게임과 마틴게일 이론 (Martingale Theory in Games)

1. 게임의 수학적 정의

n번째 게임에서 단위 판돈(unit stake) 당 이익 또는 손실을 나타내는 적분 가능한(integrable) 확률 변수(random variable)의 수열을 $\xi_1, \xi_2, ..., \xi_n$이라고 정의합니다.
총상금 (Total Winning): n번의 게임 후 총상금은 $S_n = \xi_1 + \xi_2 + ... + \xi_n$ 입니다.
정보 (Filtration): n번째 게임까지의 정보는 $F_n = \sigma(\xi_1, ..., \xi_n)$ 으로 표현됩니다.
초기 조건: $S_0 = 0, F_0 = \{\emptyset, \Omega\}$ 입니다.

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2. 게임의 공정성 (Fairness of a Game)

공정한 게임 (Fair Game): 만약 $E(\xi_n | F_{n-1}) = 0$ 이라면, 이는 $E(S_n | F_{n-1}) = S_{n-1}$ 과 같습니다. 즉, 다음 단계의 기대 자산이 현재 자산과 동일합니다.
유리한 게임 (Favorable Game / Submartingale): $E(S_n | F_{n-1}) \ge S_{n-1}$ 일 때, 게임은 플레이어에게 유리합니다.
불리한 게임 (Unfavorable Game / Supermartingale): $E(S_n | F_{n-1}) \le S_{n-1}$ 일 때, 게임은 플레이어에게 불리합니다.

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3. 도박 전략 (Gambling Strategy)

판돈 (Stake): $\alpha_n$은 n번째 게임에 거는 판돈을 의미합니다.
예측 가능성 (Predictability): $\alpha_n$은 n번째 게임 시작 전, 즉 $(n-1)$ 시점까지의 정보($F_{n-1}$)에만 의존하여 결정되어야 합니다. 따라서 $\alpha_n$은 $F_{n-1}$-measurable 하며, 이를 predictable 하다고 합니다.
정의: 도박 전략 (Gambling Strategy) $\alpha_1, \alpha_2, ...$는 각 $\alpha_n$이 $F_{n-1}$-measurable인 확률 변수의 수열입니다. (단, $F_0 = \{\emptyset, \Omega\}$)

(슈퍼/서브)마팅게일 의 정의 및 성질

1. 공식 정의

확률 과정(stochastic process) $S_1, S_2, ...$가 여과(filtration) $F_1, F_2, ...$에 대해 슈퍼마틴게일(supermartingale) 또는 서브마틴게일(submartingale)이라는 것은 다음 세 조건을 만족하는 것을 의미합니다.
적분 가능성 (Integrability): 모든 n에 대해 $S_n$은 적분 가능합니다. ($E(|S_n|) < \infty$)
적응성 (Adaptedness): 모든 n에 대해 $S_n$은 $F_n$-measurable 입니다.
조건부 기댓값 (Conditional Expectation):
슈퍼마틴게일: $E(S_{n+1} | F_n) \le S_n$
서브마틴게일: $E(S_{n+1} | F_n) \ge S_n$

2. 기댓값의 성질

전체 기댓값의 법칙(Law of Total Expectation)에 의해 다음이 성립합니다.
슈퍼마틴게일:
$$E(S_{n+1} | F_n) \le S_n \implies E(S_{n+1}) = E[E(S_{n+1} | F_n)] \le E(S_n)$$
따라서 $E(S_{n+1}) \le E(S_n)$ 입니다.
서브마틴게일:
$$E(S_{n+1} | F_n) \ge S_n \implies E(S_{n+1}) = E[E(S_{n+1} | F_n)] \ge E(S_n)$$
따라서 $E(S_{n+1}) \ge E(S_n)$ 입니다.

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예제 1: 마틴게일의 제곱

$S_n$이 $F_n$에 대한 마틴게일이고, Square Integrable ($E(|S_n|^2) = \int_{\Omega} |S_n|^2 dP < \infty$) 하다고 가정합시다. 이때 $S_n^2$은 동일한 $F_n$에 대한 서브마틴게일임을 보이시오.
증명 (Pf):
적응성: $S_n$은 $F_n$-measurable 이고, $f(x)=x^2$ 는 보렐 함수(Borel function)이므로 $S_n^2$ 또한 $F_n$-measurable 입니다.
적분 가능성: $S_n$이 square integrable 하므로 $E(|S_n^2|) < \infty$, 즉 integrable 조건을 만족합니다.
서브마틴게일 조건: $S_n$이 마틴게일이므로 $E(S_{n+1}|F_n) = S_n$ 입니다. 함수 $f(x)=x^2$는 볼록 함수(convex)이므로 옌센 부등식(Jensen's inequality)을 적용하면,
$$S_n^2 = (E(S_{n+1} | F_n))^2 \le E(S_{n+1}^2 | F_n)$$
따라서 $S_n^2$은 서브마틴게일입니다.

예제 2: 대칭 랜덤 워크 (Symmetric Random Walk)

$S_n = \xi_1 + \xi_2 + ... + \xi_n$ 이고, 각 $\xi_i \in \{1, -1\}$ 인 대칭 랜덤 워크를 가정합시다. 이때 $g_n = (-1)^n \cos(\pi \cdot S_n)$ 이 $F_n = \sigma(\xi_1, ..., \xi_n)$ 에 대한 마틴게일임을 보이시오.
증명 (Pf):
Adaptedness: $S_n$은 $F_n$-measurable 하고 $g_n$은 $S_n$의 함수(Borel function)이므로 $g_n$ 역시 $F_n$-measurable 입니다.
Integrable: $|g_n| = |(-1)^n \cos(\pi \cdot S_n)| \le 1$ 이므로 유계(bounded)이고, 따라서 $E(|g_n|) < \infty$ 입니다.
Martingale Relationship:
$$E(g_{n+1} | F_n) = E((-1)^{n+1} \cos(\pi \cdot S_{n+1}) | F_n)$$
$$= (-1)^{n+1} E(\cos(\pi \cdot (S_n + \xi_{n+1})) | F_n)$$
삼각함수 덧셈정리 $\cos(\alpha+\beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$ 를 이용하면,
$$= (-1)^{n+1} [\cos(\pi S_n)E(\cos(\pi \xi_{n+1})|F_n) - \sin(\pi S_n)E(\sin(\pi \xi_{n+1})|F_n)]$$
$\xi_{n+1}$은 $F_n$과 독립이고, $E(\cos(\pi \xi_{n+1})) = -1$, $E(\sin(\pi \xi_{n+1})) = 0$ 이므로,
$$= (-1)^{n+1} [\cos(\pi \cdot S_n) \times (-1) - \sin(\pi \cdot S_n) \times 0]$$
$$= (-1)^n \cos(\pi \cdot S_n) = g_n$$
따라서 $g_n$은 마틴게일입니다.

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Gambling Strategy에 관한 Proposition

도박 전략 $\alpha_1, \alpha_2, ...$를 따를 때, n 게임 후의 총상금 $G_n$은 다음과 같습니다.
$$G_n = \alpha_1\xi_1 + ... + \alpha_n\xi_n = \alpha_1(S_1 - S_0) + ... + \alpha_n(S_n - S_{n-1})$$
명제:
만약 $S_n$이 마틴게일이고, 전략 $\alpha_n$이 유계(bounded sequence)이면, $G_n$도 마틴게일입니다. (어떤 전략을 사용하든 상관없습니다.)
만약 $S_n$이 슈퍼마틴게일이고, 전략 $\alpha_n$이 음이 아닌 유계(non-negative bounded)이면, $G_n$도 슈퍼마틴게일입니다.
만약 $S_n$이 서브마틴게일이고, 전략 $\alpha_n$이 음이 아닌 유계(non-negative bounded)이면, $G_n$도 서브마틴게일입니다.
증명 (pf):
$$ \begin{align*} E(G_n | F_{n-1}) &= E(G_{n-1} + \alpha_n(S_n - S_{n-1}) | F_{n-1}) \\ \end{align*} $$
$G_{n-1}$과 $\alpha_n$은 $F_{n-1}$-measurable 이므로,
$$ \begin{align*} &= E(G_{n-1} | F_{n-1}) + E(\alpha_n(S_n - S_{n-1}) | F_{n-1}) \\ &= G_{n-1} + \alpha_n E(S_n | F_{n-1}) - \alpha_n E(S_{n-1} | F_{n-1}) \\ &= G_{n-1} + \alpha_n [E(S_n | F_{n-1}) - S_{n-1}] \end{align*} $$
결론
if $\alpha_n E(\xi_n | F_{n-1}) - \alpha_n \xi_{n-1} = 0 \implies E(G_n | F_{n-1}) = G_{n-1}$ (martingale)
if $\alpha_n E(\xi_n | F_{n-1}) - \alpha_n \xi_{n-1} \le 0 \implies E(G_n | F_{n-1}) \le G_{n-1}$ (supermartingale)
if $\alpha_n E(\xi_n | F_{n-1}) - \alpha_n \xi_{n-1} \ge 0 \implies E(G_n | F_{n-1}) \ge G_{n-1}$ (submartingale)