Chapter 19. 무차익 모형과 표준 파생상품
No Arbitrage Models and Standard Derivatives
이 장의 출발점은 매우 단순해 보이지만, 금리파생상품 이론 전체를 지배하는 질문이다. 오늘 관측되는 채권가격과 맞지 않는 금리모형으로 내일의 옵션, 캡, 플로어, 스왑션을 가격결정해도 되는가? 겉으로는 하나의 계산 선택처럼 보이지만, 실제로는 헤지 일관성, 상대가격의 정합성, 무차익 가격결정, 뉴메레르 선택, 위험중립측도, 그리고 금리모형의 구조적 타당성까지 모두 얽혀 있는 질문이다.
금리모형은 대체로 두 가지 목적으로 사용된다. 하나는 상대가치 분석이다. 이 경우에는 시장가격과 모형가격의 차이가 오히려 거래 아이디어의 출발점이 될 수 있다. 다른 하나는 파생상품 가격결정과 헤지다. 여기서는 사정이 완전히 달라진다. 옵션의 기초자산이 채권인데 모형이 오늘의 채권가격부터 정확히 재현하지 못하면, 옵션의 현재가치뿐 아니라 델타, 감마, 만기별 민감도, 헤지 포트폴리오까지 일관성을 잃는다.
이 장의 핵심 아이디어는 다음과 같다. Vasicek처럼 구조가 간단한 모형은 평균회귀를 설명하는 데 유용하지만, 시장에서 관측되는 현재 기간구조를 정확히 맞추기는 어렵다. 반면 Ho-Lee와 Hull-White는 현재의 기간구조를 입력으로 받아 정확히 맞춘 뒤, 그 위에서 미래 금리의 동학과 표준 금리파생상품 가격을 기술한다. 즉 오늘의 곡선은 시장이 주고, 모형은 그 곡선을 존중하는 상태에서 미래 확률분포와 파생상품 가격을 만든다.
이 장 전체를 관통하는 관점
현재 채권가격은 입력값이고, 미래 채권가격의 분포는 모형이 만든다. 따라서 시간의존 드리프트 \(\theta_t\)는 독립적인 경제 해석을 가진 “예측식”이라기보다, 현재 곡선을 정확히 맞추기 위해 조정되는 함수로 보는 것이 자연스럽다. 옵션 가격을 계산할 때는 \(\theta_t\)가 직접 눈에 보이기보다 이미 \(Z(0,T)\)와 \(f(0,T)\) 안에 녹아 들어간다.
이번 장의 로드맵
먼저 시간가변 적분의 미분과 마팅게일·라돈–니코딤 도함수·기르사노프·뉴메레르 변경을 정리한다. 그 다음 Ho-Lee와 Hull-White를 각각 현재 기간구조에 맞추는 방법을 설명하고, 채권 옵션에서 출발해 쿠폰채권 옵션, 캡/플로어, 스왑션으로 확장한다. 마지막으로 로그정규 모형과 일반화된 아핀 구조까지 한 흐름으로 정리한다.
사전 준비 A: 시간가변 적분을 미분하는 법
금리모형을 공부하다 보면 적분 구간의 끝점이 파라미터에 의존하거나, 피적분함수 자체가 그 파라미터에 의존하는 적분이 계속 등장한다. 특히 \(A(0;T)\), \(B(t;T)\), 선도금리 \(f(0,T)\), 그리고 \(\theta_t\) 역산 과정은 대부분 이런 계산으로 이루어진다. 이때 필요한 도구가 라이프니츠 적분 규칙이다.
라이프니츠 적분 규칙
$$\frac{d}{d\alpha}\int_{a(\alpha)}^{b(\alpha)} g(\alpha,t)\,dt = g(\alpha,b(\alpha))b'(\alpha)-g(\alpha,a(\alpha))a'(\alpha)+\int_{a(\alpha)}^{b(\alpha)}\frac{\partial g(\alpha,t)}{\partial \alpha}\,dt$$이 규칙의 의미는 단순하다. \(\alpha\)가 조금 바뀌면 적분값도 바뀌는데, 그 변화는 세 원천에서 나온다. 첫째, 적분 상한이 움직이는 효과. 둘째, 적분 하한이 움직이는 효과. 셋째, 적분 구간 내부에서 함수 모양 자체가 바뀌는 효과다. 라이프니츠 규칙은 이 셋을 정확히 분리해서 적는다.
이 장에서는 특히 하한이 0으로 고정되고 상한만 파라미터인 경우가 가장 자주 등장한다. 이때는
$$\frac{d}{d\alpha}\int_0^{\alpha}g(\alpha,t)\,dt = g(\alpha,\alpha)+\int_0^{\alpha}\frac{\partial g(\alpha,t)}{\partial \alpha}\,dt$$만 기억해도 대부분의 계산이 정리된다.
예시 1: Ho-Lee에서 \(\theta_t\) 역산
Ho-Lee에서 시점 0의 채권가격 식은 결국
$$A(0;T)=-\int_0^T(T-t)\theta_t\,dt+\frac{\sigma^2T^3}{6}$$형태가 된다. 여기서 \(g(T,t)=(T-t)\theta_t\)로 두면, 상한항은
$$g(T,T)=(T-T)\theta_T=0$$이어서 사라진다.
안쪽 미분은
$$\frac{\partial}{\partial T}\big[(T-t)\theta_t\big]=\theta_t$$이므로
$$\frac{\partial}{\partial T}\int_0^T(T-t)\theta_t\,dt=\int_0^T\theta_t\,dt$$를 얻는다. 이어서 \(\frac{\sigma^2T^3}{6}\)을 미분하면 \(\frac{\sigma^2T^2}{2}\)가 되므로, Ho-Lee의 \(\theta_t\) 공식은 사실 이 계산 하나에서 출발한다.
예시 2: Hull-White에서 더 복잡한 경우
Hull-White에서는 \(\int_0^T B(t;T)\theta_t\,dt\)처럼 적분변수 \(t\)와 상한 \(T\)가 동시에 들어간다. 이 경우
$$\frac{\partial}{\partial T}\int_0^T B(t;T)\theta_t\,dt = B(T;T)\theta_T+\int_0^T\frac{\partial B(t;T)}{\partial T}\theta_t\,dt$$가 된다.
Hull-White에서는 \(B(T;T)=0\)이라 첫 항이 없어지고, \(\partial B/\partial T\)만 남는다. 이 때문에 뒤에서 \(e^{-\gamma^*(T-t)}\)가 핵심 커널처럼 등장한다.
자주 생기는 실수
\(\int_0^T g(T,t)\,dt\)를 \(T\)로 미분할 때 \(\int_0^T \partial g/\partial T\,dt\)만 적고 상한항 \(g(T,T)\)를 빼먹는 실수가 매우 흔하다. 이 장에서는 우연히 \(g(T,T)=0\)이 되는 경우가 자주 나와서 실수가 가려질 뿐이다. 상한항이 원래 있었고, 다만 구조 때문에 0이 되었을 뿐이라는 점을 놓치면 안 된다.
사전 준비 B: 확률과정, 마팅게일, 뉴메레르, 측도변환
Ho-Lee와 Hull-White의 채권가격, 선도측도, 채권 옵션 공식을 제대로 이해하려면 먼저 몇 가지 확률론적 장치를 분명히 해 둘 필요가 있다. 특히 마팅게일, 동등확률측도, 라돈–니코딤 도함수, 기르사노프 정리, 그리고 뉴메레르 변경 정리는 뒤의 모든 계산을 떠받치는 기초다. 이 절에서는 직관뿐 아니라 필요한 정의, 정리, 그리고 실제로 뒤에서 쓰일 정도의 증명 뼈대를 함께 정리한다.
B.1 확률공간, 여과, 적응과정, 조건부기대값
연속시간 금융모형의 기본 배경은 확률공간 \((\Omega,\mathcal F,\mathbb P)\)와 여과 \((\mathcal F_t)_{t\ge 0}\)이다. 여기서 \(\mathcal F_t\)는 시점 \(t\)까지 이용 가능한 정보의 집합이다. 보통 \(s\le t\)이면 \(\mathcal F_s\subseteq\mathcal F_t\)를 만족하는 증가족으로 가정한다.
$$\mathcal F_s\subseteq \mathcal F_t\subseteq \mathcal F \qquad (0\le s\le t)$$확률과정 \(X_t\)가 적응(adapted)되어 있다는 것은 각 시점의 값 \(X_t\)가 \(\mathcal F_t\)-가측이라는 뜻이다. 즉 시점 \(t\)에서 관측 가능한 정보만으로 \(X_t\)를 알 수 있어야 한다는 말이다.
정의 B.1 (조건부기대값)
적분가능한 확률변수 \(X\)에 대해 \(E[X\mid\mathcal F_t]\)는 다음 두 조건을 만족하는 \(\mathcal F_t\)-가측 확률변수다.
$$E[|X|]<\infty,\qquad E\!\left[\mathbf 1_AE[X\mid\mathcal F_t]\right]=E[\mathbf 1_A X]\quad\text{for all }A\in\mathcal F_t$$이는 \(\mathcal F_t\)-정보만 남겨 두고 \(X\)를 평균적으로 가장 잘 요약한 확률변수라고 이해할 수 있다.
왜 조건부기대값이 가격이 되는가
뒤에서 \(V(t)=E^{\mathbb Q}[e^{-\int_t^T r_s ds}V(T)\mid\mathcal F_t]\) 같은 식을 쓸 때, 이는 단순한 기호 조작이 아니라 \(\mathcal F_t\)-가측인 현재가격을 정확히 정의하는 확률론적 객체다. 금융수학에서 가격은 결국 “현재 정보 기준 미래 지급액의 조건부기대값”이다.
B.2 마팅게일
마팅게일은 흔히 “공정한 게임”이라고 소개되지만, 엄밀하게는 세 가지 조건을 함께 만족해야 한다.
정의 B.2 (마팅게일, 서브마팅게일, 슈퍼마팅게일)
확률과정 \((M_t)_{t\ge0}\)가 \((\mathcal F_t)\)에 대해 마팅게일이라는 것은
$$\text{(i) }M_t\text{ 는 }\mathcal F_t\text{-적응},\qquad \text{(ii) }E[|M_t|]<\infty,\qquad \text{(iii) }E[M_t\mid \mathcal F_s]=M_s\;\;(0\le s\le t)$$를 뜻한다. 조건부평균이 현재값보다 크면 서브마팅게일, 작으면 슈퍼마팅게일이다.
이 정의는 금융에서 핵심이다. 적절한 뉴메레르로 가격을 나눈 값이 마팅게일이라는 것은, 현재 정보만으로는 그 비율이 체계적으로 증가하거나 감소하지 않는다는 뜻이다. 무차익 가격결정은 바로 이 성질 위에서 작동한다.
사실 B.1: 이토 적분은 마팅게일이다
브라운 운동 \(W_t\)와 제곱적분가능한 적응과정 \(\phi_t\)에 대해
$$M_t=\int_0^t \phi_u\,dW_u$$를 정의하자. 그러면 \(M_t\)는 \(\mathcal F_t\)-마팅게일이다.
핵심은 브라운 운동의 독립증분과 단순과정 근사다. 단순과정에 대해서는 각 증가분의 평균이 0이므로
$$E\!\left[\int_s^t\phi_u\,dW_u\Bigm|\mathcal F_s\right]=0$$가 성립하고, 일반 적응과정은 \(L^2\)-근사로 확장된다. 따라서
$$E[M_t\mid\mathcal F_s]=M_s$$가 된다.
금융적 해석
뒤에서 할인된 자산가격의 SDE를 쓰면 확률항은 이토 적분 꼴로 남는다. 따라서 드리프트가 사라지는 순간 할인된 가격이 마팅게일이 된다. 위험중립측도에서 할인된 가격의 마팅게일성은 결국 “확률항만 남는가”를 확인하는 문제로 바뀐다.
B.3 절대연속성, 동등측도, 라돈–니코딤 도함수
측도변환은 확률가중치의 재배분이다. 하지만 임의로 확률을 바꾸면 안 된다. 어떤 사건이 원래는 확률 0인데 새 측도에서는 양의 확률을 가지거나 그 반대가 되면, 두 측도가 같은 세계를 본다고 말하기 어렵다. 그래서 보통 동등한 측도만 사용한다.
정의 B.3 (절대연속성과 동등성)
\(\mathbb Q\)가 \(\mathbb P\)에 절대연속이라는 것은
$$\mathbb P(A)=0\Rightarrow \mathbb Q(A)=0$$를 뜻하며 \(\mathbb Q\ll\mathbb P\)로 쓴다. 서로 절대연속이면 \(\mathbb Q\sim\mathbb P\)라 쓰고 동등하다고 한다.
정의 B.4 (라돈–니코딤 도함수)
\(\mathbb Q\ll\mathbb P\)이면 어떤 비음수 적분가능 확률변수 \(Z\)가 존재하여
$$\mathbb Q(A)=E^{\mathbb P}[\mathbf 1_A Z]\qquad(A\in\mathcal F)$$가 성립한다. 이 \(Z\)를 \(\frac{d\mathbb Q}{d\mathbb P}\)라 쓰고 라돈–니코딤 도함수라고 한다.
즉 \(Z(\omega)\)는 시나리오 \(\omega\)별로 원래 확률을 얼마나 재가중하는지를 나타낸다. \(Z\)가 큰 시나리오는 새 측도에서 더 중요해지고, 작은 시나리오는 덜 중요해진다.
이름은 도함수지만, 보통의 미분은 아니다
라돈–니코딤 도함수는 함수에 대한 미분이 아니라, 한 측도가 다른 측도에 대해 갖는 밀도다. 역할은 “기준이 바뀔 때 비율이 얼마나 달라지는가”를 나타낸다는 점에서 미분과 닮았지만, 대상이 완전히 다르다.
B.4 밀도과정과 Bayes 공식
정의 B.5 (밀도과정)
최종시점 \(T\)에서
$$Z_T=\frac{d\mathbb Q}{d\mathbb P}\Big|_{\mathcal F_T}$$라 두고
$$Z_t:=E^{\mathbb P}[Z_T\mid\mathcal F_t],\qquad 0\le t\le T$$라 정의하면 \((Z_t)\)는 \(\mathbb P\)-마팅게일이다. 이를 밀도과정 또는 라돈–니코딤 과정이라 한다.
Bayes 공식
적분가능한 \(\mathcal F_t\)-가측 확률변수 \(Y\)에 대해
$$E^{\mathbb Q}[Y\mid\mathcal F_s]=\frac{1}{Z_s}E^{\mathbb P}[Y Z_t\mid\mathcal F_s],\qquad 0\le s\le t\le T$$가 성립한다.
증명은 정의에서 바로 나온다. 임의의 \(A\in\mathcal F_s\)에 대해
$$E^{\mathbb Q}[\mathbf 1_A Y]=E^{\mathbb P}[\mathbf 1_A Y Z_t] =E^{\mathbb P}\!\left[\mathbf 1_AE^{\mathbb P}[YZ_t\mid\mathcal F_s]\right]$$이고, \(\mathbf 1_A Z_s\)가 \(\mathcal F_s\)-가측이므로 조건부기대값의 특성에 의해 위 식이 성립한다.
왜 Bayes 공식이 중요한가
위험중립측도에서의 기대값을 선도측도 기대값으로 바꾸거나, 반대로 선도측도 계산을 다시 위험중립측도로 되돌릴 때 매번 이 공식을 쓴다. 채권 옵션 유도에서 “할인인수가 기대값 밖으로 빠져나온다”는 말은 사실 이 공식의 결과다.
B.5 지수마팅게일과 Novikov 조건
기르사노프 정리에서 실제로 쓰이는 밀도과정은 보통 Doléans 지수형태다. 적응과정 \(\theta_t\)에 대해
$$Z_t=\exp\!\left(-\int_0^t \theta_u\,dW_u-\frac12\int_0^t\theta_u^2\,du\right)$$를 두면, 이는 국소마팅게일이다. 여기에 적절한 적분가능성 조건이 추가되면 진정한 마팅게일이 되고, 새로운 확률측도를 정의할 수 있다.
조건 B.1 (Novikov 조건)
$$E^{\mathbb P}\!\left[\exp\!\left(\frac12\int_0^T \theta_u^2\,du\right)\right]<\infty$$이면 \((Z_t)\)는 \([0,T]\)에서 \(\mathbb P\)-마팅게일이고 \(E^{\mathbb P}[Z_T]=1\)이다. 따라서
$$\frac{d\mathbb Q}{d\mathbb P}\Big|_{\mathcal F_T}=Z_T$$로 새로운 측도 \(\mathbb Q\)를 정의할 수 있다.
실무적으로 보면, Novikov 조건은 드리프트를 바꾸기 위해 도입한 지수 재가중치가 폭주하지 않는다는 뜻이다. 즉 측도변환이 확률적으로 잘 정의되도록 보장하는 조건이다.
B.6 기르사노프 정리
측도변환의 핵심은 “브라운 운동이 유지되되 드리프트만 이동한다”는 것이다. 이것이 기르사노프 정리다.
정리 B.1 (기르사노프 정리, 1차원 형태)
\((W_t)\)가 \(\mathbb P\) 아래 브라운 운동이고, \(\theta_t\)가 적응과정이며 Novikov 조건을 만족한다고 하자. 그리고
$$Z_t=\exp\!\left(-\int_0^t \theta_u\,dW_u-\frac12\int_0^t \theta_u^2\,du\right),\qquad \frac{d\mathbb Q}{d\mathbb P}\Big|_{\mathcal F_T}=Z_T$$로 \(\mathbb Q\)를 정의하자. 그러면
$$W_t^{\mathbb Q}=W_t+\int_0^t \theta_u\,du$$는 \(\mathbb Q\) 아래 브라운 운동이다. 동등하게
$$dW_t=dW_t^{\mathbb Q}-\theta_t dt$$라고 쓸 수 있다.
SDE에 미치는 직접 효과
\(\mathbb P\) 아래
$$dX_t=\mu_tdt+\sigma_t dW_t$$인 과정은 \(\mathbb Q\) 아래
$$dX_t=(\mu_t-\sigma_t\theta_t)dt+\sigma_t dW_t^{\mathbb Q}$$가 된다. 즉 측도변환은 드리프트만 바꾸고 변동성은 그대로 둔다.
왜 이 정리가 이 장에서 결정적인가
채권을 뉴메레르로 선택하면 새로운 측도가 생기고, 그 측도 아래에서는 채권비율이 마팅게일이 된다. 하지만 채권비율의 SDE를 실제로 계산하려면 브라운 운동이 어떻게 바뀌는지를 알아야 한다. 바로 그때 기르사노프 정리가 사용된다.
Ho-Lee에서는 \(dX_t^{T}=dX_t+(T-t)\sigma dt\) 같은 형태가 나오고, Hull-White에서는 그 이동항이 \(B(t;T)\sigma\) 구조를 띤다. 이 이동항이 드리프트를 정확히 상쇄하면서 선도측도 마팅게일성이 만들어진다.
B.7 위험중립측도와 할인된 가격의 마팅게일성
이제 금융적 의미를 붙이자. 머니마켓 계좌를
$$M(t)=\exp\!\left(\int_0^t r_u\,du\right),\qquad D(t)=\frac{1}{M(t)}$$라 두면, \(D(t)\)는 할인인수다. 무차익이면서 충분히 좋은 시장에서는 어떤 측도 \(\mathbb Q\)가 존재하여 모든 거래가능 자산 \(S(t)\)에 대해 할인된 가격 \(D(t)S(t)\)가 \(\mathbb Q\)-마팅게일이 된다. 이 \(\mathbb Q\)를 위험중립측도라 한다.
정리 B.2 (위험중립 가격결정)
만기 \(T\)에 지급액 \(V(T)\)를 갖는 파생상품의 가격 \(V(t)\)는
$$D(t)V(t)=E^{\mathbb Q}[D(T)V(T)\mid \mathcal F_t]$$를 만족한다. 따라서
$$V(t)=E^{\mathbb Q}\!\left[e^{-\int_t^T r_u du}V(T)\Bigm|\mathcal F_t\right]$$가 된다.
중요한 점은 \(\mathbb Q\)가 실제 현실확률을 나타낸다는 뜻이 아니라는 것이다. \(\mathbb Q\)는 가격결정과 무차익 조건을 표현하기에 가장 편한 측도다. 이 장에서 하는 일은 미래 금리를 예측하는 것이 아니라, 오늘 관측되는 가격들과 모순이 없는 가격체계를 만드는 것이다.
B.8 뉴메레르 변경 정리
머니마켓 계좌가 아닌 다른 양의 거래가능 자산 \(N(t)\)를 가격의 기준으로 쓰고 싶다면, 확률측도도 함께 바꾸어야 한다. 이것이 뉴메레르 변경이다.
정리 B.3 (뉴메레르 변경 정리)
양의 거래가능 자산 \(N(t)\)를 뉴메레르로 택하자. 위험중립측도 \(\mathbb Q\) 아래에서
$$L_t=\frac{D(t)N(t)}{N(0)}$$를 두면 \((L_t)\)는 \(\mathbb Q\)-마팅게일이고,
$$\frac{d\mathbb Q^N}{d\mathbb Q}\Big|_{\mathcal F_t}=L_t$$로 새 측도 \(\mathbb Q^N\)를 정의할 수 있다. 이때 모든 거래가능 자산 \(S(t)\)에 대해
$$\frac{S(t)}{N(t)}$$는 \(\mathbb Q^N\)-마팅게일이다.
증명의 핵심
위험중립측도 아래에서는 \(D(t)S(t)\)와 \(D(t)N(t)\)가 모두 마팅게일이다. 그런데 일반적으로 “마팅게일/마팅게일”은 마팅게일이 아니다. 그래서 측도를 바꾸는 장치가 필요하다.
정의한 밀도과정에 대해
$$L_t\frac{S(t)}{N(t)}=\frac{D(t)S(t)}{N(0)}$$가 성립한다. 오른쪽은 \(\mathbb Q\)-마팅게일이므로, Bayes 공식을 적용하면 \(S(t)/N(t)\)가 \(\mathbb Q^N\)-마팅게일임을 얻는다.
뉴메레르 변경의 직관
어떤 자산 \(N(t)\)를 기준자산으로 정해 가격을 \(S(t)/N(t)\)로 보기 시작하면, 그 기준에 맞는 확률가중치가 새로 필요하다. 이 새 가중치가 바로 \(\mathbb Q^N\)다. 따라서 뉴메레르 변경은 단순한 “단위변환”이 아니라, 가격단위와 확률단위를 동시에 바꾸는 작업이다.
B.9 \(T\)-선도측도
금리파생상품에서는 만기 \(T\)의 무이표채권 \(Z(t;T)\)를 뉴메레르로 택하는 것이 가장 중요하다. 이때 대응하는 측도를 \(T\)-선도측도 \(\mathbb Q^T\)라 한다.
정의 B.6 (\(T\)-선도측도)
\(\mathbb Q\)를 위험중립측도라 하고, \(T\)-만기 채권을 뉴메레르로 택하자. 그러면
$$L_t^{(T)}=\frac{D(t)Z(t;T)}{Z(0;T)}$$는 \(\mathbb Q\)-마팅게일이고
$$\frac{d\mathbb Q^T}{d\mathbb Q}\Big|_{\mathcal F_t}=L_t^{(T)}$$로 선도측도 \(\mathbb Q^T\)를 정의한다.
만기에서 \(Z(T;T)=1\)이므로
$$\frac{d\mathbb Q^T}{d\mathbb Q}\Big|_{\mathcal F_T}=\frac{D(T)}{Z(0;T)}$$가 된다. 따라서 시점 \(T\)의 지급액 \(V(T)\)에 대해
$$V(0)=E^{\mathbb Q}[D(T)V(T)]=Z(0;T)E^{\mathbb Q^T}[V(T)]$$를 얻는다. 이 식이 매우 강력한 이유는, 원래는 확률적인 할인인수 \(e^{-\int_0^T r_s ds}\)가 payoff와 함께 기대값 안에 들어 있는데, 선도측도로 바꾸면 그것이 확정적 숫자 \(Z(0;T)\) 하나로 정리되기 때문이다.
사실 B.4: 채권비율은 선도측도 아래 마팅게일
다른 만기 \(T_B\)의 채권을 생각하자. 그러면
$$F(t)=\frac{Z(t;T_B)}{Z(t;T_O)}$$는 \(\mathbb Q^{T_O}\) 아래 마팅게일이다.
실제로
$$L_t^{(T_O)}F(t)=\frac{D(t)Z(t;T_O)}{Z(0;T_O)}\cdot \frac{Z(t;T_B)}{Z(t;T_O)} =\frac{D(t)Z(t;T_B)}{Z(0;T_O)}$$인데, 오른쪽은 위험중립측도 아래 할인된 채권가격의 상수배이므로 마팅게일이다. 따라서 Bayes 공식에 의해 \(F(t)\)는 \(\mathbb Q^{T_O}\)-마팅게일이다.
이 장에서 반복해서 쓰일 결론
금리파생상품에서 옵션만기 \(T_O\)와 기초채권만기 \(T_B\)가 주어지면, 선도측도 아래에서는
$$\frac{Z(t;T_B)}{Z(t;T_O)}$$의 드리프트가 0이 된다. 따라서 분포만 파악하면 옵션가격이 곧바로 계산된다. 채권 옵션의 Black-Scholes형 공식은 이 성질에서 나온다.
B.10 자기금융 포트폴리오와 PDE의 연결
이 장에서 PDE를 계속 쓰게 되므로, 그 출발점도 한 번은 명시해 두는 것이 좋다. \(V(r,t)\)가 상태변수 \(r_t\)에 의존하는 파생상품 가격이고
$$dr_t=\mu^{\mathbb Q}(r_t,t)\,dt+\sigma_r(r_t,t)\,dW_t^{\mathbb Q}$$라 하자. 이토 보조정리에 의해
$$dV=\left(V_t+\mu^{\mathbb Q}V_r+\frac12\sigma_r^2V_{rr}\right)dt+\sigma_rV_r\,dW_t^{\mathbb Q}$$를 얻는다. 이제 같은 상태변수에 의해 움직이는 거래가능 자산 \(H(r,t)\)를 골라 포트폴리오 \(\Pi_t=V_t-\Delta_t H_t\)를 만든다. \(\Delta_t=V_r/H_r\)로 선택하면 확률항이 사라져 \(\Pi_t\)가 순간적으로 무위험이 된다.
무차익이면 무위험 포트폴리오는 단기금리만큼 증가해야 하므로
$$d\Pi_t=r_t\Pi_t\,dt$$가 성립한다. 이를 전개하면
$$V_t+\mu^{\mathbb Q}V_r+\frac12\sigma_r^2V_{rr}-rV=0$$를 얻는다. 뒤에서 Ho-Lee와 Hull-White의 채권가격 PDE는 모두 이 일반형의 특수한 경우다.
19.1 무차익 모형이 왜 필요한가
이제 준비를 바탕으로, 왜 현재 기간구조를 정확히 맞추는 모형이 필요한지 보자. 가장 직관적인 출발점은 Vasicek류의 단순 모형과 시장 할인인수 사이의 불일치가 옵션 가격에 어떤 영향을 주는지 보는 것이다.
예제 19.1: 현재 곡선을 틀리게 맞춘 모형의 문제
Vasicek 모형
$$dr_t=\gamma^*(\bar r^*-r_t)dt+\sigma dX_t$$에서는 무이표채권 옵션 가격이
$$V(r_0,0)=Z(0;T_B)N(d_1)-KZ(0;T_O)N(d_2) \tag{19.1}$$ $$d_1=\frac{1}{S_Z}\ln\frac{Z(0;T_B)}{KZ(0;T_O)}+\frac{S_Z}{2},\qquad d_2=d_1-S_Z \tag{19.2}$$ $$S_Z^2=B(T_O;T_B)^2\frac{\sigma^2}{2\gamma^*}(1-e^{-2\gamma^*T_O}) \tag{19.3}$$형태를 갖는다. 그런데 이 식에 들어가는 \(Z(0;T)\)가 시장과 다른 값을 가지면, 옵션가격뿐 아니라 민감도까지 함께 왜곡된다.
따라서 파생상품 가격결정의 목적에서는 오늘의 기간구조를 먼저 정확히 맞춘 뒤, 그 위에서 미래의 확률동학을 얹는 모형이 필요하다. 이것이 Ho-Lee와 Hull-White를 도입하는 이유다.
무차익 모형의 핵심 철학
관찰 가능한 채권가격은 모형이 예측해야 할 대상이 아니라, 모형이 반드시 재현해야 하는 제약조건이다. 이 제약을 만족시키기 위해 시간의존 결정론적 함수 \(\theta_t\)를 충분히 유연하게 두는 것이 no-arbitrage fitting의 핵심이다.
19.2 Ho-Lee 모형 다시 보기
Ho-Lee는 가장 단순한 무차익 단기금리모형 가운데 하나다. 위험중립측도 아래에서 단기금리는
$$dr_t=\theta_t\,dt+\sigma\,dX_t \tag{19.4}$$를 따른다. 여기서 \(\sigma\)는 상수 변동성이고, \(\theta_t\)는 현재 기간구조를 정확히 맞추기 위해 선택되는 시간의존 결정론적 함수다.
19.2.1 단기금리의 해와 분포
적분하면
$$r_t=r_0+\int_0^t\theta_u\,du+\sigma X_t \tag{19.5}$$이므로 \(r_t\)는 평균 \(r_0+\int_0^t\theta_u du\), 분산 \(\sigma^2 t\)의 정규분포를 갖는다. 즉 Ho-Lee는 평균은 \(\theta_t\)가 조절하고, 분산은 시간에 비례해서 계속 커지는 구조다.
즉시 읽을 수 있는 함의
평균회귀가 없기 때문에 장기 horizon으로 갈수록 분산이 선형적으로 계속 커진다. 이것은 계산은 편하게 만들지만, 아주 먼 미래 금리의 분산이 지나치게 커진다는 점에서 구조적 한계를 내포한다.
19.2.2 채권가격 PDE
무이표채권 가격을 \(Z(r,t;T)\)라 쓰면, 일반 위험중립 PDE에서 \(\mu^{\mathbb Q}=\theta_t\), \(\sigma_r=\sigma\)이므로
$$\frac{\partial Z}{\partial t}+\theta_t\frac{\partial Z}{\partial r}+\frac12\sigma^2\frac{\partial^2 Z}{\partial r^2}-rZ=0,\qquad Z(r,T;T)=1 \tag{19.6}$$를 얻는다. 마지막 항 \(-rZ\)는 할인효과다. 채권은 만기에 1을 지급하지만, 그 1을 현재로 가져오는 동안 단기금리 \(r_t\)만큼 할인되어야 하므로 가격방정식에 \(-rZ\)가 등장한다.
PDE를 헤지 관점에서 다시 쓰면
\(V(r,t)\)에 대해 이토 보조정리를 적용하면
$$dV=\left(V_t+\theta_tV_r+\frac12\sigma^2V_{rr}\right)dt+\sigma V_r dX_t$$가 된다.
같은 금리요인에 의해 움직이는 채권 \(H(r,t)\)를 하나 골라 \(\Pi=V-\Delta H\)를 만들고 \(\Delta=V_r/H_r\)로 두면 확률항이 없어진다. 무차익이면 \(d\Pi=r\Pi dt\)이어야 하므로, 결국
$$V_t+\theta_tV_r+\frac12\sigma^2V_{rr}-rV=0$$를 얻는다. 채권가격식은 이 일반식에 종단조건 \(V(r,T)=1\)을 넣은 특수한 경우다.
19.2.3 아핀 해를 가정하는 이유
이 PDE를 푸는 고전적 방법은 해가
$$Z(r,t;T)=e^{A(t;T)-B(t;T)r} \tag{19.7}$$꼴일 것이라고 가정하는 것이다. 이를 아핀 구조라고 부른다. 왜 이런 형태를 시도하는가? 현재 금리 \(r\)가 높을수록 채권가격은 낮아져야 한다. 가장 단순한 방법은 \(\log Z=A-Br\)처럼 로그가격이 \(r\)에 대해 선형감소하게 만드는 것이다.
편미분을 계산하면
$$Z_t=(A_t-B_t r)Z,\qquad Z_r=-BZ,\qquad Z_{rr}=B^2Z$$이고 이를 PDE에 대입하면
$$A_t-B_t r-\theta_t B+\frac12\sigma^2B^2-r=0$$를 얻는다. 이 식이 모든 \(r\)에 대해 성립해야 하므로
$$B_t=-1,\qquad A_t=\theta_t B-\frac12\sigma^2B^2 \tag{19.8}$$가 된다. 경계조건은 \(A(T;T)=0\), \(B(T;T)=0\)이다.
\(A\)와 \(B\)를 실제로 풀기
\(B_t=-1\)에 \(B(T;T)=0\)을 넣으면
$$B(t;T)=T-t \tag{19.9}$$를 얻는다.
이어 \(A_t=\theta_t(T-t)-\frac12\sigma^2(T-t)^2\)를 만기에서 거꾸로 적분하면
$$A(t;T)=-\int_t^T (T-u)\theta_u\,du+\frac{\sigma^2}{6}(T-t)^3 \tag{19.10}$$가 된다.
사실 19.1 (Ho-Lee 채권가격)
$$Z(r,t;T)=\exp\!\left(A(t;T)-(T-t)r\right),\qquad A(t;T)=-\int_t^T (T-u)\theta_u\,du+\frac{\sigma^2}{6}(T-t)^3 \tag{19.11}$$19.2.4 현재 기간구조를 맞추는 \(\theta_t\)
시점 0의 채권가격은
$$Z(0;T)=\exp\!\left(A(0;T)-Tr_0\right)$$이고, 선도금리를
$$f(0,T)=-\frac{\partial}{\partial T}\log Z(0;T)$$로 두면 \(A(0;T)\)를 미분해서 \(\theta_t\)를 역산할 수 있다.
\(\theta_t\) 유도
먼저
$$\log Z(0;T)=A(0;T)-Tr_0$$이므로
$$f(0,T)=-A_T(0;T)+r_0$$이다.
한편
$$A(0;T)=-\int_0^T (T-t)\theta_t\,dt+\frac{\sigma^2T^3}{6}$$이므로 라이프니츠 규칙에 의해
$$A_T(0;T)=-\int_0^T\theta_t\,dt+\frac{\sigma^2T^2}{2}$$를 얻는다.
따라서
$$f(0,T)=\int_0^T\theta_t\,dt-\frac{\sigma^2T^2}{2}+r_0$$이고, 양변을 한 번 더 \(T\)로 미분하면
$$\theta_T=f_T(0,T)+\sigma^2 T$$가 나온다.
사실 19.2 (Ho-Lee의 적합 함수)
$$\theta_t=\frac{\partial f(0,t)}{\partial t}+\sigma^2 t \tag{19.12}$$이 식은 매우 중요하다. 현재 선도곡선의 기울기가 기본 드리프트를 만들고, 여기에 \(\sigma^2 t\)라는 볼록성 조정이 추가된다. 즉 현재 곡선을 맞추는 과정은 단순한 보간이 아니라, 확률적 변동성이 미래 채권가격에 미치는 효과까지 함께 반영하는 작업이다.
예제 19.2: 시장 STRIPS 곡선으로 \(\theta_t\) 계산
실제 시장에서는 할인인수와 현물수익률이 이산만기에서만 관측된다. 따라서 먼저 \(Z(0,T)\)를 곡선으로 보간하고, 그 다음 \(f(0,T)=-\partial_T\log Z(0,T)\)를 수치적으로 계산한다. 예를 들어 \(\sigma=0.0221\)을 사용하면, 역산된 \(\theta_t\)를 Ho-Lee 채권가격식에 다시 넣었을 때 모형 할인인수가 시장 STRIPS 곡선과 정확히 일치한다.
그림 19.1
패널 A는 시장 STRIPS와 보간곡선, 패널 B는 역산된 \(\theta_t\), 패널 C는 Ho-Lee가 다시 재현한 현물곡선을 보여 준다. 핵심은 “입력으로 준 현재 곡선이 모형 안에서 다시 정확히 복원된다”는 점이다.
19.2.5 채권가격의 SDE와 만기별 변동성
채권가격식 \(Z(r,t;T)=e^{A-(T-t)r}\)에 이토 보조정리를 적용하면
$$\frac{d(D(t)Z(t;T))}{D(t)Z(t;T)}=-(T-t)\sigma\,dX_t \tag{19.13}$$를 얻는다. 따라서 Ho-Lee에서 만기 \(T\) 채권의 순간변동성은 \((T-t)\sigma\)다. 잔존만기가 길수록 채권가격이 금리충격에 더 민감해진다는 뜻이다.
해석
Ho-Lee에서는 \(B(t;T)=T-t\)가 그대로 채권의 금리민감도가 된다. 평균회귀가 없으므로 이 민감도는 잔존만기에 선형으로 증가한다. 이 단순한 구조 덕분에 옵션가격이 닫힌형으로 정리된다.
19.2.6 무이표채권 옵션: 왜 Black-Scholes형 공식이 나오는가
이제 만기 \(T_O\)에 payoff가
$$\max(Z(T_O;T_B)-K,0)$$인 유럽형 콜옵션을 생각하자. Ho-Lee에서는 이 옵션 가격이 Black-Scholes와 매우 비슷한 형태로 정리된다. 그 이유를 단계별로 보자.
1단계: 위험중립 기대값을 선도측도 기대값으로 바꾸기
위험중립 가격결정식은
$$V(0)=E^{\mathbb Q}[D(T_O)\max(Z(T_O;T_B)-K,0)]$$이다.
여기서 \(T_O\)-만기 채권을 뉴메레르로 택하면
$$V(0)=Z(0;T_O)\,E^{\mathbb Q^{T_O}}[\max(Z(T_O;T_B)-K,0)] \tag{19.14}$$가 된다. 할인인수가 기대값 밖으로 빠져나가므로 계산이 크게 단순해진다.
이 식은 라돈–니코딤 도함수로 즉시 확인할 수 있다. \(L_t=\frac{D(t)Z(t;T_O)}{Z(0;T_O)}\) 이므로 \(Z(T_O;T_O)=1\)을 써서 \(L_{T_O}=D(T_O)/Z(0;T_O)\)를 얻고, 따라서
$$E^{\mathbb Q}[D(T_O)X]=Z(0;T_O)E^{\mathbb Q^{T_O}}[X]$$가 성립한다.
2단계: 선도측도 아래에서 채권비율의 SDE 구하기
\(\mathbb Q\) 아래 할인된 \(T_O\)-채권은
$$\frac{d(D(t)Z(t;T_O))}{D(t)Z(t;T_O)}=-(T_O-t)\sigma\,dX_t$$를 따르므로 뉴메레르 변동성은 \(v_t=-(T_O-t)\sigma\)다.
뉴메레르 변경 정리에 따라 \(\mathbb Q^{T_O}\) 아래 브라운 운동은
$$dX_t^{T_O}=dX_t+(T_O-t)\sigma dt \tag{19.15}$$가 된다.
이제 \(T_B\)-채권의 할인 SDE를 같은 방식으로 쓰면, 선도측도 아래에서 비율
$$F(t)=\frac{Z(t;T_B)}{Z(t;T_O)}$$의 드리프트가 사라지고 변동성만 남는다.
3단계: 비율 \(F(t)\)는 로그정규가 된다
Ho-Lee에서는 변동성 차이가 상수다.
$$\sigma_F=(T_B-t)\sigma-(T_O-t)\sigma=(T_B-T_O)\sigma$$따라서
$$\frac{dF(t)}{F(t)}=(T_B-T_O)\sigma\,dX_t^{T_O}$$가 되고, 적분하면
$$F(T_O)=F(0)\exp\!\left(-\frac12S_Z^2+S_ZW\right)$$를 얻는다. 여기서 \(W\sim N(0,1)\)이고
$$S_Z^2=\sigma^2T_O(T_B-T_O)^2 \tag{19.16}$$이다.
4단계: 정규적분 계산
행사조건 \(F(T_O)>K\)는
$$W<\frac{1}{S_Z}\ln\frac{F(0)}{K}-\frac{S_Z}{2}\equiv d_2$$가 되고, \(d_1=d_2+S_Z\)라 두면
$$E[(F(T_O)-K)^+]=F(0)N(d_1)-KN(d_2)$$를 얻는다.
마지막으로 \(F(0)=Z(0;T_B)/Z(0;T_O)\)를 대입하면 옵션가격이 완성된다.
사실 19.3 (Ho-Lee 채권 옵션 공식)
$$V_{\mathrm{call}}=Z(0;T_B)N(d_1)-KZ(0;T_O)N(d_2) \tag{19.17}$$ $$d_1=\frac{1}{S_Z}\ln\frac{Z(0;T_B)}{KZ(0;T_O)}+\frac{S_Z}{2},\qquad d_2=d_1-S_Z \tag{19.18}$$ $$S_Z^2=\sigma^2T_O(T_B-T_O)^2 \tag{19.19}$$ $$V_{\mathrm{put}}=KZ(0;T_O)N(-d_2)-Z(0;T_B)N(-d_1) \tag{19.20}$$예제 19.3: Ho-Lee와 Vasicek 비교
\(\sigma=0.0221\), \(T_O=1\), \(T_B=5\)이면
$$S_Z=0.0221\times \sqrt{1}\times (5-1)=0.0884$$이다. 이에 따라 옵션가격은 \(\$3.5758\)이 된다. 평균회귀가 없는 Ho-Lee에서는 옵션 만기 시점 채권의 금리민감도 \(T_B-T_O\)가 그대로 크게 남기 때문에, 평균회귀가 있는 Vasicek보다 옵션가격이 더 크게 나올 수 있다.
19.2.7 Ho-Lee의 구조적 한계
Ho-Lee는 현재 기간구조를 정확히 맞추고 채권 옵션도 닫힌형으로 계산할 수 있다. 그러나 수익률 변동성의 만기구조를 설명하는 데에는 분명한 구조적 한계가 있다.
잔존만기 \(\tau\)의 현물수익률을
$$r_t(\tau)=-\frac{1}{\tau}\log Z(r_t,t;t+\tau)$$라고 하자. Ho-Lee 채권가격식을 넣으면
$$r_t(\tau)=-\frac{A(t;t+\tau)}{\tau}+r_t$$가 된다. 첫 항은 결정론적이고 확률적 부분은 오직 \(r_t\)뿐이다. 따라서 모든 만기의 수익률이 같은 순간변동성을 가진다.
사실 19.4
$$\mathrm{Var}(dr_t(\tau))=\sigma^2dt \tag{19.21}$$현실에서는 단기금리가 장기금리보다 훨씬 크게 흔들리는 경우가 많다. Ho-Lee는 이를 설명하지 못한다. 또 평균회귀가 없어서 장기 horizon의 금리분산이 계속 커진다는 점도 구조적 약점이다.
그림 19.2
실제 데이터에서는 단기 수익률 변동성이 장기보다 높은 하향형 기간구조가 흔하다. 예를 들어 단기는 약 2%대, 장기는 1%대 수준으로 낮아지는 패턴이 관찰될 수 있다. Ho-Lee는 이를 수평선으로 예측한다.
19.3 Hull-White 모형
Hull-White 1요인 모형은 Ho-Lee에 평균회귀를 추가한 형태다.
$$dr_t=(\theta_t-\gamma^*r_t)\,dt+\sigma\,dX_t \tag{19.22}$$\(-\gamma^*r_t\)라는 항이 핵심이다. 금리가 높아지면 음의 방향으로, 낮아지면 양의 방향으로 작용하므로 평균회귀가 생긴다. Ho-Lee의 단순함은 어느 정도 유지하면서도 수익률 변동성 기간구조를 더 현실적으로 만들 수 있다.
19.3.1 단기금리의 해
적분인자를 쓰면
$$r_t=e^{-\gamma^* t}r_0+\int_0^t e^{-\gamma^*(t-u)}\theta_u\,du+\sigma\int_0^t e^{-\gamma^*(t-u)}\,dX_u \tag{19.23}$$를 얻는다. 마지막 항을 보면 과거 충격의 영향이 \(e^{-\gamma^*(t-u)}\)로 지수감쇠한다. 이것이 바로 평균회귀의 수학적 형태다.
즉시 읽을 수 있는 함의
\(\gamma^*>0\)이면 과거 충격은 시간이 흐를수록 약해진다. 따라서 Ho-Lee와 달리 장기 horizon에서 금리분산이 무한히 커지는 현상이 완화된다. 평균회귀가 장기채권의 금리민감도를 줄이는 효과도 여기서 비롯된다.
19.3.2 채권가격과 \(B(t;T)\)
다시 아핀 해
$$Z(r,t;T)=e^{A(t;T)-B(t;T)r} \tag{19.24}$$를 가정하고 PDE에 대입하면
$$B_t=\gamma^*B-1,\qquad A_t=B\theta_t-\frac12\sigma^2B^2 \tag{19.25}$$를 얻는다. 경계조건 \(B(T;T)=0\)을 넣으면
$$B(t;T)=\frac{1-e^{-\gamma^*(T-t)}}{\gamma^*} \tag{19.26}$$가 된다.
왜 \(B(t;T)\)가 중요하나
채권가격 로그의 \(r\)-미분은 \(-B(t;T)\)다. 즉 \(B(t;T)\)는 채권가격의 금리민감도를 요약하는 핵심 함수다.
Ho-Lee에서는 \(B=T-t\)로 선형 증가하지만, Hull-White에서는 \(B=\frac{1-e^{-\gamma^*(T-t)}}{\gamma^*}\)로 포화형이 된다. 이 차이가 장기채권 변동성을 줄이는 근본 원인이다.
19.3.3 현재 곡선을 맞추는 \(\theta_t\)
시점 0의 채권가격은
$$Z(0;T)=\exp(A(0;T)-B(0;T)r_0)$$이고 선도금리 \(f(0,T)=-\partial_T \log Z(0,T)\)를 쓰면 \(\theta_t\)를 역산할 수 있다. 계산은 Ho-Lee보다 길지만 구조는 같다.
\(\theta_t\) 역산의 전개
먼저
$$f(0,T)=-A_T(0;T)+B_T(0;T)r_0$$이고 \(B_T(0;T)=e^{-\gamma^*T}\)다.
또한
$$A(0;T)=-\int_0^T B(t;T)\theta_t\,dt+\frac{\sigma^2}{2}\int_0^T B(t;T)^2dt$$이므로 라이프니츠 규칙과 \(B(T;T)=0\), \(\partial_T B(t;T)=e^{-\gamma^*(T-t)}\)를 이용하면
$$A_T(0;T)=-\int_0^T e^{-\gamma^*(T-t)}\theta_t\,dt+\sigma^2\int_0^T B(t;T)e^{-\gamma^*(T-t)}dt$$를 얻는다.
여기서
$$\int_0^T B(t;T)e^{-\gamma^*(T-t)}dt=\frac{(1-e^{-\gamma^*T})^2}{2(\gamma^*)^2}$$이므로
$$f(0,T)=\int_0^T e^{-\gamma^*(T-t)}\theta_t\,dt-\frac{\sigma^2}{2(\gamma^*)^2}(1-e^{-\gamma^*T})^2+e^{-\gamma^*T}r_0$$가 된다.
양변에 \(e^{\gamma^*T}\)를 곱해 한 번 더 미분하고 정리하면
$$\theta_T=f_T(0,T)+\gamma^*f(0,T)+\frac{\sigma^2}{2\gamma^*}(1-e^{-2\gamma^*T})$$를 얻는다.
사실 19.5 (Hull-White의 적합 함수)
$$\theta_t=\frac{\partial f(0,t)}{\partial t}+\gamma^*f(0,t)+\frac{\sigma^2}{2\gamma^*}(1-e^{-2\gamma^* t}) \tag{19.27}$$Ho-Lee와의 연결
\(\gamma^*\to0\)이면 \(\gamma^*f(0,t)\to0\)이고
$$\frac{\sigma^2}{2\gamma^*}(1-e^{-2\gamma^*t})\to \sigma^2 t$$가 되므로 Ho-Lee의 \(\theta_t=f_t(0,t)+\sigma^2 t\)가 정확히 복원된다. 즉 Ho-Lee는 Hull-White의 평균회귀가 0으로 사라진 극한이다.
19.3.4 Hull-White 채권가격식
정리하면 Hull-White 채권가격은
$$Z(r,t;T)=\exp(A(t;T)-B(t;T)r),\qquad B(t;T)=\frac{1-e^{-\gamma^*(T-t)}}{\gamma^*} \tag{19.28}$$로 주어진다. \(A(t;T)\)는 \(\theta_t\)와 \(\sigma\), \(\gamma^*\)에 의해 결정된다. Ho-Lee와 같은 아핀 구조를 유지하지만, 금리민감도 함수가 더 현실적인 형태를 갖는다.
19.3.5 채권 옵션 공식
Hull-White에서도 선도측도 논리는 그대로 적용된다. 차이는 채권 변동성이 \((T-t)\sigma\) 대신 \(B(t;T)\sigma\)로 바뀐다는 점뿐이다.
핵심 변동성 차이
채권의 순간변동성 차이는
$$B(t;T_B)\sigma-B(t;T_O)\sigma=\big(B(t;T_B)-B(t;T_O)\big)\sigma$$다.
그런데
$$B(t;T_B)-B(t;T_O)=\frac{e^{-\gamma^*(T_O-t)}-e^{-\gamma^*(T_B-t)}}{\gamma^*} =e^{-\gamma^*(T_O-t)}B(T_O;T_B) \tag{19.29}$$이므로, 선도가격의 변동성은 옵션만기까지 지수감쇠하는 구조를 갖는다.
따라서 누적분산은
$$S_Z^2=\sigma^2\int_0^{T_O}\big(B(t;T_B)-B(t;T_O)\big)^2dt$$가 되고, 위 식을 적분하면
$$S_Z^2=B(T_O;T_B)^2\frac{\sigma^2}{2\gamma^*}(1-e^{-2\gamma^*T_O}) \tag{19.30}$$를 얻는다.
사실 19.6 (Hull-White 채권 옵션 공식)
$$V=Z(0;T_B)N(d_1)-KZ(0;T_O)N(d_2),\qquad d_1=\frac{1}{S_Z}\ln\frac{Z(0;T_B)}{KZ(0;T_O)}+\frac{S_Z}{2},\quad d_2=d_1-S_Z \tag{19.31}$$ $$S_Z^2=B(T_O;T_B)^2\frac{\sigma^2}{2\gamma^*}(1-e^{-2\gamma^*T_O}) \tag{19.32}$$예제 19.4
\(\sigma=0.0196\), \(\gamma^*=0.19\)이면 \(B(T_O;T_B)=2.8018\), \(S_Z\approx0.05\)가 되고 콜옵션 가격은 \(\$2.4040\) 정도가 된다. Ho-Lee보다 낮은 이유는 평균회귀가 장기채권의 금리민감도를 줄이기 때문이다.
19.3.6 수익률 변동성 기간구조
Hull-White의 가장 큰 장점은 수익률 변동성이 만기에 따라 감소할 수 있다는 점이다. 잔존만기 \(\tau\)의 수익률을 쓰면
$$r_t(\tau)=-\frac{A(t;t+\tau)}{\tau}+\frac{B(\tau)}{\tau}r_t$$이고, 확률적 부분은 \(\frac{B(\tau)}{\tau}r_t\)뿐이므로 순간 변동성은
사실 19.7
$$\sigma_t(\tau)=\frac{B(\tau)}{\tau}\sigma =\frac{1-e^{-\gamma^*\tau}}{\gamma^*\tau}\sigma \tag{19.33}$$\(\tau\to0\)이면 이 비율이 1에 가까워져 단기수익률 변동성이 \(\sigma\)와 비슷하고, \(\tau\to\infty\)이면 0에 가까워져 장기수익률 변동성이 작아진다. 이 점은 실제 데이터에서 자주 관찰되는 변동성 기간구조와 방향이 맞는다.
그림 19.3
패널 A는 Ho-Lee의 수평형 변동성 구조와 Hull-White의 하향형 변동성 구조를 비교한다. 패널 B는 Hull-White가 현재 현물곡선을 정확히 맞추는 모습을 보여 준다.
19.4 정규 모형에서의 표준 파생상품
Vasicek, Ho-Lee, Hull-White는 모두 단기금리가 정규분포를 따르고 채권가격이 아핀 구조를 가진다. 이 공통점 덕분에 무이표채권 옵션을 중심축으로 쿠폰채권 옵션, 캡, 플로어, 스왑션을 한 줄로 연결할 수 있다.
19.4.1 쿠폰채권 옵션
쿠폰채권 가격은 각 현금흐름을 해당 만기의 무이표채권으로 할인한 합이다.
$$P_c(r_t,t)=\sum_{i=1}^n c_i Z(r_t,t;T_i) \tag{19.34}$$단일 요인 모형에서는 각 \(Z(r_t,t;T_i)\)가 모두 \(r_t\)의 단조감소 함수다. 따라서 그 양의 가중합인 \(P_c\)도 \(r_t\)에 대해 단조감소한다. 이 성질 덕분에 행사가격 \(K\)에 대해 만기 시점 \(T_O\)에서 유일한 임계금리 \(r^*\)가 존재하여
$$P_c(r^*,T_O)=K \tag{19.35}$$를 만족한다.
Jamshidian 분해의 논리
쿠폰채권 콜옵션 payoff는
$$\max\left(\sum_i c_i Z(T_O;T_i)-K,\,0\right)$$이다.
임계금리 \(r^*\)를 이용해 각 만기별 가상행사가격
$$K_i:=Z(r^*,T_O;T_i) \tag{19.36}$$를 정의하면 \(\sum_i c_i K_i=K\)다.
단조성 때문에 \(r\le r^*\)일 때만 콜옵션이 행사되므로, 그 영역에서는
$$\sum_i c_i\big(Z(T_O;T_i)-K_i\big)=\sum_i c_i Z(T_O;T_i)-K$$가 성립한다. 따라서
$$\max\left(\sum_i c_i Z(T_O;T_i)-K,0\right)=\sum_i c_i \max\big(Z(T_O;T_i)-K_i,0\big) \tag{19.37}$$가 된다.
사실 19.8 (쿠폰채권 옵션 분해)
$$C_{\text{coupon}}(0)=\sum_{i=1}^n c_i\,C_i(0;K_i,T_O,T_i) \tag{19.38}$$여기서 \(C_i\)는 만기 \(T_i\) 무이표채권에 대한 콜옵션 가격이다. 즉 쿠폰채권 옵션은 여러 제로채권 옵션의 합으로 분해된다.
예제 19.5: 5년 쿠폰채권 콜옵션
대표 계산값은 다음과 같다.
| \(T_i\) | \(B(T_O;T_i)\) | \(K_i\) | \(Z(0;T_i)\) | \(S_Z\) | Call\(_i\times100\) |
|---|---|---|---|---|---|
| 1.5 | 0.4770 | 0.9837 | 0.9623 | 0.0085 | 0.2742 |
| 2.0 | 0.9107 | 0.9627 | 0.9408 | 0.0162 | 0.5148 |
| 3.0 | 1.6639 | 0.9146 | 0.8923 | 0.0297 | 0.9007 |
| 4.0 | 2.2867 | 0.8668 | 0.8447 | 0.0408 | 1.1811 |
| 5.0 | 2.8018 | 0.8195 | 0.7979 | 0.0500 | 1.3758 |
핵심은 복잡해 보이는 쿠폰채권 옵션도 단일 요인·아핀 구조 아래에서는 결국 여러 개의 무이표채권 옵션으로 환원된다는 점이다.
19.4.2 캡과 플로어
기간 \([T_{j-1},T_j]\)에 대한 캡렛의 만기지급액은
$$CF(T_j)=N\Delta \max(L(T_{j-1},T_j)-K_L,0) \tag{19.39}$$이다. 여기서 \(L(T_{j-1},T_j)\)는 시점 \(T_{j-1}\)에 결정되는 단기 선도금리이고, 실제 현금지급은 \(T_j\)에 일어난다.
무이표채권과 금리의 관계
$$1+\Delta L(T_{j-1},T_j)=\frac{1}{Z(T_{j-1};T_j)} \tag{19.40}$$를 쓰면
$$L(T_{j-1},T_j)=\frac{1}{\Delta}\left(\frac{1}{Z(T_{j-1};T_j)}-1\right) \tag{19.41}$$이므로 캡렛의 시점 \(T_{j-1}\) 가치 \(V(T_{j-1})\)는
$$V(T_{j-1})=N\Delta\max\left(\frac{1}{\Delta}\left(\frac{1}{Z(T_{j-1};T_j)}-1\right)-K_L,0\right)$$ $$=N\max\left(\frac{1}{Z(T_{j-1};T_j)}-(1+\Delta K_L),0\right) \tag{19.42}$$가 된다.
채권 옵션으로 다시 쓰기
위 식에 \(Z(T_{j-1};T_j)\)를 곱하면
$$V(T_{j-1})=N(1+\Delta K_L)\max\left(\frac{1}{1+\Delta K_L}-Z(T_{j-1};T_j),0\right) \tag{19.43}$$가 된다.
따라서 \(K_B=\frac{1}{1+\Delta K_L}\), \(M=1+\Delta K_L\)로 두면 캡렛은 만기 \(T_j\) 채권에 대한 풋옵션과 동치다.
사실 19.9 (캡렛 = 제로채권 풋옵션)
$$V_{\text{caplet}}(0)=NM\left[K_B Z(0;T_{j-1})N(-d_2(j))-Z(0;T_j)N(-d_1(j))\right] \tag{19.44}$$여기서 \(d_1(j),d_2(j)\)는 채권 만기 \(T_j\), 옵션 만기 \(T_{j-1}\), 채권행사가격 \(K_B\)에 대해 계산한 값이다.
마찬가지로 플로어렛은 제로채권 콜옵션으로 환원된다. 따라서 캡은 여러 캡렛의 합, 플로어는 여러 플로어렛의 합이다.
사실 19.10 (캡과 플로어 가격)
$$\text{Cap}(0)=\sum_{j=2}^{n} V_{\text{caplet},j}(0),\qquad \text{Floor}(0)=\sum_{j=2}^{n} V_{\text{floorlet},j}(0) \tag{19.45}$$사실 19.11 (캡의 닫힌형 합)
$$\text{Cap}(0)=\sum_{j=2}^{n} NM\left[K_B Z(0;T_{j-1})N(-d_2(j))-Z(0;T_j)N(-d_1(j))\right] \tag{19.46}$$예제 19.6: 5년 캡
예를 들어 \(K_L=1.25\%\)에 해당하는 \(M=1+\Delta K_L\)를 사용해 가격을 계산하면, 같은 현재 기간구조를 맞추더라도 Ho-Lee에서는 \(\$5.8319\), Hull-White에서는 \(\$3.9752\) 정도가 나올 수 있다. Ho-Lee가 더 비싼 이유는 장기구간까지 높은 금리변동성을 유지한다고 보기 때문이다.
19.4.3 캡과 플로어의 내재변동성
시장에서는 종종 캡 전체 가격을 보고 하나의 “플랫(flat) 내재변동성”을 인용한다. 이는 모든 캡렛이 동일 변동성을 가진다고 가정했을 때 모형 캡 가격이 시장 가격과 같아지도록 만드는 단일 \(\sigma\) 값이다.
반면 각 캡렛마다 별도의 변동성을 허용하면 “forward” 또는 “caplet” 내재변동성 곡선이 생긴다. 실제 시장 데이터는 보통 플랫 변동성보다는 만기별 caplet 변동성 구조를 갖기 때문에, 단일 요인 정규 모형은 전체 캡 가격은 맞출 수 있어도 세부 caplet 구조를 동시에 정밀하게 맞추기 어렵다.
핵심 관찰
모형의 \(\sigma\) 하나로 모든 만기의 캡 가격을 동시에 맞추려고 하면 짧은 만기와 긴 만기 중 어느 한쪽에서 오차가 커지기 쉽다. 이것이 후속 장에서 시장모형과 LIBOR market model이 등장하는 배경이 된다.
19.4.4 유럽형 스왑션
리시버 스왑션을 예로 들자. 만기 \(T_O\)에 고정금리 수취·변동금리 지급 스왑에 진입할 권리는, 만기 시점에 고정금리 채권을 액면가에 살 수 있는 권리와 동등하다. 왜냐하면 리셋 시점의 변동금리채권은 항상 액면가에서 거래되기 때문이다.
따라서 리시버 스왑션의 payoff는
$$\max(P_c(T_O)-1,0) \tag{19.47}$$형태가 되고, 이는 바로 쿠폰채권 콜옵션이다. 마찬가지로 payer swaption은 쿠폰채권 풋옵션이 된다.
사실 19.12 (유럽형 스왑션 환원)
$$\text{Receiver Swaption}=\text{Coupon Bond Call},\qquad \text{Payer Swaption}=\text{Coupon Bond Put} \tag{19.48}$$따라서 19.4.1의 Jamshidian 분해를 그대로 사용해 스왑션도 여러 제로채권 옵션의 합으로 계산할 수 있다.
19.4.5 스왑션 내재변동성
캡과 마찬가지로 스왑션도 만기와 tenor에 따라 내재변동성 구조를 가진다. 그런데 1요인 정규 모형은 전체 기간구조를 정확히 맞추더라도, 시장의 스왑션 변동성 표면 전체를 한 번에 잘 설명하는 데 한계가 있다. 보통 짧은 만기와 긴 만기, 또는 ATM과 비ATM 영역 사이에서 체계적 오차가 남는다.
그림 19.4–19.7
캡 가격오차, 캡 내재변동성 기간구조, 스왑션 가격오차, 스왑션 내재변동성 오차를 함께 보면 단일 요인 정규 모형이 시장 전체의 변동성 구조를 한 번에 설명하기 어렵다는 점이 드러난다. 현재 곡선은 맞추더라도 변동성 면 전체까지 모두 맞추는 것은 다른 문제다.
중요한 해석상 구분
현재 금리 기간구조를 정확히 맞춘다는 사실과, 시장의 옵션 변동성 기간구조까지 정확히 맞춘다는 사실은 전혀 다르다. Ho-Lee와 Hull-White는 전자를 만족시키는 no-arbitrage fitting 모형이며, 후자를 완벽히 만족시키려면 일반적으로 추가적인 변동성 구조나 다요인 구조가 필요하다.
19.5 로그정규 모형
Ho-Lee와 Hull-White는 단기금리 자체가 정규분포를 따르므로 음의 금리가 이론적으로 가능하다. 음의 금리를 허용하기 싫다면 금리의 로그를 상태변수로 잡는 방식이 자연스럽다. \(y_t=\log r_t\)라 두면 \(r_t=e^{y_t}>0\)가 항상 보장된다.
19.5.1 BDT 모형
Black–Derman–Toy(BDT)는 이산시간 트리 모형으로 먼저 소개되는 경우가 많지만, 연속시간 관점에서는 로그금리 \(y_t=\log r_t\)에 대해
$$dy_t=\left(\theta_t+\frac{\partial_t \sigma_t}{\sigma_t}y_t\right)dt+\sigma_t dX_t \tag{19.49}$$와 유사한 구조로 이해할 수 있다. \(\sigma_t\)가 상수이면
$$dy_t=\theta_t dt+\sigma dX_t \tag{19.50}$$가 되어 형태상 Ho-Lee를 로그금리에 적용한 것과 비슷하다.
BDT의 특징
금리는 항상 양수이고, 트리 기반 적합이 쉬우며, 초기 기간구조와 변동성 구조를 함께 맞추는 데 유리하다. 하지만 채권가격이 더 이상 간단한 아핀 형태를 갖지 않으므로, Ho-Lee나 Hull-White처럼 모든 것이 닫힌형으로 정리되지는 않는다.
19.5.2 Black–Karasinski 모형
Black–Karasinski는 로그금리에 평균회귀를 넣은 모형이다.
$$dy_t=(\theta_t-\gamma_t y_t)\,dt+\sigma_t dX_t \tag{19.51}$$이 식은 Hull-White의 구조를 로그금리로 옮긴 것으로 볼 수 있다. 양의 금리, 평균회귀, 시간가변 변동성을 모두 담을 수 있지만, 계산은 보통 트리나 수치기법에 의존한다.
정규 모형과 로그정규 모형의 차이
정규 모형은 계산이 간단하고 채권가격이 아핀 구조를 가져 해석이 쉽다. 로그정규 모형은 금리 양수성을 자연스럽게 보장하지만, 닫힌형 해를 잃는 경우가 많다. 어느 쪽이 더 낫다고 단정하기보다, 계산 편의와 현실적 제약 사이의 선택으로 보는 것이 적절하다.
19.6 일반화된 아핀 기간구조 모형
지금까지 본 여러 금리모형은 다음의 일반형으로 묶을 수 있다.
$$dr_t=(\theta_t-\gamma_t r_t)\,dt+\sqrt{\sigma_t^2+\alpha_t r_t}\,dX_t \tag{19.52}$$| 모형 | 파라미터 선택 | 설명 |
|---|---|---|
| Ho-Lee | \(\gamma_t=0,\;\alpha_t=0,\;\sigma_t=\sigma\) | 정규, 평균회귀 없음 |
| Hull-White | \(\gamma_t=\gamma^*,\;\alpha_t=0,\;\sigma_t=\sigma\) | 정규, 평균회귀 있음 |
| 일반화된 CIR | \(\sigma_t=0,\;\alpha_t=\alpha\) | 분산이 금리 수준에 비례, 양의 금리 가능성 강화 |
이 일반형에서 무이표채권 가격을 다시
$$Z(r_t,t;T)=e^{A(t;T)-B(t;T)r_t} \tag{19.53}$$로 놓고 PDE에 대입하면
$$A_t-B_t r_t-B(\theta_t-\gamma_t r_t)+\frac12B^2(\sigma_t^2+\alpha_t r_t)-r_t=0$$를 얻는다. \(r_t\)의 계수와 상수항을 분리하면
$$B_t=\gamma_t B+\frac12\alpha_t B^2-1 \tag{19.54}$$ $$A_t=B\theta_t-\frac12\sigma_t^2B^2 \tag{19.55}$$가 된다. 경계조건은 \(A(T;T)=0\), \(B(T;T)=0\)이다.
사실 19.13 (일반화된 아핀 구조)
$$Z(r_t,t;T)=e^{A(t;T)-B(t;T)r_t} \tag{19.56}$$ $$\frac{\partial B}{\partial t}= \gamma_t B+\frac12\alpha_t B^2-1,\qquad \frac{\partial A}{\partial t}=B\theta_t-\frac12\sigma_t^2B^2 \tag{19.57}$$\(\alpha_t=0\)이면 \(B\)-방정식이 선형이어서 Ho-Lee와 Hull-White처럼 닫힌형 해를 기대할 수 있다. \(\alpha_t\neq 0\)이면 \(B\)가 Riccati 방정식을 만족하므로 구조가 더 복잡해진다. 하지만 큰 틀은 같다. 채권가격 문제는 결국 PDE 하나를 \(A,B\)에 대한 ODE 두 개로 줄이는 아핀 구조에 의해 정리된다.
수치적으로는 어떻게 계산하는가
만기에서 시작해 시간을 뒤로 내려오며 작은 \(\delta>0\)에 대해
$$B(t-\delta;T)=B(t;T)+\left(\gamma_t B(t;T)+\frac12\alpha_t B(t;T)^2-1\right)\delta \tag{19.58}$$ $$A(t-\delta;T)=A(t;T)+\left(B(t;T)\theta_t-\frac12\sigma_t^2B(t;T)^2\right)\delta \tag{19.59}$$를 반복하면 된다.
즉 아핀 구조의 장점은 복잡한 모형에서도 “무이표채권 가격 계산” 자체는 비교적 체계적으로 유지된다는 데 있다.
왜 이 일반형이 중요한가
Ho-Lee, Hull-White, CIR류 모형은 겉으로는 서로 달라 보이지만, 채권가격을 아핀 형태로 두었을 때 거의 같은 계산틀 안에서 정리된다. 단기금리의 드리프트와 분산 구조만 바꾸면 다양한 모형을 한 공통 언어로 다룰 수 있다는 점이 큰 장점이다.
19.7 요약
이 장의 전체 흐름을 다시 정리하면 다음과 같다.
핵심 요약 1: 무차익 모형
무차익 모형의 목적은 현재 기간구조를 정확히 재현한 상태에서 미래 금리의 동학과 파생상품 가격을 일관되게 만드는 것이다. 관찰 가능한 현재 채권가격은 예측 대상이 아니라, 모형이 반드시 만족해야 하는 제약조건이다.
핵심 요약 2: 마팅게일과 뉴메레르
적절한 뉴메레르로 가격을 나누면 가격비가 마팅게일이 된다. 특히 금리파생상품에서는 옵션만기 채권을 뉴메레르로 택한 선도측도가 계산을 획기적으로 단순화한다. 라돈–니코딤 도함수, Bayes 공식, 기르사노프 정리는 이 변환을 엄밀하게 정당화하는 도구다.
핵심 요약 3: Ho-Lee
Ho-Lee는 정규 random walk형 단기금리 모형으로, 현재 기간구조를 정확히 맞추고 제로채권 옵션에 닫힌형 공식을 준다. 하지만 평균회귀가 없어서 장기 분산이 계속 커지고, 모든 만기의 수익률이 같은 순간변동성을 갖는다는 비현실적 함의를 가진다.
핵심 요약 4: Hull-White
Hull-White는 Ho-Lee에 평균회귀를 추가한 모형이다. 현재 기간구조를 정확히 맞추면서도 장기채권 수익률 변동성을 더 낮게 만드는 현실적인 기간구조를 제공한다. 또한 제로채권 옵션과 쿠폰채권 옵션에도 닫힌형 또는 준닫힌형 공식을 제공한다.
핵심 요약 5: 표준 금리파생상품
정규 단기금리 모형에서는 제로채권 옵션을 중심축으로 쿠폰채권 옵션, 캡, 플로어, 스왑션까지 모두 연결할 수 있다. 캡렛과 플로어렛은 제로채권 옵션으로, 스왑션은 쿠폰채권 옵션으로 환원된다.
핵심 요약 6: 로그정규와 일반화된 아핀 구조
로그정규 모형은 양의 금리를 보장하지만 닫힌형 해를 잃는 경우가 많다. 일반화된 아핀 구조는 Ho-Lee, Hull-White, CIR류를 한 틀 안에서 묶어 주며, PDE를 \(A,B\)의 ODE 체계로 줄이는 공통 언어를 제공한다.
이 장 전체가 기대고 있는 가정
이 장의 공식들은 모두 몇 가지 전제를 바탕으로 한다. 첫째, 거래마찰이 없고 연속재조정이 가능하다는 이상화가 있다. 둘째, 선택한 단기금리 모형이 시장을 충분히 설명하여 필요한 헤지가 가능하다고 가정한다. 셋째, 측도변환에 필요한 지수마팅게일 조건이 성립해 위험중립측도와 선도측도가 잘 정의된다고 본다. 넷째, 금리와 채권가격 과정이 필요한 적분가능성과 가측성을 가져 이토 계산과 조건부기대값 조작이 정당화된다고 본다. 실무에서는 이 가정들이 완전히 충족되지 않으므로, 닫힌형 공식은 언제나 모델링 근사로 읽어야 한다.
마무리
이 장에서 본 내용을 하나의 흐름으로 다시 묶으면 다음과 같다. 먼저 무차익 가격결정에서는 적절한 뉴메레르를 선택했을 때 가격비가 마팅게일이 되어야 한다. 금리파생상품에서는 특히 무이표채권을 뉴메레르로 택한 선도측도가 계산을 단순화한다. 그 위에서 Ho-Lee와 Hull-White는 현재 기간구조를 정확히 맞추도록 \(\theta_t\)를 역산하고, 그 결과 채권가격과 표준 파생상품 가격을 닫힌형으로 제공한다.
Ho-Lee는 구조가 가장 단순하고 유도가 명확하지만, 수익률 변동성 기간구조를 설명하는 데에는 한계가 있다. Hull-White는 평균회귀를 추가해 이 약점을 상당 부분 완화한다. 더 나아가 로그정규 모형은 금리 양수성을 확보하고, 일반화된 아핀 모형은 여러 단기금리 모형을 한 틀 안에 넣어 준다.
결국 중요한 것은 공식을 외우는 것이 아니라, 각 식이 어디서 왔는지와 어떤 가정을 담고 있는지를 이해하는 것이다. \(\theta_t\)는 현재 곡선을 맞추는 장치이고, \(B(t;T)\)는 금리 민감도의 핵심이며, 선도측도는 할인인수를 정리하는 도구다. 이 세 가지를 중심축으로 보면, 이 장의 많은 식들이 서로 따로 떨어진 결과가 아니라 하나의 논리적 사슬로 이어져 있다는 점이 보인다.
