FRM part1. Reading 58: Applying Duration, Convexity, and DV01

 

FRM Part I – Reading 58
듀레이션, 볼록성, DV01의 적용
(Applying Duration, Convexity, and DV01)

EXAM FOCUS

이 Reading의 본질적 질문

이 Reading이 던지는 핵심 질문은 단 하나입니다: "금리가 움직일 때, 이 채권(혹은 포트폴리오)의 가격은 얼마나, 어떤 방향으로, 얼마나 비선형적으로 변하는가?" 이를 정량적으로 답하기 위해 세 가지 도구가 등장합니다. DV01은 금리 1bp 변동 시 가격의 달러 변화를 측정하고, 듀레이션(Duration)은 금리 변동 시 가격의 퍼센트 변화를 측정하며, 볼록성(Convexity)은 가격-금리 관계의 곡률(비선형성)을 포착합니다.

이 세 도구는 서로 대체 관계가 아니라 점점 정교해지는 계층 구조를 이루고 있습니다. DV01이 1차적인 달러 민감도를 제공하고, 듀레이션이 퍼센트 기반의 선형 근사를 제공하며, 볼록성이 그 선형 근사의 오차를 보정합니다. 시험에서는 이 세 개념의 정의, 계산, 비교, 헤징 적용을 모두 다룰 수 있어야 합니다.

시험에서 반드시 할 수 있어야 하는 것

• 1요인 금리모형(One-Factor Model)의 정의와 한계 설명
• DV01의 정의, 계산, 해석 및 Yield-based DV01 / DVDZ / DVDF 구분
• DV01을 이용한 헤지 비율(Hedge Ratio) 계산과 필요 액면가 산출
• 유효 듀레이션(Effective Duration)의 정의, 계산, 해석
• 콜러블 채권(Callable Bond)과 풋터블 채권(Putable Bond)의 듀레이션 계산 방법
• DV01과 듀레이션의 비교와 대조
• 볼록성(Convexity)의 정의, 계산, 해석
• 듀레이션과 볼록성을 결합한 가격 변화 추정
• 포트폴리오 DV01, 듀레이션, 볼록성 계산
• 듀레이션과 볼록성을 이용한 이중 헤징(Dual Hedging)
• 바벨(Barbell) vs 불릿(Bullet) 전략의 구성과 비교

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MODULE 58.1: DV01 (Dollar Value of a Basis Point)

LO 58.a: 1요인 금리모형과 금리 요인

1. 금리 민감도 측정의 출발점

채권 투자에서 가장 근본적인 리스크는 금리 변동 리스크(Interest Rate Risk)입니다. 금리가 상승하면 채권 가격이 하락하고, 금리가 하락하면 채권 가격이 상승합니다. 이 관계를 정량적으로 측정하기 위해서는 먼저 "금리가 어떻게 움직이는가?"에 대한 가정이 필요합니다. 이 가정을 제공하는 것이 바로 금리 요인 모형(Interest Rate Factor Model)입니다.

금리 요인(Interest Rate Factor)이란 수익률 곡선(Yield Curve)을 따라 개별 금리에 영향을 미치는 확률 변수(Random Variable)를 말합니다. 이 금리 요인이 몇 개인가에 따라 모형의 복잡도가 결정됩니다.

2. 1요인 접근법 (One-Factor Approach)

DV01, 듀레이션, 볼록성은 모두 하나의 공통된 가정을 공유합니다. 바로 "금리는 단일 요인에 의해 움직인다"는 가정입니다. 이를 1요인 모형(One-Factor Model) 또는 단일 요인 접근법(Single-Factor Approach)이라 합니다.

1요인 모형의 가장 단순한 형태는 평행 이동(Parallel Shift)입니다. 예를 들어, 2년 만기 스팟금리(Spot Rate)가 3bp 상승하면 5년, 10년, 30년 등 모든 만기의 스팟금리도 동일하게 3bp 상승한다고 가정하는 것입니다. 이 경우 수익률 곡선 전체가 위나 아래로 같은 폭만큼 이동합니다.

그러나 1요인 모형이 반드시 평행 이동만을 의미하는 것은 아닙니다. 단기금리가 장기금리보다 더 많이 상승하는 비평행 이동(Non-Parallel Shift)도 1요인 모형에 해당할 수 있습니다. 핵심은 하나의 금리 변화만 알면 다른 모든 금리의 변화를 결정할 수 있다는 점입니다. 극단적으로는 수익률 곡선의 형태 자체가 바뀌는 경우(예: 우상향에서 우하향으로)도 하나의 요인으로 설명할 수 있다면 여전히 1요인 모형입니다.

핵심 포인트:

1요인 모형의 본질은 "수익률 곡선 전체가 하나의 힘에 의해 움직인다"는 가정입니다. 이 가정이 충족되지 않는 상황, 즉 단기금리는 상승하고 장기금리는 하락하는 등 수익률 곡선이 비틀림(Twist)을 보이는 경우에는 DV01과 듀레이션에 기반한 분석에 한계가 생깁니다.

시험 함정 주의:

1요인 모형은 반드시 "평행 이동(Parallel Shift)"만을 의미하지 않습니다. 비평행 이동도 단일 요인으로 설명 가능하면 1요인 모형에 해당합니다. 그러나 시험에서 듀레이션과 볼록성의 가장 제한적인 가정(most limiting assumption)을 물으면 답은 "평행 이동 가정"입니다.

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LO 58.b: DV01의 정의와 계산

1. DV01이란 무엇인가?

DV01(Dollar Value of a Basis Point)은 금리가 1bp(0.01%, 즉 0.0001) 변할 때 고정수익증권의 가격이 변하는 달러 금액을 의미합니다. 여기서 "01"은 1 basis point(1bp)를 지칭합니다. DV01은 트레이딩과 헤징 현장에서 가장 먼저, 가장 자주 사용되는 금리 민감도 척도입니다.

DV01이 듀레이션보다 실무에서 먼저 등장하는 이유는 단순합니다. 트레이딩과 헤징에서 손익은 "퍼센트"가 아니라 "달러"로 측정되기 때문입니다. "가격이 0.8% 변했다"는 표현보다 "금리 1bp 상승 시 -$250 손실"이라는 표현이 즉각적인 의사결정에 훨씬 유용합니다. 그래서 DV01은 흔히 "트레이더의 언어"라고 불립니다.

2. DV01의 수식

DV01 공식 $$DV01 = -\frac{\Delta P}{\Delta y}$$

여기서:

• \(\Delta P\) = 채권 가격의 변화 (달러)
• \(\Delta y\) = 금리(수익률)의 변화 (소수 단위, 1bp = 0.0001)
• 앞의 음수 부호(-)는 방향 관례: 금리 하락 시 가격 상승 → DV01 양수

공식 앞에 음수 부호(-)가 붙는 이유를 이해하는 것이 중요합니다. 채권 가격과 금리는 역의 관계에 있으므로, 금리가 하락(\(\Delta y < 0\))하면 가격이 상승(\(\Delta P > 0\))합니다. 이 경우 \(-\frac{\Delta P}{\Delta y}\)의 분자는 양수, 분모는 음수이므로 전체 값이 음수가 되지만, 앞의 음수 부호가 이를 양수로 바꿔줍니다. 결과적으로 DV01은 항상 양수 값으로 표현됩니다.

3. DV01 계산의 두 가지 방법

DV01을 계산하는 방법에는 두 가지가 있습니다.

방법 1: 금리 기간구조의 평행 이동 가정. 금리 기간구조 전체가 일정 bp만큼 이동한다고 가정하고, 이동 전후의 채권 가격 차이를 이동 bp로 나눕니다.

방법 2: YTM(만기수익률) 이용. 현재 YTM에서 같은 bp만큼 증가시킨 가격과 감소시킨 가격을 각각 계산한 후, 두 가격 변화의 평균을 취합니다. 이 방법은 볼록성으로 인한 비대칭 가격 변화를 평균으로 상쇄시키므로 더 정확한 DV01 추정치를 제공합니다.

예시 1: DV01 계산 (평행 이동 방법)

조건:

• 액면가: $100,000
• 쿠폰: 6% (반기 복리)
• 만기: 5년
• 현재 가격: $100,750.00
• 금리 기간구조 전체가 10bp 하락
• 하락 후 가격: $101,181.44

풀이:

금리가 10bp 하락한 결과 채권 가격이 $100,750.00에서 $101,181.44로 상승했으므로, 가격 변화는 다음과 같습니다:

$$\Delta P = \$101,181.44 - \$100,750.00 = +\$431.44$$

10bp에 대한 변화이므로, 1bp당 가격 변화를 구하면:

$$DV01 = \frac{\$431.44}{10} = \$43.144$$

해석: 이 채권은 금리가 1bp 하락할 때마다 약 $43.14만큼 가격이 상승합니다.

4. DV01과 볼록성의 관계: 비대칭적 가격 변화

채권 가격은 금리 변동에 대해 볼록(Convex)한 관계를 가지고 있습니다. 이는 같은 크기의 금리 변동이라도 하락 시의 가격 상승폭이 상승 시의 가격 하락폭보다 더 크다는 것을 의미합니다. 위의 예시를 기준으로 보면, 금리 10bp 하락 시 가격은 +$431.44 상승했지만, 금리 10bp 상승 시 가격은 -$429.24만 하락합니다(가격이 $100,320.76이 됨).

금리 변동	채권 가격	가격 변화
-10bp (하락)	$101,181.44	+$431.44
변동 없음	$100,750.00	-
+10bp (상승)	$100,320.76	-$429.24

이 비대칭성이 바로 볼록성(Convexity)의 출발점입니다. DV01은 이러한 비대칭성을 완벽하게 포착하지 못하는 선형 근사치이며, 이를 보완하기 위해 볼록성이 필요합니다. 방법 2(YTM 기반)에서 상승/하락 가격을 평균내는 이유도 바로 이 비대칭성을 상쇄하기 위함입니다.

5. DV01의 여러 정의

분석가들은 어떤 금리가 1bp 변하는지에 따라 DV01을 세분화합니다. 이 구분은 시험에서 개념적으로 출제될 수 있습니다.

구분	영문 표기	의미
Yield-based DV01	DV01	만기수익률(YTM)이 1bp 변할 때의 채권 가격 변화
DVDZ 또는 DPDZ	Dollar Value of DZ	스팟금리(제로금리, Zero/Spot Rate)가 1bp 변할 때의 채권 가격 변화
DVDF 또는 DPDF	Dollar Value of DF	선도금리(Forward Rate)가 1bp 변할 때의 채권 가격 변화

실무에서 Yield-based DV01이 가장 흔하게 사용되지만, 스왑(Swap) 시장이나 선도금리계약(FRA) 분석에서는 DVDZ나 DVDF가 더 적합할 수 있습니다. 시험에서는 이 세 가지의 개념적 차이를 구분할 수 있는지가 중요합니다.

예시 2: YTM 기반 DV01 계산 (양방향 평균)

조건:

• 10년 만기 채권, 액면가 $100, 쿠폰 5% (반기 복리)
• 현재 YTM: 7.00%

풀이:

YTM을 1bp 상승(7.01%)시킨 가격과 1bp 하락(6.99%)시킨 가격을 각각 금융계산기로 계산합니다.

YTM = 7.01%일 때: N=20, I/Y=3.505%, PMT=2.5, FV=100 → PV = $85.723

YTM = 6.99%일 때: N=20, I/Y=3.495%, PMT=2.5, FV=100 → PV = $85.852

$$DV01 = \frac{|85.852 - 85.723|}{2} = \frac{0.129}{2} = 0.0645$$

해석: 이 채권은 금리 1bp 변동 시 약 $0.0645(액면 $100 기준)만큼 가격이 변합니다. 두 방향의 변화를 평균냄으로써 볼록성으로 인한 비대칭을 보정한 것입니다.

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LO 58.c: DV01을 이용한 헤징

1. 헤징의 기본 원리

DV01과 같은 민감도 지표는 포지션을 헤지하기 위한 도구의 크기를 결정하는 데 핵심적으로 사용됩니다. 헤징의 목표는 단순합니다: 원래 포지션과 헤지 포지션을 합친 결합 포지션이 금리의 작은 변동에 대해 가치가 변하지 않도록 만드는 것입니다. 수학적으로 표현하면, 결합 포지션의 DV01이 0이 되어야 합니다.

예를 들어, 투자자의 포지션 DV01이 -$250이라면, 이는 금리가 1bp 상승할 때 포지션 가치가 $250 하락하고, 1bp 하락할 때 $250 상승한다는 의미입니다. 이 투자자가 금리 리스크를 완전히 상쇄하려면, DV01이 +$250인 헤지 포지션을 구축해야 합니다.

2. 헤지 비율 (Hedge Ratio)

헤지 비율(HR)은 원래 포지션의 DV01과 헤징 도구의 DV01 사이의 비율로, 헤지에 필요한 헤징 도구의 상대적 크기를 나타냅니다. 헤지 비율이 1이면 원래 포지션과 헤징 도구의 금리 민감도가 정확히 같다는 의미입니다.

헤지 비율 (Hedge Ratio) $$HR = \frac{DV01_{\text{포지션}}}{DV01_{\text{헤지도구}}}$$

헤징 도구의 필요 액면가:

$$\text{헤지 도구 액면가} = \text{원래 포지션 액면가} \times HR$$

예시 3: DV01 기반 헤지 계산

조건:

• 포트폴리오: $1,000,000, DV01 = $340
• 헤지 채권: 쿠폰 3%, 만기 5년, DV01 = $285

풀이:

$$HR = \frac{340}{285} = 1.193$$ $$\text{헤지 채권 액면가} = \$1,000,000 \times 1.193 = \$1,192,982$$

해석: 투자자의 $100만 포트폴리오(DV01 = $340)를 헤지하기 위해서는 DV01이 $285인 채권을 약 $1,192,982 어치 매도(숏)해야 합니다. 포트폴리오의 DV01이 헤지 채권의 DV01보다 크기 때문에 헤지 비율이 1보다 크고, 따라서 원래 포지션보다 더 큰 금액의 헤지 채권이 필요합니다.

예시 4: 숏 포지션의 헤징

조건:

• 투자자: 10년 만기, 쿠폰 5%, YTM 7% 채권에 대한 숏 포지션 $100
• 이 채권의 DV01 = 0.065
• 헤지 도구: 20년 만기 국채, DV01 = 0.085

풀이:

$$HR = \frac{0.065}{0.085} = 0.765$$

해석: 투자자는 숏 포지션을 보유하고 있으므로, 금리 하락 시 손실이 발생합니다(숏 포지션은 채권 가격 상승 시 손실). 따라서 금리 하락 시 이익이 나는 방향, 즉 헤지 도구를 매수(Buy)해야 합니다. 원래 포지션 액면 $1당 헤지 도구 $0.765를 매수하므로, $100 숏 포지션에 대해 약 $76.50의 헤지 채권을 매수해야 합니다.

시험 함정 주의:

DV01 헤징 문제에서 롱/숏 방향을 반드시 확인해야 합니다. 원래 포지션이 롱이면 헤지는 숏, 원래 포지션이 숏이면 헤지는 롱입니다. 방향을 잘못 잡으면 리스크가 상쇄되는 것이 아니라 두 배로 증폭됩니다.

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MODULE 58.2: 듀레이션과 볼록성 (Duration & Convexity)

LO 58.d: 유효 듀레이션의 정의, 계산, 해석

1. 듀레이션의 본질적 의미

듀레이션(Duration)은 채권 가격 변동성을 측정하는 데 가장 널리 사용되는 척도입니다. 채권의 가격 변동성은 쿠폰율, 만기, 초기 수익률의 함수인데, 듀레이션은 이 세 가지 변수의 영향을 하나의 숫자로 종합합니다.

듀레이션에 대한 흔한 오해부터 바로잡겠습니다. 듀레이션은 "채권의 평균 만기" 또는 "현금흐름의 가중평균 시점"이라는 해석이 있지만, FRM 시험에서 가장 중요한 해석은 다음입니다:

듀레이션의 정확한 해석:

"금리가 1%(100bp) 변할 때 채권 가격이 몇 % 변하는가?"

예를 들어, 듀레이션이 5인 채권은 금리가 1% 상승하면 가격이 약 5% 하락하고, 금리가 1% 하락하면 가격이 약 5% 상승합니다.

2. 유효 듀레이션 (Effective Duration) 공식

유효 듀레이션(Effective Duration)은 채권 가격 P에 대해 금리가 \(\Delta y\)만큼 변할 때의 퍼센트 가격 변화를 측정합니다.

유효 듀레이션 공식 $$D = \frac{P_{-} - P_{+}}{2 \times P_0 \times \Delta y}$$

여기서:

• \(P_{-}\) = 금리가 \(\Delta y\)만큼 하락했을 때의 채권 가격
• \(P_{+}\) = 금리가 \(\Delta y\)만큼 상승했을 때의 채권 가격
• \(P_0\) = 현재 채권 가격
• \(\Delta y\) = 금리 변화 (소수 단위)

이 공식을 변형하면 채권 가격의 실제 변화 금액을 추정할 수 있습니다:

듀레이션을 이용한 가격 변화 추정 $$\Delta P \approx -D \times P_0 \times \Delta y$$

또는 퍼센트 변화로:

$$\frac{\Delta P}{P_0} \approx -D \times \Delta y$$

예시 5: 듀레이션을 이용한 가격 변화 계산

조건:

• 15년 만기 채권, 연간 쿠폰 7%
• 현재 가격: $98,550
• 듀레이션: 3.28
• 금리 변동: 25bp 하락 (\(\Delta y = -0.0025\))

풀이:

$$\Delta P = -3.28 \times \$98,550 \times (-0.0025) = +\$808.11$$

해석: 금리가 25bp 하락하면, 이 채권의 가격은 약 $808.11 상승하여 $99,358.11이 될 것으로 예상됩니다. 듀레이션의 음수 부호와 금리 하락의 음수 부호가 결합하여 양수(가격 상승)가 됩니다.

실무 팁: 100bp 변화에 대한 가격 변화를 구할 때는, 먼저 1bp 변화에 대한 가격 변화를 계산한 후 100을 곱하는 방법이 편리합니다.

3. 콜러블 채권과 풋터블 채권의 듀레이션

콜러블 채권(Callable Bond)은 발행자가 미래 특정 시점에 미리 정해진 가격으로 채권을 투자자로부터 다시 매입할 수 있는 권리를 가진 채권입니다. 발행자는 통상 금리가 하락하여 더 낮은 금리로 재융자(Refinancing)할 수 있을 때 이 권리를 행사하려 합니다. 따라서 콜러블 채권은 금리 하락 시 가격 상승의 상한(Call Price)이 존재하며, 이로 인해 일반 채권보다 가격 상승 잠재력이 제한됩니다.

콜러블 채권의 유효 듀레이션을 계산하는 데에는 세 가지 접근법이 있습니다:

접근법	방법	정확도
접근법 1	콜이 행사되지 않을 것으로 가정하고 듀레이션 계산	부정확 (콜 가능성 무시)
접근법 2	콜 확률로 가중평균한 듀레이션 계산	개선됨 (그러나 금리 변동 시 콜 확률 변화 무시)
접근법 3 (정확)	현재 가격을 계산하고, 1bp 평행 이동 후 재가격한 뒤 % 변화로 듀레이션 산출	정확 (옵션 효과 반영)

예시: 접근법 2에 의한 콜러블 채권 듀레이션

7년 만기 채권이 4년 후 콜 가능하며, 콜 행사 확률이 43%인 경우:

$$D_{\text{effective}} = (0.57 \times D_{7\text{년}}) + (0.43 \times D_{4\text{년}})$$

이 방법은 접근법 1보다 나지만, 금리가 상승하면 콜 확률이 감소하고 금리가 하락하면 콜 확률이 증가하는 동적 관계를 반영하지 못한다는 한계가 있습니다. 따라서 접근법 3이 가장 정확합니다.

풋터블 채권(Putable Bond)은 채권 보유자가 미래 특정 시점에 미리 정해진 가격으로 채권을 발행자에게 되팔 수 있는 권리를 가진 채권입니다. 금리가 상승하여 채권 가격이 하락할 때 투자자가 풋 옵션을 행사하므로, 가격 하락의 하한이 존재합니다. 풋터블 채권의 유효 듀레이션도 콜러블 채권과 유사한 방식(접근법 3)으로 계산합니다.

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LO 58.e: DV01과 듀레이션의 비교

두 척도의 근본적 차이

DV01과 듀레이션은 모두 금리 민감도를 측정하지만, 그 단위와 용도가 다릅니다. DV01은 금리 1bp 변동 시 달러 금액의 변화를 측정하고, 듀레이션은 금리 변동 시 퍼센트 변화를 측정합니다. 이 차이는 사용 맥락에서 중요한 차이를 만듭니다.

비교 항목	DV01	듀레이션 (Duration)
단위	달러 ($)	퍼센트 (%) 또는 년 (Year)
측정 대상	1bp 변동 시 가격의 달러 변화	1% 변동 시 가격의 퍼센트 변화
포지션 크기 반영	반영됨 (포지션이 클수록 DV01 큼)	반영 안됨 (비율 개념)
주 사용 맥락	트레이딩, 파생상품 헤징	투자 포트폴리오 관리
장점	거래 양측의 달러 금액이 다를 때 유용	높은 숫자가 큰 % 변화를 즉시 경고

핵심 정리:

투자자 입장에서는 듀레이션이 더 직관적입니다. "이 채권의 듀레이션이 8이다"라고 하면 금리 1% 변동 시 약 8%의 가격 변동이 있을 것이라는 경고를 즉시 받을 수 있기 때문입니다. 반면 트레이더나 파생상품 헤저 입장에서는 DV01이 더 실용적입니다. 트레이딩에서는 거래 양측의 명목금액이 다르기 때문에 퍼센트 변화보다 달러 변화가 의사결정에 직접 필요합니다.

두 척도 사이에는 다음과 같은 수학적 관계가 존재합니다:

DV01과 듀레이션의 관계 $$DV01 = D \times P_0 \times 0.0001$$

즉, DV01 = 듀레이션 x 현재 가격 x 1bp(소수)

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LO 58.f: 볼록성의 정의, 계산, 해석

1. 왜 볼록성이 필요한가?

듀레이션은 금리의 작고 평행한 변화에 대해 좋은 가격 근사치를 제공합니다. 그러나 DV01과 마찬가지로 듀레이션은 선형 추정(Linear Estimate)입니다. 이는 금리가 오르든 내리든 동일한 크기의 가격 변화를 가정한다는 의미입니다. 하지만 실제 채권 가격은 금리에 대해 볼록(Convex)한 관계를 가지므로, 듀레이션만으로 계산한 가격은 항상 실제 채권 가격보다 낮게 추정됩니다.

구체적으로 설명하면, 듀레이션은 가격-수익률 곡선 위의 한 점에서 그은 접선(Tangent Line)과 같습니다. 접선은 접점 근처에서는 곡선과 거의 일치하지만, 접점에서 멀어질수록 곡선과 접선 사이의 괴리가 커집니다. 이 괴리를 보정하는 것이 바로 볼록성(Convexity)입니다.

2. 볼록성의 정의

볼록성(Convexity)은 금리 변화에 대한 듀레이션의 민감도, 즉 가격-금리 관계의 곡률(Curvature)을 측정합니다. 수학적으로 볼록성은 가격의 금리에 대한 2차 도함수(Second Derivative)에 해당합니다. 듀레이션이 1차 도함수(기울기)를 포착한다면, 볼록성은 그 기울기가 어떻게 변하는지를 포착합니다.

볼록성에 의한 보정은 항상 양(+)의 조정입니다. 이는 금리가 상승하든 하락하든 관계없이 실제 채권 가격이 듀레이션 추정치보다 항상 높기 때문입니다. 일반적으로 볼록성 수치가 높을수록 가격 변동성도 높습니다.

3. 볼록성 근사 공식

볼록성 (Convexity) 근사 공식 $$C = \frac{P_{-} + P_{+} - 2P_0}{P_0 \times (\Delta y)^2}$$

여기서:

• \(P_{-}\) = 금리가 \(\Delta y\)만큼 하락했을 때의 채권 가격
• \(P_{+}\) = 금리가 \(\Delta y\)만큼 상승했을 때의 채권 가격
• \(P_0\) = 현재 채권 가격
• \(\Delta y\) = 금리 변화 (소수 단위)

예시 6: 볼록성 계산

조건:

• 15년 만기 채권, 연간 쿠폰 7%, 옵션 없는 일반 채권
• 현재 가격: 액면가 $100 (Par)
• 금리 50bp 상승 시 가격: $95.586
• 금리 50bp 하락 시 가격: $104.701

풀이:

$$C = \frac{104.701 + 95.586 - 2 \times 100}{100 \times (0.005)^2}$$ $$C = \frac{200.287 - 200}{100 \times 0.000025}$$ $$C = \frac{0.287}{0.0025} = 114.8$$

해석: 볼록성 값 114.8 자체는 듀레이션처럼 직관적인 해석이 되지 않습니다. 단독으로는 의미가 없지만, 더 높은 볼록성 수치는 더 높은 가격 변동성을 의미합니다. 이 값의 진정한 유용성은 듀레이션과 결합하여 더 정확한 가격 변화를 추정할 때 발현됩니다.

4. 듀레이션과 볼록성을 결합한 가격 변화 추정

듀레이션만으로 추정하면 항상 가격 하락을 과대평가하고 가격 상승을 과소평가합니다. 볼록성을 추가하면 이 오차를 크게 줄일 수 있으며, 특히 금리 변동 폭이 클수록 볼록성 보정의 효과가 더 커집니다.

듀레이션 + 볼록성 결합 가격 변화 공식 $$\frac{\Delta P}{P_0} \approx -D \times \Delta y + \frac{1}{2} \times C \times (\Delta y)^2$$

첫 번째 항: 듀레이션 효과 (선형, 방향에 따라 +/-)

두 번째 항: 볼록성 효과 (항상 +, 가격을 위로 보정)

두 번째 항인 \(\frac{1}{2} \times C \times (\Delta y)^2\)는 \((\Delta y)^2\)가 항상 양수이고 \(C\)도 일반 채권에서 항상 양수이므로, 이 보정은 금리가 오르든 내리든 항상 가격을 위로 조정합니다. 이것이 볼록성이 투자자에게 유리한 이유입니다. 볼록성은 일종의 "보험"과 같은 역할을 합니다.

예시 7: 듀레이션 + 볼록성 결합 가격 변화 추정

조건:

• 15년 만기 채권, 쿠폰 7%, 옵션 없음, 액면가 거래
• 듀레이션: 9.115
• 볼록성: 114.8
• 금리 변동: 150bp 상승 및 하락

풀이 1: 금리 150bp 상승 (\(\Delta y = +0.015\))

$$\frac{\Delta P}{P_0} = (-9.115 \times 0.015) + \left(\frac{1}{2} \times 114.8 \times 0.015^2\right)$$ $$= -0.13673 + 0.01292 = -0.12381$$

가격 변화: $100 x (-0.12381) = -$12.381 (가격 하락)

풀이 2: 금리 150bp 하락 (\(\Delta y = -0.015\))

$$\frac{\Delta P}{P_0} = (-9.115 \times (-0.015)) + \left(\frac{1}{2} \times 114.8 \times (-0.015)^2\right)$$ $$= +0.13673 + 0.01292 = +0.14965$$

가격 변화: $100 x 0.14965 = +$14.965 (가격 상승)

비교: 듀레이션만 사용했다면 금리 150bp 상승 시 가격 변화는 \(-9.115 \times 100 \times 0.015 = -\$13.673\)이었을 것입니다. 볼록성을 추가함으로써 하락폭이 $13.673에서 $12.381로 줄어들었습니다. 이는 듀레이션만 사용했을 때 가격 하락을 과대평가했음을 보여줍니다.

시험 함정 주의:

볼록성 보정 항에서 \(\frac{1}{2}\)을 잊지 마십시오. 또한 \((\Delta y)^2\)에서 \(\Delta y\)를 소수 단위로 변환해야 합니다 (예: 25bp = 0.0025). 퍼센트(2.5%)나 bp(25)를 그대로 대입하면 답이 크게 틀립니다.

예시 8: 시험 대비 - 듀레이션 + 볼록성 문제

조건: 듀레이션 7, 볼록성 243인 채권에서 금리 25bp 상승 시 가격 변화는?

풀이:

$$\frac{\Delta P}{P_0} = (-7 \times 0.0025) + \left(\frac{1}{2} \times 243 \times 0.0025^2\right)$$ $$= -0.0175 + 0.000759 = -0.01674$$

정답: 약 -1.67% 하락

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LO 58.g: 포트폴리오 DV01, 듀레이션, 볼록성

1. 포트폴리오 수준의 리스크 척도 계산

개별 채권의 DV01, 듀레이션, 볼록성을 포트폴리오 수준으로 집계하는 방법은 각 척도마다 다릅니다. 이 차이는 시험에 자주 출제되므로 정확히 구분해야 합니다.

척도	포트폴리오 계산 방법	가중치 사용 여부
포트폴리오 DV01	개별 DV01의 단순 합산	가중치 불필요
포트폴리오 듀레이션	개별 듀레이션의 가치 가중 평균	각 채권의 가치 비중을 가중치로 사용
포트폴리오 볼록성	개별 볼록성의 가치 가중 평균	각 채권의 가치 비중을 가중치로 사용

포트폴리오 듀레이션 $$D_{\text{portfolio}} = \sum_{i=1}^{n} w_i \times D_i$$

\(w_i = \frac{\text{채권 } i \text{의 시장가치}}{\text{포트폴리오 총 시장가치}}\)

포트폴리오 볼록성 $$C_{\text{portfolio}} = \sum_{i=1}^{n} w_i \times C_i$$

DV01이 단순 합산인 이유는 DV01 자체가 이미 달러 금액으로 포지션 크기를 반영하고 있기 때문입니다. 반면 듀레이션과 볼록성은 비율(%) 개념이므로, 각 채권이 포트폴리오에서 차지하는 비중을 반영해야 합니다.

예시 9: 포트폴리오 듀레이션과 볼록성 계산

조건:

채권	시장가치	듀레이션	볼록성
Bond A	$2,000,000	3.5	20
Bond B	$3,500,000	5.2	45
Bond C	$4,500,000	7.8	85

풀이:

총 포트폴리오 가치: $2M + $3.5M + $4.5M = $10M

가중치: Bond A = 0.20, Bond B = 0.35, Bond C = 0.45

$$D_{\text{portfolio}} = (0.20 \times 3.5) + (0.35 \times 5.2) + (0.45 \times 7.8)$$ $$= 0.70 + 1.82 + 3.51 = 6.03$$ $$C_{\text{portfolio}} = (0.20 \times 20) + (0.35 \times 45) + (0.45 \times 85)$$ $$= 4.0 + 15.75 + 38.25 = 58.0$$

해석: 포트폴리오의 듀레이션은 6.03이고 볼록성은 58.0입니다. 이는 포트폴리오 가치가 $10M일 때, 금리 1% 상승 시 약 6.03%($603,000) 정도의 가격 하락이 예상됨을 의미합니다.

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LO 58.h: 듀레이션과 볼록성을 이용한 헤징

1. 듀레이션만을 이용한 헤징 (단일 채권)

투자 포지션의 가치 V와 듀레이션 \(D_V\)를 가진 투자를 채권(가치 P, 듀레이션 \(D_P\))으로 헤지하려면, 금리 변동 시 투자 포지션의 가치 변화와 헤지 채권의 가치 변화가 정확히 상쇄되어야 합니다.

듀레이션 기반 헤지 조건 $$\Delta V + \Delta P = 0$$ $$V \times D_V \times \Delta y = P \times D_P \times \Delta y$$

따라서:

$$P = -V \times \frac{D_V}{D_P}$$

(음수는 원래 포지션과 반대 방향을 의미)

예시 10: 듀레이션 기반 단일 채권 헤지

조건:

• 투자 포지션: $1,700,000, 듀레이션 6.5
• 헤지 채권: 듀레이션 7.9

풀이:

$$P = -\$1,700,000 \times \frac{6.5}{7.9} = -\$1,398,734$$

해석: 투자자는 약 $1.4M의 채권을 숏(매도)해야 합니다. 음수 부호는 원래 롱 포지션에 대해 반대 방향(숏)을 취해야 함을 의미합니다.

검증: 금리가 \(\Delta y\)만큼 변할 때:

• 투자 포지션 변화: \(-\$1,700,000 \times 6.5 \times \Delta y = -\$11,050,000 \times \Delta y\)
• 헤지 포지션 변화: \(+\$1,398,734 \times 7.9 \times \Delta y = +\$11,050,000 \times \Delta y\)
• 순 변화: 0 (완전 헤지)

2. 듀레이션과 볼록성을 이용한 이중 헤지 (두 채권)

듀레이션만으로 헤지하면 금리의 작은 평행 이동에 대해서만 효과적입니다. 금리 변동이 클 경우 볼록성으로 인한 오차가 커지므로, 듀레이션과 볼록성을 동시에 0으로 만드는 헤지가 필요합니다. 이를 위해서는 두 개의 채권이 필요합니다 (연립방정식의 미지수가 2개이므로 방정식도 2개 필요).

이중 헤지 조건 (연립방정식) $$V \cdot D_V + P_1 \cdot D_1 + P_2 \cdot D_2 = 0 \quad \text{(듀레이션 중립)}$$ $$V \cdot C_V + P_1 \cdot C_1 + P_2 \cdot C_2 = 0 \quad \text{(볼록성 중립)}$$

\(P_1, P_2\)는 두 헤지 채권의 포지션 규모 (양수 = 롱, 음수 = 숏)

예시 11: 듀레이션 + 볼록성 이중 헤지

조건:

• 투자 포지션: $3,000,000, 듀레이션 6, 볼록성 25
• Bond 1: 듀레이션 7, 볼록성 20
• Bond 2: 듀레이션 5, 볼록성 19

풀이:

연립방정식을 세우면:

$$3 \times 6 + P_1 \times 7 + P_2 \times 5 = 0 \quad \Rightarrow \quad 7P_1 + 5P_2 = -18 \quad \cdots (1)$$ $$3 \times 25 + P_1 \times 20 + P_2 \times 19 = 0 \quad \Rightarrow \quad 20P_1 + 19P_2 = -75 \quad \cdots (2)$$

(1)에서: \(P_1 = \frac{-18 - 5P_2}{7}\)

이를 (2)에 대입:

$$20 \times \frac{-18 - 5P_2}{7} + 19P_2 = -75$$ $$\frac{-360 - 100P_2}{7} + 19P_2 = -75$$ $$-360 - 100P_2 + 133P_2 = -525$$ $$33P_2 = -165 \quad \Rightarrow \quad P_2 = -5$$

\(P_1 = \frac{-18 - 5(-5)}{7} = \frac{-18 + 25}{7} = 1\)

결과: Bond 1에 $1M 롱, Bond 2에 $5M 숏 포지션을 취하면 투자 포지션의 듀레이션과 볼록성이 모두 중립화됩니다. 이 이중 헤지는 단순 듀레이션 헤지보다 더 큰 폭의 금리 변동에 대해서도 효과적입니다.

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LO 58.i: 바벨 vs 불릿 전략

1. 두 전략의 정의

채권 포트폴리오를 구성할 때, 동일한 듀레이션 목표를 달성하는 두 가지 대표적인 전략이 있습니다.

전략	구성 방법	특징
불릿 전략 (Bullet Strategy)	목표 듀레이션에 부합하는 중간 만기 채권 한 종목에 집중 투자	단순, 낮은 볼록성
바벨 전략 (Barbell Strategy)	단기 채권과 장기 채권을 조합하여 목표 듀레이션 달성 (중간 만기 채권은 포함하지 않음)	복잡, 높은 볼록성

2. 바벨 포트폴리오 구성 예시

예시 12: 바벨 vs 불릿 비교

채권 정보:

채권	만기	듀레이션	볼록성
Bond 1	5년	4.50	26.0
Bond 2	10년	7.65	59.8
Bond 3	30년	17.30	300.2

목표: $100,000 포트폴리오, 목표 듀레이션 7.65

불릿 전략: Bond 2를 $100,000 전액 매입. 듀레이션 = 7.65, 볼록성 = 59.8

바벨 전략: Bond 1과 Bond 3을 조합하여 가중평균 듀레이션 7.65를 달성합니다.

Bond 1의 비중을 \(w\)라 하면:

$$w \times 4.50 + (1-w) \times 17.30 = 7.65$$ $$4.50w + 17.30 - 17.30w = 7.65$$ $$-12.80w = -9.65$$ $$w = 0.7539 \approx 67.35\%$$

Bond 1: 67.35%, Bond 3: 32.65%

바벨 포트폴리오 볼록성:

$$C_{\text{barbell}} = 0.6735 \times 26.0 + 0.3265 \times 300.2 = 17.5 + 98.0 = 116.1$$

비교 항목	불릿 전략	바벨 전략
듀레이션	7.65	7.65 (동일)
볼록성	59.8	116.1 (약 2배)

3. 바벨 vs 불릿: 어떤 전략이 유리한가?

두 전략의 유불리는 투자자의 금리 전망에 따라 달라집니다. 핵심 통찰은 같은 듀레이션(동일한 1차 리스크)에서 바벨 전략이 항상 더 높은 볼록성을 가진다는 점입니다.

시장 상황	유리한 전략	이유
금리 대폭 변동 예상 (높은 변동성)	바벨 전략	높은 볼록성이 유리: 금리가 크게 움직이면 볼록성 효과가 커져 바벨이 불릿보다 성과가 좋음
수익률 곡선 평행 이동	바벨 전략	평행 이동 시 높은 볼록성이 항상 유리
수익률 곡선 비평행 이동 (비틀림, Twist)	불릿 전략	바벨은 곡선의 양 끝에 노출되어 비틀림에 취약
안정적 우상향 곡선	불릿 전략	불릿의 수익률(Yield)이 바벨보다 높은 경향

핵심 포인트:

차익거래자(Arbitrageur)는 금리 전망에 따라 바벨과 불릿 간의 차익거래를 시도할 수 있습니다. 금리가 평행하게 크게 이동할 것으로 예상되면, 바벨을 매수하고 불릿을 매도하여 이익을 추구합니다. 반대로 수익률 곡선의 비틀림이 예상되면 불릿이 유리합니다. 연구자들은 이러한 차익거래 기회가 존재하지 않는 무차익(No-Arbitrage) 금리 모형을 개발하려고 합니다.

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MODULE QUIZ

Module Quiz 58.1

다음 정보를 이용하여 문제 1과 2를 풀이하시오.
투자자가 10년 만기, 쿠폰 5%, YTM 7%인 채권에 대해 $100의 숏 포지션을 보유하고 있습니다. 할인은 반기 기준으로 이루어집니다.

문제 1. 이 채권의 DV01에 가장 가까운 값은?

A. 0.033
B. 0.047
C. 0.056
D. 0.065

문제 2. DV01이 0.085인 20년 만기 국채를 사용하여 DV01이 0.065인 10년 채권의 금리 리스크를 헤지하려면, 투자자는 어떤 조치를 취해야 합니까?

A. 헤지 도구를 $76.50 매수
B. 헤지 도구를 $76.50 매도
C. 헤지 도구를 $130.75 매수
D. 헤지 도구를 $130.75 매도

Module Quiz 58.2

문제 1. 포트폴리오 듀레이션은 포트폴리오 내 채권들의 가치 가중 듀레이션의 합으로 계산할 수 있습니다. 이 접근법의 가장 제한적인 가정은?

A. 모든 가중치가 달라야 한다
B. 포트폴리오가 균등하게 가중되어야 한다
C. 금리 변화가 평행하다고 가정한다
D. 포트폴리오 내 모든 채권이 같은 리스크 등급 또는 같은 수익률 곡선에 있어야 한다

문제 2. 듀레이션 7, 볼록성 243인 채권에서 금리 25bp 상승 시 가격 변화의 추정치는?

A. 1.67% 하락
B. 1.67% 상승
C. 1.75% 상승
D. 1.75% 하락

정답 및 해설

문제	정답	해설
58.1-1	D	YTM 7.01%로 계산한 가격: N=20, I/Y=3.505%, PMT=2.5, FV=100 → PV=$85.723 YTM 6.99%로 계산한 가격: N=20, I/Y=3.495%, PMT=2.5, FV=100 → PV=$85.852 DV01 = |85.852 - 85.723| / 2 = 0.0645 ≈ 0.065
58.1-2	A	HR = 0.065 / 0.085 = 0.765. 투자자가 숏 포지션이므로 금리 하락 리스크를 헤지하기 위해 헤지 도구를 매수해야 합니다. 필요 금액: $100 x 0.765 = $76.50 매수.
58.2-1	C	포트폴리오 듀레이션 계산은 수익률 곡선의 평행 이동(Parallel Shift)을 가정합니다. 비평행 이동에 대해서는 듀레이션이 좋은 척도가 되지 못합니다.
58.2-2	A	\(\frac{\Delta P}{P} = (-7 \times 0.0025) + (\frac{1}{2} \times 243 \times 0.0025^2)\) = -0.0175 + 0.000759 = -0.01674 ≈ -1.67%

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KEY CONCEPTS (핵심 개념 정리)

LO 58.a 핵심

• 금리 요인(Interest Rate Factor)은 수익률 곡선을 따라 개별 금리에 영향을 미치는 확률 변수
• 1요인 모형: 하나의 금리 변화로 모든 금리 변화를 결정 가능
• 평행 이동은 가장 단순한 형태이지만, 비평행 이동도 1요인 모형에 해당 가능

LO 58.b 핵심

• DV01 = 금리 1bp 변동 시 채권 가격의 달러 변화
• 계산 방법 2가지: (1) 금리 기간구조 평행 이동 가정, (2) YTM 기반 양방향 평균
• DV01 세분류: Yield-based DV01, DVDZ/DPDZ (스팟금리 기반), DVDF/DPDF (선도금리 기반)
• 볼록성으로 인해 금리 하락 시 가격 상승 > 금리 상승 시 가격 하락 (비대칭)

LO 58.c 핵심

• 헤지 목표: 결합 포지션의 DV01 = 0
• 헤지 비율: HR = DV01(포지션) / DV01(헤지도구)
• 헤지 도구 액면가 = 원래 포지션 액면가 x HR

LO 58.d 핵심

• 유효 듀레이션 = 금리 100bp 변동 시 가격의 % 변화
• 콜러블/풋터블 채권: 접근법 3(금리 ±1bp 재가격)이 가장 정확
• 콜러블 채권은 가격 상승 상한, 풋터블 채권은 가격 하락 하한 존재

LO 58.e 핵심

• DV01: 달러 단위, 트레이딩/헤징에 적합
• 듀레이션: 퍼센트 단위, 투자 관리에 적합
• 관계: DV01 = D x P x 0.0001

LO 58.f 핵심

• 볼록성 = 듀레이션의 금리 민감도 (가격-금리 관계의 곡률)
• 볼록성 보정은 항상 양수: 실제 가격은 듀레이션 추정치보다 항상 높음
• 결합 공식: \(\frac{\Delta P}{P} \approx -D \cdot \Delta y + \frac{1}{2} C \cdot (\Delta y)^2\)
• 금리 변동 폭이 클수록 볼록성 보정의 중요성 증가

LO 58.g 핵심

• 포트폴리오 DV01: 단순 합산 (가중치 불필요)
• 포트폴리오 듀레이션/볼록성: 가치 가중 평균
• 가장 제한적인 가정: 평행 이동

LO 58.h 핵심

• 듀레이션 헤지: 채권 1개로 듀레이션 중립화
• 듀레이션 + 볼록성 이중 헤지: 채권 2개 필요 (연립방정식)
• 이중 헤지는 더 큰 금리 변동에도 효과적

LO 58.i 핵심

• 불릿: 중간 만기 집중, 낮은 볼록성
• 바벨: 단기+장기 조합, 높은 볼록성
• 같은 듀레이션에서 바벨의 볼록성이 항상 더 높음
• 금리 변동성 높을 때 바벨 유리, 수익률 곡선 비틀림 시 불릿 유리

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시험 대비 한 줄 암기 체크리스트

주제	암기 포인트
DV01 정의	금리 1bp 변동 시 채권 가격의 달러 변화
DV01 부호	공식 앞에 음수(-) 부호 → DV01은 항상 양수로 표현
DV01 세분류	Yield-based DV01 / DVDZ(스팟금리) / DVDF(선도금리)
듀레이션 해석	금리 1%(100bp) 변동 시 채권 가격의 % 변화
DV01 vs Duration	DV01 = 트레이더 언어(달러), Duration = 투자자 언어(%)
볼록성 보정 방향	항상 양(+) → 실제 가격은 듀레이션 추정보다 항상 높음
볼록성 공식 주의	\(\frac{1}{2}\) 계수와 \((\Delta y)^2\)에서 소수 변환 잊지 말 것
포트폴리오 DV01	단순 합 (가중치 X)
포트폴리오 D, C	가치 가중 평균
헤지 비율	HR = DV01(포지션) / DV01(헤지도구)
이중 헤지	D + C 모두 0 → 채권 2개 필요
콜러블 듀레이션	금리 ±1bp 재가격하는 접근법 3이 정확
바벨 vs 불릿	같은 D → 바벨이 볼록성 더 높음
바벨 유리 상황	금리 변동성 높을 때, 평행 이동 시
불릿 유리 상황	수익률 곡선 비틀림(Twist) 시, 안정적 우상향 곡선
가장 제한적 가정	듀레이션/볼록성 분석의 핵심 가정: 금리의 평행 이동

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