FRM part1. Reading 61: The Black-Scholes-Merton Model

 

FRM Part I – Reading 61
블랙-숄즈-머튼 모형
(The Black-Scholes-Merton Model)

EXAM FOCUS

핵심 학습 목표

블랙-숄즈-머튼(BSM) 옵션 가격결정 모형은 주가가 로그정규분포(Lognormal Distribution)를 따른다는 가정에 기반합니다. 이 Reading에서는 BSM 모형을 이용한 유럽형 콜옵션과 풋옵션의 가격 계산을 학습하고, BSM 모형과 현재 옵션 시장가격을 결합하여 내재변동성(Implied Volatility)을 추정하는 방법을 다룹니다.

시험에서 반드시 할 수 있어야 하는 것

• 주가의 로그정규 성질과 수익률의 정규분포 관계 설명
• 실현수익률(기하평균)과 역사적 변동성 계산
• BSM 모형의 7가지 핵심 가정 열거
• \(d_1\), \(d_2\) 계산 후 정규분포표를 이용한 유럽형 콜/풋 가격 산출
• 풋-콜 패리티(Put-Call Parity)를 이용한 콜/풋 상호 변환
• 배당, 통화, 선물에 대한 BSM 모형 조정
• 배당이 미국형 옵션의 조기행사 의사결정에 미치는 영향
• 워런트(Warrant)의 가치 평가와 희석 비용 계산
• 내재변동성의 정의와 반복 추정 과정

BSM 모형은 유럽형 옵션만 정확히 가격결정할 수 있으므로, 풋-콜 패리티는 항상 함께 학습해야 합니다. 시험에서는 \(d_1\), \(d_2\) 계산, 배당 조정, 풋-콜 패리티 문제가 핵심 출제 영역입니다.

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MODULE 61.1: 주가 분포와 수익률 분포

LO 61.a: 주가의 로그정규 성질, 수익률 분포, 기대수익률 계산

1. 왜 주가를 로그정규분포로 가정하는가

BSM 모형을 도출하는 출발점은 주가의 확률 분포에 대한 가정입니다. 만약 주가 \(S_T\)를 정규분포로 가정하면, 정규분포는 음의 무한대에서 양의 무한대까지의 값을 가질 수 있으므로 이론적으로 음수 주가가 발생할 수 있습니다. 현실에서 주식 가격은 절대로 0 미만으로 떨어질 수 없으므로(유한책임 원칙), 이 가정은 부적절합니다.

대안으로 로그정규분포(Lognormal Distribution)를 가정합니다. 로그정규분포는 최솟값이 0이며, 양의 값만을 가지므로 주가의 특성에 훨씬 부합합니다. 구체적으로, 주가의 자연로그인 \(\ln S_T\)가 정규분포를 따르면, \(S_T\) 자체는 로그정규분포를 따릅니다.

"주가는 로그정규, 수익률은 정규"의 정확한 의미:

이 문장은 BSM의 가장 기본적인 가정을 요약합니다. 연속복리수익률(로그수익률)을 다음과 같이 정의하면:

$$R_T = \ln\left(\frac{S_T}{S_0}\right)$$

BSM 모형에서 이 로그수익률은 다음의 정규분포를 따릅니다:

$$R_T \sim N\left(\left(\mu - \frac{1}{2}\sigma^2\right)T,\; \sigma^2 T\right)$$

여기서 \(\mu\)는 기대수익률(연율), \(\sigma\)는 변동성(연율), \(T\)는 시간(년 단위)입니다.

직관적으로, 주가는 매일매일 곱셈적으로 움직입니다. "오늘 2% 상승"은 어제 가격에 1.02를 곱하는 것이지, 일정 금액을 더하는 것이 아닙니다. 이러한 곱셈적 변화의 누적에 로그를 취하면 덧셈이 되므로, 중심극한정리에 의해 로그수익률이 정규분포에 근사하게 됩니다.

2. 로그수익률 분포의 평균과 표준편차

BSM 모형에서 \(\ln S_T\)의 분포는 다음과 같이 쓸 수 있습니다:

$$\ln S_T \sim N\left(\ln S_0 + \left(\mu - \frac{\sigma^2}{2}\right)T,\; \sigma^2 T\right)$$

즉, \(\ln S_T\)는 평균 \(\ln S_0 + (\mu - \sigma^2/2)T\), 분산 \(\sigma^2 T\)인 정규분포

여기서 평균에 나타나는 \(-\sigma^2/2\) 항은 연속 복리와 이산 복리의 차이에서 비롯됩니다. 이것을 Jensen의 부등식 보정(Convexity Adjustment)이라고도 합니다. 변동성이 클수록 이 보정항이 커져서, 로그수익률의 평균(기하평균)이 산술평균보다 더 낮아집니다.

예시 1: 3개월 후 주가 분포의 평균과 표준편차

조건: \(S_0 = \$25\), 연 기대수익률 \(\mu = 12\%\), 연 변동성 \(\sigma = 20\%\), \(T = 0.25\)년(3개월)

\(\ln S_T\)의 분포 파라미터를 계산합니다:

$$\text{평균} = \ln 25 + (0.12 - 0.02) \times 0.25 = 3.2189 + 0.025 = 3.244$$ $$\text{표준편차} = 0.20 \times \sqrt{0.25} = 0.20 \times 0.5 = 0.10$$

따라서 \(\ln S_T \sim N(3.244,\; 0.10^2)\)이고, 95% 신뢰구간은 \(3.244 \pm 1.96 \times 0.10\)으로 \([3.048, 3.440]\)입니다.

이를 주가로 복원하면: \(S_T \in [e^{3.048}, e^{3.440}] = [\$21.07, \$31.19]\)입니다. 로그정규분포는 비대칭이므로 이 구간도 대칭이 아닙니다(25에서 아래로 약 3.93, 위로 약 6.19).

3. 연환산 연속복리수익률의 평균과 표준편차

\(\ln S_T\)의 평균과 표준편차를 기간 \(T\)로 나누면, 연환산된 연속복리수익률의 분포 파라미터를 얻습니다:

연환산 연속복리수익률의 분포: $$\text{평균} = \mu - \frac{\sigma^2}{2}$$ $$\text{표준편차} = \frac{\sigma}{\sqrt{T}}$$

"기간이 길수록 변동성이 낮아진다"의 정확한 의미:

흔히 오해하는 문장입니다. 가격의 불확실성(표준편차)은 \(\sigma\sqrt{T}\)로 기간이 길수록 커집니다. 하지만 연평균 수익률 추정의 표준편차는 \(\sigma/\sqrt{T}\)로 기간이 길수록 작아집니다. 후자는 "장기간 관측하면 평균수익률 추정이 더 정확해진다"는 의미입니다.

예시 2: 4년 평균수익률의 분포

조건: \(\mu = 12\%\), \(\sigma = 20\%\), \(T = 4\)년

$$\text{평균} = 0.12 - \frac{(0.20)^2}{2} = 0.12 - 0.02 = 0.10 = 10\%$$ $$\text{표준편차} = \frac{0.20}{\sqrt{4}} = \frac{0.20}{2} = 0.10 = 10\%$$

4년간의 연속복리 평균수익률은 평균 10%, 표준편차 10%인 정규분포를 따릅니다. 1년(\(T=1\))일 때의 표준편차 20%와 비교하면 절반으로 줄었습니다.

4. 기대주가 \(E[S_T]\)의 계산

로그정규분포의 성질을 이용하면, 주가의 기댓값은 다음과 같이 깔끔하게 표현됩니다:

$$E[S_T] = S_0 \cdot e^{\mu T}$$

이 공식이 \((\mu - \sigma^2/2)\)가 아닌 \(\mu\)를 사용하는 이유는, 로그정규 확률변수의 기댓값에는 분산에 의한 보정항 \(+\sigma^2/2\)가 다시 더해지기 때문입니다. 즉, \(\ln S_T\)의 평균에서 빠졌던 \(\sigma^2/2\)가 지수 변환 과정에서 복원됩니다.

예시 3: 기대주가 계산

조건: \(S_0 = \$25\), \(\mu = 20\%\), \(T = 0.5\)년(6개월)

$$E[S_T] = 25 \times e^{0.20 \times 0.5} = 25 \times e^{0.10} = 25 \times 1.10517 = \$27.63$$

예시 4: 기대수익률의 역산(시험 빈출)

조건: \(S_0 = \$30\), 9개월 후 기대가치 \(E[S_T] = \$34\), \(T = 0.75\)년

\(E[S_T] = S_0 e^{\mu T}\)에서 \(\mu\)를 풉니다:

$$30 \times e^{\mu \times 0.75} = 34$$ $$e^{0.75\mu} = \frac{34}{30} = 1.1333$$ $$0.75\mu = \ln(1.1333) = 0.1252$$ $$\mu = \frac{0.1252}{0.75} = 0.1669 = 16.69\%$$

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LO 61.b: 실현수익률과 역사적 변동성 계산

5. 실현수익률(Realized Return): 기하평균(체인링크)

포트폴리오의 실현수익률을 계산할 때는 단순 산술평균이 아닌 기하평균(Geometric Return)을 사용해야 합니다. 포트폴리오 가치는 기간별 수익률의 곱셈적 누적으로 성장하기 때문입니다:

$$V_n = V_0 \times \prod_{i=1}^{n}(1 + r_i)$$ $$\bar{r}_{geo} = \left[\prod_{i=1}^{n}(1 + r_i)\right]^{1/n} - 1$$

예시 5: 실현수익률 계산

조건: 기간별 수익률 6%, 2%, 8%, −3%

$$\bar{r}_{geo} = (1.06 \times 1.02 \times 1.08 \times 0.97)^{1/4} - 1$$ $$= (1.13164)^{0.25} - 1 = 1.03155 - 1 = 0.03155 \approx 3.16\%$$

산술평균은 \((6+2+8-3)/4 = 3.25\%\)이지만, 실현수익률(기하평균)은 3.16%입니다. 기하평균은 변동성이 있을 때 항상 산술평균보다 작으며, 이 차이가 곧 변동성 드래그(Volatility Drag)입니다.

6. 역사적 변동성(Historical Volatility) 추정

역사적 변동성은 과거 가격 데이터로부터 추정한 변동성으로, BSM 모형의 입력값으로 사용할 수 있습니다. 추정 절차는 다음과 같습니다:

역사적 변동성 추정 단계:

Step 1: 가격 시계열 \(S_0, S_1, \ldots, S_n\)을 수집합니다.

Step 2: 각 기간의 연속복리수익률을 계산합니다:

$$u_i = \ln\left(\frac{S_i}{S_{i-1}}\right)$$

Step 3: 연속복리수익률의 표본 표준편차 \(s_u\)를 계산합니다.

Step 4: 연환산합니다:

$$\sigma_{ann} = s_u \times \sqrt{N}$$

여기서 \(N\)은 1년간의 거래일 수(통상 252일)입니다.

변동성의 시간 스케일링 원리는 다음과 같습니다. 짧은 기간의 변동성에 해당 기간 수의 제곱근을 곱하면 긴 기간의 변동성을 얻습니다. 예를 들어 주간 표준편차가 5%이면, 연간 표준편차는 \(5\% \times \sqrt{52} = 36.06\%\)입니다. 반대로 연간 표준편차가 36.06%이면, 주간 표준편차는 \(36.06\% / \sqrt{52} = 5\%\)입니다.

역사적 변동성 추정 시 데이터 기간은 보통 90~180 거래일이면 충분하지만, 일반적인 경험칙은 예측 기간과 동일한 과거 데이터 기간을 사용하는 것입니다. 즉, 향후 1년의 변동성을 예측하려면 과거 1년의 데이터를 사용합니다.

배당락일의 함정:

배당락일(Ex-Dividend Date)에는 배당금만큼 주가가 기계적으로 하락합니다. 이 하락을 그대로 수익률에 포함시키면 변동성이 과대추정됩니다. 따라서 역사적 변동성을 계산할 때는 배당락일의 가격 변화를 데이터셋에서 제거하거나, 총수익률(배당 재투자 포함)로 보정하는 것이 최선의 접근법입니다.

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MODULE 61.2: 블랙-숄즈-머튼 모형

LO 61.c: BSM 옵션 가격결정 모형의 기본 가정

1. BSM 모형의 도출 논리: 무차익 + 순간 복제

BSM 모형은 연속시간(Continuous Time)에서 옵션의 가치를 평가하며, 이항모형(Binomial Model)과 동일한 무차익(No-Arbitrage) 가정에서 도출됩니다. 이항모형에서는 헤지 포트폴리오가 다음 기간 동안 무위험이 되도록 설정했다면, BSM 모형에서는 다음 순간(Next Instant) 동안 무위험인 순간 무위험 포트폴리오(Instantaneously Riskless Portfolio)를 구성하여 옵션 가격을 도출합니다.

BSM 모형이 실제로 수행하는 논리적 과정은 다음과 같습니다. 옵션 \(V(S, t)\)는 주가 \(S\)에 대한 함수이므로, 주식과 현금(무위험 차입/대출)의 적절한 조합으로 옵션의 미래 현금흐름을 복제(Replicate)할 수 있습니다. 복제가 가능하다면, 복제 포트폴리오의 비용이 곧 옵션의 공정 가격이 되어야 합니다. 그렇지 않으면 차익거래 기회가 발생하기 때문입니다.

2. BSM의 7가지 핵심 가정

BSM 모형의 가정들은 단순한 암기 대상이 아니라, 공식을 닫힌 형태(Closed-Form)로 존재하게 만드는 필수 조건들입니다. 각 가정이 왜 필요한지를 함께 이해해야 시험에서 변형 문제에 대응할 수 있습니다.

가정	내용	가정의 역할
1. 로그정규 주가	기초자산 가격이 로그정규분포를 따름 (연속수익률이 정규분포)	기하 브라운 운동(GBM)으로 이어져 확률미분방정식을 풀 수 있게 함
2. 상수 무위험이자율	(연속복리) 무위험이자율이 상수이고 알려져 있으며, 차입/대출에 항상 이용 가능	할인인자 \(e^{-rT}\)가 단순해짐
3. 연속 거래	거래가 연속적으로 이루어짐	복제 포트폴리오를 매 순간 조정(리밸런싱) 가능
4. 상수 변동성	기초자산의 변동성이 상수이고 알려져 있음	편미분방정식(PDE)의 계수가 상수가 되어 닫힌 해 존재
5. 무마찰 시장	세금, 거래비용, 공매도 제한 없음	복제 전략이 이론상 완벽히 실행 가능
6. 무현금흐름	기초자산에 배당이나 이자 지급 없음	현금흐름이 없으면 복제식이 단순(Module 61.3에서 이완)
7. 유럽형 옵션	옵션은 만기에만 행사 가능	조기행사 문제(자유경계)를 제거하여 닫힌 해 가능

시험 출제 함정:

BSM의 가정에서 가장 자주 출제되는 함정은 "연속복리수익률은 로그정규분포를 따른다"는 오답 선택지입니다. 올바른 표현은 "기초자산의 가격이 로그정규분포를 따르고, 연속복리수익률은 정규분포를 따른다"입니다. 이 두 문장을 뒤바꾸는 선택지가 매우 빈번하게 등장합니다.

3. 가장 중요한 개념적 전환: 물리확률 \(\mu\)가 옵션 가격에서 사라진다

BSM 모형의 콜/풋 가격 공식에는 주식의 기대수익률 \(\mu\)가 어디에도 나타나지 않습니다. 이것은 단순한 수학적 우연이 아니라, 옵션 가격결정의 근본 철학에서 비롯됩니다.

옵션 가격은 "주가가 미래에 얼마가 될 것 같은가"(기대값, 통계의 문제)가 아니라, "옵션의 현금흐름을 복제하는 데 비용이 얼마인가"(무차익, 복제의 문제)로 결정됩니다. 복제가 가능하면, 투자자들이 주식에 대해 요구하는 위험 프리미엄(\(\mu - r\))은 주식 자체의 가격 문제이지, 옵션의 무차익 가격과는 분리됩니다.

결과적으로 BSM은 위험중립측도(Risk-Neutral Measure)에서 주가의 기대 성장률을 \(\mu\)가 아닌 \(r\)(무위험이자율)로 대체하여 계산합니다. 이것이 공식에 \(r\)만 들어가고 \(\mu\)는 사라지는 이유입니다.

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LO 61.d: BSM 모형을 이용한 유럽형 옵션 가격 계산

4. BSM 공식의 구조

유럽형 콜옵션: $$c = S_0 N(d_1) - X e^{-rT} N(d_2)$$ 유럽형 풋옵션: $$p = X e^{-rT} N(-d_2) - S_0 N(-d_1)$$ 여기서: $$d_1 = \frac{\ln(S_0 / X) + (r + \sigma^2 / 2)T}{\sigma\sqrt{T}}$$ $$d_2 = d_1 - \sigma\sqrt{T}$$

각 항의 금융적 의미를 이해하면 공식 암기가 훨씬 수월합니다:

BSM 콜 공식의 두 항 해석:

항	수식	금융적 의미
첫째 항	\(S_0 N(d_1)\)	"주식을 \(N(d_1)\)주 보유한 것과 같은 효과." \(N(d_1)\)은 콜 델타(Delta)로, 현재 시점에서 옵션을 복제하기 위해 보유해야 할 주식 수입니다.
둘째 항	\(X e^{-rT} N(d_2)\)	"행사가격을 만기에 지불할 확률만큼 할인한 금액." \(N(d_2)\)는 위험중립측도 하에서 옵션이 만기에 내가격(ITM)이 될 확률입니다.

따라서 콜 가격 = "받을 것의 현재가치" − "지불할 것의 현재가치"로 읽을 수 있습니다.

5. 풋-콜 패리티(Put-Call Parity)

BSM이 유럽형 옵션을 대상으로 하므로, 콜과 풋 사이에는 풋-콜 패리티라는 무차익 관계가 항상 성립합니다:

풋-콜 패리티 (연속복리): $$c + X e^{-rT} = p + S_0$$

또는 동등하게:

$$c - p = S_0 - X e^{-rT}$$

이 관계의 본질은 일물일가(Law of One Price)입니다. "콜 + 할인된 행사가격 채권"과 "풋 + 주식"은 만기에 완전히 동일한 현금흐름을 생성하므로, 현재 가격도 같아야 합니다. 따라서 콜 가격을 알면 풋 가격을 바로 구할 수 있고, 그 반대도 가능합니다.

6. BSM 계산의 체계적 절차

시험에서 BSM 가격 계산 문제는 항상 동일한 흐름을 따릅니다. 이 절차를 체계화하면 실수를 줄일 수 있습니다:

BSM 계산 6단계:

Step 1: \(\sigma\sqrt{T}\)를 먼저 계산합니다 (이 값이 \(d_1\)과 \(d_2\) 모두에 사용됨)

Step 2: \(\ln(S_0/X)\)를 계산합니다

Step 3: 분자 \(\ln(S_0/X) + (r + \sigma^2/2)T\)를 계산합니다

Step 4: \(d_1 = \text{분자} / \sigma\sqrt{T}\), 그리고 \(d_2 = d_1 - \sigma\sqrt{T}\)

Step 5: 정규분포표에서 \(N(d_1)\), \(N(d_2)\) (또는 \(N(-d_1)\), \(N(-d_2)\))를 조회합니다

Step 6: BSM 공식에 대입합니다

예시 6: Vola 주식 유럽형 콜옵션 가격 계산

조건: \(S_0 = \$50\), \(X = \$45\), \(r = 5\%\), \(T = 0.25\)년(3개월), \(\sigma = 12\%\)

Step 1: \(\sigma\sqrt{T} = 0.12 \times \sqrt{0.25} = 0.12 \times 0.5 = 0.06\)

Step 2: \(\ln(50/45) = \ln(1.1111) = 0.10536\)

Step 3: \(0.10536 + (0.05 + 0.0072) \times 0.25 = 0.10536 + 0.01430 = 0.11966\)

Step 4:

$$d_1 = \frac{0.11966}{0.06} = 1.9943$$ $$d_2 = 1.9943 - 0.06 = 1.9343$$

Step 5: 정규분포표에서 \(N(d_1) = N(1.99) = 0.9767\), \(N(d_2) = N(1.93) = 0.9732\)

Step 6:

$$c = 50 \times 0.9767 - 45 \times e^{-0.05 \times 0.25} \times 0.9732$$ $$= 48.835 - 45 \times 0.98758 \times 0.9732$$ $$= 48.835 - 43.244 = \$5.59$$

예시 7: 풋-콜 패리티로 풋옵션 가격 계산

위 예시에서 콜 가격이 \$5.59일 때, 동일 조건의 풋 가격은:

$$p = c + X e^{-rT} - S_0 = 5.59 + 45 \times 0.98758 - 50$$ $$= 5.59 + 44.44 - 50 = \$0.03$$

이 풋은 깊은 외가격(Deep OTM)이므로 가격이 매우 낮습니다.

예시 8: 전형적 시험 문제 — 풋/콜 가격 계산

조건: \(S_0 = \$50\), \(X = \$45\), \(r = 5\%\), \(T = 1\)년, \(\sigma = 25\%\)

\(\sigma\sqrt{T} = 0.25 \times 1 = 0.25\)

$$d_1 = \frac{\ln(50/45) + (0.05 + 0.03125) \times 1}{0.25} = \frac{0.10536 + 0.08125}{0.25} = \frac{0.18661}{0.25} = 0.74644$$ $$d_2 = 0.74644 - 0.25 = 0.49644$$

정규분포표에서: \(N(d_1) = N(0.75) \approx 0.7731\), \(N(d_2) = N(0.50) \approx 0.6915\)

콜 가격:

$$c = 50 \times 0.7731 - 45 \times e^{-0.05} \times 0.6915 = 38.655 - 42.805 \times 0.6915 = 38.655 - 29.600 = \$9.06$$

풋 가격 (풋-콜 패리티):

$$p = 9.06 + 45 \times e^{-0.05} - 50 = 9.06 + 42.805 - 50 = \$1.87 \approx \$1.88$$

또는 BSM 풋 공식 직접 사용: \(N(-d_1) = 1 - 0.7731 = 0.2269\), \(N(-d_2) = 1 - 0.6915 = 0.3085\)

$$p = 45 \times e^{-0.05} \times 0.3085 - 50 \times 0.2269 = 42.805 \times 0.3085 - 11.345 = 13.206 - 11.345 = \$1.86 \approx \$1.88$$

예시 9: 풋-콜 패리티 직접 활용

조건: \(S = \$40\), \(X = \$42\), \(r = 3\%\), \(T = 0.25\), \(c = \$2.49\)

$$p = c + X e^{-rT} - S = 2.49 + 42 \times e^{-0.03 \times 0.25} - 40$$ $$= 2.49 + 42 \times 0.99252 - 40 = 2.49 + 41.686 - 40 = \$4.18$$

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MODULE 61.3: 배당, 워런트, 내재변동성

LO 61.g: 배당주, 선물, 통화에 대한 BSM 모형 조정

1. 연속배당수익률 \(q\)에 의한 조정

BSM 기본 모형의 "기초자산에 현금흐름이 없다"는 가정을 이완하기 위해, 선물/선도 가격결정에서 기대 현금흐름의 현재가치를 자산 가격에서 차감했던 것과 동일한 논리를 적용합니다. 연속복리 배당수익률이 \(q\)인 경우, BSM 공식에서 \(S_0\)를 \(S_0 e^{-qT}\)로 대체합니다.

배당 조정 BSM 공식 (콜): $$c = S_0 e^{-qT} N(d_1) - X e^{-rT} N(d_2)$$ $$d_1 = \frac{\ln(S_0 / X) + (r - q + \sigma^2 / 2)T}{\sigma\sqrt{T}}, \quad d_2 = d_1 - \sigma\sqrt{T}$$ 풋-콜 패리티 (배당 조정): $$c - p = S_0 e^{-qT} - X e^{-rT}$$

배당의 효과는 직관적입니다. 배당은 주가를 "아래로 끌어내리는 힘"이므로, 주가 상승에 베팅하는 콜옵션의 가치는 하락하고, 주가 하락에 베팅하는 풋옵션의 가치는 상승합니다.

예시 10: 연속배당이 있는 Vola 주식 콜옵션

조건: \(S_0 = \$50\), \(X = \$45\), \(r = 5\%\), \(T = 0.25\), \(\sigma = 12\%\), \(q = 2\%\) (연속배당수익률)

조정된 주가:

$$S_0^{adj} = 50 \times e^{-0.02 \times 0.25} = 50 \times e^{-0.005} = 50 \times 0.99501 = \$49.75$$

조정된 주가로 \(d_1\), \(d_2\)를 재계산하고, 정규분포표에서 \(N(d_1) = 0.9719\), \(N(d_2) = 0.9678\)을 얻으면:

$$c = 49.75 \times 0.9719 - 45 \times e^{-0.05 \times 0.25} \times 0.9678$$ $$= 48.352 - 44.441 \times 0.9678 = 48.352 - 43.012 = \$5.34$$

배당이 없을 때의 콜 가격 \$5.59와 비교하면, 2% 배당으로 인해 \$0.25 감소했습니다.

2. 고정금액 배당의 경우

배당이 연속수익률이 아니라 특정 시점의 고정금액으로 주어지는 경우(예: "2개월 후 $1, 5개월 후 $1"), 조정 방법이 다릅니다. 각 배당의 현재가치(PV)를 구하여 주가에서 차감합니다:

$$S_0^{adj} = S_0 - PV(\text{Dividends}) = S_0 - \sum_{i} D_i \cdot e^{-r \cdot t_i}$$

그리고 나서 조정된 \(S_0^{adj}\)로 표준 BSM 공식을 수행합니다.

예시 11: 고정금액 배당이 있는 주식의 옵션 가격

조건: \(S_0 = \$100\), \(X = \$100\)(등가격), \(\sigma = 20\%\), \(r = 7\%\), \(T = 0.5\)년, 2개월 후 $1 배당, 5개월 후 $1 배당

배당의 현재가치:

$$PV(D_1) = 1 \times e^{-0.07 \times 2/12} = e^{-0.01167} = 0.9884$$ $$PV(D_2) = 1 \times e^{-0.07 \times 5/12} = e^{-0.02917} = 0.9713$$ $$S_0^{adj} = 100 - 0.9884 - 0.9713 = \$98.04$$

이제 \(S_0 = 98.04\), \(X = 100\), \(\sigma = 20\%\), \(r = 7\%\), \(T = 0.5\)로 BSM을 적용합니다:

$$d_1 = \frac{\ln(98.04/100) + (0.07 + 0.02) \times 0.5}{0.20\sqrt{0.5}} = \frac{-0.01980 + 0.045}{0.14142} = \frac{0.02520}{0.14142} = 0.1782$$ $$d_2 = 0.1782 - 0.14142 = 0.0368$$

정규분포표: \(N(0.18) \approx 0.5714\), \(N(0.04) \approx 0.5160\)

$$c = 98.04 \times 0.5714 - 100 \times e^{-0.035} \times 0.5160$$ $$= 56.02 - 96.56 \times 0.5160 = 56.02 - 49.82 = \$6.20$$

배당이 없을 때의 콜 가격 \$7.43보다 \$1.23 감소했습니다. 배당은 주가를 낮추므로 콜 가치를 줄이고 풋 가치를 높입니다.

3. 통화옵션(Foreign Currency Options)

외환 옵션에서는 외국 통화를 보유하면 해당 통화의 무위험이자율 \(r_f\)만큼의 수익을 얻게 됩니다. 이것은 연속배당수익률과 경제적으로 동일한 역할을 합니다. 따라서 BSM 공식에서 \(q\) 자리에 \(r_f\)를 대입하면 됩니다:

$$S_0 e^{-qT} \rightarrow S_0 e^{-r_f T}$$

나머지 공식 구조는 연속배당과 완전히 동일합니다.

4. 선물옵션: Black's Model

선물은 이미 보유비용(Cost of Carry)이 반영된 미래 가격이므로, BSM에서 \(S_0\)를 선물가격 \(F\)로, \(q\)를 국내 무위험이자율 \(r\)로 대체합니다. 결과적으로 Black's Model이 됩니다:

Black's Model (콜): $$c = e^{-rT}\left[F \cdot N(d_1) - X \cdot N(d_2)\right]$$ $$d_1 = \frac{\ln(F/X) + \frac{1}{2}\sigma^2 T}{\sigma\sqrt{T}}, \quad d_2 = d_1 - \sigma\sqrt{T}$$

여기서 \(\sigma\)는 선물가격의 변동성을 사용합니다.

BSM 조정 요약표 (시험 필수 암기):

기초자산	\(S_0\) 대신	\(q\) 대신	비고
배당 없는 주식	\(S_0\) (변경 없음)	\(q = 0\)	기본 BSM
연속배당 주식	\(S_0 e^{-qT}\)	\(q\) = 연속배당수익률	배당이 주가를 낮춤
고정배당 주식	\(S_0 - PV(D)\)	—	배당 PV를 주가에서 차감
외환(통화)	\(S_0 e^{-r_f T}\)	\(q = r_f\) (외국이자율)	외국이자율이 배당 역할
선물 (Black's Model)	\(F\) (선물가격)	\(q = r\) (국내이자율)	전체를 \(e^{-rT}\)로 할인

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LO 61.f: 배당이 미국형 옵션의 조기행사 의사결정에 미치는 영향

5. 배당 없는 경우: 미국형 콜 = 유럽형 콜

배당이 없을 때 미국형 콜옵션을 조기행사할 유인은 없습니다. 그 이유는 미행사 상태의 콜 가치 \(S_0 - Xe^{-rT}\)가 항상 행사 가치 \(S_0 - X\)보다 크기 때문입니다. \(Xe^{-rT} < X\)이므로 \(S_0 - Xe^{-rT} > S_0 - X\)가 항상 성립합니다. 즉, 조기행사하면 행사가격의 시간가치(이자)를 포기하게 되므로 손해입니다.

6. 배당이 있는 경우: 조기행사 유인이 발생

주식이 배당 \(D\)를 시점 \(t_n\)에 지급하면, 상황이 달라집니다. 배당락일에 주가는 배당금만큼 하락하므로, 콜옵션 보유자는 "배당락 전에 행사해서 주식을 보유하면 배당을 받을 수 있다"는 유인을 갖게 됩니다.

미국형 콜옵션의 조기행사 의사결정:

만기 전 마지막 배당일 \(t_n\)에서:

행사 가치 = \(S_{t_n} - X\) (주식을 받고 배당도 수령)

미행사 가치 ≈ \(S_{t_n} - D - Xe^{-r(T-t_n)}\) (배당 지급 후 주가 하락 반영)

조기행사가 최적인 조건:

$$D > X\left(1 - e^{-r(T-t_n)}\right)$$

즉, 배당이 충분히 크고(행사가격의 이자비용보다 큰 배당), 만기까지의 시간이 짧을수록(시간가치 손실이 작을수록) 조기행사가 합리적입니다.

미국형 풋옵션은 반대:

배당이 클수록 풋옵션의 가치는 상승합니다(배당이 주가를 낮추므로). 따라서 배당이 커질수록 조기행사의 매력이 감소합니다. 풋을 계속 보유하면 배당 지급에 의한 주가 하락으로 풋 가치가 더 올라가기 때문입니다.

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LO 61.h: 워런트의 가치 평가와 희석 비용

7. 워런트(Warrant)란 무엇인가

워런트(Warrant)는 채권 발행 시 첨부되는 부속물로, 보유자에게 정해진 가격에 주식을 매수할 권리를 부여합니다. 채권 매입 후 워런트는 독립적으로 행사하거나, 채권에서 분리하여 다른 투자자에게 매각할 수 있습니다. 따라서 워런트는 기업 주식에 대한 별도의 콜옵션으로 가치를 평가할 수 있습니다.

8. 워런트와 콜옵션의 핵심 차이: 희석(Dilution)

콜옵션과 워런트의 결정적 차이는 다음과 같습니다:

구분	콜옵션	워런트
행사 시	기존 주주들 사이에서 주식이 거래됨	회사가 새 주식을 발행하여 워런트 보유자에게 지급
발행주식 수	변동 없음	증가
주당가치 영향	없음	행사가격이 시장가격보다 낮으므로 희석(Dilution) 발생

워런트 가치 계산:

기존 발행주식 수 \(N\), 워런트 수 \(M\), 동일 조건의 일반 콜옵션 가치 \(c\)일 때:

$$w = \frac{N}{N + M} \times c$$ 워런트 발행으로 인한 기존 주가 하락: $$\Delta S = \frac{M}{N + M} \times c$$

\(N/(N+M)\) 계수가 1보다 작으므로, 워런트 가치는 동일 조건의 콜옵션 가치보다 항상 작습니다. 이는 희석 효과를 반영한 것입니다. 총 워런트 발행 비용은 \(M \times w\)이며, 시장에서 워런트 발행의 특별한 이점이 없다고 가정하면 이 비용은 기존 주주의 부에서 차감됩니다.

예시 12: 워런트 가치와 주가 희석

조건: 발행주식 \(N = 3\)백만 주, 현재가 \(S = \$42\), 워런트 \(M = 1\)백만 개 (행사가 \$45, 1년 만기), 동일 조건 유럽형 콜 가격 \(c = \$2.12\)

워런트 1개의 가치:

$$w = \frac{3{,}000{,}000}{3{,}000{,}000 + 1{,}000{,}000} \times 2.12 = \frac{3}{4} \times 2.12 = \$1.59$$

총 워런트 발행 비용: \(1{,}000{,}000 \times 1.59 = \$1.59\)백만

기존 주가 하락폭:

$$\Delta S = \frac{1{,}000{,}000}{4{,}000{,}000} \times 2.12 = 0.25 \times 2.12 = \$0.53$$

워런트 발행 후 기대 주가: \(42.00 - 0.53 = \$41.47\)

워런트는 회사가 시장가격보다 유리한 가격(행사가격)으로 새 주식을 발행하는 효과가 있으므로, 그 가치가 기존 주주의 부에서 이전됩니다.

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LO 61.e: 내재변동성(Implied Volatility)의 정의와 추정

9. 역사적 변동성 vs. 내재변동성

BSM 모형의 5가지 입력값 중 4가지(—주가 \(S_0\), 행사가격 \(X\), 무위험이자율 \(r\), 만기 \(T\)—)는 시장에서 직접 관측할 수 있습니다. 유일하게 관측할 수 없는 입력값이 변동성 \(\sigma\)입니다.

역사적 변동성(Historical Volatility)은 과거 가격 데이터의 연속복리수익률 표준편차로 계산한 것으로, 미래 변동성의 추정치로 사용할 수 있지만 항상 현재 시장 상황을 대표하지는 않습니다.

내재변동성(Implied Volatility)은 시장에서 관측된 옵션 가격에 내재된 변동성입니다. 즉, BSM 모형에 나머지 4개 관측 가능한 입력값과 시장 옵션 가격을 넣었을 때, 공식을 만족시키는 \(\sigma\) 값입니다.

내재변동성 추정의 핵심 특징:

• 옵션 가치와 변동성은 양의 관계(단조증가)입니다. 변동성이 높을수록 옵션 가치가 커집니다.
• 변동성은 BSM 공식에 복잡한 방식으로 들어가므로(exponential과 정규분포 함수 안에 중첩), 닫힌 형태의 역함수가 존재하지 않습니다.
• 따라서 내재변동성은 반복법(Iteration, Trial and Error)으로 찾아야 합니다. 초기값을 넣어 BSM 가격을 계산하고, 시장 가격보다 낮으면 \(\sigma\)를 올리고, 높으면 내려서 수렴시킵니다.

10. 변동성 스마일(Volatility Smile)과 변동성 표면(Volatility Surface)

BSM 모형은 변동성이 상수라고 가정하지만, 현실에서 내재변동성은 행사가격에 따라 달라집니다. 내재변동성을 행사가격에 대해 그래프로 그리면 변동성 스마일(Volatility Smile)이라고 불리는 U자형 곡선이 나타납니다. 이는 BSM의 "상수 변동성" 가정이 현실에서 깨진다는 증거입니다.

변동성 표면(Volatility Surface)은 행사가격과 만기를 두 축으로, 내재변동성을 세 번째 축으로 하는 3차원 표면입니다. 실무자들은 이 변동성 표면을 관찰하여 시장이 내포하는 위험 인식을 파악하고, 옵션 포지션의 가격결정 및 헤지에 활용합니다.

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MODULE QUIZ

Module Quiz 61.1

문제 1. XYZ 주식의 현재가는 $30이고 9개월 후 기대가치는 $34입니다. 연 기대수익률에 가장 가까운 것은?

A. 11.76%
B. 12.52%
C. 13.33%
D. 16.69%

문제 2. 포트폴리오의 기간별 수익률이 6%, 2%, 8%, −3%일 때, 실현 수익률은?

A. 3.16%
B. 3.25%
C. 4.72%
D. 4.75%

Module Quiz 61.2

문제 1. 다음 중 BSM 옵션 가격결정 모형의 기본 가정이 아닌 것은?

A. 기초자산은 현금흐름을 발생시키지 않는다.
B. 연속복리수익률은 로그정규분포를 따른다.
C. 옵션은 만기에만 행사할 수 있다.
D. 무위험이자율은 상수이다.

문제 2. 유럽형 풋옵션의 조건: \(S_0 = \$50\), \(X = \$45\), \(r = 5\%\), \(T = 1\)년, \(\sigma = 25\%\). 풋옵션 가치에 가장 가까운 것은?

A. $1.88
B. $3.28
C. $9.06
D. $10.39

문제 3. 유럽형 콜옵션의 조건: \(S_0 = \$50\), \(X = \$45\), \(r = 5\%\), \(T = 1\)년, \(\sigma = 25\%\). 콜옵션 가치에 가장 가까운 것은?

A. $1.88
B. $3.28
C. $9.06
D. $10.39

문제 4. 주식이 $40에 거래됩니다. 행사가격 $42인 3개월 콜의 프리미엄이 $2.49이고 무위험이자율이 3%입니다. 풋-콜 패리티에 의한 풋의 가치는?

A. $1.89
B. $3.45
C. $4.18
D. $6.03

문제 5. ABC 주식이 $60에 거래되고, 행사가격 $60인 1년 만기 콜과 풋이 있습니다. 연 표준편차 추정치 10%, 연속복리 무위험이자율 5%. BSM 모형에 의한 콜과 풋의 가치에 가장 가까운 것은?

	콜	풋
A	$2.21	$4.13
B	$4.09	$4.13
C	$5.19	$2.27
D	$5.19	$4.13

Module Quiz 61.3

문제 1. BSM 모형에서 내재변동성에 관한 다음 설명 중 가장 정확한 것은?

A. 변동성은 행사가격에 관계없이 일정하다.
B. 변동성은 역사적 데이터를 사용할 때 가장 정확하게 적용된다.
C. 변동성 추정 과정은 최대 2단계를 거친다.
D. 변동성은 BSM 시장가격과 다른 입력값을 사용하여 도출되는 경우가 많다.

문제 2. 무배당 주식의 콜옵션 가치와 비교하여, 옵션 기간 중 배당이 예상되는 동일 주식의 콜옵션은:

A. 모든 경우에 더 낮은 가치
B. 모든 경우에 더 높은 가치
C. 미국형인 경우에만 더 낮은 가치
D. 미국형인 경우에만 더 높은 가치

문제 3. 현재 주가 $35, 연속복리 배당수익률 2.5%. 행사가격 $33인 6개월 콜옵션이 있을 때, BSM에 사용할 조정된 주가는?

A. $30.12
B. $32.59
C. $34.57
D. $35.44

문제 4. ABC 주식은 300만 주가 발행되어 각 $42에 거래 중입니다. ABC는 행사가격 $45, 1년 만기 워런트 100만 개 발행을 검토 중입니다. 현재 1년 유럽형 콜 가치가 $2.12일 때, 워런트 발행 공시 후 기대 주가(발행 이점 없다고 가정)에 가장 가까운 것은?

A. $40.41
B. $41.47
C. $42.53
D. $43.59

정답 및 해설

문제	정답	해설
61.1-1	D	\(30 e^{\mu \times 0.75} = 34\). \(\mu = \ln(34/30)/0.75 = 0.1252/0.75 = 0.1669 = 16.69\%\)
61.1-2	A	\((1.06 \times 1.02 \times 1.08 \times 0.97)^{1/4} - 1 = (1.1316)^{0.25} - 1 = 3.16\%\)
61.2-1	B	BSM 가정: 자산 가격이 로그정규분포. 연속복리수익률은 정규분포(로그정규가 아님). 선택지 B가 오류.
61.2-2	A	\(d_1 = 0.7464\), \(d_2 = 0.4964\). \(N(-d_1) = 0.2266\), \(N(-d_2) = 0.3085\). \(p = 45e^{-0.05}(0.3085) - 50(0.2266) = \$1.88\)
61.2-3	C	\(N(d_1) = 0.7731\), \(N(d_2) = 0.6915\). \(c = 50(0.7731) - 45e^{-0.05}(0.6915) = \$9.06\)
61.2-4	C	\(p = 2.49 + 42e^{-0.03 \times 0.25} - 40 = 2.49 + 41.686 - 40 = \$4.18\)
61.2-5	C	\(d_1\), \(d_2\) 계산 후 \(N(d_1) = 0.7088\), \(N(d_2) = 0.6736\). 콜 = \$5.19, 패리티로 풋 = \$2.27
61.3-1	D	내재변동성은 시장가격과 BSM의 관측가능한 4개 입력값으로부터 반복법으로 도출. 행사가에 따라 달라지며(스마일), 역사적 데이터보다 시장 정보를 반영.
61.3-2	A	배당은 주가를 낮추므로, 유럽형이든 미국형이든 콜옵션 가치는 모든 경우에 하락합니다.
61.3-3	C	\(S_0^{adj} = 35 \times e^{-0.025 \times 0.5} = 35 \times 0.98758 = \$34.57\)
61.3-4	B	워런트 가치: \(\frac{3M}{4M} \times 2.12 = 1.59\). 주가 하락: \(\frac{1M}{4M} \times 2.12 = 0.53\). 주가 = \(42 - 0.53 = \$41.47\)

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KEY CONCEPTS (핵심 개념 정리)

LO 61.a 핵심

• BSM 모형은 장기 주가가 로그정규분포를 따르고, 주식 수익률(로그수익률)은 정규분포를 따른다고 가정
• 로그수익률: \(R_T \sim N\left((\mu - \sigma^2/2)T,\; \sigma^2 T\right)\)
• 연환산 평균수익률의 표준편차: \(\sigma/\sqrt{T}\) → 기간이 길수록 감소
• 기대주가: \(E[S_T] = S_0 e^{\mu T}\)

LO 61.b 핵심

• 실현수익률은 기하평균(체인링크)으로 계산: \(\bar{r} = \left[\prod(1+r_i)\right]^{1/n} - 1\)
• 역사적 변동성 = 연속복리수익률의 표본 표준편차 \(\times \sqrt{N}\) (N = 연간 거래일)
• 배당락일의 가격 변화는 변동성 추정에서 제거해야 함

LO 61.c 핵심

• BSM 7대 가정: 로그정규 주가, 상수 무위험이자율, 연속 거래, 상수 변동성, 무마찰 시장, 무현금흐름, 유럽형 옵션
• 자산 가격이 로그정규 (수익률이 로그정규가 아님 — 시험 함정!)

LO 61.d 핵심

• 콜: \(c = S_0 N(d_1) - Xe^{-rT}N(d_2)\)
• 풋: \(p = Xe^{-rT}N(-d_2) - S_0 N(-d_1)\)
• 풋-콜 패리티: \(c + Xe^{-rT} = p + S_0\)
• \(N(d_1)\) = 콜 델타(복제비율), \(N(d_2)\) = 위험중립 ITM 확률
• 현금흐름은 콜 가격을 낮추고 풋 가격을 높임

LO 61.e 핵심

• 역사적 변동성: 과거 연속복리수익률의 표준편차
• 내재변동성: BSM 공식에서 시장가격을 만족시키는 \(\sigma\), 닫힌 해 없이 반복법으로 추정
• 옵션 가치와 변동성은 양의 관계: \(\sigma\uparrow \Rightarrow c,p \uparrow\)
• 행사가격별 내재변동성 차이 → 변동성 스마일/표면

LO 61.f 핵심

• 배당 없음 → 미국형 콜 = 유럽형 콜 (조기행사 유인 없음)
• 배당 있음 → 배당이 크고 만기가 가까울수록 미국형 콜의 조기행사가 최적이 될 수 있음
• 미국형 풋: 배당이 클수록 조기행사의 매력 감소

LO 61.g 핵심

• 연속배당: \(S_0\) → \(S_0 e^{-qT}\)
• 통화옵션: \(q\) → \(r_f\) (외국 무위험이자율)
• 선물옵션(Black's Model): \(S_0\) → \(F\), \(q\) → \(r\)
• 고정배당: \(S_0\) → \(S_0 - PV(D)\)

LO 61.h 핵심

• 워런트 = 회사 발행 콜옵션이지만, 행사 시 신주 발행으로 희석 발생
• 워런트 가치: \(w = \frac{N}{N+M} \times c\)
• 주가 하락: \(\Delta S = \frac{M}{N+M} \times c\)

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시험 대비 한 줄 암기 체크리스트

주제	암기 포인트
분포 구분	주가 = 로그정규, 연속복리수익률 = 정규 (반대로 쓰면 함정!)
로그수익률 평균	\(\mu - \sigma^2/2\) (Jensen 보정항 \(-\sigma^2/2\) 빼먹지 말 것)
기대주가	\(E[S_T] = S_0 e^{\mu T}\) (보정항이 복원되어 \(\mu\) 그대로 사용)
실현수익률	기하평균, 산술평균이 아님
변동성 스케일링	\(\sigma_{ann} = \sigma_{daily} \times \sqrt{252}\)
BSM 핵심 가정 함정	"수익률이 로그정규"는 오답 ("가격이 로그정규"가 정답)
\(\mu\) 부재	BSM 공식에 기대수익률 \(\mu\)는 나타나지 않음 (무차익/복제 논리)
풋-콜 패리티	\(c + Xe^{-rT} = p + S_0\) (배당 시 \(S_0 \rightarrow S_0 e^{-qT}\))
배당과 옵션	배당 ↑ ⇒ 콜 ↓, 풋 ↑
연속배당 조정	\(S_0 e^{-qT}\)를 \(S_0\) 대신 사용
고정배당 조정	\(S_0 - PV(D)\)를 \(S_0\) 대신 사용
통화옵션	\(q = r_f\) (외국이자율이 배당수익률 역할)
Black's Model	\(S_0 \rightarrow F\), \(q \rightarrow r\), \(d_1\)에서 \(r\) 항 소멸
미국형 콜 조기행사	배당이 크고 만기가 가까울수록 최적
워런트	\(w = \frac{N}{N+M} \times c\), 주가 하락 = \(\frac{M}{N+M} \times c\)
내재변동성	닫힌 해 없음, 반복법(시행착오)으로 추정, 옵션가치와 양의 관계
변동성 스마일	내재변동성이 행사가격에 따라 달라짐 → BSM 상수 변동성 가정의 현실 위반
\(T\) 변환 실수	3개월=0.25, 6개월=0.5, 9개월=0.75 (년 단위 변환 반드시 확인)

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