FRM part1. Reading 57: Bond Yields and Return Calculations

 

FRM Part I – Reading 57
채권 수익률과 수익률 계산 (Bond Yields and Return Calculations)

EXAM FOCUS

핵심 학습 목표

이 Reading은 채권의 수익률(Bond Yields)과 스프레드(Spreads)를 다루며, 쿠폰의 재투자(Reinvestment)가 전체 수익률을 결정하는 데 얼마나 중요한지를 설명합니다. 쿠폰 채권의 경우, 만기수익률(YTM)이 실제 만기까지의 수익률을 정확하게 반영하지 못할 수 있습니다. 쿠폰을 수령하는 투자자는 시장 금리가 하락할 경우 이러한 현금흐름이 원래 약속된 수익률보다 낮은 수익률로 재투자될 위험에 노출됩니다.

시험에서 반드시 할 수 있어야 하는 것

• 총(Gross) 실현수익률과 순(Net) 실현수익률의 구분 및 계산
• 다양한 복리 주기(Compounding Frequency)에서의 YTM 계산
• 채권 스프레드(Bond Spread)의 정의와 금리 기간구조로부터의 도출
• 연금(Annuity)과 영구채(Perpetuity)의 가격 계산
• 현물금리(Spot Rate)와 YTM의 관계, 쿠폰효과(Coupon Effect) 설명
• 채권 P&L을 Carry Roll-Down, 금리 변화(Rate Change), 스프레드 변화(Spread Change)로 분해
• Carry Roll-Down 계산 시 3가지 금리 불변 시나리오 비교 및 계산

이 Reading의 핵심 메시지는 "채권의 YTM(약속수익률)은 실제 실현수익률(Realized Return)과 다를 수 있다"는 점이며, 그 차이를 만드는 가장 중요한 요인이 쿠폰 재투자율(Reinvestment Rate)이라는 것입니다. 정량적 계산과 개념적 이해가 모두 시험에 출제됩니다.

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MODULE 57.1: 실현수익률(Realized Return)과 채권 스프레드(Spread)

LO 57.a: 총 실현수익률과 순 실현수익률의 구분 및 계산

1. 실현수익률(Realized Return)의 기본 개념

채권의 실현수익률(Realized Return)은 투자의 기말 총가치(Ending Total Value)와 기초 가치(Beginning Value)를 비교하는 측정치로서, 보유기간 동안 발생한 모든 쿠폰 지급과 쿠폰 재투자 수익을 반영합니다. 이 수익률은 투자자가 채권을 실제로 보유하는 동안 경험하는 수익의 크기를 측정하며, 단순히 약속된 수익률이 아닌 실제로 실현된 수익을 포착한다는 점에서 매우 중요한 개념입니다.

실현수익률을 이해하기 위해서는 먼저 총(Gross) 실현수익률과 순(Net) 실현수익률의 차이를 명확히 구분해야 합니다.

2. 총 실현수익률 (Gross Realized Return)

총 실현수익률(또는 단순히 총수익률)은 채권의 기말 총가치에서 기초 가치를 차감한 금액을 기초 가치로 나누어 계산합니다. 여기서 기말 총가치에는 기말 채권가격과 해당 기간 동안 수령한 모든 쿠폰이 포함됩니다. 중요한 점은, 총 실현수익률은 금융비용(Financing Cost)을 반영하지 않는다는 것입니다.

시점 \(t\)에서의 채권가격을 \(BV_t\), 시점 \(t\) 동안 수령한 쿠폰을 \(C_t\), 기초 채권가격을 \(BV_{t-1}\)이라 하면, 보유기간 \(t-1\)에서 \(t\)까지의 총 실현수익률은 다음과 같이 계산됩니다.

총 실현수익률(Gross Realized Return) $$R_{t-1, t}^{gross} = \frac{(BV_t + C_t) - BV_{t-1}}{BV_{t-1}}$$

분자 = (기말 채권가격 + 수령 쿠폰) - 기초 채권가격
분모 = 기초 채권가격

이 공식의 직관적 의미는 매우 간단합니다. 투자자가 채권을 매수한 시점의 가격 대비, 기말에 보유한 총가치(채권의 시장가치 + 받은 쿠폰)가 얼마나 증가했는지를 백분율로 표현한 것입니다. 채권의 가격 상승분(자본이득)과 쿠폰 수입이 모두 분자에 포함된다는 점을 주목해야 합니다.

예시 1: 단일 기간 총 실현수익률 계산

문제: 현재 $112에 거래되고 있는 채권이 정확히 6개월 전에 $105에 매수되었고, 오늘 $2의 쿠폰을 지급했다. 총 실현수익률은?

풀이:

$$R^{gross} = \frac{(112 + 2) - 105}{105} = \frac{114 - 105}{105} = \frac{9}{105} = 0.0857 \approx 8.57\%$$

해석: 이 투자자는 6개월 동안 채권 가격의 상승(105 → 112, 즉 $7)과 쿠폰 수입($2)을 합쳐 총 $9의 이익을 얻었으며, 이는 초기 투자금 $105 대비 약 8.57%의 총 실현수익률에 해당합니다. 이 수익률에는 자금 조달 비용이 반영되어 있지 않습니다.

3. 재투자 리스크 (Reinvestment Risk)와 다기간 실현수익률

채권의 실현수익률을 여러 기간에 걸쳐 계산하려면, 중간에 수령한 쿠폰이 어떤 금리로 재투자되었는지를 추적해야 합니다. 이것이 바로 재투자 리스크(Reinvestment Risk)의 핵심입니다.

채권 보유자가 쿠폰을 수령하면, 해당 현금흐름은 다시 투자되어야 합니다. 그런데 만약 시장 금리가 전반적으로 하락했다면, 재투자 금리도 함께 낮아지게 됩니다. 결과적으로, 투자자가 기대했던 것보다 낮은 수익률로 쿠폰이 재투자되어, 최종적인 실현수익률이 처음 기대했던 수준에 미치지 못하게 됩니다. 이러한 위험이 바로 재투자 리스크입니다.

재투자 리스크의 핵심:

쿠폰을 수령한 후 만기까지 보유하는 동안, 그 쿠폰을 어떤 재투자율로 "굴렸는지"가 최종 실현수익률을 좌우합니다. 금리가 내려가면 재투자율도 내려가서 실현수익률이 깎이고, 반대로 금리가 올라가면 재투자율도 올라가서 실현수익률이 높아집니다. 이것이 채권 투자에서 "쿠폰이 클수록 재투자 리스크가 크다"고 말하는 이유입니다.

예시 2: 쿠폰 재투자를 포함한 다기간 실현수익률

문제: 현재 $112에 거래되고 있는 채권이 정확히 1년 전에 $105에 매수되었다. 오늘 $2의 쿠폰을 지급받았고, 6개월 전에도 $2의 쿠폰을 수령했다. 6개월 전에 수령한 쿠폰은 연 1%로 재투자되었다고 가정한다. 1년간의 실현수익률은?

풀이:

먼저, 6개월 전에 수령한 $2 쿠폰의 6개월 후 재투자 가치를 계산합니다.

$$\text{6개월 전 쿠폰의 기말 가치} = 2 \times \left(1 + \frac{0.01}{2}\right) = 2 \times 1.005 = 2.01$$

따라서 기말 총가치는 다음과 같습니다.

$$\text{기말 총가치} = 112 + 2 + 2.01 = 116.01$$

1년간 실현수익률:

$$R = \frac{116.01 - 105}{105} = \frac{11.01}{105} = 0.1049 \approx 10.49\%$$

핵심 포인트: 같은 YTM으로 매수했더라도, 중간에 수령한 쿠폰을 낮은 금리(여기서는 1%)로 재투자하면 최종 실현수익률이 원래 약속된 YTM보다 낮아질 수 있습니다. 이 예시에서 6개월 쿠폰 $2가 재투자되어 추가로 $0.01을 벌었는데, 만약 재투자율이 더 높았다면 실현수익률도 더 높았을 것입니다.

4. 순 실현수익률 (Net Realized Return)

순 실현수익률(또는 단순히 순수익률)은 총 실현수익률에서 기간 금융비용(Per Period Financing Costs)을 차감한 수익률입니다. 금융비용은 채권을 매수하기 위해 자금을 차입한 경우에 발생합니다. 채권 매수가 전액 차입으로 이루어진 경우, 실제 초기 현금 지출은 0이 되지만, 관행상 기초 가치로는 여전히 초기 채권가격을 사용합니다.

순 실현수익률(Net Realized Return) $$R^{net} = R^{gross} - \text{기간 금융비용률}$$ $$= \frac{(BV_t + C_t) - BV_{t-1}}{BV_{t-1}} - \frac{\text{금융비용}}{BV_{t-1}}$$

순 실현수익률의 핵심은 레버리지(차입) 투자에서의 실제 수익률을 측정한다는 것입니다. 투자자가 채권을 전액 차입으로 매수한 경우, 쿠폰과 자본이득만으로는 진정한 수익을 파악할 수 없으며, 반드시 조달금리(차입비용)를 차감해야 합니다.

예시 3: 순 실현수익률 계산

문제: 현재 $112에 거래되고 있는 채권이 오늘 $2의 쿠폰을 지급했다. 매수가격 $105는 정확히 6개월 전에 연 0.6%의 금리로 전액 차입하여 조달했다. 순 실현수익률은?

풀이:

먼저 6개월 동안의 금융비용을 계산합니다.

$$\text{6개월 금융비용} = 105 \times \frac{0.006}{2} = 105 \times 0.003 = 0.315$$

총 이익(달러):

$$\text{총 이익} = (112 + 2) - 105 = 9$$

순 이익(달러):

$$\text{순 이익} = 9 - 0.315 = 8.685$$

순 실현수익률:

$$R^{net} = \frac{8.685}{105} = 0.0827 \approx 8.27\%$$

해석: 총 실현수익률 8.57%에서 금융비용을 차감하면 순 실현수익률은 8.27%로 약 0.3%포인트 줄어듭니다. 레버리지 투자에서는 항상 "수익률"이란 쿠폰과 가격변동뿐만 아니라 자금 조달 비용까지 포함해야 진정한 수익률이 됩니다.

5. 쿠폰일 사이 거래: 더티가격(Dirty Price)과 클린가격(Clean Price)

지금까지의 예시에서는 채권이 정확히 쿠폰 지급일에 평가되는 것으로 가정했습니다. 그러나 실제 시장에서는 쿠폰 지급일 사이에 채권을 매매하는 것이 일반적입니다. 이 경우에는 더티가격(Dirty Price)의 개념이 필요합니다.

더티가격과 클린가격의 관계:

클린가격(Clean Price): 시장에서 호가(Quote)로 표시되는 가격으로, 경과이자를 포함하지 않습니다. 투자자가 Bloomberg 터미널이나 거래 시스템에서 보는 "채권가격"이 일반적으로 이 클린가격입니다.

더티가격(Dirty Price): 실제 결제가격으로, 클린가격에 경과이자(Accrued Interest)를 더한 금액입니다.

$$\text{더티가격(Dirty Price)} = \text{클린가격(Clean Price)} + \text{경과이자(Accrued Interest)}$$

채권을 쿠폰 지급일이 아닌 중간에 매수하면, 매수자는 매도자에게 마지막 쿠폰 지급일부터 결제일까지의 기간에 해당하는 이자를 보상해야 합니다. 이 보상금이 바로 경과이자이며, 이를 포함한 가격이 더티가격입니다.

반기 쿠폰 채권의 경우, 만기 \(T\)에서의 채권 평가는 더티가격 개념을 사용하여 다음과 같이 표현할 수 있습니다. 쿠폰 지급일 사이의 경과 일수를 고려하여 할인팩터를 조정하는 방식입니다.

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LO 57.b: 채권 스프레드의 정의와 금리 기간구조로부터의 도출

1. 스프레드(Spread)의 정의

채권의 시장가격은 현물금리(Spot Rates)나 선도금리(Forward Rates)를 사용하여 계산한 이론적 가격과 다를 수 있습니다. 이 시장가격과 금리 기간구조에 따른 이론가격 사이의 차이를 채권 스프레드(Bond Spread)라고 합니다.

투자자가 특정 국채의 다른 국채 대비 초과수익률(Excess Return)에 관심이 있다면, 국채 선도금리에 어떤 스프레드를 더해야 채권 현금흐름의 현재가치가 시장가격과 일치하는지를 알고 싶어할 것입니다.

2. 스프레드의 도출 과정

2년 만기 채권이 매년 쿠폰을 지급하고, 2년차 말에 원금을 상환한다고 가정합니다. 이 채권의 이론가격은 해당 기간의 선도금리를 사용하여 모든 현금흐름을 할인함으로써 계산할 수 있습니다.

선도금리를 이용한 채권 가격 계산 $$P_{model} = \frac{C}{(1 + f_{0-1})} + \frac{C + FV}{(1 + f_{0-1})(1 + f_{1-2})}$$

여기서 \(f_{0-1}\) = 0~12개월 선도금리, \(f_{1-2}\) = 12~24개월 선도금리
\(C\) = 쿠폰, \(FV\) = 액면가

이 계산을 할인팩터(Discount Factor)를 사용하면 더 간단하게 표현할 수 있습니다. 1년 할인팩터는 \(\frac{1}{(1 + f_{0-1})}\)이고, 2년 할인팩터는 \(\frac{1}{(1 + f_{0-1}) \times (1 + f_{1-2})}\)입니다.

예시: 할인팩터 계산

0~12개월 선도금리가 2%이고 12~24개월 선도금리가 3%인 경우:

$$\text{1년 할인팩터} = \frac{1}{1.02} = 0.980392$$ $$\text{2년 할인팩터} = \frac{1}{1.02 \times 1.03} = \frac{1}{1.0506} = 0.951837$$

만약 이 채권의 시장가격이 이론가격과 다르다면, 투자자는 할인된 현금흐름이 시장가격과 일치하도록 만드는 할인율을 결정해야 합니다. 이는 선도금리(또는 할인팩터)에 스프레드(s)를 더함으로써 결정됩니다.

스프레드를 포함한 채권 가격 산출 $$P_{market} = \frac{C}{(1 + f_{0-1} + s)} + \frac{C + FV}{(1 + f_{0-1} + s)(1 + f_{1-2} + s)}$$

\(s\) = 모든 선도금리에 동일하게 더해지는 스프레드

스프레드 해석의 핵심:

"이 채권의 현금흐름을 현재 커브(선도금리)로 할인하면 가격이 안 맞는데, 모든 할인율에 동일한 \(s\)를 더하면 딱 맞는다. 그 \(s\)가 스프레드다."

해석: \(s > 0\)이면 → 추가로 더 할인해야 시장가격에 맞음 → 시장에서 더 싸게(Cheap) 거래됨 → 투자자는 더 높은 추가 보상을 요구하고 있음

해석: \(s < 0\)이면 → 더 적게 할인해야 시장가격에 맞음 → 시장에서 더 비싸게(Rich) 거래됨 → 투자자는 더 낮은 보상에도 만족하고 있음

스프레드는 일반적으로 만기가 길수록 증가하는 경향이 있습니다.

시험 함정 주의:

스프레드의 부호를 해석할 때 혼동하기 쉽습니다. 스프레드가 양(+)이면 채권이 "싸게(Cheap)" 거래되는 것이고, 음(-)이면 "비싸게(Rich)" 거래되는 것입니다. 이는 스프레드가 클수록 더 많이 할인해야 하므로 채권가격이 더 낮다는 뜻이기 때문입니다.

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MODULE 57.2: 만기수익률 (Yield to Maturity, YTM)

LO 57.c / LO 57.d: YTM의 정의, 해석, 적용 및 계산

1. YTM의 정의

고정수익 증권의 만기수익률(Yield to Maturity, YTM)은 해당 증권의 내부수익률(Internal Rate of Return, IRR)과 동일합니다. YTM은 증권과 관련된 모든 현금흐름의 현재가치를 해당 증권의 가격과 일치시키는 단일 할인율입니다.

즉, YTM은 "이 채권이 만기까지의 모든 현금흐름(쿠폰 + 원금 상환)을 하나의 할인율로 할인했을 때, 현재 시장가격과 정확히 같아지게 하는 그 할인율"입니다. 이 개념은 단순하지만 매우 강력하며, 채권 시장에서 가장 널리 사용되는 수익률 척도입니다.

2. YTM, 쿠폰율, 가격의 관계

YTM과 쿠폰율의 관계는 채권이 프리미엄, 디스카운트, 또는 파(Par)로 거래되는지를 결정합니다. 이 관계는 채권 투자에서 가장 기본적이면서도 중요한 개념 중 하나입니다.

조건	거래 상태	가격	직관적 설명
YTM < 쿠폰율	프리미엄(Premium)	가격 > 액면가	시장이 요구하는 수익률보다 쿠폰이 더 많으므로, 투자자들이 이 채권에 더 높은 가격을 지불할 용의가 있음
YTM > 쿠폰율	디스카운트(Discount)	가격 < 액면가	시장이 요구하는 수익률보다 쿠폰이 적으므로, 가격 할인을 통해 추가 수익을 보상해야 함
YTM = 쿠폰율	파(Par)	가격 = 액면가	시장 요구수익률과 쿠폰이 정확히 일치하므로 액면가에서 거래됨

3. 연간 현금흐름 채권의 YTM 계산

알려진 연간 현금흐름의 시리즈를 지급하는 증권의 경우, 수익률 계산은 다음 관계식을 사용합니다.

YTM 계산 공식 (연간 현금흐름) $$P = \sum_{t=1}^{N} \frac{CF_t}{(1+y)^t}$$

여기서 \(P\) = 현재가격, \(CF_t\) = 시점 \(t\)의 현금흐름, \(y\) = YTM, \(N\) = 기간 수

예시 4: YTM 계산 (연간 지급)

문제: 고정수익 증권이 10년 동안 매년 $100을 지급한다. 이 증권의 현재가치는 $700이다. YTM을 계산하라.

풀이: YTM은 다음 등식을 만족하는 \(y\)입니다.

$$700 = \sum_{t=1}^{10} \frac{100}{(1+y)^t}$$

재무계산기를 사용하면:

N = 10; PMT = 100; PV = -700; CPT → I/Y = 7.07%

해석: 이 증권이 $700에 거래되고 있다는 것은, 투자자가 매년 $100의 현금흐름을 7.07%의 할인율로 할인한 현재가치와 이 가격이 정확히 일치한다는 의미입니다.

4. 기간수익률과 연환산 YTM (복리 주기가 다른 경우)

현금흐름이 연 1회보다 더 자주 발생하는 경우(예: 반기 쿠폰), 먼저 기간수익률(Periodic Yield)을 구한 후 이를 연환산하여 YTM을 산출합니다.

기간수익률과 연환산 YTM $$P = \sum_{t=1}^{N \times m} \frac{CF_t}{(1+y_{per})^t}$$ $$\text{YTM (명목 연수익률)} = y_{per} \times m$$

여기서 \(y_{per}\) = 기간수익률, \(m\) = 연간 지급 횟수

예시 5: 기간수익률과 YTM (반기 지급)

문제: 앞의 예시에서, 해당 증권이 $100을 5년 동안 반기마다 지급한다고 가정한다. 기간수익률과 YTM을 계산하라.

풀이:

재무계산기:

N = 10; PMT = 100; PV = -700; CPT → I/Y = 7.07%

여기서 I/Y = 7.07%는 반기 기간수익률입니다. 연환산 YTM을 계산하려면 연간 지급 횟수(\(m = 2\))를 곱합니다.

$$\text{YTM} = 7.07\% \times 2 = 14.14\%$$

주의: 동일한 계산기 입력값(N=10, PMT=100, PV=-700)이지만, 연간 지급에서는 I/Y = 7.07%가 곧 YTM이고, 반기 지급에서는 기간수익률 7.07%에 2를 곱하여 YTM = 14.14%가 됩니다.

YTM의 치명적 암묵 가정 (시험 필수 암기):

YTM 계산에는 두 가지 중요한 암묵적 가정이 숨어 있습니다.

가정 1: 채권에서 발생하는 모든 쿠폰이 YTM과 동일한 수익률로 재투자된다고 가정합니다. 예를 들어, 계산된 수익률이 8%라면, 투자자가 모든 쿠폰을 8%로 재투자할 수 있다고 가정하는 것입니다.

가정 2: 채권이 만기까지 보유된다고 가정합니다.

만약 평균 재투자율이 YTM보다 낮다면, 실현수익률은 YTM보다 낮아집니다. 이것이 "YTM은 약속수익률일 뿐, 실현수익률과 다를 수 있다"고 말하는 이유입니다.

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LO 57.e: 연금(Annuity)과 영구채(Perpetuity)의 가격 계산

1. 연금(Annuity)의 현재가치

연금은 일정한 기간 동안 동일한 현금흐름을 주기적으로 지급하는 금융상품입니다. YTM과 현금흐름이 주어지면 연금의 가격(현재가치)을 쉽게 계산할 수 있습니다.

연금의 현재가치(PV of Annuity) $$PV = C \times \frac{1 - (1+y)^{-N}}{y}$$

여기서 \(C\) = 각 기간 현금흐름, \(y\) = YTM, \(N\) = 기간 수

예시 6: 연금의 현재가치 계산

문제: 고정수익 증권이 10년 동안 매년 $100을 지급한다. YTM은 10%이다. 이 증권의 가격(PV)을 계산하라.

풀이:

$$PV = 100 \times \frac{1 - (1.10)^{-10}}{0.10}$$

재무계산기:

N = 10; PMT = 100; I/Y = 10; CPT → PV = $614.46

해석: 매년 $100씩 10년간 받는 현금흐름을 연 10%로 할인하면, 현재가치는 $614.46입니다. 이 금액이 투자자가 이 증권에 대해 지불할 의향이 있는 공정가격입니다.

2. 영구채(Perpetuity)의 현재가치

영구채는 무한히 동일한 현금흐름을 지급하는 증권입니다. 영구채의 가격 공식은 매우 단순하며 반복 계산이 필요 없습니다. 이는 기하급수의 무한합 공식에서 유도됩니다.

영구채의 현재가치(PV of Perpetuity) $$PV = \frac{C}{y}$$

여기서 \(C\) = 매기간 현금흐름, \(y\) = YTM(이자율)

예시 7: 영구채의 가격 계산

문제: 매년 $1,000을 영구적으로 지급하는 증권이 있다. 이자율은 10%이다. 영구채의 가격을 계산하라.

풀이:

$$PV = \frac{1{,}000}{0.10} = \$10{,}000$$

해석: 재무계산기도 필요 없습니다. 매년 $1,000을 영원히 지급하는 증권의 가격은 단순히 쿠폰을 이자율로 나눈 $10,000입니다. 이 공식이 성립하는 직관적 이유는, $10,000을 연 10%로 투자하면 매년 $1,000의 이자를 영원히 받을 수 있기 때문입니다.

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LO 57.f: 현물금리(Spot Rates)와 YTM의 관계

1. YTM은 현물금리의 "블렌드(Blend)"

현물금리와 YTM 사이의 관계는 복잡하지만, 핵심적인 관찰을 할 수 있습니다. 채권의 가격을 결정할 때 YTM 또는 현물금리 중 어느 것이든 사용할 수 있습니다. 그러나 YTM은 각 지급시점의 현물금리들의 단순 평균이 아니라, 현금흐름 가중(Cash Flow Weighted)을 받은 "혼합값"이라는 점을 이해해야 합니다.

특히 쿠폰이 클수록 초기 현금흐름의 비중이 커지므로, 초기 현물금리의 영향이 YTM 결정에 더 크게 작용합니다.

금리 기간구조 형태에 따른 YTM과 쿠폰율의 관계:

기간구조 형태	쿠폰율 증가 시 YTM 변화	직관적 설명
우상향(Upward Sloping)	YTM 하락	초기 spot(낮음)의 비중이 커지므로 블렌드 금리(=YTM)가 낮아짐
수평(Flat)	YTM 불변	모든 spot이 동일하므로 가중치가 변해도 블렌드에 영향 없음
우하향(Downward Sloping)	YTM 상승	초기 spot(높음)의 비중이 커지므로 블렌드 금리(=YTM)가 높아짐

우상향 기간구조의 경우를 좀 더 상세히 살펴봅니다. 우상향 기간구조에서는 초기 현물금리가 만기 현물금리보다 낮습니다. 채권의 가장 큰 현금흐름은 만기 시점에 발생합니다(원금 상환). 그런데 쿠폰이 커지면 초기 현금흐름의 비중이 상대적으로 증가하고, 이 초기 현금흐름은 낮은 현물금리로 할인됩니다. 따라서 쿠폰이 커질수록 "낮은 금리"에 더 많은 가중치가 부여되어, 결과적으로 YTM이 하락하는 것입니다.

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LO 57.g: 쿠폰효과(Coupon Effect)와 채권가격 민감도

1. 쿠폰효과의 정의

쿠폰효과(Coupon Effect)란 만기가 동일하지만 쿠폰이 다른 두 채권이 서로 다른 만기수익률(YTM)을 가질 수 있다는 현상을 설명하는 개념입니다. 이 개념은 채권의 금리 민감도(Interest Rate Sensitivity)와 밀접하게 연결됩니다.

만약 두 채권이 쿠폰을 제외한 모든 조건에서 동일하다면, 쿠폰이 작은 채권이 금리 변화에 더 민감합니다. 즉, 동일한 금리 변화에 대해 쿠폰이 작은 채권이 더 큰 가격 변동률을 경험합니다. 이는 쿠폰이 작을수록 채권의 듀레이션(Duration)이 길어지기 때문입니다.

쿠폰율과 금리 리스크의 관계:

쿠폰율이 낮을수록 → 금리 리스크(Interest Rate Risk)가 더 크다
(현금흐름의 대부분이 만기에 집중되어 있어 듀레이션이 길어짐)

쿠폰율이 높을수록 → 금리 리스크가 더 작다
(초기 현금흐름의 비중이 커서 투자금 회수가 빨라지고 듀레이션이 짧아짐)

쿠폰효과의 실제 예시

동일한 20년 만기에 반기 쿠폰을 지급하는 두 채권을 비교합니다.

채권	쿠폰율	금리 변화 시 가격 변동
채권 A	8%	더 큰 가격 변동
채권 B	12%	더 작은 가격 변동

동일한 금리 변화에 대해, 20년 만기 8% 쿠폰 채권이 20년 만기 12% 쿠폰 채권보다 더 큰 가격 변화를 경험합니다. 이는 8% 쿠폰 채권의 현금흐름이 만기 시점에 더 집중되어 있어 금리 변화에 더 민감하기 때문입니다. 이러한 차이로 인해, 만기가 유사하더라도 쿠폰율이 다른 채권들은 서로 다른 YTM을 가질 수 있습니다.

2. YTM, 쿠폰율, 가격의 관계 정리

거래 상태	쿠폰율 vs YTM	가격 vs 액면가
파(Par)	쿠폰율 = YTM	가격 = 액면가
디스카운트(Discount)	쿠폰율 < YTM	가격 < 액면가
프리미엄(Premium)	쿠폰율 > YTM	가격 > 액면가

3. 일본식 수익률 (Japanese Simple Yield)

일본의 수익률 표기 관행은 미국과 다릅니다. 일본 채권 수익률은 일반적으로 복리를 반영하지 않는 단순수익률(Simple Yield) 기준으로 호가됩니다.

일본식 단순수익률 공식 $$y_{simple} = \frac{c + \frac{p - Price}{T}}{Price}$$

여기서 \(c\) = 쿠폰, \(p\) = 액면가, \(Price\) = 채권 가격, \(T\) = 잔존만기

예시 8: 일본식 단순수익률 계산

문제: 일본 채권의 쿠폰율이 3%, 잔존만기가 6년, 가격이 98, 액면가가 100인 경우 단순수익률은?

풀이:

$$y_{simple} = \frac{3 + \frac{100 - 98}{6}}{98} = \frac{3 + 0.3333}{98} = \frac{3.3333}{98} = 0.0340 \approx 3.40\%$$

해석: 분자에는 연간 쿠폰 수입($3)과 연간 자본이득(\(\frac{2}{6} = 0.33\))이 포함됩니다. 이를 현재가격($98)으로 나누면 단순수익률 3.40%가 됩니다. 이 수치는 복리를 고려한 정확한 YTM과는 다를 수 있으므로, 일본 시장의 관행적 정의를 먼저 확인해야 합니다.

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MODULE 57.3: 채권 수익(P&L) 분해와 Carry Roll-Down

LO 57.h: 채권 P&L의 요인별 분해

1. P&L 분해의 필요성

채권의 수익률 분해(Return Decomposition)는 채권의 손익(P&L)을 구성요소별로 나누는 분석 기법입니다. 이 분해는 채권 투자자가 자신의 투자가 어떻게, 그리고 왜 돈을 벌거나 잃고 있는지를 이해하는 데 도움을 줍니다.

채권의 수익성(또는 손실)은 두 가지 경로를 통해 발생합니다. 첫째, 가격 변화(Price Appreciation/Depreciation)이고, 둘째, 쿠폰이나 금융비용과 같은 명시적 현금흐름(Explicit Cash Flows)입니다.

2. 가격 변화의 3가지 구성요소

채권 가격의 변화는 다음 세 가지 요인으로 분해할 수 있습니다. 각 구성요소의 수익률을 채권가격으로 나누면 총수익률(Gross Return)의 구성요소를 얻을 수 있습니다.

구성요소	영문	정의	스프레드 변화 반영 여부
캐리 롤다운	Carry Roll-Down	금리 기대가 변하지 않는다는 가정 하에, 시간이 경과하면서 커브 위를 "굴러가며(Roll Down)" 발생하는 가격 변화 + 쿠폰 효과	반영하지 않음
금리 변화	Rate Change	실제 실현된 금리 경로가 캐리 롤다운 가정과 달라서 발생한 추가 손익	반영하지 않음
스프레드 변화	Spread Change	다른 채권 대비 해당 채권의 스프레드가 변동하면서 발생한 가격 변화	반영

P&L 분해의 핵심 등식:

$$\text{총 이익} = \text{Carry Roll-Down} + \text{Rate Change} + \text{Spread Change}$$ $$\text{총수익률(Gross Return)} = \frac{\text{총 이익}}{\text{기초 채권가격}}$$

각 구성요소를 기초 채권가격으로 나누면 해당 요인의 수익률 기여분을 얻을 수 있습니다.

예시 9: P&L 분해

4% 쿠폰(반기 지급) 채권의 정보가 다음과 같다.

항목	금액
기초 채권가격	$102.65
기말 채권가격	$101.88
수령 쿠폰	$2.00

총 이익 계산:

$$\text{총 이익} = 101.88 + 2.00 - 102.65 = 1.23$$

요인별 분해:

$$1.23 = 0.85 \text{ (Carry Roll-Down)} + 0.30 \text{ (Rate Change)} + 0.08 \text{ (Spread Change)}$$

총수익률:

$$\text{Gross Return} = \frac{1.23}{102.65} = 1.198\%$$

해석: 이 채권의 1.198% 총수익률 중, 대부분(0.85/102.65 = 0.828%)은 캐리 롤다운에서 발생했고, 금리 변화가 추가로 0.30/102.65 = 0.292%를 기여했으며, 스프레드 변화는 0.08/102.65 = 0.078%의 소폭 기여에 그쳤습니다.

3. P&L 분석의 두 가지 확장

기본적인 3요인 분해에 더하여, 실무에서는 다음 두 가지 확장을 고려합니다.

P&L 분석의 확장:

확장 1 - 금융비용(Financing) 반영: 금융비용을 고려하면, 이를 P&L의 네 번째 구성요소로 추가해야 합니다. 이 경우 총수익률(Gross Return)과 순수익률(Net Return)이 모두 계산됩니다.

확장 2 - 경과이자(Accrued Interest) 반영: 지금까지는 두 쿠폰 지급일 사이의 수익률만 살펴보았지만, 초기 및 최종 채권 평가일이 모두 쿠폰 지급일 사이에 있을 수 있습니다. 이 경우 경과이자의 영향을 네 번째 구성요소로 추가해야 합니다.

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LO 57.i: Carry Roll-Down 계산을 위한 3가지 금리 불변 시나리오

1. "금리가 변하지 않는다"의 세 가지 해석

캐리 롤다운은 금리 기대가 변하지 않는다는 가정 하에 채권의 가격 변동과 쿠폰에서 발생하는 예상 수익률입니다. 트레이더들은 금리가 변하지 않는 시나리오를 기반으로 투자 수익률을 계산하는 경우가 많은데, "금리가 변하지 않는다"는 표현 자체가 세 가지 다른 방식으로 정의될 수 있습니다. 이 세 가지 시나리오는 각각 다른 계산값을 산출합니다.

시나리오	영문	핵심 가정	함의
실현된 선도금리	Realized Forward	현재의 선도금리가 시간이 지나며 그대로 실현되어 미래 현물금리가 됨	선도금리가 미래 현물금리의 불편추정치(Unbiased Estimator)임을 전제
불변 기간구조	Unchanged Term Structure	금리 기간구조(커브의 모양)가 투자 기간 동안 그대로 유지됨	선도금리에 리스크 프리미엄이 내재되어 있음을 시사
불변 수익률	Unchanged Yields	채권의 YTM이 투자 기간 동안 변하지 않음	1기간 총수익률이 YTM과 동일, 쿠폰이 YTM으로 재투자된다고 가정

시험 핵심 포인트:

"금리 불변"이라고 말하더라도, 어느 시나리오를 사용하느냐에 따라 계산값이 달라집니다. 시험에서는 이 세 가지 시나리오의 차이점과 각각의 가정을 정확히 구분할 수 있어야 합니다.

2. 실현된 선도금리 시나리오 (Realized Forward Scenario)

이 시나리오는 미래 기간에 대한 선도금리가 시간이 경과하면서 변하지 않고 그대로 유지된다고 가정합니다. 즉, 선도금리가 실현되면 해당 기간의 현물금리와 동일해집니다. 선도기간의 시작점에 도달하면, 선도금리가 현물금리가 됩니다.

예시 10: 실현된 선도금리 시나리오에서의 채권 평가

2년 만기, 2% 쿠폰 국채의 현재가치가 $100.785이고, 선도금리가 다음과 같다고 가정합니다.

기간	선도금리 (연율)
0 ~ 0.5년	0.8%
0.5 ~ 1.0년	1.0%
1.0 ~ 1.5년	1.2%
1.5 ~ 2.0년	1.4%

참고: 선도금리는 항상 연율(Annual Basis)로 호가됩니다.

실현된 선도금리 시나리오에서, 6개월 후 선도금리는 다음과 같이 이동합니다.

0 ~ 0.5년: 1.0%, 0.5 ~ 1.0년: 1.2%, 1.0 ~ 1.5년: 1.4%

6개월 후 채권은 잔존만기 1.5년이 되므로, 반기 복리로 채권을 평가하면:

$$P = \frac{1}{\left(1 + \frac{0.01}{2}\right)} + \frac{1}{\left(1 + \frac{0.01}{2}\right)\left(1 + \frac{0.012}{2}\right)} + \frac{101}{\left(1 + \frac{0.01}{2}\right)\left(1 + \frac{0.012}{2}\right)\left(1 + \frac{0.014}{2}\right)}$$

이 계산의 결과, 6개월 후 채권의 예상 가격은 $101.188입니다.

대안적 계산 방법: 캐리 롤다운을 계산하는 또 다른 방법은 수익이 현재의 1기간 선도금리와 같다고 가정하는 것입니다. 6개월 선도금리가 반기 복리 기준 0.8%이므로:

$$\text{캐리 롤다운} = 100.785 \times \frac{0.008}{2} = 100.785 \times 0.004 = 0.403$$ $$\text{6개월 후 가격} = 100.785 + 0.403 = 101.188$$

3. 불변 기간구조 시나리오 (Unchanged Term Structure Scenario)

이 시나리오는 금리 기간구조가 투자 기간 동안 변하지 않고 유지된다고 가정합니다. 이는 총 실현수익률이 채권의 쿠폰율과 만기 직전 마지막 선도금리 사이의 관계에 크게 의존한다는 것을 의미합니다. 또한 이 시나리오는 선도금리에 리스크 프리미엄(Risk Premium)이 내재되어 있음을 시사합니다.

예를 들어, 기간구조가 우상향하고 변하지 않는다면, 기간구조의 형태는 투자 기간이 길어질수록 증가하는 투자자 리스크 프리미엄을 반영해야 합니다.

예시 11: 불변 기간구조 시나리오

동일한 2년 만기, 2% 쿠폰 국채($100.785)에서, 불변 기간구조 가정 하의 선도금리는 다음과 같습니다.

기간	현재 선도금리	6개월 후 선도금리 (불변 기간구조)
0 ~ 0.5년	0.8%	0.8%
0.5 ~ 1.0년	1.0%	1.0%
1.0 ~ 1.5년	1.2%	1.2%

실현된 선도금리 시나리오와의 차이점에 주목해야 합니다. 불변 기간구조에서는 커브의 모양이 그대로 유지되므로, 6개월 후 0~0.5년 선도금리는 0.8%(현재와 동일)이지만, 실현된 선도금리 시나리오에서는 1.0%(한 칸 이동)이 됩니다. 이 차이가 두 시나리오에서 다른 캐리 롤다운 값을 산출하는 원인입니다.

4. 불변 수익률 시나리오 (Unchanged Yields Scenario)

이 시나리오는 채권의 YTM이 투자 기간 동안 변하지 않는다고 가정합니다. 이는 1기간 총 실현수익률이 채권의 YTM과 동일하다는 것을 의미합니다. 따라서 이 시나리오에서는 채권의 쿠폰 지급이 YTM으로 재투자된다고 가정합니다.

그러나 이 재투자 가정에는 한계가 있습니다. 기간구조가 수평(Flat)이고 변하지 않는 것은 현실적이지 않기 때문입니다. 실제 시장에서는 기간구조가 거의 항상 어떤 형태의 기울기를 가지고 있으므로, 이 가정은 다른 두 시나리오에 비해 가장 단순화된 가정이라고 할 수 있습니다.

3가지 시나리오 비교 요약:

시나리오	무엇이 불변인가	선도금리의 역할	리스크 프리미엄 시사
실현된 선도금리	현재 선도금리 값	미래 현물금리의 불편추정치	없음
불변 기간구조	커브의 형태(모양)	리스크 프리미엄 포함	있음 (우상향이면 장기에 프리미엄 증가)
불변 수익률	채권의 YTM	기간구조가 수평이라고 암묵적 가정	해당 없음

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MODULE QUIZ

Module Quiz 57.1

문제 1. 다음 중 재투자 리스크(Reinvestment Risk)가 발생하지 않는 경우는?

A. 채권 보유 기간 동안 금리가 변동한 경우
B. 채권에 콜옵션(Callable)이 부여된 경우
C. 채권이 액면가로 발행된 경우
D. 무이표채(Zero-Coupon Bond)만 매수한 경우

Module Quiz 57.2

문제 1. 연금이 100년 동안 매년 $10을 지급하며 현재 $100에 거래된다. YTM에 가장 가까운 값은?

A. 5%
B. 7%
C. 9%
D. 10%

문제 2. 액면가 $1,000인 채권의 반기 쿠폰율이 7.75%이다. 시장금리가 8.25%일 때, 채권의 가격은?

A. $1,000 미만
B. $1,000
C. $1,000 초과
D. 정보 부족으로 결정 불가

문제 3. 액면가 $1,000인 채권의 쿠폰율이 10%(반기 지급)이고 잔존만기가 13년이다. 시장금리가 9.25%일 때, 채권가격에 가장 가까운 값은?

A. $586.60
B. $1,036.03
C. $1,055.41
D. $1,056.05

문제 4. 투자가 매년 $50을 영구적으로 지급하며 수익률이 6%이다. 가격에 가장 가까운 값은?

A. $120
B. $300
C. $530
D. $830

Module Quiz 57.3

문제 1. 1년 현물금리가 4%, 1년 후 시작하는 1년 선도금리가 5%, 2년 후 시작하는 1년 선도금리가 6%라고 가정한다. 실현된 선도금리(Realized Forward) 시나리오에서, 1년 후의 실현 1년 금리는?

A. 4%
B. 4.5%
C. 5%
D. 5.5%

정답 및 상세 해설

문제	정답	상세 해설
57.1-1	D	무이표채(Zero-Coupon Bond)는 쿠폰이 없으므로 재투자할 현금흐름 자체가 존재하지 않습니다. 따라서 재투자 리스크가 발생하지 않습니다. 반면, 콜러블 채권(B)은 조기 상환된 원금을 재투자해야 하므로 재투자 리스크가 존재합니다. 쿠폰이 클수록 재투자 리스크가 커지며, 액면가 발행 여부(C)는 재투자 리스크와 무관합니다.
57.2-1	D	N = 100; PMT = 10; PV = -100; CPT → I/Y = 10%. 100년이라는 매우 긴 기간은 사실상 영구채에 가깝습니다. 영구채 공식을 적용하면 \(PV = C/y\) → \(100 = 10/y\) → \(y = 10\%\)가 됩니다.
57.2-2	A	쿠폰율(7.75%)이 시장금리(8.25%)보다 낮으므로, 이 채권은 디스카운트 채권입니다. 시장이 요구하는 수익률보다 쿠폰이 적으므로, 가격 할인을 통해 보상해야 하며, 따라서 가격은 $1,000 미만입니다.
57.2-3	D	N = 26(=13년 × 2); PMT = 50(=$1,000 × 10% / 2); I/Y = 4.625(=9.25% / 2); FV = 1,000; CPT → PV = $1,056.05. 쿠폰율(10%)이 시장금리(9.25%)보다 높으므로 프리미엄으로 거래됩니다.
57.2-4	D	\(PV = C / y = \$50 / 0.06 = \$833.33\). 영구채 공식을 직접 적용하면 됩니다. $830에 가장 가까운 답은 D입니다.
57.3-1	C	실현된 선도금리 시나리오에서, 선도금리가 실현되면 해당 기간의 현물금리와 동일해집니다. 1년 후 시작하는 1년 선도금리가 5%이므로, 1년 후의 실현 1년 금리는 5%입니다.

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KEY CONCEPTS (핵심 개념 정리)

LO 57.a 핵심

총 실현수익률은 기말 총가치(기말가격 + 쿠폰)에서 기초가격을 빼고 기초가격으로 나눈 값입니다. 여러 기간의 경우 쿠폰 재투자 수익을 기말 총가치에 포함해야 합니다. 순 실현수익률은 총 실현수익률에서 기간 금융비용을 차감합니다. 쿠폰일 사이 거래 시에는 더티가격(클린가격 + 경과이자)을 사용합니다.

LO 57.b 핵심

채권의 시장가격과 금리 기간구조에 따른 모델가격의 차이가 스프레드입니다. 스프레드를 도출함으로써 채권이 싸게(Cheap) 또는 비싸게(Rich) 거래되고 있는지를 파악할 수 있습니다. 스프레드는 일반적으로 만기가 길수록 증가합니다.

LO 57.c / LO 57.d 핵심

YTM은 모든 현금흐름의 PV를 채권가격과 일치시키는 단일 할인율(=IRR)입니다. YTM < 쿠폰율이면 프리미엄, YTM > 쿠폰율이면 디스카운트, YTM = 쿠폰율이면 파(Par)로 거래됩니다. YTM의 암묵적 가정은 쿠폰이 YTM으로 재투자되고 채권이 만기까지 보유된다는 것입니다.

LO 57.e 핵심

연금의 PV는 YTM과 현금흐름으로 계산합니다. 영구채의 PV는 단순히 \(C/y\)입니다.

LO 57.f 핵심

YTM은 현물금리의 현금흐름 가중 블렌드입니다. 우상향 기간구조에서는 쿠폰율이 증가할수록 YTM이 하락하고, 우하향 기간구조에서는 쿠폰율이 증가할수록 YTM이 상승합니다.

LO 57.g 핵심

쿠폰효과란 동일 만기에서 쿠폰이 다른 두 채권이 서로 다른 YTM을 가질 수 있다는 현상입니다. 쿠폰이 낮은 채권이 금리 변화에 더 민감합니다.

LO 57.h 핵심

채권 P&L은 가격 변화와 명시적 현금흐름으로 구성됩니다. 가격 변화는 Carry Roll-Down, Rate Change, Spread Change의 3요인으로 분해됩니다.

LO 57.i 핵심

Carry Roll-Down 계산 시 "금리 불변"의 3가지 시나리오: (1) 실현된 선도금리 - 선도금리가 미래 현물금리와 동일, (2) 불변 기간구조 - 커브 모양 유지, (3) 불변 수익률 - YTM 유지. 각 시나리오는 다른 계산값을 산출합니다.

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시험 대비 한 줄 암기 체크리스트

주제	암기 포인트
총 실현수익률	\(\frac{(BV_t + C_t) - BV_{t-1}}{BV_{t-1}}\), 금융비용 미포함
순 실현수익률	총 실현수익률 - 기간 금융비용률
재투자 리스크	쿠폰을 YTM보다 낮은 금리로 재투자하면 실현수익률 하락, 무이표채만 면역
더티가격	클린가격 + 경과이자(Accrued Interest)
스프레드	시장가격과 모델가격의 차이, \(s > 0\)이면 Cheap, \(s < 0\)이면 Rich
YTM 정의	모든 CF의 PV = 가격을 만드는 단일 할인율(=IRR)
YTM 암묵 가정	쿠폰을 YTM으로 재투자 + 만기까지 보유
프리미엄/디스카운트	YTM < 쿠폰율 → 프리미엄, YTM > 쿠폰율 → 디스카운트
연환산 YTM	기간수익률 × 연간 지급 횟수(m)
영구채 가격	\(PV = C / y\)
현물금리와 YTM	YTM = spot의 CF 가중 블렌드, 우상향 커브에서 쿠폰 증가 → YTM 하락
쿠폰효과	쿠폰 낮은 채권이 금리 변화에 더 민감 (듀레이션 더 김)
일본식 수익률	\(y = \frac{c + (p - Price)/T}{Price}\), 복리 미반영
P&L 분해 3요인	Carry Roll-Down + Rate Change + Spread Change
3가지 금리 불변 시나리오	Realized Forward / Unchanged Term Structure / Unchanged Yields
Realized Forward	선도금리 → 미래 현물금리로 실현
Unchanged Term Structure	커브 모양 유지, 리스크 프리미엄 내재
Unchanged Yields	YTM 유지, 보유수익률 = YTM

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