금융공학학회 UFEA 4주차 - 3(10.Multi-Step Binomial Trees)

 

Fixed Income Securities

CHAPTER 10

멀티스텝 이항트리 (Multi-Step Binomial Trees)

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0. 표기법 및 기본 가정 정리

이 장 전체를 통해 사용되는 표기법과 기본 가정을 먼저 정리합니다. 이항트리 모형에서 일관된 표기법을 사용하는 것은 복잡한 계산을 체계적으로 수행하는 데 필수적입니다.

0.1 시간 격자(Time Grid)

이항트리에서 시간은 이산적인 격자 위에서 움직입니다. 다음과 같은 표기법을 사용합니다:

• 시간 간격: \( \Delta \) (delta). 연습문제 1과 2에서는 \( \Delta = 1 \)년으로 설정됩니다.
• 시간 인덱스: \( i = 0,1,2,\ldots \) 여기서 \(i\)는 현재 시점으로부터 경과한 기간 수를 나타냅니다.
• 실제 시간: \( t = i \times \Delta \). 예를 들어 \(i=2\)이고 \( \Delta=0.5 \)년이면 \(t=1\)년입니다.

예를 들어, \( \Delta = 0.5 \)년(6개월)인 경우:

• \( i=0 \rightarrow t=0 \) (현재 시점)
• \( i=1 \rightarrow t=0.5 \)년 (6개월 후)
• \( i=2 \rightarrow t=1 \)년 (12개월 후)

0.2 단기이자율과 할인

이 장에서 모든 이자율은 연속복리(continuous compounding)로 표시됩니다. 연속복리는 수학적으로 다루기 편리하며, 파생상품 가격결정 이론에서 표준적으로 사용됩니다.

연속복리의 정의

원금 \(P\)를 연속복리 이자율 \(r\)로 시간 \(T\) 동안 투자하면, 만기 시점의 금액은

$$ FV = P \times e^{rT} $$

역으로, 시간 \(T\) 후에 받을 금액 \(FV\)의 현재가치는

$$ PV = FV \times e^{-rT} $$

한 기간(\(\Delta\)) 할인인자

시점 \(i\), 노드 \(j\)에서의 단기이자율이 \( r_{i,j} \)일 때, 해당 노드에서 한 기간 후 받을 현금흐름을 현재가치로 할인하는 인자는

$$ \text{할인인자} = e^{-r_{i,j}\Delta} $$

예를 들어, \(r_0=4\%\), \( \Delta=1 \)년이면

$$ e^{-0.04\times 1} = e^{-0.04} \approx 0.9608 $$

0.3 제로쿠폰채권 가격 표기

제로쿠폰채권(Zero Coupon Bond, 또는 순수할인채권)의 가격을 다음과 같이 표기합니다:

\( P_{i,j}(k) \) 또는 \( Z_{i,j}(k) \)

이는 “시점 \(i\), 노드 \(j\)에서 만기가 \(k\)인 제로쿠폰채권의 가격”을 의미합니다. 여기서 만기 \(k\)는 시점 \(k\)를 뜻하며, 시점 \(k\)에서 액면금액(보통 100 또는 1)을 지급합니다.

액면 단위에 관한 주의사항

• 액면 1 기준: \( Z_0(2)=0.9 \)처럼 표기 (할인계수 형태)
• 액면 100 기준: \( P_0(2)=90 \)처럼 표기 (가격 형태)

이 문서에서는 문맥에 따라 두 표기를 모두 사용하되, 혼동을 피하기 위해 항상 어떤 기준인지 명시합니다.

0.4 실제확률(p) vs 위험중립확률(q)

이항트리 모형에서 가장 핵심적인 개념 중 하나는 ‘실제확률’과 ‘위험중립확률’의 구분입니다. 이 두 확률은 서로 다른 목적으로 사용됩니다.

실제확률(Physical/Real/Natural Probability) — \(p\)

• 현실 세계에서 금리가 ‘위로 갈 확률’을 나타냅니다.
• 역사적 데이터 분석이나 경제 전망을 통해 추정할 수 있습니다.
• 리스크 분석(VaR, Expected Shortfall 등)에 사용됩니다.
• 미래 수익률의 기대값 계산에 사용됩니다.

위험중립확률(Risk-Neutral Probability) — \(q\) (또는 \(p^*\))

• 무차익(No-Arbitrage) 가격결정에 사용되는 조정된 확률입니다.
• 현재 시장에서 관측되는 채권 가격으로부터 역산하여 구합니다.
• 파생상품 가격결정에 사용됩니다.
• 시장가격이 내포한 상태가격(가격커널)·위험프리미엄이 반영되어 있습니다.

★ 핵심 원칙: 가격결정에는 위험중립확률(\(q\))을, 리스크 분석에는 실제확률(\(p\))을 사용해야 합니다.

0.5 1단계 위험중립 가격결정식

Chapter 9에서 도출된 1단계(한 기간) 위험중립 가격결정 공식은 다음과 같습니다:

$$ V_0 = e^{-r_0\Delta}\,[qV_{1,u}+(1-q)V_{1,d}] $$

이 공식의 의미:

1. 다음 기간의 가능한 가치들(\(V_{1,u}\), \(V_{1,d}\))을 위험중립확률로 가중평균합니다.
2. 그 기대값을 현재의 무위험이자율로 할인합니다.

이 공식은 멀티스텝 트리에서도 각 노드에서 동일하게 적용됩니다.

0.6 시장 위험가격(Market Price of Risk) \( \lambda \)

시장 위험가격(\(\lambda\))은 “위험중립측도로 측도변환할 때 필요한 리스크 프리미엄의 크기”를 나타냅니다. 이항모형에서는 여러 등가적 표현이 있습니다.

(A) 확률 왜곡의 크기로서의 \(\lambda\)

만약 위·아래가 대칭(\(p=\tfrac12\))이고, 상태(증분)를 \(\pm\sigma\)로 정규화한 구조라면, 위험중립 기대값이 실제 기대값보다 얼마나 이동했는지가 곧 \(\lambda\)가 됩니다:

$$ \lambda = \frac{E_Q[r]-E_P[r]}{\sigma} = 2q-1 \quad (\text{증분이 } \pm\sigma,\; p=\tfrac12 \text{인 정규화}) $$

(B) Sharpe ratio 형태

$$ \lambda = \frac{E[R]-R_f}{\mathrm{Std}(R)} $$

완전시장(이항트리)에서는 모든 증권이 동일한 시장 위험가격 \(\lambda\)를 공유합니다. 이것이 바로 ‘일물일가의 법칙(Law of One Price)’과 무차익 조건의 핵심입니다.

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10.1 2단계 이항트리 (A Two-Step Binomial Tree)

이제 Chapter 9에서 배운 1단계 이항트리를 한 기간 더 확장하여 2단계 이항트리를 살펴봅니다. 핵심 통찰은 다음과 같습니다: 멀티스텝 트리는 단지 1단계 트리들의 연속(sequence)일 뿐입니다. 따라서 Chapter 9에서 각 ‘작은 트리’에 대해 증명한 모든 논리가 여기서도 그대로 적용됩니다.

10.1.1 이항트리의 기본 구조

표 10.1은 2002년 1월 8일 기준으로 구성된 2단계 금리 이항트리를 보여줍니다. 이 트리에서 금리는 연속복리로 표시되어 있습니다.

【표 10.1】 2단계 금리 이항트리

상태	\(i=0\) (t=0)	\(i=1\) (t=0.5)	\(i=2\) (t=1)
위(up)	\(r_0 = 1.74\%\)	\(r_{1,u} = 3.39\%\)	\(r_{2,uu} = 5.00\%\)
중간	\(r_0 = 1.74\%\)	—	\(r_{2,ud} = r_{2,du} = 2.56\%\)
아래(down)	\(r_0 = 1.74\%\)	\(r_{1,d} = 0.95\%\)	\(r_{2,dd} = 0.11\%\)

위로 갈 실제확률: \(p=\tfrac12\)

10.1.2 재결합 트리(Recombining Tree)의 특성

표 10.1의 이항트리는 재결합(recombining) 트리입니다. 이는 ‘상승 후 하락(up-down)’ 움직임이 ‘하락 후 상승(down-up)’ 움직임과 동일한 금리 수준에 도달한다는 것을 의미합니다:

\( r_{2,ud} = r_{2,du} = 2.56\% \)

물론 이것이 항상 필요한 것은 아닙니다. 비재결합(non-recombining) 트리도 이론적으로 가능합니다. 그러나 재결합 트리를 사용하면 특히 수백 단계에 이르는 매우 긴 트리에서 계산이 크게 단순화됩니다. 비재결합 트리는 노드 수가 기하급수적으로 증가하여 막대한 컴퓨팅 파워가 필요합니다.

노드 수 비교 (n단계 트리)

• 재결합 트리: 시점 \(n\)에서 \(n+1\)개의 노드
• 비재결합 트리: 시점 \(n\)에서 \(2^n\)개의 노드

예를 들어 10단계 트리에서: 재결합 트리는 11개 노드, 비재결합 트리는 1,024개 노드가 필요합니다.

10.1.3 확률과 기대금리

트리에서 위로 갈 실제확률 \(p\)는 상수로 \( \tfrac12 \)로 가정합니다. 이 확률을 바탕으로 각 노드에 도달할 확률을 계산할 수 있습니다:

• \(uu\) 도달확률: \(p\times p=\tfrac14\)
• \(dd\) 도달확률: \((1-p)(1-p)=\tfrac14\)
• \(ud\) 또는 \(du\) 도달확률: \(2p(1-p)=\tfrac12\)

이를 바탕으로 6개월 후와 12개월 후의 기대금리를 계산하면:

$$ E[r_1] = \tfrac12 r_{1,u} + \tfrac12 r_{1,d} = \tfrac12\cdot 3.39\% + \tfrac12\cdot 0.95\% = 2.17\% $$ $$ E[r_2] = \tfrac14 r_{2,uu} + \tfrac12 r_{2,ud} + \tfrac14 r_{2,dd} = \tfrac14\cdot 5.00\% + \tfrac12\cdot 2.56\% + \tfrac14\cdot 0.11\% = 2.56\% $$

10.1.4 시장 데이터: 2002년 1월 8일 무이표채 가격

이항트리 모형을 시장 데이터와 연결하기 위해, 2002년 1월 8일자 STRIPS(무이표채) 가격을 참조합니다:

【표 10.2】 2002년 1월 8일 미국 국채 STRIPS

만기(년)	가격	수익률(연속복리)
0.5	99.1338	1.74%
1.0	97.8925	2.13%
1.5	96.1462	2.62%

출처: The Wall Street Journal

이 가격들은 액면 100 기준입니다. 예를 들어, 6개월 만기 STRIPS의 가격 99.1338은 6개월 후에 100을 받기 위해 오늘 99.1338을 지불해야 함을 의미합니다. 이로부터 연속복리 수익률을 역산하면:

$$ 99.1338 = 100 e^{-r\cdot 0.5} \ \Rightarrow\ r = -\frac{\ln(99.1338/100)}{0.5} = 1.74\% $$

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10.2 위험중립 가격결정 (Risk Neutral Pricing)

Chapter 9에서 발견한 두 가지 핵심 결과는 다음과 같습니다:

핵심 결과 1: 위험중립 접근법

시점 0에서 임의의 금리 파생상품의 가격은 위험중립 접근법을 사용하여 다음과 같이 구할 수 있습니다:

$$ V_0 = e^{-r_0\Delta}\,[p^* V_{1,u} + (1-p^*)V_{1,d}] \quad \text{... (식 10.1)} $$

여기서 \(p^*\)는 위험중립확률입니다.

핵심 결과 2: 복제 가능성

임의의 금리 파생상품의 페이오프는 다른 금리 증권들의 포트폴리오로 복제할 수 있습니다.

Chapter 9에서 우리는 표 10.1의 금리 트리와 표 10.2의 무이표채 가격이 주어졌을 때, 시점 \(i=0\)에서 위로 갈 위험중립확률이 \(p^* = 0.6448\)임을 발견했습니다. 실제확률 \(p\)와 마찬가지로, 위험중립확률 \(p^*\)도 트리 전체에서 상수라고 가정합니다.

10.2.1 역진행법에 의한 위험중립 가격결정

멀티스텝 트리에서 파생상품 가격을 계산하는 핵심 방법은 역진행법(Backward Induction)입니다. 트리의 끝(만기)에서 시작하여, 1단계 위험중립 가격결정 공식을 반복 적용하면서 현재 시점으로 거슬러 올라갑니다.

표기법

• \(\Delta = 0.5\) (시간 간격, 6개월)
• \(P_{i,j}(k)\) = 시점 \(i\), 노드 \(j\)에서 만기 \(k\)인 채권 가격

Step 1: 시점 \(i=2\)에서의 채권 가격

표 10.1의 금리 트리로부터 시점 \(i=2\)의 세 노드에서 3기간 채권(만기 \(i=3\))의 가격:

$$ P_{2,uu}(3)=e^{-r_{2,uu}\Delta}\cdot 100 = e^{-0.05\cdot 0.5}\cdot 100 = 97.5310 $$ $$ P_{2,ud}(3)=P_{2,du}(3)=e^{-0.0256\cdot 0.5}\cdot 100 = 98.7282 $$ $$ P_{2,dd}(3)=e^{-0.0011\cdot 0.5}\cdot 100 = 99.9450 $$

Step 2: 시점 \(i=1\)에서의 채권 가격

노드 \((1,u)\)에서:

$$ P_{1,u}(3)=e^{-r_{1,u}\Delta}\,[p^*P_{2,uu}(3)+(1-p^*)P_{2,ud}(3)] \quad \text{... (식 10.2)} $$

$$ = 0.9831\,[0.6448\cdot 97.5310 + 0.3552\cdot 98.7282] = 96.3098 $$

노드 \((1,d)\)에서:

$$ P_{1,d}(3)=e^{-r_{1,d}\Delta}\,[p^*P_{2,du}(3)+(1-p^*)P_{2,dd}(3)] \quad \text{... (식 10.3)} $$

$$ = 0.9951\,[0.6448\cdot 98.7282 + 0.3552\cdot 99.9450] = 98.6904 $$

Step 3: 시점 \(i=0\)에서의 채권 가격

$$ P_0(3)=e^{-r_0\Delta}\,[p^*P_{1,u}(3)+(1-p^*)P_{1,d}(3)] $$

$$ = 0.9913\,[0.6448\cdot 96.3098 + 0.3552\cdot 98.6904] = 96.3137 \quad \text{... (식 10.4)} $$

따라서 만기 \(i=3\)인 채권의 가격은 \(P_0(3)=96.3137\)입니다.

【표 10.3】 \(p^*=0.6448\) (상수)일 때 3기간 무이표채 가격 트리

i = 0                i = 1                     i = 2                      i = 3
                      P_{1,u} = 96.3098         P_{2,uu} = 97.5310         100
P_0(3) = 96.3137   ->                          P_{2,ud} = 98.7282         100
                      P_{1,d} = 98.6904         P_{2,dd} = 99.9450         100

위험중립 가격결정의 핵심 요소

1. 금리 트리 (예: 표 10.1)
2. 위험중립확률 (예: \(p^*=0.6448\))

이 두 가지가 주어지면, 어떤 금리 파생상품이든 가격을 계산할 수 있습니다.

【예제 10.1】 스트래들(Straddle) 가격결정

시점 \(i=2\) (t=1)에 다음 금액을 지급하는 증권을 고려합니다:

$$ V_2 = \max(P_2(3)-K,0) + \max(K-P_2(3),0) $$

여기서 \(K=98.7282\)입니다. 이 페이오프는 동일한 행사가격을 가진 콜옵션 매수와 풋옵션 매수의 조합으로, ‘스트래들(Straddle)’이라는 투자 전략입니다.

각 노드에서의 페이오프

• 노드 \(uu\): \(V_{2,uu}=\max(97.5310-98.7282,0)+\max(98.7282-97.5310,0)=0+1.1972=1.1972\)
• 노드 \(ud\): \(V_{2,ud}=0\)
• 노드 \(dd\): \(V_{2,dd}=\max(99.9450-98.7282,0)+\max(98.7282-99.9450,0)=1.2169+0=1.2169\)

역진행법으로 가격 계산

$$ V_{1,u}=e^{-0.0339\cdot 0.5}\,[0.6448\cdot 1.1972 + 0.3552\cdot 0] = 0.7590 $$ $$ V_{1,d}=e^{-0.0095\cdot 0.5}\,[0.6448\cdot 0 + 0.3552\cdot 1.2169] = 0.4301 $$ $$ V_0=e^{-0.0174\cdot 0.5}\,[0.6448\cdot 0.7590 + 0.3552\cdot 0.4301] = 0.6366 $$

따라서 스트래들의 현재 가격은 \(V_0 = 0.6366\)입니다.

【표 10.4】 스트래들 가격 트리

i = 0                i = 1                 i = 2
                      V_{1,u} = 0.7590      V_{2,uu} = 1.1972
V_0 = 0.6366       ->
                      V_{1,d} = 0.4301      V_{2,ud} = 0
                                           V_{2,dd} = 1.2169

10.2.2 동적 복제 (Dynamic Replication)

위험중립 가격결정 접근법의 배경에는 장기채권과 단기채권의 포트폴리오로 최종 페이오프를 복제할 수 있는 복제 전략이 있습니다. 멀티스텝 트리에서는 금리가 변함에 따라 이 포트폴리오를 시간에 걸쳐 재조정(rebalancing)해야 합니다. 이를 ‘동적 복제 전략’ 또는 ‘동적 헤지 전략’이라고 합니다.

각 노드 \((i,j)\)에서

• \(N^L_{i,j}\): 만기 \(i=3\)인 채권의 포지션 (장기채)
• \(N^S_{i,j}\): 1기간 후 만기되는 채권의 포지션 (단기채)

복제 포트폴리오 공식

$$ N^L_{1,u}=\frac{V_{2,uu}-V_{2,ud}}{P_{2,uu}(3)-P_{2,ud}(3)} \quad \text{... (식 10.5)} $$ $$ N^S_{1,u}=\frac{1}{100}\Big(V_{2,uu}-N^L_{1,u}P_{2,uu}(3)\Big) \quad \text{... (식 10.6)} $$

【예제 10.2】 스트래들의 동적 복제

시점 \(i=0\)

$$ N^L_0=\frac{V_{1,u}-V_{1,d}}{P_{1,u}(3)-P_{1,d}(3)}=\frac{0.7590-0.4301}{96.3098-98.6904}=-0.1381 $$ $$ N^S_0=\frac{1}{100}\Big(V_{1,u}-N^L_0 P_{1,u}(3)\Big)=\frac{1}{100}\Big(0.7590-(-0.1381)\cdot 96.3098\Big)=0.1406 $$

복제 포트폴리오 가치(검증)

$$ \Pi_0 = N^S_0 P_0(1) + N^L_0 P_0(3) = 0.1406\cdot 99.1338 - 0.1381\cdot 96.3137 = 0.6366 $$

시점 \(i=1\) 두 노드에서 검증

$$ \Pi_{1,u}=N^S_0\cdot 100 + N^L_0 P_{1,u}(3)=0.1406\cdot 100 - 0.1381\cdot 96.3098 = 0.7590 = V_{1,u}\ \checkmark $$ $$ \Pi_{1,d}=N^S_0\cdot 100 + N^L_0 P_{1,d}(3)=0.1406\cdot 100 - 0.1381\cdot 98.6904 = 0.4301 = V_{1,d}\ \checkmark $$

시점 \(i=1\) 리밸런싱

• 노드 \((1,u)\): \(N^L_{1,u}=-1\), \(N^S_{1,u}=0.9873\)
• 노드 \((1,d)\): \(N^L_{1,d}=1\), \(N^S_{1,d}=-0.9873\)

핵심 통찰: 이 거래 전략은 ‘자기자금조달(self-financing)’입니다. 즉, 이전 포트폴리오가 새 포트폴리오를 매수하기에 정확히 충분한 돈을 전달합니다.

【표 10.5】 동적 복제 전략

시점	상태	\(N^L\)	\(N^S\)	가치
\(i=0\)	—	-0.1381	0.1406	\(\Pi_0=0.6366\)
\(i=1\)	u	-1	0.9873	\(\Pi_{1,u}=0.7590\)
\(i=1\)	d	1	-0.9873	\(\Pi_{1,d}=0.4301\)

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10.3 만기구조 일치 (Matching the Term Structure)

표 10.3의 이항트리에서 위험중립확률 \(p^*\)가 트리 전체에서 동일하다고 가정했습니다. 그러나 문제가 있습니다: 트리가 생성하는 무이표채 가격 \(P_0(3)=96.3137\)이 같은 날 거래되는 실제 가격 \(P_0(3)=96.1462\)와 다릅니다.

시간가변적 위험중립확률

따라서 \(p^*\)가 시간에 따라 변할 수 있다고 가정하고, 시점 \(i\)에서의 값을 \(p^*_i\)로 표시합니다.

• \(p^*_0 = 0.6448\) (이미 계산됨)
• \(p^*_1 = ?\) (3기간 채권 가격에서 구해야 함)

【표 10.6】 다양한 \(p^*_1\) 값에 대한 3기간 무이표채 가격

위험중립확률 \(p^*_1\)	모형 가격 \(P_0(3)\)
0.1	96.9560
0.3	96.7202
0.5	96.4845
0.7	96.2487
0.7869	96.1462 ← 시장가격 일치!
0.9	96.0129

표 10.6에서 \(p^*_1=0.7869\)일 때 무이표채의 모형 가격이 96.1462로 표 10.2의 현재 거래 가격과 정확히 일치합니다.

【표 10.7】 채권 데이터와 일치하는 3기간 무이표채 트리

i = 0                i = 1                     i = 2                      i = 3
                      P_{1,u} = 96.1426         P_{2,uu} = 97.5310         100
P_0(3) = 96.1462   ->                          P_{2,ud} = 98.7282         100
                      P_{1,d} = 98.5184         P_{2,dd} = 99.9450         100

【표 10.8】 \(p^*_1=0.7869\)일 때 스트래들 가격

i = 0                i = 1                 i = 2
                      V_{1,u} = 0.9263      V_{2,uu} = 1.1972
V_0 = 0.6830       ->
                      V_{1,d} = 0.2580      V_{2,ud} = 0
                                           V_{2,dd} = 1.2169

시장 데이터와 일치하는 위험중립확률을 사용하면, 스트래들의 가격이 0.6366에서 0.6830으로 상승합니다.

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10.4 다단계 트리 (Multi-Step Trees)

이제 모형을 더 긴 만기 또는 더 빈번한 스텝을 가진 트리로 확장합니다. 멀티스텝 트리를 구축하기 위한 체계적인 방법론:

1. 미래의 많은 시점 \(i=1,2,\ldots,n\)에 대해 예측 미래금리 \(E[r_i]\)를 정의
2. 예측의 오차를 정의 (예: \(r_{1,u}\), \(r_{1,d}\)는 \(E[r_1]\) 주변의 오차)
3. 채권 가격을 맞추는 위험중립확률을 탐색

10.4.1 기대 미래금리로부터 이항트리 구축

미래 금리의 기대 변화를 다음과 같이 정의합니다:

$$ m_i = E\!\left[\frac{r_{i+1}-r_i}{\Delta}\right] \quad \text{... (식 10.7)} $$

예측에 오차를 도입

$$ r_{1,u} = r_0 + m_0\Delta + \sigma\sqrt{\Delta} \quad \text{... (식 10.8)} $$ $$ r_{1,d} = r_0 + m_0\Delta - \sigma\sqrt{\Delta} \quad \text{... (식 10.9)} $$

이 모형은 자연스럽게 재결합 트리를 생성합니다:

$$ r_{2,ud} = r_0 + (m_0+m_1)\Delta = r_{2,du} \quad \text{... (식 10.10)} $$

【표 10.9】 2002년 1월 8일 기준 금리 예측

학기 i	월/년	모형 예측	실현 금리
1	2002년 7월	2.17%	1.71%
2	2003년 1월	2.56%	1.20%
3	2003년 7월	2.91%	0.95%
4	2004년 1월	3.22%	0.97%
5	2004년 7월	3.51%	1.67%

출처: Federal Reserve

음의 금리 문제

식 10.8과 10.9에 설명된 모형의 단순함에는 대가가 따릅니다. 모형은 음의 금리를 생성할 수 있습니다. 음의 금리는 일부 시장에서 실제로 관측되지만, 특정 상품/가정(예: 로그정규 금리 가정)에서는 불편하거나 부적합할 수 있습니다. 이 문제를 다루는 모형을 Chapter 11에서 조사할 것입니다.

10.4.2 위험중립 가격결정

더 긴 트리에서도 가격결정 공식은 동일합니다:

$$ V_{i,j}=e^{-r_{i,j}\Delta}E^*[V_{i+1}] \quad \text{... (식 10.12)} $$ $$ = e^{-r_{i,j}\Delta}\,[p^*_i V_{i+1,j} + (1-p^*_i)V_{i+1,j+1}] \quad \text{... (식 10.13)} $$

【표 10.11】 2002년 1월 8일 무이표채 가격

만기(년)	가격	수익률
0.5	99.1338	1.74%
1.0	97.8925	2.13%
2.0	94.1011	3.04%
3.0	89.2258	3.80%
4.0	84.5016	4.21%
5.0	79.7718	4.52%

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10.5 가격결정과 위험평가: 현물금리 듀레이션

수많은 구조화 상품에는 금리 변동에 민감한 내재 옵션이 포함되어 있습니다. 리스크 관리자는 (1) 내재 옵션의 가치를 정확히 평가하고 (2) 투자의 위험을 정확히 평가할 수 있어야 합니다. 가격결정은 위험중립확률을, 위험평가는 실제확률을 사용합니다.

정의 10.1: 현물금리 듀레이션

현물금리 듀레이션은 금리 \(r\)에 대한 증권 가격의 백분율 민감도를 측정합니다:

$$ D = -\frac{1}{V}\frac{dV}{dr} \quad \text{... (식 10.14)} $$

이항트리에서 근사:

$$ \frac{dV}{dr}\approx \frac{V_{1,u}-V_{1,d}}{r_{1,u}-r_{1,d}} \quad \text{... (식 10.15)} $$

【예제 10.3】 구조화 무이표채의 가격결정과 위험평가

5년 구조화 무이표채: 만기 \(T=5\)에 상환되는 총 원금이 금리 수준과 연동

만기 페이오프:

$$ V_{10}=\max(11\times 100\times r_{10},\,94) \quad \text{... (식 10.16)} $$

공정가치: $79.88 (표준 무이표채 $79.77과 유사)

현물금리 듀레이션 계산

$$ D = -\frac{1}{79.88}\cdot \frac{79.14-83.19}{3.39\%-0.95\%} = 2.08 \quad \text{... (식 10.17)} $$

표준 5년 무이표채의 듀레이션 \(D_5=4.62\)보다 훨씬 낮습니다. 구조화 채권이 금리 상승에 대한 보호를 제공하기 때문입니다.

【표 10.15】 구조화 파생상품의 \(T=5\) 페이오프

페이오프	실제확률 \(p\)	위험중립확률 \(q\)
184.91	0.10%	0.28%
158.07	0.98%	2.35%
131.12	4.39%	8.76%
104.17	11.72%	18.74%
94.00	82.81%	69.87%

★ 핵심 교훈: VaR/ES 같은 리스크 측도는 실제확률(\(p\))로 계산해야 합니다!

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10.6 요약 (Summary)

1. 2단계 이항트리: 1단계 이항트리의 확장. 시점 \(i=2\)에서 네 가지 시나리오(uu, ud, du, dd). 재결합 트리에서는 \(r_{2,ud}=r_{2,du}\).
2. 위험중립 가격결정: 위험중립확률 \(p^*\)가 주어지면, 모든 증권의 가치 = 할인된 위험중립 기대값. 역진행법으로 계산.
3. 동적 복제 전략: 장기채권과 단기채권의 포트폴리오로 파생상품 가치를 복제. 트리의 모든 노드에서 리밸런싱.
4. 자기자금조달 전략: 동적 복제 전략은 추가 자본 없이 스스로 비용을 충당.
5. 다단계 트리: 미래 금리 예측에서 시작, 기대값 주변의 대칭적 변동으로 재결합 트리 구성.
6. 위험중립확률 계산: 현재의 금리 기간구조를 사용하여 재귀적으로 계산.
7. 현물금리 듀레이션: 현물금리 변화에 대한 증권의 민감도. \(D=-(1/V)\,dV/dr\).

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10.7 연습문제 (Exercises)

연습문제 1

과거 단기이자율 데이터를 사용하여 다음 모형을 회귀분석으로 추정했습니다:

$$ r_{t+dt} = \alpha + \beta r_t + u_{t+dt} $$

파라미터 추정치가 표 10.16의 금리 트리를 생성했다고 가정합니다. 트리에서 위 또는 아래로 이동할 확률은 동일합니다(\(p=\tfrac12\)). 각 시간 간격은 1년(\(\Delta=1\))입니다. 시점 \(i=2\)에 만기되는 현재 무이표채 가격이 \(Z_0(2)=0.9\)입니다(액면 1 기준).

【표 10.16】 금리 트리 (연습문제 1)

i = 0                 i = 1                     i = 2
                       r_{1,u} = 0.07            r_{2,uu} = 0.10
r_0 = 0.04          ->                           r_{2,ud} = r_{2,du} = 0.05
                       r_{1,d} = 0.03            r_{2,dd} = 0.02

1. 2년 채권 \(Z_0(2)\)는 어떻게 변화하는가? \(Z_{1,u}(2)\)와 \(Z_{1,d}(2)\)를 계산하고 트리를 그려라.
2. (a)의 계산을 사용하여 2년 무이표채에 내재된 시장 위험가격 \(\lambda\)를 계산하라.
3. 만기 \(T=1\)에 1년 무이표채 1단위를 \(K=95\)에 살 수 있는 옵션을 고려하라.
   1. 이 옵션의 시장 위험가격은 무엇인가? 왜?
   2. (i)를 사용하여 옵션 가치를 계산하라.
   3. 위험중립 접근법으로 확인하라.
4. 위험중립확률이 시간에 따라 상수라고 가정. \(K=0.96\)인 1년 무이표채에 대한 2년 유럽형 콜옵션 가격을 계산하라.
5. (d)의 옵션을 복제하는 복제 포트폴리오를 계산하고 검증하라.

연습문제 2

표 10.17의 금리 트리를 고려하라. 각 시간 간격은 1년. 모든 항목은 연속복리 금리.

【표 10.17】 금리 트리 (연습문제 2)

i = 0                 i = 1                     i = 2
                       r_{1,u} = 0.06            r_{2,uu} = 0.09
r_0 = 0.04          ->                           r_{2,ud} = r_{2,du} = 0.04
                       r_{1,d} = 0.03            r_{2,dd} = 0.02

【표 10.18】 위험중립확률과 실제확률

케이스	위험중립 \(q\)	실제 \(p\)
Case 1	0.7	0.3
Case 2	0.3	0.7

2년 무이표채 가격 \(Z(0,2)=91.31\) (액면 100 기준)이 주어짐.

1. 위험중립확률을 찾고, 3년 무이표채 트리를 계산하라.
2. 2년 및 3년 무이표채의 1년 기대수익률을 계산하라.
3. 3년 레인지 본드: 연 쿠폰 $10, 금리가 [0.025, 0.05] 범위 내일 때만 쿠폰 지급.
   1. 시점 \(i=0\)에서 레인지 본드 가치
   2. \(i=2\)에서 가치 분포 히스토그램과 9% VaR
   3. VaR에 \(p\)와 \(q\) 중 무엇을 사용해야 하는가?
   4. 레인지 본드의 장점과 1993년경 인기 이유

연습문제 3

분기별 3개월 LIBOR 데이터로 회귀분석:

$$ r_{t+1} = \alpha + \beta r_t + \varepsilon_{t+1}, \quad \varepsilon \sim N(0,\sigma^2) $$

1. \(\alpha, \beta\)로 예측 미래금리 \(m_{t+i}=E[r_{\text{today}+i}]\)를 계산하라.
2. \(\sigma\)로 10.4절 방식의 이항트리를 구성하라.
3. 스왑금리로 무이표 수익률곡선을 계산하라.
4. 위험중립확률을 계산하라. \([0,1]\) 범위 점검.
5. 위험중립 기대금리와 (a)의 예측금리를 비교하라.

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연습문제 1 해설

(a) 2년 채권 \(Z_1(2)\)의 트리 구성

핵심 관찰: 시점 \(i=1\)에서 만기 \(k=2\)까지는 정확히 1년이 남은 무이표채입니다. 따라서 노드별 가격은 단순히 만기까지의 할인인자를 적용하면 됩니다.

계산 과정 (액면 1 기준)

$$ Z_{1,u}(2)=e^{-r_{1,u}\Delta}=e^{-0.07}=0.932394 $$ $$ Z_{1,d}(2)=e^{-r_{1,d}\Delta}=e^{-0.03}=0.970446 $$

액면 100 기준: 위쪽 93.2394, 아래쪽 97.0446

경제적 해석: 금리가 상승한 상태(u)에서는 할인인자가 더 작아지므로 채권 가격이 더 낮습니다. 이는 채권 가격과 금리의 역관계를 명확히 보여줍니다.

(b) 위험중립확률 \(q\)와 시장 위험가격 \(\lambda\) 계산

Step 1: \(Z_0(2)\)로부터 \(q\) 역산

무차익 조건:

$$ Z_0(2)=e^{-r_0\Delta}\,[qZ_{1,u}(2)+(1-q)Z_{1,d}(2)] $$

정리하면:

$$ q=\frac{e^{r_0\Delta}Z_0(2)-Z_{1,d}(2)}{Z_{1,u}(2)-Z_{1,d}(2)} $$

수치 대입

• \(e^{0.04}=1.040811\)
• \(e^{0.04}\cdot 0.9 = 0.936730\)
• 분자: \(0.936730-0.970446=-0.033716\)
• 분모: \(0.932394-0.970446=-0.038052\)

따라서 \(q \approx 0.8856\)

Step 2: \(\lambda\) 계산

실제확률 \(p=\tfrac12\)이고, 증분을 \(\pm\sigma\)로 두는(즉 \(\sigma=(r_{1,u}-r_{1,d})/2\)) 정규화의 대칭 트리에서

$$ \sigma=\frac{r_{1,u}-r_{1,d}}{2}=\frac{0.07-0.03}{2}=0.02 $$

$$ \lambda = 2q-1 = 2\cdot 0.8856 - 1 = 0.7712 $$

해석: 위험중립측도에서 금리 상승 확률이 88.6%로 실제(50%)보다 훨씬 높습니다.

(c) 1년 만기 콜옵션

(c-i) 옵션의 시장 위험가격

답: 옵션의 시장 위험가격도 동일한 \(\lambda(=0.7712)\)를 따릅니다. 이유: 이항트리(완전시장)에서 모든 위험은 동일한 하나의 위험요인(금리)으로 설명되며, 파생상품은 새로운 위험요인을 추가하지 않으므로 동일한 위험중립측도를 사용해야 무차익이 유지됩니다.

(c-ii) 옵션 가치 계산 (액면 100 기준, \(K=95\))

기초자산 가격

• 위 상태: \(P_{1,u}=100e^{-0.07}=93.239\)
• 아래 상태: \(P_{1,d}=100e^{-0.03}=97.045\)

콜옵션 만기지급액

• \(V_{1,u}=\max(93.239-95,0)=0\)
• \(V_{1,d}=\max(97.045-95,0)=2.045\)

시간 0 가격

$$ V_0=e^{-0.04}\,(1-q)\,2.045 = 0.960789\cdot 0.1144\cdot 2.045 \approx 0.2248 $$

(c-iii) 위험중립 접근법 확인: 방금 계산이 위험중립 가격결정 공식 자체입니다. \(q\)가 2년 채권에서 구한 것과 동일하고, 같은 \(q\)를 옵션에 적용해도 무차익이 유지됩니다.

(d) 2년 만기 유럽형 콜옵션 (\(K=0.96\), 액면 1 기준)

Step 1: 만기(\(i=2\))에서 기초자산 가격

$$ P_{2,uu}(3)=e^{-0.10}=0.90484,\quad P_{2,ud}(3)=e^{-0.05}=0.95123,\quad P_{2,dd}(3)=e^{-0.02}=0.98020 $$

Step 2: 만기지급액

$$ V_{2,uu}=0,\quad V_{2,ud}=0,\quad V_{2,dd}=\max(0.98020-0.96,0)=0.02020 $$

금리가 두 번 모두 하락해야(dd) 옵션이 행사됩니다.

Step 3: 역진행법

$$ V_{1,u}=e^{-0.07}\,[q\cdot 0 + (1-q)\cdot 0]=0 $$ $$ V_{1,d}=e^{-0.03}\,[q\cdot 0 + (1-q)\cdot 0.02020]\approx 0.002242 $$ $$ V_0=e^{-0.04}\,[q\cdot 0 + (1-q)\cdot 0.002242]\approx 0.000246 $$

(e) 복제 포트폴리오

(1,d) 노드에서의 복제

$$ N_L P_{2,du}(3)+N_S\cdot 1 = 0,\quad N_L P_{2,dd}(3)+N_S\cdot 1 = 0.02020 $$

풀이 결과:

$$ N_L \approx 0.6973,\quad N_S \approx -0.6632 $$

(i=0)에서의 복제: 먼저 \(P_{1,u}(3)\), \(P_{1,d}(3)\) 계산이 필요하며, 복제 조건을 적용하면

$$ N_L(0)\approx 0.02885,\quad N_S(0)\approx -0.02448 $$

검증: 포트폴리오 비용 \(=\) 옵션가격 \(\Pi_0 \approx 0.000246\ \checkmark\)

---

연습문제 2 해설

(a) \(q\) 판별 + 3년 무이표채 트리

Step 1: 2년 무이표채로 \(q\) 찾기

시점 1에서 만기 2 채권(1년 남음):

$$ Z_{1,u}(2)=100e^{-0.06}=94.1765,\quad Z_{1,d}(2)=100e^{-0.03}=97.0446 $$

무차익 조건:

$$ Z_0(2)=e^{-0.04}\,[qZ_{1,u}(2)+(1-q)Z_{1,d}(2)] $$

주어진 \(Z_0(2)=91.31\)을 대입하면 \(q\approx 0.7\). 따라서 Case 1이 정답: 위험중립 \(q=0.7\), 실제 \(p=0.3\).

Step 2: 3년 무이표채 트리

시점 2(1년 남음):

$$ Z_{2,uu}(3)=100e^{-0.09}=91.3927,\quad Z_{2,ud}(3)=100e^{-0.04}=96.0789,\quad Z_{2,dd}(3)=100e^{-0.02}=98.0199 $$

시점 1:

$$ Z_{1,u}(3)=e^{-0.06}[0.7\cdot 91.3927+0.3\cdot 96.0789]\approx 87.40 $$ $$ Z_{1,d}(3)=e^{-0.03}[0.7\cdot 96.0789+0.3\cdot 98.0199]\approx 93.80 $$

시점 0:

$$ Z_0(3)=e^{-0.04}[0.7\cdot 87.40+0.3\cdot 93.80]\approx 85.83 $$

(b) 1년 기대수익률 (실제확률 \(p=0.3\) 사용)

2년 무이표채

$$ R_u=\frac{94.1765}{91.31}-1\approx 3.14\%,\quad R_d=\frac{97.0446}{91.31}-1\approx 6.28\% $$

$$ E[R]=0.3\cdot 3.14\%+0.7\cdot 6.28\%\approx 5.34\% $$

3년 무이표채

$$ R_u=\frac{87.40}{85.83}-1\approx 1.83\%,\quad R_d=\frac{93.80}{85.83}-1\approx 9.29\% $$

$$ E[R]=0.3\cdot 1.83\%+0.7\cdot 9.29\%\approx 7.05\% $$

직관: 만기가 긴 채권일수록 금리 하락 시 가격 상승이 더 큽니다. 실제확률에서 금리 하락(70%)이 더 자주 발생하므로 장기채 기대수익률이 더 높습니다.

(c) 3년 레인지 본드

(c-i) 레인지 본드 가격 (위험중립 \(q=0.7\) 사용)

쿠폰 조건

• \(t=1\) 쿠폰: \(r_0=0.04\in[0.025,0.05]\) → 확정 지급(10)
• \(t=2\) 쿠폰: \(r_{1,u}=0.06\) → 미지급, \(r_{1,d}=0.03\) → 지급(10)
• \(t=3\) 쿠폰: \(r_{2,uu}=0.09\) → 0, \(r_{2,ud}=0.04\) → 10, \(r_{2,dd}=0.02\) → 0

역진행법

시점 2:

$$ V_{2,uu}=100e^{-0.09}=91.393 $$ $$ V_{2,ud}=110e^{-0.04}=105.687 $$ $$ V_{2,dd}=100e^{-0.02}=98.020 $$

시점 1:

$$ V_{1,u}=e^{-0.06}[0.7\cdot 91.393+0.3\cdot 105.687]\approx 90.10 $$ $$ V_{1,d}=e^{-0.03}[0.7\cdot (10+105.687)+0.3\cdot (10+98.020)]\approx 110.05 $$

시점 0:

$$ V_0=e^{-0.04}[0.7\cdot (10+90.10)+0.3\cdot (10+110.05)]\approx 101.92 $$

(c-ii) \(i=2\)에서 가치 분포와 9% VaR

실제확률 \(p=0.3\)로 확률 부여:

• \(uu\): \(p^2=0.09\) → \(V=91.393\)
• \(ud\): \(2p(1-p)=0.42\) → \(V=105.687\)
• \(dd\): \((1-p)^2=0.49\) → \(V=98.020\)

정렬(낮은 순): 91.393(9%), 98.020(49%), 105.687(42%)

9% 분위수 \(=91.393\)

$$ \mathrm{VaR}_{9\%}=V_0-Q_{0.09}(V_2)=101.92-91.393=10.53 $$

(c-iii) VaR에 \(p\) vs \(q\)

답: VaR에는 실제확률 \(p\)를 사용해야 합니다. 이유: VaR/ES는 “미래가 실제로 어떻게 분포할지”가 핵심이며, 위험중립확률 \(q\)는 가격결정용으로 조정된 확률이라 tail 사건의 확률을 왜곡하여 VaR을 과대/과소평가할 수 있습니다.

(c-iv) 레인지 본드의 장점과 1993년경 인기 이유

투자자 입장 장점: 금리가 특정 범위에 머물 것이라는 전망이 있을 때, 범위 안에서는 더 높은 쿠폰을 받을 수 있습니다. 즉, 금리의 ‘range-bound’ 전망을 표현하는 상품입니다.

1993년경 인기 이유(직관): 당시 금리가 일정 범위에서 등락하거나, 정책 신뢰로 변동성이 낮아지는 구간이 나타났고, 90년대 초중반 구조화 상품 시장이 급성장하던 시기였습니다.

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연습문제 3 해설

(a) 회귀모형으로 미래금리 예측

OLS로 \(\alpha,\beta\)를 추정한 뒤, AR(1) 형태이므로 기대금리는 폐형식으로 정리됩니다:

$$ E[r_{t+i}\mid r_t] = \mu + (r_t-\mu)\beta^i,\quad \mu=\frac{\alpha}{1-\beta} $$

해석: \(|\beta|<1\)이면 기대금리는 장기평균 \(\mu\)로 수렴(평균회귀).

(b) \(\sigma\)로 이항트리 구성

잔차 분산으로 \(\hat{\sigma}\)를 추정하고, 다음 규칙으로 트리를 생성:

$$ r_{i+1,\text{up}} = r_i + m_i\Delta + \sigma\sqrt{\Delta},\quad r_{i+1,\text{down}} = r_i + m_i\Delta - \sigma\sqrt{\Delta} $$

주의: 이 단순 모형은 음의 금리를 만들 수 있습니다.

(c) 스왑금리로 무이표 수익률곡선 구축

부트스트래핑 절차(개요): 가장 짧은 만기부터 시작하여 이미 구한 할인계수로 다음 만기의 할인계수를 1개 미지수로 두고 방정식을 풀어 순차적으로 구합니다. 분기 지급이면 \( \delta=0.25 \).

(d) 위험중립확률 계산

핵심 아이디어: \(q_i\)를 조정하여 트리로 계산한 모든 무이표채 가격이 시장 할인곡선과 일치하도록 합니다. \(q_i\in[0,1]\) 조건이 깨지면 \(\sigma\)가 너무 작을 수 있으며, \(\sigma\)를 키우면 트리 폭이 넓어져 해가 \([0,1]\) 안으로 들어오는 경우가 많습니다.

(e) 위험중립 기대금리 vs 실제 예측금리

차이의 원인: (a)의 예측금리는 실제확률 \(P\) 하 기대값, (d)의 위험중립 기대금리는 \(Q\) 하 기대값입니다. \(Q\)는 위험회피(리스크 프리미엄)가 반영되어 확률이 왜곡됩니다. 결론적으로 가격결정은 \(Q\)로, VaR/스트레스테스트는 \(P\)로 수행해야 합니다.