Fixed Income Securities
CHAPTER 11
위험중립 트리와 파생상품 가격결정 (Risk Neutral Trees and Derivative Pricing)
0. 도입 및 장 개관
Chapter 10에서 우리는 이항트리(binomial tree)를 구축하는 방법론을 학습하였다. 그 방법에서는 먼저 실제확률(physical probability) 하에서의 금리 트리를 참조하여 구성한 뒤, 현재 시장에서 거래되는 채권 가격으로부터 위험중립확률(risk-neutral probability) \(p^*_i\)를 역산하는 방식을 사용하였다. 이 접근법은 개념적으로 명확하지만, 실무 적용 측면에서 두 가지 근본적인 한계를 갖고 있다.
첫째, 위험중립확률의 경계 조건 위반 가능성이다. 금리 기간구조를 정확히 맞추기 위해 역산한 위험중립확률 \(p^*_i\)가 반드시 \(0 \le p^*_i \le 1\) 범위 내에 있으리라는 보장이 없다. 확률이라는 개념이 수학적으로 의미를 가지려면 이 범위 내에 있어야 하는데, 특정 파라미터 조합에서는 이 자연적 경계를 벗어나는 경우가 발생한다. 이 문제를 해결하려면 시간 간격 \(\Delta\)를 적절히 줄여야 하는데, 이는 트리의 단계 수를 급격히 증가시켜 계산 비용을 크게 높이는 번거로운 절차이다.
둘째, 실제확률 하의 금리 트리를 먼저 구성해야 한다는 점이다. 이를 위해서는 실제 세계에서 금리가 어떻게 움직일 것인지에 대한 가정—평균회귀 속도(mean reversion speed), 드리프트(drift) 등—이 필요하다. 그런데 파생상품 가격결정의 근본적 목적에서는 실제확률이 직접적으로 필요하지 않다. 위험중립 가격결정 이론에 의하면, 오로지 위험중립확률만이 가격결정에 관여하기 때문이다. 그렇다면 처음부터 위험중립 세계에서 직접 트리를 구축하는 것이 논리적으로나 실무적으로나 더 효율적인 전략이다.
이러한 문제들을 극복하기 위해, 실무에서는 실제 금리 트리를 참조하지 않고 위험중립 트리를 직접 구축하는 전략으로 이동하였다. 이 접근법의 핵심 아이디어는 다음과 같다: 위험중립확률을 \(p^* = \frac{1}{2}\)로 고정하고, 대신 트리의 노드(금리 수준)를 조정하여 현재 시장에서 관측되는 채권 가격과 일치시키는 것이다. 즉, Chapter 10에서의 "확률을 조정하는" 접근법 대신 "노드를 조정하는" 접근법을 채택하는 것이다. 확률이 \(\frac{1}{2}\)로 고정되어 있으므로 경계 위반 문제가 원천적으로 사라지며, 실제확률에 대한 가정도 불필요해진다.
이 장에서는 다음 주제들을 체계적으로 다룬다:
- 두 가지 인기 있는 위험중립 트리 구축 방법: Ho-Lee 모형과 단순 Black, Derman, and Toy(BDT) 모형
- 이표채(coupon bond), 캡(cap), 플로어(floor), 스왑(swap), 스왑션(swaption) 등 다양한 금리 파생상품의 가격결정
- 내재변동성(implied volatility)의 개념과 완전 BDT 모형을 통한 변동성 기간구조 적합
- 선물가격의 위험중립 트리 구축: 유로달러 선물과 국채 선물
11.1 위험중립 트리 (Risk Neutral Trees)
이 절에서는 금리 파생상품의 가격결정과 헤징에 널리 사용되는 두 가지 인기 있는 금리 모형을 설명한다. 두 모형 모두 위험중립확률을 \(p^* = \frac{1}{2}\)로 고정하고, 트리의 금리 노드를 현재의 금리 기간구조(term structure)와 일치하도록 조정하는 공통적인 전략을 사용한다. 그러나 금리의 동학(dynamics)을 기술하는 방식에서 중요한 차이가 존재하며, 이 차이가 파생상품 가격결정에 상이한 결과를 야기한다.
11.1.1 Ho-Lee 모형
Ho-Lee 모형은 금리 기간구조를 정확히 맞출 수 있는 가장 단순한 모형 중 하나이다. Chapter 10의 Section 10.4에서 공부한 금리 모형과 밀접한 관련이 있지만, 핵심적인 차이는 위험중립확률을 \(\frac{1}{2}\)로 고정한다는 점이다. 이 모형의 구조적 단순성 덕분에 교육적 목적뿐 아니라 실무에서도 첫 번째 근사(first approximation)로 종종 활용된다.
모형의 사양(Specification)
시간 간격을 \(\Delta = 0.5\)(6개월)로 고정한다. \(r_{i,j}\)를 스텝 \(i\)와 \(i+1\) 사이, 노드 \(j\)에서의 연속복리 금리라 정의하면, Ho-Lee 모형은 모든 시간/노드 \((i,j)\)에 대해 다음과 같은 동학을 가정한다:
$$ r_{i+1,j} = r_{i,j} + \theta_i \times \Delta + \sigma \times \sqrt{\Delta} \quad \text{위험중립확률 } p^* = \frac{1}{2} \quad \cdots (\text{식 }11.1) $$
$$ r_{i+1,j+1} = r_{i,j} + \theta_i \times \Delta - \sigma \times \sqrt{\Delta} \quad \text{위험중립확률 } p^* = \frac{1}{2} \quad \cdots (\text{식 }11.2) $$
여기서 상승 움직임(up move)은 노드 인덱스 \(j\)가 일정하게 유지되는 것으로 특성화되며, 하락 움직임(down move)은 노드 인덱스 \(j\)가 1만큼 증가하는 것으로 특성화된다. 이러한 인덱싱 관례는 다소 반직관적일 수 있으나, Chapter 10에서 확인한 바와 같이 이 구조는 자연스럽게 재결합(recombining) 트리를 생성한다. 특정 노드에서 상승 후 하락한 경로(up-then-down)와 하락 후 상승한 경로(down-then-up)가 정확히 동일한 노드에 도달하기 때문이다. 재결합 성질은 트리의 노드 수가 시간 스텝에 따라 선형적으로만 증가하도록 보장하여, 계산 효율성을 크게 높여준다.
\(\theta_i\)의 역할과 경제적 의미
식 (11.1)과 (11.2)에 등장하는 \(\theta_i\)(\(i = 0, 1, 2, \ldots\))는 현재의 금리 기간구조를 정확히 맞추기 위해 선택되는 자유 파라미터(free parameter)이다. 물리적으로 \(\theta_i\)는 시점 \(i\)에서 \(i+1\)로의 금리 드리프트(drift)를 결정한다. 서로 다른 수준의 \(\theta_i\)는 트리 상의 서로 다른 금리 노드 위치를 의미하지만, 위험중립확률 \(p^* = \frac{1}{2}\)는 모든 노드에서 항상 동일하게 유지된다.
\(\theta_i\)에는 두 가지 요소가 내포되어 있다. 첫째는 미래 금리에 대한 시장의 기대(market expectation)이고, 둘째는 투자자의 위험회피(risk aversion)에 따른 위험 프리미엄이다. 위험중립 세계에서는 이 두 요소가 하나의 드리프트 파라미터로 합쳐져 나타나므로, 이 둘을 분리하는 것은 위험중립 트리만으로는 불가능하다.
\(\theta_i\)의 결정은 다음과 같은 순차적(sequential) 절차를 따른다:
- \(\theta_0\)는 만기 \(i=2\)인 채권을 정확히 가격결정하도록 선택한다. (만기 \(i=1\)인 채권의 가격은 오직 \(r_0\)에만 의존하므로, \(r_{1,0}\)과 \(r_{1,1}\)의 위치와 무관하다.)
- \(\theta_1\)은 만기 \(i=3\)인 채권을 정확히 가격결정하도록 선택한다.
- 이하 같은 방식으로, \(\theta_i\)는 만기 \(i+2\)인 채권의 가격을 맞추도록 순차적으로 결정된다.
이 순차적 구조의 장점은 각 단계에서 미지수가 단 하나(\(\theta_i\))뿐이라는 것이다. 하나의 미지수에 대해 하나의 방정식(채권 가격)을 풀면 되므로, 수치적으로 안정적이고 효율적인 해를 구할 수 있다.
멀티스텝 트리에서의 표기법을 상기한다:
$$ P_{i,j}(k) = \text{시점 } i, \text{ 노드 } j \text{에서 만기 } k \text{인 채권 가격} $$
예제 11.1: Ho-Lee 모형의 기간구조 적합
2002년 1월 8일의 금리 기간구조를 고려한다. 금리 기간구조와 무이표채 가격은 Chapter 10의 표 10.11에 주어져 있다. 데이터에서 만기 \(k=1\)인 무이표채(zero-coupon bond) 가격은 \(P_0(1) = 99.1338\)이며, 이로부터 연속복리 수익률을 역산하면 다음과 같이 트리의 루트(root) 금리를 얻는다:
$$ r_0 = -\frac{\ln(P_0(1)/100)}{\Delta} = -\frac{\ln(99.1338/100)}{0.5} = 1.74\% $$
\(\theta_0\)의 결정
데이터에서 만기 \(k=2\)인 무이표채 가격은 \(P_0(2) = 97.8925\)이다. 이제 이항트리가 정확히 이 가격을 재현하도록 \(\theta_0\)를 선택해야 한다. 식 (11.1)과 (11.2)에 의해, 시점 \(i=1\)의 두 금리는 다음과 같이 표현된다:
$$ r_{1,0} = r_0 + \theta_0 \times \Delta + \sigma \times \sqrt{\Delta} $$
$$ r_{1,1} = r_0 + \theta_0 \times \Delta - \sigma \times \sqrt{\Delta} $$
여기서 금리의 변동성은 과거 데이터로부터 \(\sigma = 0.0173\)(즉 1.73%)으로 설정한다. \(r_0 = 1.74\%\)이고 \(\sigma\)가 주어지면, \(r_{1,0}\)과 \(r_{1,1}\)은 모두 \(\theta_0\)의 수준에만 의존한다. 따라서 미지수 1개(\(\theta_0\))에 대해 다음의 가격결정 방정식 1개를 풀면 된다:
$$ \underbrace{97.8925}_{\text{시장 데이터}} = \underbrace{e^{-r_0 \Delta} \left[\frac{1}{2} e^{-r_{1,0}\Delta} + \frac{1}{2} e^{-r_{1,1}\Delta}\right] \times 100}_{\text{모형 가격}} $$
이 방정식의 좌변은 시장에서 관측되는 2기 무이표채의 가격이고, 우변은 Ho-Lee 트리가 생성하는 모형 가격이다. 우변의 논리를 분해하면: 만기 시점 \(i=2\)에서의 원금 100을 시점 \(i=1\)의 각 노드 금리로 한 기간 할인하고, 위험중립확률 \(\frac{1}{2}\)로 가중평균한 뒤, 다시 현재 금리 \(r_0\)로 한 기간 더 할인하는 것이다.
이 방정식은 \(\theta_0\)에 대한 비선형 방정식이므로, 수치적 탐색 알고리즘(예: Newton-Raphson 또는 이분법)을 사용하여 풀어야 한다. 탐색 결과, \(\theta_0 = 1.5674\%\)를 얻으며, 이 값에 대해 두 금리는 다음과 같다:
$$ r_{1,0} = 1.74\% + 1.5674\% \times 0.5 + 1.73\% \times \sqrt{0.5} = 3.75\% $$
$$ r_{1,1} = 1.74\% + 1.5674\% \times 0.5 - 1.73\% \times \sqrt{0.5} = 1.30\% $$
\(\theta_1\)의 결정
데이터에서 만기 \(k=3\)인 무이표채 가격은 \(P_0(3) = 96.1462\)이다. 이전 단계에서 결정된 \(\theta_0\)(따라서 \(r_{1,0}\)과 \(r_{1,1}\))를 유지하면서, 트리가 정확히 \(P_0(3) = 96.1462\)를 생성하는 \(\theta_1\)을 찾아야 한다. 구체적으로, 주어진 \(\theta_1\)에 대해 3단계 이항트리를 구성하고, 역진행법(backward induction)으로 만기 \(k=3\)인 무이표채의 모형 가격을 계산한다. 이 모형 가격이 시장 가격과 일치할 때까지 \(\theta_1\)을 반복적으로 조정한다.
\(\theta_1\)의 효과를 이해하기 위해, 두 가지 경우를 비교해 보겠다.
표 11.1: 만기 \(k=3\)인 무이표채의 두 트리
맞춰야 할 시장가격: \(P_0(3) = 96.1462\)
(A) \(\theta_1 = 0\)인 경우
| 노드 \(j\) | \(i=0\) | \(i=1\) | \(i=2\) |
|---|---|---|---|
| 0 | 1.74% | 3.75% | 4.97% |
| 1 | — | 1.30% | 2.52% |
| 2 | — | — | 0.08% |
무이표채 모형 가격: \(P_0(3) = 96.6722\) → 시장가격 96.1462보다 높음
모형 가격이 시장가격보다 높다는 것은 트리에서의 금리가 시장이 내포하는 금리보다 낮다는 의미이다. 채권 가격과 금리는 역관계이므로, 금리를 높여야(= \(\theta_1\)을 양의 방향으로 높여야) 채권 가격이 낮아져 시장가격과 일치하게 된다.
(B) 최적 \(\theta_1 = 0.021824\)인 경우
| 노드 \(j\) | \(i=0\) | \(i=1\) | \(i=2\) |
|---|---|---|---|
| 0 | 1.74% | 3.75% | 6.06% |
| 1 | — | 1.30% | 3.61% |
| 2 | — | — | 1.17% |
무이표채 모형 가격: \(P_0(3) = 96.1462\) → 시장가격과 정확히 일치
두 트리를 비교하면, 최적 \(\theta_1\)의 모든 노드가 \(\theta_1 = 0\)의 대응 노드보다 높은 금리를 가진다. 예를 들어 \(i=2\)의 최상단 노드가 4.97%에서 6.06%로 약 1.1%p 상승하였다. 이는 당시의 금리 기간구조가 우상향(upward-sloping)하고 있어, 모형이 미래 금리를 더 높은 수준으로 설정해야 현재 관측되는 장기 채권의 낮은 가격(= 높은 수익률)을 재현할 수 있기 때문이다.
이 방식으로 \(\theta_2, \theta_3, \ldots\)를 계속 결정하면, 금리 기간구조를 정확히 맞추는 완전한 위험중립 트리를 얻는다.
표 11.2: 위험중립 Ho-Lee 금리 트리
2002년 1월 8일 기준, \(\Delta = 0.5\)년, \(i=0\)~\(i=10\) (5년 기간)
\(\theta_i\) 값 (\(\times 100\))
| 시간 T | 0 | 0.5 | 1 | 1.5 | 2 | 2.5 | 3 | 3.5 | 4 | 4.5 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 기간 \(i\) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| \(\theta_i \times 100\) | — | 1.57 | 2.18 | 1.44 | 1.73 | 0.79 | 0.04 | -0.06 | 0.43 | 0.93 | 0.12 |
금리 트리 (단위: %)
| \(j\) | \(i=0\) | \(i=1\) | \(i=2\) | \(i=3\) | \(i=4\) | \(i=5\) | \(i=6\) | \(i=7\) | \(i=8\) | \(i=9\) | \(i=10\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 1.74 | 3.75 | 6.06 | 8.00 | 10.09 | 11.71 | 12.95 | 14.15 | 15.59 | 17.27 | 18.56 |
| 1 | — | 1.30 | 3.61 | 5.56 | 7.65 | 9.26 | 10.51 | 11.70 | 13.14 | 14.83 | 16.11 |
| 2 | — | — | 1.17 | 3.11 | 5.20 | 6.82 | 8.06 | 9.25 | 10.69 | 12.38 | 13.66 |
| 3 | — | — | — | 0.66 | 2.75 | 4.37 | 5.61 | 6.81 | 8.25 | 9.93 | 11.22 |
| 4 | — | — | — | — | 0.31 | 1.92 | 3.17 | 4.36 | 5.80 | 7.49 | 8.77 |
| 5 | — | — | — | — | — | -0.52 | 0.72 | 1.91 | 3.35 | 5.04 | 6.32 |
| 6 | — | — | — | — | — | — | -1.73 | -0.53 | 0.91 | 2.59 | 3.88 |
| 7 | — | — | — | — | — | — | — | -2.98 | -1.54 | 0.15 | 1.43 |
| 8 | — | — | — | — | — | — | — | — | -3.99 | -2.30 | -1.02 |
| 9 | — | — | — | — | — | — | — | — | — | -4.75 | -3.46 |
| 10 | — | — | — | — | — | — | — | — | — | — | -5.91 |
표 11.2에서 몇 가지 주목할 점이 있다. 첫째, \(\theta_i\)의 부호가 양수와 음수를 오간다. 이는 금리 기간구조의 곡률(curvature)을 반영하는 것으로, 기간구조가 순수하게 우상향만 하는 것이 아니라 볼록/오목한 부분이 있음을 나타낸다. 둘째, 그리고 이것이 Ho-Lee 모형의 핵심적 단점인데, 트리의 하단부(높은 \(j\) 값)에서 음의 금리(negative interest rates)가 나타난다. 예를 들어, \(i=5\)의 노드 5에서 금리가 \(-0.52\%\)이고, \(i=10\)의 노드 10에서는 \(-5.91\%\)에 달한다. 명목 금리가 음수가 되는 것은 경제적으로 비현실적이므로(2008년 이후 일부 국가에서 소폭의 음의 금리가 관측되기는 했으나, \(-5.91\%\)는 극단적이다), 이는 Ho-Lee 모형의 심각한 한계이다.
11.1.2 단순 Black, Derman, and Toy (BDT) 모형
Ho-Lee 모형의 주요 단점인 음의 금리 문제를 근본적으로 해결하기 위해 고안된 모형이다. 핵심 아이디어는 매우 우아하다: 금리 자체가 아니라 금리의 로그값(logarithm of the interest rate)에 대해 이항트리를 구성하는 것이다. 로그값은 음수가 될 수 있지만, 이를 다시 지수함수로 변환하면 항상 양수가 되므로, 음의 금리가 원천적으로 배제된다.
모형의 사양(Specification)
모든 시간/노드 \((i,j)\)에 대해 변수를 \(z_{i,j} = \ln(r_{i,j})\)로 정의한다. 즉, \(z_{i,j}\)는 금리의 자연로그이다. 모형은 이 로그 금리 \(z_{i,j}\)가 다음 과정을 따른다고 지정한다:
$$ z_{i+1,j} = z_{i,j} + \theta_i \times \Delta + \sigma \times \sqrt{\Delta} \quad p^* = \frac{1}{2} \quad \cdots (\text{식 }11.3) $$
$$ z_{i+1,j+1} = z_{i,j} + \theta_i \times \Delta - \sigma \times \sqrt{\Delta} \quad p^* = \frac{1}{2} \quad \cdots (\text{식 }11.4) $$
형태가 Ho-Lee 모형의 식 (11.1)-(11.2)와 동일한 것에 주목하라. 유일한 차이는 동학의 대상이 \(r_{i,j}\) 자체가 아니라 \(z_{i,j} = \ln(r_{i,j})\)라는 점이다. 로그 금리 \(z_{i,j}\)는 \(-\infty\)에서 \(+\infty\)까지 어떤 값이든 취할 수 있지만, 실제 금리는 지수함수를 통해 복원되므로:
$$ r_{i,j} = e^{z_{i,j}} > 0 \quad \text{(항상 양수)} $$
이것이 단순 BDT 모형의 핵심적 장점이다. 아무리 극단적인 하방 시나리오에서도 금리가 0 이하로 떨어지지 않는다.
Ho-Lee 모형과 달리, 여기서의 \(\sigma\)는 로그 금리의 변동성이다. 금리 자체의 변동성과 로그 금리의 변동성은 다른 개념이며, 당연히 수치도 다르다. 교과서에서는 1961~2001년 월간 로그 금리 차분의 연율화 변동성을 \(\sigma = 21.42\%\)로 보고하고 있다. Ho-Lee의 \(\sigma = 1.73\%\)와 크기가 매우 다른데, 이는 측정 대상(금리 수준 vs. 로그 금리)의 차이에서 비롯된다.
\(\theta_i\)의 결정 절차는 Ho-Lee와 동일하다: 순차적으로 각 만기의 무이표채 가격을 맞추도록 탐색한다. 다만, 금리를 \(r_{i,j} = e^{z_{i,j}}\)로 역변환하여 할인인자를 계산하는 추가 단계가 필요하다.
예제 11.2: 단순 BDT 모형의 기간구조 적합
표 11.3: 위험중립 단순 BDT 금리 트리
\(\theta_i\) 값 (\(\times 100\))
| 시간 T | 0 | 0.5 | 1 | 1.5 | 2 | 2.5 | 3 | 3.5 | 4 | 4.5 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(\theta_i \times 100\) | — | 71.82 | 69.16 | 33.48 | 33.79 | 11.82 | -2.30 | -4.38 | 4.55 | 12.81 | -1.26 |
금리 트리 (단위: %)
| \(j\) | \(i=0\) | \(i=1\) | \(i=2\) | \(i=3\) | \(i=4\) | \(i=5\) | \(i=6\) | \(i=7\) | \(i=8\) | \(i=9\) | \(i=10\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 1.74 | 2.90 | 4.77 | 6.56 | 9.03 | 11.15 | 12.83 | 14.60 | 17.38 | 21.56 | 24.93 |
| 1 | — | 2.14 | 3.52 | 4.84 | 6.67 | 8.24 | 9.47 | 10.78 | 12.84 | 15.92 | 18.41 |
| 2 | — | — | 2.60 | 3.58 | 4.93 | 6.08 | 7.00 | 7.97 | 9.48 | 11.76 | 13.60 |
| 3 | — | — | — | 2.64 | 3.64 | 4.49 | 5.17 | 5.88 | 7.00 | 8.69 | 10.05 |
| 4 | — | — | — | — | 2.69 | 3.32 | 3.82 | 4.35 | 5.17 | 6.42 | 7.42 |
| 5 | — | — | — | — | — | 2.45 | 2.82 | 3.21 | 3.82 | 4.74 | 5.48 |
| 6 | — | — | — | — | — | — | 2.08 | 2.37 | 2.82 | 3.50 | 4.05 |
| 7 | — | — | — | — | — | — | — | 1.75 | 2.09 | 2.59 | 2.99 |
| 8 | — | — | — | — | — | — | — | — | 1.54 | 1.91 | 2.21 |
| 9 | — | — | — | — | — | — | — | — | — | 1.41 | 1.63 |
| 10 | — | — | — | — | — | — | — | — | — | — | 1.21 |
표 11.3에서 모든 금리가 양수임을 확인할 수 있다. 가장 낮은 금리는 \(i=10\)의 노드 10에서 1.21%로, Ho-Lee 트리에서 동일 위치의 \(-5.91\%\)와 극명한 대조를 이룬다. 이것이 BDT 모형이 실무에서 Ho-Lee보다 선호되는 핵심적인 이유이다.
또한 BDT 트리의 \(\theta_i\) 값이 Ho-Lee보다 훨씬 크다는 점에 주목하라(\(71.82\) vs \(1.57\) 등). 이는 \(\theta_i\)가 로그 금리의 드리프트이기 때문이다. 로그 금리의 단위와 스케일이 금리 수준의 단위와 다르므로, 직접적인 수치 비교는 의미가 없다.
11.1.3 두 모형의 비교
구축 방식상, 두 모형 모두 금리 기간구조를 똑같이 정확하게 맞출 수 있다. 이는 설계 의도 자체가 기간구조 적합이기 때문이다. 그러나 미래 금리의 내재 위험중립 확률분포에서 중요한 차이가 존재하며, 이 차이가 비선형 페이오프를 가진 파생상품의 가격결정에 유의미한 영향을 미친다.
그림 11.1: \(T=5\)에서의 위험중립 금리 분포
확률분포
0.25 |
| * Ho-Lee: 좌우 대칭, 종 모양
0.20 | * *
| * *
0.15 | * *
|* * ○ 단순 BDT: 비대칭, 양의 왜도
0.10 |* * ○ ○
| * ○ ○
0.05 | *○ ○
| ○ * ○
0.00 +---○--------*---------○------○---→ 금리 (%)
-10 -5 0 5 10 15 20 25그림 11.1은 두 모형이 \(T = 5\) 시점에서 내포하는 위험중립 금리 분포를 비교한다. 두 분포의 특성은 다음과 같다:
Ho-Lee 모형: 금리의 위험중립 분포가 좌우 대칭적인 종(bell) 모양을 보인다. 음의 금리에도 비영(non-zero) 확률을 부여하며, \(\Delta \to 0\)의 극한에서 정규분포(normal distribution)에 수렴한다. 이는 Ho-Lee가 금리 수준 자체에 대해 가산적(additive) 충격을 가하기 때문이다.
단순 BDT 모형: 금리의 위험중립 분포가 양의 왜도(positive skewness)를 가진 비대칭 분포이다. 1% 미만의 금리에는 사실상 영(zero)에 가까운 확률만 부여하며, 상방으로 두꺼운 꼬리를 가진다. \(\Delta \to 0\)의 극한에서 로그정규분포(lognormal distribution)에 수렴한다. 이는 BDT가 로그 금리에 대해 가산적 충격을 가하기 때문이다.
가격결정에 미치는 영향: 두 모형 모두 금리 기간구조를 정확히 맞추므로, 무이표채나 이표채 같은 선형적 페이오프를 가진 증권의 가격에서는 중요한 차이가 없다. 그러나 옵션처럼 비선형 페이오프를 가진 증권에서는 분포의 형태가 결정적인 역할을 하므로 큰 차이를 만든다. 교과서에서 제시한 구조화 채권(structured note) 가격 비교 결과가 이를 잘 보여준다:
| 모형 | 구조화 채권 가격 |
|---|---|
| Ho-Lee | $80.0645 |
| 단순 BDT | $78.9135 |
BDT의 양의 왜도는 높은 금리 시나리오에 더 많은 확률을 부여하므로, 더 높은 기대 페이오프를 의미할 수 있다. 그러나 동시에 더 높은 금리에 의한 할인 효과가 이를 초과 상쇄하여, BDT 가격이 Ho-Lee보다 낮게 나타난다. 이처럼 분포의 형태는 기대 페이오프와 할인 효과라는 두 채널을 통해 복합적으로 가격에 영향을 미친다.
11.1.4 위험중립 트리와 미래 금리
표 11.3의 단순 BDT 모형을 보면, 현재 금리 \(r_0 = 1.74\%\)로부터 다음 시점의 금리가 \(r_{1,0} = 2.90\%\)(상승)와 \(r_{1,1} = 2.14\%\)(하락) 두 가지인데, 두 값 모두 현재 금리보다 높다. 이는 위험중립 트리가 내포적으로 "금리가 반드시 상승한다"고 예측하는 것처럼 보인다.
그러나 이것은 위험중립 트리의 올바른 해석이 아니다. 위험중립 트리는 가격결정 전용 도구이며, 미래 금리의 실제 방향에 대한 예측을 포함하지 않는다. \(\theta_i\)에는 투자자의 위험회피(risk aversion)가 내포되어 있기 때문이다. 우상향 기간구조는 투자자들이 장기 채권 보유에 대해 위험 프리미엄을 요구하고 있음을 반영할 수 있으며, 위험중립 트리의 상방 드리프트는 이 프리미엄을 금리 경로에 투영한 결과이다. 따라서 위험중립 트리에서 관측되는 금리 경로를 미래 금리의 실제 기대(real-world expectation)와 혼동해서는 안 된다.
실무적 관점에서, 단순 BDT 모형은 2003년이나 2008년 같은 극저금리 환경에서 잘 작동하지 않는다. 로그정규 구조 특성상 금리가 0 이하로 떨어질 수 없으므로, 금리 기간구조를 맞추기 위해서는 금리의 추가 하락에 사실상 영(zero)의 확률을 부여해야 한다. 이는 풋 옵션이나 플로어 같은 하방 보호 파생상품의 가격결정에 심각한 어려움을 초래한다.
11.2 위험중립 트리의 활용 (Using Risk Neutral Trees)
이 절에서는 앞서 구축한 위험중립 트리를 사용하여 다양한 금리 파생상품의 가격을 결정하는 방법을 설명한다. 구체적으로 이표채(coupon bond), 캡(cap), 플로어(floor), 스왑(swap), 스왑션(swaption) 등을 다룬다. 핵심적인 공통 원리는 역진행법(backward induction)으로, 만기 시점의 확정된 페이오프로부터 출발하여 트리를 거꾸로 추적하면서 각 노드의 현재가치를 계산하는 것이다.
11.2.1 중간 현금흐름 (Intermediate Cash Flows)
제로쿠폰채권은 만기에만 현금흐름(원금 상환)이 발생하므로, 역진행법이 단순하다. 그러나 이표채나 캡 같은 증권은 만기 이전에도 중간 현금흐름(intermediate cash flows)이 발생한다. 예를 들어 이표채는 매 반기마다 쿠폰을 지급하고, 캡은 변동금리가 행사금리를 초과할 때마다 현금을 지급한다.
트리에서 이를 포함하는 방법은 개념적으로 단순하다. 모든 시간/노드 \((i,j)\)에서 시점 \(i+1\)에 할인할 가치에 해당 시점의 현금흐름을 더한다:
$$ P_{i,j} = e^{-r_{i,j} \times \Delta} \times \left[\frac{1}{2}P_{i+1,j} + \frac{1}{2}P_{i+1,j+1} + CF(i+1)\right] \quad \cdots (\text{식 }11.6) $$
이 공식의 논리를 분해하면 다음과 같다. 시점 \(i+1\)에 투자자는 두 가지를 받는다: 증권의 시장가치(continuing value) \(P_{i+1}\)와 현금흐름(cash flow) \(CF(i+1)\). 시장가치는 그 시점 이후에 발생하는 모든 미래 현금흐름의 현재가치를 나타내며, 이는 위험중립확률 \(\frac{1}{2}\)로 가중평균된다. 여기에 해당 시점의 현금흐름을 더하면, 시점 \(i+1\)에서의 총 수취액이 된다. 이 총액을 현재 노드의 금리 \(r_{i,j}\)로 한 기간(\(\Delta\)) 할인하면 현재 노드에서의 가치를 얻는다.
예제 11.3: 이표채의 가격결정
2002년 1월 8일, 만기 1.5년, 연 3% 쿠폰(반기 지급) 채권을 고려한다. 반기마다 쿠폰 \(CF = 3\% \times 100 / 2 = 1.5\)를 지급하며, 만기에 원금 100을 상환한다. 표 11.3의 단순 BDT 트리를 사용한다.
표 11.4: 만기 \(k=3\)인 이표채 가격결정 트리
| 시점/노드 | 계산 과정 | 가격 |
|---|---|---|
| \(i=3\), 모든 노드 | 만기 원금 상환 | 100 |
| \(i=2, j=0\) (uu) | \(e^{-4.77\%/2} \times (100 + 1.5)\) | 99.1094 |
| \(i=2, j=1\) (ud) | \(e^{-3.52\%/2} \times (100 + 1.5)\) | 99.7287 |
| \(i=2, j=2\) (dd) | \(e^{-2.60\%/2} \times (100 + 1.5)\) | 100.1886 |
| \(i=1, j=0\) (u) | \(e^{-2.90\%/2} \times [\frac{1}{2}(99.1094 + 99.7287) + 1.5]\) | 99.4667 |
| \(i=1, j=1\) (d) | \(e^{-2.14\%/2} \times [\frac{1}{2}(99.7287 + 100.1886) + 1.5]\) | 100.3780 |
| \(i=0\) | \(e^{-1.74\%/2} \times [\frac{1}{2}(99.4667 + 100.3780) + 1.5]\) | 100.5438 |
이표채의 현재 가격은 $100.5438이다. 쿠폰율(3%)이 유사 만기의 시장 수익률보다 높으므로, 채권은 액면(par, 100) 이상의 프리미엄(premium)으로 거래된다. 주의할 점은, 트리의 각 노드 가격은 이표지급 후(ex-coupon) 가격이라는 것이다. 즉, 해당 시점의 쿠폰은 이미 지급된 것으로 간주하고, 이후의 미래 현금흐름만 반영한 가격이다.
11.2.2 캡과 플로어 (Caps and Floors)
캡(Cap)의 정의와 경제적 의의
금리 캡(interest rate cap)은 변동금리가 특정 수준(행사금리, strike rate) 이상으로 상승하는 것에 대한 보험을 제공하는 파생상품이다. 만기 \(T\), 행사금리 \(r_K\), 명목원금 \(N\)인 플레인바닐라 캡의 현금흐름은 다음과 같이 정의된다:
$$ CF(T_i) = \Delta \times N \times \max(r_n(T_i - \Delta) - r_K,\ 0) \quad \cdots (\text{식 }11.7) $$
여기서 \(n\)은 연간 지급 횟수, \(\Delta = 1/n\), \(r_n(T)\)은 복리 빈도 \(n\)인 기준 변동금리(reference floating rate)이다. 각 개별 지급을 캡렛(caplet)이라 하며, 캡은 일련의 캡렛으로 구성된 포트폴리오이다.
캡의 현금흐름 구조에서 중요한 특징은 시차(time lag)이다: 현금흐름이 실제로 지급되는 시점(\(T_i\))과, 그 현금흐름의 크기를 결정하는 금리가 관측되는 시점(\(T_i - \Delta\))이 한 기간만큼 차이가 난다. 즉, 시점 \(T_{i-1}\)의 금리가 시점 \(T_i\)의 현금흐름을 결정한다. 이 구조는 실무적으로 "금리 확정(rate setting)"과 "현금 정산(cash settlement)"이 다른 날에 이루어지는 관행을 반영한다.
캡의 경제적 의의는 변동금리 차입에 대한 금리 상한선 제공이다. 캡은 종종 변동금리 채권이나 대출에 부착되어 이자의 상한을 제한한다. 가장 대표적인 예는 변동금리 모기지(Adjustable Rate Mortgage, ARM) 보유자이다. ARM 차주는 캡을 통해 금리가 급등할 경우 감당할 수 없는 수준의 이자 부담으로부터 보호받을 수 있다.
플로어(Floor)의 정의
플로어는 캡과 반대 방향의 보험이다:
$$ CF(T_i) = \Delta \times N \times \max(r_K - r_n(T_i - \Delta),\ 0) \quad \cdots (\text{식 }11.8) $$
플로어는 금리 하락에 대한 보험으로, 변동금리가 행사금리 \(r_K\) 이하로 떨어질 때 보상을 제공한다. 차입자는 캡을(금리 상승 보호), 대출자(투자자)는 플로어를(금리 하락 보호) 선호하는 것이 일반적이다.
트리에서의 캡 가격결정 절차
위험중립 트리에서 캡의 가격을 결정하는 절차는 다음 세 단계로 구성된다.
Step 1: 연속복리를 복리 빈도 \(n\)으로 변환한다.
트리의 금리는 연속복리이지만, 캡의 현금흐름은 이산 복리 기준으로 정의된다. 따라서 각 노드에서 다음 변환이 필요하다:
$$ r_n(i,j) = n \times (e^{r_{i,j} \times \Delta} - 1) \quad \cdots (\text{식 }11.10) $$
Step 2: 현금흐름 트리를 구축한다.
노드 \((i,j)\)에서 결정되어 시점 \(i+1\)에 지급되는 현금흐름:
$$ CF_{i,j}(i+1) = \Delta \times N \times \max(r_n(i,j) - r_K,\ 0) \quad \cdots (\text{식 }11.9) $$
Step 3: 역진행 재귀 공식으로 현재가치를 계산한다.
$$ V_{i,j} = e^{-r_{i,j} \Delta} \times \left[\frac{1}{2}V_{i+1,j} + \frac{1}{2}V_{i+1,j+1} + CF_{i,j}(i+1)\right] \quad \cdots (\text{식 }11.12) $$
예제 11.4: 1.5년 캡의 가격결정
2002년 1월 8일, 만기 1.5년, 반기 지급(\(n=2\), \(\Delta=0.5\)), 행사금리 \(r_K = 3\%\), 명목원금 \(N = 100\)인 캡을 단순 BDT 트리를 사용하여 가격결정한다.
표 11.5: 현금흐름 트리
| 노드 | 연속복리 | 반기복리 \(r_2\) | 현금흐름 | 지급 시점 |
|---|---|---|---|---|
| \((0)\) | 1.74% | 1.75% | \(CF_0(1) = 0\) | \(i=1\) |
| \((1,u)\) | 2.90% | 2.92% | \(CF_{1,u}(2) = 0\) | \(i=2\) |
| \((1,d)\) | 2.14% | 2.15% | \(CF_{1,d}(2) = 0\) | \(i=2\) |
| \((2,uu)\) | 4.77% | 4.82% | \(CF_{2,uu}(3) = 0.910\) | \(i=3\) |
| \((2,ud)\) | 3.52% | 3.55% | \(CF_{2,ud}(3) = 0.275\) | \(i=3\) |
| \((2,dd)\) | 2.60% | 2.62% | \(CF_{2,dd}(3) = 0\) | \(i=3\) |
계산 예시로 노드 \((2,uu)\)를 살펴보겠다. 먼저 연속복리 금리 4.77%를 반기복리로 변환한다: \(r_2(2,uu) = 2 \times (e^{0.0477/2} - 1) = 4.82\%\). 이 반기복리 금리가 행사금리 3%를 초과하므로, 현금흐름은 \(CF = 0.5 \times 100 \times \max(4.82\% - 3\%, 0) = 0.5 \times 100 \times 1.82\% = 0.910\)이 된다. 반면 노드 \((2,dd)\)에서는 반기복리 금리가 2.62%로 행사금리 3%보다 낮으므로 현금흐름은 0이다.
표 11.6: 캡 가치 트리
| 노드 | 계산 | 캡 가치 |
|---|---|---|
| \(V_{2,uu}\) | \(e^{-4.77\%/2} \times 0.910\) | 0.889 |
| \(V_{2,ud}\) | \(e^{-3.52\%/2} \times 0.275\) | 0.270 |
| \(V_{2,dd}\) | \(e^{-2.60\%/2} \times 0\) | 0.000 |
| \(V_{1,u}\) | \(e^{-2.90\%/2} \times [\frac{1}{2}(0.889 + 0.270) + 0]\) | 0.571 |
| \(V_{1,d}\) | \(e^{-2.14\%/2} \times [\frac{1}{2}(0.270 + 0) + 0]\) | 0.134 |
| \(V_0\) | \(e^{-1.74\%/2} \times [\frac{1}{2}(0.571 + 0.134) + 0]\) | 0.349 |
캡의 가치는 \(V_0 = \$0.349\) (명목원금 100 기준)이다. \(V_{1,u}\)의 계산을 상세히 살펴보면: 시점 \(i=2\)의 두 자식 노드에서의 캡 가치(0.889와 0.270)를 위험중립확률 \(\frac{1}{2}\)로 가중평균하고(= 0.5795), 노드 \((1,u)\)에서 결정되어 시점 \(i=2\)에 지급되는 현금흐름 0을 더한 뒤, 노드 \((1,u)\)의 금리 2.90%로 반 년간 할인하여 0.571을 얻는다.
표 11.7: 5년 캡 (\(r_K = 2.5\%\), \(N = 100\))
Panel A: 현금흐름 트리
| \(j \backslash i\) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0.00 | 0.21 | 1.16 | 2.08 | 3.37 | 4.48 | 5.37 | 6.32 | 7.83 | 10.13 |
| 1 | — | 0.00 | 0.53 | 1.20 | 2.14 | 2.95 | 3.60 | 4.29 | 5.38 | 7.04 |
| 2 | — | — | 0.06 | 0.55 | 1.25 | 1.84 | 2.31 | 2.81 | 3.61 | 4.81 |
| 3 | — | — | — | 0.08 | 0.59 | 1.02 | 1.37 | 1.74 | 2.31 | 3.19 |
| 4 | — | — | — | — | 0.10 | 0.42 | 0.68 | 0.95 | 1.37 | 2.01 |
| 5 | — | — | — | — | — | 0.00 | 0.17 | 0.37 | 0.68 | 1.15 |
| 6 | — | — | — | — | — | — | 0.00 | 0.00 | 0.17 | 0.52 |
| 7 | — | — | — | — | — | — | — | 0.00 | 0.00 | 0.05 |
| 8 | — | — | — | — | — | — | — | — | 0.00 | 0.00 |
| 9 | — | — | — | — | — | — | — | — | — | 0.00 |
Panel B: 캡 가치 트리
| \(j \backslash i\) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 9.44 | 12.19 | 15.10 | 17.35 | 18.93 | 19.44 | 18.89 | 17.29 | 14.33 | 9.10 |
| 1 | — | 6.86 | 9.21 | 11.25 | 12.76 | 13.42 | 13.25 | 12.25 | 10.22 | 6.50 |
| 2 | — | — | 4.64 | 6.45 | 7.89 | 8.68 | 8.82 | 8.33 | 7.06 | 4.53 |
| 3 | — | — | — | 2.84 | 4.13 | 5.00 | 5.40 | 5.32 | 4.65 | 3.05 |
| 4 | — | — | — | — | 1.46 | 2.24 | 2.79 | 3.03 | 2.83 | 1.95 |
| 5 | — | — | — | — | — | 0.52 | 0.92 | 1.30 | 1.47 | 1.12 |
| 6 | — | — | — | — | — | — | 0.12 | 0.23 | 0.44 | 0.51 |
| 7 | — | — | — | — | — | — | — | 0.01 | 0.03 | 0.05 |
| 8 | — | — | — | — | — | — | — | — | 0.00 | 0.00 |
| 9 | — | — | — | — | — | — | — | — | — | 0.00 |
5년 캡의 가치는 \(V_0 = \$9.44\)이다. 캡 가치 트리의 패턴을 살펴보면, 상단 노드(금리가 높은 시나리오)에서 캡 가치가 높고 하단 노드(금리가 낮은 시나리오)에서 낮은 것을 확인할 수 있다. 이는 캡이 금리 상승에 대한 보험이므로, 금리가 높은 상태에서의 캡이 더 가치가 크다는 직관과 일치한다.
11.2.3 스왑 (Swaps)
금리 스왑의 가치는 원론적으로 할인계수(discount factors)로부터 간단히 구할 수 있다. 그러나 스왑 가치에 의존하는 파생상품—대표적으로 스왑션—의 가격결정을 위해서는, 트리 위에서 스왑 가치의 동학(dynamics)을 이해하고 추적하는 것이 필수적이다.
플레인바닐라 스왑의 현금흐름
고정금리 \(c\)를 지급하고 변동금리 \(r_n\)을 수취하는 스왑의 시점 \(T_i\) 현금흐름:
$$ CF(T_i) = \Delta \times N \times (r_n(T_i - \Delta) - c) \quad \cdots (\text{식 }11.13) $$
캡과의 핵심적 차이는 \(\max\) 함수가 없다는 점이다. 변동금리가 고정금리보다 높든 낮든 항상 현금흐름을 교환한다. 변동금리가 고정금리보다 낮으면 스왑 수취자(고정 지급자)는 순현금흐름이 음이 되어 돈을 지불해야 한다.
트리에서의 스왑 가치평가
Step 1. 현금흐름 트리 구축: 각 노드에서의 현금흐름은 \(CF_{i,j}(i+1) = \Delta \times N \times (r_n(i,j) - c)\)이다.
Step 2. 역진행법으로 스왑 가치 계산:
$$ V_{i,j}(k,c) = e^{-r_{i,j}\Delta} \left[\frac{1}{2}V_{i+1,j}(k,c) + \frac{1}{2}V_{i+1,j+1}(k,c) + CF_{i,j}(i+1)\right] \quad \cdots (\text{식 }11.15) $$
예제 11.5: 5년 스왑의 가격결정
2002년 1월 8일, 반기 지급, 5년 고정-변동 스왑을 가격결정한다. 스왑 개시 시 가치가 0이 되도록 하는 균형 스왑 금리(par swap rate)는 할인계수로부터 다음과 같이 계산된다:
$$ c = \frac{1}{2} \cdot \frac{1 - Z(0,10)}{\sum_{i=1}^{10} Z(0,i)} = 4.49\% \quad \cdots (\text{식 }11.16) $$
여기서 \(Z(0,i)\)는 시점 0에서 시점 \(i\)까지의 할인계수이다. 분자 \(1 - Z(0,10)\)은 변동금리 쪽의 현재가치와 고정금리 쪽의 현재가치를 동등하게 만드는 조건에서 도출된다.
표 11.8: 5년 스왑 트리
Panel A: 현금흐름 트리
| \(j \backslash i\) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | -1.37 | -0.78 | 0.17 | 1.09 | 2.38 | 3.49 | 4.38 | 5.33 | 6.83 | 9.14 |
| 1 | — | -1.17 | -0.47 | 0.21 | 1.15 | 1.96 | 2.61 | 3.30 | 4.39 | 6.04 |
| 2 | — | — | -0.93 | -0.44 | 0.25 | 0.84 | 1.32 | 1.82 | 2.61 | 3.81 |
| 3 | — | — | — | -0.91 | -0.41 | 0.03 | 0.37 | 0.74 | 1.32 | 2.20 |
| 4 | — | — | — | — | -0.89 | -0.57 | -0.32 | -0.05 | 0.38 | 1.02 |
| 5 | — | — | — | — | — | -1.01 | -0.82 | -0.63 | -0.31 | 0.15 |
| 6 | — | — | — | — | — | — | -1.20 | -1.05 | -0.82 | -0.48 |
| 7 | — | — | — | — | — | — | — | -1.36 | -1.20 | -0.94 |
| 8 | — | — | — | — | — | — | — | — | -1.47 | -1.28 |
| 9 | — | — | — | — | — | — | — | — | — | -1.54 |
Panel B: 스왑 가치 트리
| \(j \backslash i\) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0.00 | 4.27 | 8.18 | 11.38 | 13.86 | 15.22 | 15.50 | 14.72 | 12.58 | 8.20 |
| 1 | — | -1.53 | 2.04 | 5.04 | 7.48 | 9.03 | 9.71 | 9.58 | 8.42 | 5.58 |
| 2 | — | — | -2.79 | 0.05 | 2.44 | 4.14 | 5.18 | 5.58 | 5.21 | 3.60 |
| 3 | — | — | — | -3.83 | -1.47 | 0.36 | 1.67 | 2.51 | 2.77 | 2.10 |
| 4 | — | — | — | — | -4.47 | -2.54 | -1.00 | 0.18 | 0.92 | 0.99 |
| 5 | — | — | — | — | — | -4.74 | -3.02 | -1.58 | -0.46 | 0.15 |
| 6 | — | — | — | — | — | — | -4.55 | -2.90 | -1.50 | -0.47 |
| 7 | — | — | — | — | — | — | — | -3.89 | -2.27 | -0.93 |
| 8 | — | — | — | — | — | — | — | — | -2.85 | -1.27 |
| 9 | — | — | — | — | — | — | — | — | — | -1.52 |
스왑 가치 트리의 루트가 \(V_0 = 0.00\)임을 확인할 수 있다. 이는 \(c = 4.49\%\)가 정확히 시작 시점의 스왑 가치를 0으로 만드는 균형 스왑 금리이기 때문이다. 트리의 상단(금리 상승 시나리오)에서는 스왑 가치가 양수이고, 하단(금리 하락 시나리오)에서는 음수이다. 이는 고정금리 지급/변동금리 수취 포지션이 금리 상승 시 이익을 보고 금리 하락 시 손실을 보는 직관과 일치한다.
11.2.4 스왑션 (Swaptions)
스왑션(swaption)은 미래 시점 \(T\)에 주어진 조건의 금리 스왑에 진입할 권리(의무가 아닌)를 부여하는 옵션이다. 스왑션은 두 가지 유형이 있다:
- 수취 스왑션(Receiver swaption): 고정금리 \(r_K\)를 수취하는 스왑에 진입할 권리. 금리 하락 시 이익을 본다.
- 지급 스왑션(Payer swaption): 고정금리 \(r_K\)를 지급하는 스왑에 진입할 권리. 금리 상승 시 이익을 본다.
스왑션의 보험 기능
예시 1 (지급 스왑션): 변동금리 채권을 발행한 기업은 미래 금리 상승이 우려된다. 이 기업은 지급 스왑션을 매입하여, 금리가 크게 상승하면 스왑션을 행사하여 고정금리 \(r_K\)를 지급하고 변동금리를 수취하는 스왑에 진입한다. 이 스왑의 변동금리 수취분이 변동금리 채권의 이자 지급을 상쇄하므로, 부채를 실질적으로 고정금리로 전환하는 효과를 얻는다.
예시 2 (수취 스왑션): 콜러블 채권이나 MBS에 투자한 투자자는 금리 하락 시 조기상환/콜로 인해 높은 쿠폰을 잃을 위험이 있다. 수취 스왑션을 매입하면, 금리가 하락하여 조기상환이 발생할 때 스왑션을 행사하여 높은 고정금리를 수취하는 스왑에 진입할 수 있어, 조기상환위험을 헤지한다.
예제 11.6: 유럽형 지급 스왑션의 가격결정
다음 조건의 유럽형 지급 스왑션을 가격결정한다: 스왑션 만기 2년(\(i=4\)), 행사 시 진입하는 스왑은 잔여 만기 3년(스왑 만기 \(k=10\)), 행사 스왑 금리 \(r_K = 4.49\%\).
핵심 통찰: 스왑 가치와의 관계
스왑 금리 \(c_{i,j}(10)\)는 노드 \((i,j)\)에서의 균형 스왑 금리, 즉 그 시점에서 개시하는 스왑의 가치를 0으로 만드는 고정금리이다. 따라서 행사금리 \(r_K\)로 스왑에 진입할 때의 가치와 균형 스왑 금리 사이에는 다음 관계가 성립한다:
$$ c_{4,j}(10) > r_K \quad \Longleftrightarrow \quad V_{4,j}(10, r_K) > 0 \quad \cdots (\text{식 }11.18) $$
즉, 균형 스왑 금리가 행사금리보다 높은 노드에서만 스왑션 행사가 유리하다. 스왑션의 만기 페이오프는:
$$ \text{페이오프} = \max(V_{4,j}(10, r_K),\ 0) \quad \cdots (\text{식 }11.19) $$
표 11.8 Panel B의 \(i=4\)열에서 각 노드의 스왑 가치를 읽어 스왑션 행사 여부를 결정한다:
- \(V_{4,0} = 13.86 > 0\) → 행사 → 페이오프 = 13.86
- \(V_{4,1} = 7.48 > 0\) → 행사 → 페이오프 = 7.48
- \(V_{4,2} = 2.44 > 0\) → 행사 → 페이오프 = 2.44
- \(V_{4,3} = -1.47 < 0\) → 비행사 → 페이오프 = 0
- \(V_{4,4} = -4.47 < 0\) → 비행사 → 페이오프 = 0
표 11.9: 2년 지급 스왑션 가치 트리
| \(j \backslash i\) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 3.41 | 5.11 | 7.41 | 10.33 | 13.86 |
| 1 | — | 1.76 | 2.97 | 4.84 | 7.48 |
| 2 | — | — | 0.59 | 1.20 | 2.44 |
| 3 | — | — | — | 0.00 | 0.00 |
| 4 | — | — | — | — | 0.00 |
스왑션의 현재 가격은 $3.41이다. 이 트리에서 \(i=3\)의 \(j=3\) 노드와 \(i=4\)의 \(j=3, j=4\) 노드에서 모두 가치가 0인 것은, 금리가 충분히 하락한 시나리오에서는 스왑션이 행사되지 않기 때문이다(변동금리 수취 스왑의 가치가 음수이므로).
방법론 요약: 유럽형 스왑션 3단계 가격결정
- 행사금리 \(r_K\)로 기초 스왑의 가치 트리를 계산한다.
- 스왑션 만기 시점에서 페이오프를 계산한다: \(\max(V_{4,j}(10, r_K), 0)\).
- 만기 페이오프로부터 역진행법으로 스왑션의 현재 가격을 산출한다.
11.3 내재변동성과 Black, Derman, and Toy 모형
앞선 예제들에서 금리 트리의 입력값으로 과거 데이터에서 추정한 실증적 변동성(empirical volatility) \(\sigma\)를 사용하였다. 그러나 이러한 \(\sigma\) 값은 일반적으로 시장에서 거래되는 캡, 플로어, 스왑션의 가격을 저평가한다. 이는 시장에서 거래되는 옵션 가격에는 역사적 변동성 이상의 정보—미래 변동성에 대한 시장 참여자들의 기대, 변동성 위험 프리미엄 등—가 반영되어 있기 때문이다.
따라서 업계에서는 과거 데이터로부터 \(\sigma\)를 추정하는 대신, 거래되는 파생상품 가격으로부터 직접 \(\sigma\)를 역산하는 것이 표준적인 관행이다. 이렇게 역산된 변동성을 내재변동성(implied volatility)이라 한다.
정의 11.1: 실증적 변동성
과거 금리 변화의 시계열로부터 계산된 변동성이다. 모형에 따라 계산 방법이 다르다:
- Ho-Lee: \(\sigma = \text{std.dev.}(r_{t+\Delta} - r_t)\) (금리 변화의 표준편차)
- 단순 BDT: \(\sigma = \text{std.dev.}(\ln r_{t+\Delta} - \ln r_t)\) (로그 금리 변화의 표준편차)
정의 11.2: 내재변동성
만기 \(T\), 행사금리 \(r_K\)인 캡의 시장가격 \(\text{cap}_{Data}(T, r_K)\)와 동일한 모형 가격을 산출하는 변동성 \(\sigma\)를 내재변동성이라 한다. 수학적으로, 다음 방정식의 해 \(\sigma\)이다:
$$ \text{cap}_{Model}(T, r_K; \sigma) = \text{cap}_{Data}(T, r_K) $$
시장 데이터와의 정합성
캡/플로어/스왑션의 시장 데이터는 기초 변동금리가 LIBOR인 경우에 가장 풍부하게 이용 가능하다. 따라서 LIBOR 기반 금리 기간구조에 트리를 적합해야 한다.
표 11.10: 2004년 11월 1일 스왑 금리와 캡 가격 (발췌)
| 만기 T | 스왑 금리 (%) | 할인계수 | 캡 (Data) | 단순 BDT | Ho-Lee |
|---|---|---|---|---|---|
| 0.50 | 2.3177 | 98.8510 | 0.0456 | 0.0400 | 0.0689 |
| 1.00 | 2.5550 | 97.4834 | 0.1859 | 0.1520 | 0.2349 |
| 2.00 | 2.9320 | 94.3109 | 0.7364 | 0.4982 | 0.7050 |
| 3.00 | 3.2540 | 90.6899 | 1.5194 | 0.9961 | 1.3252 |
| 4.00 | 3.5200 | 86.8212 | 2.4288 | 1.5889 | 2.0247 |
| 5.00 | 3.7510 | 82.7938 | 3.4029 | 2.2706 | 2.7889 |
출처: Bloomberg. 두 모형 모두 상수 실증적 변동성으로는 모든 만기에서 시장가격을 놓친다.
표 11.10의 결과는 명확하다: 단순 BDT와 Ho-Lee 모두, 단일 상수 변동성 \(\sigma\)를 사용하면 모든 만기의 캡을 동시에 맞추지 못한다. 단순 BDT는 전반적으로 시장가격을 저평가하고, Ho-Lee는 단기에서 과대평가하고 장기에서 저평가하는 경향을 보인다.
11.3.1 균일(Flat) 내재변동성과 선도(Forward) 내재변동성
관측된 캡 가격을 모형과 일치시키는 단일 \(\sigma\)가 존재하지 않는다는 사실은, 각 만기별로 서로 다른 \(\sigma\)가 필요함을 의미한다.
표 11.12: 캡 내재변동성 (단순 BDT, 발췌)
| 만기 | Data | \(\sigma\)=0.188 | \(\sigma\)=0.2291 | \(\sigma\)=0.30277 | \(\sigma\)=0.28504 |
|---|---|---|---|---|---|
| 0.50 | 0.0456 | 0.0456 | 0.0518 | 0.0628 | 0.0602 |
| 1.00 | 0.1859 | 0.1674 | 0.1859 | 0.2262 | 0.2166 |
| 3.00 | 1.5194 | 1.1156 | 1.2543 | 1.5194 | 1.4528 |
| 5.00 | 3.4029 | 2.5712 | 2.9181 | 3.5562 | 3.4029 |
(굵은 값: 해당 \(\sigma\)가 그 만기의 캡을 정확히 맞추는 경우)
표에서 확인할 수 있듯이, 상수 \(\sigma\)로는 하나의 만기만 맞출 수 있고, 다른 만기는 모두 놓친다. 각 만기별 내재 균일변동성의 패턴은 다음과 같다:
$$ \sigma_{6m} = 0.188 \to \sigma_{1y} = 0.229 \to \sigma_{3y} = 0.303 \to \sigma_{5y} = 0.285 $$
내재 균일변동성이 만기에 따라 증가하다가 감소하는 "혹(hump)" 형태를 보인다. 이는 금리 변동성의 기간구조(term structure of volatility)를 반영한다.
정의 11.3: 내재 균일변동성(Implied Flat Volatility)
만기 \(T\), 행사금리 \(r_K\)인 캡의 가격을 정확히 산출하는 변동성 \(\sigma(r_K, T)\)를 내재 균일변동성이라 한다. "균일(flat)"이라는 수식어는 그 캡의 모든 기간에 동일한 \(\sigma\)가 적용됨을 의미한다. 즉, 5년 캡의 내재 균일변동성이 28.5%라 함은, 그 캡을 구성하는 모든 개별 캡렛(1기 캡렛, 2기 캡렛, ..., 10기 캡렛)에 동일한 28.5%를 적용하여 합산했을 때 시장 캡 가격과 일치한다는 의미이다.
그림 11.2: 내재 (균일) 변동성과 선도 변동성
변동성 (%)
34 |
32 | o o o
30 | o o o
28 | o o o ← 선도 변동성
26 | o o
24 | o
22 | o _______________
20 | o ___/ \___ ← 균일 변동성
18 | o ___/
16 | ___/
+----+----+----+----+----+----+----+----+--→ 만기
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10그림 11.2는 균일 변동성과 선도 변동성의 기간구조를 비교한다. 선도 변동성은 개별 기간(스텝)별 변동성이므로 균일 변동성보다 변동이 크며, 균일 변동성은 선도 변동성의 일종의 가중평균으로 해석할 수 있다.
11.3.2 선도 변동성과 Black, Derman, and Toy 모형
서로 다른 만기에 서로 다른 내재변동성이 필요하다는 사실은 위험중립 가격결정의 논리적 비일관성을 야기한다. 만약 6개월 캡에는 \(\sigma = 18.8\%\)를 적용하고, 5년 캡에는 \(\sigma = 28.5\%\)를 적용한다면, 서로 다른 두 개의 금리 트리가 존재하는 셈이다. 하나의 금리 세계에서 무차익(no-arbitrage) 가격결정을 하려면, 모든 무이표채와 모든 캡을 동시에 맞추는 단일 모형이 필요하다.
이것이 완전 BDT(Full Black, Derman, and Toy) 모형의 동기이다. 단순 BDT는 모든 스텝에서 동일한 \(\sigma\)를 사용하지만, 완전 BDT는 \(\sigma\)에 시간 인덱스를 붙여 \(\sigma_i\)로 확장한다.
재결합 문제와 해결
단순히 \(\sigma\)에 시간 인덱스를 붙이면, 식 (11.3)-(11.4)의 구조에서 재결합이 깨진다. 왜냐하면 서로 다른 경로를 거친 노드들이 서로 다른 \(\sigma\) 값의 영향을 받아 동일한 값으로 합쳐지지 않기 때문이다. BDT 모형은 이 문제를 다른 방식으로 해결한다:
$$ z_{i,j} = z_{i,0} - 2j \times \sigma_i \times \sqrt{\Delta} \quad \cdots (\text{식 }11.24) $$
즉, 각 시점 \(i\)에서의 금리 노드는 최상단 노드 \(r_{i,0}\)으로부터 등간격으로 배치된다: \(r_{i,j} = r_{i,0} \times e^{-2j\sigma_i\sqrt{\Delta}}\). 매 스텝 \(i\)에서 2개의 미지수(\(r_{i,0}\)과 \(\sigma_i\))를 2개의 방정식(무이표채 가격 + 캡 가격)으로 동시에 결정한다.
표 11.13: BDT 모형의 구조
| \(j\) | \(i=0\) | \(i=1\) | \(i=2\) |
|---|---|---|---|
| — | — | \(\sigma_1 = ?\) | \(\sigma_2 = ?\) |
| 0 | \(r_0\) | \(r_{1,0} = ?\) | \(r_{2,0} = ?\) |
| 1 | — | \(r_{1,0} \cdot e^{-2\sigma_1\sqrt{\Delta}}\) | \(r_{2,0} \cdot e^{-2\sigma_2\sqrt{\Delta}}\) |
| 2 | — | — | \(r_{2,0} \cdot e^{-4\sigma_2\sqrt{\Delta}}\) |
표 11.14: 2004년 11월 1일의 BDT 모형 (발췌)
선도 변동성 \(\sigma_i\) (%)
| 시간 T | 0 | 0.25 | 0.5 | 0.75 | 1 | 1.25 | 1.5 | 1.75 | 2 | 2.25 | 2.5 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(\sigma_i\) (%) | — | 18.77 | 18.66 | 27.77 | 30.19 | 29.76 | 30.75 | 33.98 | 31.77 | 31.99 | 30.28 |
금리 트리 (단위: %)
| \(j\) | \(i=0\) | \(i=1\) | \(i=2\) | \(i=3\) | \(i=4\) | \(i=5\) | \(i=6\) | \(i=7\) | \(i=8\) | \(i=9\) | \(i=10\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 2.17 | 2.68 | 3.21 | 4.26 | 5.37 | 6.45 | 7.97 | 10.58 | 12.02 | 14.63 | 16.36 |
| 1 | — | 2.22 | 2.66 | 3.23 | 3.97 | 4.79 | 5.86 | 7.53 | 8.74 | 10.62 | 12.08 |
| 2 | — | — | 2.21 | 2.44 | 2.94 | 3.56 | 4.31 | 5.36 | 6.36 | 7.72 | 8.93 |
| 3 | — | — | — | 1.85 | 2.17 | 2.64 | 3.17 | 3.82 | 4.63 | 5.60 | 6.59 |
| 4 | — | — | — | — | 1.60 | 1.96 | 2.33 | 2.72 | 3.37 | 4.07 | 4.87 |
| 5 | — | — | — | — | — | 1.46 | 1.71 | 1.94 | 2.45 | 2.95 | 3.60 |
| 6 | — | — | — | — | — | — | 1.26 | 1.38 | 1.79 | 2.15 | 2.66 |
| 7 | — | — | — | — | — | — | — | 0.98 | 1.30 | 1.56 | 1.96 |
| 8 | — | — | — | — | — | — | — | — | 0.95 | 1.13 | 1.45 |
| 9 | — | — | — | — | — | — | — | — | — | 0.82 | 1.07 |
| 10 | — | — | — | — | — | — | — | — | — | — | 0.79 |
정의 11.4: 선도 변동성(Forward Volatility)
\(\sigma_i\)는 만기 \(i+1\)인 캡 가격을 맞추는 BDT 모형의 스텝 \(i\) 변동성이다. "선도(forward)"라는 명칭은 이 변동성이 현재 시점이 아니라 미래의 특정 기간에 대한 변동성이라는 의미이다. 균일 변동성은 선도 변동성의 가중평균으로 해석할 수 있다.
11.4 선물가격의 위험중립 트리 (Risk Neutral Trees for Futures Prices)
\(F_{i,j}(k)\)를 노드 \((i,j)\)에서 만기 \(k\)인 선물가격이라 하자. 선물은 매일 일일정산(mark-to-market, 또는 daily settlement)되므로, 각 기간의 손익은 선물가격의 변화 자체이다. 진입 비용이 0(마진 제외)인 선물의 위험중립 세계에서의 기대이익은 0이어야 한다. 이 조건으로부터 다음이 도출된다:
$$ F_{i,j}(k) = \frac{1}{2} F_{i+1,j}(k) + \frac{1}{2} F_{i+1,j+1}(k) \quad \cdots (\text{식 }11.28) $$
이 공식의 핵심적 특징은 할인인자 \(e^{-r_{i,j}\Delta}\)가 없다는 점이다. 채권이나 옵션의 역진행에서는 미래 가치를 현재 금리로 한 기간 할인한 뒤 기대값을 취하지만, 선물에서는 단순 기대값만 취한다. 이는 선물의 일일정산 구조 때문이다: 선물 포지션 보유 비용이 0이므로, 위험중립 기대 수익률도 0이어야 하며, 이는 할인 없이 기대값을 취하는 것과 동치이다.
만기에서의 수렴 속성: 선물 만기 시점에서 선물가격은 기초자산의 가치로 수렴한다. \(F_{k,j}(k) = N \times V_{k,j}\) (여기서 \(V_{k,j}\)는 기초자산의 노드별 가치).
11.4.1 유로달러 선물 (Eurodollar Futures)
유로달러 선물은 3개월 LIBOR에 기반한 금리 선물이다. 선물가격은 관례적으로 다음과 같이 표시된다:
$$ F_{i,j}(k) = 100 - f_{i,j}(k) $$
여기서 \(f_{i,j}(k)\)는 내재 선물금리이다. 만기에서 선물금리는 실현된 3개월 금리와 일치한다:
$$ f_{k,j}(k) = r_4(k,j) = 4 \times (e^{r_{k,j} \times 0.25} - 1) \quad \cdots (\text{식 }11.31) $$
표 11.15: 유로달러 선물 트리 (발췌)
3개월 선물
| \(j \backslash i\) | 0 | 1 |
|---|---|---|
| 금리 0 / 가격 0 | 2.46 / 97.54 | 2.69 / 97.31 |
| 금리 1 / 가격 1 | — | 2.23 / 97.77 |
1년 선물
| \(j \backslash i\) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|
| 금리 0 | 2.18 | 2.69 | 3.22 | 4.28 | 5.41 |
| 금리 1 | — | 2.23 | 2.67 | 3.24 | 3.99 |
| 금리 2 | — | — | 2.21 | 2.45 | 2.95 |
| 금리 3 | — | — | — | 1.86 | 2.18 |
| 금리 4 | — | — | — | — | 1.61 |
구축 방법: 마지막 열(만기)은 식 (11.31)로 직접 계산하고, 나머지 열은 식 (11.28)로 역진행한다. 유로달러 선물은 스왑보다 유동성이 높은 경우가 많아, 실무에서는 단기(약 3년까지)의 금리 트리 구축에 유로달러 선물 데이터를 사용하기도 한다.
11.4.2 국채 및 국채 선물 (T-Note and T-Bond Futures)
국채 선물은 유로달러 선물보다 복잡한 구조를 가진다. 국채 선물 매도자(short position)는 기초증권 인도(delivery) 의무와 함께 여러 내재 옵션(embedded options)을 획득한다:
- 품질 옵션(Quality Option): 인도 적격 증권 중 어떤 것을 인도할지 선택할 수 있다. 합리적인 매도자는 가장 비용이 적은 것, 즉 최저인도채권(Cheapest-to-Deliver, CTD)을 인도한다.
- 와일드카드 옵션(Wild Card Option): 오후 2시 거래종료 후 오후 8시까지 인도 통지가 가능하다. 이 6시간 동안 채권 가격이 변동하면, 매도자는 이를 이용할 수 있다. 인도 가능 기간 동안 약 15번의 6시간 풋옵션에 해당한다.
- 월말 옵션(End-of-Month Option): 마지막 거래일(last trading day) 이후에도 인도가 가능한 타이밍 옵션이다.
전환계수(Conversion Factor)
서로 다른 쿠폰과 만기를 가진 인도 적격 채권들의 가치를 표준화하기 위해 전환계수를 사용한다. 전환계수는 수익률 6%로 가격결정한 채권의 가격(달러 단위)이다:
$$ C = \sum_{i=1}^{n} \frac{c/2}{(1+0.03)^{2(T_i - t^*)}} + \frac{1}{(1+0.03)^{2(T_n - t^*)}} \quad (y = 6\%) \quad \cdots (\text{식 }11.32) $$
표 11.16: 10년 국채 선물 전환계수 (발췌)
| 쿠폰 | 만기일 | 2008.3 | 2008.6 | 2008.9 |
|---|---|---|---|---|
| 3 1/2% | 02/15/18 | 0.8174 | 0.8210 | 0.8244 |
| 4 1/2% | 11/15/15 | 0.9105 | 0.9128 | 0.9153 |
| 4 7/8% | 08/15/16 | 0.9275 | 0.9293 | 0.9310 |
| 5 1/8% | 05/15/16 | 0.9450 | 0.9463 | 0.9478 |
출처: CBOT
CTD 결정: 베이시스
매도자의 인도 비용을 나타내는 베이시스(basis)는 다음과 같이 정의된다:
$$ \text{베이시스}_h = P^h_{k,j} - F_{k,j}(k) \times C_h \quad \cdots (\text{식 }11.33) $$
여기서 \(P^h_{k,j}\)는 채권 \(h\)의 가격, \(F_{k,j}(k)\)는 선물가격, \(C_h\)는 전환계수이다. 매도자는 인도 시 채권을 시장에서 매입하여(\(P^h\)) 선물 대금(\(F \times C_h\))을 수취하므로, 베이시스가 가장 작은(인도 비용이 가장 낮은) 채권이 CTD이다. 만기에서 선물가격은:
$$ F_{k,j}(k) = \min_h \left(\frac{P^h_{k,j}}{C_h}\right) \quad \cdots (\text{식 }11.40) $$
예제 11.7: 국채 선물 트리 구축
2002년 1월 8일 Ho-Lee 금리 트리를 사용한다.
표 11.18: 6% 국채만 인도 가능한 선물가격
| \(j \backslash i\) | 0 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|
| 0 | 102.98 | 95.66 | 88.93 |
| 1 | — | 110.30 | 102.40 |
| 2 | — | — | 118.21 |
복수 인도 증권: 품질 옵션의 영향
3%, 6%, 9% 쿠폰 국채가 인도 가능한 경우를 고려한다:
| 채권 | 쿠폰 | 전환계수 \(C\) |
|---|---|---|
| 채권 1 | 3% | 0.830559 |
| 채권 2 | 6% | 1.000000 |
| 채권 3 | 9% | 1.169441 |
표 11.20: 복수 인도 가능 선물가격 (만기 \(i=2\))
| \(j\) | 선물가격 | 3% (\(P/C\)) | 6% (\(P/C\)) | 9% (\(P/C\)) | CTD |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 (금리 상승) | 87.86 | 87.86 | 88.93 | 89.68 | 3% 국채 |
| 1 | 102.38 | 102.38 | 102.40 | 102.42 | 3% 국채 |
| 2 (금리 하락) | 117.28 | 119.51 | 118.21 | 117.28 | 9% 국채 |
핵심 발견: 금리 상승 시(채권 가격 하락, \(j=0\)) 저쿠폰(3%) 국채가 CTD이고, 금리 하락 시(채권 가격 상승, \(j=2\)) 고쿠폰(9%) 국채가 CTD이다. 이 패턴은 다음과 같이 이해할 수 있다: 전환계수는 수익률 6%를 기준으로 계산되므로, 실제 수익률이 6%보다 높을 때(금리 상승)는 저쿠폰 채권이 전환계수 대비 가장 저렴하고, 실제 수익률이 6%보다 낮을 때(금리 하락)는 고쿠폰 채권이 전환계수 대비 가장 저렴해진다.
또한 복수 인도 가능 선물가격은 단일 인도 가능 선물가격(표 11.18)보다 항상 낮거나 같다. 예를 들어 \(i=0\)에서 단일 인도 가격이 102.98인데 비해, 복수 인도 시 선물가격은 더 낮아진다. 이 차이가 바로 품질 옵션의 가치를 반영한다. 매도자가 가장 유리한 채권을 선택하여 인도할 수 있는 옵션의 가치만큼, 선물가격이 낮아지는 것이다.
11.5 내재 트리: 최종 고찰 (Implied Trees: Final Remarks)
완전 BDT 모형은 전체 금리 기간구조와 옵션 가격을 모두 맞출 수 있는 강력한 도구이다. 이는 원칙적으로 트리 위에서 무이표채로 캡을 복제하거나, 단기 캡으로 장기 캡을 복제하는 것이 가능함을 의미한다. 즉, 단일의 일관된 무차익(no-arbitrage) 프레임워크 안에서 모든 증권이 가격결정된다.
그러나 이러한 유연성에는 대가가 따르며, 그것은 과적합(overfitting)의 위험이다. 모형은 가격결정하고자 하는 증권(무이표채 + 캡)의 수만큼의 자유도(\(r_{i,0}\)과 \(\sigma_i\))를 가진다. 따라서 시장 데이터에 완벽히 맞지만, 파라미터(\(\sigma_i\))의 시간적 안정성(temporal stability)이 부족하다. 오늘의 캘리브레이션 결과가 내일의 시장 데이터에 대해서는 유효하지 않을 수 있다. 이 때문에 실무에서 트레이더들은 매일 모형을 재적합(re-calibrate)한다.
모형의 실무적 활용
1. 헤지 비율 계산
$$ \text{헤지 비율} = \frac{c_{1,u} - c_{1,d}}{V_{1,u} - V_{1,d}} \quad \cdots (\text{식 }11.41) $$
여기서 \(c\)는 매도한 증권(예: 캡)의 각 노드에서의 가치이고, \(V\)는 헤지 증권(예: 스왑)의 각 노드에서의 가치이다. 이 비율은 매도한 증권의 위험을 상쇄하기 위해 헤지 증권을 얼마나 보유해야 하는지를 알려준다.
2. 다른 파생상품 가격결정
한 번 캘리브레이션된 트리는 구조화 채권, 스왑션, 미국형 스왑션(American swaption), 버뮤다형 옵션(Bermudan option) 등 다양한 파생상품의 가격결정에 사용할 수 있다. 이들 가격은 캘리브레이션에 사용된 캡/무이표채와 자연스럽게 무차익 관계를 유지한다.
11.6 요약 (Summary)
1. 위험중립 트리
위험중립 트리는 금리 파생상품 가격결정을 위해 특별히 설계된 이항트리로, 위험중립확률을 \(p^* = \frac{1}{2}\)로 고정하고 노드를 조정하여 금리 기간구조에 적합시킨다.
- (a) Ho-Lee 모형: 금리 수준에 대한 가산적(additive) 동학. 금리 기간구조를 정확히 적합. \(\Delta \to 0\)에서 정규분포에 수렴. 단점: 음의 금리를 허용.
- (b) 단순 BDT 모형: 로그 금리에 대한 가산적 동학. 금리 기간구조를 정확히 적합. \(\Delta \to 0\)에서 로그정규분포에 수렴. 단점: 극저금리 환경에서 하방 확률이 부족.
- (c) 완전 BDT 모형: 캡의 변동성 기간구조도 동시에 적합. 스텝별 \(\sigma_i\)가 시간에 따라 다름. 단순 BDT는 상수 \(\sigma\)인 특수 사례.
2. 캡과 플로어
캡은 캡렛(caplet)의 포트폴리오이고, 플로어는 플로렛(floorlet)의 포트폴리오이다. 현금흐름 트리를 먼저 구축하고, 역진행법을 적용하여 이항트리에서 가격을 결정한다. 캡렛/플로렛의 현금흐름에는 금리 확정 시점과 현금 정산 시점 사이의 시차가 존재함에 유의해야 한다.
3. 실증적 금리 변동성
역사적 금리 시계열로부터 직접 계산한 변동성이다. Ho-Lee에서는 금리 변화(\(\Delta r\))의 표준편차이고, BDT에서는 로그 금리 변화(\(\Delta \ln r\))의 표준편차이다.
4. 캡/플로어 내재변동성 (균일 변동성)
주어진 캡/플로어의 시장가격을 정확히 재현하는 금리 과정의 변동성이다. 단일 \(\sigma\)가 해당 캡의 모든 기간(모든 캡렛)에 동일하게 적용되므로 "균일(flat)"이라 한다.
5. 캡/플로어 선도 변동성
각 개별 캡렛/플로렛의 가격을 결정하는 기간별(period-specific) 변동성이다. 균일 변동성은 선도 변동성의 가중평균으로 해석할 수 있다. 완전 BDT 모형을 통해 금리 기간구조와 변동성 기간구조를 동시에 적합할 수 있다.
6. 스왑과 스왑션
스왑은 고정금리와 변동금리를 교환하는 계약이며, 스왑션은 미래 시점에 스왑에 진입할 옵션이다. 수취 스왑션은 고정금리를 수취하는 스왑에 진입할 권리(금리 하락 시 이익)이고, 지급 스왑션은 고정금리를 지급하는 스왑에 진입할 권리(금리 상승 시 이익)이다.
7. 선물의 위험중립 이항트리
선물은 일일정산되므로, 위험중립 기대 선물가격 = 현재 선물가격이다(할인이 적용되지 않음). 만기의 선물가격(= 기초자산 가치)으로부터 출발하여, 식 (11.28)의 단순 기대값 공식으로 역진행하여 트리를 구축한다.
8. 최저인도채권 (Cheapest-to-Deliver)
국채 선물 매도자의 품질 옵션과 관련된 개념이다. 금리 상승 시 저쿠폰 국채가 CTD이고, 금리 하락 시 고쿠폰 국채가 CTD이다. 품질 옵션의 존재는 복수 인도 가능 선물가격을 단일 인도 가능 선물가격보다 낮추며, 이 차이가 품질 옵션의 가치를 반영한다.
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