CHAPTER 12
미국형 옵션 (American Options)
서론: 미국형 옵션의 정의와 중요성
수많은 금리 증권(interest rate securities)에는 미국형 옵션(American options)이 내재되어 있다. 미국형 옵션이란, 옵션 보유자가 사전에 정해진 만기 이전 언제든지 일정한 페이오프를 받을 수 있는 권리를 의미한다. 이는 만기일에만 행사할 수 있는 유럽형 옵션(European options)과 근본적으로 구별되는 특성이다. 유럽형 옵션에서는 보유자의 의사결정이 단 한 번(만기일)에 집중되지만, 미국형 옵션에서는 만기일까지의 모든 시점이 잠재적인 의사결정 시점이 된다. 이 추가적인 유연성은 미국형 옵션의 가치를 유럽형 대응 옵션보다 항상 같거나 높게 만드는 핵심적인 요인이다.
이러한 미국형 옵션 중 일부는 계약 조건에 명시적으로 기술되어 있지만, 다른 일부는 다소 숨겨져 있어 다른 금리 증권 내부에 내재(embedded)된 형태로만 존재한다. 대표적인 예가 콜러블 채권(callable bonds)에 내재된 콜 옵션과 모기지(mortgage)에 내재된 조기상환 옵션(prepayment option)이다. 이러한 내재 옵션의 존재는 증권의 가격 결정(pricing), 헤지(hedging), 리스크 관리(risk management)를 복잡하게 만들며, 이를 올바르게 다루기 위해서는 체계적인 방법론이 필요하다.
본 장에서는 10장과 11장에서 개발한 이항 트리(binomial tree) 방법론이 이러한 복잡한 증권의 가격 결정 및 헤지 전략에 어떻게 적용될 수 있는지를 상세히 보인다. 이항 트리의 역진법(backward induction)이 미국형 옵션의 최적 행사 시점(optimal exercise timing)을 결정하기에 특히 적합한 도구라는 것을 확인하고, 이 방법론을 세 가지 대표적인 미국형 옵션 증권에 적용한다: 콜러블 채권(callable bonds), 미국형 스왑션(American swaptions), 주택저당증권(mortgage backed securities, MBS).
정의 12.1: 미국형 옵션 (American Option)
미국형 콜 옵션(American Call Option)은 두 거래 상대방 간의 계약으로, 한 당사자(옵션 매수자, buyer)는 만기 시점 \(T\) 이전 또는 당일에 미리 정해진 가격(행사가격, strike price)으로 특정 증권을 매입할 수 있는 권리(의무가 아님)를 갖고, 다른 당사자(옵션 매도자, writer)는 해당 증권을 매도할 의무를 진다.
미국형 풋 옵션(American Put Option)은 유사한 계약으로, 옵션 매수자가 만기 시점 \(T\) 이전 또는 당일에 미리 정해진 가격으로 특정 증권을 매도할 수 있는 권리를 갖고, 옵션 매도자는 해당 증권을 매수할 의무를 진다.
핵심적인 차이를 다시 강조하면, 유럽형 옵션은 만기일 \(T\)에서만 행사 가능하지만, 미국형 옵션은 \(0 \le t \le T\)인 모든 시점 \(t\)에서 행사 가능하다. 이 조기 행사(early exercise)의 가능성이 미국형 옵션의 가격결정을 복잡하게 만드는 근본 원인이다. 옵션 보유자는 매 순간 "지금 행사하는 것이 나은가, 아니면 기다리는 것이 나은가?"라는 질문에 답해야 하며, 이 의사결정은 미래의 모든 가능한 시나리오를 고려해야 하기 때문이다.
표 12.1 2002년 1월 8일 미국 재무부 콜러블 채권
| 만기(Maturity) | 쿠폰(%) | 최초 콜 일자 | 매수호가(Bid) | 매도호가(Ask) |
|---|---|---|---|---|
| 2007.02.15 | 7.625 | 2002.02.15 | 100.5625 | 100.5938 |
| 2007.11.15 | 7.875 | 2002.11.15 | 104.7188 | 104.7500 |
| 2008.08.15 | 8.375 | 2003.08.15 | 108.4219 | 108.4531 |
| 2008.11.15 | 8.750 | 2003.11.15 | 110.1406 | 110.1719 |
| 2009.05.15 | 9.125 | 2004.05.15 | 112.3438 | 112.3750 |
| 2009.11.15 | 10.375 | 2004.11.15 | 117.3906 | 117.4219 |
| 2010.02.15 | 11.750 | 2005.02.15 | 122.4688 | 122.5000 |
| 2010.05.15 | 10.000 | 2005.05.15 | 118.0000 | 118.0313 |
| 2010.11.15 | 12.750 | 2005.11.15 | 129.9063 | 129.9375 |
| 2011.05.15 | 13.875 | 2006.05.15 | 137.2500 | 137.2813 |
| 2011.11.15 | 14.000 | 2006.11.15 | 140.8750 | 140.9063 |
| 2012.11.15 | 10.375 | 2007.11.15 | 127.8594 | 127.9219 |
| 2013.08.15 | 12.000 | 2008.08.15 | 139.2344 | 139.2969 |
| 2014.05.15 | 13.250 | 2009.05.15 | 150.1406 | 150.2031 |
| 2014.08.15 | 12.500 | 2009.08.15 | 146.4688 | 146.5313 |
| 2014.11.15 | 11.750 | 2009.11.15 | 142.4844 | 142.5469 |
출처: CRSP (Daily Treasuries), The University of Chicago Booth School of Business.
표 12.1은 2002년 1월 8일 기준으로 미국 재무부가 발행한 콜러블 채권들의 목록을 보여준다. 이 채권들은 1970년대 말과 1980년대 초의 고금리 환경에서 발행된 것으로, 당시 미국 정부는 향후 금리가 하락할 경우 기존의 높은 쿠폰 채권을 회수하고 저금리 채권으로 대체할 수 있는 유연성을 확보하기 위해 콜 옵션을 부여했다. 쿠폰 금리가 7.625%에서 14.000%까지 매우 높은 수준인 것은 당시의 높은 금리 환경을 반영한다. 2002년 시점에서 대부분의 채권이 액면가(100)를 상회하는 가격에 거래되고 있는 것은, 이미 금리가 크게 하락하여 높은 쿠폰의 가치가 상당함을 보여주는 것이다.
12.1 콜러블 채권 (Callable Bonds)
1970년대 말과 1980년대 초의 미국 정부를 포함하여, 많은 채권 발행자들은 콜러블 채권(callable bonds)을 발행할 수 있다. 콜러블 채권이란 표준 고정 쿠폰 채권이지만, 발행자가 만기 전 정해진 기간 동안 액면가(par value)로 채권을 매입할 수 있는 옵션을 보유하는 채권이다. 이 옵션은 발행자에게 부여된 것이므로, 채권 매수자(투자자)의 관점에서는 숏 옵션(short option) 포지션을 갖는 것과 같다.
예를 들어, 표 12.1의 2012년 11월 만기 미국 재무부 채권은 2007년 11월부터 액면가로 콜(call) 가능하다. 이는 2007년 11월 이후, 미국 정부가 원할 때 언제든지 이 채권을 $100에 매입할 수 있음을 의미한다. 최초 콜 일자(First Call Date) 이전의 기간을 록아웃 기간(lockout period)이라 하며, 이 기간 동안에는 발행자가 콜 옵션을 행사할 수 없다. 미국 정부가 쿠폰 지급일 사이에 채권을 콜하는 경우, 채권 보유자에게 마지막 쿠폰 지급일 이후 경과한 기간에 대한 경과이자(accrued interest)를 지급해야 한다.
콜러블 채권의 핵심 직관
콜러블 채권의 발행자(또는 미국 정부)는 자신에게 유리할 때만 채권을 콜백(call back)하는 옵션을 행사한다. 미국 정부는 고금리 시기에 수많은 콜러블 채권을 발행했는데, 향후 인플레이션과 금리가 하락할 것이라는 기대가 있었기 때문이다. 금리가 실제로 하락하면, 높은 쿠폰을 지급하는 기존 채권을 회수하고 현재의 낮은 금리를 반영하는 새로운 채권으로 차환(refinance)하는 것이 유리하다. 이는 주택소유자가 모기지 금리가 하락했을 때 기존 모기지를 갚고 새로운 저금리 모기지를 받는 것과 동일한 논리이다.
그렇다면, 콜러블 채권 발행자가 채권을 매입하는 최적 시점(optimal timing)은 어떻게 결정할 수 있는가? 이러한 옵션성(optionality)이 채권의 가격 결정과 헤지에 어떤 영향을 미치는가? 10장과 11장에서 개발한 금리 트리(interest rate tree) 방법론이 이 질문들에 답하기 위한 편리한 도구를 제공한다.
예제 12.1: 콜러블 채권의 콜 옵션
11장 Section 11.2.1, 표 11.4에서 논의한 1.5년 만기, 3% 쿠폰 채권을 고려하되, \(i = 1\)부터 액면가(100)으로 콜 가능(callable at par)하다고 가정한다. 즉, \(i = 0\)에서는 콜 불가능하며, 이는 록아웃 기간에 해당한다.
콜러블 채권의 가격을 구하기 위해, 이 증권을 두 개의 증권으로 구성된 포트폴리오로 분해하여 생각한다. 이 분해는 콜러블 채권의 가격결정을 이해하는 데 핵심적인 통찰을 제공한다.
(1) 비콜러블 채권(Non-callable Bond): 노드 \((i, j)\)에서의 가치가 \(P_{i,j}(3)\)인 일반 채권이다. 이는 콜 옵션이 없는 표준적인 고정 쿠폰 채권이며, 표 11.4에서 이미 계산되었다(표 12.2 패널 A에 보고).
(2) 미국형 콜 옵션(American Call Option): 정부(발행자)가 채권을 콜하면 다음과 같은 페이오프를 얻는다.
$$ \text{노드 } (i,j) \text{에서의 콜 옵션 페이오프} = \max(P_{i,j}(3) - 100, \, 0) \quad \text{... (식 12.1)} $$
이 식의 의미를 직관적으로 해석하면 다음과 같다. 옵션을 행사하면 정부는 채권 보유자에게 액면가 $100을 지불하지만, 가치가 \(P_{i,j}(3)\)인 채권을 회수한다. 따라서 정부의 순이익은 \(P_{i,j}(3) - 100\)이다. 당연히 이 값이 음수이면(즉, 채권 가격이 액면가 미만이면) 정부는 콜 옵션을 행사하지 않는다. 채권 가격이 액면가 미만이라는 것은 현재 시장 금리가 쿠폰 금리보다 높다는 것을 의미하므로, 기존 채권을 유지하는 것이 유리하기 때문이다.
문제는 언제 이 옵션을 행사하는 것이 최적인가이다. 유럽형 옵션과 달리, 미국형 옵션에서는 옵션이 내가격(in-the-money)이라고 해서 즉시 행사하는 것이 항상 최적인 것은 아니다. 대기(waiting)에 가치가 있을 수 있기 때문이다. 이 문제를 트리 위에서 역진법(backward induction)으로 해결할 수 있다.
미국형 콜 옵션의 최적 행사 결정: 3단계 프로세스
노드 \((i, j)\)에서 발행자는 옵션을 행사(Exercise)할지 대기(Wait)할지 결정한다. 이 결정의 각 단계를 상세히 살펴보자.
Step 1: 행사 시 가치(Exercise Value)
노드 \((i, j)\)에서 옵션을 즉시 행사하면 얻는 페이오프는 다음과 같다.
$$ C^{Ex}_{i,j} = P_{i,j}(3) - 100 $$
이것은 비콜러블 채권의 현재 가격에서 행사가격(액면가)을 뺀 값이다. 이 값이 양수이면 옵션이 내가격(in-the-money)이고, 음수이면 외가격(out-of-the-money)이다.
Step 2: 대기 시 가치(Continuation Value)
옵션을 행사하지 않고 다음 기간까지 기다리면, 미래에 더 유리한 조건에서 행사할 수 있는 기회를 보존한다. 대기의 가치는 미래 옵션 가치의 위험중립 기대 할인값으로 계산된다.
$$ C^{Wait}_{i,j} = e^{-r_{i,j} \cdot \Delta} \cdot E^*[C_{i+1}] = e^{-r_{i,j} \cdot \Delta} \left[ \frac{1}{2} C_{i+1,j} + \frac{1}{2} C_{i+1,j+1} \right] $$
여기서 \(\frac{1}{2}\)은 위험중립확률(\(p^* = q = \frac{1}{2}\))이며, \(e^{-r_{i,j}\Delta}\)는 한 기간의 할인인자이다. 이 식은 "다음 기간에 금리가 상승하든 하락하든, 미래의 옵션 가치를 위험중립확률로 가중평균한 후 현재 금리로 할인한 것"으로 해석할 수 있다.
Step 3: 최적 결정(Optimal Decision)
옵션 보유자(여기서는 발행자)는 가치를 극대화하도록 합리적으로 행동한다. 따라서 행사 가치와 대기 가치 중 큰 쪽을 선택한다.
$$ C_{i,j} = \max\left( C^{Wait}_{i,j}, \; C^{Ex}_{i,j} \right) = \max\left( e^{-r_{i,j} \times \Delta} \cdot E^*[C_{i+1}], \; P_{i,j}(3) - 100 \right) \quad \text{... (식 12.2)} $$
이 식이 미국형 옵션 가격결정의 핵심 재귀 방정식(recursive equation)이다. 트리의 매 노드에서 이 비교를 수행하여, 행사가 최적인 노드와 대기가 최적인 노드를 식별한다.
만기 경계 조건(Terminal Boundary Condition)
만기 \(I = T/\Delta\)에서 옵션은 무가치하게 만료된다. 이는 발행자가 만기에 어차피 액면가로 채권을 상환해야 하므로, 콜 옵션을 행사하는 것이 아무런 추가 이익을 가져다주지 않기 때문이다.
$$ C_{I,j} = 0 \quad \text{모든 } j \text{에 대해} $$
이 최종값을 시작점으로 식 (12.2)의 역진법을 트리의 끝에서부터 현재 시점까지 반복 적용하면, 각 노드에서의 옵션 가치와 최적 행사 여부를 모두 결정할 수 있다. 결과 트리는 표 12.2와 같으며, 현재 시점에서 채권을 조기에 콜할 수 있는 옵션의 가치는 \(C_0 = 0.1874\)이다.
콜러블 채권의 가격
콜러블 채권의 매수자(투자자)는 실질적으로 비콜러블 채권에 대한 롱 포지션(long position)과 미국형 콜 옵션에 대한 숏 포지션(short position)을 동시에 갖는 것이다. 투자자가 채권을 매수할 때 발행자에게 콜 옵션을 내재적으로 매도하는 것이므로, 콜러블 채권의 가격은 비콜러블 채권의 가격보다 옵션 가치만큼 낮아야 한다.
$$ V^{cb}_0(3) = P_0(3) - C_0 = 100.5438 - 0.1874 = 100.3564 $$
표 12.2 콜러블 채권의 콜 옵션
패널 A: 3%, 1.5년 비콜러블 채권
| \(t=0\), \(i=0\) | \(t=0.5\), \(i=1\) | \(t=1\), \(i=2\) | \(t=1.5\), \(i=3\) | |
|---|---|---|---|---|
| \(j=0\) | \(P_0(3) = 100.5438\) | \(P_{1,u}(3) = 99.4667\) | \(P_{2,uu}(3) = 99.1094\) | \(P_{3,uuu}(3) = 100\) |
| \(j=1\) | \(P_{1,d}(3) = 100.3780\) | \(P_{2,ud}(3) = 99.7287\) | \(P_{3,uud} = 100\) | |
| \(j=2\) | \(P_{2,dd}(3) = 100.1886\) | \(P_{3,udd} = 100\) | ||
| \(j=3\) | \(P_{3,ddd}(3) = 100\) |
패널 B: 콜 옵션
| \(i=0\) | \(i=1\) | \(i=2\) | \(i=3\) | |
|---|---|---|---|---|
| \(j=0\) | \(C_0 = e^{-1.75\%/2} \times \frac{1}{2}(0 + 0.3780) = 0.1874\) | \(C_{1,u} = \max(99.4667 - 100, \; e^{-2.90\%/2} \times 0) = 0\) | \(C_{2,uu} = \max(99.1094 - 100, 0) = 0\) | 0 |
| \(j=1\) | \(C_{1,d} = \max(100.3780 - 100, \; e^{-2.14\%/2} \times \frac{0+0.1886}{2}) = 0.3780\) | \(C_{2,ud} = \max(99.7287 - 100, 0) = 0\) | 0 | |
| \(j=2\) | \(C_{2,dd} = \max(100.1886 - 100, 0) = 0.1886\) | 0 | ||
| \(j=3\) | 0 |
직관적 해석: 위 예제에서 발행자는 \(i = 1\)에서 금리가 \(r_{1,d}\)로 이동하거나 \(i = 2\)에서 \(r_{2,dd}\)로 이동할 때 채권을 콜한다. 금리가 하락하면 채권 가격이 상승하여, 정부가 높은 가격의 증권을 단 $100에 매입하는 것이 수익성이 있기 때문이다. 달리 말하면, 금리 하락 시 정부는 더 저렴한 금리로 부채를 차환(refinance)할 수 있으므로 콜 옵션을 행사하는 것이 합리적이다.
특히 노드 \((1, d)\)에서의 의사결정을 자세히 살펴보면 흥미로운 점을 발견할 수 있다. 이 노드에서 비콜러블 채권 가격은 \(P_{1,d}(3) = 100.3780\)이므로, 즉시 행사 시 페이오프는 \(100.3780 - 100 = 0.3780\)이다. 한편, 대기의 가치는 \(e^{-2.14\%/2} \times \frac{0 + 0.1886}{2} = 0.0933\)으로 즉시 행사보다 낮다. 따라서 이 노드에서는 즉시 행사가 최적이며, 옵션 가치는 \(C_{1,d} = 0.3780\)이 된다.
12.1.1 미국 재무부 채권에 대한 적용
이 "최적" 행사 모형은 실제로 작동하는가? 합리적인 가격을 생성하는가? 모형의 정확성을 검증하기 위해, 먼저 11장 Section 11.1.2의 단순 BDT(Black, Derman, and Toy) 모형을 비콜러블 채권에 피팅(fitting)한 후, 동일한 날짜의 콜러블 채권에 대해 올바른 가격을 산출하는지 확인한다.
예제 12.2: 미국 재무부 콜러블 채권 가격 산정
11장의 표 11.3에는 2002년 1월 8일의 제로쿠폰 채권에 피팅된 단순 BDT 모형이 포함되어 있다. 이 트리를 사용하여 콜러블 채권의 가격을 산정할 수 있다.
표 12.1에서 2014년 8월 15일 만기 콜러블 채권(쿠폰 12.5%)을 고려한다. 최초 콜 일자는 2009년 8월 15일이다. 따라서 이 채권은 2002년 1월 8일부터 2009년 8월 15일까지 약 7.5년의 록아웃 기간을 가지며, 그 이후부터 2014년 8월 15일까지 약 5년 동안 콜 가능하다. 이 채권의 가격을 산정하려면 표 11.3의 금리 트리를 더 긴 만기로 확장해야 한다.
미국형 콜 옵션의 결과 트리는 표 12.3에 제공된다. 이 표에서 음영 처리된 영역은 미국형 콜 옵션이 행사되는 시간/노드 조합에 해당한다. \(T = 7.5\) (즉, \(i = 15\)) 이전에는 록아웃 기간이므로 옵션을 행사할 수 없다. \(T = 7.5\)에서는 금리가 \(r_{15,6} = 8.11\%\) 미만일 때 옵션이 행사된다. 이는 금리가 충분히 낮아 채권 가격이 액면가를 상회하는 경우에 해당한다.
콜러블 채권 가격 계산
- 표 12.3 패널 A에서 비콜러블 채권의 가격 = $169.732
- 표 12.3 패널 B에서 콜 옵션의 가치 = $22.33
$$ V^{cb}_0(T) = \$169.732 - \$22.33 = \$147.40 $$
이 값은 표 12.1의 거래 가격인 $146.5 (매수/매도 평균)에 근접한다. 약 $0.90의 차이는 유동성 프리미엄, 모형 오차, 그리고 매수-매도 스프레드(bid-ask spread) 등에 기인한다.
대기의 가치(Value of Waiting)에 대한 중요한 관찰
단순 3기간 예제(표 12.2)에서는 옵션이 내가격(in-the-money)일 때, 즉 \(P_{i,j} - 100 > 0\)일 때 항상 행사하는 것이 최적이었다. 그러나 이것이 항상 성립하는 것은 아니다. 대기에는 가치가 있기 때문이다.
표 12.3에서 포지션 \((i, j) = (15, 5)\)를 고려하자. 이 노드에서의 상황을 자세히 분석하면 다음과 같다.
- 미국형 콜의 가치: \(C_{i,j} = \$8.37\)
- 비콜러블 채권 가격: \(P_{i,j}(3) = \$107.404\)
- 즉시 행사 시 페이오프: \(P_{i,j}(3) - 100 = 107.404 - 100 = \$7.404\)
그러나 대기하는 것이 더 높은 (위험중립) 기대 수익을 제공한다.
$$ e^{-10.99\%/2} \times \frac{4.59 + 13.10}{2} = \$8.372 $$
이것은 즉시 행사의 페이오프 $7.404보다 약 $0.97 높다. 따라서 이 경우 발행자(재무부)가 대기하는 것이 유리하다. 왜 대기가 더 가치가 있는가? 이 노드에서 금리가 추가로 하락할 가능성이 있으며, 금리가 더 하락하면 채권 가격이 더 상승하여 더 큰 페이오프를 얻을 수 있기 때문이다. 이 "옵션의 시간가치(time value of the option)"가 즉시 행사의 "내재가치(intrinsic value)"를 상회하는 상황이다.
표 12.3 미국형 콜 트리 (The American Call Tree)
패널 A: 비콜러블 채권 (Non-callable Bond)
아래 표는 비콜러블 채권 가격 트리의 주요 노드를 보여준다. 시간 간격은 0.5년이며, 쿠폰은 12.5% (반기 6.25%)이다. 금리가 상승(\(j\) 감소)하면 채권 가격이 하락하고, 금리가 하락(\(j\) 증가)하면 채권 가격이 상승하는 패턴이 명확히 나타난다.
| \(j \backslash i\) | 0 | 1 | 2 | 5 | 10 | 15 | 20 | 25 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 169.73 | 155.63 | 141.91 | 105.89 | 59.77 | 32.32 | 19.60 | 100.00 |
| 1 | 174.30 | 161.40 | 115.83 | 70.12 | 41.78 | 30.58 | 100.00 | |
| 5 | 186.89 | 113.49 | 82.76 | 88.14 | 100.00 | |||
| 10 | 181.07 | 153.76 | 130.59 | |||||
| 15 | 159.15 |
패널 B: 콜 옵션 트리
| \(j \backslash i\) | 0 | 1 | 2 | 5 | 10 | 15 | 20 | 25 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 22.33 | 19.00 | 15.77 | 7.46 | 0.52 | 0.00 | 0.00 | 0.00 |
| 1 | 26.06 | 22.79 | 10.48 | 0.97 | 0.00 | 0.00 | 0.00 | |
| 5 | 8.37 | 0.02 | 0.00 | 0.00 | ||||
| 10 | 53.42 | 53.76 | 30.59 | |||||
| 15 | 59.15 |
트리 해석: \(T = 7.5\) (= \(i = 15\)) 이전에는 옵션 행사 불가(록아웃 기간). \(T = 7.5\) 이후, 음영 영역에서 행사가 발생하며, 이는 주로 금리가 충분히 낮아 채권 가격이 액면가를 상회하는 노드들이다. 채권이 만기에 가까워질수록(\(i \to 25\)), 쿠폰 지급 횟수가 줄어들어 콜 옵션의 가치도 0으로 수렴한다.
12.1.2 콜러블 채권의 음의 볼록성 (Negative Convexity)
콜러블 채권에 내재된 숏 미국형 옵션(short American option)이 채권 가격과 금리 간의 관계에 어떤 영향을 미치는가? 이 질문은 리스크 관리의 핵심적인 문제이다.
4장에서 다루었듯이, 비콜러블 증권의 가격과 금리 사이에는 자연스러운 양의 볼록성(positive convexity) 관계가 존재한다. 양의 볼록성이란 금리가 하락할 때 가격 상승률이 점점 가속된다는 것을 의미한다. 즉, 금리가 1% 하락하면 가격이 일정 비율로 상승하지만, 금리가 추가로 1% 하락하면 가격이 더 큰 비율로 상승한다. 이는 투자자에게 유리한 특성이며, 볼록성이 높은 채권이 선호되는 이유이기도 하다.
그러나 콜러블 채권에서는 더 이상 이것이 성립하지 않는다. 금리가 하락하면, 발행자가 채권을 콜백할 가능성이 높아지고, 이에 따라 채권 가격이 콜 가격(액면가)에 수렴하게 된다. 이를 음의 볼록성(negative convexity)이라 하며, 금리가 하락할수록 가격 상승률이 점차 둔화되고 결국 가격이 콜 가격에 의해 상한이 제한되는 현상을 가리킨다.
그림 12.1: 콜러블 채권의 음의 볼록성 (Negative Convexity in Callable Bonds)
2014년 8월 15일 만기 콜러블 재무부 채권의 가격 프로파일을 세 가지 시점에서 보여준다.
가격($)
115 |
| (1) 콜 일자 1년 전
110 | . . . . . . . . . . . . . .. . . .
| . . .
105 | . (2) 콜 일자 6개월 전 . .
| . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
100 |. . . . . . . . . . . . . . . . . . (3) 콜 일자 당일
| . . . . .
95 | . . .
| . . .
90 | . . .
| . .
85 | . .
| .
80 |.
|
75 |
|
70 +----+----+----+----+----+----+----+----+----+----
0% 2% 4% 6% 8% 10% 12% 14% 16% 18% 20%
금리 (%)
그래프에서 세 곡선의 특성을 분석하면 다음과 같다.
- (1) 콜 일자 1년 전 (One Year to Call): 가장 높은 곡선. 금리가 약 14% 이하로 내려가면 볼록성이 음(-)으로 전환되어 가격 상승률이 둔화된다.
- (2) 콜 일자 6개월 전 (Six Months to Call): 중간 곡선. 음의 볼록성이 더 일찍(더 높은 금리에서) 나타난다.
- (3) 콜 일자 당일 (Call Date): 가장 낮은 곡선. 가격이 콜 가격($100)에 매우 가깝게 수렴한다.
음의 볼록성의 직관: 금리가 14% 이하로 하락하면, 재무부가 채권을 가능할 때마다 콜백할 가능성이 점점 높아진다. 투자자 입장에서 이는 금리 하락의 이점을 충분히 누릴 수 없다는 것을 의미한다. 결과적으로 채권 가격은 금리 하락에 따라 콜 가격($100)으로 수렴해야 한다. 일반 비콜러블 채권에서는 금리 하락이 점점 더 빠른 속도로 가격을 올리지만(양의 볼록성), 콜러블 채권에서는 그 속도가 점점 줄어드는 것이다(음의 볼록성). 이러한 음의 볼록성은 콜러블 채권의 투자자가 부담하는 대가이며, 이에 대한 보상으로 콜러블 채권은 일반적으로 비콜러블 채권보다 높은 수익률(spread)을 제공한다.
12.1.3 옵션조정스프레드 (OAS: Option Adjusted Spread)
내재 미국형 옵션이 있는 증권은 종종 옵션조정스프레드(OAS) 기준으로 거래된다. OAS는 금리기간구조 모형에 기반한 공정 가치 평가에서 매우 중요한 개념이다. 이 스프레드는 모형에 의한 증권 가치와 시장 거래 가격 사이의 불일치를 반영한다.
OAS의 정의
OAS는 모형 가격 \(V^{cb}_0(T)\)이 시장 거래 가격과 일치하도록 현물 금리 곡선(spot curve)을 평행 이동시켜야 하는 크기(베이시스 포인트, bp 단위)를 말한다. 보다 구체적으로, 이항 트리의 모든 노드에서 금리에 상수 \(s\)를 더한 후 계산한 모형 가격이 시장 가격과 일치하는 \(s\)가 곧 OAS이다.
$$ \text{양의 OAS} \rightarrow \text{수익률을 높여야 모형 가격이 시장 가격에 도달} \rightarrow \text{채권이 공정 수익률보다 높은 수익률을 제공} \rightarrow \text{매수(Buy) 시그널} $$
예제 12.2의 OAS 계산
2002년 1월 8일, 2014년 8월 만기 12.5% 콜러블 채권의 시장 가격과 모형 가격을 비교해 보자.
- 시장 가격(매수/매도 평균): \(V^{Quote}(0, T) = \$146.5\)
- 모형 가격: \(V^{cb}_0(T) = \$147.40\)
모형이 시장보다 높은 가격을 산출하고 있으므로, 시장이 채권을 저평가하고 있다고 해석할 수 있다. 현물금리 곡선을 11 베이시스 포인트(bp) 평행 상승시키면 다음과 같이 된다.
$$ V^{cb}_0(T) = \$146.55 \approx \text{매도호가} $$
$$ \text{옵션조정스프레드 (OAS)} = 11 \text{ 베이시스 포인트} $$
OAS가 0이 아닌 이유
이론적으로, 모형이 완벽하고 시장이 효율적이라면 OAS는 0이어야 한다. OAS가 0이 아닌 이유는 여러 가지가 있다.
- 유동성 위험(Liquidity Risk): 콜러블 채권의 유동성이 비콜러블 채권보다 낮으면, 투자자들은 유동성 프리미엄을 요구한다. 이로 인해 공정 가치 대비 할인 가격에 거래되어 양의 OAS가 발생한다.
- 모형 의존성(Model Dependency): OAS의 크기는 사용된 금리기간구조 모형에 따라 달라진다. 서로 다른 모형(예: Ho-Lee vs. BDT vs. Hull-White)은 동일한 입력 데이터를 사용하더라도 다른 금리 동학(dynamics)을 가정하므로 다른 OAS를 생성할 수 있다.
참고: 현물금리 곡선의 평행 이동은 선도금리 곡선의 동일한 이동을 초래하므로, OAS는 선도금리 곡선의 이동으로도 동등하게 계산할 수 있다.
12.1.4 콜러블 채권의 동적 복제 (Dynamic Replication)
OAS가 높을수록 채권이 모형 대비 더 저평가되어 있으며, 따라서 매수 인센티브가 커진다. 동적 복제(dynamic replication)를 통해, 저평가된 콜러블 채권이 있다면 "저렴하게 사고 비싸게 파는(Buy Cheap and Sell Dear)" 전략을 수행할 수 있다.
복제 전략은 두 가지 증권으로 구성된다. 하나는 장기 증권(비콜러블 채권)에 대한 포지션 \(N^L_{i,j}\)이고, 다른 하나는 \(i+1\)기에 만기되는 단기 채권에 대한 포지션 \(N^S_{i,j}\)이다. 콜러블 채권 고유의 두 가지 차이점이 있다.
- 차이점 1: 쿠폰 지급 -- 콜러블 채권은 쿠폰을 지급하므로 동적 전략에서 이 현금흐름을 고려해야 한다.
- 차이점 2: 발행자의 비최적 행사 가능성 -- 발행자가 트리에 따라 최적으로 행사해야 하지만, 실제로는 그렇지 않을 수 있다.
쿠폰을 고려한 복제 포트폴리오의 포지션은 다음과 같이 계산된다.
$$ N^L_{i,j} = \frac{V_{i+1,j} - V_{i+1,j+1}}{P_{i+1,j}(3) - P_{i+1,j+1}(3)} \quad \text{... (식 12.3)} $$
$$ N^S_{i,j} = \frac{1}{100} \left[ \left(V_{i+1,j} + CF^V_{i+1}\right) - N^L_{i,j} \times \left(P_{i+1,j}(3) + CF^P_{i+1}\right) \right] \quad \text{... (식 12.5)} $$
여기서 \(CF^V_{i+1}\)과 \(CF^P_{i+1}\)은 \(i+1\) 시점에 증권 \(V\)(콜러블 채권)와 \(P\)(비콜러블 채권)가 지급하는 현금흐름(쿠폰)이다. 동일 쿠폰율의 콜러블/비콜러블 채권의 경우 \(CF^V_{i+1} = CF^P_{i+1} = 1.5\) (3% 쿠폰의 반기 지급분)이다.
예제 12.3: 복제 포트폴리오
예제 12.1을 다시 고려하자. 시장에서 콜러블 채권이 양의 OAS로 거래되며, 시장 가격이 \(P^{mkt}(0,3) = 100.1\)이라 하자. 표 12.2의 계산에 의한 공정 가격은 \(V^{cb}_0(3) = 100.3564\)이다.
초기 포지션 계산
$$ N^L_0 = \frac{V_{1,u} - V_{1,d}}{P_{1,u}(3) - P_{1,d}(3)} = \frac{99.4667 - 100}{99.4667 - 100.3780} = 0.5852 $$
$$ N^S_0 = \frac{1}{100}\left[(99.4667 + 1.5) - 0.5852 \times (99.4667 + 1.5)\right] = 0.4188 $$
포트폴리오 초기 가치
$$ \Pi_0 = N^L_0 \times V_0 + N^S_0 \times (Z_0(1) \times 100) = 0.5852 \times 100.5438 + 0.4188 \times 99.1338 = 100.3564 $$
이는 모형에 따른 콜러블 채권의 가치와 정확히 일치한다.
표 12.4 동적 복제 전략
패널 A: 이론적 3%, 1.5년 콜러블 채권 (무쿠폰 가격)
| \(i=0\) | \(i=1\) | \(i=2\) | \(i=3\) | |
|---|---|---|---|---|
| 상단 | \(V_0(3) = 100.3564\) | \(V_{1,u}(3) = 99.4667\) | \(V_{2,uu}(3) = 99.1094\) | \(V_{3,uuu}(3) = 100\) |
| 중간 | 발행자 콜 : \(V_{1,d}(3) = 100\) | \(V_{2,ud}(3) = 99.7287\) | 100 | |
| 하단 | 100 |
패널 B: 복제 포트폴리오
| 노드 | 포지션 | 포트폴리오 가치 | 리밸런싱 |
|---|---|---|---|
| \(i=0\) | \(N^L_0 = 0.5852\), \(N^S_0 = 0.4188\) | \(\Pi_0 = 100.3564\) | -- |
| \(i=1, u\) | \(\Pi_{1,u} = 100.9667\), 쿠폰 1.5 지급 후 99.4667 | 99.4667 | \(N^L_{1,u} = 1\), \(N^S_{1,u} = 0\) |
| \(i=1, d\) | \(\Pi_{1,d} = 101.5\), 쿠폰 1.5 지급 후 100 | 100 | \(N^L_{1,d} = 0\), \(N^S_{1,d} = 0\) (포지션 청산) |
직관적 해석: 금리가 상승(\(r_{1,u}\))하면, 앞으로 발행자가 채권을 콜백하는 것이 최적이 되지 않으므로 콜러블 채권은 사실상 비콜러블 채권이 된다. 따라서 복제 전략은 단순히 비콜러블 채권 1단위의 롱 포지션이 된다. 반대로 금리가 하락(\(r_{1,d}\))하면 발행자가 콜하므로 채권은 퇴장하고, 포지션을 청산한다.
12.1.4.1 차익거래 전략 (The Arbitrage Strategy)
예제 12.4: 차익거래 전략 실행
1. 저렴하게 매수 (Buy Cheap): 콜러블 채권을 시장 가격 \(P^{mkt}(0,3) = 100.1\)에 매입한다.
2. 비싸게 매도 (Sell Dear): 복제 포트폴리오를 매도(숏)한다. (a) 1.5년 만기, 3% 비콜러블 채권 \(N^L_0 = 0.5852\) 단위 숏, (b) 6개월 만기 T-bill \(N^S_0 = 0.4188\) 단위 숏.
오늘의 현금 유입
$$ \text{오늘 유입} = \Pi_0 - P^{mkt}(0,3) = 100.3564 - 100.1 = 0.2564 $$
\(i = 1\)에서의 현금흐름 (금리 하락 시)
콜러블 채권 롱 포지션에서 받는 현금흐름 = $101.5 (원금 + 쿠폰). 이 현금흐름으로 (a) 비콜러블 채권 숏 포지션의 쿠폰 지급: \(0.5852 \times 1.5 = 0.8778\), (b) T-bill 숏 포지션의 원금 지급: \(0.4188 \times 100 = 41.88\), (c) 비콜러블 채권 숏 포지션 청산: \(0.5852 \times 100.3780 = 58.7406\). 합계: \(0.8778 + 41.88 + 58.7406 = 101.4984 \approx 101.5\) = 콜러블 채권에서 받은 현금흐름과 정확히 일치한다. 따라서 \(i = 1\)에서 순 현금흐름은 거의 0이며, 시점 0에서 수취한 $0.2564이 순수한 차익거래 이익이 된다.
12.1.4.2 발행자가 최적으로 행사하지 않는 경우
동적 복제의 핵심 전제 중 하나는 발행자가 모형이 처방하는 대로 행동하는 것이다. 그러나 미국형 옵션의 최적 행사는 의무가 아니며, 발행자가 비최적(sub-optimal)으로 행사하는 것은 완전히 합리적이다.
예제 12.5: 비최적 행사의 영향
예제 12.3과 12.4를 다시 고려하되, 노드 \((1, d)\)에서 발행자가 콜백을 잊었다(또는 선택하지 않았다)고 가정한다. 이 경우 채권은 퇴장하지 않으며, \(i = 2\)에서 금리가 다시 하락하면 채권이 콜될 것이므로 다음과 같이 계산된다.
$$ C_{2,dd} = \max(P_{2,dd}(3) - 100, \, 0) = 100.1886 - 100 = 0.1886 $$
위험중립 가격결정 공식에 의해 노드 \((1, d)\)에서 옵션 가치는 다음과 같다.
$$ C_{1,d}(3) = e^{-r_{1,d} \times \Delta} \times \frac{C_{2,du}(3) + C_{2,dd}(3)}{2} = e^{-2.14\% \times 0.5} \times \frac{0 + 0.1886}{2} = 0.0932 $$
따라서 노드 \((1, d)\)에서 콜러블 채권의 가치는 다음과 같다.
$$ V_{1,d} = P_{1,d}(3) - C_{1,d}(3) = 100.3780 - 0.0932 = 100.2848 $$
차익거래자에게 좋은 소식: 발행자가 최적 행사를 하지 않으면, 콜러블 채권의 가치가 \(V_{1,d} = \$100.2848\)로 액면가 $100 이상으로 상승한다. 차익거래자는 콜러블 채권의 롱 포지션을 보유하고 있으므로, 이를 매도하고 숏 포지션을 $100에 청산한 후 순 $0.2848을 추가로 수취한다. 이는 \(i=0\)에서 이미 수취한 $0.2564에 추가되는 수입이다.
직관적 해석: 콜러블 채권의 가치는 발행자의 최적 행사 전략을 전제로 계산된다. 이 전략은 내재 미국형 옵션의 가치를 극대화하여 콜러블 채권의 공정 가치를 낮추는 방향으로 작용한다. 행사가 최적이 아닐 경우, 사후적(ex-post) 콜 옵션의 가치는 최적 행사 하에서 계산된 것보다 낮아져야 하며, 이에 따라 콜러블 채권의 가격은 상승한다.
표 12.5 비최적 행사 시 콜러블 채권과 복제 포트폴리오
| 노드 | 비콜러블 채권 \(P\) | 콜 옵션 \(C\) | 콜러블 채권 \(V\) |
|---|---|---|---|
| \((2,du)\) | 99.7287 | 0 | 99.7287 |
| \((1,d)\) | 100.3780 | 0.0932 | 100.2848 |
| \((2,dd)\) | 100.1886 | 0.1886 [발행자 콜] | 100 |
| \((3,duu)\) | 100 | 0 | 100 |
| \((3,dud)\) | 100 | 0 | 100 |
12.2 미국형 스왑션 (American Swaptions)
11장 Section 11.2.4에서는 유럽형 스왑션(European swaptions)을 다루었다. 유럽형 스왑션은 정해진 만기일에만 고정금리 지급자(payer swaption) 또는 고정금리 수취자(receiver swaption)로 스왑에 진입할 수 있는 옵션이었다. 이제 이 접근법을 미국형 스왑션으로 일반화한다. 미국형 스왑션은 만기 이전 언제든지 스왑에 진입할 수 있는 옵션이므로, 옵션 보유자에게 훨씬 더 큰 유연성을 제공한다.
미국형 스왑션의 활용 예
앞서 논의한 재무부 콜러블 채권에 투자한 투자자를 생각해 보자. 이 투자자는 재무부가 다가오는 콜 일자에 채권을 콜백할까 우려할 수 있다. 재무부의 옵션은 미국형이므로(록아웃 기간 이후 언제든 행사 가능), 이 위험을 헤지하기 위해서는 미국형 옵션이 필요하다.
구체적으로, 재무부 쿠폰과 동일한 행사금리(strike rate)를 갖는 미국형 수취자 스왑션(American receiver swaption)이 조기상환 위험(prepayment risk)에 대한 헤지가 된다. 재무부가 채권을 콜백하면, 투자자는 미국형 스왑션을 행사하여 스왑으로부터 고정금리를 수취하고 변동금리를 지급한다. 변동금리 지급은 재무부로부터 돌려받은 원금을 머니마켓 계좌 등 변동금리 증권에 투자하면 자연스럽게 헤지된다. 이렇게 하면 투자자는 콜백 여부와 관계없이 일정한 고정금리 현금흐름을 유지할 수 있다.
예제 12.6: 미국형 페이어 스왑션
11장 예제 11.6을 고려한다. 그 예제에서 2년 만기 유럽형 페이어 스왑션을 다루었으며, 행사 스왑 금리 \(r_K = 4.49\%\)인 3년 만기 반기 스왑에 진입하는 옵션이었다.
행사 결정의 논리 (만기 \(i = 4\))
유럽형 스왑션의 경우, 만기 \(i = 4\)에서 행사 여부를 결정한다. 시장 스왑 금리가 \(r_K = 4.49\%\)보다 높으면(예: 6%), 스왑션 보유자는 옵션을 행사하여 시장 금리 대신 더 낮은 \(r_K = 4.49\%\)를 지급하는 것이 유리하다. 이는 고정금리 지급자 스왑에서 시장보다 낮은 고정금리를 지급하는 것이므로 스왑의 가치가 양수가 된다. 반대로, 시장 스왑 금리가 \(r_K\)보다 낮으면(예: 3%), 시장에서 더 유리한 금리로 스왑에 진입할 수 있으므로 옵션을 행사하지 않는다.
이는 수학적으로 다음과 같이 표현된다.
$$ \text{행사 조건:} \quad V_{4,j}(10; r_K) > 0 \quad \text{... (식 12.6)} $$
여기서 \(V_{4,j}(10; r_K)\)는 노드 \((4, j)\)에서 행사 스왑 금리 \(r_K\)인 스왑의 가치이다.
미국형 대응
유럽형 옵션과 달리, 미국형 옵션 보유자는 만기 \(i = 4\) 이전 언제든 옵션을 행사할 수 있다. 노드 \((i, j)\)에서 보유자는 행사(Exercise) 또는 대기(Wait)를 결정한다. 이 결정은 콜러블 채권의 경우와 동일한 논리를 따른다.
- 행사 시: 즉시 페이오프 = \(V_{i,j}(10, r_K)\) (패널 B의 스왑 가치)
- 대기 시: 향후 행사 기회의 위험중립 기대값을 유보한다.
$$ C^{Wait}_{i,j} = e^{-r_{i,j} \times \Delta} \times \left[ \frac{1}{2} \times C^A_{i+1,j} + \frac{1}{2} \times C^A_{i+1,j+1} \right] \quad \text{... (식 12.7)} $$
최적 결정:
$$ C^A_{i,j} = \max\left( C^{Wait}_{i,j}, \; V_{i,j}(10, r_K) \right) \quad \text{... (식 12.8)} $$
만기 조건: \(C^A_{4,j} = \max(V_{4,j}(10, r_K), \, 0)\)
표 12.6 5년 스왑 트리
패널 A: 단순 BDT 금리 트리 모형
| \(j \backslash i\) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 1.74 | 2.90 | 4.77 | 6.56 | 9.03 | 11.15 | 12.83 | 14.60 | 17.38 | 21.56 | 24.93 |
| 1 | 2.14 | 3.52 | 4.84 | 6.67 | 8.24 | 9.47 | 10.78 | 12.84 | 15.92 | 18.41 | |
| 2 | 2.60 | 3.58 | 4.93 | 6.08 | 7.00 | 7.97 | 9.48 | 11.76 | 13.60 | ||
| 3 | 2.64 | 3.64 | 4.49 | 5.17 | 5.88 | 7.00 | 8.69 | 10.05 | |||
| 4 | 2.69 | 3.32 | 3.82 | 4.35 | 5.17 | 6.42 | 7.42 | ||||
| 5 | 2.45 | 2.82 | 3.21 | 3.82 | 4.74 | 5.48 | |||||
| 6 | 2.08 | 2.37 | 2.82 | 3.50 | 4.05 | ||||||
| 7 | 1.75 | 2.09 | 2.59 | 2.99 | |||||||
| 8 | 1.54 | 1.91 | 2.21 | ||||||||
| 9 | 1.41 | 1.63 | |||||||||
| 10 | 1.21 |
패널 B: 스왑 가치 트리
| \(j \backslash i\) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0.00 | 4.27 | 8.18 | 11.38 | 13.86 | 15.22 | 15.50 | 14.72 | 12.58 | 8.20 |
| 1 | -1.53 | 2.04 | 5.04 | 7.48 | 9.03 | 9.71 | 9.58 | 8.42 | 5.58 | |
| 2 | -2.79 | 0.05 | 2.44 | 4.14 | 5.18 | 5.58 | 5.21 | 3.60 | ||
| 3 | -3.83 | -1.47 | 0.36 | 1.67 | 2.51 | 2.77 | 2.10 | |||
| 4 | -4.47 | -2.54 | -1.00 | 0.18 | 0.92 | 0.99 | ||||
| 5 | -4.74 | -3.02 | -1.58 | -0.46 | 0.15 | |||||
| 6 | -4.55 | -2.90 | -1.50 | -0.47 | ||||||
| 7 | -3.89 | -2.27 | -0.93 | |||||||
| 8 | -2.85 | -1.27 | ||||||||
| 9 | -1.52 |
패널 C: 미국형 스왑션 트리
| \(j \backslash i\) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 3.65 | 5.54 | 8.18 | 11.38 | 13.86 |
| 1 | 1.81 | 3.07 | 5.04 | 7.48 | |
| 2 | 0.59 | 1.20 | 2.44 | ||
| 3 | 0.00 | 0.00 | |||
| 4 | 0.00 |
핵심 결과 해석
스왑션 트리(패널 C)의 값이 기초 스왑 가치(패널 B) 자체와 정확히 같은 노드에서는 조기 행사(early exercise)가 발생했음을 알 수 있다. 예를 들어, 노드 \((i, j) = (2, 0)\)에서 스왑션 가치 8.18은 스왑 가치 8.18과 정확히 일치한다. 이는 이 노드에서 대기의 가치보다 즉시 행사의 가치가 더 높아서 조기 행사가 발생했음을 의미한다. 마찬가지로 \((3, 0)\)에서 11.38, \((3, 1)\)에서 5.04도 조기 행사 노드이다.
- 미국형 옵션의 가치: \(C^A_0 = \$3.65\)
- 유럽형 스왑션의 가치: \(\$3.41\) (표 11.9에서 계산)
미국형 옵션은 유럽형 대응보다 항상 같거나 높은 가치를 가지며, 이 경우 $0.24만큼 더 높다. 이 차이는 만기 이전에 행사할 수 있는 추가적인 유연성의 가치를 반영한다. 금리가 스왑션 만기 이전에 이미 충분히 상승하여 스왑 가치가 높아진 경우, 기다리지 않고 즉시 행사하여 유리한 스왑 포지션을 확보하는 것이 합리적이기 때문이다.
12.3 모기지와 주택저당증권 (Mortgages and RMBS)
이 절에서는 8장에서 논의한 주택저당증권(residential mortgage backed securities, RMBS)으로 돌아간다. RMBS는 미국 금융 시장에서 가장 규모가 큰 채권 시장 중 하나이며, 그 가격결정은 내재된 조기상환 옵션으로 인해 매우 복잡하다. 먼저 고정금리 모기지를 보유한 주택소유자가 금리 하락 시 차환(refinance)하기로 결정하는 최적 시점을 살펴보고, 이 최적 결정이 패스스루 증권(pass-through securities) 및 기타 MBS의 가치에 어떤 영향을 미치는지 연구한다.
모형의 범위와 한계
여기서 개발하는 최적 차환 시점 모형은 8장(Section 8.2.2)에서 논의한 다른 차환 이유들을 추상화한다. 실제로 주택소유자가 모기지를 조기상환하는 이유는 금리 하락에 의한 차환 외에도 이사, 이혼, 실직 등 다양하다. 이러한 다른 차환 동기는 13장(Section 13.6)에서 몬테카를로 시뮬레이션이라는 새로운 도구를 도입할 때 통합한다. 그럼에도, 8장에서 논의한 바와 같이, 금리 변동이 차환 결정에 영향을 미치는 주된 요인이며, 최적 차환 시점의 이해는 MBS 조기상환(prepayment)을 이해하는 첫 번째 단계이다.
12.3.1 모기지와 조기상환 옵션 (Prepayment Option)
고정금리 모기지를 보유한 주택소유자는 특수한 유형의 콜러블 채권 발행자로 생각할 수 있다. 콜러블 채권의 발행자와 마찬가지로, 주택소유자는 (은행에서) 고정금리(쿠폰)로 현금을 빌리면서, 원할 때 언제든지 모기지를 종료(즉, 조기상환)할 수 있는 옵션을 보유한다. 이 유사성은 콜러블 채권의 가격결정에 사용한 동일한 이항 트리 방법론을 모기지와 MBS에 적용할 수 있게 해 준다.
그러나 모기지와 콜러블 채권 사이에는 한 가지 중요한 차이가 있다. 콜러블 채권에서 행사가격(콜 가격)은 일반적으로 액면가로 고정되어 있지만, 모기지에서 조기상환 시 지불해야 할 금액(잔존 원금)은 시간이 지남에 따라 감소한다. 이는 모기지가 원리금 균등 상환(amortizing) 구조이기 때문이다.
핵심 관계식은 다음과 같다.
$$ \text{모기지 가치} = \text{조기상환 옵션이 없는 모기지 가치} - \text{조기상환 옵션의 가치} \quad \text{... (식 12.9)} $$
이 관계식은 콜러블 채권의 경우와 구조적으로 동일하다. 주택소유자(차입자) 관점에서 모기지는 부채이므로, 조기상환 옵션은 부채의 가치를 감소시킨다. 즉, 옵션의 가치만큼 차입자가 유리하고, 그만큼 대출자(은행)가 불리하다.
예제 12.7: 5년 만기 모기지와 조기상환 옵션
원금 $100,000, 반기 지급, 5년 만기 모기지를 고려한다. 오늘은 2000년 1월 31일이다.
금리기간구조: 표 12.7 패널 A에 제시된 2000년 1월 31일의 제로쿠폰 채권 가격을 사용한다. 패널 B는 이 금리기간구조에 피팅된 상수 변동성 단순 BDT 모형을 보고한다.
반기 복리 모기지 금리: \(r^m_2 = 7.564\%\)
이 모기지 금리는 주택소유자가 받는 대출 금액이 모기지의 공정 가치(조기상환 옵션 포함)와 정확히 같도록 설정된 금리이다.
Step 1: 쿠폰 계산
주택소유자가 매 기간(반기) 지급하는 쿠폰 \(C\)는 모기지 원금의 현재가치가 원금과 같도록 하는 원리금 균등 상환액이다.
$$ \$100,000 = \sum_{i=1}^{10} \frac{C}{\left(1 + \frac{r^m_2}{2}\right)^i} $$
$$ C = \frac{\$100,000}{\sum_{i=1}^{10} \frac{1}{\left(1 + \frac{r^m_2}{2}\right)^i}} = \$12,196 $$
이 쿠폰 $12,196은 매 반기마다 일정하게 지급되며, 이자 부분과 원금 상환 부분으로 구성된다. 시간이 지남에 따라 잔존 원금이 감소하므로, 이자 부분은 감소하고 원금 상환 부분은 증가한다.
Step 2: 조기상환 옵션 없는 모기지 가치
이항 트리 평가 방법으로 역진법을 적용한다.
$$ V^{np}_{i,j}(10) = e^{-r_{i,j} \times \Delta} \left[ \frac{1}{2} \times V^{np}_{i+1,j}(10) + \frac{1}{2} \times V^{np}_{i+1,j+1}(10) + C \right] $$
여기서 "np"는 "no prepayment"(조기상환 없음)을 의미한다. 만기에 원금의 일시 상환이 없다는 점에 유의하자 -- 원금은 쿠폰 \(C\) 내에서 시간에 걸쳐 점진적으로 상환된다.
결과: \(V^{np}_0(10) = \$102,220\) (표 12.8 패널 A)
Step 3: 잔존 원금(Outstanding Principal) 계산
조기상환 옵션을 계산하려면 매 기간의 잔존 원금을 알아야 한다. 이는 주택소유자가 조기상환(차환) 시 지불해야 할 금액이기 때문이다. 8장의 식 8.4, 8.5에 따라 각 기간의 이자 지급, 원금 상환, 잔존 원금을 계산한다.
- 첫 번째 이자 지급: \(r^m_2 \times \$100,000 / 2 = \$3,782\)
- 첫 번째 원금 상환: \(\$12,196 - \$3,782 = \$8,414\)
- 첫 번째 기간 후 잔존 원금: \(\$100,000 - \$8,414 = \$91,586\)
Step 4: 조기상환 옵션 가치
\(L_i\)를 \(i\)기의 잔존 원금이라 할 때, 조기상환 옵션의 행사 논리는 콜러블 채권의 경우와 동일하다.
행사 시 페이오프:
$$ C^{Exercise}_{i,j} = \max\left(V^{np}_{i,j}(10) - L_i, \, 0\right) \quad \text{... (식 12.10)} $$
이 식의 의미: 옵션을 행사하면 주택소유자는 잔존 원금 \(L_i\)를 지불하여 모기지를 청산하지만, 그 대가로 가치가 \(V^{np}_{i,j}(10)\)인 대출 의무에서 해방된다.
대기 시 가치:
$$ C^{Wait}_{i,j} = e^{-r_{i,j} \times \Delta} \times \left[\frac{1}{2} \times C_{i+1,j} + \frac{1}{2} \times C_{i+1,j+1}\right] \quad \text{... (식 12.11)} $$
최적 결정:
$$ C_{i,j} = \max\left(C^{Wait}_{i,j}, \, C^{Exercise}_{i,j}\right) \quad \text{... (식 12.12)} $$
결과: \(C_0 = \$2,220\) (표 12.8 패널 C)
모기지 가치:
$$ V_0(10) = V^{np}_0(10) - C_0 = \$102,220 - \$2,220 = \$100,000 \quad \text{... (식 12.13-12.15)} $$
핵심 결과: 시점 0에서 모기지의 가치는 정확히 원금 $100,000과 일치한다. 모기지 금리는 두 가지 구성요소로 이루어져 있다. 첫째, 화폐의 시간가치(time value of money)에 대한 보상으로 대출자가 주택소유자에게 자금을 제공하는 대가이다. 둘째, 조기상환 옵션에 대한 보상으로 은행이 주택소유자에게 내재적으로 매도한 조기상환 옵션에 대한 추가 보상이다. 따라서 채무불이행(default) 위험이 없더라도, 모기지 금리는 순수한 무위험 금리보다 높다.
조기상환이 항상 최적은 아님: 예를 들어, 노드 \((i,j) = (2,1)\)에서 \(r_{i,j} = 6.66\%\)이다. 이때 \(V^{np}_{2,1} = \$84,165\)이고 잔존 원금 \(L_2 = \$82,855\)이다. 즉시 행사 시 페이오프 = \(\$84,165 - \$82,855 = \$1,310\)이다. 그러나 대기의 가치가 \(C_{2,1} = \$1,460 > \$1,310\)이므로 대기가 최적이다.
표 12.7 2000년 1월 31일 제로쿠폰 채권과 단순 BDT 모형
패널 A: 금리기간구조 (Term Structure of Interest Rates)
| 만기 | 0.5 | 1 | 1.5 | 2 | 2.5 | 3 | 3.5 | 4 | 4.5 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 제로쿠폰 가격 | 97.11 | 94.00 | 90.86 | 87.77 | 84.79 | 81.94 | 79.26 | 76.59 | 74.14 | 71.70 |
| 수익률(%) | 5.86 | 6.19 | 6.39 | 6.52 | 6.60 | 6.64 | 6.64 | 6.67 | 6.65 | 6.65 |
패널 B: 단순 BDT 모형
| \(j \backslash i\) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 5.86 | 7.49 | 9.02 | 10.55 | 12.17 | 13.94 | 15.58 | 18.64 | 20.44 | 24.47 | 27.04 |
| 1 | 5.53 | 6.66 | 7.79 | 8.99 | 10.30 | 11.51 | 13.77 | 15.10 | 18.07 | 19.97 | |
| 2 | 4.92 | 5.76 | 6.64 | 7.61 | 8.50 | 10.17 | 11.15 | 13.35 | 14.75 | ||
| 3 | 4.25 | 4.90 | 5.62 | 6.28 | 7.51 | 8.24 | 9.86 | 10.90 | |||
| 4 | 3.62 | 4.15 | 4.64 | 5.55 | 6.08 | 7.28 | 8.05 | ||||
| 5 | 3.07 | 3.43 | 4.10 | 4.49 | 5.38 | 5.95 | |||||
| 6 | 2.53 | 3.03 | 3.32 | 3.97 | 4.39 | ||||||
| 7 | 2.24 | 2.45 | 2.94 | 3.24 | |||||||
| 8 | 1.81 | 2.17 | 2.40 | ||||||||
| 9 | 1.60 | 1.77 | |||||||||
| 10 | 1.31 |
표 12.8 조기상환 옵션 없는 모기지 가치와 잔존 원금
패널 A: 조기상환 옵션 없는 모기지 가치 트리
| \(j \backslash i\) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 102,220 | 90,816 | 80,008 | 69,644 | 59,617 | 49,838 | 40,216 | 30,550 | 20,912 | 10,791 | 0 |
| 1 | 95,314 | 84,165 | 73,363 | 62,826 | 52,484 | 42,263 | 32,007 | 21,764 | 11,142 | 0 | |
| 2 | 87,420 | 76,278 | 65,340 | 54,552 | 43,858 | 33,135 | 22,419 | 11,408 | 0 | ||
| 3 | 78,528 | 67,280 | 56,147 | 45,084 | 33,999 | 22,916 | 11,609 | 0 | |||
| 4 | 68,760 | 57,362 | 46,017 | 34,654 | 23,292 | 11,760 | 0 | ||||
| 5 | 58,280 | 46,721 | 35,147 | 23,574 | 11,872 | 0 | |||||
| 6 | 47,249 | 35,517 | 23,784 | 11,956 | 0 | ||||||
| 7 | 35,793 | 23,941 | 12,018 | 0 | |||||||
| 8 | 24,058 | 12,064 | 0 | ||||||||
| 9 | 12,098 | 0 | |||||||||
| 10 | 0 |
패널 B: 잔존 원금 계산
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 이자 지급 | 0 | 3,782 | 3,464 | 3,134 | 2,791 | 2,435 | 2,066 | 1,683 | 1,285 | 873 | 0 |
| 원금 상환 | 0 | 8,414 | 8,732 | 9,062 | 9,405 | 9,761 | 10,130 | 10,513 | 10,910 | 11,323 | 0 |
| 잔존 원금 | 100,000 | 91,586 | 82,855 | 73,792 | 64,388 | 54,627 | 44,497 | 33,985 | 23,074 | 11,751 | 0 |
패널 C: 조기상환 옵션 트리
| \(j \backslash i\) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 2,220 | 845 | 294 | 81 | 12 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 3,728 | 1,460 | 534 | 159 | 25 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | |
| 2 | 4,566 | 2,485 | 952 | 307 | 52 | 2 | 0 | 0 | 0 | ||
| 3 | 4,735 | 2,892 | 1,519 | 587 | 107 | 4 | 0 | 0 | |||
| 4 | 4,372 | 2,735 | 1,519 | 669 | 218 | 8 | 0 | ||||
| 5 | 3,653 | 2,223 | 1,163 | 500 | 121 | 0 | |||||
| 6 | 2,752 | 1,532 | 710 | 204 | 0 | ||||||
| 7 | 1,808 | 867 | 267 | 0 | |||||||
| 8 | 984 | 313 | 0 | ||||||||
| 9 | 347 | 0 | |||||||||
| 10 | 0 |
패널 D: 조기상환을 유발하는 금리 (Trigger Rate)
| \(i\) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 유발 금리 | 5.53% | 4.92% | 5.76% | 6.64% | 5.62% | 6.28% | 5.55% | 6.08% | 7.28% | -- |
유발 금리(Trigger Rate)의 해석: 각 기간 \(i\)에서, 단기 금리 \(r_{i,j}\)가 유발 금리 아래로 떨어지면 주택소유자가 차환한다. 유발 금리가 일정하지 않다는 점에 주목해야 한다. 이는 대기의 가치가 시간에 따라 변하기 때문이다. 모기지 만기에 가까워질수록 남은 쿠폰 지급 횟수가 줄어들어, 옵션의 시간가치가 감소하고 유발 금리가 상승하는 경향이 있다.
12.3.2 주택저당증권의 가격 결정
최적 행사 시점을 알게 되면, 트리에 내재된 현금흐름을 계산할 수 있다. 예제 12.7과 동일한 모기지로 구성된 모기지 풀(mortgage pool)이 있다면, 어떤 노드에서 조기상환이 발생하는지 알 수 있으므로 추가적인 MBS의 가격을 산정할 수 있다.
예제 12.8: 패스스루 증권 (Pass-Through Security)
예제 12.7에서 설명한 것과 동일한 모기지로 구성된 풀을 고려한다. 총 원금 $1억. 패스스루 금리 \(r^{PT}_2 = 7\%\)이다. 패스스루 금리는 모기지 금리(7.564%)보다 낮은데, 이 차이는 서비싱 수수료(servicing fee)와 보증 수수료(guarantee fee)에 해당한다.
각 노드 \((i, j)\)에서 두 가지 가능성을 고려한다.
1. 조기상환 발생 시: 주택소유자가 차환하므로, 패스스루 증권의 투자자는 잔존 원금을 돌려받는다.
$$ P^{PT}_{i,j}(10) = L_i $$
2. 조기상환 비발생 시: 다음 기간의 위험중립 기대 할인 가치에 현금흐름을 더한다.
$$ P^{PT}_{i,j}(10) = e^{-r_{i,j} \times \Delta} \left[\frac{1}{2} \times P^{PT}_{i+1,j}(10) + \frac{1}{2} \times P^{PT}_{i+1,j+1}(10) + CF(i+1)\right] \quad \text{... (식 12.16)} $$
$$ CF(i+1) = \text{이자 지급} + \text{예정 원금 상환} \quad \text{... (식 12.17)} $$
표 12.9 패스스루 증권 (Pass-Through Security)
현금흐름 구성
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 이자 지급 (PT) | 3,500 | 3,206 | 2,900 | 2,583 | 2,254 | 1,912 | 1,557 | 1,189 | 808 | 411 |
| 예정 원금 상환 | 8,414 | 8,732 | 9,062 | 9,405 | 9,761 | 10,130 | 10,513 | 10,910 | 11,323 | 11,751 |
| 잔존 원금 | 91,586 | 82,855 | 73,792 | 64,388 | 54,627 | 44,497 | 33,985 | 23,074 | 11,751 | 0 |
패스스루 증권 가치 트리
| \(j \backslash i\) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 99,323 | 89,141 | 78,947 | 68,867 | 59,054 | 49,435 | 39,942 | 30,384 | 20,827 | 10,762 | 0 |
| 1 | 91,586 | 82,265 | 72,388 | 62,168 | 52,053 | 41,981 | 31,833 | 21,675 | 11,112 | 0 | |
| 2 | 82,855 | 73,792 | 64,388 | 53,969 | 43,542 | 32,962 | 22,328 | 11,377 | 0 | ||
| 3 | 73,792 | 64,388 | 54,627 | 44,497 | 33,762 | 22,835 | 11,577 | 0 | |||
| 4 | 64,388 | 54,627 | 44,497 | 33,985 | 23,074 | 11,751 | 0 | ||||
| 5 | 54,627 | 44,497 | 33,985 | 23,074 | 11,751 | 0 | |||||
| 6 | 44,497 | 33,985 | 23,074 | 11,751 | 0 | ||||||
| 7 | 33,985 | 23,074 | 11,751 | 0 | |||||||
| 8 | 23,074 | 11,751 | 0 | ||||||||
| 9 | 11,751 | 0 | |||||||||
| 10 | 0 |
핵심 관찰: 트리에서 패스스루 증권의 가치가 잔존 원금과 정확히 일치하는 노드가 최적 행사(차환)가 발생하는 지점이다. 금리가 낮을 때 차환이 발생하며, 내재 미국형 옵션으로 인해 MBS는 콜러블 채권과 마찬가지로 음의 볼록성을 나타낸다.
그림 12.2: 패스스루 증권의 음의 볼록성 (Negative Convexity in a Pass Through Security)
패스스루 가치 ($)
85,000 |
| . . .
83,000 | . . (높은 금리: 양의 볼록성)
| .
81,000 | .
| .
79,000 | .
| . . . . . . .
77,000 |. . . (낮은 금리: 음의 볼록성,
| 잔존 원금으로 수렴)
75,000 |
+----+----+----+----+----+----+----+----
3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10%
금리 (%)
금리가 하락하면, 주택소유자의 조기상환 가능성이 높아져 패스스루 증권의 가치가 잔존 원금으로 수렴한다. 따라서 가치 증가율이 점차 둔화되는 음의 볼록성을 보인다.
12.3.2.1 원금분리증권(PO)과 이자분리증권(IO) 스트립
트리 방법론을 사용하여 RMBS의 개별 파생증권, 즉 이자분리증권(IO, Interest Only)과 원금분리증권(PO, Principal Only) 스트립의 가치를 계산할 수 있다.
- PO (Principal Only) 스트립: 예정 또는 비예정(조기상환에 의한) 원금 상환에 대한 청구권만 보유한다. 식 (12.16)에서 \(CF(i+1)\)이 "예정 원금 상환"만 포함하며, 조기상환 발생 시에는 잔존 원금 전액이 현금흐름이 된다.
- IO (Interest Only) 스트립: 이자 부분에 대한 청구권만 보유한다. 조기상환 발생 시 IO의 현금흐름은 0이다. 원금이 PO에 귀속되므로, 조기상환 이후에는 더 이상 이자가 발생하지 않는다.
핵심 관계: PO의 가격 + IO의 가격 = 패스스루 증권의 가격
예제 12.9: PO 및 IO 스트립
표 12.10 원금분리(PO)과 이자분리(IO) 스트립
패널 A: 원금분리(PO) MBS
| \(j \backslash i\) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 90,928 | 78,851 | 69,439 | 60,236 | 52,217 | 44,442 | 36,549 | 28,314 | 19,763 | 10,398 | 0 |
| 1 | 91,586 | 76,818 | 66,925 | 55,973 | 47,021 | 38,491 | 29,681 | 20,574 | 10,736 | 0 | |
| 2 | 82,855 | 73,792 | 64,388 | 50,549 | 40,259 | 30,836 | 21,197 | 10,992 | 0 | ||
| 3 | 73,792 | 64,388 | 54,627 | 44,497 | 32,153 | 21,872 | 11,186 | 0 | |||
| 4 | 64,388 | 54,627 | 44,497 | 33,985 | 23,074 | 11,751 | 0 |
(\(j \ge 5\)에서는 PO 값 = 잔존 원금, 즉 조기상환 발생)
패널 B: 이자분리(IO) MBS
| \(j \backslash i\) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 8,396 | 10,290 | 9,508 | 8,631 | 6,837 | 4,993 | 3,393 | 2,070 | 1,063 | 364 | 0 |
| 1 | 0 | 5,447 | 5,463 | 6,195 | 5,032 | 3,490 | 2,152 | 1,101 | 376 | 0 | |
| 2 | 0 | 0 | 0 | 3,421 | 3,282 | 2,125 | 1,131 | 385 | 0 | ||
| 3 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1,609 | 963 | 392 | 0 | |||
| 4 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
(\(j \ge 4\)에서는 IO 값 = 0, 조기상환으로 이자 현금흐름 소멸)
IO 스트립의 핵심 특성: IO의 가격은 대부분 금리와 같은 방향으로 움직인다. 이는 일반 채권과 정반대의 행동이다. 금리가 낮을수록 조기상환 확률이 높아지는데, 조기상환이 발생하면 IO에 대한 현금흐름이 중단되기 때문이다.
그림 12.3: IO 스트립과 PO 스트립 (Interest Only and Principal Only Strips)
IO 가치 ($)
15,000 |
|.
12,000 | .
| .
9,000 | .
| .
6,000 | .
| .
3,000 | .
| .
0 | . . . . . .
+----+----+----+----+----+----+----
2% 4% 6% 8% 10% 12% 14%
금리 (%)
PO 가치 ($)
90,000 |. . . . . .
| .
85,000 | .
| .
80,000 | .
| .
75,000 | .
| .
70,000 | .
| .
65,000 | .
| .
60,000 | .
+----+----+----+----+----+----+----
2% 4% 6% 8% 10% 12% 14%
금리 (%)
IO 스트립 (상단): 금리 하락 시 IO 가치가 급격히 0으로 하락한다. 조기상환으로 이자 현금흐름이 소멸하기 때문이다. IO 스트립은 금리와 양의 상관관계를 갖는다.
PO 스트립 (하단): 금리 하락 시 PO 가치가 급격히 상승한다. 할인율 감소와 조기상환 증가의 이중 효과가 결합되어 PO는 매우 높은 양의 듀레이션을 갖는다.
12.3.3 MBS의 현물금리 듀레이션 (Spot Rate Duration)
IO 스트립의 특성에서 비롯되는 한 가지 중요한 함의는 IO 스트립의 듀레이션이 일반적으로 음(-)이라는 것이다. 이는 표준 재무부 STRIPS(항상 양의 듀레이션)와 극적으로 대조된다.
현물금리 듀레이션은 10장 Section 10.5에서 정의한 바와 같이 현물 금리 변화에 대한 증권의 민감도를 측정한다.
$$ D = -\frac{1}{P} \frac{dP}{dr} \quad \text{... (식 12.18)} $$
이항 트리 위에서의 근사:
$$ D \approx -\frac{1}{P_0} \times \frac{P_{1,u} - P_{1,d}}{r_{1,u} - r_{1,d}} \quad \text{... (식 12.19)} $$
각 증권의 듀레이션을 구체적으로 계산해 보자.
패스스루 듀레이션
$$ D^{PT} = -\frac{1}{99,323} \times \frac{89,141 - 91,586}{7.49\% - 5.53\%} = 1.2574 \quad \text{... (식 12.20)} $$
PO 스트립 듀레이션
$$ D^{PO} = -\frac{1}{90,928} \times \frac{78,851 - 91,586}{7.49\% - 5.53\%} = 7.1542 \quad \text{... (식 12.21)} $$
IO 스트립 듀레이션
$$ D^{IO} = -\frac{1}{8,396} \times \frac{10,290 - 0}{7.49\% - 5.53\%} = -62.6083 \quad \text{... (식 12.22)} $$
듀레이션 결과 해석
(1) 패스스루 (\(D = 1.26\)): 상대적으로 낮은 듀레이션. 원래 모기지 금리가 원금과 모기지 가치가 정확히 일치하도록 설정되어, 금리가 약간만 하락해도 즉시 차환하는 것이 최적이기 때문이다. 이는 차환 비용이 0이라는 비현실적 가정에 기인한다. 실제로는 차환 비용(closing costs, 감정 비용 등)이 있어 주택소유자가 더 오래 대기하며, 이는 듀레이션을 높인다.
(2) PO 스트립 (\(D = 7.15\)): 매우 높은 듀레이션. 금리 하락 시 가격이 극적으로 상승하는 이중 효과가 작용한다. 첫째, 할인율이 감소하여 미래 현금흐름의 현재가치가 상승한다. 둘째, 조기상환이 증가하여 원금을 더 빨리 회수할 수 있다. 이 두 효과가 같은 방향으로 작용하므로 PO의 듀레이션은 매우 높다.
(3) IO 스트립 (\(D = -62.61\)): 음의 듀레이션이다. 금리 하락 시 조기상환이 발생하여 미래 이자 지급이 감소한다. 따라서 낮은 금리가 낮은 미래 현금흐름을 동반하며, 듀레이션이 음이 된다. 이 값의 절대적 크기(-62.61)가 매우 큰 것은 IO의 현재 가치($8,396)가 비교적 작은 데 비해, 금리 변동에 따른 가치 변화가 매우 크기 때문이다(분모가 작고 분자가 크다).
PSA 방법론과의 비교
8장 Section 8.3.3에서 PSA 방법론으로 계산한 IO 스트립 듀레이션은 양(+)이었다. PSA 방법론은 조기상환 속도를 가정한 후 금리가 변해도 이를 변경하지 않기 때문이다. 이는 본질적인 결함이다 -- 금리가 변하면 조기상환 행동도 변하는데, PSA는 이를 무시한다. 금리 변화에 따른 조기상환을 적절히 고려하는 금리기간구조 모형을 사용해야만 IO 스트립 듀레이션의 진정한 부호를 발견할 수 있으며, PSA 방법론만 사용할 때 발생할 수 있는 함정을 드러낸다.
물론 현실에서 주택소유자들은 금리가 조금 떨어진다고 즉시 조기상환하지 않으며, 다른 많은 이유로도 조기상환한다. 다음 장에서는 조기상환 모형(prepayment models)과 몬테카를로 시뮬레이션을 결합하여 MBS의 가격을 산정하는 방법을 보여준다.
12.4 요약 (Summary)
본 장에서는 이항 트리(binomial tree) 방법론을 미국형 옵션(American options)이 내재된 금리 증권의 가격결정과 헤지에 적용하는 방법을 다루었다. 미국형 옵션은 만기 이전 언제든지 행사할 수 있다는 점에서 유럽형 옵션과 근본적으로 구별된다.
핵심 방법론은 이항 트리 위에서의 역진법(backward induction)이다. 트리의 매 노드에서 옵션 보유자는 즉시 행사(Exercise)와 대기(Wait) 중 더 높은 가치를 갖는 선택을 한다. 이 최적 결정 규칙은 다음과 같이 공통된 수학적 구조를 갖는다.
$$ C_{i,j} = \max\left(C^{Wait}_{i,j}, \; C^{Exercise}_{i,j}\right) $$
1. 콜러블 채권 (Callable Bonds)
콜러블 채권의 가격은 비콜러블 채권 가격에서 내재 미국형 콜 옵션의 가치를 차감한 것이다: \(V^{cb} = P - C\). 콜 옵션의 존재로 인해 콜러블 채권은 음의 볼록성(negative convexity)을 보인다. 금리가 충분히 하락하면 가격 상승률이 둔화되어, 가격이 콜 가격(액면가)에 수렴한다. 옵션조정스프레드(OAS)는 모형 가격과 시장 가격의 불일치를 측정하는 지표로, 양의 OAS는 채권이 모형 대비 저평가되어 있음을(매수 시그널) 시사한다. 콜러블 채권의 동적 복제(dynamic replication)를 통해, 저평가 또는 고평가된 증권에서 차익거래 전략을 수행할 수 있다. 발행자의 비최적 행사는 차익거래자에게 추가 수익을 제공한다.
2. 미국형 스왑션 (American Swaptions)
미국형 스왑션은 만기 이전 언제든지 스왑에 진입할 수 있는 옵션이다. 유럽형 스왑션 가치 \(\le\) 미국형 스왑션 가치이며, 그 차이는 조기 행사의 유연성에서 비롯된다. 금리가 만기 이전에 이미 유리한 수준에 도달한 경우, 기다리지 않고 즉시 스왑에 진입하는 것이 최적인 노드가 존재한다. 미국형 수취자 스왑션은 콜러블 채권 투자자의 조기상환 위험을 헤지하는 유용한 도구이다.
3. 모기지와 주택저당증권 (Mortgages and MBS)
고정금리 모기지를 보유한 주택소유자는 콜러블 채권 발행자와 유사한 미국형 옵션(조기상환 옵션)을 보유한다. 모기지 가치 = 조기상환 옵션이 없는 모기지 가치 - 조기상환 옵션 가치. 콜러블 채권과의 주요 차이점은 행사가격(잔존 원금)이 시간에 따라 감소한다는 것이다. 유발 금리(trigger rate)는 시간에 따라 변하며, 만기에 가까워질수록 옵션의 시간가치가 감소하여 유발 금리가 상승하는 경향이 있다. 패스스루 증권과 MBS는 콜러블 채권과 마찬가지로 음의 볼록성을 나타낸다. IO 스트립은 음의 듀레이션을 가지며, 이는 금리 하락 시 조기상환으로 인해 이자 현금흐름이 감소하기 때문이다. PO 스트립은 매우 높은 양의 듀레이션을 가지며, 이는 할인율 감소와 조기상환 가속의 이중 효과에 기인한다. PSA와 같은 고정 조기상환 모형은 금리 변동에 따른 조기상환 행동 변화를 반영하지 못하므로, 듀레이션의 부호조차 잘못 산출할 수 있다.
핵심 수식 정리
| 수식 번호 | 내용 | 수식 |
|---|---|---|
| (12.1) | 콜 옵션 행사 페이오프 | \(\max(P_{i,j} - 100, \, 0)\) |
| (12.2) | 미국형 옵션 재귀 방정식 | \(C_{i,j} = \max\left(e^{-r_{i,j}\Delta} E^*[C_{i+1}], \; P_{i,j} - K\right)\) |
| (12.3) | 복제 포트폴리오 (장기 증권) | \(N^L_{i,j} = \frac{V_{i+1,j} - V_{i+1,j+1}}{P_{i+1,j} - P_{i+1,j+1}}\) |
| (12.5) | 복제 포트폴리오 (단기 증권) | \(N^S_{i,j} = \frac{1}{100}\left[(V_{i+1,j}+CF^V) - N^L \cdot (P_{i+1,j}+CF^P)\right]\) |
| (12.6) | 스왑션 행사 조건 | \(V_{i,j}(T; r_K) > 0\) |
| (12.8) | 미국형 스왑션 재귀식 | \(C^A_{i,j} = \max\left(C^{Wait}_{i,j}, \; V_{i,j}(T, r_K)\right)\) |
| (12.9) | 모기지 가치 분해 | \(V = V^{np} - C\) |
| (12.10) | 조기상환 옵션 행사 페이오프 | \(\max(V^{np}_{i,j} - L_i, \, 0)\) |
| (12.12) | 조기상환 옵션 재귀식 | \(C_{i,j} = \max(C^{Wait}_{i,j}, \, C^{Ex}_{i,j})\) |
| (12.16) | 패스스루 증권 가치 | \(P^{PT}_{i,j} = e^{-r\Delta}\left[\tfrac{1}{2}P^{PT}_{i+1,j} + \tfrac{1}{2}P^{PT}_{i+1,j+1} + CF\right]\) |
| (12.19) | 현물금리 듀레이션 근사 | \(D \approx -\frac{1}{P_0} \cdot \frac{P_{1,u}-P_{1,d}}{r_{1,u}-r_{1,d}}\) |
핵심 용어 정리
| 한국어 | 영어 | 설명 |
|---|---|---|
| 미국형 옵션 | American Option | 만기 이전 언제든 행사 가능한 옵션 |
| 유럽형 옵션 | European Option | 만기일에만 행사 가능한 옵션 |
| 콜러블 채권 | Callable Bond | 발행자가 만기 전 액면가로 회수할 수 있는 채권 |
| 록아웃 기간 | Lockout Period | 콜 옵션을 행사할 수 없는 초기 보호 기간 |
| 음의 볼록성 | Negative Convexity | 금리 하락 시 가격 상승률이 둔화되는 현상 |
| 옵션조정스프레드 | OAS | 내재 옵션을 반영한 후 모형 가격과 시장 가격의 차이를 나타내는 스프레드 |
| 동적 복제 | Dynamic Replication | 시간에 따라 포지션을 조정하여 파생상품을 복제하는 전략 |
| 역진법 | Backward Induction | 트리의 끝에서 시작하여 현재로 거슬러 올라가며 가치를 계산하는 방법 |
| 조기상환 옵션 | Prepayment Option | 모기지 차입자가 잔여 원금을 조기에 상환할 수 있는 권리 |
| 유발 금리 | Trigger Rate | 조기상환이 최적이 되는 임계 금리 수준 |
| 패스스루 증권 | Pass-Through Security | 모기지 풀의 현금흐름을 투자자에게 전달하는 증권 |
| 원금분리증권 | PO Strip | 원금 현금흐름만 수취하는 MBS 파생증권 |
| 이자분리증권 | IO Strip | 이자 현금흐름만 수취하는 MBS 파생증권 |
| 현물금리 듀레이션 | Spot Rate Duration | 현물 금리 변화에 대한 증권 가격의 민감도 |
| 스왑션 | Swaption | 금리스왑에 진입할 수 있는 옵션 |
| 차환 | Refinance | 기존 부채를 새로운 조건의 부채로 대체하는 행위 |
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