FRM Part I – Reading 56
금리 (Interest Rates)

EXAM FOCUS

핵심 학습 목표

이 Reading은 금리의 가장 근본적인 구조를 다룹니다. 금리는 단순히 "연 몇 퍼센트"로 표현되는 숫자가 아니라, 복리 빈도(Compounding Frequency)에 따라 전혀 다른 크기의 미래가치와 현재가치를 만들어냅니다. 시험에서는 스팟금리(Spot Rate), 포워드금리(Forward Rate), 파금리(Par Rate), 스왑금리(Swap Rate) 사이의 관계식을 정확히 쓸 수 있는지, 그리고 수익률곡선(Yield Curve)의 형태 변화가 투자 전략에 어떤 영향을 미치는지를 묻습니다.

시험에서 반드시 할 수 있어야 하는 것

복리 빈도 변환: 이산복리(연/반기/분기/월)와 연속복리 사이의 등가 금리 변환
할인계수(Discount Factor) 계산 및 이를 이용한 채권 가격 산출
스팟금리에서 포워드금리를 도출하는 무차익(No-Arbitrage) 조건
파금리 공식 도출 및 스왑금리와의 동치 관계
우상향/우하향 곡선에서 포워드 > 스팟 > 파 서열의 직관적 이해
플래트닝/스티프닝 시 적절한 트레이딩 전략 설계
버터플라이(Butterfly) 시프트와 곡률 변화의 이해

이 Reading은 정량적 계산과 정성적 개념이 모두 출제됩니다. 특히 포워드금리 도출 공식, 파금리 공식, 등가 금리 변환은 거의 매 시험에 등장하므로 반드시 숙달해야 합니다.

MODULE 56.1: 복리 (Compounding)

LO 56.a: 복리 빈도가 채권/투자 가치에 미치는 영향

0. 모든 금리 문제의 출발점: 축적계수와 할인계수

금리를 다루는 모든 문제의 핵심은 결국 두 개의 계수로 귀결됩니다. 하나는 축적계수(Accumulation Factor) $A(0,t)$이고, 다른 하나는 할인계수(Discount Factor) $d(t)$입니다. 축적계수는 "오늘의 1원이 $t$년 뒤에 얼마가 되는가"를 나타내고, 할인계수는 "$t$년 뒤의 1원을 오늘의 가치로 환산하면 얼마인가"를 나타냅니다. 이 둘은 서로 역수 관계에 있습니다.

$$d(t) = \frac{1}{A(0,t)}$$

축적계수와 할인계수는 서로 역수

시험에 나오는 채권 가격 문제, 포워드금리 문제, 스왑 가치 평가 문제는 사실상 모두 현금흐름에 할인계수를 곱하는 문제입니다. 스팟금리, 포워드금리, 파금리, 스왑금리는 이름만 다를 뿐 결국 $d(t)$를 다른 방식으로 표현한 것에 불과합니다. 이 관점을 먼저 확립하면, 이후 등장하는 수많은 공식들이 하나의 뿌리에서 나온 가지임을 자연스럽게 이해할 수 있습니다.

1. 복리(Compounding)의 본질: "이자에 이자가 붙는 구조"

복리의 핵심 아이디어는 매우 단순합니다. 원금에 이자가 붙은 뒤, 그 이자가 다음 기간의 새로운 원금에 포함되어 또 이자를 발생시키는 구조입니다. 이 과정을 1년에 몇 번 반복하느냐가 바로 복리 빈도(Compounding Frequency)입니다. 같은 명목 연이율이라 하더라도 복리 빈도가 높아질수록 "이자에 이자가 붙는 기회"가 많아지기 때문에 미래가치는 커지고, 반대로 현재가치는 작아집니다.

대부분의 금융기관은 연 1회가 아니라 그보다 짧은 주기로 이자를 지급하거나 부과합니다. 6개월마다 이자를 지급하면 반기복리(Semiannual Compounding), 3개월마다 지급하면 분기복리(Quarterly Compounding), 매월 지급하면 월복리(Monthly Compounding)라고 합니다. 복리 빈도는 "1년 안에 이자가 몇 번 적용되는가"를 정의하며, 이는 곧 금리가 어떻게 측정되는지를 결정합니다.

2. 이산복리(Discrete Compounding)의 미래가치와 현재가치

명목 연이율이 $r$이고 연 $m$회 복리인 경우를 생각해 봅시다. 이때 한 번에 붙는 이자율(기간이자율)은 $r/m$이고, $t$년 동안 총 복리 횟수는 $mt$입니다. 원금 $PV$를 투자했을 때 $t$년 뒤 미래가치 $FV$는 다음과 같습니다.

이산복리 미래가치(FV) $$FV = PV \left(1 + \frac{r}{m}\right)^{mt}$$

축적계수: $A(0,t) = \left(1 + \frac{r}{m}\right)^{mt}$

예를 들어 $1,000을 연 5%로 투자한다고 합시다. 연 1회 복리라면 1년 뒤 $1,000 x 1.05 = $1,050이 됩니다. 반기복리라면 6개월마다 2.5%가 적용되므로 1년 뒤 $1,000 x (1.025)^2 = $1,050.625입니다. 분기복리라면 $1,000 x (1.0125)^4 = $1,050.945입니다. 복리 빈도가 올라갈수록 미래가치가 점진적으로 커지는 것을 확인할 수 있습니다.

반대로 현재가치는 미래에서 현재로 돌아오는 변환이므로, 축적계수의 역수인 할인계수를 곱합니다.

이산복리 현재가치(PV) $$PV = \frac{FV}{\left(1 + \frac{r}{m}\right)^{mt}} = FV \cdot d(t)$$

할인계수: $d(t) = \frac{1}{\left(1 + \frac{r}{m}\right)^{mt}}$

복리 빈도가 올라가면 축적계수 $A(0,t)$가 커지고, 그 역수인 할인계수 $d(t)$는 작아집니다. 따라서 같은 미래 금액이라도 복리 빈도가 높을수록 현재가치는 더 작아집니다. 이것이 "복리 빈도 상승 → FV 증가, PV 감소"의 본질입니다.

3. 연속복리(Continuous Compounding): 무한히 자주 복리하는 극한

연속복리 공식은 외워서 쓰는 것이 아니라 이산복리의 극한으로 이해해야 합니다. 복리 횟수 $m$을 무한대로 보내면 어떻게 될까요? 수학적으로 다음이 성립합니다.

$$\lim_{m \to \infty} \left(1 + \frac{r}{m}\right)^{mt} = \left[\lim_{m \to \infty} \left(1 + \frac{r}{m}\right)^{m}\right]^{t} = e^{rt}$$

여기서 $e \approx 2.71828$은 자연로그의 밑(오일러 수)입니다. 따라서 연속복리에서의 미래가치와 현재가치는 다음과 같습니다.

연속복리 미래가치 / 현재가치 $$FV = PV \cdot e^{rt} \qquad\qquad PV = FV \cdot e^{-rt}$$

축적계수: $A(0,t) = e^{rt}$, 할인계수: $d(t) = e^{-rt}$

연속복리는 이산복리의 극한이므로, 같은 명목금리에서 가능한 모든 복리 빈도 중 가장 큰 미래가치를 산출합니다. 반대로 현재가치는 가장 작아집니다. 연속복리가 중요한 이유는 금융공학에서 이론적 계산을 매우 깔끔하게 만들어주기 때문입니다. 특히 포워드금리 계산에서 연속복리를 사용하면 곱셈이 덧셈으로 변환되어 직관적으로 이해하기 쉬워집니다.

시험 함정 주의: "명목 6%"라고 했을 때, 이것이 반기복리 6%인지, 연속복리 6%인지에 따라 결과가 완전히 달라집니다. "명목 6%"를 곧바로 "연속 6%"로 착각하는 실수는 감점 직행입니다. 문제에서 복리 빈도가 명시되지 않으면, 채권의 경우 일반적으로 반기복리가 관례입니다.

4. 등가 금리 변환: "축적계수(또는 EAR)가 같으면 같은 금리"

서로 다른 복리 빈도로 표현된 금리를 비교하거나 변환해야 하는 상황이 시험에 매우 자주 출제됩니다. 등가 금리(Equivalent Rate)란 "1년 동안의 축적계수가 같은 금리"를 의미합니다. 다시 말해, 복리 빈도를 아무리 바꿔 표현하더라도 1년 뒤 실제로 불어나는 총량이 같으면 동일한 금리로 간주합니다.

이때 가장 편리한 중간 다리 역할을 하는 것이 유효연이율(Effective Annual Rate, EAR)입니다. EAR은 "1년 동안 실제로 얼마나 불어나는가"를 딱 하나의 숫자로 정의합니다. 어떤 복리 빈도의 금리든 먼저 EAR로 변환한 뒤, 다시 원하는 복리 빈도로 되돌리면 등가 금리를 구할 수 있습니다.

(1) EAR 산출

이산복리 → EAR $$EAR = \left(1 + \frac{r}{m}\right)^{m} - 1$$
연속복리 → EAR $$EAR = e^{r_c} - 1$$

(2) EAR에서 원하는 복리로 되돌리기

EAR → 연 $m$회 복리 명목금리 $$r = m\left[(1 + EAR)^{1/m} - 1\right]$$
EAR → 연속복리 $$r_c = \ln(1 + EAR)$$

예시 A: "연 6% 반기복리"를 "월복리 명목금리"로 변환

Step 1. EAR 계산: 반기복리이므로 $m = 2$입니다.

$$EAR = \left(1 + \frac{0.06}{2}\right)^{2} - 1 = (1.03)^{2} - 1 = 1.0609 - 1 = 0.0609 = 6.09\%$$

Step 2. 월복리($m = 12$)로 변환:

$$r_{12} = 12\left[(1 + 0.0609)^{1/12} - 1\right] = 12\left[1.000494 - 1\right] \approx 0.0593 = 5.93\%$$

같은 경제적 효과를 가지려면, 반기복리 6%는 월복리 5.93%에 해당합니다. 복리 빈도가 더 높아졌으므로(월 > 반기) 명목금리 숫자는 더 낮아집니다. 이는 직관과 일치합니다: 더 자주 이자를 붙이므로 같은 효과를 내려면 한 번에 붙이는 이자율이 더 낮아야 합니다.

예시 B: "연 6% 반기복리"를 "연속복리"로 변환

앞에서 EAR = 0.0609를 구했으므로,

$$r_c = \ln(1 + 0.0609) = \ln(1.0609) \approx 0.0591 = 5.91\%$$

연속복리는 가능한 모든 복리 빈도 중 가장 촘촘하므로, 같은 효과를 내기 위한 명목금리는 가장 낮습니다. 반기복리 6.00% > 월복리 5.93% > 연속복리 5.91%라는 서열이 자연스럽게 성립합니다.

예시 C: "연 5% 연속복리"를 "반기복리 명목금리"로 변환

Step 1. EAR 계산:

$$EAR = e^{0.05} - 1 \approx 1.05127 - 1 = 0.05127$$

Step 2. 반기복리($m = 2$)로 변환:

$$r_2 = 2\left[(1 + 0.05127)^{1/2} - 1\right] = 2\left[1.02532 - 1\right] \approx 0.0506 = 5.06\%$$

연속복리에서 이산복리로 변환할 때는 명목금리 숫자가 커집니다. 복리 빈도가 낮아졌으므로(반기 < 연속) 같은 효과를 내려면 한 번에 붙이는 이자율이 더 커져야 하기 때문입니다.

시험에서 흔히 터지는 실수:
- $r/m$을 "기간 수익률"로 쓰는 순간, 지수는 반드시 $mt$여야 합니다. 기간 수와 기간 이자율의 짝이 맞지 않으면 답이 완전히 틀어집니다.
- $e^{rt}$ 형태로 계산할 때, $r$은 이미 "연속복리율"이어야 합니다. 반기복리 금리를 그대로 $e$의 지수에 넣는 실수를 절대 하지 마십시오.
- 문제에서 "월복리"라고 하면, 자동으로 "기간이자율 = 연이율/12, 기간 수 = 12t"가 반사적으로 나와야 합니다.

Module Quiz 56.1

문제 1. 만기 2년, 액면 $1,000인 채권의 현재가치를 구하시오. 연 3%, 월복리 기준.

A. $940.00
B. $941.84
C. $941.98
D. $942.60

Module Quiz 56.1 풀이

문제 1 풀이: 월복리이므로 기간이자율은 $0.03/12 = 0.0025$이고, 총 기간 수는 $12 \times 2 = 24$개월입니다.

$$PV = \frac{1{,}000}{(1 + 0.0025)^{24}} = \frac{1{,}000}{(1.0025)^{24}}$$

$(1.0025)^{24}$를 계산하면 약 1.06176이므로,

$$PV \approx \frac{1{,}000}{1.06176} \approx 941.84$$

정답: B ($941.84)

이 문제에서 중요한 것은 계산 자체가 아니라, "월복리"라는 단어를 보는 순간 기간이자율 = 연이율/12, 기간 수 = 월수라는 반사를 즉시 할 수 있어야 한다는 점입니다. 할인계수 $d(2) = 1/(1.0025)^{24} \approx 0.94184$를 먼저 구하고, 여기에 미래 현금흐름 $1,000을 곱하는 것이 가장 체계적인 접근입니다.

MODULE 56.2: 스팟, 포워드, 파, 스왑 금리

이 모듈은 공식이 많아 보이지만, 본질은 하나입니다: 모든 금리 문제는 할인계수 $d(t)$로 환원된다. 스팟금리, 포워드금리, 파금리, 스왑금리는 결국 미래 현금흐름을 현재로 끌어오는 할인 구조를 서로 다른 각도에서 부르는 이름일 뿐입니다. 이 관점을 유지하면 공식들 사이의 관계가 매우 자연스럽게 연결됩니다.

LO 56.b: 스팟금리(Spot Rate)와 할인계수(Discount Factor)

1. 스팟금리(제로금리)의 정의

스팟금리(Spot Rate)는 "제로쿠폰 금리(Zero-Coupon Rate)" 또는 "제로(Zero)"라고도 불립니다. 이는 오늘 1원을 투자해서 $t$년 뒤 한 번에 돌려받을 때 적용되는 금리입니다. 중간에 이자 지급이 전혀 없는 순수한 단일 현금흐름에 대한 금리입니다.

예를 들어, 오늘 $50을 투자하고 2년 뒤 $58을 돌려받는 경우를 생각해 봅시다. 연복리 기준으로 스팟금리 $R$은 다음 방정식에서 구합니다.

$$50(1 + R)^{2} = 58 \quad \Rightarrow \quad R = \left(\frac{58}{50}\right)^{1/2} - 1 = 7.7033\%$$

이 스팟금리와 할인계수는 같은 정보를 다른 언어로 표현한 것입니다. 위 예시에서 2년 할인계수 $d(2) = 50/58 = 0.86207$이며, 이는 곧 "2년 뒤 $1의 현재가치가 $0.86207"이라는 뜻입니다.

2. 할인계수의 공식적 정의

할인계수 $d(t)$는 스팟금리 $r(t)$를 알 때 바로 계산할 수 있습니다. 복리 방식에 따라 표현이 다릅니다.

반기복리 할인계수 $$d(t) = \frac{1}{\left(1 + \frac{r(t)}{2}\right)^{2t}}$$
연속복리 할인계수 $$d(t) = e^{-r(t) \cdot t}$$

두 공식 모두 본질은 같습니다: 스팟금리가 주어지면 축적계수를 구하고, 그 역수가 할인계수가 됩니다. 시험에서는 "할인계수가 주어졌을 때 스팟금리를 역산"하거나, "스팟금리가 주어졌을 때 할인계수를 구해서 채권 가격을 계산"하는 형태가 자주 출제됩니다.

핵심 해석:
- $r(t)$는 "0에서 $t$까지의 평균 금리(평균 속도)"에 해당합니다. 구간 전체를 하나의 평균으로 압축한 값입니다.
- $d(t)$는 "$t$까지 한 번에 내리는 실제 할인 크기"입니다. 가격 계산에 직접 사용되는 실용적 수치입니다.
- 제로쿠폰채(Zero-Coupon Bond)의 가격 $P(0,t)$는 곧 할인계수 $d(t)$입니다(액면이 1인 경우).

예시: 연속복리 할인계수 계산

3년 연속복리 스팟금리가 6.25%인 경우, 3년 할인계수는:

$$d(3) = e^{-0.0625 \times 3} = e^{-0.1875} \approx 0.8290$$

이 말은 "3년 뒤 받을 $1의 현재가치는 약 $0.829"라는 뜻입니다. 만약 3년 뒤 $100를 받는 제로쿠폰채라면, 그 가격은 $100 \times 0.8290 = \$82.90$입니다.

LO 56.c: 포워드금리(Forward Rate) — "미래의 구간금리"를 오늘 고정하는 값

1. 포워드금리의 직관: 무차익 조건

포워드금리를 이해하는 가장 강력한 방법은 무차익(No-Arbitrage) 조건에서 출발하는 것입니다. 투자자에게 다음 두 가지 선택지가 있다고 합시다.

전략 A: 오늘부터 $T_2$년까지 한 번에 투자 (스팟금리 $r(T_2)$ 적용)
전략 B: 오늘부터 $T_1$년까지 투자 (스팟금리 $r(T_1)$ 적용)한 뒤, $T_1$에서 $T_2$까지 재투자

시장에 차익거래 기회가 없다면(무차익 조건), 두 전략의 최종 결과는 동일해야 합니다. 이때 전략 B에서 $T_1$에서 $T_2$ 사이에 적용되는 "암묵적 재투자 금리"가 바로 포워드금리 $f(T_1, T_2)$입니다.

스팟금리가 "0에서 $t$까지의 누적 평균"이라면, 포워드금리는 "그 누적 평균들 사이에서 끄집어낸 구간 평균"입니다. 이 "평균 vs 마진" 직관이 이후 금리 서열을 이해하는 데 결정적으로 중요합니다.

2. 연속복리 포워드금리 공식

할인계수 관점에서 무차익 조건을 쓰면 다음과 같습니다. "0에서 $T_2$까지 직접 할인한 결과"와 "0에서 $T_1$까지 할인한 뒤 $T_1$에서 $T_2$까지 다시 할인한 결과"는 같아야 합니다.

할인계수로 쓴 무차익 조건 $$d(T_2) = d(T_1) \cdot e^{-f(T_1, T_2)(T_2 - T_1)}$$

양변에 로그를 취하고 정리하면 포워드금리 공식이 나옵니다.

연속복리 포워드금리 (할인계수 버전) $$f(T_1, T_2) = \frac{\ln d(T_1) - \ln d(T_2)}{T_2 - T_1}$$

연속복리 포워드금리 (스팟금리 버전) $$f(T_1, T_2) = \frac{r(T_2) \cdot T_2 - r(T_1) \cdot T_1}{T_2 - T_1}$$

두 공식은 같은 식을 다른 언어로 쓴 것입니다. 할인계수 버전은 "$\ln d$의 차이를 구간 길이로 나눈 것"이고, 스팟금리 버전은 "누적(스팟 x 시간)의 차이를 구간 길이로 나눈 것"입니다. 어느 쪽을 쓰든 결과는 동일합니다.

포워드금리 공식이 주는 핵심 직관:
- $r(T) \cdot T$는 "0에서 $T$까지의 총 누적 금리"(시속 x 시간 = 총 거리)에 해당합니다.
- 포워드금리는 "총 거리의 차이를 구간 길이로 나눈 것", 즉 구간의 평균 속도입니다.
- 스팟금리가 완만하게 상승하더라도, 마지막 구간의 포워드는 훨씬 높게 나올 수 있습니다. 평균이 천천히 올라가도 마지막 구간(마진)은 가파를 수 있기 때문입니다.

예시: 연속복리 포워드금리 계산

연속복리 스팟금리가 $r(3) = 4.25\%$, $r(3.5) = 4.40\%$일 때, 3년~3.5년 구간의 포워드금리는:

$$f(3, 3.5) = \frac{0.044 \times 3.5 - 0.0425 \times 3}{3.5 - 3} = \frac{0.154 - 0.1275}{0.5} = \frac{0.0265}{0.5} = 0.0530 = 5.30\%$$

스팟금리는 4.25%~4.40% 수준인데, 포워드금리는 5.30%가 됩니다. 이것은 놀라운 결과가 아닙니다. 포워드는 "마진(구간금리)"이기 때문입니다. 3년까지의 평균이 4.25%이고 3.5년까지의 평균이 4.40%라면, 그 사이의 0.5년 구간에서는 평균을 4.25%에서 4.40%으로 끌어올려야 하므로 그 구간의 금리가 상당히 높아야 합니다.

3. 이산복리 포워드금리

연복리로 표현하면, 무차익 조건은 다음과 같은 형태를 띱니다.

이산복리(연복리) 포워드금리 $$(1 + R_{T_2})^{T_2} = (1 + R_{T_1})^{T_1} \cdot (1 + f_{T_1, T_2})^{T_2 - T_1}$$

정리하면:

$$(1 + f_{T_1, T_2})^{T_2 - T_1} = \frac{(1 + R_{T_2})^{T_2}}{(1 + R_{T_1})^{T_1}}$$

예시: 이산복리(연복리) 포워드금리 계산

1년 스팟 2%, 2년 스팟 3.5%일 때, 1년 후부터 2년까지의 1년 포워드금리 $f_{1,2}$는:

$$1{,}000 \times 1.02 \times (1 + f_{1,2}) = 1{,}000 \times (1.035)^{2}$$ $$(1 + f_{1,2}) = \frac{(1.035)^{2}}{1.02} = \frac{1.071225}{1.02} = 1.05022$$ $$f_{1,2} = 5.02\%$$

이 말은 "시장이 암묵적으로 1년 후~2년 사이의 1년 구간 금리를 5.02%로 보고 있다"는 뜻입니다. 투자자는 "1년 투자 후 재투자"나 "2년 직접 투자" 중 어느 것을 선택하든 동일한 결과를 얻어야 하며, 그때의 재투자 금리가 바로 5.02%입니다.

4. 선도금리계약(FRA: Forward Rate Agreement)

FRA는 포워드금리를 "계약"으로 고정시키는 금융상품입니다. 철학은 단순합니다.

시장이 말하는 미래 구간 금리가 포워드 $F$이고, 내가 계약으로 고정하는 미래 금리가 $R$이라면, FRA의 경제적 가치는 사실상 "미래 구간에서의 금리 차이"를 해당 시점으로 할인한 값입니다.

FRA 가치 판단 규칙:
- $R > F$: 내가 시장보다 높은 금리를 받도록 고정 → FRA 가치 양(+)
- $R < F$: 내가 시장보다 낮은 금리를 받도록 고정 → FRA 가치 음(-)
- $R = F$: FRA 가치 = 0 (계약 체결 시점에서는 일반적으로 이 상태)

정밀한 가치 산출: $\text{FRA Value} \approx PV[(R - F) \times \text{원금} \times \text{구간}]$

LO 56.d: 파금리(Par Rate) — "채권 가격이 액면(Par)이 되게 만드는 쿠폰율"

1. 파금리의 정의와 도출

파금리(Par Rate)란, 주어진 할인계수 구조 하에서 채권 가격이 정확히 액면가(Par Value)와 같아지도록 만드는 쿠폰율입니다. 다시 말해, "이 쿠폰율로 이표를 지급하는 채권을 발행하면 시장에서 정확히 100에 거래된다"는 의미입니다.

반기 쿠폰, 액면 1, 만기 $T$인 채권을 생각합시다. 쿠폰율이 $P_T$이면 반기마다 $P_T/2$의 쿠폰을 지급합니다. 이 채권의 가격이 파(= 1)라는 조건을 할인계수로 쓰면:

$$1 = \sum_{i=1}^{2T} \frac{P_T}{2} \cdot d\!\left(\frac{i}{2}\right) + d(T)$$

여기서 $d(i/2)$는 $i/2$년 시점의 할인계수입니다. 이 식의 의미를 풀어보면: 왼변의 1은 채권의 액면가이고, 오른변의 첫째 항은 모든 쿠폰 지급의 현재가치 합이며, 둘째 항 $d(T)$는 만기 시 원금 상환의 현재가치입니다.

2. 연금계수(Annuity Factor)를 이용한 정리

할인계수의 합을 연금계수(Annuity Factor) $A_T$로 정의합니다.

$$A_T = \sum_{i=1}^{2T} d\!\left(\frac{i}{2}\right)$$

이를 대입하면 파금리 조건은 다음과 같이 간결해집니다.

$$1 = \frac{P_T}{2} \cdot A_T + d(T)$$

파금리 해: $$P_T = \frac{2\left(1 - d(T)\right)}{A_T}$$

3. 파금리의 직관적 해석 (암기보다 강력한 이해)

파금리 공식 $P_T = 2(1 - d(T)) / A_T$의 각 항이 무엇을 의미하는지를 음미해 봅시다.

파금리의 경제적 해석:
- $d(T)$는 "만기 원금 1의 현재가치"입니다. 예를 들어 5년 할인계수가 0.90이라면, 원금 1의 현재가치는 0.90입니다.
- $1 - d(T)$는 "원금의 현재가치가 1에서 부족한 만큼"입니다. 위 예에서 0.10이 됩니다. 이 부족분을 쿠폰이 메워야 합니다.
- $A_T$는 "쿠폰 1원을 반기마다 지급할 때의 현재가치 합"입니다. 이것은 쿠폰이 부족분을 메우는 "효율"을 나타냅니다.
- 따라서 파금리는 "원금이 할인으로 줄어든 만큼을 쿠폰이 정확히 메워서 가격이 1이 되게 만드는 쿠폰율"입니다.

예시: 파금리 계산

반기별 스팟금리와 할인계수가 다음과 같을 때, 2년 파금리를 구하시오.

기간 (반기)	스팟금리	할인계수 $d(t)$
0.5년	1.62%	0.9840
1.0년	1.72%	0.9662
1.5년	1.96%	0.9427
2.0년	2.09%	0.9201

풀이:

연금계수: $A_2 = 0.9840 + 0.9662 + 0.9427 + 0.9201 = 3.8130$

$$P_2 = \frac{2(1 - 0.9201)}{3.8130} = \frac{2 \times 0.0799}{3.8130} = \frac{0.1598}{3.8130} \approx 0.0419 = 4.19\%$$

해석: 연 4.19% 쿠폰(반기마다 2.095% 지급)으로 채권을 발행하면 정확히 액면에 거래됩니다.

4. 파금리와 연금계수를 이용한 다른 쿠폰 채권 가치평가

파금리와 연금계수를 알면, 다른 쿠폰율을 가진 채권의 가치도 쉽게 구할 수 있습니다. 액면 1인 채권의 가격 공식은 다음과 같습니다.

$$\text{Bond Price} = 1 + \frac{(C - P_T)}{2} \cdot A_T$$

$C$ = 해당 채권의 실제 쿠폰율, $P_T$ = 파금리

쿠폰율이 파금리보다 높으면 가격은 액면 이상(프리미엄)이고, 낮으면 액면 이하(디스카운트)입니다. 이것은 직관과 완벽히 일치합니다.

예시: 다른 쿠폰 채권의 가치평가

앞의 예시에서 파금리 4.19%, 연금계수 3.8130일 때, 쿠폰율 3.25%인 2년 채권의 가격은?

$$\text{Price} = 1 + \frac{(0.0325 - 0.0419)}{2} \times 3.8130 = 1 + \frac{-0.0094}{2} \times 3.8130 = 1 + (-0.0047 \times 3.8130)$$ $$= 1 - 0.01792 \approx 0.9821$$

쿠폰율 3.25%가 파금리 4.19%보다 낮으므로, 이 채권은 액면 이하(디스카운트)에 거래됩니다.

LO 56.d (계속): 스왑금리(Swap Rate) = 파금리

왜 스왑금리는 반드시 파금리와 같은가

금리 스왑(Interest Rate Swap)에서 고정금리는 계약 체결 시점의 스왑 가치가 0이 되도록 결정됩니다. 스왑의 구조를 뜯어보면, 고정 다리(Fixed Leg)는 "고정 쿠폰 x 연금계수"의 현재가치를 가지고, 변동 다리(Floating Leg)의 현재가치는 표준적인 결과로 $1 - d(T)$ 형태가 됩니다.

가치 = 0 조건을 쓰면:

$$\frac{\text{고정금리}}{2} \times A_T = 1 - d(T)$$

이를 정리하면 고정금리 = $2(1 - d(T))/A_T$인데, 이것은 위에서 구한 파금리 공식과 정확히 동일합니다. 따라서 n년 스왑금리는 n년 파금리와 같으며, 스왑 시장에서 관찰되는 스왑금리를 이용해 할인계수와 스팟금리를 역산(부트스트래핑)할 수 있습니다.

핵심 선언: 스왑금리 = 파금리. 이 등식은 "스왑이 0가치로 시작"한다는 조건과 "파채권의 가격이 액면"이라는 조건이 수학적으로 동일한 구조이기 때문에 성립합니다.

LO 56.e: 스팟-포워드-파 금리의 서열 관계

1. 세 금리의 관계를 "평균 vs 마진"으로 이해하기

세 금리의 서열을 외우지 말고 다음과 같이 생각하면 절대 잊지 않습니다.

금리의 본질적 성격:
- 포워드금리: 미래 구간의 "마진 금리" — 가장 마지막 구간의 순수한 금리
- 스팟금리: 0부터 만기까지의 "누적 평균 금리" — 여러 구간을 통째로 평균낸 값
- 파금리: 여러 할인계수의 가중평균 구조로 나온 "쿠폰 평균 금리" — 보통 스팟보다 더 눌림

2. 수익률곡선 형태에 따른 서열

곡선 형태	서열	직관적 이유
평탄(Flat)	스팟 = 포워드 = 파	모든 구간의 금리가 같으므로 평균이든 마진이든 동일
우상향(Normal)	포워드 > 스팟 > 파	마진(포워드)은 뒤쪽 구간을 반영하므로 가장 높고, 평균(스팟)은 낮은 과거 구간과 높은 미래 구간을 섞으므로 중간, 파는 가중평균 특성상 더 눌림
우하향(Inverted)	파 > 스팟 > 포워드	모든 서열이 정확히 반대로 뒤집힘

예시: 우상향 곡선에서 서열 적용

1년 스팟 2.5%, 2년 스팟 3.25%, 10년 스팟 4.75% (우상향 구조)인 경우, 10년 만기 기준:

- 포워드: 4.75%보다 높아야 함 (마지막 구간 금리가 평균보다 높으므로)

- 스팟: 4.75% (주어진 값)

- 파: 4.75%보다 낮아야 함 (가중평균 특성상 눌림)

따라서 올바른 조합은 포워드 5.25%, 스팟 4.75%, 파 4.50%처럼 포워드 > 스팟 > 파 서열을 따르는 것입니다.

시험 함정 주의: 우상향 곡선에서 "파금리 5.00%, 스팟 4.75%"처럼 파금리가 스팟보다 높은 선택지가 나오면, 이는 서열 위반이므로 즉시 배제해야 합니다. 반대로 우하향이면 파 > 스팟이 맞습니다.

LO 56.f: 만기 변화가 채권 가격에 미치는 영향

1. "마지막 구간"의 포워드금리와 쿠폰율의 비교

채권의 가치는 현금흐름을 할인한 합입니다. 시간이 지나 만기가 줄어들면, 남은 마지막 쿠폰 구간이 가격 민감도를 좌우합니다. 마지막 구간의 포워드금리 $F_{\text{last}}$와 채권의 쿠폰율 $C$를 비교하면 가격 변화 방향을 판단할 수 있습니다.

이것을 FRA 관점으로 이해하면 가장 직관적입니다. 마지막 쿠폰 구간에서 채권은 사실상 "쿠폰율 $C$로 고정된 FRA"를 들고 있는 것과 같습니다. 시장 포워드 $F_{\text{last}}$가 이 구간의 시장 금리입니다.

가격 변화 방향 판단 규칙:
- $F_{\text{last}} > C$: 우상향 금리 구조에서 흔히 발생. 시장 금리가 쿠폰보다 높으므로, 만기가 줄어들면서 이 "불리한 마지막 구간"이 사라져가므로 채권 가치 상승
- $F_{\text{last}} < C$: 우하향 금리 구조에서 발생 가능. 시장 금리가 쿠폰보다 낮은 "유리한 마지막 구간"이 사라져가므로 채권 가치 하락

2. 포워드금리를 이용한 투자 전략

포워드금리는 시장이 암묵적으로 "미래에 이 금리가 적용될 것"이라고 깔아둔 값입니다. 투자자가 실제 미래 금리가 시장 암묵 포워드와 다를 것이라 예상한다면, 그 차이를 이용해 수익을 추구할 수 있습니다.

예시: 포워드 기반 투자 전략

2년 연속복리 스팟 3%, 3년 연속복리 스팟 3.5%인 경우:

$$f(2, 3) = \frac{0.035 \times 3 - 0.03 \times 2}{3 - 2} = \frac{0.105 - 0.06}{1} = 0.045 = 4.5\%$$

시장은 3년차(2~3년 구간) 금리를 4.5%로 암묵적으로 보고 있습니다.

전략 A — 실제 3년차 금리가 4.5%보다 낮을 것으로 예상할 경우:

2년 차입(3%) + 3년 투자(3.5%) → 실제 3년차 차입비용이 4.5% 미만이면 전체 차입비용이 3.5%보다 낮으므로 이익

전략 B — 실제 3년차 금리가 4.5%보다 높을 것으로 예상할 경우:

2년 투자(3%) + 3년 차입(3.5%) → 실제 3년차 투자수익이 4.5% 초과이면 이익

핵심: 시장 암묵 포워드와 내 예상 포워드의 차이가 포지션의 기대수익이 됩니다.

LO 56.h: 스왑 거래(Swap Transaction)

1. 스왑의 기본 구조

스왑(Swap)은 두 당사자가 기초자산의 움직임에 따라 지급을 교환하기로 합의하는 파생상품 거래입니다. 고정-변동 금리 스왑(Fixed-for-Floating Interest Rate Swap)에서 한 당사자는 고정금리에 기반한 지급을 하고 변동금리에 기반한 수취를 받으며, 거래상대방은 그 반대 포지션을 취합니다. 원금 자체는 교환하지 않으며(명목원금, Notional Principal), 금리만 적용하여 순지급(Net Payment)을 주고받습니다.

파생상품 거래는 본질적으로 제로섬 게임(Zero-Sum Game)입니다. 한 쪽이 이기면 다른 쪽은 집니다. 매 지급 기간마다 순지급액이 계산되어, 지고 있는 쪽에서 이기고 있는 쪽으로 순지급이 이루어집니다.

2. "고정 지급 / 변동 수취" 스왑의 동기

이 포지션을 올바르게 이해하는 방법은 다음과 같습니다. 변동금리 부채를 가진 주체(예: 은행)가 금리 상승을 두려워합니다. 금리가 오르면 이자 부담이 커지기 때문입니다. 그래서 스왑에서 "고정 지급"을 선택하여 금리 상승 위험을 잠급니다.

예시: Pay Fixed, Receive Floating 스왑

Regist Bank는 $1,000만 변동금리 부채를 발행하여 분기마다 이자를 지급합니다. 금리 상승을 우려하여 거래상대방 X와 스왑 계약을 체결합니다: 연 3%(분기 0.75%) 고정금리를 지급하고, 시장참조금리(예: SOFR)에 기반한 변동금리를 수취합니다.

기준금리가 3% 이상으로 상승한 경우:

변동 수취 > 고정 지급 → 순수취 발생 → 변동금리 부채의 증가된 이자 부담을 상쇄 → 스왑이 보호 역할 수행

기준금리가 3% 이하로 하락한 경우:

변동 수취 < 고정 지급 → 순지급 발생 → 변동금리 부채의 이자 부담은 줄었지만 스왑에서 손실 → 헤지의 대가

본질: 스왑은 "내가 싫어하는 금리 시나리오(상승)의 위험을 줄이고, 대신 다른 시나리오(하락)에서의 손실을 감수하는 교환"입니다.

3. 스왑 시장과 파금리의 관계

스왑 시장은 파금리를 정의하는 데 사용됩니다. n년 스왑금리는 n년 파채권의 쿠폰율과 동일합니다. 따라서 스왑금리를 이용하면 할인계수와 스팟금리를 역산(부트스트래핑)할 수 있습니다. 스왑 시장이 활발한 이유 중 하나는, 이를 통해 다양한 만기의 할인계수를 시장에서 직접 관찰할 수 있기 때문입니다.

Module Quiz 56.2

문제 1. 3년 연속복리 스팟금리가 6.25%일 때, 할인계수는?

A. 0.8125
B. 0.8290
C. 0.9394
D. 1.2062

문제 2. 다음의 채권과 포워드금리가 주어져 있습니다:

채권	스팟금리
1년 제로쿠폰채	4.5%
2년 제로쿠폰채	7.0%
3년 제로쿠폰채	9.0%

제시된 포워드금리: 1년 후 1년 포워드 = 9.56%, 2년 후 1년 포워드 = 10.77%, 1년 후 2년 포워드 = 11.32%

다음 중 옳은 것은?

A. 1년 후 1년 포워드가 너무 낮다
B. 1년 후 2년 포워드가 너무 높다
C. 2년 후 1년 포워드가 너무 낮다
D. 포워드금리와 채권 가격 사이에 차익거래 기회가 없다

문제 3. 1년 스팟 2.5%, 2년 스팟 3.25%, 10년 스팟 4.75% (우상향). 10년 채권의 파금리와 포워드금리 조합으로 가장 적절한 것은?

A. 포워드 4.25%, 파 5.00%
B. 포워드 5.25%, 파 4.50%
C. 포워드 4.75%, 파 4.75%
D. 포워드 4.50%, 파 4.50%

문제 4. 3년 연속복리 2.25%, 4년 연속복리 2.375%. 투자자가 3년 차입, 4년 투자로 이익을 얻으려면 4년차 포워드금리가?

A. 2.75%와 같을 때
B. 2.25%와 같을 때
C. 2.75%보다 작을 때
D. 2.75%보다 클 때

Module Quiz 56.2 풀이

문제 1 풀이:

$$d(3) = e^{-0.0625 \times 3} = e^{-0.1875} \approx 0.8290$$

정답: B (0.8290)

문제 2 풀이: 스팟금리로부터 올바른 포워드금리를 역산합니다.

1년 후 1년 포워드: $f_{1,2} = [(1.07)^2 / (1.045)] - 1 = 0.0956 = 9.56\%$ → 일치

2년 후 1년 포워드: $f_{2,3} = [(1.09)^3 / (1.07)^2] - 1 = 1.2950/1.1449 - 1 = 0.1311 = 13.11\%$ → 제시된 10.77%보다 높아야 함. 즉, 제시된 2년 후 1년 포워드 10.77%는 너무 낮습니다.

1년 후 2년 포워드: $f_{1,3} = [(1.09)^3 / (1.045)]^{0.5} - 1 = (1.2393)^{0.5} - 1 = 0.1132 = 11.32\%$ → 일치

정답: C (2년 후 1년 포워드가 너무 낮다)

문제 3 풀이: 우상향 곡선이므로 포워드 > 스팟 > 파. 10년 스팟이 4.75%이므로 포워드는 4.75%보다 높고, 파는 4.75%보다 낮아야 합니다.

정답: B (포워드 5.25%, 파 4.50%)

문제 4 풀이:

$$f(3, 4) = \frac{0.02375 \times 4 - 0.0225 \times 3}{4 - 3} = 0.095 - 0.0675 = 0.0275 = 2.75\%$$

3년 차입(2.25%) + 4년 투자(2.375%)로 이익을 얻으려면, 실제 4년차 차입비용이 시장 암묵 포워드 2.75%보다 낮아야 합니다. 그래야 전체 차입비용이 투자수익률 2.375%보다 낮아져 이익이 발생합니다.

정답: C (2.75%보다 작을 때)

MODULE 56.3: 수익률곡선의 형태와 변화 (Yield Curve Shapes)

LO 56.g: 수익률곡선의 플래트닝과 스티프닝

1. 수익률곡선의 세 가지 기본 형태

역사적으로 수익률곡선(Yield Curve)은 세 가지 기본 형태를 보여왔습니다.

형태	영문	특징
정상(우상향)	Normal / Upward-Sloping	장기금리 > 단기금리. 양(+)의 기울기. 가장 흔한 형태로, 투자자가 장기 투자에 대해 추가 보상(기간 프리미엄)을 요구하기 때문에 나타남
평탄	Flat	모든 만기의 금리가 거의 동일. 경기 전환기에 종종 관찰됨
역전(우하향)	Inverted / Downward-Sloping	장기금리 < 단기금리. 음(-)의 기울기. 경기 침체 예상 시 자주 나타남

2. 평행이동(Parallel Shift) vs 비평행이동(Non-Parallel Shift)

평행이동은 모든 만기의 금리가 같은 방향으로, 같은 크기만큼 움직이는 것을 말합니다. 평행이동 후에도 수익률곡선의 기울기는 변하지 않습니다. 반면 비평행이동은 만기별로 금리 변화 폭이 다르므로, 이동 후 곡선의 형태가 달라집니다. 비평행이동은 크게 두 가지로 나뉩니다: 트위스트(Twist)와 버터플라이(Butterfly)입니다.

3. 트위스트: 플래트닝(Flattening)과 스티프닝(Steepening)

트위스트는 수익률곡선의 기울기가 변하는 것입니다.

정의를 명확히 못 박기:
- 플래트닝(Flattening): 장기-단기 금리차(스프레드)가 축소됨
- 스티프닝(Steepening): 장기-단기 금리차가 확대됨

여기에 금리의 전반적 방향을 나타내는 Bull/Bear를 결합합니다.

Bull vs Bear:
- Bull: 금리 하락 (채권 가격 상승 → 강세장)
- Bear: 금리 상승 (채권 가격 하락 → 약세장)

이 두 축을 결합하면 네 가지 조합이 만들어집니다.

조합	금리 움직임	스프레드 변화	기억 포인트
Bull Flattener	둘 다 하락	축소 (장기가 더 크게 하락)	장기채에 유리 — 장기금리가 더 많이 떨어지므로 장기채 가격 상승폭이 큼
Bear Flattener	둘 다 상승	축소 (단기가 더 크게 상승)	단기채에 불리 — 단기금리가 더 많이 올라서 스프레드 축소
Bull Steepener	둘 다 하락	확대 (단기가 더 크게 하락)	단기채에 유리 — 단기금리가 더 많이 떨어짐
Bear Steepener	둘 다 상승	확대 (장기가 더 크게 상승)	장기채에 불리 — 장기금리가 더 많이 올라서 스프레드 확대

4. 트레이딩 전략: "어느 구간이 더 이득을 보는가"만 판단하면 된다

수익률곡선의 형태 변화에 대응하는 트레이딩 전략의 핵심은 매우 단순합니다.

전략 규칙:
- 플래트닝 예상: 장기채 롱(Long) + 단기채 숏(Short)
이유: 장기금리가 상대적으로 더 하락하므로 장기채 가격이 더 상승. 단기는 덜 오르거나 오히려 약세.

- 스티프닝 예상: 장기채 숏(Short) + 단기채 롱(Long)
이유: 장기금리가 상대적으로 더 상승하므로 장기채 가격이 더 하락. 단기는 상대적 강세.

예시: 수익률곡선 전략

투자자 A: 우상향 금리 구조가 향후 수개월간 플래트닝될 것으로 예상 (장기금리 하락, 단기금리 상승)

전략: 장기채 롱 + 단기채 숏. 장기금리 하락 → 장기채 가격 상승 → 롱 포지션 이익. 단기금리 상승 → 단기채 가격 하락 → 숏 포지션 이익.

투자자 B: 같은 금리 구조가 스티프닝될 것으로 예상

전략: 장기채 숏 + 단기채 롱. 장기금리 상승 → 장기채 가격 하락 → 숏 포지션 이익. 단기금리 하락 → 단기채 가격 상승 → 롱 포지션 이익.

실무 팁: 더 정교한 전략에서는 "듀레이션 중립(Duration Neutral)"을 잡습니다. 즉 DV01을 맞춰서 "금리 수준의 전반적 변화"는 상쇄하고 "곡선 형태 변화만" 수익으로 가져가는 포지션을 구축합니다.

5. 버터플라이 시프트(Butterfly Shift): 곡률 변화

버터플라이 시프트는 기울기가 아니라 곡률(Curvature)의 변화입니다. 수익률곡선이 "얼마나 휘어져 있는가"가 달라지는 것입니다.

버터플라이 시프트의 두 가지 유형:
- 양(+) 버터플라이(Positive Butterfly): 곡선이 덜 휘어짐. 단기와 장기(윙, Wings) 금리가 중간물(Belly)보다 더 많이 움직여서 곡선이 평평해지는 방향
- 음(-) 버터플라이(Negative Butterfly): 곡선이 더 휘어짐. 중간물 금리가 상대적으로 더 많이 움직여서 곡선의 볼록함이 증가

버터플라이 시프트에 대응하는 전략은 바벨(Barbell) vs 불릿(Bullet)으로 연결됩니다. 바벨은 단기+장기 조합이고, 불릿은 중간 만기 집중입니다. 곡률 변화는 이 두 포트폴리오 구조의 상대적 성과 차이로 드러납니다.

Module Quiz 56.3

문제 1. 채권 투자자가 2년 금리의 3% → 2.5% 하락과 20년 금리의 6% → 4.5% 하락을 예상합니다. 이 상황을 가장 잘 설명하는 것은?

A. Bull Flattener
B. Bear Flattener
C. Bull Steepener
D. Bear Steepener

Module Quiz 56.3 풀이