FRM part1. Reading 60: Binomial Trees

 

FRM Part I – Reading 60
이항트리 (Binomial Trees)

EXAM FOCUS

핵심 학습 목표

이 Reading은 이항모형(Binomial Model)을 사용하여 주식 옵션의 가격을 결정하는 방법을 다룹니다. 이항모형은 다음 Reading에서 학습할 블랙-숄즈-머턴(Black-Scholes-Merton, BSM) 모형으로 자연스럽게 이어지는 교량 역할을 합니다. 옵션 가격결정의 핵심은 "미래를 맞히는 것"이 아니라, 무차익(No-Arbitrage) 원리를 통해 가격이 "강제"로 결정된다는 논리에 있습니다.

시험에서 반드시 할 수 있어야 하는 것

• 1단계(One-step) 및 2단계(Two-step) 이항모형으로 유럽형/미국형 콜-풋 옵션 가격 계산
• 변동성(표준편차)이 상승배수(u)와 하락배수(d)로 어떻게 반영되는지 설명
• 위험중립확률(\(\pi_U\), \(\pi_D\)) 계산 및 "실제확률이 아님"을 명확히 이해
• 델타(Delta)의 정의, 계산, 그리고 복제 포트폴리오(Replicating Portfolio)와의 연결
• 배당주/지수/통화/선물 옵션으로의 모형 수정 (확률식의 분자 변경)
• 풋-콜 패리티(Put-Call Parity)를 활용한 시간 절약 계산

이 Reading은 정량적 계산이 핵심입니다. 시험에서는 "공식 암기"보다 (1) 트리 구성 → (2) 말단 Payoff 계산 → (3) 위험중립 기대값 산출 → (4) 무위험이자율로 할인의 흐름을 정확히 밟는지 여부로 정답과 오답이 갈립니다.

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MODULE 60.1: 1단계 이항모형 (One-Step Binomial Model)

LO 60.a: 유럽형 및 미국형 콜/풋 옵션 가격 계산

LO 60.b: 이항모형에서 변동성이 반영되는 방식

0. 왜 이항트리로 옵션을 가격매기는가 — 근본적 동기

옵션 가격결정의 핵심 논리를 먼저 이해해야 합니다. 옵션의 미래 현금흐름은 기초자산 가격이 어디로 가느냐에 의해 결정되므로 본질적으로 불확실합니다. 그러나 이 불확실성을 "확률 예측"으로 해결하려고 하면 시장 참여자마다 확률 추정치가 달라져서 가격이 제각각이어야 합니다. 그런데 실제 시장에서는 같은 기초자산, 같은 만기, 같은 행사가의 옵션이 하나의 가격으로 거래됩니다.

이 모순을 해결하는 논리가 바로 무차익(No-Arbitrage) 원리입니다. 만약 어떤 증권 A와 B가 미래 모든 상태에서 현금흐름이 완전히 동일하다면, 오늘 가격도 같아야 합니다. 같지 않으면 싼 것을 사고 비싼 것을 팔아 무위험 차익이 발생하기 때문입니다. 옵션도 결국 "상태별 현금흐름"을 갖는 증권이므로, 옵션과 동일한 상태별 현금흐름을 주식과 무위험자산의 조합으로 복제할 수 있다면, 옵션 가격은 "예측"이 아니라 "강제"로 결정됩니다.

이항모형의 본질: 이항모형은 이 무차익 논리를 가장 단순한 세계(한 번 위 / 한 번 아래)에서부터 시작해, 단계 수를 늘리며 연속시간(블랙-숄즈-머턴)으로 수렴시키는 교량(Bridge)입니다. 옵션 가격은 "확률"이 아니라 "복제 가능성"으로 결정된다는 것이 가장 중요한 통찰입니다.

1. 1단계 이항모형의 세계관과 기본 표기

1단계 이항모형(One-Step Binomial Model)은 가장 단순한 형태의 옵션 가격결정 모형입니다. 시간은 오늘 \(t = 0\)에서 만기 \(t = \Delta t\)까지 한 번만 흐르며, 주가는 그 사이에 두 상태 중 하나로만 이동합니다. 이를 "두 상태 세계(Two-State World)"라고 부릅니다.

기호	영문	설명
\(S_0\) 또는 \(P\)	Current Stock Price	현재 주가 (오늘 관측 가격)
\(X\)	Exercise (Strike) Price	옵션의 행사가격
\(T\) 또는 \(t\)	Time to Expiration	만기까지 시간
\(r\)	Risk-Free Rate	무위험이자율 (연속복리 기준)
\(S_U\)	Stock Value in Up State	상승 상태에서의 주가 (\(= uS_0\))
\(S_D\)	Stock Value in Down State	하락 상태에서의 주가 (\(= dS_0\))
\(u\)	Up-Move Factor	상승배수 (\(u > 1\))
\(d\)	Down-Move Factor	하락배수 (\(0 < d < 1\))
\(c_0\)	Call Option Value Today	현재 콜 옵션 가격
\(p_0\)	Put Option Value Today	현재 풋 옵션 가격

옵션의 만기 페이오프(Payoff)는 정의로부터 다음과 같습니다.

콜 옵션 Payoff:

$$c_U = \max(S_U - X, \; 0), \quad c_D = \max(S_D - X, \; 0)$$

풋 옵션 Payoff:

$$p_U = \max(X - S_U, \; 0), \quad p_D = \max(X - S_D, \; 0)$$

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2. 옵션 가격을 결정하는 두 가지 관점

이항모형에서 옵션 가격을 구하는 방법은 두 가지가 있습니다. (A) 복제 포트폴리오(무차익 접근법)과 (B) 위험중립 가치평가법입니다. 결론은 동일하지만, 둘 다 이해해야 시험에서 어떤 형태로 출제되든 대응할 수 있습니다.

2-1. 복제 포트폴리오 접근법 (Replicating Portfolio Approach)

옵션을 직접 "예측"해서 가격을 매기는 것이 아니라, 옵션과 동일한 미래 현금흐름을 만드는 포트폴리오를 먼저 구성합니다. 그 다음 무차익 원리에 의해 "미래 현금흐름이 동일한 두 증권은 오늘 가격도 동일해야 한다"는 논리로 옵션 가격을 결정합니다.

왜 복제가 가능한가? 만기에는 상태가 2개뿐이므로 "상태별로 맞춰야 할 값"이 2개입니다. 그런데 우리가 조절할 수 있는 포트폴리오 도구도 2개입니다. 주식 보유량 \(\Delta\)와 무위험자산(현금/채권) 보유량 \(B\)가 그것입니다. 따라서 미지수 2개(\(\Delta, B\))로 방정식 2개(상승/하락 상태의 현금흐름 일치)를 맞출 수 있으며, 이것이 "이항모형이 닫히는 이유"입니다.

포트폴리오를 \(\Delta\)주의 주식 롱(Long)과 콜 옵션 1개 숏(Short)으로 구성한다고 가정합니다. 만기 시점 포트폴리오 가치는 상승/하락 상태에서 각각 다음과 같습니다.

상승 상태: \(\Delta S_U - c_U\)

하락 상태: \(\Delta S_D - c_D\)

두 값이 같아야 포트폴리오가 무위험(Riskless)이 되므로:

$$\Delta S_U - c_U = \Delta S_D - c_D$$ $$\Delta(S_U - S_D) = c_U - c_D$$ $$\boxed{\Delta = \frac{c_U - c_D}{S_U - S_D}}$$

이 \(\Delta\)가 바로 델타(Delta)이며, 단순한 "민감도 지표"가 아니라 복제가 가능하도록 만드는 유일한 기울기입니다. \(\Delta\)를 맞추면 상승/하락에 대한 민감도가 상쇄되어 포트폴리오가 무위험이 됩니다. 무위험이 되면 가격은 무위험이자율 \(r\)로 할인해 결정할 수 있습니다.

예제 1: 1단계 복제 포트폴리오 접근법 (서술형 완전 풀이)

주어진 값: \(S_0 = \$100\), \(X = \$125\), \(T = 1\)년, \(r = 8\%\) (연속복리), \(S_U = \$200\), \(S_D = \$50\)

Step 1: 만기 콜 Payoff 계산

상승 시: \(c_U = \max(200 - 125, \; 0) = 75\)

하락 시: \(c_D = \max(50 - 125, \; 0) = 0\)

Step 2: 포트폴리오 구성 및 \(\Delta\) 결정

\(\Delta\)주의 주식 롱 + 콜 옵션 1개 숏 포트폴리오의 만기 가치는 상승 시 \(200\Delta - 75\), 하락 시 \(50\Delta - 0\)입니다. 무위험이 되려면 두 값이 같아야 합니다.

$$200\Delta - 75 = 50\Delta$$ $$150\Delta = 75 \implies \Delta = 0.5$$

이 말은 "콜 1개를 복제하려면 주식 0.5주가 필요하다"는 뜻입니다.

Step 3: 포트폴리오의 확정 만기 가치

상승이든 하락이든 포트폴리오 만기 가치는 동일합니다.

$$V_T = 50 \times 0.5 = 25$$

Step 4: 현재가치로 할인

$$V_0 = 25 \times e^{-0.08 \times 1} = 25 \times e^{-0.08} \approx 23.08$$

Step 5: 콜 옵션 가격 도출

현재 시점에서 포트폴리오 가치는 \(V_0 = \Delta S_0 - c_0 = 0.5 \times 100 - c_0 = 50 - c_0\)입니다.

$$50 - c_0 = 23.08 \implies \boxed{c_0 \approx \$26.92}$$

핵심 해석: 복제 전략을 보면, 실제로 주식을 조금 사고(0.5주, 비용 $50) 돈을 빌려서($23.08) 옵션과 같은 현금흐름을 만듭니다. 옵션은 본질적으로 레버리지 상품이며, 옵션 가격은 "주식 + 차입" 구조의 현재가로 고정됩니다.

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2-2. 위험중립 가치평가법 (Risk-Neutral Valuation)

복제 포트폴리오 접근법과 수학적으로 동치인 방법이 위험중립 가치평가법입니다. "실제확률"이 아니라, 위험중립측도(Risk-Neutral Measure)에서 기초자산의 기대수익률이 무위험이자율 \(r\)이 되도록 확률을 정의합니다. 그 확률로 Payoff의 기대값을 구하고 \(r\)로 할인하면 옵션 가격이 됩니다.

일가의 법칙(Law of One Price): 두 투자가 미래 동일한 시점에 동일한 현금흐름을 제공한다면, 둘의 현재 가격은 반드시 같아야 합니다. 이것이 무차익 조건(No-Arbitrage Condition)이며, 이항트리를 이용한 파생상품 가격결정의 근간입니다. 위험중립 가치평가는 시장 참여자의 기대수익률이 무위험이자율과 같다고 가정하는 핵심 개념입니다.

3. 변동성(\(\sigma\))은 u, d를 통해 들어온다

이항모형에서 상승배수(u)와 하락배수(d)는 기초자산의 변동성(Volatility)과 시간 간격(\(\Delta t\))의 함수로 정의됩니다. 대표적 설정인 CRR(Cox-Ross-Rubinstein) 형태는 다음과 같습니다.

상승/하락 배수 (CRR 형태):

$$u = e^{\sigma\sqrt{\Delta t}}, \quad d = e^{-\sigma\sqrt{\Delta t}} = \frac{1}{u}$$

여기서 \(\sigma\)는 기초자산 수익률의 연율화 표준편차, \(\Delta t\)는 한 단계의 시간 길이입니다.

이 공식의 직관은 명확합니다. \(\sigma\)가 커질수록 \(u\)는 더 커지고 \(d\)는 더 작아져서 트리의 위아래 폭이 커집니다. 옵션은 "위로 크게 갈 가능성"이 커질수록(콜) 혹은 "아래로 크게 갈 가능성"이 커질수록(풋) 가치가 커지므로, 변동성의 증가는 옵션 가치의 증가로 이어집니다. 반대로 \(\sigma = 0\)이면 \(u = d = 1\)이 되어 트리는 한 줄로 붕괴하고, 옵션은 단순히 내재가치의 현재가치가 됩니다.

이렇게 u, d를 설정하는 이유는 "단계가 작아질수록" 로그수익률이 정규분포로 수렴하는 연속시간 한계(블랙-숄즈)와 자연스럽게 맞물리기 때문입니다.

시험 주의사항: 시험에서는 u, d 값이 직접 제공될 수도 있고(예: "상승 15%, 하락 15%"), 표준편차가 주어져서 직접 계산해야 할 수도 있습니다. 제공되지 않는 경우에만 위 CRR 공식을 사용합니다.

4. 위험중립확률 \(\pi_U\)의 유도와 의미

위험중립 가치평가에서 사용하는 위험중립 상승확률 \(\pi_U\)는 "주식이 무차익 시장에서 위험중립 측도 하에 \(r\)만큼 성장해야 한다"는 조건에서 나옵니다. 이항모형에서 주식은 배당이 없으면 위험중립 하에서 기대성장이 \(r\)이 되도록 강제됩니다.

$$E^Q[S_T] = S_0 e^{r\Delta t}$$

\(S_T\)는 \(S_U\) 또는 \(S_D\) 뿐이므로:

$$\pi_U S_U + (1 - \pi_U) S_D = S_0 e^{r\Delta t}$$

\(S_U = uS_0\), \(S_D = dS_0\)로 쓰면 \(S_0\)가 약분되어 다음이 됩니다.

무배당 주식의 위험중립 상승확률:

$$\pi_U = \frac{e^{r\Delta t} - d}{u - d}, \quad \pi_D = 1 - \pi_U$$

절대 혼동 금지: \(\pi_U\)는 실제 확률(Real-World Probability)이 아닙니다! 이것은 "현실에서 주가가 상승할 확률"이 아니라, 무차익을 만족시키도록 강제된 위험중립 확률입니다. 구체적으로는, 상태가격(Arrow-Debreu Price)을 "할인된 확률 꼴"로 재표현한 것입니다. 시험에서 \(\pi_U\)를 "실제확률"로 해석하는 순간 논리가 무너집니다.

위험중립확률을 구한 후, 옵션 가격은 다음 3단계로 계산합니다.

위험중립 가치평가 3단계:

(1) 만기에서 상승/하락 상태 각각의 옵션 Payoff를 계산합니다.

(2) 위험중립확률로 가중평균하여 옵션의 기대값을 산출합니다.

(3) 그 기대값을 무위험이자율로 할인하여 현재가치를 구합니다.

$$c_0 = e^{-r\Delta t}\Big[\pi_U \cdot c_U + (1-\pi_U) \cdot c_D\Big]$$

예제 2: 위험중립 접근법 (서술형 완전 풀이)

문제: Downhill Ski Equipment, Inc.의 현재 주가는 $20이고, 연간 표준편차는 14%, 연속복리 무위험이자율은 4%입니다. 배당은 없습니다. 1년 만기, 행사가 $20인 유럽형 콜 옵션의 가격을 1단계 이항모형으로 구하시오.

Step 1: u, d 계산 (\(\Delta t = 1\))

$$u = e^{0.14\sqrt{1}} = e^{0.14} \approx 1.1503$$ $$d = e^{-0.14} \approx 0.8694$$

Step 2: 주가 말단값 계산

$$S_U = 20 \times 1.1503 \approx 23.01$$ $$S_D = 20 \times 0.8694 \approx 17.39$$

Step 3: 위험중립확률 계산

$$e^{0.04} \approx 1.0408$$ $$\pi_U = \frac{1.0408 - 0.8694}{1.1503 - 0.8694} = \frac{0.1714}{0.2809} \approx 0.61$$ $$\pi_D = 1 - 0.61 = 0.39$$

Step 4: 콜 옵션 Payoff 계산

상승: \(c_U = \max(23.01 - 20, \; 0) \approx 3.01\) (내가격, In the Money)

하락: \(c_D = \max(17.39 - 20, \; 0) = 0\) (외가격, Out of the Money)

Step 5: 기대값 할인

$$c_0 = e^{-0.04} \times (0.61 \times 3.01 + 0.39 \times 0)$$ $$= e^{-0.04} \times 1.836 \approx 0.9608 \times 1.836 \approx \boxed{\$1.76}$$

5. 풋-콜 패리티(Put-Call Parity)를 활용한 풋 가격 산출

유럽형 옵션(배당 없음)에서 풋-콜 패리티는 다음과 같습니다.

$$p_0 = c_0 - S_0 + X e^{-rT}$$

이 식은 다음 두 포트폴리오가 만기 현금흐름이 항상 동일하다는 무차익에서 나옵니다.

포트폴리오 A: 콜 + 현금(\(Xe^{-rT}\)) → 만기 가치: \(\max(S_T - X, 0) + X = \max(S_T, X)\)

포트폴리오 B: 풋 + 주식 → 만기 가치: \(\max(X - S_T, 0) + S_T = \max(S_T, X)\)

예제 3: 풋-콜 패리티로 풋 가격 즉시 계산

위 예제에서 \(c_0 = 1.76\), \(S_0 = 20\), \(X = 20\), \(r = 0.04\), \(T = 1\)이므로:

$$p_0 = 1.76 - 20 + 20 \times e^{-0.04} \approx 1.76 - 20 + 19.22 \approx \boxed{\$0.98}$$

실전 팁: 시험에서 풋을 트리로 처음부터 다시 만들지 말고, 가능하면 패리티로 시간을 절약하십시오. 트리는 콜(혹은 미국형 판단)에서만 사용하는 것이 효율적입니다.

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LO 60.d: 델타(Delta)의 정의와 계산

6. 델타는 단순 민감도가 아니라 "복제의 기울기"다

옵션의 가격은 완전 헤지(Perfect Hedge)를 구성하는 방식으로도 도출할 수 있습니다. 헤지란 헤지 대상 자산과 동일한 가격 변동성을 보이는 자산의 공매도를 통해 가격 변동을 제거하는 것입니다. 완전 헤지는 무위험 포지션(Riskless Position)을 만들어 냅니다.

델타(Delta):

$$\Delta = \frac{c_U - c_D}{S_U - S_D}$$

\(\Delta\)는 콜 옵션 1개를 숏(Short)할 때, 헤지를 작동시키기 위해 주식을 몇 주 보유해야 하는지를 알려줍니다. 이를 헤지 비율(Hedge Ratio) 또는 옵션 델타(Option Delta)라고 합니다.

이 값은 단순한 "변화량/변화량"을 넘어, 다음 조건을 만족시키는 유일한 계수입니다.

$$\Delta S_U - c_U = \Delta S_D - c_D$$

즉 "주식 \(\Delta\)주를 들고 옵션을 숏하면 상승/하락 어느 상태에서든 결과가 동일해지도록 만드는 기울기"입니다. 그래서 델타 헤지(Delta Hedging)는 1단계 세계에서는 완전 헤지입니다. 무위험 포지션을 구축하는 것은 이런 이유로 델타 헤지라고도 불립니다.

예제 1의 델타 헤지 확인

예제 1에서 \(\Delta = 0.5\)였습니다. \(\Delta\)의 역수인 \(1/0.5 = 2\)는 "공매도한 주식 1주당 필요한 콜 옵션 수"를 의미합니다. 따라서 주식 1주를 공매도하고 콜 옵션 2개를 매수하면 완전 헤지가 됩니다.

주가 하락 시 ($50): 두 옵션의 가치는 0이므로, 순자산 = 공매도 이익 = $100 - $50 = $50

주가 상승 시 ($200): 두 콜의 합산 가치 = $150, 공매도 손실 = $100, 순자산 = $150 - $100 = $50

어느 경우에든 $50이므로 현재가치는 \(50 \times e^{-0.08} = \$46.16\)입니다. 따라서 \(100 - 2c = 46.16\)에서 \(c = \$26.92\)가 됩니다.

주의: 델타는 시간이 경과하거나 주가가 변동하면 계속 변합니다. 다단계 모형에서는 각 노드마다 델타가 달라지며, 이것이 현실에서 "동적 헤징(Dynamic Hedging)"이 필요한 이유입니다. 1단계에서의 완전 헤지는 연속시간에서는 "순간적 근사"로 변합니다.

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MODULE QUIZ 60.1

문제 1. 한 투자자가 행사가 $18인 1년 유럽형 콜 옵션을 분석하고 있습니다. 상승 상태 주가는 $30이고, 하락 상태 주가는 $10입니다. 이 옵션의 델타에 가장 가까운 값은?

A. 0.40   B. 0.60   C. 0.67   D. 0.90

문제 2. XYZ 주식에 대한 1년 유럽형 콜 옵션이 존재합니다. 현재 연속복리 무위험이자율은 3%이고, XYZ는 배당을 지급하지 않습니다. 연간 표준편차가 8%일 때, XYZ 콜 옵션의 위험중립 상승확률에 가장 가까운 값은?

A. 0.31   B. 0.69   C. 0.92   D. 1.08

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MODULE 60.2: 2단계 이항모형 및 모형 수정

LO 60.a (계속): 2단계(Two-Step) 이항모형

7. 2단계 이항모형의 본질: "말단에서 시작해 거꾸로 올라온다"

1단계 모형은 만기에서 바로 오늘로 할인했지만, 2단계 모형에서는 중간 시점의 옵션 가치를 먼저 알아야 오늘 가치가 결정됩니다. 2단계에서는 트리가 확장되어 더 많은 잠재적 결과를 제공합니다. 만기 주가는 3개의 상태로 늘어납니다.

2단계 주가 트리:

$$S_{UU} = S_0 u^2, \quad S_{UD} = S_0 ud, \quad S_{DD} = S_0 d^2$$

중간 노드(1단계 후)의 주가는 \(S_0 u\) 또는 \(S_0 d\)입니다.

다단계 트리에서 한 단계의 시간 길이는 \(\Delta t\)로 정의되며, 옵션 가치는 다음과 같이 표현됩니다.

2단계 유럽형 옵션 가격 (직접 공식):

$$c_0 = e^{-2r\Delta t}\Big[\pi_U^2 \cdot c_{UU} + 2\pi_U(1-\pi_U) \cdot c_{UD} + (1-\pi_U)^2 \cdot c_{DD}\Big]$$

그러나 실전에서는 위 직접 공식보다 역산(Backward Induction) 방식이 훨씬 일반적이고, 특히 미국형 옵션에서는 반드시 역산을 사용해야 합니다. 역산의 과정은 다음과 같습니다.

2단계 역산(Backward Induction) 절차:

(1) 말단(2년 후): 각 상태에서 옵션 Payoff를 계산합니다.

(2) 중간 노드(1년 후): 말단 Payoff의 위험중립 기대값을 1단계분만큼 할인하여 중간 노드의 옵션 가치를 구합니다.

$$c_U = e^{-r\Delta t}\Big[\pi_U \cdot c_{UU} + (1-\pi_U) \cdot c_{UD}\Big]$$ $$c_D = e^{-r\Delta t}\Big[\pi_U \cdot c_{UD} + (1-\pi_U) \cdot c_{DD}\Big]$$

(3) 오늘(0년): 중간 노드 가치의 위험중립 기대값을 다시 1단계분만큼 할인합니다.

$$c_0 = e^{-r\Delta t}\Big[\pi_U \cdot c_U + (1-\pi_U) \cdot c_D\Big]$$

이것이 "2단계 트리의 엔진"이며, 다단계는 이 과정을 반복할 뿐입니다.

예제 4: 2단계 유럽형 콜/풋 (서술형 완전 풀이)

문제: Downhill Ski Equipment의 현재 주가는 $20, 연간 표준편차 14%, 무위험이자율 4%, 배당 없음. 행사가 $20인 2년 유럽형 콜과 풋 가격을 2단계 이항모형으로 구하시오.

기존 계산값 활용: \(u \approx 1.1503\), \(d \approx 0.8694\), \(\pi_U \approx 0.61\), \(\pi_D \approx 0.39\), \(\Delta t = 1\)

Step 1: 주가 트리 구성

시점	상태	주가 계산	결과
0년	초기	\(S_0\)	$20.00
1년	상승(U)	\(20 \times 1.1503\)	$23.01
1년	하락(D)	\(20 \times 0.8694\)	$17.39
2년	상승-상승(UU)	\(20 \times 1.1503^2\)	$26.45
2년	상승-하락(UD)	\(20 \times 1.1503 \times 0.8694\)	$20.00
2년	하락-하락(DD)	\(20 \times 0.8694^2\)	$15.11

Step 2: 말단 콜 Payoff 계산

\(c_{UU} = \max(26.45 - 20, \; 0) = 6.45\) (내가격)

\(c_{UD} = \max(20.00 - 20, \; 0) = 0\) (등가격이지만 Payoff = 0)

\(c_{DD} = \max(15.11 - 20, \; 0) = 0\) (외가격)

유일하게 옵션이 내가격인 경우는 두 번 연속 상승한 경우(\(S_{UU} = 26.45\))뿐입니다.

Step 3: 말단 기대값 (확률가중)

$$E^Q[c_T] = \pi_U^2 \cdot c_{UU} + 2\pi_U \pi_D \cdot c_{UD} + \pi_D^2 \cdot c_{DD}$$ $$= (0.61)^2 \times 6.45 + 2(0.61)(0.39) \times 0 + (0.39)^2 \times 0$$ $$= 0.3721 \times 6.45 = 2.40$$

Step 4: 현재가치로 할인

$$c_0 = e^{-0.04 \times 2} \times 2.40 = e^{-0.08} \times 2.40 \approx 0.9231 \times 2.40 \approx \boxed{\$2.21}$$

Step 5: 풋-콜 패리티로 풋 가격 계산

$$p_0 = c_0 - S_0 + Xe^{-rT} = 2.21 - 20 + 20 \times e^{-0.08}$$ $$= 2.21 - 20 + 18.46 \approx \boxed{\$0.67}$$

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LO 60.a (계속): 미국형 옵션 — 조기행사 판단

8. 미국형 옵션이 어려운 이유는 딱 하나다

유럽형 옵션은 "만기에만 행사"하므로 각 노드에서 해야 할 일은 "다음 단계의 기대값 할인" 하나뿐입니다. 그러나 미국형 옵션(American Option)은 "조기행사(Early Exercise)"가 가능하므로 각 노드에서 반드시 두 가지 가치를 비교해야 합니다.

미국형 옵션 — 각 노드에서의 의사결정:

(1) 즉시행사 가치(Intrinsic Value):

   콜: \(\max(S - X, \; 0)\)    풋: \(\max(X - S, \; 0)\)

(2) 유지(보유) 가치(Continuation Value):

$$\text{유지} = e^{-r\Delta t}\Big[\pi_U V_U + (1 - \pi_U) V_D\Big]$$

따라서 노드의 옵션 가치는:

$$\boxed{V = \max(\text{즉시행사 가치}, \; \text{유지 가치})}$$

시험 최대 함정: 미국형에서 이 "max" 비교를 한 번이라도 누락하면 구조적으로 틀립니다. 미국형의 유일한 차이점이 바로 이것이며, 이 비교를 빼면 유럽형을 푼 것이 됩니다. 또한 초기 노드(Node 0)에서도 조기행사를 반드시 평가해야 합니다. 모형으로 계산한 오늘의 옵션 가격이 오늘의 즉시행사 가치보다 작다면, 옵션은 오늘 행사해야 합니다.

예제 5: 미국형 풋 옵션 (조기행사 판단의 정석)

문제: Uphill Mountaineering의 현재 주가는 $10입니다. 상승배수 \(u = 1.20\), 하락배수 \(d = 0.833\), 위험중립 상승확률 \(\pi_U = 0.51\), 하락확률 \(\pi_D = 0.49\), 무위험이자율 2%, 행사가 $12인 2년 미국형 풋 옵션의 가격을 구하시오.

참고: 위험중립확률의 계산은 시간 단계의 길이에 의존합니다. 2년 옵션을 2단계로 나누면 \(\Delta t = 1\)년이므로: \(\pi_U = (e^{0.02 \times 1} - 0.833) / (1.2 - 0.833) = 0.51\)

Step 1: 주가 트리 구성

시점	상태	주가
0년	초기	$10.00
1년	상승(U)	\(10 \times 1.20 = \$12.00\)
1년	하락(D)	\(10 \times 0.833 = \$8.33\)
2년	UU	\(12 \times 1.20 = \$14.40\)
2년	UD	\(12 \times 0.833 = \$10.00\)
2년	DD	\(8.33 \times 0.833 = \$6.94\)

Step 2: 말단(2년) 풋 Payoff

\(p_{UU} = \max(12 - 14.40, \; 0) = 0\) (외가격)

\(p_{UD} = \max(12 - 10, \; 0) = 2.00\) (내가격)

\(p_{DD} = \max(12 - 6.94, \; 0) = 5.06\) (내가격)

Step 3: 1년 시점 — 상승 노드(S = $12)에서 비교

유지 가치:

$$\text{유지} = e^{-0.02}(0.51 \times 0 + 0.49 \times 2.00) = e^{-0.02} \times 0.98 \approx 0.96$$

즉시행사 가치:

$$\text{행사} = \max(12 - 12, \; 0) = 0$$

\(0.96 > 0\) → 조기행사하지 않음 (유지가 더 유리). 노드 가치 = $0.96

Step 4: 1년 시점 — 하락 노드(S = $8.33)에서 비교

유지 가치:

$$\text{유지} = e^{-0.02}(0.51 \times 2.00 + 0.49 \times 5.06) = e^{-0.02} \times 3.50 \approx 3.43$$

즉시행사 가치:

$$\text{행사} = \max(12 - 8.33, \; 0) = 3.67$$

\(3.67 > 3.43\) → 조기행사가 최적! 노드 가치 = $3.67

Step 5: 오늘(0년) 옵션 가격

$$p_0 = e^{-0.02}(0.51 \times 0.96 + 0.49 \times 3.67)$$ $$= e^{-0.02}(0.4896 + 1.7983) = e^{-0.02} \times 2.2879 \approx \boxed{\$2.24}$$

핵심: 1년 후 하락 노드에서 $3.67이 사용된 이유는 조기행사 가치($3.67)가 유지 가치($3.43)를 초과하기 때문입니다. 만약 조기행사 비교를 생략하고 $3.43을 사용했다면, 이는 유럽형 풋을 계산한 것이 되어 오답이 됩니다.

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LO 60.e: 배당주/지수/통화/선물 옵션으로의 모형 수정

9. 확률식의 분자를 바꾸는 문제

이항모형을 다양한 기초자산에 적용할 때 핵심은 단 하나입니다. \(u, d\)는 변동성 구조(트리 폭)를 담당하므로 그대로 유지하되, "기초자산의 위험중립 성장률"이 바뀌면 \(\pi_U\)의 분자가 바뀌는 것입니다.

기초자산 유형	위험중립 성장률	\(\pi_U\) 공식	설명
무배당 주식	\(r\)	\(\displaystyle\frac{e^{r\Delta t} - d}{u - d}\)	기본형 (가격 성장 = 무위험이자율)
연속배당 주식/지수 (배당수익률 \(q\))	\(r - q\)	\(\displaystyle\frac{e^{(r-q)\Delta t} - d}{u - d}\)	총수익률은 \(r\)이지만 \(q\)는 배당으로 제공되므로 자본이득 성장률은 \(r-q\)
통화 옵션 (국내이자율 \(r_{DC}\), 해외 \(r_{FC}\))	\(r_{DC} - r_{FC}\)	\(\displaystyle\frac{e^{(r_{DC}-r_{FC})\Delta t} - d}{u - d}\)	외화자산은 해외 무위험이자율만큼 이자를 줌
선물 옵션	0 (드리프트 없음)	\(\displaystyle\frac{1 - d}{u - d}\)	선물은 진입비용 0, 위험중립에서 기대성장 0이므로 \(e^{r\Delta t}\)가 1로 대체

연속배당 주식/지수: 배당이 있으면 위험중립에서 "총수익률"은 여전히 \(r\)이지만, 그중 \(q\)는 배당으로 이미 제공됩니다. 따라서 가격(자본이득) 부분의 성장률은 \(r - q\)가 되어야 합니다. 주가지수 옵션은 지수 구성 종목들이 배당을 지급하는 자산으로 취급하므로 동일하게 처리합니다.

통화 옵션: 국내통화 기준으로 외화자산은 "외화 무위험이자율" 만큼 이자를 준다고 볼 수 있습니다. 따라서 국내 기준 위험중립 기대성장률이 \(r_{DC} - r_{FC}\)로 바뀝니다.

선물 옵션: 선물은 진입비용이 0이고, 위험중립에서 선물가격은 "드리프트가 0"인 구조입니다. 따라서 확률식의 분자에서 \(e^{r\Delta t}\)가 1로 대체됩니다.

시험 함정 주의: 배당/통화/선물 옵션에서 \(e^{r\Delta t}\)를 그대로 사용하면 틀립니다! 핵심 수정 포인트는 "기초자산의 위험중립 성장률"이며, u와 d 계산 공식은 변경되지 않고 그대로 유지됩니다. 오직 \(\pi_U\) 공식의 분자만 변경됩니다.

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LO 60.c: 시간단계 증가 시 BSM 모형으로의 수렴

10. 단계 수를 늘리면 BSM으로 수렴하는 이유

이항모형에서 시간 간격을 줄이면, 동일한 기간에 더 많은 간격, 더 많은 분기, 더 많은 가능한 종료 값이 생깁니다. 간격의 길이를 수학자들이 "임의로 작은(Arbitrarily Small)"이라고 부르는 수준까지 계속 줄이면, 이항모형의 극한 형태로서 연속시간(Continuous Time)에 도달합니다.

이항모형에서 한 단계의 로그수익률은 위로 가면 \(\ln u\), 아래로 가면 \(\ln d\)입니다. 단계 수를 늘리면 로그수익률은 "작은 변화의 합"이 되고, 독립적인 작은 충격들의 합은 중심극한정리(Central Limit Theorem)에 의해 정규분포로 수렴합니다. 따라서 주가가 로그정규분포를 따르는 연속시간 모형, 즉 블랙-숄즈-머턴(BSM) 모형의 세계로 자연스럽게 연결됩니다.

핵심 결론:

(1) 이항모형은 이산시간에서 연속시간으로 가는 근사 사다리입니다.

(2) 시간 간격을 잘게 쪼갤수록 근사가 좋아져 옵션 가격이 BSM 가격에 수렴합니다.

(3) 다음 Reading에서 배울 BSM 모형은 이 연속시간 모형에 해당합니다.

시험에서는 이 결론만 알면 됩니다: 단계 수 증가 → 이항가격이 BSM 가격에 수렴.

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MODULE QUIZ 60.2

문제 1. 행사가 $50인 1년 미국형 풋 옵션은 만기에 확률 0.45로 $8의 가치를 갖거나, 확률 0.55로 $0의 가치를 갖습니다. 현재 주가는 $45이고, 무위험이자율은 3%입니다. 최적 전략은?

A. 행사한다. 행사의 보수가 미래 기대보수의 현재가치를 초과하므로.

B. 행사하지 않는다. 행사의 보수가 미래 기대보수의 현재가치보다 작으므로.

C. 행사한다. 현재 내가격이므로.

D. 행사하지 않는다. 현재 외가격이므로.

문제 2. 현재 주가 $80, 연간 상승배수 1.15, 무위험이자율 3.9%일 때, 행사가 $62인 2년 유럽형 콜 옵션의 가격(2단계 이항모형)에 가장 가까운 값은?

A. $0.00   B. $18.00   C. $23.07   D. $24.92

문제 3. 위와 동일한 조건에서 2년 유럽형 풋 옵션의 가격에 가장 가까운 값은?

A. $0.42   B. $16.89   C. $18.65   D. $21.05

문제 4. Baker 주식의 연간 표준편차는 11%이고, 연속복리 무위험이자율은 3.5%, 배당수익률은 2%입니다. 위험중립 하락확률 \(\pi_D\)에 가장 가까운 값은?

A. 0.366   B. 0.459   C. 0.541   D. 0.634

문제 5. 이항모형으로 콜 옵션 가격이 $3.46으로 산출되었고, 동일 옵션의 BSM 모형 가격은 $3.38입니다. 이항모형의 시간 간격을 줄이면 예상되는 결과는?

A. $3.38이 $3.46에 가까워진다.

B. $3.46이 $3.38에 가까워진다.

C. 두 모형 모두 약 $3.42로 수렴한다.

D. 두 가격 간의 차이에 변화가 없다.

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정답 및 상세 해설

문제	정답	상세 해설
60.1-1	B	\(c_U = \max(30-18, 0) = 12\), \(c_D = \max(10-18, 0) = 0\)이므로 \(\Delta = (12-0)/(30-10) = 12/20 = 0.60\)
60.1-2	B	\(u = e^{0.08} \approx 1.0833\), \(d = e^{-0.08} \approx 0.9231\), \(\pi_U = (e^{0.03} - 0.9231)/(1.0833 - 0.9231) \approx 0.69\)
60.2-1	A	즉시행사 보수 = $50 - $45 = $5. 미래 기대보수 PV = \(e^{-0.03}(0.45 \times 8 + 0.55 \times 0) = e^{-0.03} \times 3.60 \approx \$3.49\). $5 > $3.49이므로 행사가 최적입니다.
60.2-2	C	\(u = 1.15\), \(d = 1/1.15 \approx 0.8696\). 2단계 트리를 구성하면 \(S_{UU} = 105.80\), \(S_{UD} = 80\), \(S_{DD} = 60.49\). 콜 payoff를 역산하면 약 $23.07입니다. (반올림에 따라 약간의 차이 가능)
60.2-3	A	풋-콜 패리티로 계산: \(p_0 = 23.07 - 80 + 62 \times e^{-0.039 \times 2} \approx 23.07 - 80 + 57.35 \approx \$0.42\)
60.2-4	B	\(u = e^{0.11} \approx 1.1163\), \(d = 1/u \approx 0.8958\). 배당수익률 \(q = 0.02\)이므로 \(\pi_U = (e^{(0.035-0.02) \times 1} - 0.8958)/(1.1163 - 0.8958) = (e^{0.015} - 0.8958)/0.2205 \approx 0.541\). 따라서 \(\pi_D = 1 - 0.541 \approx 0.459\)
60.2-5	B	시간 간격을 줄이면 이항모형 가격이 BSM 모형 가격으로 수렴합니다. 따라서 $3.46이 $3.38에 가까워집니다.

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KEY CONCEPTS (핵심 개념 정리)

LO 60.a 핵심

• 유럽형 옵션 가격은 만기 payoff의 확률가중 기대값을 무위험이자율로 할인하여 계산: \(V_0 = e^{-rT} E^Q[\text{payoff}]\)
• 미국형 옵션은 조기행사 기능을 반영하여, 매 노드에서 \(V = \max(\text{내재가치}, \;\text{유지가치})\)를 비교
• 상승/하락 배수: \(u = e^{\sigma\sqrt{\Delta t}}\), \(d = e^{-\sigma\sqrt{\Delta t}} = 1/u\)
• 위험중립확률: \(\pi_U = (e^{r\Delta t} - d)/(u - d)\), \(\pi_D = 1 - \pi_U\)
• 유럽형 풋은 풋-콜 패리티로 즉시 계산: \(p = c - S + Xe^{-rT}\)

LO 60.b 핵심

• 표준편차가 클수록 상승/하락 주가 간 차이가 커짐 (\(u\) 증가, \(d\) 감소 → 트리 폭 확대)
• \(\sigma = 0\)이면 \(u = d = 1\)로 트리가 한 줄로 붕괴
• 변동성은 u, d를 통해 트리의 각 시점별 주가를 평가함으로써 포착됨

LO 60.c 핵심

• 이항모형의 시간 간격을 임의로 작게 분할하면, 모형 결과가 연속시간 모형(BSM 모형)의 결과로 수렴
• 이항모형은 이산시간에서 연속시간으로 가는 근사 사다리

LO 60.d 핵심

• 델타: \(\Delta = (c_U - c_D)/(S_U - S_D)\) — 헤지를 작동시키기 위해 콜 옵션 1개 숏당 보유해야 할 주식 수
• 델타의 역수 = 공매도 주식 1주당 필요한 옵션 계약 수
• 델타는 시간과 주가에 따라 지속적으로 변화함
• 델타 헤지 = 복제 포트폴리오 구성 = 무위험 포지션 생성

LO 60.e 핵심

• u, d는 변경하지 않고, \(\pi_U\) 공식의 분자만 변경
• 연속배당 주식/지수: \(e^{r\Delta t} \rightarrow e^{(r-q)\Delta t}\)
• 통화 옵션: \(e^{r\Delta t} \rightarrow e^{(r_{DC}-r_{FC})\Delta t}\)
• 선물 옵션: \(e^{r\Delta t} \rightarrow 1\)

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시험 대비 한 줄 암기 체크리스트

주제	암기 포인트
옵션 가격결정 원리	"확률 예측"이 아니라 무차익(복제)으로 가격이 "강제" 결정됨
u, d 공식	\(u = e^{\sigma\sqrt{\Delta t}}\), \(d = 1/u\)
위험중립확률 (무배당)	\(\pi_U = (e^{r\Delta t} - d) / (u - d)\) — 실제확률이 아님!
유럽형 옵션 가격	\(V_0 = e^{-rT} E^Q[\text{payoff}]\)
미국형 핵심	매 노드에서 반드시 \(\max(\text{내재가치}, \;\text{유지가치})\) 비교
델타	\(\Delta = (c_U - c_D)/(S_U - S_D)\) = 복제의 기울기 = 헤지 비율
풋-콜 패리티	\(p = c - S + Xe^{-rT}\) — 풋은 이 공식으로 즉시 계산!
배당 주식/지수	\(\pi_U\) 분자에 \(e^{(r-q)\Delta t}\) 사용
통화 옵션	\(\pi_U\) 분자에 \(e^{(r_{DC}-r_{FC})\Delta t}\) 사용
선물 옵션	\(\pi_U\) 분자에 1 사용 (드리프트 0)
BSM 수렴	단계 수 증가 → 이항가격이 BSM 가격에 수렴
\(\Delta t\) 함정	2년 옵션 2단계이면 \(\Delta t = 1\)년 (2가 아님!)

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시험에서 자주 터지는 함정 총정리

함정	올바른 이해
\(\pi_U\)를 실제확률로 해석	\(\pi_U\)는 "무차익을 만족시키는 상태가격의 재표현"이지 현실의 상승확률이 아닙니다.
2년 옵션인데 \(\Delta t = 2\)로 대입	2단계이면 보통 1년씩 두 번입니다. 확률 계산은 \(\Delta t\)에 민감합니다.
미국형에서 중간 노드 조기행사 비교 누락	미국형의 유일한 차이점이 "max 비교"입니다. 이를 빼면 유럽형을 푼 것입니다.
배당/통화/선물에서 \(e^{r\Delta t}\)를 그대로 사용	핵심 수정 포인트는 "기초자산의 위험중립 성장률"이며, 분자만 변경됩니다.
풋을 트리로 길게 풀다가 실수	유럽형이면 패리티로 빠르게 계산하십시오. 트리는 콜 또는 미국형 판단에서 사용이 효율적입니다.
초기 노드(Node 0) 조기행사 평가 누락	미국형은 모든 노드(초기 포함)에서 조기행사를 평가해야 합니다.

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