FRM part1. Reading 59: Modeling Non-Parallel Term Structure Shifts and Hedging

 

FRM Part I – Reading 59
비평행 금리기간구조 이동 모델링과 헤지
(Modeling Non-Parallel Term Structure Shifts and Hedging)

EXAM FOCUS

핵심 학습 목표

이 Reading은 금리기간구조(Term Structure of Interest Rates)를 여러 구간으로 나누고, 각 구간의 금리가 어떻게 변화하는지에 대한 가정을 세우는 방법을 다룹니다. 단일 요인(Single-Factor) 접근법이 가정하는 "모든 만기 금리가 같은 폭으로 움직인다"는 평행 이동(Parallel Shift)의 한계를 인식하고, 이를 극복하기 위한 다요인(Multi-Factor) 접근법들을 학습합니다.

Key Rate 분석은 포트폴리오의 위험 노출이 2년, 5년, 10년, 30년 등 몇 가지 핵심 금리에 어떻게 분포하는지를 측정합니다. Forward-Bucket 방법은 Key Rate 접근법과 유사하지만, 선도금리 곡선(Forward Rate Curve)에 내재된 더 많은 금리 정보를 활용합니다.

시험에서 반드시 할 수 있어야 하는 것

• 주성분 분석(PCA)의 개념과 요인 중요도(분산 기여도) 계산
• Key Rate '01(KR01)의 정의, 계산, 부호 해석
• Key Rate Duration의 정의와 KR01로부터의 변환 계산
• KR01을 이용한 헤지 포지션 연립방정식 설정 및 풀이
• Forward-Bucket '01의 정의와 KR01과의 비교
• PCA 요인을 이용한 포트폴리오 변동성 추정
• '01 측정치에서 Duration으로의 변환 공식

이 Reading은 DV01과 Duration의 단일요인 한계를 넘어서는 비평행 이동 헤지에 초점을 맞추고 있으며, 특히 KR01 계산, 헤지 연립방정식, PCA 분산 기여도 문제가 시험에 자주 출제됩니다.

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MODULE 59.1: 요인, 주성분, 그리고 Key Rate

왜 DV01 하나로는 부족한가: 단일 요인 접근법의 한계

채권 포트폴리오의 금리 위험을 측정하고 헤지할 때, 가장 단순한 접근법은 단일 요인(Single-Factor) 접근법입니다. 이 접근법은 금리기간구조(흔히 수익률 곡선, Yield Curve라 부름) 내에서 모든 만기의 금리 변화가 하나의 요인에 의해 구동된다고 가정합니다. 예를 들어 "10년 파 금리(10-year par rate, 즉 10년 스왑 금리)가 1bp 오르면 2년, 5년, 30년 금리도 모두 1bp 오른다"는 식의 단순화입니다. 이것이 바로 평행 이동(Parallel Shift) 가정이며, DV01은 이 가정 위에서 정의됩니다.

그러나 현실의 금리 시장에서는 이러한 평행 이동 가정이 매우 제한적입니다. 실무에서는 다음과 같은 비평행 이동이 빈번하게 관찰됩니다:

• 커브 스티프닝(Steepening): 장기 금리가 단기 금리보다 더 많이 상승하여 수익률 곡선이 가팔라지는 현상
• 커브 플래트닝(Flattening): 단기 금리가 장기 금리보다 더 많이 상승하여 곡선이 평탄해지는 현상
• 나비형 이동(Butterfly Shift): 중간 만기 금리가 단기/장기와 반대 방향으로 움직이는 현상

이러한 비평행 이동을 포착하고 헤지하기 위해 실무자들은 다요인(Multi-Factor) 접근법을 사용합니다. 대표적인 다요인 접근법에는 주성분 분석(PCA), Key Rate 접근법, Bucket(Forward-Bucket) 접근법이 있으며, 이들은 금리 변화가 두 개 이상의 요인에 의해 결정된다고 가정합니다.

시험 함정 주의: DV01은 평행 이동만 헤지할 수 있습니다. DV01이 0이 되도록 헤지했더라도 수익률 곡선이 비평행으로 움직이면 손실이 발생할 수 있습니다. 비평행 이동까지 헤지하려면 KR01이나 Forward-Bucket '01 같은 다요인 민감도가 필요합니다.

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LO 59.a: 주성분 분석(PCA)과 금리기간구조 변동의 주요 요인

1. PCA(Principal Components Analysis)란 무엇인가

주성분 분석(PCA)은 과거 데이터에서 금리기간구조의 움직임을 분석하는 통계 기법입니다. 이 기법의 핵심 아이디어는 다음과 같습니다: 매일 관측되는 다양한 만기별 금리의 변화량을 모아놓고 보면, 이 변화들 사이에는 상당한 상관관계가 존재합니다. PCA는 이러한 상관된 변화들을 서로 상관이 없는(Uncorrelated) 요인들로 분해합니다. 그리고 이 직교 요인들을 선형 결합(Linear Combination)하면 매일의 금리곡선 변화를 재구성할 수 있습니다.

PCA의 결과로 여러 요인이 식별되는데, 일반적으로 처음 두세 개의 요인이 전체 변동의 대부분을 설명합니다. 나머지 요인들은 상대적으로 미미한 영향만 미칩니다.

2. 요인 로딩(Factor Loading)의 해석

요인 로딩(Factor Loading)이란 특정 요인이 1단위 움직일 때 각 만기의 금리가 몇 bp(basis points) 변하는지를 나타내는 수치입니다. 아래 표는 미국 국채 금리에 대한 5년간의 가상적 요인 로딩을 보여줍니다.

만기	Factor 1	Factor 2	Factor 3	Factor 4
2년	−0.396	0.562	0.124	−0.512
3년	−0.434	0.352	0.103	0.157
5년	−0.476	0.062	−0.347	0.601
10년	−0.480	−0.328	−0.320	−0.345
30년	−0.443	−0.665	0.870	0.480

이 표의 해석은 다음과 같습니다. 예를 들어, Factor 3이 +1단위 움직이면 2년 금리는 +0.124bp 변하고 3년 금리는 +0.103bp 변합니다. Factor 1의 경우 모든 만기에서 부호가 동일(모두 음수)하므로, Factor 1의 양의 단위는 모든 관련 금리를 하락시키고, 음의 단위는 모든 금리를 상승시킵니다. 이는 사실상 수준 이동(Level Shift), 즉 평행 이동과 유사한 패턴입니다.

Factor 2는 단기(2년, 3년)에서 양수이고 장기(10년, 30년)에서 음수이므로, 단기와 장기가 반대 방향으로 움직이는 기울기 변화(Slope/Twist)를 나타냅니다. Factor 3이나 Factor 4는 만기별로 부호가 더 복잡하게 바뀌며, 이는 곡률 변화(Curvature/Butterfly)와 같은 고차원적 이동 패턴을 반영합니다.

특정 날의 실제 금리 변화는 이 모든 요인들의 선형 결합으로 결정됩니다. 즉, 각 요인이 그날 얼마나 움직였는지(요인 점수)를 해당 요인의 로딩에 곱하고 합산하면 그날의 만기별 금리 변화를 재구성할 수 있습니다.

3. 요인 점수(Factor Score)와 요인 중요도

요인 점수(Factor Score)는 특정 날짜에 각 요인이 실제로 얼마나 움직였는지를 나타내는 변수값입니다. 이 점수의 표준편차는 해당 요인의 상대적 중요도와 직결됩니다. 모든 요인 점수의 분산을 합산하면 전체 금리 변동의 총분산과 같아집니다.

요인	Factor 1	Factor 2	Factor 3	Factor 4
표준편차	12.96	5.82	2.14	1.79

총분산 계산: $$\text{Total Variance} = \sigma_1^2 + \sigma_2^2 + \sigma_3^2 + \sigma_4^2 = (12.96)^2 + (5.82)^2 + (2.14)^2 + (1.79)^2$$ $$= 167.96 + 33.87 + 4.58 + 3.20 = 209.62$$

각 요인의 상대적 중요도는 해당 요인의 분산을 총분산으로 나누어 구합니다. Factor 1의 분산은 \(12.96^2 = 167.96\)이므로, 총분산 209.62에서 차지하는 비중은 \(167.96 / 209.62 = 80.13\%\)입니다. 이는 금리기간구조 변동의 약 80%가 Factor 1(수준 이동) 하나로 설명된다는 의미입니다.

PCA 요인의 전형적 해석:

요인	일반적 해석	특징	전형적 설명력
Factor 1	수준 이동(Level/Shift)	모든 만기 금리가 같은 방향으로 이동 (금액은 다를 수 있음)	약 70~85%
Factor 2	기울기 변화(Slope/Twist)	단기와 장기 금리가 반대 방향으로 이동	약 10~15%
Factor 3	곡률 변화(Curvature/Butterfly)	중간 만기가 단기/장기와 반대 방향으로 이동	약 2~5%

처음 2~3개 요인만으로 전체 변동의 90% 이상을 설명할 수 있는 경우가 대부분이며, 이것이 PCA의 실무적 가치입니다.

예시: 요인 중요도 계산

요인 점수의 표준편차가 10.25, 7.16, 4.12, 3.08이라고 가정합니다. 첫 두 요인이 전체 분산에서 차지하는 비중은?

$$\text{총분산} = (10.25)^2 + (7.16)^2 + (4.12)^2 + (3.08)^2 = 105.06 + 51.27 + 16.97 + 9.49 = 182.79$$ $$\text{첫 두 요인의 분산 합} = 105.06 + 51.27 = 156.33$$ $$\text{비중} = \frac{156.33}{182.79} = 0.8552 = 85.52\%$$

따라서 첫 두 요인이 전체 금리 변동의 약 85.52%를 설명합니다.

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LO 59.b: Key Rate Shift 분석과 KR01의 정의

1. Key Rate 노출(Key Rate Exposures)의 개념

Key Rate 노출은 채권 포트폴리오의 위험이 금리기간구조의 어느 구간에 어떻게 분포하고 있는지를 기술합니다. 이 정보는 포트폴리오에 대한 적절한 헤지를 설계하는 데 핵심적인 역할을 합니다. Key Rate 노출은 시장에서 가장 유동성이 높은 채권의 금리를 사용하여 측정되는데, 이는 일반적으로 최근 발행된 국채(On-the-Run Government Bonds)로서 액면가 근처에서 거래되는 채권들입니다.

2. Key Rate Shift 분석의 핵심 가정

Key Rate Shift 분석은 "모든 금리가 소수의 핵심 금리(Key Rates)의 함수로 결정될 수 있다"는 단순화 가정을 세웁니다. 전체 기간구조에 걸친 위험을 커버하기 위해, 가장 유동적인 국채에 해당하는 소수의 핵심 금리만을 사용합니다.

미국 국채 및 관련 시장에서 가장 흔히 사용되는 Key Rate는 파 수익률(Par Yield) 기준으로 2년, 5년, 10년, 30년입니다. 이 핵심 금리 중 하나가 1bp 이동하면, 이를 Key Rate Shift라 부릅니다. 이때 해당 Key Rate 주변의 금리들도 선형 보간(Linear Interpolation)에 의해 함께 변한다고 가정합니다.

Key Rate Shift의 작동 원리(직관적 설명):

예를 들어 5년 Key Rate가 1bp 상승하면, 5년 만기 금리는 정확히 1bp 오릅니다. 2년과 5년 사이의 3년이나 4년 금리는 선형 보간에 의해 부분적으로(0보다 크고 1bp보다 작게) 오릅니다. 5년과 10년 사이의 7년 금리도 마찬가지로 부분적으로 영향을 받습니다. 하지만 2년 이하나 10년 이상의 금리는 5년 Key Rate Shift의 영향을 받지 않습니다. 이렇게 각 Key Rate의 영향 범위가 인접 Key Rate까지만이라는 것이 이 기법의 핵심 구조입니다.

3. 관련 민감도 지표 비교

지표	영문	적용 대상	특징
Key Rate '01 (KR01)	Key Rate Exposure	채권 포트폴리오	소수의 유동적 국채 만기점 기반, 금리곡선 구간별 위험 분포 측정
Partial '01	Partial DV01	스왑 포트폴리오 (또는 채권+스왑 혼합)	유동적 머니마켓/스왑 상품 기반, 스왑 커브 구성에 사용되는 상품에서 도출
Forward-Bucket '01	Forward-Bucket DV01	스왑 및 채권/스왑 혼합	선도금리 구간 기반, 수익률 곡선 형태(Shape) 위험 측정에 특화

Partial '01과 Forward-Bucket '01은 Key Rate 접근법과 개념적으로 유사하지만, 더 많은 금리를 사용하여 기간구조를 훨씬 더 많은 구간으로 세분화한다는 점이 다릅니다. Forward-Bucket '01은 다른 증권에 기반한 위험이 아니라, 수익률 곡선의 형태 변화에 기반한 위험을 측정한다는 점에서 특히 구별됩니다.

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LO 59.c: KR01의 계산과 Key Rate Duration

1. KR01(Key Rate '01)의 정의와 부호 규약

KR01(Key Rate '01)은 특정 Key Rate 주변의 현물금리(Spot Rate)를 1bp 이동시켰을 때, 증권(또는 포트폴리오)의 가치가 달러 기준으로 얼마나 변하는지를 측정합니다. 이를 \(\text{KR01}_1, \text{KR01}_2, \ldots, \text{KR01}_N\)으로 표기하며, 각각은 해당 현물금리가 1bp 상승했을 때의 포트폴리오 가치 감소분을 나타냅니다.

KR01 계산 공식: $$\text{KR01}_i = -(\text{금리 변화 후 가치} - \text{초기 가치})$$

또는 동등하게:

$$\text{KR01}_i = \text{초기 가치} - \text{금리 변화 후 가치}$$

(1bp 상승 시 가치가 하락하면 KR01은 양수, 가치가 상승하면 KR01은 음수)

DV01과 KR01의 관계:

DV01은 모든 현물금리가 동시에 1bp 평행 이동할 때의 포트폴리오 가치 변화입니다. 이는 곧 개별 KR01들의 합과 같습니다.

$$\text{DV01} = \sum_{i=1}^{N} \text{KR01}_i$$

따라서 DV01은 평행 이동에 대한 헤지에 사용할 수 있지만, KR01을 이용하면 비평행 이동을 포함한 더 넓은 범위의 금리곡선 변동에 대해 헤지할 수 있습니다.

2. 부호의 직관적 이해

금리와 채권 가치는 일반적으로 반대 방향으로 움직입니다. 따라서 "특정 만기 금리가 1bp 상승하면 포트폴리오 가치가 하락"하는 것이 일반적이고, 이때 KR01은 양(+)의 값을 가집니다. 반대로 특정 Key Rate Shift가 포트폴리오 가치를 상승시키는 경우(예: 제로쿠폰 채권에서 만기보다 짧은 Key Rate를 범프할 때 발생할 수 있음), KR01은 음(-)의 값이 됩니다.

3. Key Rate Duration의 정의

Key Rate Duration은 특정 만기의 수익률이 100bp 변할 때 포트폴리오 가치가 퍼센트(%)로 얼마나 변하는지를 측정합니다. DV01이 "달러 변화"를 측정하는 반면, Duration은 "퍼센트 변화"를 측정한다는 점이 핵심적인 차이입니다.

Key Rate Duration 계산 공식: $$\text{Key Rate Duration}_i = \frac{\text{KR01}_i}{V_0} \times 10{,}000$$

여기서 \(V_0\)는 초기 포트폴리오 가치입니다.

이 스케일링이 나오는 이유: KR01은 "1bp당 달러 변화"이므로 100bp로 확장하면 100배가 되고, 이를 \(V_0\)로 나누어 퍼센트로 바꾸면 다시 100으로 나누므로, 결과적으로 \(\times 10{,}000\)이 됩니다.

모든 Key Rate Duration을 합산하면 포트폴리오의 유효 듀레이션(Effective Duration)이 됩니다.

4. 30년 제로쿠폰 채권(C-STRIP) 예시

제로쿠폰 증권은 STRIPS(Separate Trading of Registered Interest and Principal Securities)라고도 불리며, 투자자는 만기에 원금만 수령합니다. 30년 C-STRIP의 경우, 대부분의 금리 민감도가 30년 Key Rate에 집중됩니다.

예시: C-STRIP의 KR01과 Key Rate Duration

30년 C-STRIP의 초기 가격이 액면 $100 기준으로 $30.8580이라고 가정합니다. 5년 Key Rate를 1bp 이동시킨 후의 가격이 $30.8620이라면:

$$\text{KR01}_{5\text{yr}} = -(30.8620 - 30.8580) = -0.0040$$

이 음수 값은 5년 금리가 1bp 상승할 때 C-STRIP의 가격이 오히려 $0.0040만큼 상승한다는 의미입니다. 이는 5년 금리 상승이 30년 제로쿠폰의 현재가치 할인에 복합적인 영향을 미치기 때문입니다.

5년 Key Rate Duration은:

$$\text{Key Rate Duration}_{5\text{yr}} = \frac{-0.0040}{30.8580} \times 10{,}000 = -1.30$$

30년 Key Rate에 대해서는 가격이 크게 하락할 것이므로 KR01은 양의 큰 값이 나오고, Key Rate Duration도 양의 큰 값이 됩니다. 모든 Key Rate Duration을 합산하면 30년 C-STRIP의 유효 듀레이션(약 30)이 됩니다.

시험 함정 주의:

• KR01은 달러 변화, Key Rate Duration은 퍼센트 변화입니다. 시험에서 이 두 개념을 혼동시키는 선택지가 자주 출제됩니다.
• KR01은 1bp 변화에 대한 것이고, Key Rate Duration은 100bp 변화에 대한 것입니다.
• KR01의 부호가 음수일 수 있습니다. "금리 상승 = 가격 하락"이 항상 성립하는 것은 아닙니다(특히 제로쿠폰 채권에서 만기와 다른 Key Rate를 범프할 때).

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MODULE 59.2: Key Rate 노출과 헤지

LO 59.d: Key Rate 위험을 헤지하기 위한 포지션 계산

1. DV01에서 KR01로의 분해

앞서 배운 것처럼, DV01은 모든 현물금리가 1bp 평행 이동할 때의 포트폴리오 가치 변화이며, 이는 개별 KR01의 합으로 분해됩니다. 예를 들어 3개의 현물금리(1년, 3년, 10년)를 Key Rate로 사용한다면:

$$\text{DV01} = \text{KR01}_1 + \text{KR01}_2 + \text{KR01}_3$$

여기서 \(\text{KR01}_1\)은 1년 현물금리, \(\text{KR01}_2\)는 3년 현물금리, \(\text{KR01}_3\)은 10년 현물금리의 1bp 상승에 따른 가치 감소분입니다.

DV01만으로 헤지하면 평행 이동에 대해서만 보호를 받습니다. 하지만 KR01 각각에 대해 헤지하면, 수익률 곡선의 기울기 변화(Twist)나 곡률 변화(Butterfly) 같은 비평행 이동에 대해서도 보호를 받을 수 있습니다.

2. Key Rate Shift의 가정과 한계

Key Rate Shift는 채권 포지션의 헤지를 더 정밀하게 만들어주며, 모든 Key Rate에 걸쳐 합산하면 전체 만기 스펙트럼에서의 평행 이동을 가정하게 됩니다. 그러나 Key Rate 노출 분석은 매우 강한 가정을 내포합니다: 특정 만기의 금리는 그 주변의 Key Rate에만 영향을 받는다는 것입니다. 현실에서는 금리 이동이 항상 완벽하게 선형적이지 않으므로, 이 가정은 근사(Approximation)에 불과합니다.

3. Key Rate 노출 계산의 상세 과정

4개의 제로쿠폰 채권(1년, 5년, 10년, 15년 만기)에 동일한 금액을 투자한 포트폴리오를 가정합니다. Key Rate는 2년, 10년, 30년이라 합시다. 계산 과정은 다음과 같습니다:

Step 1: 각 현물금리가 1bp 상승할 때 포트폴리오 가치가 얼마나 감소하는지를 먼저 계산합니다. 이것이 각 현물금리에 대한 개별 민감도입니다.

가상 예시: 스폿금리별 포트폴리오 가치 감소

현물금리 만기	1bp 상승 시 가치 감소
1년	$96
5년	$380
10년	$500
15년	$672

Step 2: 각 현물금리가 주변 Key Rate에 의해 어떤 비율로 영향받는지를 결정합니다. 이것이 Key Rate Shift 비율입니다. 예를 들어 1년 현물금리가 2년 Key Rate에 50% 영향받고 나머지는 영향이 없다면, 1년 현물금리의 민감도 중 50%만 2년 KR01에 배분됩니다.

Step 3: 각 Key Rate에 대한 KR01은 해당 Key Rate에 영향을 받는 모든 현물금리의 민감도를 가중합산하여 구합니다.

4. KR01을 이용한 헤지: 연립방정식 풀기

KR01을 이용한 헤지의 핵심 원리는 단순합니다: 포트폴리오와 헤지 상품을 합한 전체 포지션의 각 KR01을 0으로 만드는 것입니다. 만약 Key Rate가 N개이면, N개의 헤지 상품이 필요하고, N개의 연립방정식을 세워 풀어야 합니다.

예시: 3개 헤지 상품을 이용한 KR01 헤지

포트폴리오와 3개 헤지 상품의 KR01이 다음과 같다고 가정합니다:

	KR01 (2yr)	KR01 (10yr)	KR01 (30yr)
포트폴리오	20	50	30
헤지상품 1 (\(x_1\))	10	0	0
헤지상품 2 (\(x_2\))	0	10	0
헤지상품 3 (\(x_3\))	0	0	3

연립방정식:

$$20 + 10x_1 = 0 \quad \Rightarrow \quad x_1 = -2$$ $$50 + 10x_2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x_2 = -5$$ $$30 + 3x_3 = 0 \quad \Rightarrow \quad x_3 = -10$$

따라서 헤지 상품 1, 2, 3을 각각 2, 5, 10 단위씩 매도(Short)하면 포트폴리오의 KR01이 모든 Key Rate에 대해 0이 되어 헤지가 완성됩니다.

헤지 계산의 핵심 논리:

Key Rate가 N개이면 N개의 독립적인 헤지 상품이 필요합니다(과소결정이면 헤지 불완전, 과잉결정이면 최적화 기법 필요). 각 Key Rate에 대해 "포트폴리오 KR01 + 헤지 상품들의 KR01 기여분 = 0"이라는 방정식을 세우고, 이를 연립으로 풀어 각 헤지 상품의 포지션 크기를 결정합니다. 음수가 나오면 매도(Short), 양수가 나오면 매수(Long)입니다.

Module Quiz 59.2에서 출제된 헤지 계산

포트폴리오와 2개 헤지 상품의 KR01이 다음과 같다면:

	KR011	KR012
포트폴리오	41	48
헤지상품 1 (\(x_1\))	3	−4
헤지상품 2 (\(x_2\))	2	1

연립방정식 설정:

$$41 + 3x_1 + 2x_2 = 0 \quad \cdots (1)$$ $$48 - 4x_1 + x_2 = 0 \quad \cdots (2)$$

식 (2)에서 \(x_2 = -48 + 4x_1\)을 구하고, 식 (1)에 대입합니다:

$$41 + 3x_1 + 2(-48 + 4x_1) = 0$$ $$41 + 3x_1 - 96 + 8x_1 = 0$$ $$11x_1 = 55 \quad \Rightarrow \quad x_1 = 5$$ $$x_2 = -48 + 4(5) = -48 + 20 = -28$$

따라서 \(x_1 = 5\)(롱 5 단위), \(x_2 = -28\)(숏 28 단위)입니다.

시험 함정 주의:

KR01이 "포트폴리오 가치 감소분"으로 정의된다는 부호 규약에 주의하세요. 금리가 1bp 상승할 때 가치가 하락하면 KR01은 양수이고, 금리가 1bp 하락할 때 가치가 증가하는 것은 같은 의미입니다. 시험에서 "KR01은 금리 1bp 하락 시 가치 증가를 나타낸다"는 표현이 정답이 될 수 있습니다.

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MODULE 59.3: Forward Bucket과 변동성

LO 59.f: 금리 Bucket 접근법, Forward-Bucket '01, 그리고 KR01과의 비교

1. Bucket 접근법의 기본 개념

개별 Key Rate 대신, 금리기간구조를 여러 구간(Bucket)으로 나누고, 각 구간 내의 모든 현물금리를 동시에 1bp 이동시켜 포트폴리오 가치에 미치는 달러 영향을 측정하는 방법입니다. 예를 들어 \(B_1\)이 첫 번째 Bucket 내 현물금리를 1bp 올렸을 때의 가치 감소, \(B_2\)와 \(B_3\)도 유사하게 정의한다면:

$$\text{DV01} = B_1 + B_2 + B_3$$

2. Forward-Bucket '01의 정의

선도금리(Forward Rate)도 Bucket에 사용할 수 있습니다. 예를 들어 30년 기간을 0~3년, 3~15년, 15~30년의 3개 Bucket으로 나누고, 각 Bucket 내의 모든 선도금리(보통 6개월 단위로 계산)를 1bp 올릴 수 있습니다. Forward-Bucket '01은 특정 Bucket 내의 모든 선도금리를 1bp 상승시켰을 때 포트폴리오 가치가 얼마나 감소하는지를 나타냅니다.

Forward-Bucket '01과 KR01의 핵심 차이:

비교 항목	KR01	Forward-Bucket '01
금리 유형	파 수익률 또는 현물금리	선도금리
이동 방식	단일 Key Rate 주변만 1bp 이동	Bucket 내 모든 선도금리를 동시에 1bp 이동
구간 수	소수 (보통 4~10개)	다수 (기간구조를 더 촘촘하게 분할)
주 적용 대상	채권 포트폴리오	스왑, 채권+스왑 혼합 포트폴리오
위험 유형	특정 만기점의 금리 위험	수익률 곡선 형태(Shape) 위험

3. 현물금리와 선도금리의 관계

선도금리에서 현물금리를 도출할 수 있으므로, Bucket 내 선도금리를 1bp 올리면 해당 구간의 현물금리도 변하고, 이에 따라 포트폴리오 가치가 변합니다. N년 현물금리 \(R\)은 선도금리 \(f\)로부터 다음과 같이 유도됩니다:

$$(1 + R_N)^N = (1 + f_1)(1 + f_2) \cdots (1 + f_N)$$

반기복리의 경우, 각 반기 선도금리의 곱으로 현물금리를 구성합니다.

4. Forward-Bucket '01 계산 예시

예시: 3년 채권의 Forward-Bucket '01

다음 조건의 채권을 가정합니다:

• 액면: $100, 연 쿠폰율: 4.5%, 반기 복리
• 기간구조: 평탄(Flat)한 3.5%
• 반기 쿠폰: $2.25

채권의 초기 가치:

$$V_0 = \sum_{k=1}^{6} \frac{2.25}{(1+0.035/2)^k} + \frac{100}{(1+0.035/2)^6} = 102.8245$$

3개의 동일한 Bucket (0~1년, 1~2년, 2~3년)으로 나누고 각 Bucket의 선도금리를 1bp 올렸을 때:

Bucket	범프 후 채권가치	Forward-Bucket '01 계산	Forward-Bucket '01
0~1년	102.8145	102.8245 − 102.8145	0.0100
1~2년	102.8148	102.8245 − 102.8148	0.0097
2~3년	102.8153	102.8245 − 102.8153	0.0092

3개 Forward-Bucket '01의 합: \(0.0100 + 0.0097 + 0.0092 = 0.0289\)

이를 검증하기 위해 모든 선도금리를 동시에 1bp 올리면 채권가치는 102.7957이 되어, 가격 차이는 \(102.8245 - 102.7957 = 0.0288\)로 반올림 차이 내에서 0.0289와 일치합니다.

핵심 포인트: Forward-Bucket '01이 0~1년에서 가장 크고 2~3년에서 가장 작은 이유는 두 가지입니다. 첫째, 0~1년 Bucket의 선도금리 변화는 그 이후 모든 현금흐름의 할인에 영향을 미치지만, 2~3년 Bucket의 변화는 마지막 현금흐름에만 영향을 미칩니다. 둘째, 가까운 미래의 현금흐름이 먼 미래의 현금흐름보다 현재가치가 크기 때문입니다.

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LO 59.e: KR01과 PCA를 이용한 포트폴리오 변동성 추정

1. 은행의 KR01 규제 요건

은행은 10개의 KR01에 대해 1bp 이동의 영향을 계산해야 합니다. 여기에는 3개월, 6개월, 1년, 2년, 3년, 5년, 10년, 15년, 20년, 30년 현물금리가 포함됩니다. 또한 은행은 이 10개 금리 간의 표준편차와 상관관계를 이용하여 KR01 노출에 기반한 기대손실(Expected Shortfall, ES)과 VaR(Value at Risk)을 계산해야 합니다.

2. PCA 요인을 이용한 포트폴리오 변동성 계산

PCA의 핵심적인 장점은 요인들이 서로 직교(Orthogonal, 상관관계 = 0)라는 점입니다. 이 덕분에 포트폴리오의 일별 가치 변화 표준편차를 계산할 때 교차항(Cross Terms)이 사라져 계산이 크게 단순화됩니다.

PCA 기반 포트폴리오 변동성 공식: $$\sigma_{\Delta V} = \sqrt{\sum_{i=1}^{k} (\sigma_i \cdot f_i)^2}$$

여기서:

• \(\sigma_i\) = i번째 요인 점수의 표준편차
• \(f_i\) = i번째 요인이 1단위 움직일 때의 포트폴리오 가치 변화
• \(k\) = 사용하는 요인 수 (보통 처음 2~3개)

요인들이 직교(상관 0)이므로, 개별 기여분의 분산을 단순히 합산하면 됩니다(공분산항 불필요).

예시: PCA 기반 일별 변동성 계산

처음 3개 요인에 대한 포트폴리오 가치 변화가 \(f_1 = +10\), \(f_2 = -20\), \(f_3 = -30\)이고, 요인 점수의 표준편차가 각각 \(\sigma_1 = 12.96\), \(\sigma_2 = 5.82\), \(\sigma_3 = 2.14\)이라면:

$$\sigma_{\Delta V} = \sqrt{(12.96 \times 10)^2 + (5.82 \times (-20))^2 + (2.14 \times (-30))^2}$$ $$= \sqrt{(129.6)^2 + (-116.4)^2 + (-64.2)^2}$$ $$= \sqrt{16,796.16 + 13,548.96 + 4,121.64}$$ $$= \sqrt{34,466.76} \approx 185.65$$

따라서 포트폴리오의 일별 가치 변화 표준편차는 약 185.65입니다. 이 값을 이용하여 정규분포 가정 하에서 일별 VaR이나 ES를 계산할 수 있습니다.

지금까지 Key Rate Shift를 현물금리(Spot Rate)로 정의했지만, 파 수익률(Par Yield)을 사용하는 것도 가능합니다. 활발하게 거래되는 상품의 시장 가격이 현물금리 기간구조를 도출하는 데 사용되므로, 파 수익률은 궁극적으로 현물금리를 반영합니다. 따라서 어떤 금리를 기준으로 삼든 개념적 프레임워크는 동일합니다.

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LO 59.g: KR01 또는 Forward-Bucket '01에서 Duration으로의 변환

1. '01 측정치에서 Duration으로의 변환

DV01을 현물금리, 파 금리, 또는 선도금리로 세분화할 수 있는 것처럼, Duration 계산에도 동일한 개념을 적용할 수 있습니다. DV01 대신 구간별 '01 측정치를 대입하면 해당 구간의 Duration이 됩니다.

'01에서 Duration으로의 변환 공식: $$\text{Duration (구간)} = \frac{\text{(구간) '01}}{V_0} \times 10{,}000$$

이 공식은 KR01에서 Key Rate Duration을 구하는 공식과 완전히 동일한 구조이며, Forward-Bucket '01에도 똑같이 적용됩니다.

예시: Forward-Bucket Duration 계산

앞서 구한 3년 채권의 Forward-Bucket '01과 초기가치 102.8245를 사용합니다:

Bucket	Forward-Bucket '01	Forward-Bucket Duration 계산	결과
0~1년	0.0100	\(\frac{0.0100}{102.8245} \times 10{,}000\)	0.9725
1~2년	0.0097	\(\frac{0.0097}{102.8245} \times 10{,}000\)	0.9433
2~3년	0.0092	\(\frac{0.0092}{102.8245} \times 10{,}000\)	0.8947

3개 Forward-Bucket Duration의 합: \(0.9725 + 0.9433 + 0.8947 = 2.8105\)로, 이는 3년 채권의 유효 듀레이션에 근사합니다.

Module Quiz 59.3 핵심 문제: Forward-Bucket Duration 계산

초기 포트폴리오 가치 100.565, 액면 100, Forward-Bucket '01 = 0.0095일 때:

$$\text{Forward-Bucket Duration} = \frac{0.0095}{100.565} \times 10{,}000 = 0.9447$$

주의: 분모는 액면(100)이 아니라 초기 포트폴리오 가치(100.565)입니다.

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MODULE QUIZ

Module Quiz 59.1

문제 1. 요인 점수의 표준편차가 10.25, 7.16, 4.12, 3.08이라 가정합니다. 처음 두 요인이 총분산에 대해 차지하는 비중은?

A. 41.65%
B. 57.48%
C. 70.74%
D. 85.52%

문제 2. Partial '01에 관한 다음 설명 중 가장 정확한 것은?

A. 100bp 금리 변화를 반영한다.
B. 유동성이 높은 상품으로부터 도출된다.
C. 스왑 포트폴리오의 위험 헤지에 사용할 수 없다.
D. Key Rate 노출과 기능적으로 크게 다르다.

문제 3. 다음 만기 중 미국 국채의 Key Rate로 사용될 가능성이 가장 낮은 것은?

A. 2년
B. 10년
C. 15년
D. 30년

문제 4. Key Rate Duration을 가장 정확하게 설명한 것은?

A. 1bp 수익률 변화에 따른 포트폴리오 가치의 달러 변화
B. 100bp 수익률 변화에 따른 포트폴리오 가치의 달러 변화
C. 1bp 수익률 변화에 따른 포트폴리오 가치의 퍼센트 변화
D. 100bp 수익률 변화에 따른 포트폴리오 가치의 퍼센트 변화

Module Quiz 59.2

문제 1. 2년 현물금리에 대한 Key Rate(\(\text{KR01}_1\))는 다음으로부터의 포트폴리오 가치 증가를 나타냅니다:

A. 2년 현물금리의 1bp 상승
B. 2년 현물금리의 1bp 하락
C. 1년과 2년 현물금리의 1bp 상승
D. 1년과 2년 현물금리의 1bp 하락

문제 2. 다음 KR01과 두 개의 헤지 상품이 주어졌을 때, 포트폴리오를 적절히 헤지하기 위해 투자자가 취해야 할 포지션은?

	KR011	KR012
포트폴리오	41	48
헤지상품 1 (\(x_1\))	3	−4
헤지상품 2 (\(x_2\))	2	1

A. \(x_1\) 숏 1, \(x_2\) 롱 3
B. \(x_1\) 롱 6, \(x_2\) 숏 4
C. \(x_1\) 롱 5, \(x_2\) 숏 28
D. \(x_1\) 롱 46, \(x_2\) 롱 45

Module Quiz 59.3

문제 1. 3년 채권의 가치가 103.960입니다. 선도금리가 1bp 상승하면 가치가 103.925로 하락합니다. 다음 중 이 채권에 대해 타당한 3개 Forward-Bucket '01의 조합은?

A. 0.010, 0.009, 0.008
B. 0.014, 0.012, 0.009
C. 0.017, 0.017, 0.017
D. 0.020, 0.011, 0.006

문제 2. 초기 포트폴리오 가치가 100.565이고 액면이 100일 때, Forward-Bucket '01이 0.0095이면 해당 Forward-Bucket Duration에 가장 가까운 값은?

A. 0.9447
B. 0.9500
C. 94.47
D. 95.00

정답 및 해설

문제	정답	해설
59.1-1	D	총분산 = \(10.25^2 + 7.16^2 + 4.12^2 + 3.08^2 = 182.79\). 첫 두 요인 분산 합 = \(105.06 + 51.27 = 156.33\). 비중 = \(156.33 / 182.79 = 85.52\%\).
59.1-2	B	Partial '01은 유동성이 높은 상품에서 도출됩니다. 1bp 변화를 반영하며(100bp가 아님), 스왑 포트폴리오 헤지에 흔히 사용되고, Key Rate 노출과 기능적으로 유사합니다.
59.1-3	C	미국 국채 Key Rate는 통상 2년, 5년, 10년, 30년입니다. 15년은 일반적인 Key Rate가 아닙니다.
59.1-4	D	Key Rate Duration은 퍼센트 변화이며(달러 변화가 아님), 100bp 변화에 대한 것입니다(1bp가 아님).
59.2-1	B	금리와 포트폴리오 가치는 반대 방향으로 움직입니다. 2년 현물금리가 1bp 하락할 때 포트폴리오 가치가 증가합니다.
59.2-2	C	연립방정식 \(41 + 3x_1 + 2x_2 = 0\)과 \(48 - 4x_1 + x_2 = 0\)을 풀면 \(x_1 = 5\)(롱), \(x_2 = -28\)(숏).
59.3-1	B	전체 가격 하락 = \(103.960 - 103.925 = 0.035\). 3개 Forward-Bucket '01의 합이 0.035인 조합은 \(0.014 + 0.012 + 0.009 = 0.035\)뿐입니다.
59.3-2	A	\(\frac{0.0095}{100.565} \times 10{,}000 = 0.9447\). 분모는 액면이 아니라 초기 포트폴리오 가치입니다.

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KEY CONCEPTS (핵심 개념 정리)

LO 59.a 핵심

• 단일 요인 접근법은 모든 금리 변화가 하나의 요인에 의해 구동되고 평행으로 이동한다고 가정하므로 제한적
• PCA는 과거 데이터에서 금리기간구조의 움직임을 분석하여 서로 상관 없는 여러 요인을 식별하며, 처음 2~3개 요인이 가장 큰 영향
• 요인 점수의 분산 합 = 전체 금리 변동의 총분산
• 전형적 요인 해석: Factor 1 = 수준 이동(Level), Factor 2 = 기울기(Slope/Twist), Factor 3 = 곡률(Curvature/Butterfly)

LO 59.b 핵심

• Key Rate 노출은 포트폴리오 위험의 기간구조별 분포를 기술하고 적절한 헤지 설계를 지원
• Partial '01은 유동적 머니마켓/스왑 상품 기반으로 스왑 포트폴리오 헤지에 사용
• Forward-Bucket '01은 수익률 곡선의 형태(Shape) 위험을 측정
• Key Rate Shift는 소수의 핵심 금리로 모든 금리를 설명할 수 있다는 단순화 가정
• 미국 국채 Key Rate: 2년, 5년, 10년, 30년 파 수익률

LO 59.c 핵심

• KR01 = 특정 Key Rate 주변 금리를 1bp 이동시켰을 때의 달러 가치 변화
• Key Rate Duration = 특정 만기 금리 100bp 변화에 대한 퍼센트 가치 민감도
• DV01 = 모든 KR01의 합산
• Key Rate Duration = \(\frac{\text{KR01}}{V_0} \times 10{,}000\)

LO 59.d 핵심

• KR01 헤지: 각 Key Rate에 대해 "포트폴리오 KR01 + 헤지 상품 KR01 기여분 = 0"인 연립방정식을 세워 풀이
• Key Rate 노출 분석의 한계: 특정 만기 금리가 주변 Key Rate에만 영향받는다는 강한 가정

LO 59.e 핵심

• 은행은 10개 KR01(3M, 6M, 1Y, 2Y, 3Y, 5Y, 10Y, 15Y, 20Y, 30Y)의 1bp Shift 영향 계산 필요
• KR01 노출 기반 VaR/ES 계산을 위해 금리 간 표준편차 및 상관관계 사용
• PCA 요인이 직교이므로 포트폴리오 변동성은 \(\sqrt{\sum (\sigma_i f_i)^2}\)로 단순 계산
• Key Rate Shift는 현물금리 또는 파 수익률로 정의 가능

LO 59.f 핵심

• Bucket 접근법: 기간구조를 여러 구간으로 나누고, 각 구간 내 모든 금리를 1bp 이동시켜 가치 영향 측정
• Forward-Bucket '01: 특정 Bucket 내 모든 선도금리를 1bp 상승시킬 때의 포트폴리오 가치 감소
• DV01 = 모든 Forward-Bucket '01의 합
• KR01보다 더 촘촘하게 곡선 형태 위험을 측정 가능

LO 59.g 핵심

• DV01을 세분화하듯, Duration도 구간별 '01을 대입하여 세분화 가능
• 변환 공식: \(\text{Duration} = \frac{\text{'01}}{V_0} \times 10{,}000\)
• 분모는 액면이 아니라 초기 포트폴리오 가치

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시험 대비 한 줄 암기 체크리스트

주제	암기 포인트
단일 요인의 한계	DV01은 평행 이동만 헤지 가능, 비평행은 KR01/Bucket '01 필요
PCA 요인 해석	Factor 1 = 수준(Level), Factor 2 = 기울기(Slope), Factor 3 = 곡률(Curvature)
PCA 요인 중요도	각 요인의 \(\sigma_i^2 / \sum \sigma^2\)로 비중 계산
미국 국채 Key Rate	2년, 5년, 10년, 30년 (15년은 Key Rate 아님!)
KR01 정의	특정 Key Rate 1bp 상승 시 포트폴리오의 달러 가치 감소
DV01과 KR01 관계	\(\text{DV01} = \sum \text{KR01}_i\)
Key Rate Duration	100bp 변화에 대한 퍼센트 민감도, \(\frac{\text{KR01}}{V_0} \times 10{,}000\)
KR01 헤지 방법	각 Key Rate별 KR01 = 0이 되도록 연립방정식 설정 후 풀이
KR01 부호	금리 1bp 하락 시 가치 증가 = KR01이 양수 (금리와 가치는 역관계)
Partial '01	유동적 머니마켓/스왑 상품 기반, 스왑 포트폴리오 헤지용
Forward-Bucket '01	Bucket 내 모든 선도금리 1bp 상승 시 가치 감소, 곡선 형태 위험 측정
Forward-Bucket '01 합	모든 Forward-Bucket '01의 합 = DV01
PCA 변동성 공식	\(\sigma_{\Delta V} = \sqrt{\sum (\sigma_i \cdot f_i)^2}\) (요인 직교이므로 교차항 없음)
'01 → Duration 변환	\(\text{Duration} = \frac{\text{'01}}{V_0} \times 10{,}000\), 분모는 초기 가치(액면 아님)

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