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CHAPTER 9 ONE STEP BINOMIAL TREES (1단계 이항트리)
서론: 이항트리란 무엇인가?
이 장에서는 금융공학에서 가장 기초적이면서도 강력한 도구 중 하나인 이항트리(Binomial Trees)를 소개합니다. 이항트리는 다음과 같은 세 가지 중요한 장점을 가지고 있습니다:
- 단순성(Simplicity): 고급 수학을 필요로 하지 않으면서도 파생상품 가격결정의 핵심 원리를 명확하게 보여줍니다. 미적분학이나 확률미분방정식 같은 복잡한 수학적 도구 없이도 무차익(No Arbitrage) 원리와 위험중립 가격결정(Risk Neutral Pricing)의 본질을 이해할 수 있습니다.
- 확장성(Extensibility): 다단계(Multi-step)로 확장하면 대부분의 파생상품을 가격결정할 수 있습니다. 1단계에서 배운 원리를 \(n\)단계로 확장하면, 아메리칸 옵션, 이색 옵션(Exotic Options), 복잡한 금리 파생상품까지 다룰 수 있습니다.
- 실무 적용성(Practical Applicability): 실무에서 실제 증권 가격결정에 광범위하게 사용됩니다. 투자은행, 자산운용사, 헤지펀드 등에서 트레이더와 퀀트(Quant)들이 일상적으로 사용하는 도구입니다.
본 장의 분석은 2002년 1월 8일의 금리 기간구조(Term Structure of Interest Rates)를 구체적인 예시로 사용합니다. 이 날짜를 선택한 이유는 당시의 금리 기간구조가 매우 가파른 우상향(Upward Sloping) 형태를 보였기 때문입니다.
9.1 1단계 금리 이항트리 (A One-Step Interest Rate Binomial Tree)
금리 모형(Interest Rate Model)은 단기 금리(Short-term Interest Rate)의 동학(Dynamics)을 명시하는 것에서 출발합니다. 이러한 동학은 제7장에서 논의한 바와 같이 미래 금리에 대한 우리의 예측을 반영합니다.
여기서 우리는 단기 금리를 외생변수(Exogenous)로 취급합니다. 이는 단기 금리가 통화정책(Monetary Policy) 결정에 의해 구동되며, 시장 참여자들은 이를 직접 영향을 미칠 수 없다는 의미입니다.
기준 데이터: 2002년 1월 8일 금리 기간구조
2002년 1월 8일의 금리 기간구조는 우상향(Upward Sloping) 형태를 보입니다. 만기가 길어질수록 수익률이 높아지는 이러한 형태는 일반적으로 시장이 미래에 금리가 상승할 것으로 예상하거나, 장기 투자에 대한 위험 프리미엄을 요구하고 있음을 나타냅니다.
【그림 9.1】 2002년 1월 8일 금리 기간구조
[그림 설명: X축은 만기(Time-to-Maturity)를 연(Year) 단위로 나타내며 0에서 10년까지 표시됩니다. Y축은 수익률(Yields)을 %로 나타내며 약 1.5%에서 5.5% 범위입니다. 곡선은 단기(6개월)에서 약 1.74%로 시작하여 점진적으로 상승하다가 장기(10년)에서 약 5% 수준에 도달하는 전형적인 우상향 곡선입니다.]
【표 9.1】 2002년 1월 8일 보간된 Treasury STRIPS 가격
| 만기 | 가격 | 수익률 |
|---|---|---|
| 0.5년 | 99.1338 | 1.74% |
| 1년 | 97.8925 | 2.13% |
| 1.5년 | 96.1531 | 2.62% |
연속복리(Continuously Compounded) 수익률과 가격 사이의 관계:
\[ P_0(T)=100\times e^{-yT} \]
금리 이항트리의 구성
현재(2002년 1월 8일) 6개월 금리가 과거에 비해 매우 낮은 수준이므로, 우리는 미래에 금리가 상승할 것으로 예측합니다. 구체적으로, 6개월 후의 6개월 금리에 대한 우리의 예측은 2.17%입니다. 하지만 이것은 단지 예측일 뿐이며, 실제로는 불확실합니다.
특히, 우리는 6개월 후에 6개월 금리가 두 가지 시나리오 중 하나가 될 것이라고 믿습니다: 50% 확률로 3.39%가 되거나(상승 시나리오), 50% 확률로 0.95%가 될 것입니다(하락 시나리오).
【표 9.2】 1단계 금리 이항트리
| 구분 | i = 0 | i = 1 |
|---|---|---|
| 기간 (period) | i = 0 | i = 1 |
| 시간 (연) | t = 0 | t = 0.5 |
| 금리 | \(r_0=1.74\%\) | \(r_{1,u}=3.39\%\) (확률 \(p=1/2\)) \(r_{1,d}=0.95\%\) (확률 \(1-p=1/2\)) |
표기법 설명
- \(r_0\): 현재(\(i=0\))의 연속복리 6개월 금리. 표 9.1의 첫 번째 행에서 1.74%입니다.
- \(r_{1,u}\): 기간 \(i=1\)에서 금리가 상승(up)한 후의 6개월 연속복리 금리
- \(r_{1,d}\): 기간 \(i=1\)에서 금리가 하락(down)한 후의 6개월 연속복리 금리
기대금리(Expected Interest Rate) 계산:
\[ E[r_1]=\frac{1}{2}r_{1,u}+\frac{1}{2}r_{1,d} =\frac{1}{2}\times 3.39\%+\frac{1}{2}\times 0.95\%=2.17\% \]
9.1.1 연속복리 (Continuous Compounding)
표 9.2의 이항트리에서 연속복리(Continuously Compounded) 금리를 사용하기로 선택했습니다. 6개월 간격을 고려하고 있으므로, 반기복리(Semi-annually Compounded) 금리를 사용하는 것도 대안이 될 수 있습니다. 그러나 우리의 선택은 다음과 같은 고려에 기반합니다:
1) 일대일 변환 관계
연속복리 금리와 다른 복리 금리 사이에는 항상 일대일(one-to-one) 관계가 존재합니다:
\[ e^{r\Delta}=1+\frac{r^{(n)}}{n}\quad(\Delta=1/n) \]
여기서 \(\Delta=1/n\)은 한 번 복리되는 기간(연 단위), \(r\)은 연속복리 금리, \(r^{(n)}\)은 연 \(n\)회 복리 명목금리(annual nominal rate compounded \(n\) times)입니다.
2) 트리 확장의 용이성
실제 증권 가격결정에 모형을 적용할 때, 우리는 쉽게 200~300 단계의 고빈도 트리를 고려합니다. 연속복리를 사용하면 빈도를 증가시킬 때 노드 간 시간 간격만 변경하면 되고, 금리 자체를 조정할 필요가 없습니다.
3) 다양한 복리 빈도 처리
많은 금리 증권과 파생상품은 서로 다른 복리 빈도의 현금흐름을 가집니다. 연속복리와 위의 방정식을 사용하면 이러한 증권들의 현금흐름을 모델링하는 간단한 방법을 제공합니다.
4) 연속시간 모형과의 연결
이 가정은 Part II에서 개발한 기간구조 트리와 Part III에서 개발할 더 고급 연속시간 모형 사이의 더 나은 연결을 가능하게 합니다.
9.1.2 2기간 제로쿠폰채의 이항트리
표 9.2의 금리 트리와 표 9.1의 정보로부터, 1년 만기 채권의 2기간 트리를 구할 수 있습니다. 먼저, 트리를 따라 증권의 가치를 표기하는 편리한 표기법을 도입합니다:
\[ P_{i,j}(k)=\text{기간 } i,\ \text{노드 } j \text{에서의 채권가격, 기간 } k \text{에 만기} \]
예를 들어, \(P_0(2)\)는 시간 0에서의 제로쿠폰채 가격으로, 기간 \(k=2\)(즉, 시간 \(t=1\)년)에 만기됩니다.
채권 가격 계산:
- 금리가 상승하여 \(r_{1,u}=3.39\%\)가 되면: \[ P_{1,u}(2)=e^{-r_{1,u}\times 0.5}\times 100=e^{-0.01695}\times 100\approx 98.3193 \]
- 금리가 하락하여 \(r_{1,d}=0.95\%\)가 되면: \[ P_{1,d}(2)=e^{-r_{1,d}\times 0.5}\times 100=e^{-0.00475}\times 100\approx 99.5261 \]
【표 9.3】 1년 만기 제로쿠폰채 이항트리
| 기간 | i = 0 | i = 1 | i = 2 |
|---|---|---|---|
| 채권 가격 | \(P_0(2)=97.8925\) | \(P_{1,u}(2)=98.3193\) \(P_{1,d}(2)=99.5261\) |
100 |
핵심 통찰: 이 이항트리는 중요한 함의를 가집니다. 단기 금리가 변동하면 모든 채권 가격이 영향을 받습니다. 금리가 상승하면(\(r_{1,u}=3.39\%\)), 채권 가격은 하락합니다(\(P_{1,u}(2)=98.3193\)). 반대로 금리가 하락하면(\(r_{1,d}=0.95\%\)), 채권 가격은 상승합니다(\(P_{1,d}(2)=99.5261\)). 이는 채권 가격과 금리 사이의 역의 관계(Inverse Relationship)를 보여줍니다.
9.2 이항트리에서의 무차익 (No Arbitrage on a Binomial Tree)
이제 표 9.3의 1년 제로쿠폰채 이항트리를 활용하여, 금리에 의존하는 추가적인 증권들의 공정한 무차익 가격(Fair, No-Arbitrage Price)을 구해보겠습니다.
예를 들어, 시간 \(i=1\)에 만기되는 금리 옵션(Interest Rate Option)을 고려합니다. 이 옵션은 시간 \(i=1\)에서 다음 금액을 지급합니다:
\[ \text{Payoff at } i=1 = 100\times \max(r_K-r_1,0) \]
여기서 \(r_K\)는 행사금리(Strike Rate)입니다. 예를 들어 \(r_K=2\%\)라고 합시다. 이 옵션은 금리 풋옵션(Interest Rate Put)으로, 실제 금리가 행사금리보다 낮을 때 이익을 얻습니다.
각 시나리오에서의 페이오프:
- 금리 상승 시 (\(r_1=r_{1,u}=3.39\%\)): \[ 100\times \max(2\%-3.39\%,0)=0 \]
- 금리 하락 시 (\(r_1=r_{1,d}=0.95\%\)): \[ 100\times \max(2\%-0.95\%,0)=1.05 \]
핵심 질문: 시간 \(i=0\)에서 이 증권의 가격은 얼마인가? 이 증권과 표 9.3의 제로쿠폰채 사이의 관계는 무엇인가?
복제 포트폴리오의 구성
【표 9.4】 채권 포트폴리오
| 거래 | 금액 |
|---|---|
| \(i=2\) 만기 채권 0.8700 매수 | 지급: 0.8700 × 97.8925 = $85.1703 |
| \(i=1\) 만기 채권 0.8554 공매도 | 수취: 0.8554 × 99.1338 = $84.8007 |
| 순 지급액 | $0.3697 |
시간 \(i=1\)에서의 포트폴리오 가치:
- 금리 상승 시: \[ 0.8700\times 98.3193 - 0.8554\times 100 = 0 \]
- 금리 하락 시: \[ 0.8700\times 99.5261 - 0.8554\times 100 = 1.05 \]
핵심 발견: 두 시나리오에서 포트폴리오의 가치는 옵션의 페이오프와 정확히 일치합니다! 이 발견은 옵션의 시간 \(i=0\)에서의 가치가 정확히 $0.3697(포트폴리오 비용)이어야 함을 의미합니다.
【정의 9.1】 복제 포트폴리오 (Replicating Portfolio)
시간 \(i=1\)에서 두 노드 \(u\)와 \(d\)에서 각각 \(V_{1,u}\)와 \(V_{1,d}\)의 가치를 갖는 증권의 복제 포트폴리오(Replicating Portfolio)는 시간 \(i=1\)에서 증권의 가치를 정확히 복제하는 채권 포트폴리오입니다. 즉, \(\Pi_{1,u}=V_{1,u}\) 이고 \(\Pi_{1,d}=V_{1,d}\) 입니다. \(i=0\)에서의 옵션 가치는 포트폴리오 가치와 같습니다: \(\Pi_0=V_0\).
9.2.1 무차익을 통한 복제 포트폴리오 (The Replicating Portfolio Via No Arbitrage)
표 9.4의 포트폴리오가 옵션의 페이오프를 정확히 복제한다는 흥미로운 사실을 발견했습니다. 이것은 일반적인 성질인가요? 시간 \(i=1\)에서의 어떤 페이오프 구조도 복제하는 포트폴리오를 항상 찾을 수 있을까요? 이것이 실제로 이항트리의 일반적인 성질이며, 이것이 이항트리의 인기의 이유입니다.
복제 포트폴리오의 유도:
\(i=1\) 만기 채권 \(N_1\) 단위와 \(i=2\) 만기 채권 \(N_2\) 단위로 구성된 포트폴리오를 고려합니다.
\[ \Pi_0=N_1P_0(1)+N_2P_0(2) \]
시간 \(i=1\)에서의 포트폴리오 가치:
\[ \Pi_{1,u}=N_1\times 100 + N_2\times P_{1,u}(2)=V_{1,u}\quad\text{(식 9.7)} \]
\[ \Pi_{1,d}=N_1\times 100 + N_2\times P_{1,d}(2)=V_{1,d}\quad\text{(식 9.8)} \]
\(N_2\) 유도:
\[ N_2=\frac{V_{1,u}-V_{1,d}}{P_{1,u}(2)-P_{1,d}(2)}\quad\text{(식 9.9)} \]
\(N_1\) 유도:
\[ N_1=\frac{1}{100}\left[V_{1,u}-N_2P_{1,u}(2)\right]\quad\text{(식 9.10)} \]
【예제 9.1】 금리 풋옵션의 복제 포트폴리오
앞서 계산한 옵션 페이오프 \(V_{1,u}=0,\ V_{1,d}=1.05\)를 고려합니다.
\[ N_2=\frac{0-1.05}{98.3193-99.5261}=\frac{-1.05}{-1.2068}=0.8700 \]
\[ N_1=\frac{1}{100}\left(0-0.8700\times 98.3193\right)=-0.8554 \]
이는 표 9.4의 채권 포트폴리오입니다. \(N_1<0\)는 \(i=1\) 만기 채권의 공매도(Short Position)를 의미합니다.
【예제 9.2】 스왑의 복제 포트폴리오
시간 \(i=1\)에 \((100/2)\times(r_1-c)\)를 지급하는 스왑을 고려합니다. \(c=2\%\).
\[ V_{1,u}=\frac{100}{2}(3.39\%-2\%)=0.695,\quad V_{1,d}=\frac{100}{2}(0.95\%-2\%)=-0.525 \]
\[ N_2=\frac{0.695-(-0.525)}{98.3193-99.5261}=-1.011,\quad N_1=\frac{1}{100}\left(0.695-(-1.011)\times 98.3193\right)=1.001 \]
스왑의 \(i=0\) 가치:
\[ \Pi_0=1.001\times 99.1338 - 1.011\times 97.8925 = 0.259 \]
【예제 9.3】 채권 콜옵션의 복제 포트폴리오
Payoff \(=\max(P_1(2)-K,0)\), 행사가격 \(K=99.00\).
\[ V_{1,u}=\max(98.3193-99.00,0)=0,\quad V_{1,d}=\max(99.5261-99.00,0)=0.5261 \]
\[ N_2=\frac{0-0.5261}{98.3193-99.5261}=0.436,\quad N_1=\frac{1}{100}(0-0.436\times 98.3193)=-0.429 \]
채권 옵션의 \(i=0\) 가치:
\[ \Pi_0=-0.429\times 99.1338 + 0.436\times 97.8925 = 0.185 \]
【사실 9.1】 이항트리에서의 복제
이항트리에서, 시간 \(i=1\)에서 \(V_{1,u}\)와 \(V_{1,d}\)의 가치를 갖는 모든 금리 증권은 \(i=1\)과 \(i=2\) 만기 채권의 (복제) 포트폴리오 \(\Pi\)로 복제할 수 있습니다.
\[ V_0=N_1P_0(1)+N_2P_0(2)\quad\text{(식 9.11)} \]
【레시피 1】 복제를 통한 가격결정
- 식 9.9와 9.10에서 \(N_2, N_1\)을 계산합니다.
- 식 9.11에 따라 파생상품의 가격 \(V_0\)를 계산합니다.
9.2.2 확률 \(p\)는 어디에? (Where Is the Probability \(p\)?)
이전 페이지에서 논의된 파생상품의 가격은 금리 상승 움직임의 확률 \(p\)에 대한 어떠한 언급도 없이 얻어졌습니다. 이 사실은 당혹스러워 보입니다: 금리가 하락할 때 지급되는 옵션의 가격이 금리가 실제로 하락할 확률과 어떻게 무관할 수 있을까요?
논리는 다음과 같습니다: 사실 9.1에서 파생상품의 가격은 다른 채권들의 포트폴리오로부터 계산됩니다. 이 채권들의 가격은 시장 참여자들이 미래 금리 상승에 부여하는 확률에 의존합니다. 그러나, 주어진 채권 가격에 대해, 옵션의 가격은 오직 그것의 페이오프 복제에 의해서만 계산될 수 있으며, 따라서 확률 \(p\)의 정확한 지식은 필요하지 않습니다.
9.3 파생상품 가격결정: 미래 현금흐름의 현재 할인가치
이전 절에서 개발한 방법론은 상대적으로 번거롭습니다. 금리 증권의 가격을 구하기 위해, 먼저 복제 포트폴리오를 구한 다음, 포트폴리오의 가치로 파생상품의 가격을 구해야 합니다. 9.4절에서 우리는 특히 더 긴 트리로 이동할 때 계산을 상당히 단순화하는 기법을 개발할 것입니다.
9.3.1 금리증권의 위험프리미엄 (Risk Premia in Interest Rate Securities)
\(i=2\)에 만기되는 제로쿠폰채의 가격은 \(P_0(2)=97.8925\)입니다. 무위험 금리를 사용하여 시간 \(i=0\)으로 할인한 시간 \(i=1\)에서의 기대 채권 가격의 현재가치를 계산할 수 있습니다.
\[ \text{PV of }E[P_1(2)] = e^{-r_0\Delta}\,E[P_1(2)] =0.9913\times\left(0.5\times 98.3193+0.5\times 99.5261\right)=98.0658 \]
따라서 2기간 제로쿠폰채의 가격이 \(i=1\)에서의 가치의 현재가치보다 낮습니다:
\[ P_0(2)=97.8925 < 98.0658 \]
가격이 더 낮은 이유는 장기 채권 가격에 내재된 위험프리미엄(Risk Premium) 때문입니다.
【정의 9.2】 달러 위험프리미엄 (Dollar Risk Premium)
\[ \text{달러 위험프리미엄}=e^{-r_0\Delta}E[P_1(2)]-P_0(2)\quad\text{(식 9.14)} \]
위의 예에서 달러 위험프리미엄 \(=98.0658-97.8925=0.1733\).
9.3.2 금리위험의 시장가격 (The Market Price of Interest Rate Risk)
모든 금리 증권들 사이에서 핵심 관계를 확립합니다:
\[ \frac{e^{-r_0\Delta}E[P_1(2)]-P_0(2)}{P_{1,u}(2)-P_{1,d}(2)} = \frac{e^{-r_0\Delta}E[V_1]-V_0}{V_{1,u}-V_{1,d}} \]
【사실 9.2】 위험프리미엄과 위험의 비율
이항트리의 모든 금리 증권은 위험프리미엄과 위험 사이에 동일한 비율을 가집니다:
\[ \frac{e^{-r_0\Delta}E[V_1]-V_0}{V_{1,u}-V_{1,d}}=\lambda_0 \]
【정의 9.3】 시장가격위험 (Market Price of Risk)
모든 금리 증권에 공통인 위험프리미엄과 위험의 비율 \(\lambda_0\)를 (금리) 위험의 시장가격(Market Price of (Interest Rate) Risk)이라고 합니다.
9.3.3 금리증권 가격결정 공식
시간 \(i=0\)에서 \(\lambda_0\)를 알면, 다음과 같이 모든 증권의 가격을 계산할 수 있습니다:
\[ V_0=e^{-r_0\Delta}E[V_1]-\lambda_0\,(V_{1,u}-V_{1,d})\quad\text{(식 9.20)} \]
\(\lambda_0\)는 만기 \(i=2\)인 채권 정보를 사용해 계산합니다:
\[ \lambda_0=\frac{e^{-r_0\Delta}E[P_1(2)]-P_0(2)}{P_{1,u}(2)-P_{1,d}(2)}\quad\text{(식 9.21)} \]
【레시피 2】 시장가격위험을 통한 가격결정
- 식 9.21에서 위험의 시장가격 \(\lambda_0\)를 계산합니다.
- 식 9.20의 가격결정 공식으로 금리 증권의 가격을 계산합니다.
\(\lambda_0\) 계산 예시:
\[ \lambda_0=\frac{98.0658-97.8925}{98.3193-99.5261} =\frac{0.1733}{-1.2068} =-0.1436 \]
예제 9.1~9.3 가격 요약:
- 금리 옵션: (a) 기대 페이오프 PV = 0.5205, (b) 위험조정 = 0.1508, (c) 가치 = 0.3697
- 스왑: (a) 기대 페이오프 PV = 0.084, (b) 위험조정 = -0.175, (c) 가치 = 0.259
- 채권옵션: (a) 기대 페이오프 PV = 0.261, (b) 위험조정 = 0.076, (c) 가치 = 0.185
9.3.4 \(p\)를 모르면 어떻게 되나?
만약 \(p\)를 계산하는 데 실수를 해서 잘못 계산하면 어떻게 될까요? 사실, 원래 트리에서 \(p\)를 계산하는 데 실수를 하더라도 금리 증권의 가격결정은 영향을 받지 않습니다. 핵심은 \(\lambda_0\) 자체도 \(p\)에 의존한다는 것을 인식하는 것입니다. 따라서 \(p\)를 잘못 계산하면 위험 조정도 잘못 계산하게 되고, 한 오류가 다른 오류를 정확히 상쇄합니다.
【표 9.7】 다양한 확률 \(p\)에 대한 옵션 가치
| 확률 \(p\) | 기대 페이오프 PV | \(\lambda_0\) | 위험조정 | \(V_0\) |
|---|---|---|---|---|
| 0.1 | 0.9368 | -0.5401 | 0.5671 | 0.3697 |
| 0.3 | 0.7286 | -0.3419 | 0.3589 | 0.3697 |
| 0.5 | 0.5205 | -0.1436 | 0.1508 | 0.3697 |
| 0.6448 | 0.3697 | 0.0000 | 0.0000 | 0.3697 |
| 0.7 | 0.3123 | 0.0547 | -0.0574 | 0.3697 |
| 0.9 | 0.1041 | 0.2529 | -0.2656 | 0.3697 |
핵심 결과: 증권의 가치는 확률 \(p\)와 무관하게 항상 $0.3697입니다! \(p\)가 증가하면 기대 할인 가치가 감소하지만, 위험 조정도 감소하여 서로 상쇄됩니다.
9.4 위험중립 가격결정 (Risk Neutral Pricing)
표 9.7은 또한 \(p=0.6448\)에서 파생상품을 평가하는 데 필요한 위험 조정 \(\lambda_0\)가 0임을 보여줍니다. 이 특별한 확률을 \(p^\*\)로 표기합니다. 이 경우, 가격결정 방정식은 단순히 다음과 같아집니다:
\[ V_0=e^{-r_0\Delta}E^\*[V_1]\quad\text{(식 9.23)} \]
여기서:
\[ E^\*[V_1]=p^\*V_{1,u}+(1-p^\*)V_{1,d}\quad\text{(식 9.24)} \]
이 공식은 옵션의 가격이 단순히 미래 페이오프의 할인 가치이며, 무위험 금리를 사용하여 페이오프를 할인한다는 것을 보여줍니다. 복잡한 양 \(\lambda_0\)(위험의 시장가격)가 사라집니다.
9.4.1 위험중립확률 (Risk Neutral Probability)
방정식 9.23을 참으로 만드는 확률 \(p^\*\)를 어떻게 계산할 수 있을까요? 제로쿠폰채에 대해서도 성립해야 합니다:
\[ P_0(2)=e^{-r_0\Delta}\left(p^\*P_{1,u}(2)+(1-p^\*)P_{1,d}(2)\right) \]
\(p^\*\)에 대해 풀면:
\[ p^\*=\frac{e^{r_0\Delta}P_0(2)-P_{1,d}(2)}{P_{1,u}(2)-P_{1,d}(2)}\quad\text{(식 9.25)} \]
【정의 9.4】 위험중립확률 (Risk Neutral Probability)
위험중립확률 \(p^\*\)는 모든 금리 증권이 미래 기대 페이오프의 현재가치로 주어지게 만드는 특정 확률입니다. 여기서 현재가치는 무위험 금리를 사용하여 계산됩니다.
9.4.2 금리증권의 가격
【레시피 3】 위험중립 가격결정
- 식 9.25에서 위험중립확률 \(p^\*\)를 계산합니다.
- 식 9.23의 가격결정 공식으로 금리 증권의 가격을 계산합니다.
\(p^\*\) 계산 예시:
\[ p^\*=\frac{e^{(0.0174/2)}\times 97.8925-99.5261}{98.3193-99.5261}=0.6448 \]
예제 9.1~9.3의 위험중립 가격:
- (옵션) \(V_0=0.9913\times\left[0.6448\times 0 + 0.3552\times 1.05\right]=0.3697\)
- (스왑) \(V_0=0.9913\times\left[0.6448\times 0.695 + 0.3552\times(-0.525)\right]=0.259\)
- (채권옵션) \(V_0=0.9913\times\left[0.6448\times 0 + 0.3552\times 0.5261\right]=0.185\)
완벽하게 작동합니다!
9.4.3 위험중립 가격결정과 동적 복제
위험중립 방법론의 단순성이 그 주요 장점입니다. 시장 참여자들이 위험중립적이라는 가정은 없다는 것을 인식하는 것이 중요합니다. 레시피 3의 위험중립 방법론은 파생상품의 가격을 무차익으로 구하는 편리한 방법일 뿐입니다. 그 논리의 기초에는 정의 9.1의 복제 포트폴리오의 존재가 있습니다.
9.4.4 미래 금리의 위험중립 기대값
위험중립확률 하에서의 기대 미래 금리:
\[ E^\*[r_1]=p^\*r_{1,u}+(1-p^\*)r_{1,d} =0.6448\times 3.39\%+0.3552\times 0.95\% =2.5234\% \]
이 숫자는 실제 기대 금리 \(E[r_1]=2.17\%\)보다 훨씬 높습니다. 위험중립 가격결정은 상승 움직임의 확률에 위험프리미엄을 포함시키는 것과 같습니다.
선도금리와의 관계:
\[ f(0,1,2)=-\frac{1}{0.5}\ln\left(\frac{P_0(2)}{P_0(1)}\right)=2.52\% \]
선도금리(2.52%)는 위험중립 기대 미래 금리(2.5234%)에 매우 가깝지만, 실제 기대 금리(2.17%)와는 상당히 다릅니다.
9.5 요약 (Summary)
- 1단계 금리 이항트리: 다음 기간 단기금리에 대한 두 가지 가능한 시나리오를 설명
- 채권 가격 이항트리: 단기금리 시나리오별로 다음 기간 1기간 채권 가격을 계산
- 복제 포트폴리오: 두 상태에서 파생상품 페이오프를 복제하는 채권 포트폴리오
- 위험의 시장가격: 무차익은 모든 장기 증권이 기대수익률 대비 위험의 동일 비율을 가져야 함을 요구
- 위험중립확률: 무차익 가격결정을 위한 편리한 “가상” 확률
9.6 연습문제 및 해설
공통 가정
- 모든 금리는 연속복리(continuously compounded)
- 한 스텝 길이 \(\Delta=0.5\) (6개월)
- 액면(face value) = 100
- 6개월 제로채: \(P_0(1)=100\exp(-r_0\Delta)\)
- 1년 제로채의 6개월 후 노드가격: \(P_{1,u}(2), P_{1,d}(2)\)
【연습문제 1】
다음 금리트리를 고려하라 (표 9.9).
【표 9.9】 1단계 금리 이항트리
| 구분 | i = 0 | i = 1 |
|---|---|---|
| 시간(연) | t = 0 | t = 0.5 |
| 금리 | \(r_0=2\%\) | \(r_{1,u}=4\%\) (확률 \(p=1/2\)) \(r_{1,d}=1\%\) (확률 \(1-p=1/2\)) |
- (a) 6개월 국채 금리의 기대값 \(E[r_1]\)을 계산하라.
- (b) 1년 만기 국채가 \(P_0(2)=97.4845\)에 거래되고 있다. 기간 \(i=1\)부터 \(i=2\)까지의 (연속복리) 선도금리는 얼마인가? (a)에서 계산한 기대금리와 비교하고 설명하라.
- (c) 시장가격위험 \(\lambda\)를 계산하고 해석하라.
- (d) 위험중립확률 \(p^\*\)를 계산하고 해석하라.
연습문제 1 해설
(a) 기대금리
\[ E[r_1]=\frac{1}{2}r_{1,u}+\frac{1}{2}r_{1,d}=\frac{1}{2}\times 4\%+\frac{1}{2}\times 1\%=2.5\% \]
(b) 선도금리 및 기대금리와의 비교
Step 1: \(P_0(1)\) 계산
\[ P_0(1)=100\exp(-0.02\times 0.5)=100e^{-0.01}\approx 99.00498 \]
Step 2: 선도금리 \(f(0,1,2)\) 계산
\[ e^{-f(0,1,2)\times 0.5}=\frac{P_0(2)}{P_0(1)}=\frac{97.4845}{99.00498}\approx 0.98465 \]
\[ f(0,1,2)=-\frac{\ln(0.98465)}{0.5}\approx 0.030858=3.0858\% \]
- 기대금리 \(E[r_1]=2.5\%\)
- 선도금리 \(f(0,1,2)\approx 3.09\%\)
- 선도금리가 기대금리보다 높음(약 0.59%p)
해석: 선도금리는 단순 기대금리가 아니라 위험프리미엄이 포함됩니다. 투자자들은 장기채의 금리변동 위험에 대해 보상을 요구하므로, 선도금리가 실제 기대금리보다 높게 형성됩니다.
(c) 시장가격위험 \(\lambda\)
Step 1: \(P_{1,u}(2), P_{1,d}(2)\) 계산
\[ P_{1,u}(2)=100e^{-0.04\times 0.5}=100e^{-0.02}\approx 98.01987 \]
\[ P_{1,d}(2)=100e^{-0.01\times 0.5}=100e^{-0.005}\approx 99.50125 \]
Step 2: \(E[P_1(2)]\) 계산
\[ E[P_1(2)]=\frac{1}{2}\times 98.01987+\frac{1}{2}\times 99.50125\approx 98.76056 \]
Step 3: 달러 위험프리미엄 \(RP\)
\[ RP=e^{-0.01}\times 98.76056-97.4845\approx 97.77531-97.4845=0.29081 \]
Step 4: \(\lambda\) 계산
\[ \lambda=\frac{RP}{P_{1,u}(2)-P_{1,d}(2)}=\frac{0.29081}{98.01987-99.50125} \approx \frac{0.29081}{-1.48138}\approx -0.196 \]
해석: \(\lambda\)가 음수인 이유는 금리가 상승(Up)하면 채권가격이 하락하므로 채권의 “달러 위험” \((P_{1,u}-P_{1,d})\)가 음수이기 때문입니다. 투자자들은 금리 상승 위험에 대해 양(+)의 위험프리미엄을 요구하므로 \((양수)/(음수)=음수\)가 됩니다.
(d) 위험중립확률 \(p^\*\)
\[ P_0(2)=e^{-r_0\Delta}\left[p^\*P_{1,u}(2)+(1-p^\*)P_{1,d}(2)\right] \]
\[ p^\*=\frac{e^{r_0\Delta}P_0(2)-P_{1,d}(2)}{P_{1,u}(2)-P_{1,d}(2)} \]
\[ e^{r_0\Delta}=e^{0.01}\approx 1.010050167 \]
\[ p^\*\approx \frac{1.010050167\times 97.4845-99.50125}{98.01987-99.50125} \approx \frac{-1.03645}{-1.48138}\approx 0.70 \]
- 실제확률 \(p=0.5\)보다 \(p^\*\approx 0.70\)이 큼
- 위험중립측도에서는 “금리상승(u)” 상태에 더 큰 가중치를 주어야 현재 채권가격을 맞출 수 있음
- \(p^\*\)는 믿음의 확률이 아니라 가격결정을 편하게 만드는 계산용 확률
- \(p^\*\)를 사용하면 \(V_0=e^{-r_0\Delta}E^\*[V_1]\)로 간단히 가격결정 가능
【연습문제 2】
연습문제 1의 금리트리(표 9.9)를 다시 고려한다.
(1) 다음 옵션을 고려하라.
\[ \text{Option payoff at } i=1 = 100\times \max(r_1-2\%,0) \]
(i) 9.2.1절(복제), 9.3.3절(시장가격위험), 9.4.2절(위험중립) 세 방법으로 \(i=0\) 가격을 구하라.
(2) 위험중립 방법으로 다음 채권옵션 가격을 구하라.
\[ \text{Bond option payoff at } i=1=\max(P_1(2)-98.5,0) \]
연습문제 2 해설
(1) 금리콜옵션 가격
Step 0: 두 상태에서 payoff
- Up (\(r_1=4\%\)): \(V_{1,u}=100(0.04-0.02)=2\)
- Down (\(r_1=1\%\)): \(V_{1,d}=100\max(0.01-0.02,0)=0\)
(i) 복제 방법 (레시피 1)
\[ N_2=\frac{V_{1,u}-V_{1,d}}{P_{1,u}(2)-P_{1,d}(2)} =\frac{2-0}{98.01987-99.50125}\approx -1.35009 \]
\[ N_1=\frac{1}{100}\left(V_{1,u}-N_2P_{1,u}(2)\right)\approx \frac{1}{100}(2+132.34)\approx 1.34336 \]
\[ V_0=N_1P_0(1)+N_2P_0(2)\approx 1.34336\times 99.00498-1.35009\times 97.4845\approx 1.39 \]
복제 검산:
- Up: \(\Pi_{1,u}=1.34336\times 100-1.35009\times 98.01987=2\) ✓
- Down: \(\Pi_{1,d}=1.34336\times 100-1.35009\times 99.50125=0\) ✓
(ii) 시장가격위험 방법 (레시피 2)
\[ V_0=e^{-r_0\Delta}E[V_1]-\lambda(V_{1,u}-V_{1,d}) \]
\[ E[V_1]=0.5\times 2+0.5\times 0=1,\quad V_0\approx 0.99005\times 1-(-0.19632)\times 2\approx 1.38 \]
(iii) 위험중립 방법 (레시피 3)
\[ V_0=e^{-r_0\Delta}E^\*[V_1],\quad E^\*[V_1]=0.70\times 2+0.30\times 0=1.40 \]
\[ V_0\approx e^{-0.01}\times 1.40\approx 0.99005\times 1.40\approx 1.39 \]
결론: 세 방법 모두 동일한 값(약 1.38~1.39)을 제공합니다.
(2) 채권옵션 (위험중립)
Step 1: payoff
- Up: \(P_{1,u}(2)\approx 98.02 < 98.5 \Rightarrow V_{1,u}=0\)
- Down: \(P_{1,d}(2)\approx 99.50 > 98.5 \Rightarrow V_{1,d}=99.50-98.5=1.00\)
Step 2: 가격
\[ V_0=e^{-0.01}\left[0.70\times 0+0.30\times 1.00\right]\approx 0.99005\times 0.30\approx 0.297 \]
【연습문제 3】
다음 위험중립 금리트리(표 9.10)를 고려한다. 위험중립 확률은 \(p^\*=1/2\)이다.
【표 9.10】 1단계 위험중립 금리트리
| 구분 | i = 0 | i = 1 |
|---|---|---|
| 시간(연) | t = 0 | t = 0.5 |
| 금리 | \(r_0=4\%\) | \(r_{1,u}=6\%\) (\(p^\*=1/2\)) \(r_{1,d}=3\%\) (\(1-p^\*=1/2\)) |
- (a) \(i=1\), \(i=2\) 만기 제로쿠폰채 가격을 구하라.
- (b) 두 채권의 연속복리 수익률을 구하라.
- (c) 옵션 payoff \(=100\times \max(r_1-4\%,0)\)의 \(i=0\) 가격을 구하라.
- (d) (a)의 채권을 이용해 (c) 옵션을 복제하는 포트폴리오를 구성하고 확인하라.
- (e) (c)의 옵션 트리와 단기채(\(i=1\))를 이용해, \(i=1\)에서 장기채(\(i=2\))의 \(P_{1,u}(2)\), \(P_{1,d}(2)\)를 복제하는 포트폴리오를 구성하라.
연습문제 3 해설
(a) 채권 가격
1) 6개월채(\(i=1\) 만기)
\[ P_0(1)=100e^{-0.04\times 0.5}=100e^{-0.02}\approx 98.01987 \]
2) \(i=1\)에서 1년채 노드가격
\[ P_{1,u}(2)=100e^{-0.06\times 0.5}=100e^{-0.03}\approx 97.04455 \]
\[ P_{1,d}(2)=100e^{-0.03\times 0.5}=100e^{-0.015}\approx 98.51119 \]
3) 오늘의 1년채 가격(위험중립)
\[ P_0(2)=e^{-0.02}\times \frac{1}{2}\left(97.04455+98.51119\right) =0.98020\times 97.7779\approx 95.84 \]
(b) 연속복리 수익률
- 6개월채 수익률: \(r_0=4\%\) (정의상)
- 1년채 수익률: \(y=-\ln(P_0(2)/100)\approx -\ln(0.9584)\approx 4.25\%\)
(c) 옵션 가격
- Up (6%): \(V_{1,u}=100(0.06-0.04)=2\)
- Down (3%): \(V_{1,d}=0\)
\[ V_0=e^{-0.02}\times \frac{1}{2}(2+0)=e^{-0.02}\times 1\approx 0.98 \]
(d) 채권으로 옵션 복제
\[ N_2=\frac{2-0}{97.04455-98.51119}=\frac{2}{-1.46664}\approx -1.36366 \]
\[ N_1=\frac{1}{100}\left(2-(-1.36366)\times 97.04455\right)\approx 1.34336 \]
복제 확인:
- Up: \(1.34336\times 100-1.36366\times 97.04455=2\) ✓
- Down: \(1.34336\times 100-1.36366\times 98.51119=0\) ✓
(e) 단기채 + 옵션으로 1년채 복제
단기채 수량 \(a\), 옵션 수량 \(b\)로 두고 \(i=1\)에서 맞춥니다:
\[ \text{Up: }100a+2b=97.04455,\quad \text{Down: }100a+0b=98.51119 \]
\[ a=\frac{98.51119}{100}=0.9851119,\quad 2b=97.04455-98.51119=-1.46664\Rightarrow b=-0.73332 \]
결론: 단기채 0.9851 매수 + 옵션 0.7333 공매도
【연습문제 4】
이전 연습문제(연습문제 3)에서, 시장가격위험 \(\lambda\)와 따라서 \(i=2\) 만기 채권의 기대수익률을 계산하기에 충분한 정보가 있는가? 설명하라.
연습문제 4 해설
결론: 충분하지 않다
- 연습문제 3은 위험중립확률 \(p^\*\)와 위험중립 트리만 주어졌습니다.
- \(\lambda\)(시장가격위험)는 “실제확률 \(p\) 하 기대값”과 “현재가격”의 차이(위험프리미엄)를 통해 정의됩니다.
- 즉, 실제확률 \(p\)(또는 그에 상응하는 위험프리미엄/투자자 위험회피 정보)가 추가로 필요합니다.
따라서 현재 정보만으로는 \(\lambda\)(그리고 실제 기대수익률)를 고유하게 결정할 수 없습니다.
【연습문제 5】
현재 6개월 및 1년 T-bill이 각각 다음과 같이 거래되고 있다:
- \(P_{bill}(0,0.5)=97.531\)
- \(P_{bill}(0,1)=95.1241\) (액면 100)
루트 \(r_0\), 그리고 6개월 후 두 시나리오 금리 \(r_{1,u}/r_{1,d}\)를 갖는 1단계 트리를 고려하라.
- (a) \(r_0\)는?
- (b) 위험중립확률 \(p^\*=0.5\)라 하자. 위 두 채권가격만으로 \(r_{1,u}\)와 \(r_{1,d}\)를 유일하게 결정할 수 있는가? 가능하지 않다면, 위 가격과 일치하는 \((r_{1,u}, r_{1,d})\) 예시를 최소 3개 제시하고, 세 쌍의 차이가 무엇인지 설명하라.
- (c) 옵션 payoff \(100\times\max(r_1-5\%,0)\)이 \(C_0(1)=0.97531\)에 거래 중이다. 이제 \((r_{1,u}, r_{1,d})\)를 결정하기에 충분한가? 설명하라.
- (d) 만약 \(p^\*=0.5\)도 모른다면, \(p^\*\)까지 구하려면 어떤 추가 정보가 필요한가? 예를 들어 설명하라.
연습문제 5 해설
(a) \(r_0\)
\[ 97.531=100e^{-r_0\times 0.5}\Rightarrow e^{-0.5r_0}=0.97531 \Rightarrow -0.5r_0=\ln(0.97531)\approx -0.025 \Rightarrow r_0\approx 0.05=5\% \]
(b) \(p^\*=0.5\)일 때 \((r_{1,u}, r_{1,d})\) 유일결정?
유일결정 불가(무한히 많은 해)
이유: 1년채는 위험중립 하에서
\[ \frac{P_0(2)}{P_0(1)}=\frac{1}{2}e^{-0.5r_{1,u}}+\frac{1}{2}e^{-0.5r_{1,d}} \]
좌변은 시장가격으로 고정:
\[ \frac{95.1241}{97.531}\approx 0.97532 \]
즉 “두 할인요소의 평균”만 정해지고 \(r_{1,u}, r_{1,d}\)는 자유도가 남습니다.
일치하는 예시 3개:
| 예시 | \(r_{1,u}\) | \(r_{1,d}\) | 설명 |
|---|---|---|---|
| 1 (낮은 변동성) | 5.00% | 4.995% | Up/Down 격차가 매우 작음 |
| 2 (중간 변동성) | 7.00% | 3.015% | 중간 수준의 스프레드 |
| 3 (높은 변동성) | 9.00% | 1.074% | Up/Down 격차가 매우 큼 |
차이: 평균 할인요소는 같지만, Up/Down 간 격차(= 금리 변동성/스프레드)가 다릅니다.
(c) 옵션 가격까지 주어지면 충분한가?
일반적으로 충분해진다
보통 \(r_{1,u}>5\%,\ r_{1,d}<5\%\)라면:
- Up payoff = \(100(r_{1,u}-0.05)\)
- Down payoff = 0
위험중립 가격:
\[ C_0(1)=e^{-r_0\Delta}\times \frac{1}{2}\times 100(r_{1,u}-0.05) =e^{-r_0\Delta}\times 50(r_{1,u}-0.05) \]
여기서 \(e^{-r_0\Delta}=P_0(1)/100=0.97531\), \(C_0(1)=0.97531\)이므로:
\[ 0.97531=0.97531\times 50(r_{1,u}-0.05)\Rightarrow 50(r_{1,u}-0.05)=1\Rightarrow r_{1,u}=0.07=7\% \]
이제 (b)의 평균조건에 \(r_{1,u}=7\%\)를 넣으면 \(r_{1,d}\)가 유일하게 결정됩니다(\(\approx 3.015\%\)).
(d) \(p^\*\)도 모른다면 무엇이 더 필요한가?
\((p^\*, r_{1,u}, r_{1,d})\) 3개가 미지수면, 시장에서 독립적인 가격식 3개가 필요합니다. 이미 6개월채·1년채 가격으로 식 2개가 있으므로 추가로 1개가 더 필요합니다.
추가 정보 예시:
- 1.5년(3 period) 제로채 가격
- 같은 만기의 다른 행사가 옵션 가격
- 캡/플로어/스왑 등 다른 파생상품 가격
이런 추가 가격이 있으면 \(p^\*\)까지 함께 캘리브레이션할 수 있습니다.
