 쿠폰만큼). 반면 Clean Price는 시간에 따라 비교적 연속적으로(Smoothly) 움직입니다. 이것은 가격 그래프에서 쿠폰 지급일마다 "톱니 모양(Sawtooth Pattern)"이 나타나는 Dirty Price와 달리, Clean Price가 훨씬 깔끔한 추세를 보여주기 때문입니다.

그러나 실제 결제(Settlement) 시에는 Dirty Price를 지불합니다. 매수자는 매도자에게 쿠폰 지급일 이후 축적된 이자에 대한 보상을 해야 하기 때문입니다. Dirty Price에는 다음 쿠폰의 할인 가치가 포함되어 있으므로, 경과이자 계산 방법에 관계없이 Clean Price + 경과이자 = Dirty Price가 항상 성립합니다.

8.3 경과이자(Accrued Interest) 계산

경과이자(Accrued Interest)는 마지막 쿠폰 지급일 이후 발생한 이자로, 채권 매수자가 매도자에게 지불해야 하는 금액입니다. 이것은 매도자가 마지막 쿠폰 지급일 이후 채권을 보유한 기간에 대한 정당한 보상입니다.

경과이자(Accrued Interest) 공식

$$\text{Accrued Interest} = \text{Coupon} \times \frac{\text{마지막 쿠폰 이후 경과일수}}{\text{쿠폰 기간의 총 일수}}$$

예제: 경과이자 계산

$1,000 액면가의 미국 회사채가 반기 10% 쿠폰을 지급합니다. 마지막 쿠폰이 90일 전에 지급되었고, 30/360 일수계산 관례를 사용합니다.

풀이:

$$\text{반기 쿠폰} = \$1{,}000 \times \frac{10\%}{2} = \$50$$ $$\text{반기 기간 (30/360 관례)} = 180\text{일}$$ $$\text{Accrued Interest} = \$50 \times \frac{90}{180} = \$25$$

따라서 매수자는 매도자에게 경과이자 $25를 추가로 지불해야 합니다.

예제: 프랑스 회사채 경과이자 계산 (시험 문제 유형)

EUR 100,000 액면가의 프랑스 회사채가 반기 3.5% 쿠폰을 지급합니다. 마지막 쿠폰이 75일 전에 지급되었고, 30/360 관례를 사용합니다.

풀이:

$$\text{반기 쿠폰} = 100{,}000 \times \frac{3.5\%}{2} = 1{,}750$$ $$\text{Accrued Interest} = 1{,}750 \times \frac{75}{180} = 729.17 \approx 729$$

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LO 55.g: 고정수익증권의 이자 계산에 사용되는 일반적인 일수계산 관례

9. 일수계산 관례 (Day Count Conventions)

채권 시장에서는 경과이자 계산을 위해 여러 가지 일수계산 관례(Day Count Conventions)가 실무에서 사용됩니다. 사용되는 일수계산 관례는 증권의 유형과 발행 국가에 따라 다릅니다. 일수계산 관례는 "경과일수를 어떻게 셀 것인가"와 "1년을 며칠로 볼 것인가"를 정의합니다.

9.1 주요 일수계산 관례

관례	분자 (경과일수)	분모 (기준 일수)	적용 증권
Actual/Actual (in period)	실제 경과일수	실제 쿠폰 기간 일수	미국 국채 (Treasury Bonds)
30/360	한 달 30일 기준	1년 360일 기준	미국 회사채, 지방채, 유로본드
Actual/360	실제 경과일수	1년 360일 기준	미국 단기금융시장 증권
Actual/365	실제 경과일수	1년 365일 기준	캐나다, 뉴질랜드, 호주 단기금융시장 증권

9.2 증권 유형별 일수계산 관례 요약

증권 유형	쿠폰 빈도	일수계산 관례
미국 국채 (Treasury Bonds)	반기	Actual/Actual
미국 회사채 (Corporate Bonds)	반기	30/360
미국 지방채 (Municipal Bonds)	반기	30/360
유로본드 (Eurobonds)	연간	30/360
단기금융시장 - 미국	–	Actual/360
단기금융시장 - 캐나다, 호주, 뉴질랜드	–	Actual/365

9.3 일수계산 관례가 채권 가격결정에 미치는 영향

일수계산 관례를 반영하기 위해 채권 가격결정 공식을 수정해야 합니다. 쿠폰 기간에 대해 사용할 일수는 적절한 일수계산 관례에 의해 결정됩니다. 예를 들어, 30/360 관례를 사용하는 반기 채권의 경우 쿠폰 기간의 분모는 180일입니다. Actual/Actual 관례를 사용하는 미국 국채의 경우, 실제 쿠폰 기간의 일수(예: 181일 또는 184일 등)가 분모가 됩니다.

일수계산 관례를 반영한 채권 가격결정에서, 경과일수 비율 \(w\)는 다음과 같이 정의됩니다:

$$w = \frac{\text{다음 쿠폰까지의 일수}}{\text{쿠폰 기간의 총 일수}}$$

이 \(w\)를 사용한 채권 가격결정 공식은 Dirty Price를 계산합니다.
(첫 번째 쿠폰의 전체 할인 가치를 포함하기 때문)

시험 함정 주의:

• 미국 국채는 Actual/Actual → 실제 날짜를 세어야 합니다
• 미국 회사채는 30/360 → 모든 달을 30일로, 1년을 360일로 가정
• 호주/캐나다 단기금융시장은 Actual/365 → Actual/360이 아닙니다!
• 일수계산 관례를 잘못 적용하면 경과이자 계산이 틀어져 오답을 선택하게 됩니다

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채권 가치평가와 가격-수익률 관계

10. 단일 수익률을 이용한 쿠폰채 가치 계산

10.1 연간 현금흐름을 가진 채권

옵션이 없는(Option-Free) 쿠폰채의 경우, 쿠폰 지급액은 연금(Annuity)으로, 만기 시 원금 상환은 미래가치(Future Value)로 처리하여 가치를 계산합니다.

예제: 10년 만기 연간 쿠폰채 가치평가

10년 동안 매년 $100을 지급하고, 만기에 $1,000을 상환하는 채권이 있습니다. 모든 현금흐름에 대한 적절한 할인율이 8%라면, 이 채권의 가치는?

$$\text{Bond Value} = \sum_{t=1}^{10} \frac{\$100}{(1.08)^t} + \frac{\$1{,}000}{(1.08)^{10}}$$

계산기 풀이:

입력	값	설명
N	10	쿠폰 지급 횟수 (= 10년)
I/Y	8	할인율 (연간)
PMT	100	연간 쿠폰 지급액
FV	1,000	만기 시 원금 상환
CPT → PV	-$1,134.20	채권의 현재가치 (음수 = 매수 시 지불 금액)

PV가 음수인 이유: 계산기는 PMT와 FV가 양수(수취)이면, PV를 음수(지불)로 표시합니다. 이는 채권을 매수하기 위해 지불해야 하는 금액이 현금 유출이기 때문입니다.

10.2 반기 현금흐름을 가진 채권

같은 채권이 반기 쿠폰을 지급한다면, 모든 변수를 반기 기준으로 조정해야 합니다:

예제: 반기 쿠폰 채권 가치평가

위와 동일한 채권이 반기마다 쿠폰을 지급하는 경우:

입력	연간 기준	반기 기준
N	10	20 (10년 × 2)
I/Y	8%	4% (8% ÷ 2)
PMT	$100	$50 ($100 ÷ 2)
FV	$1,000	$1,000 (변동 없음)
CPT → PV	-$1,134.20	-$1,135.90

반기 복리 시 채권 가치($1,135.90)가 연간 복리($1,134.20)보다 약간 더 높습니다. 이는 반기 복리가 더 자주 이자를 지급하므로, 투자자에게 더 유리하기 때문입니다. 더 자주 이자를 받는다는 것은 그 이자를 재투자할 수 있는 기회가 더 많다는 의미이므로, 투자자 입장에서 더 높은 가치를 갖습니다.

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11. 가격-수익률 곡선 (Price-Yield Curve)

11.1 가격과 수익률의 역관계

채권 가치와 채권 수익률(할인율)은 역의 관계(Inversely Related)에 있습니다. 이것은 채권 가치평가에서 가장 기본적이면서도 가장 중요한 관계입니다:

• 할인율 증가 → 채권 기대 현금흐름의 현재가치 감소 → 채권 가격 하락
• 할인율 감소 → 채권 기대 현금흐름의 현재가치 증가 → 채권 가격 상승

이 관계는 직관적으로도 이해할 수 있습니다. 시장 금리가 올라가면, 새로 발행되는 채권은 더 높은 쿠폰을 제공합니다. 따라서 기존에 낮은 쿠폰을 제공하는 채권은 상대적으로 매력이 떨어져 가격이 하락해야 합니다.

11.2 볼록성 (Convexity)

채권의 수익률을 해당 가치에 대해 그래프로 나타내면 가격-수익률 곡선(Price-Yield Curve)을 얻습니다. 이 그래프에서 더 높은 가격은 더 낮은 수익률과 연관됩니다.

가격-수익률 곡선의 핵심 특성:

옵션이 없는(Option-Free) 채권의 경우, 가격-수익률 곡선은 원점에 대해 볼록(Convex toward the origin)합니다. 이 곡선은 직선이 아니라, "미소의 절반"처럼 아래로 볼록한 형태를 보입니다.

볼록성이 채권 투자자에게 유리한 이유:

• 수익률이 하락하면 → 가격 상승폭이 크다 (볼록한 곡선의 위쪽이 더 가파름)
• 수익률이 상승하면 → 가격 하락폭이 작다 (볼록한 곡선의 아래쪽이 완만함)

즉, 수익률 변동의 이익(Upside)이 손실(Downside)보다 크므로, 볼록성은 투자자에게 유리한 특성입니다.

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MODULE QUIZ

Module Quiz 55.1

다음 정보를 이용하여 문제 1~2에 답하시오.

채권	쿠폰율	만기	현금가격
Bond A	5.50%	0.5년	101.3423
Bond B	14.00%	1.0년	102.1013

문제 1. 6개월 할인계수 \(d(0.5)\)에 가장 가까운 값은?

A. 0.8923     B. 0.9304     C. 0.9525     D. 0.9863

문제 2. 1년 할인계수 \(d(1)\)에 가장 가까운 값은?

A. 0.8897     B. 0.9394     C. 0.9525     D. 0.9746

Module Quiz 55.2

문제 1. 호주 단기금융시장 증권의 가격결정에 가장 적합한 일수계산 관례는?

A. 30/360     B. Actual/360     C. Actual/365     D. Actual/Actual

문제 2. EUR 100,000 액면가의 프랑스 회사채가 반기 3.5% 쿠폰을 지급합니다. 마지막 쿠폰이 75일 전에 지급되었고, 30/360 관례를 사용합니다. 경과이자에 가장 가까운 값은?

A. 729     B. 1,094     C. 1,458     D. 2,917

정답 및 해설

문제	정답	해설
55.1-1	D	\(101.3423 = 102.75 \times d(0.5)\) \(d(0.5) = 101.3423 / 102.75 = 0.9863\)
55.1-2	A	\(102.1013 = 7 \times d(0.5) + 107 \times d(1)\) \(102.1013 = 7 \times 0.9863 + 107 \times d(1)\) \(102.1013 = 6.9041 + 107 \times d(1)\) \(95.1972 = 107 \times d(1)\) \(d(1) = 0.8897\)
55.2-1	C	Actual/365 일수계산 관례는 캐나다, 뉴질랜드, 호주의 단기금융시장 증권에 사용됩니다.
55.2-2	A	\(\text{반기 쿠폰} = 100{,}000 \times 3.5\% / 2 = 1{,}750\) \(\text{AI} = 1{,}750 \times 75/180 = 729.17 \approx 729\)

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KEY CONCEPTS (핵심 개념 정리)

LO 55.a 핵심

• 할인계수(Discount Factor)는 현재가치를 결정하는 데 사용되며, T-Bill과 T-Bond 가치평가에 자주 사용
• 할인함수는 \(d(n)\)으로 표현되며, \(n\)은 다음 지급까지의 쿠폰 기간 수
• T-Bill 현금가격: \(100 - Q \times (n/360)\)
• 일련의 채권 가격으로부터 할인계수를 순차적으로 도출(Bootstrap) 가능

LO 55.b 핵심

• 일물일가의 법칙: 동일한 미래 현금흐름을 가진 금융상품은 동일한 가격에 거래되어야 함
• 차익거래의 힘에 의해 유지됨

LO 55.c 핵심

• 차익거래 기회: 두 증권이 동일한 미래 현금흐름을 가지지만 다른 현재 가격을 가질 때 발생
• 고평가(Rich) → 공매도, 저평가(Cheap) → 매수하여 무위험 이익 창출
• 공매도 시 증권이 소득(쿠폰, 배당)을 지급하면 대여자에게 지급 의무

LO 55.d 핵심

• STRIPS: 재무부 증권에서 생성된 무이표채
• P-STRIPS(원금) + C-STRIPS(쿠폰)으로 분리
• C-STRIPS와 P-STRIPS의 상대 가격 괴리 시 차익거래 기회 존재 (단, 거래 비용 고려)

LO 55.e 핵심

• 복제포트폴리오: 대상 채권의 현금흐름과 일치하도록 각 채권의 액면금액 결정
• 역순 풀이(Working Backwards) 기법 사용: 가장 먼 만기의 채권부터 시작

LO 55.f 핵심

• 경과이자 = 쿠폰 × (마지막 쿠폰 이후 경과일수 / 쿠폰 기간 총 일수)
• Dirty Price = 채권의 현재가치 + 경과이자 (실제 결제 금액)
• Clean Price = Dirty Price - 경과이자 (시장 호가 가격)

LO 55.g 핵심

• 경과이자 계산은 일수계산 관례에 따라 달라짐
• 미국 국채: Actual/Actual  |  미국 회사채/지방채: 30/360
• 미국 단기금융시장: Actual/360  |  호주/캐나다/뉴질랜드 단기금융시장: Actual/365

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시험 대비 한 줄 암기 체크리스트

공식

항목	공식
T-Bill 현금가격	\(100 - Q \times (n / 360)\)
경과이자	\(\text{Coupon} \times (\text{경과일수} / \text{쿠폰 기간})\)
Clean Price	\(\text{Dirty Price} - \text{Accrued Interest}\)

일수계산 관례

증권	관례
미국 국채	Actual/Actual
미국 회사채/지방채	30/360
단기금융시장 (미국)	Actual/360
단기금융시장 (캐나다/호주/뉴질랜드)	Actual/365

차익거래 전략

상황	전략
채권이 고평가 (Rich)	공매도 후 복제포트폴리오 매수
채권이 저평가 (Cheap)	매수 후 복제포트폴리오 공매도

시험 오답 함정 TOP 5

함정	올바른 이해
Clean vs Dirty 혼동	시장 호가 = Clean Price, 실제 결제 = Dirty Price
일수계산 관례 혼동	증권 유형에 따라 다른 관례 적용 (국채 ≠ 회사채 ≠ 단기금융)
공매도 쿠폰 처리 무시	공매도 포지션은 쿠폰을 대여자에게 지급해야 함
할인계수 방향 착각	기간이 길수록 할인계수는 작아짐 (정상 금리 환경)
가격-수익률 관계	항상 역관계: 수익률 상승 → 가격 하락

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