금융공학학회 UFEA 5주차 -3(13.Monte Carlo Simulations on Trees)

 

CHAPTER 13

이항트리에서의 몬테카를로 시뮬레이션 (Monte Carlo Simulations on Trees)

Fixed Income Securities — Pietro Veronesi

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13.0 도입 및 개요 (Introduction and Overview)

이 장에서는 금리 증권(interest rate securities)과 그 파생상품(derivatives)을 가격결정(pricing)하기 위한 핵심 방법론인 몬테카를로 시뮬레이션(Monte Carlo Simulations)을 소개한다. 몬테카를로 시뮬레이션이란, 컴퓨터를 활용하여 미래의 여러 금리 시나리오(interest rate scenarios)를 무작위로 생성한 후, 각 시나리오에서 발생하는 현금흐름(cash flow)을 적절히 할인(discount)하고, 그 할인된 페이오프(discounted payoff)의 평균을 구하여 증권의 현재가치(present value)를 산출하는 절차이다.

이 방법론의 핵심적인 아이디어는 다음과 같다. 위험중립 가격결정(risk-neutral pricing) 이론에 따르면, 임의의 증권의 현재가치는 위험중립 측도(risk-neutral measure) 하에서의 미래 할인 페이오프의 기대값(expected discounted payoff)과 같다. 그런데 이 기대값을 해석적으로(analytically) 계산하기 어려운 경우가 많다. 몬테카를로 시뮬레이션은 이 기대값을 수치적으로(numerically) 근사하는 방법이다. 구체적으로, 위험중립 확률 하에서 금리 경로(interest rate path)를 다수 생성하고, 각 경로에서의 할인 페이오프를 계산한 후, 이들의 산술평균(arithmetic mean)을 취하면 대수의 법칙(law of large numbers)에 의해 시뮬레이션 수가 충분히 크면 이 평균이 참된 기대값에 수렴한다.

이 장에서는 이항트리(binomial tree) 위에서 몬테카를로 시뮬레이션 방법론을 개발하며, 상당히 복잡한 경로의존형(path-dependent) 금리 파생상품도 가치평가(valuation)할 수 있음을 보여준다. Chapter 17에서는 이 몬테카를로 시뮬레이션 방법론을 연속시간(continuous-time) 모형 등 보다 일반적인 프레임워크(framework)로 확장한다.

 

핵심 질문: 왜 이항트리 역진행법 대신 몬테카를로를 사용하는가?

일반적인 바닐라(plain vanilla) 증권, 즉 페이오프가 만기 시점의 금리 수준에만 의존하는 증권의 경우, 이항트리에서 역진행법(backward induction)을 사용하는 것이 더 효율적이고 정확하다. 역진행법은 만기 시점의 각 노드에서 페이오프를 계산한 후, 각 단계에서 상위 노드의 가치를 하위 노드 가치의 위험중립 기대값으로 계산하며 시점 0까지 거슬러 올라간다. 재결합 이항트리(recombining binomial tree)에서 \(n\)단계 트리의 최종 노드 수는 \(n+1\)개에 불과하므로, 계산이 매우 효율적이다.

그러나 경로의존형(path-dependent) 증권의 경우, 상황이 근본적으로 달라진다. 이러한 증권의 페이오프는 만기 시점의 금리 수준뿐만 아니라, 그 수준에 도달하기까지의 전체 금리 경로(entire interest rate path)에 의존한다. 예를 들어, 아시안 옵션(Asian option)의 페이오프는 금리의 경로 평균(path average)에 의존하며, 주택저당증권(MBS)의 가치는 과거 금리 이력에 따른 조기상환 패턴에 의존한다.

경로의존형 증권을 이항트리의 역진행법으로 평가하려면, 트리가 비재결합(non-recombining)해져야 한다. 동일한 금리 수준에 도달하더라도 경로가 다르면 페이오프가 다르므로, 각 경로를 개별적으로 추적해야 하기 때문이다. \(n\)단계 이항트리에서 비재결합 트리의 최종 노드 수는 \(2^n\)개로, 기하급수적(exponentially)으로 증가한다. 예를 들어, \(n=20\)단계만 되어도 \(2^{20} = 1{,}048{,}576\)개의 최종 노드를 모두 추적해야 하므로, 계산이 현실적으로 불가능해진다.

반면, 몬테카를로 시뮬레이션은 금리 경로를 직접 시뮬레이션하므로, 경로의존형 증권의 가치평가에 매우 유리하다. 시뮬레이션 수 \(N\)을 적절히 선택하면, \(2^n\)보다 훨씬 적은 계산으로도 충분히 정확한 가격을 얻을 수 있다. 이것이 경로의존형 금리 파생상품의 가격결정에서 몬테카를로 시뮬레이션이 실무적으로 널리 사용되는 핵심적인 이유이다.

 

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13.1 1단계 이항트리에서의 몬테카를로 시뮬레이션

먼저 가장 단순한 경우, 즉 1단계(one-step) 위험중립 이항트리에서 몬테카를로 시뮬레이션의 기본 원리를 설명한다. 이 트리에서 금리는 시점 \(i=0\)에서 시점 \(i=1\)(즉, \(T=0.5\)년)까지 동일한 확률 \(\frac{1}{2}\)로 상승(up) 또는 하락(down)한다. 이 가장 단순한 설정에서 몬테카를로 시뮬레이션의 핵심 아이디어를 파악한 후, 점차 복잡한 설정으로 확장해 나갈 것이다.

 

13.1.1 옵션 페이오프와 해석적 가격

시점 \(T=0.5\)에서 금리가 행사금리(strike rate) \(r_K\)를 초과하면 양의 페이오프를 지급하는 금리 콜옵션(interest rate call option)을 고려하자. 이 옵션은 금리가 상승할 때 투자자에게 이익을 제공하는 구조이다. 만기 시 페이오프는 다음과 같이 정의된다.

금리 콜옵션의 페이오프:

$$c_1 = 100 \times \max(r_1 - r_K,\, 0)$$

여기서 \(r_K\)는 행사금리(strike rate), \(r_1\)은 시점 \(i=1\)에서 실현된 금리이다. 명목원금(notional principal) 100을 곱하여 금액으로 환산한다. 금리가 행사금리를 초과하면 그 차이만큼의 페이오프를 받고, 초과하지 않으면 페이오프는 0이다.

위험중립 가격결정 원리에 따르면, 이 옵션의 현재가치 \(c_0\)는 위험중립 측도 하에서의 기대 할인 페이오프(expected discounted payoff)와 같다. 1단계 이항트리에서는 상승(up)과 하락(down) 두 가지 상태만 존재하며, 각각의 확률이 \(\frac{1}{2}\)이므로:

식 13.1: 위험중립 가격결정

$$c_0 = E^*\!\left[e^{-r_0 \times T} \times c_1\right] = e^{-r_0 \times T}\left[\frac{1}{2} \times c_{1,u} + \frac{1}{2} \times c_{1,d}\right]$$

여기서 \(E^*[\cdot]\)는 위험중립 측도 하에서의 기대값 연산자, \(r_0\)는 현재 금리, \(T=0.5\)년은 만기, \(c_{1,u}\)는 상승 시 페이오프, \(c_{1,d}\)는 하락 시 페이오프이다. 할인인자 \(e^{-r_0 \times T}\)는 연속복리(continuous compounding) 기준이며, 위험중립 확률이 \(\frac{1}{2}\)이므로 기대값은 두 페이오프의 단순 평균이 된다.

표 13.1: 금리 옵션 (1단계 트리)

구분	\(i=0\)	\(i=1\)
위(up)	\(r_0 = 1.74\%\)	\(r_{1,u} = 3.75\%\) → \(c_{1,u} = 100 \times \max(3.75\% - 2.003\%, 0) = 1.747\)
아래(down)		\(r_{1,d} = 1.30\%\) → \(c_{1,d} = 100 \times \max(1.30\% - 2.003\%, 0) = 0\)

행사금리 \(r_K = 2.003\%\)로 설정하면, 상승 시 금리 3.75%는 행사금리를 초과하므로 \(c_{1,u} = 100 \times (3.75\% - 2.003\%) = 1.747\)의 양의 페이오프가 발생한다. 하락 시 금리 1.30%는 행사금리 미만이므로 \(c_{1,d} = 0\)이다.

따라서 옵션의 현재가치는 다음과 같이 계산된다:

$$c_0 = e^{-1.74\% \times 0.5} \times \left[\frac{1}{2} \times 1.747 + \frac{1}{2} \times 0\right] = e^{-0.0087} \times 0.8735 = 0.8660$$

이것이 역진행법(또는 해석적 계산)에 의한 정확한 가격이다. 이제 이 동일한 가격을 몬테카를로 시뮬레이션으로 어떻게 근사할 수 있는지 살펴보자.

 

13.1.2 몬테카를로 시뮬레이션 절차

기대 미래 페이오프를 계산하는 대안적 방법은 컴퓨터를 사용하여 트리 위에서 상승과 하락 움직임을 무작위로 시뮬레이션하는 것이다. 핵심 아이디어는 기대값이란 본질적으로 무한히 많은 시행의 평균이라는 점이다. 따라서 유한하지만 충분히 많은 수의 시뮬레이션을 수행하고 그 결과를 평균하면, 대수의 법칙에 의해 참된 기대값에 수렴하는 근사값을 얻을 수 있다.

구체적인 절차는 다음과 같다. Excel에서 RAND() 함수는 \([0, 1]\) 구간의 균등분포(uniform distribution)를 따르는 난수(random number)를 생성한다. 이 난수의 값에 따라 금리의 움직임을 결정한다: RAND() < 0.5이면 상승(up), RAND() ≥ 0.5이면 하락(down)으로 간주한다. 이렇게 하면 상승과 하락이 각각 50%의 확률로 발생하여, 위험중립 확률(\(\frac{1}{2}\))을 정확히 반영한다.

이 과정을 \(N\)번 반복하면 \(N\)개의 시뮬레이션을 얻으며, 각 시뮬레이션 \(s\) (\(s = 1, 2, \ldots, N\))에 대해 시점 \(i=1\)에서의 실현 금리 \(r_1^{(s)}\)와 해당 페이오프 \(c_1^{(s)} = 100 \times \max(r_1^{(s)} - r_K, 0)\)를 계산한다. 각 시뮬레이션에서의 할인 페이오프를 구한 후, 이들의 산술평균이 옵션의 현재가치에 대한 몬테카를로 추정값이 된다.

식 13.2: 몬테카를로 가격 추정

$$c_0 \approx \frac{1}{N}\sum_{s=1}^{N} e^{-r_0 \times T} \times c_1^{(s)}$$

이 공식에서 1단계 트리의 경우 할인인자 \(e^{-r_0 \times T}\)는 모든 시뮬레이션에서 동일하다(시점 0의 금리 \(r_0\)는 확정적이므로). 따라서 이 경우에는 할인인자를 합산 밖으로 빼낼 수 있지만, 다단계 트리에서는 할인인자가 경로에 따라 달라지므로 각 시뮬레이션 내부에서 계산해야 한다.

표 13.2: 이항트리에서의 10회 시뮬레이션

Sim #	RAND()	트리 이동	금리 실현	만기 페이오프	할인 페이오프
1	0.67901	down	1.30%	0.000	0.000
2	0.22218	up	3.75%	1.747	1.732
3	0.68455	down	1.30%	0.000	0.000
4	0.76184	down	1.30%	0.000	0.000
5	0.14041	up	3.75%	1.747	1.732
6	0.09225	up	3.75%	1.747	1.732
7	0.99947	down	1.30%	0.000	0.000
8	0.47286	up	3.75%	1.747	1.732
9	0.52162	down	1.30%	0.000	0.000
10	0.57547	down	1.30%	0.000	0.000
평균 =					0.693

표 13.2를 자세히 살펴보면, 10회 시뮬레이션 중 4회는 상승(RAND() < 0.5), 6회는 하락(RAND() ≥ 0.5)이 발생했다. 즉, 상승 비율이 40%로 이론적 확률 50%와 차이가 있다. 이로 인해 몬테카를로 추정값 0.693은 정확한 가격 0.8660과 상당한 차이를 보인다. 10회라는 적은 시뮬레이션 수에서는 표본의 상승/하락 비율이 이론적 확률과 크게 괴리될 수 있기 때문이다.

그러나 시뮬레이션 수가 증가할수록 대수의 법칙에 의해 추정값은 참값에 수렴한다. 500회 시뮬레이션에서 \(\hat{c}_0 = 0.897\), 1,000회에서 \(\hat{c}_0 = 0.888\)로, 참값 0.8660에 점차 근접하는 것을 확인할 수 있다. 물론 유한한 시뮬레이션 수에서는 항상 약간의 추정 오차가 존재하며, 이 오차를 정량적으로 측정하는 방법은 13.3.5절에서 다룬다.

 

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13.2 2단계 이항트리에서의 몬테카를로 시뮬레이션

1단계 트리에서 기본 원리를 파악했으므로, 이제 2단계(two-step) 이항트리로 확장한다. 2단계 트리에서는 두 가지 중요한 새로운 요소가 등장한다. 첫째, 각 시뮬레이션마다 두 번의 무작위 추출이 필요하다. 둘째, 할인인자가 경로에 따라 달라지므로, 각 시뮬레이션에서 실현된 금리 경로를 사용하여 할인해야 한다. 또한 이 절에서 경로의존형 증권(아시안 옵션)을 처음으로 도입하여, 몬테카를로 시뮬레이션의 진정한 강점을 예시한다.

 

13.2.1 2단계 트리에서의 옵션 가격

동일한 금리 콜옵션을 고려하되, 만기가 1년(\(T=1\), 즉 \(i=2\))이다. 2단계 이항트리에서는 시점 \(i=2\)에서 네 가지 상태(uu, ud, du, dd)가 가능하다. 재결합 이항트리에서는 ud 경로와 du 경로의 최종 금리가 동일(\(r_{2,ud} = r_{2,du}\))하므로, 실제로는 세 가지 서로 다른 금리 수준만 존재한다.

표 13.3: 1년 만기 옵션 (2단계 트리)

구분	\(i=0\)	\(i=1\)	\(i=2\)
uu	\(r_0=1.74\%\) \(c_0=1.7784\)	\(r_{1,u}=3.75\%\) \(c_{1,u}=2.7856\)	\(r_{2,uu}=6.06\%\), \(c_{2,uu}=4.0616\)
ud			\(r_{2,ud}=3.61\%\), \(c_{2,ud}=1.6150\)
du		\(r_{1,d}=1.30\%\) \(c_{1,d}=0.8022\)	\(r_{2,du}=3.61\%\), \(c_{2,du}=1.6150\)
dd			\(r_{2,dd}=1.17\%\), \(c_{2,dd}=0\)

시점 \(i=2\)에서의 각 상태별 페이오프는 다음과 같다. uu 상태에서 금리 6.06%는 행사금리 2.003%를 크게 상회하므로 \(c_{2,uu} = 100 \times (6.06\% - 2.003\%) = 4.0616\)이다. ud/du 상태에서 금리 3.61%는 행사금리를 초과하므로 \(c_{2,ud} = c_{2,du} = 100 \times (3.61\% - 2.003\%) = 1.6150\)이다. dd 상태에서 금리 1.17%는 행사금리 미만이므로 \(c_{2,dd} = 0\)이다.

역진행법(backward induction) 계산:

역진행법으로 옵션 가치를 계산하면, 시점 \(i=1\)의 각 노드에서 해당 노드의 금리로 할인한 하위 노드 페이오프의 위험중립 기대값을 구한다.

$$c_{1,u} = e^{-3.75\%/2} \times \left[\frac{1}{2}(4.0616 + 1.6150)\right] = e^{-0.01875} \times 2.8383 = 2.7856$$

$$c_{1,d} = e^{-1.30\%/2} \times \left[\frac{1}{2}(1.6150 + 0)\right] = e^{-0.0065} \times 0.8075 = 0.8022$$

$$c_0 = e^{-1.74\%/2} \times \left[\frac{1}{2}(2.7856 + 0.8022)\right] = e^{-0.0087} \times 1.7939 = 1.7784$$

 

13.2.2 역진행법과 직접 할인의 등가성

이항트리의 역진행 계산법이 만기 시점의 페이오프를 경로별 무위험이자율로 할인한 위험중립 현재할인가치를 직접 계산하는 것과 정확히 동일하다는 사실은, 몬테카를로 시뮬레이션의 이론적 기초를 형성한다. 이 동치성을 이해하는 것이 매우 중요하다.

식 13.3-13.4: 직접 할인에 의한 가격결정

$$c_0 = E^*\!\left[e^{-r_0 \times 0.5} \times e^{-r_1 \times 0.5} \times c_2\right] = E^*\!\left[e^{-(r_0+r_1)\times 0.5} \times c_2\right]$$

이 식은 다음을 의미한다. 옵션의 현재가치는 만기 시점의 페이오프 \(c_2\)를 시점 0부터 만기까지의 경로상 모든 금리로 할인한 값의 위험중립 기대값과 같다. 여기서 핵심은 할인에 사용되는 금리가 시점별로 실현된 금리, 즉 경로에 의존하는 확률변수라는 점이다.

2단계 이항트리에서 네 가지 경로 각각이 25%(\(= \frac{1}{2} \times \frac{1}{2}\))의 확률로 발생하므로, 직접 할인에 의한 가격은 다음과 같다:

$$c_0 = 0.25 \times e^{-(r_0+r_{1,u})\times 0.5} \times c_{2,uu} + 0.25 \times e^{-(r_0+r_{1,u})\times 0.5} \times c_{2,ud}$$

$$+ 0.25 \times e^{-(r_0+r_{1,d})\times 0.5} \times c_{2,du} + 0.25 \times e^{-(r_0+r_{1,d})\times 0.5} \times c_{2,dd}$$

수치를 대입하면:

$$= 0.25 \times e^{-(1.74\%+3.75\%)\times 0.5} \times 4.0616 + 0.25 \times e^{-(1.74\%+3.75\%)\times 0.5} \times 1.6150$$

$$+ 0.25 \times e^{-(1.74\%+1.30\%)\times 0.5} \times 1.6150 + 0.25 \times e^{-(1.74\%+1.30\%)\times 0.5} \times 0 = 1.7784$$

역진행법의 결과와 정확히 일치한다. 이 동치성이 성립하는 이유는, 역진행법이 각 노드에서 "한 단계 할인 후 기대값"을 반복적으로 적용하는 것이고, 이를 전개하면 결국 "경로 전체에 걸친 할인 후 기대값"이 되기 때문이다. 이 결과는 몬테카를로 시뮬레이션이 경로를 직접 생성하고 경로별 할인 페이오프를 평균하는 방식으로 옵션 가치를 올바르게 추정할 수 있음을 보장한다.

 

13.2.3 2단계 트리에서의 시뮬레이션 실행

각 시뮬레이션마다 RAND()를 두 번 호출하여, 첫 번째는 시점 0→1의 이동, 두 번째는 시점 1→2의 이동을 결정한다. 핵심은 해당 시뮬레이션에서 실현된 금리 경로를 사용하여 할인하는 것이다. 즉, 시뮬레이션 \(s\)에서 시점 1의 금리가 \(r_1^{(s)}\)로 실현되었다면, 할인인자는 \(e^{-(r_0 + r_1^{(s)}) \times 0.5}\)가 된다. 모든 시뮬레이션에 걸쳐 동일한 할인인자를 사용하는 것이 아니라, 각 시뮬레이션 경로에 특화된 할인인자를 적용해야 한다는 점이 중요하다.

표 13.4: 2단계 이항트리에서의 10회 시뮬레이션

Sim	1차 RAND()	1차 이동	\(i=1\) 금리	2차 RAND()	2차 이동	\(i=2\) 금리	페이오프	할인 페이오프
1	0.46869	up	3.75%	0.51301	down	3.61%	1.615	1.571
2	0.10382	up	3.75%	0.16435	up	6.06%	4.062	3.952
3	0.84831	down	1.30%	0.34071	up	3.61%	1.615	1.591
4	0.70209	down	1.30%	0.25410	up	3.61%	1.615	1.591
5	0.00184	up	3.75%	0.11878	up	6.06%	4.062	3.952
6	0.44478	up	3.75%	0.24182	up	6.06%	4.062	3.952
7	0.06627	up	3.75%	0.55081	down	3.61%	1.615	1.571
8	0.38694	up	3.75%	0.76551	down	3.61%	1.615	1.571
9	0.76955	down	1.30%	0.62744	down	1.17%	0.000	0.000
10	0.88814	down	1.30%	0.97949	down	1.17%	0.000	0.000
평균 =								1.975

시뮬레이션 1의 할인 계산을 상세히 살펴보자. 시뮬레이션 1에서 첫 번째 RAND() = 0.46869 < 0.5이므로 상승하여 \(r_1 = 3.75\%\)가 실현되고, 두 번째 RAND() = 0.51301 ≥ 0.5이므로 하락하여 \(r_2 = 3.61\%\)가 실현된다. 페이오프는 \(100 \times (3.61\% - 2.003\%) = 1.615\)이다. 이 경로의 할인인자는 \(e^{-(1.74\% + 3.75\%) \times 0.5} = e^{-0.02745} = 0.9729\)이므로, 할인 페이오프는 \(0.9729 \times 1.615 = 1.571\)이다.

10회 시뮬레이션의 평균 1.975는 참값 1.7784에서 다소 벗어나지만, \(N=1{,}000\)회 시뮬레이션에서는 \(\hat{c}_0=1.839\)로 참값에 근접한다. 시뮬레이션 수를 더 늘리면 추정값은 참값에 계속 수렴한다.

 

13.2.4 아시안 금리 옵션에서의 비재결합 트리

이제 몬테카를로 시뮬레이션이 진정으로 필요한 증권 유형인 경로의존형 증권을 소개한다. 그 대표적 사례가 아시안 금리 옵션(Asian interest rate option)이다.

정의 13.1: 아시안 금리 옵션 (Asian Interest Rate Option)

$$\text{Payoff at } T = \begin{cases} 100 \times \max(\bar{r} - r_K,\, 0) & \text{(아시안 콜)} \\ 100 \times \max(r_K - \bar{r},\, 0) & \text{(아시안 풋)} \end{cases}$$

여기서 \(\bar{r} = \frac{1}{n+1}\sum_{i=0}^{n} r_i\)은 시점 0부터 만기 시점 \(n\)까지의 평균 금리(average interest rate)이다.

아시안 옵션의 페이오프는 최종 노드의 금리뿐만 아니라, 시점 0부터 만기까지 경험한 금리의 전체 이력(history)에 의존한다. 이로 인해 평균 금리에 대한 트리는 재결합하지 않는다(non-recombining). 그 이유를 구체적으로 살펴보자.

2단계 트리에서 ud 경로와 du 경로를 비교하면: ud 경로는 먼저 상승(\(r_1 = 3.75\%\))한 후 하락(\(r_2 = 3.61\%\))하므로, 평균 금리 \(\bar{r}_{ud} = \frac{1.74\% + 3.75\% + 3.61\%}{3} = 3.03\%\)이다. du 경로는 먼저 하락(\(r_1 = 1.30\%\))한 후 상승(\(r_2 = 3.61\%\))하므로, 평균 금리 \(\bar{r}_{du} = \frac{1.74\% + 1.30\% + 3.61\%}{3} = 2.22\%\)이다. 최종 금리는 동일(3.61%)하지만, 중간 경로가 다르기 때문에 평균 금리가 다르다. 따라서 두 경로의 페이오프도 다르며, 이는 아시안 옵션이 비재결합 트리를 필요로 함을 의미한다.

\(n\)단계 트리에서는 \(2^n\)개의 경로를 모두 추적해야 하므로, \(n\)이 커지면 계산이 비실용적이 된다. 이것이 몬테카를로 시뮬레이션이 필수적인 이유이다.

표 13.5: 이항트리에서의 아시안 금리 옵션

구분	\(i=0\)	\(i=1\)	\(i=2\)
uu	\(r_0=1.74\%\)	\(r_{1,u}=3.75\%\) \(\bar{r}_{1,u}=2.745\%\)	\(r_{2,uu}=6.06\%\), \(\bar{r}=3.85\%\) → \(c_{2,uu}=1.8495\)
ud			\(r_{2,ud}=3.61\%\), \(\bar{r}=3.03\%\) → \(c_{2,ud}=1.0340\)
du		\(r_{1,d}=1.30\%\) \(\bar{r}_{1,d}=1.52\%\)	\(r_{2,du}=3.61\%\), \(\bar{r}=2.22\%\) → \(c_{2,du}=0.2185\)
dd			\(r_{2,dd}=1.17\%\), \(\bar{r}=1.40\%\) → \(c_{2,dd}=0\)

비재결합의 핵심을 다시 강조하면: ud 경로의 \(\bar{r}=3.03\%\)와 du 경로의 \(\bar{r}=2.22\%\)는 0.81%p나 차이가 나며, 이에 따라 아시안 콜옵션의 페이오프도 \(c_{2,ud} = 1.0340\) vs \(c_{2,du} = 0.2185\)로 크게 다르다. 일반 콜옵션에서는 두 경로 모두 동일한 페이오프 1.6150을 갖지만, 아시안 옵션에서는 경로에 따라 페이오프가 현저히 달라진다.

표 13.6: 아시안 금리 옵션 가치평가 (역진행법)

구분	\(i=0\)	\(i=1\)	\(i=2\)
uu	\(c_0=0.7552\)	\(c_{1,u}=1.4150\)	\(c_{2,uu}=1.8495\)
ud			\(c_{2,ud}=1.0340\)
du		\(c_{1,d}=0.1085\)	\(c_{2,du}=0.2185\)
dd			\(c_{2,dd}=0\)

아시안 콜옵션의 가치 0.7552는 일반 콜옵션의 가치 1.7784보다 상당히 낮다. 그 이유는 평균 금리가 개별 시점의 금리보다 변동성이 작기 때문이다. 평균화(averaging)는 극단적인 값을 완화하므로, 행사가격을 크게 초과할 가능성과 초과 정도가 모두 줄어든다.

 

13.2.5 아시안 금리 옵션의 몬테카를로 시뮬레이션

아시안 옵션의 몬테카를로 시뮬레이션은 일반 옵션의 시뮬레이션과 동일한 금리 경로를 사용한다. 유일한 차이는 페이오프 계산 방식이다. 일반 옵션에서는 최종 시점의 금리 \(r_2\)로 페이오프를 계산하지만, 아시안 옵션에서는 경로상의 평균 금리 \(\bar{r}\)로 페이오프를 계산한다. 이러한 유연성이 몬테카를로 시뮬레이션의 큰 장점이다. 금리 경로를 한 번 생성하면, 그 위에서 임의의 복잡한 페이오프 구조를 적용할 수 있다.

표 13.7: 아시안 옵션의 10회 시뮬레이션

Sim	1차 RAND()	1차 이동	\(i=1\) 금리	2차 RAND()	2차 이동	\(i=2\) 금리	페이오프	할인 페이오프
1	0.46869	up	3.75%	0.51301	down	3.61%	1.034	1.006
2	0.10382	up	3.75%	0.16435	up	6.06%	1.850	1.799
3	0.84831	down	1.30%	0.34071	up	3.61%	0.218	0.215
4	0.70209	down	1.30%	0.25410	up	3.61%	0.218	0.215
5	0.00184	up	3.75%	0.11878	up	6.06%	1.850	1.799
6	0.44478	up	3.75%	0.24182	up	6.06%	1.850	1.799
7	0.06627	up	3.75%	0.55081	down	3.61%	1.034	1.006
8	0.38694	up	3.75%	0.76551	down	3.61%	1.034	1.006
9	0.76955	down	1.30%	0.62744	down	1.17%	0.000	0.000
10	0.88814	down	1.30%	0.97949	down	1.17%	0.000	0.000
평균 =								0.885

표 13.4(일반 콜옵션)와 비교하면, 동일한 RAND() 실현값과 동일한 금리 경로를 사용하되, 페이오프와 할인 페이오프 열만 다르다. 예를 들어 시뮬레이션 1에서 일반 콜옵션의 페이오프는 \(100 \times (3.61\% - 2.003\%) = 1.615\)이지만, 아시안 콜옵션의 페이오프는 \(100 \times (\frac{1.74\% + 3.75\% + 3.61\%}{3} - 2.003\%) = 100 \times (3.033\% - 2.003\%) = 1.034\)로 더 작다.

 

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13.3 다단계 이항트리에서의 몬테카를로 시뮬레이션

실무적 적용을 위해서는 단계 수 \(n\)이 큰 다단계(multi-step) 이항트리에서의 시뮬레이션이 필요하다. 이 절에서는 Chapter 11에서 도출한 Ho-Lee 이항트리 모형을 사용하여, 장기 금리 옵션과 기타 파생상품의 가격결정에 몬테카를로 방법을 적용한다. 다단계 트리에서의 시뮬레이션은 원리적으로 2단계 트리와 동일하지만, 각 시뮬레이션에서 \(n\)번의 무작위 추출이 필요하며, 할인인자 계산이 보다 복잡해진다.

 

13.3.1 Ho-Lee 이항트리 모형의 시뮬레이션

Ho-Lee 모형은 무차익 이자율 모형(no-arbitrage interest rate model)의 대표적 사례로서, 현재 관측된 이자율 기간구조(term structure)에 정확히 적합(calibration)되는 특성을 가진다. Ho-Lee 모형에서 금리의 이항트리 진화는 다음과 같이 표현된다.

식 13.11: Ho-Lee 이항트리에서의 금리 진화

$$r_{i+1} = r_i + \theta_i \times \Delta t + \sigma \times \sqrt{\Delta t} \times \epsilon_i$$

여기서 각 기호의 의미는 다음과 같다:

• \(\epsilon_i\)는 각 기간마다 동일한 확률 \(\frac{1}{2}\)로 \(+1\)(상승) 또는 \(-1\)(하락)의 값을 취하는 확률변수이다.
• \(\theta_i\)는 관측된 이자율 기간구조(term structure)에 맞추기 위한 시변 드리프트(time-varying drift)이다. 이 드리프트는 현재 시장에서 관측되는 제로쿠폰 금리곡선(zero-coupon yield curve)으로부터 결정된다.
• \(\sigma\)는 금리 변동성(volatility)이다. 이 모형에서 변동성은 시간에 관계없이 일정하다고 가정한다.
• \(\Delta t\)는 각 단계의 시간 간격이다. 예를 들어, 반기별 단계인 경우 \(\Delta t = 0.5\)년이다.

시뮬레이션 절차는 다음과 같다. 초기 금리 \(r_0\)에서 출발하여, 각 기간 \(i = 0, 1, \ldots, n-1\)에서 RAND() 함수로 상승 또는 하락을 결정한다. RAND() < 0.5이면 \(\epsilon_i = +1\)(상승), 아니면 \(\epsilon_i = -1\)(하락)이다. 이렇게 하면 하나의 금리 경로(interest rate path) \(\{r_0, r_1, r_2, \ldots, r_n\}\)가 생성된다. 이 과정을 \(N\)번 반복하여 \(N\)개의 독립적인 금리 경로를 구성한다.

 

13.3.2 장기 금리 옵션의 가격결정

만기 \(T = n \times \Delta t\)인 금리 콜옵션의 페이오프는 \(c_n = 100 \times \max(r_n - r_K, 0)\)이다. 몬테카를로 시뮬레이션에서 경로 \(s\)의 할인 페이오프를 계산하려면, 해당 경로에서 실현된 모든 금리를 사용하여 할인인자를 구해야 한다.

식 13.12: 경로별 할인 페이오프

$$\text{할인 페이오프}^{(s)} = \exp\!\left(-\sum_{j=0}^{n-1} r_j^{(s)} \times \Delta t\right) \times c_n^{(s)}$$

여기서 \(r_j^{(s)}\)는 시뮬레이션 \(s\)에서 시점 \(j\)의 금리이다. 할인인자 \(\exp\!\left(-\sum_{j=0}^{n-1} r_j^{(s)} \times \Delta t\right)\)는 시점 0부터 시점 \(n-1\)까지의 금리를 누적하여 계산한다. 핵심은 할인에 사용되는 금리가 해당 시뮬레이션 경로에서 실현된 금리라는 점이다. 이것이 경로별 할인(path-by-path discounting)의 본질이며, 역진행법의 노드별 할인과 등가임을 13.2.2절에서 확인한 바 있다.

모든 경로에 대한 할인 페이오프의 평균이 옵션의 현재가치 추정값이 된다.

식 13.13: 몬테카를로 가격 추정

$$\hat{c}_0 = \frac{1}{N}\sum_{s=1}^{N}\left[\exp\!\left(-\sum_{j=0}^{n-1}r_j^{(s)}\Delta t\right) \times c_n^{(s)}\right]$$

 

13.3.3 시뮬레이션 예시: 3년 만기 금리 콜옵션

Ho-Lee 이항트리(6단계, \(\Delta t = 0.5\)년)를 사용하여 3년 만기 금리 콜옵션(\(r_K = 2\%\))의 가격을 시뮬레이션으로 추정한다. 6단계 트리이므로 각 시뮬레이션에서 RAND()를 6번 호출하여 하나의 금리 경로를 생성한다.

표 13.8: 3년 만기 금리 콜옵션 시뮬레이션 (5회 경로 예시)

Sim	\(r_0\)	\(r_1\)	\(r_2\)	\(r_3\)	\(r_4\)	\(r_5\)	\(r_6\)	페이오프	할인인자	할인 페이오프
1	1.74%	3.75%	2.78%	4.11%	3.20%	2.31%	3.11%	1.114	0.9147	1.019
2	1.74%	1.30%	3.18%	4.51%	5.86%	7.22%	8.58%	6.583	0.8810	5.800
3	1.74%	3.75%	5.33%	4.11%	5.46%	4.56%	5.36%	3.363	0.8620	2.899
4	1.74%	1.30%	0.63%	1.96%	1.05%	2.31%	1.41%	0.000	0.9556	0.000
5	1.74%	1.30%	0.63%	-0.04%	1.05%	0.16%	-0.54%	0.000	0.9753	0.000

시뮬레이션 1의 할인인자 계산을 상세히 살펴보자. 경로상의 금리 합계는 \(1.74\% + 3.75\% + 2.78\% + 4.11\% + 3.20\% + 2.31\% = 17.89\%\)이다. 이에 \(\Delta t = 0.5\)를 곱하면 \(17.89\% \times 0.5 = 8.945\%\)이다. 따라서 할인인자는 \(e^{-0.08945} = 0.9145\)이다. 시점 6의 금리 \(r_6 = 3.11\%\)는 행사금리 2%를 초과하므로 페이오프는 \(100 \times (3.11\% - 2\%) = 1.114\)이고, 할인 페이오프는 \(0.9145 \times 1.114 = 1.019\)이다.

시뮬레이션 5에서는 \(r_6 = -0.54\%\)로 음의 금리가 나타나는데, 이는 Ho-Lee 모형이 정규분포(Normal distribution)를 기반으로 하여 금리가 음수가 될 수 있는 특성 때문이다. 이 경우 페이오프는 0이다.

 

13.3.4 시뮬레이션 수와 가격 추정의 수렴

시뮬레이션 수 \(N\)을 증가시키면 몬테카를로 추정값이 참값에 어떻게 수렴하는지 아래 표에서 확인할 수 있다. 참값은 이항트리의 역진행법으로 계산한 정확한 가격이다.

표 13.9: 시뮬레이션 수에 따른 가격 추정값 수렴

시뮬레이션 수 \(N\)	추정 가격 \(\hat{c}_0\)	참값 대비 오차
100	1.265	+7.3%
500	1.224	+3.8%
1,000	1.203	+2.0%
5,000	1.185	+0.5%
10,000	1.179	0.0%
참값 (역진행법)	1.179	—

\(N=100\)에서는 참값 대비 7.3%의 오차가 발생하지만, \(N=10{,}000\)에서는 오차가 사실상 0으로 수렴한다. 이는 대수의 법칙(law of large numbers)의 직접적인 발현이다. 그러나 수렴 속도는 \(N^{-1/2}\)에 비례하므로, 오차를 절반으로 줄이기 위해서는 시뮬레이션 수를 4배로 늘려야 한다는 점에 유의해야 한다.

 

13.3.5 표준오차와 신뢰구간

몬테카를로 추정값 \(\hat{c}_0\)는 난수에 기반한 확률변수(random variable)이므로, 매번 시뮬레이션을 실행할 때마다 약간 다른 값이 나온다. 따라서 추정값의 정확도를 측정하는 것이 필수적이며, 이를 위해 표준오차(standard error, SE)를 사용한다. 표준오차는 추정값의 표준편차이며, 시뮬레이션 수의 제곱근에 반비례한다.

식 13.14: 표준오차

$$SE(\hat{c}_0) = \frac{\hat{\sigma}}{\sqrt{N}}$$

여기서 \(\hat{\sigma}\)는 할인 페이오프의 표본 표준편차(sample standard deviation)이다.

식 13.15: 표본 표준편차

$$\hat{\sigma} = \sqrt{\frac{1}{N-1}\sum_{s=1}^{N}\left(V^{(s)} - \hat{c}_0\right)^2}$$

\(V^{(s)}\)는 시뮬레이션 \(s\)에서의 할인 페이오프이고, \(\hat{c}_0\)는 모든 시뮬레이션의 할인 페이오프 평균이다. 표본 표준편차는 개별 시뮬레이션 결과가 평균으로부터 얼마나 흩어져 있는지를 측정하며, 이를 \(\sqrt{N}\)으로 나누면 평균값 자체의 불확실성(표준오차)이 된다.

중심극한정리(Central Limit Theorem)에 의해, \(N\)이 충분히 크면 \(\hat{c}_0\)는 근사적으로 정규분포를 따르므로, 95% 신뢰구간(confidence interval)을 다음과 같이 구성할 수 있다.

식 13.16: 95% 신뢰구간

$$\hat{c}_0 \pm 1.96 \times SE(\hat{c}_0)$$

이 신뢰구간의 의미는, 동일한 시뮬레이션 절차를 여러 번 반복하면 약 95%의 경우에 참값이 이 구간 안에 포함된다는 것이다.

표준오차의 수렴 속도: 표준오차는 \(N^{-1/2}\)에 비례한다. 따라서 정확도를 2배로 높이려면 시뮬레이션 수를 4배로 늘려야 한다. 예를 들어, SE를 절반으로 줄이기 위해 \(N=1{,}000\)에서 \(N=4{,}000\)으로 증가시켜야 한다. 이는 소수점 이하 정밀도를 높이는 데 상당한 계산 비용이 수반됨을 의미하며, 실무에서 분산 감소 기법(variance reduction techniques)이 중요한 이유이기도 하다.

표 13.10: 시뮬레이션 수에 따른 표준오차

\(N\)	\(\hat{c}_0\)	\(SE\)	95% 신뢰구간
100	1.265	0.172	[0.928, 1.602]
1,000	1.203	0.055	[1.095, 1.311]
5,000	1.185	0.024	[1.138, 1.232]
10,000	1.179	0.017	[1.146, 1.212]

\(N=100\)에서는 95% 신뢰구간이 [0.928, 1.602]로 매우 넓어 추정의 불확실성이 크다. 참값 1.179가 이 구간 안에 포함되어 있지만, 구간의 폭이 0.674로 실무적으로 유용하기 어려운 수준이다. \(N=10{,}000\)에서는 신뢰구간이 [1.146, 1.212]로 상당히 좁아져, 추정값이 참값 근방에 집중됨을 확인할 수 있다.

 

13.3.6 확장: 다양한 만기의 금리 옵션

몬테카를로 시뮬레이션의 실무적 장점 중 하나는 동일한 시뮬레이션 경로를 사용하여 다양한 만기의 옵션 가격을 동시에 추정할 수 있다는 점이다. 금리 경로 \(\{r_0, r_1, \ldots, r_n\}\)를 한 번 생성한 후, 그 경로 위에서 만기가 \(T=0.5, 1.0, 1.5, \ldots, 3.0\)년인 여러 옵션의 페이오프와 할인인자를 각각 계산하면, 추가적인 난수 생성 없이 여러 옵션의 가격을 동시에 얻을 수 있다. 이는 계산 효율성 측면에서 상당한 이점이다.

표 13.11: 만기별 금리 콜옵션 가격 (역진행법 vs 몬테카를로)

만기 \(T\)	역진행법 가격	MC \(N=1{,}000\)	MC \(N=10{,}000\)	SE (\(N=10{,}000\))
0.5년	0.866	0.888	0.871	0.012
1.0년	1.778	1.839	1.790	0.021
1.5년	1.308	1.334	1.315	0.019
2.0년	1.195	1.224	1.202	0.018
2.5년	1.185	1.207	1.190	0.017
3.0년	1.179	1.203	1.179	0.017

\(N=1{,}000\) 시뮬레이션에서는 모든 만기에서 역진행법 가격을 다소 과대추정하는 경향이 있지만, \(N=10{,}000\)으로 늘리면 오차가 현저히 줄어든다. 모든 만기에서 표준오차(SE)가 0.012~0.021 수준으로, 추정의 정밀도가 상당히 높다.

 

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13.4 경로의존형 증권의 가격결정

몬테카를로 시뮬레이션의 진정한 강점은 경로의존형(path-dependent) 증권의 가격결정에 있다. 이 절에서는 두 가지 중요한 예시를 다룬다. 첫째는 장기 아시안 금리 옵션이고, 둘째는 인덱스 상각 금리 스왑(Index Amortizing Interest Rate Swap, AIRS)이다. 이 두 증권은 역진행법으로 가격결정하기가 매우 어렵거나 불가능하지만, 몬테카를로 시뮬레이션으로는 비교적 간단하게 가치평가할 수 있다.

 

13.4.1 장기 아시안 금리 옵션

13.2.4절에서 2단계 트리의 아시안 옵션을 다루었으므로, 이제 보다 현실적인 설정으로 확장한다. 3년 만기 아시안 금리 콜옵션의 페이오프는 다음과 같다.

식 13.20: 3년 만기 아시안 금리 콜옵션 페이오프

$$c_6 = 100 \times \max(\bar{r}_6 - r_K,\, 0) \quad \text{where} \quad \bar{r}_6 = \frac{1}{7}\sum_{j=0}^{6}r_j$$

3년 만기이므로 \(n=6\)단계(\(\Delta t=0.5\)년)에서 시점 0부터 시점 6까지의 모든 금리(총 7개 금리)를 평균한다. 이 옵션은 강한 경로의존성(path dependency)을 가지며, \(2^6 = 64\)개의 최종 경로 각각에서 서로 다른 평균 금리가 실현된다. 역진행법으로는 64개의 최종 노드를 개별적으로 추적해야 하지만, 몬테카를로 시뮬레이션에서는 경로를 순차적으로 생성하며 평균을 누적 계산하면 되므로 훨씬 간단하다.

표 13.12: 3년 만기 아시안 금리 콜옵션 시뮬레이션 (5회 경로)

Sim	\(r_0\)	\(r_1\)	\(r_2\)	\(r_3\)	\(r_4\)	\(r_5\)	\(r_6\)	\(\bar{r}\)	페이오프	할인 페이오프
1	1.74	3.75	2.78	4.11	3.20	2.31	3.11	3.00%	1.000	0.915
2	1.74	1.30	3.18	4.51	5.86	7.22	8.58	4.63%	2.627	2.314
3	1.74	3.75	5.33	4.11	5.46	4.56	5.36	4.33%	2.330	2.008
4	1.74	1.30	0.63	1.96	1.05	2.31	1.41	1.49%	0.000	0.000
5	1.74	1.30	0.63	-0.04	1.05	0.16	-0.54	0.61%	0.000	0.000

시뮬레이션 1에서 평균 금리는 \(\bar{r} = \frac{1.74 + 3.75 + 2.78 + 4.11 + 3.20 + 2.31 + 3.11}{7} = 3.00\%\)이고, 아시안 콜 페이오프는 \(100 \times (3.00\% - 2\%) = 1.000\)이다. 이를 표 13.8의 일반 콜옵션 페이오프 1.114와 비교하면, 평균화 효과로 인해 아시안 옵션의 페이오프가 더 작음을 알 수 있다.

시뮬레이션 2에서는 금리가 점진적으로 상승하는 경로가 나타난다. 최종 금리 \(r_6 = 8.58\%\)는 매우 높지만, 초기에 낮았던 금리 때문에 평균은 4.63%로 훨씬 완화된다. 일반 콜옵션 페이오프 6.583에 비해 아시안 콜옵션 페이오프 2.627이 상당히 작은 이유이다.

표 13.13: 일반 금리 옵션 vs 아시안 금리 옵션 비교

만기	일반 금리 콜옵션	아시안 금리 콜옵션
0.5년	0.866	0.866
1.0년	1.778	0.755
1.5년	1.308	0.641
2.0년	1.195	0.594
2.5년	1.185	0.570
3.0년	1.179	0.552

아시안 옵션은 항상 일반 옵션보다 가격이 낮다. 이는 통계학의 기본 원리에 기인한다. 평균의 분산은 개별 값의 분산보다 작다. 즉, \(\text{Var}(\bar{r}) < \text{Var}(r_n)\)이다. 평균 금리 \(\bar{r}\)는 최종 금리 \(r_n\)보다 변동성이 작으므로, 행사가격을 초과할 확률과 초과 정도가 모두 줄어든다. 0.5년 만기에서 두 옵션의 가격이 동일한 것은, 이 경우 평균 금리가 곧 최종 금리이기 때문이다(\(\bar{r} = \frac{r_0 + r_1}{2}\)에서 \(r_0\)는 상수이므로 평균이 최종값에 선형 비례한다).

 

13.4.2 인덱스 상각 금리 스왑 (Index Amortizing Interest Rate Swap, AIRS)

AIRS(인덱스 상각 금리 스왑)는 명목원금(notional principal)이 금리 수준에 따라 상각(amortize)되는 금리 스왑(interest rate swap)이다. 일반적인 금리 스왑에서는 명목원금이 만기까지 일정하게 유지되지만, AIRS에서는 금리가 하락할수록 명목원금이 빠르게 줄어드는 구조이다.

이 구조는 주택저당증권(Mortgage-Backed Securities, MBS)의 조기상환(prepayment) 특성을 근사적으로 모사한 것이다. 금리가 하락하면 주택 소유자들이 재융자(refinancing)를 통해 모기지를 조기상환하므로, MBS의 잔여 원금이 감소한다. AIRS는 이와 유사하게, 금리가 하락하면 명목원금이 빠르게 상각되어, MBS와 유사한 위험 프로파일(risk profile)을 제공한다.

정의 13.2: AIRS 텀시트 (Term Sheet)

• 만기: 3년
• 기준금리: 6개월 LIBOR
• 고정이자율: \(c = 5.25\%\)
• 초기 명목원금: \(N_0 = 100\)
• 주기적 현금흐름 (고정금리 수취, 변동금리 지급): \(\text{CF}_i = N_{i-1} \times (c - r_{i-1}) \times \Delta t\)
• 상각 스케줄: 금리 수준에 따라 아래 표에 의해 결정

표 13.14: AIRS 상각 스케줄

기준금리 수준	상각 비율
\(r_i \geq 5.25\%\)	0% (상각 없음)
\(4.25\% \leq r_i < 5.25\%\)	20%
\(3.25\% \leq r_i < 4.25\%\)	40%
\(2.25\% \leq r_i < 3.25\%\)	60%
\(1.25\% \leq r_i < 2.25\%\)	80%
\(r_i < 1.25\%\)	100%

이 상각 스케줄은 MBS의 조기상환 행태를 단순화하여 모사한 것이다. 금리가 낮을수록 MBS 보유자의 재융자(조기상환) 유인이 강해지듯이, AIRS에서도 금리가 낮을수록 상각 비율이 높아져 명목원금이 빠르게 감소한다. 금리가 고정이자율(5.25%) 이상이면 상각이 전혀 발생하지 않으며, 이는 MBS에서 금리가 쿠폰을 초과하면 조기상환 유인이 없는 것과 유사하다.

상각 비율은 이전 시점의 잔여 명목원금에 적용된다:

식 13.21: AIRS의 명목원금 진화

$$N_i = N_{i-1} \times (1 - \text{Amort}(r_i))$$

여기서 \(\text{Amort}(r_i)\)는 표 13.14에 정의된 상각 비율이다. 예를 들어, \(r_i = 3.0\%\)이면 \(\text{Amort}(r_i) = 60\%\)이므로 \(N_i = N_{i-1} \times 0.40\)이 된다.

식 13.22: 시점 \(i\)에서의 현금흐름

$$\text{CF}_i = N_{i-1} \times (c - r_{i-1}) \times \Delta t$$

고정금리(\(c = 5.25\%\))를 수취하고 변동금리(\(r_{i-1}\))를 지급한다. 현재 금리 환경(저금리)에서는 \(c > r_{i-1}\)이므로 현금흐름이 양수(수취)이지만, 금리가 고정금리를 초과하면 현금흐름이 음수(지급)가 된다.

 

AIRS 시뮬레이션 예시

표 13.15: AIRS 시뮬레이션 (경로 예시)

시점 \(i\)	금리 \(r_i\)	상각 비율	기초 명목원금 \(N_{i-1}\)	기말 명목원금 \(N_i\)	현금흐름 \(\text{CF}_i\)	할인인자	할인 현금흐름
0	1.74%	80%	100.00	20.00	—	—	—
1	3.75%	40%	20.00	12.00	1.755	0.9913	1.740
2	2.78%	60%	12.00	4.80	0.150	0.9727	0.146
3	4.11%	20%	4.80	3.84	0.148	0.9589	0.142
4	3.20%	60%	3.84	1.54	0.027	0.9394	0.026
5	2.31%	60%	1.54	0.61	0.039	0.9240	0.036
6	3.11%	60%	0.61	0.25	0.023	0.9128	0.021
경로별 AIRS 가치 (합계) =							2.111

이 예시를 상세히 살펴보자. 시점 0에서 초기 금리 \(r_0 = 1.74\%\)는 \(1.25\% \leq r_0 < 2.25\%\) 구간에 해당하므로 80% 상각이 발생한다. 명목원금이 즉시 \(100 \times (1-0.80) = 20\)으로 급감한다. 이는 초기 금리가 매우 낮아 MBS에서 대규모 조기상환이 발생하는 상황을 모사한다.

시점 1에서 현금흐름은 \(\text{CF}_1 = 100 \times (5.25\% - 1.74\%) \times 0.5 = 1.755\)이다. 여기서 명목원금으로 상각 전 원금(100)을 사용하고, 금리로 이전 시점 금리(\(r_0 = 1.74\%\))를 사용하는 점에 주의한다.

시점 1에서 금리가 3.75%로 반등하여 상각 비율이 40%로 줄어들지만, 이미 명목원금이 20으로 크게 줄어든 상태이므로 \(N_1 = 20 \times 0.60 = 12\)가 된다. 이후 금리 변동에 따라 상각이 계속되면서 명목원금은 시점 6에서 0.25까지 감소한다. 그 결과 시점 2 이후의 현금흐름은 매우 작아진다.

이 경로에서 AIRS의 총 가치는 할인 현금흐름의 합계인 2.111이다. 이것이 하나의 시뮬레이션 경로에서의 가치이며, \(N\)개의 경로에 대해 이 과정을 반복한 후 평균을 구하면 AIRS의 현재가치 추정값을 얻는다.

 

AIRS의 볼록성 (Convexity) 분석

\(N=10{,}000\)회 시뮬레이션에서 얻어진 AIRS 가치와 LIBOR 수준의 관계는 아래 그림에서 확인할 수 있다.

그림 13.1: AIRS 가치 vs 기준금리 수준

   AIRS 가치
   |
 5 +        *                      
   |     *   *                   
 4 +   *      *                  
   |  *        *               
 3 + *          *              음의 볼록성
   |*            *           (Negative Convexity)
 2 +              *            
   |               **         
 1 +                 ***      
   |                    ****  
 0 +-----+-----+-----+-----+----> LIBOR (r)
   0%    2%    4%    6%    8%
   |
-1 +                         ****
   |                              

AIRS는 음의 볼록성(negative convexity)을 보인다. 이 현상의 메커니즘을 이해하기 위해, 금리 변화가 AIRS 가치에 미치는 두 가지 상반된 효과를 분석하자.

효과 1 (현금흐름 증가): 금리가 하락하면 고정금리(\(c\))와 변동금리(\(r\))의 차이가 커져 각 기간의 현금흐름 \((c - r) \times N \times \Delta t\)가 증가한다. 이는 AIRS 가치를 높이는 효과이다.

효과 2 (명목원금 상각): 금리가 하락하면 상각 비율이 높아져 명목원금 \(N\)이 빠르게 감소한다. 명목원금이 줄면 미래 현금흐름의 기반이 축소되므로 AIRS 가치를 낮추는 효과이다.

금리가 일정 수준 이하로 하락하면, 효과 2(명목원금 축소)가 효과 1(현금흐름 마진 증가)을 압도하게 된다. 즉, 금리가 더 내려가도 현금흐름 마진 증가분이 명목원금 급감에 의해 상쇄되어, AIRS 가치가 더 이상 증가하지 않거나 오히려 감소한다. 이것이 음의 볼록성의 본질이다.

이는 MBS의 조기상환 위험과 정확히 동일한 패턴이다. MBS에서도 금리 하락 시 할인 효과로 가치가 상승해야 하지만, 조기상환이 급증하면서 잔여 원금이 줄어들어 가격 상승이 제한된다.

음의 볼록성의 경제적 함의: 일반 고정금리 채권은 양의 볼록성(positive convexity)을 가져, 금리 하락 시 가격 상승이 금리 상승 시 가격 하락보다 크다. 이는 투자자에게 유리한 특성이다. 그러나 AIRS와 MBS는 음의 볼록성을 나타내어, 금리 하락의 이점이 제한된다. 이러한 음의 볼록성은 투자자에게 불리하므로, AIRS/MBS는 이를 보상하기 위해 상대적으로 높은 스프레드(yield spread)를 제공해야 한다.

 

AIRS 가격결정을 위한 다수 시뮬레이션

표 13.16: AIRS 가격의 시뮬레이션 수렴

\(N\)	AIRS 추정가치	SE	95% 신뢰구간
100	1.985	0.122	[1.746, 2.224]
1,000	2.034	0.040	[1.956, 2.112]
5,000	2.050	0.018	[2.015, 2.085]
10,000	2.053	0.013	[2.028, 2.078]

AIRS 가치의 추정값은 약 2.053으로 수렴한다. \(N=10{,}000\)에서 표준오차가 0.013으로, 95% 신뢰구간의 폭이 약 0.05로 좁다. AIRS와 같은 경로의존형 증권의 경우, 역진행법은 비재결합 트리로 인해 계산이 폭발적으로 증가하는 반면, 몬테카를로 시뮬레이션은 적절한 정확도의 가격을 효율적으로 제공한다.

 

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13.5 몬테카를로에 의한 현물금리 듀레이션

경로의존형 증권의 위험관리에는 현물금리 듀레이션(spot rate duration)이 필수적이다. Chapter 3에서 논의한 바와 같이, 현물금리 듀레이션은 각 만기의 제로쿠폰 금리(zero-coupon rate)가 소폭 변화할 때 증권 가격이 얼마나 변하는지를 측정한다. 경로의존형 증권의 경우 해석적 듀레이션 공식이 존재하지 않으므로, 몬테카를로 시뮬레이션을 통해 수치적으로(numerically) 계산해야 한다.

 

13.5.1 수치적 듀레이션 계산

식 13.24: 현물금리 듀레이션의 수치적 근사

$$D_k \approx -\frac{1}{P} \times \frac{P(r_k + dr) - P(r_k - dr)}{2 \times dr}$$

여기서 \(P\)는 증권의 현재 가치, \(r_k\)는 만기 \(k\)의 현물금리, \(dr\)은 미소 변화(예: 1bp = 0.01%)이다. 이 공식은 중심차분법(central difference method)에 기반하며, 금리를 양방향으로 동일하게 이동시켜 근사의 정확도를 높인다.

몬테카를로 기반의 현물금리 듀레이션 계산 절차:

1단계 (기본 시나리오): 현재의 이자율 기간구조에서 증권 가치 \(P\)를 시뮬레이션으로 추정한다.

2단계 (금리 교란): 만기 \(k\)의 현물금리를 \(dr\)만큼 상향(또는 하향) 이동시킨다. 이를 위해 Ho-Lee 모형의 드리프트 파라미터 \(\theta_i\)를 교란된 기간구조에 맞게 재보정(recalibration)한다. 이 재보정이 필요한 이유는 Ho-Lee 모형이 현재 기간구조에 정확히 적합되는 모형이므로, 기간구조가 변경되면 모형 파라미터도 변경되어야 하기 때문이다.

3단계 (재시뮬레이션): 변경된 이자율 기간구조에 해당하는 이항트리에서 동일한 시뮬레이션을 실행하여 \(P(r_k + dr)\) 및 \(P(r_k - dr)\)를 추정한다.

4단계 (듀레이션 계산): 중심차분법으로 듀레이션을 계산한다.

실무적 고려사항: 공통 난수 기법(Common Random Numbers Technique)

듀레이션 계산에서 극히 중요한 실무적 기법은, 동일한 난수(random number) 시퀀스를 기본 시나리오와 교란 시나리오 모두에서 사용하는 것이다. 만약 서로 다른 난수를 사용하면, 가격 차이 \(P(r_k + dr) - P(r_k - dr)\)에 금리 변화에 의한 효과뿐 아니라 난수의 차이에 의한 노이즈가 혼입된다. \(dr\)이 매우 작은 값(1-10bp)이므로, 이 노이즈가 신호(금리 변화 효과)를 압도할 수 있다.

공통 난수를 사용하면, 기본 시나리오와 교란 시나리오에서 정확히 동일한 상승/하락 패턴이 발생하되, 금리 수준만 달라진다. 따라서 가격 차이는 순수하게 금리 변화에 의한 효과만을 반영하게 되어, 듀레이션 추정의 정확도가 크게 향상된다.

또한 \(dr\)의 선택도 중요하다. \(dr\)이 너무 크면 수치 근사 오차(truncation error)가 발생하고, 너무 작으면 시뮬레이션 노이즈가 지배하므로, 적절한 \(dr\)(통상 1-10bp)을 선택해야 한다.

 

13.5.2 AIRS의 현물금리 듀레이션

표 13.17: AIRS의 현물금리 듀레이션

만기	0.5년	1.0년	1.5년	2.0년	2.5년	3.0년
현물금리 듀레이션	-0.38	-0.05	-0.01	0.00	0.00	0.00

식 13.25: 유효 듀레이션 (달러 듀레이션)

$$D_{\$} \approx -\frac{P(r + dr) - P(r - dr)}{2 \times dr}$$

여기서 모든 만기의 현물금리를 동일하게 \(dr\)만큼 평행이동(parallel shift)한다.

AIRS의 현물금리 듀레이션은 매우 짧으며, 대부분의 듀레이션이 0.5년 만기 현물금리에 집중되어 있다. 이는 AIRS의 두 가지 특성을 반영한다. 첫째, 금리 하락 시 상각 효과로 인해 명목원금이 급감하므로, 금리 변화에 대한 가치의 민감도가 제한된다. 둘째, AIRS의 현금흐름이 초기에 집중되는 특성이 있다. 초기 금리가 낮으면 초기에 대규모 상각이 발생하여 명목원금이 빠르게 축소되므로, 이후 기간의 현금흐름은 극히 작아져 장기 금리 변화에 대한 민감도가 사실상 0이 된다.

 

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13.6 주택저당증권 (RMBS)의 가격결정

몬테카를로 시뮬레이션의 가장 중요한 실무적 적용 중 하나가 주택저당대출 담보부 증권(Residential Mortgage-Backed Securities, RMBS)의 가격결정이다. RMBS는 수천 건의 개별 모기지 대출을 풀(pool)로 묶어 증권화(securitization)한 것으로, 각 대출자의 조기상환(prepayment) 결정에 의존하는 대표적인 경로의존형 증권이다. RMBS의 가격결정이 어려운 핵심적인 이유는 조기상환 행위가 과거 금리 경로의 전체 이력에 의존하기 때문이며, 이는 특히 번아웃(burnout) 효과에서 극명하게 드러난다.

 

13.6.1 모기지 조기상환의 시뮬레이션

모기지 보유자는 시장금리가 자신의 모기지 이자율보다 낮아지면 재융자(refinancing)를 통해 대출을 조기상환할 유인이 있다. 구체적으로, 현재 모기지 잔여 원금 \(L_t\)를 상환하고 더 낮은 금리의 새 모기지를 얻으면, 향후 월 납입액이 줄어들어 총 이자 비용이 감소한다.

그러나 실제 조기상환 행위는 합리적 최적화(rational optimization)에서 벗어나는 다양한 요인에 의해 영향을 받는다. 이를 반영한 조기상환 결정 모형(Prepayment Decision Model)은 다음과 같이 구성된다.

각 기간 \(i\)에서 대출자가 조기상환할지 여부는 시점 \(i\)에서 관측된 시장금리 \(r_i\)를 기반으로 결정된다. 현재 모기지의 잔여가치(value of continuing the mortgage)와 재융자 후 새로운 모기지의 비용(거래비용 포함)을 비교하여, 재융자가 더 유리한 경우 조기상환이 발생한다.

 

13.6.2 조기상환에 영향을 미치는 추가적 요인

실무적 모기지 모형에서는 금리 수준 이외에도 다음과 같은 추가 요인들을 포함시킨다.

(a) 확률적 사건 (Random Events)

대출자가 금리와 무관하게 이사, 이혼, 실직 등으로 인해 조기상환하는 경우가 있다. 이를 모형에 반영하기 위해, 각 기간 \(i\)에서 독립적인 균등분포 난수 \(U_i\)를 생성하고, \(U_i < p_{\text{random}}\)이면 확률적 조기상환이 발생한다고 가정한다. 전형적으로 \(p_{\text{random}}\)은 연간 2~4% 수준이다. 이러한 비금리적 조기상환은 금리 환경과 무관하게 일정한 기저 조기상환률(base prepayment rate)을 형성한다.

(b) 계절성 (Seasonality)

조기상환률은 계절에 따라 변동한다. 일반적으로 봄과 여름(특히 주택 거래가 활발한 시기)에 조기상환이 증가하고, 겨울에는 감소한다. 이는 주택 매매가 계절적 패턴을 따르기 때문이며, 주택 매매에 수반되는 기존 모기지 상환이 조기상환으로 기록되기 때문이다. 이를 월별 계절성 조정인자(seasonal adjustment factor)로 반영한다.

(c) 비최적 행사 (Non-optimal Exercise)

대출자가 재융자가 유리한 상황에서도 조기상환하지 않는 경우가 빈번하다. 이는 거래비용(transaction costs: 변호사 비용, 감정 비용, 등기 비용 등), 정보 비대칭(information asymmetry: 재융자가 유리하다는 사실을 인지하지 못하는 경우), 관성(inertia: 번거로움 때문에 행동하지 않는 경우), 또는 기타 행태적 요인(behavioral factors)에 기인한다. 이를 반영하기 위해, 조기상환 확률을 최적 결정에서 할인(discount)하거나, 대출자별로 상이한 행사 임계값(exercise threshold)을 부여한다.

(d) 번아웃 효과 (Burnout Effect)

번아웃(burnout)은 RMBS 가격결정에서 가장 중요한 경로의존적 요인이다. 금리가 장기간 낮은 수준을 유지하면, 재융자에 가장 민감한 대출자들(재융자 비용이 낮고, 정보가 충분하고, 행동력이 있는 대출자들)이 먼저 조기상환한다. 그 결과, 나머지 풀에는 조기상환에 둔감한 대출자들(신용 문제로 재융자가 어렵거나, 정보가 부족하거나, 관성이 강한 대출자들)이 잔존한다. 이로 인해 풀 전체의 조기상환률이 시간이 지남에 따라 감소하는 현상이 나타난다.

번아웃의 경로의존성: 번아웃 효과는 현재 금리 수준뿐 아니라 과거 금리 경로 전체에 의존한다. 다음 두 경로를 비교해 보자:

• 경로 A: 금리가 한 번 크게 하락(3%)한 후 현재 5%로 반등
• 경로 B: 금리가 일관되게 5% 수준을 유지

두 경로의 현재 금리는 동일하지만, 경로 A에서는 과거 저금리 기간 동안 민감한 대출자들이 이미 조기상환을 완료했으므로, 잔존 풀의 조기상환 민감도가 경로 B보다 낮다. 따라서 향후 금리가 다시 하락하더라도, 경로 A의 풀에서는 경로 B의 풀보다 조기상환이 적게 발생할 것이다. 이 차이는 오직 과거 경로의 이력으로만 설명되므로, 번아웃은 본질적으로 경로의존적이다.

이것이 RMBS가 몬테카를로 시뮬레이션을 필요로 하는 핵심적인 이유이다. 역진행법에서는 각 노드에서 현재 금리 수준만으로 가치를 결정하는데, 번아웃 효과를 반영하려면 같은 금리 수준이라도 도달 경로에 따라 다른 값을 부여해야 하므로 비재결합 트리가 필요하다. 반면, 몬테카를로 시뮬레이션에서는 각 경로의 전체 이력을 자연스럽게 추적할 수 있으므로 번아웃을 비롯한 복잡한 경로의존적 요인을 쉽게 반영할 수 있다.

 

13.6.3 RMBS 구조: 패스스루, IO/PO, CMO

(a) 패스스루 (Pass-Through)

가장 단순한 MBS 구조이다. 모기지 풀에서 발생하는 원금과 이자의 현금흐름이 서비싱 수수료(servicing fee)와 보증 수수료(guarantee fee)를 차감한 후 투자자에게 그대로 전달(pass through)된다. 투자자는 전체 풀의 비례지분(pro-rata share)을 보유하며, 조기상환 위험을 그대로 부담한다.

(b) IO/PO 스트립 (Interest-Only / Principal-Only Strips)

패스스루 증권의 현금흐름을 이자 부분(Interest Only, IO)과 원금 부분(Principal Only, PO)으로 분리한 것이다. 두 스트립은 극히 대조적인 위험 특성을 가진다.

표 13.18: IO/PO 스트립의 금리 민감도

구분	금리 하락 시	금리 상승 시
PO 스트립	원금의 현재가치 증가 + 조기상환 가속 → 가치 상승	할인 효과 감소 + 조기상환 둔화 → 가치 하락
IO 스트립	이자 수입의 현재가치 증가하나, 조기상환으로 원금 감소 → 이자 수입 급감 → 가치 하락 가능	조기상환 둔화 → 장기간 이자 수취 가능 → 가치 상승

IO 스트립은 금리와 양의 상관관계를 가지므로 음의 듀레이션(negative duration)을 나타내는 특이한 증권이다. 금리가 상승하면 가치가 올라가는, 대부분의 채권과 반대되는 행태를 보인다. 이 특성 때문에 IO 스트립은 금리 상승 위험에 대한 헤지(hedge) 도구로 활용될 수 있다.

(c) CMO (Collateralized Mortgage Obligation)

CMO는 모기지 풀의 현금흐름을 여러 트랜치(tranche)로 분배하여 각 투자자의 위험-수익 선호에 맞춘 증권을 생성한다. 대표적인 구조로는 순차상환(sequential pay), PAC(Planned Amortization Class), 그리고 Z-트랜치(accrual tranche) 등이 있다. Chapter 8에서 이미 상세히 다루었으므로, 여기서는 몬테카를로 시뮬레이션에 의한 가격결정에 초점을 맞춘다.

 

13.6.4 PSA 조기상환 모형

PSA(Public Securities Association, 현재 SIFMA) 벤치마크는 조기상환률을 표준화한 것이다. 100% PSA는 모기지 발행 후 첫 30개월 동안 월 0.2%씩 CPR(Conditional Prepayment Rate)이 증가하여 6%에 도달하고, 이후 만기까지 6%를 유지한다고 가정한다.

식 13.26-13.27: PSA 모형

$$\text{100\% PSA:}\quad \text{CPR}(t) = \begin{cases} \frac{6\%}{30} \times t = 0.2\% \times t & \text{if } t \leq 30 \\ 6\% & \text{if } t > 30 \end{cases}$$

$$\text{SMM}(t) = 1 - (1-\text{CPR}(t))^{1/12}$$

여기서 CPR은 연간 조건부 조기상환률(Conditional Prepayment Rate)로, "현재 잔존 원금 중 향후 1년간 조기상환될 것으로 예상되는 비율"이다. SMM은 월간 조건부 조기상환률(Single Monthly Mortality)로, CPR을 월별로 환산한 것이다. 200% PSA는 각 시점의 CPR을 2배로, 50% PSA는 0.5배로 스케일링한다.

 

13.6.5 RMBS 몬테카를로 시뮬레이션의 일반적 절차

RMBS의 가격결정을 위한 몬테카를로 시뮬레이션은 다음의 체계적 절차를 따른다.

1단계 (금리 경로 생성): Ho-Lee 또는 기타 이자율 모형(Hull-White, BDT 등)을 사용하여 \(N\)개의 위험중립 금리 경로를 생성한다. 각 경로는 월별(또는 반기별) 금리 수준의 시계열이다.

2단계 (조기상환률 결정): 각 경로의 각 시점에서 조기상환 모형을 적용하여 조기상환률을 결정한다. 이 단계에서 합리적 행사 모형, 확률적 조기상환, 계절성, 번아웃 효과 등 모든 요인을 반영한다. 번아웃 효과의 반영을 위해 각 경로의 과거 금리 이력을 참조한다.

3단계 (현금흐름 계산): 각 경로에서 조기상환을 반영한 모기지 풀의 현금흐름(예정 원금상환, 예정 이자, 조기상환 원금)을 계산한다. CMO의 경우, 풀의 현금흐름을 각 트랜치에 배분하는 규칙(waterfall)을 적용한다.

4단계 (경로별 가치 계산): 각 경로의 현금흐름을 해당 경로의 금리(plus OAS)로 할인하여 현재가치를 구한다.

5단계 (평균 및 표준오차): 모든 경로의 현재가치를 평균하여 MBS 가격 추정값을 구하고, 표준오차를 계산하여 추정의 정확도를 평가한다.

표 13.19: RMBS 몬테카를로 시뮬레이션 결과 예시

구분	패스스루	PO 스트립	IO 스트립
추정 가격 (par 대비)	101.25	85.50	15.75
유효 듀레이션 (년)	3.2	7.8	-4.5
볼록성	음(-)의 볼록성	양(+)의 볼록성	강한 음(-)의 볼록성
OAS (bps)	45	120	-75

여기서 OAS(Option-Adjusted Spread)는 몬테카를로 시뮬레이션에서 구한 증권의 이론적 가격이 시장 관측 가격과 일치하도록 하는 스프레드이다. 즉, 각 경로의 할인 시 현물금리에 OAS를 가산하여 할인한 결과의 평균이 시장 관측 가격과 같아지는 상수 스프레드를 의미한다. OAS는 조기상환 옵션의 가치를 제거한(option-adjusted) 순수한 신용/유동성 스프레드를 나타내므로, 서로 다른 MBS 트랜치의 상대적 가치를 비교하는 데 핵심적인 지표이다.

 

표 13.20: 다양한 RMBS 트랜치의 위험 특성 비교

트랜치	조기상환 위험	금리 민감도	듀레이션	주요 투자자
순차상환 A (단기)	높음	낮음	짧음 (1-3년)	은행, MMF
순차상환 B (중기)	중간	중간	중간 (4-7년)	보험사, 연기금
순차상환 Z (장기)	낮음 (초기)	높음	길음 (10-20년)	장기 투자자
PAC	매우 낮음	안정적	예측 가능	위험 회피 투자자
Support/Companion	매우 높음	불안정	불안정	헤지펀드
IO 스트립	매우 높음	역방향	음(-)	헤저(hedger)
PO 스트립	높음	정방향	길음	투기적 투자자

 

13.6.6 실무적 시뮬레이션 설계시 고려사항

표 13.21: RMBS 몬테카를로 시뮬레이션 설계시 고려사항

요소	설명	전형적 선택
금리 모형	금리 경로 생성에 사용하는 확률 모형	Ho-Lee, Hull-White, BDT 등
단계 크기 \(\Delta t\)	시간 이산화의 정밀도	월별 (1/12년) 또는 반기별
시뮬레이션 수 \(N\)	가격 추정의 정확도를 결정	5,000 ~ 100,000
조기상환 모형	대출자 행동 모형의 복잡도	PSA, 합리적 행사, 경험적 모형
분산 감소 기법	동일 시뮬레이션 수에서 효율성 향상	대립변량법, 제어변량법
보정 방법	모형을 시장 데이터에 적합	OAS, 스왑 곡선 보정

실무에서 RMBS의 몬테카를로 시뮬레이션은 상당한 계산 자원을 필요로 한다. 360개월(30년) 모기지의 경우 각 경로에서 360개의 금리와 조기상환률을 계산하고, 이를 10,000~100,000개의 경로에 대해 반복해야 한다. 분산 감소 기법(variance reduction techniques)은 동일한 시뮬레이션 수에서 추정의 정확도를 높이는 방법으로, 실무적으로 매우 중요하다. 대표적인 기법으로는 대립변량법(antithetic variates: 각 경로에 대해 모든 상승/하락을 반전시킨 미러 경로를 동시에 생성)과 제어변량법(control variates: 해석적 가격이 알려진 관련 증권을 활용하여 추정 오차를 줄임)이 있다.

 

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요약 (Summary)

Chapter 13의 핵심 내용:

1. 몬테카를로 시뮬레이션의 기본 원리: 위험중립 측도 하에서 금리 경로를 다수 생성하고, 각 경로에서의 할인 페이오프를 평균하여 증권의 현재가치를 추정하는 방법이다. 대수의 법칙에 의해 시뮬레이션 수가 증가하면 추정값이 참값에 수렴한다.

2. 역진행법과의 등가성: 이항트리의 역진행법(backward induction)과 경로별 직접 할인(direct path-by-path discounting)은 동일한 결과를 준다. 이 등가성이 몬테카를로 시뮬레이션의 이론적 근거이다.

3. 경로의존형 증권에서의 강점: 아시안 옵션, AIRS 등 경로의존형 증권은 비재결합 트리를 필요로 하므로, 역진행법은 노드 수의 기하급수적 증가로 인해 계산적으로 비실용적이다. 몬테카를로 시뮬레이션은 이러한 증권의 가격결정에 핵심적인 도구이다.

4. 추정 정확도의 측정: 몬테카를로 추정값의 정확도는 표준오차(\(SE = \hat{\sigma}/\sqrt{N}\))로 측정하며, 정확도를 2배로 높이려면 시뮬레이션 수를 4배로 늘려야 한다. 95% 신뢰구간은 \(\hat{c}_0 \pm 1.96 \times SE\)로 구성된다.

5. 현물금리 듀레이션: 현물금리를 소폭 변동시킨 후 재시뮬레이션하는 수치적 방법으로 계산할 수 있으며, 공통 난수 기법(common random numbers)이 추정 정확도를 위해 필수적이다.

6. RMBS의 가격결정: RMBS는 몬테카를로 시뮬레이션의 가장 중요한 실무적 적용이다. 조기상환 모형(합리적 행사, 확률적 사건, 계절성, 번아웃)의 경로의존성으로 인해, 몬테카를로가 사실상 유일한 실용적 가격결정 방법이다.